证明与反驳——数学发现的逻辑(txt+pdf+epub+mobi电子书下载)

作者：(英)伊姆雷·拉卡托斯

出版社：复旦大学出版社

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证明与反驳——数学发现的逻辑试读：

拉卡托斯（Imre Lakatos, 1922—1974），英籍匈牙利人，出身于匈牙利的一个犹太人家庭，是20世纪著名的数学哲学家、科学哲学家，也是现代科学哲学历史学派的主要代表之一。二战期间是积极的共产党人，1950年至1953年以修正主义者之名被监禁。1956年苏联出兵匈牙利后，流亡到英国，继续求学，获剑桥大学哲学博士学位，后入英国籍。从20世纪60年代初起到去世为止，一直在伦敦经济学院任教，与波普（Karl Popper）和沃特金斯（John Watkins）共事，继波普任科学方法、逻辑学和哲学系主任，并任《科学哲学》杂志主编。主要著作有《科学研究纲领方法论》、《数学、科学与认识论》、《证明与反驳》。译者简介

方刚，博士，副教授，现任教于中国科学技术大学科技传播系。

兰钊，中国科学技术大学理学学士，目前正于美国伊利诺大学芝加哥分校（University of Illinois at Chicago）攻读博士学位。目的是要解决数学方法论的某些问题。内容提要

该书是匈牙利裔英国籍著名哲学家伊姆雷·拉卡托斯于20世纪60年代完成的一部探索数学史上新的发现产生过程的经典著作。书的主要内容包括作者用5年时间收集的两个典型的数学案例，以及本书的编者添加的拉卡托斯1961年在剑桥大学所撰博士论文的部分内容。

拉卡托斯是以对话体的形式进行写作的，他虚构了教师在课堂上与学生们讨论正多面体欧拉公式V-E+F=2的猜想与发现、证明和反驳的全过程，形象地展现了数学史上对此问题进行研究探索的真实的历史图景，以此来挑战和批判以希尔伯特为代表的认为数学等同于形式公理的抽象、把数学哲学与数学史割裂开来的形式主义数学史观。此篇光辉论著的主要目的是要解决数学方法论的基本问题，以一种探索和发现的情境逻辑来代替形式主义和逻辑实证主义的抽象教条。正如拉卡托斯所说，非形式、准经验的数学的发展，并不只靠逐步增加的毋庸置疑的定理的数目，而是靠以思辨与批评、证明与反驳之逻辑对最初猜想的持续不断的改进。

本书的写作形式也颇为新颖，作者以课堂讨论的对话形式来展现数学的发现，生动地体现了数学发展的辩证过程。正因为此，该书还可以作为数学教学的案例，给广大数学教师提供一种具有实践意义的教学法。

特别要提请读者注意的是，该著作脚注的内容十分丰富，诸多数学史上的争论都体现在注释之中，所以脚注部分也应该看作是正文的有机组成部分，不可忽略。

作者在著作后面还列了一个非常完整的参考书目，对书中提到的问题和观点感兴趣的读者可以按图索骥，定会有更大的收获。编者前言

我们伟大的朋友和导师伊姆雷·拉卡托斯（Imre Lakatos）于1974年2月2日意外去世了。那时他正（像往常一样）忙于许多学术项目，最重要之一是出版他那才华横溢的论文《证明与反驳》（Proofs and Refutations）的增改本，此文曾分4部发表于《不列颠科学哲学杂志》（The British Journal for the Philosophy of Science, 14, 1963—1964）。拉卡托斯签订出书合同已久，但因他盼望修订与进一步改进此文，并另行增添些扎实的材料，而搁置了出版。这项工作一再拖延，相当程度上是由于他的兴趣转向物理科学之哲学，但在1973年夏天，他终于决定着手出版之事了。那个夏日里，我们分别同他讨论了出书计划；在他的身体境况不断恶化时，我们试图努力编出一本同拉卡托斯的设想尽可能接近的书。

于是，我们在原《证明与反驳》论文（作为本书第一章）的基础上增加了3段新文字。首先，我们为正文增添了第二部分，是关于庞加莱（Poincaré）对笛卡儿（Descartes）-欧拉（Euler）猜想所作的矢量代数证明的，取材于拉卡托斯1961年剑桥博士论文的第二章。（原《证明与反驳》文稿是其博士论文的第一章经大量修订与改进的版本。）而其博士论文第三章的一部分成了现在的附录1，内含对证明与反驳法增加的一个新的案例研究，案例是柯西（Cauchy）对于如下定理的证明：任何收敛的连续函数项级数的极限自身是连续的。正文的第二章和附录1应能消除读过《证明与反驳》的数学家所表达的疑虑：拉卡托斯所描述的证明分析（proof-analysis）法或许只适用于多面体研究，鉴于这个“近经验”（near empirical）主题的反例唾手可得，也许不适用于“真正的”数学。增加的第3段文字（附录2）亦取材于拉卡托斯学位论文第三章的一部分，是关于他在数学的发展、表述、教学方面的主张。

拉卡托斯之所以推迟出版的原因之一，是他认识到，部分外加的材料固然含有许多新观点并对他的立场有发展之处，却仍需进一步斟酌和进一步对历史资料的研究，尤其是（附录1中）关于柯西与傅立叶材料的真实性的考证。我们也意识到这些材料中有若干疑难、模棱两可及遗漏之处。然而，我们以为不应当更改拉卡托斯的手稿内容。要做到详细阐释上述材料并作增补，我们均因种种条件限制不能提供翔实而不可或缺的历史资料研究。于是，面临着要么根本不出版这些材料，要么在未完成的状态下出版，我们决定选择后者。我们感觉，上述的材料是很使人感兴趣的；并希望它将激起其他学者在必要时来扩充和纠正它。

总而言之，我们认为，修改拉卡托斯的材料内容是不合适的，即便是对我们确信拉卡托斯已改变了立场的那些部分。所以，我们只限于（以星号标示的按语）指出其中我们应该说服拉卡托斯改动了的一部分，及指出（这常与前者是一回事的）我们相信拉卡托斯在如今出版时会修改的一部分材料。（在他完成学位论文到去世的13年中，他的学术立场当然变化极大。他在［1970］的文章中解释了其总体哲学的主要倾向。我们应当提到，拉卡托斯认为他的科学研究纲领方法论对他的数学哲学有重要的意义。）

我们处理表述内容的方法是，几乎完全不动拉卡托斯自己曾发表的材料（即正文第1章，仅有的例外是几处错印与模棱两可的小疏漏）。然而我们在相当程度上修改了之前未曾发表的材料——但是，再次强调，修改仅限于形式，不涉及内容。由于这看起来像是颇不寻常的步骤，故可能的话还是辩护几句较好。

拉卡托斯总是在他将要公开发表的所有材料的表达上费很大的心思，而且发表前他通常要让这些材料先在同事和朋友间广泛传阅，听取批评与改进的建议。我们肯定，此处首次发表的材料，他应该亦会如此处理，且改动得会比我们斗胆引入的更为剧烈。我们（经由亲身经验）所了解的拉卡托斯为了把他的主张尽可能表述清晰所付出的艰辛，也促使我们尽自己所能努力完善这些材料的表述。倘若拉卡托斯本人修改过底稿，这几段新文字便自然会比其所应当成就的面貌更好；但是，我们感觉同他是如此的亲近，同时也因为深入地参与了他以前的出版事务，于是，我们可以做一次合理的尝试，将这些材料改进到接近他自己的高标准要求。

我们非常高兴能有此机会来编辑拉卡托斯数学哲学方面一些重要著作并完成这个版本，因为，借此可以报答他所给予我们的一部分学术与私交的恩惠了。约翰·沃拉尔（John Worrall）埃利·扎哈尔（Elie Zahar）致　谢

这本书的底稿历史较长，且变化较多，这在编者前言中已部分指出了。根据拉卡托斯加在他1963—1964年原论文（此处重印作第一章）上的致谢词，写作工作于1958—1959年在剑桥的国王学院（King's College）时开始，其第一次宣读是在1959年3月伦敦经济学院（London School of Economics）卡尔·波普尔（Karl Popper）的研讨班上。另一版本并入他1961年的剑桥博士论文里，本书的余下部分也以此为基础。学位论文的准备在R·B·布莱思怀特（R. B. Braithwaite）教授的指导下进行。与此一道，拉卡托斯还感谢了洛克菲勒基金会（Rockefeller Foundation）的经济资助，以及“接受了T·J·斯迈利（T. J. Smiley）博士的诸多帮助、鼓励和有价值的批评”。拉卡托斯致谢词的余下部分如此写道：

作者在伦敦经济学院准备这一最新版本时，曾努力留意尤其是以下诸位的批评与建议：J·阿加西（J. Agassi）博士、I·哈金（I. Hacking）博士、W·C·尼尔（W. C. Kneale）与R·蒙田（R. Montague）教授、A·穆斯格拉夫（A. Musgrave）、M·波兰尼（M. Polanyi）教授和J·W·N·瓦特金斯（J. W. N. Watkins）。在G波利亚（G. Pólya）与B·L·范德瓦尔登（B. L. Van der Waerden）教授的批判性评论的激励下，作者改进了例外排除法的处理。怪物排除法与怪物校正法的区分是B·麦克莱南（B. MacLennan）建议的。

此文当被视作在波利亚之复兴数学探试法与波普尔之批判哲学的背景下的产物。

1963—1964年版的原论文有如下的致献词：

献给乔治·波利亚75岁与卡尔·波普尔60岁生日。

准备此书时，编者们曾受到约翰·贝尔（John Bell）、迈克·哈莱特（Mike Hallet）、莫舍·玛肖韦（Moshé Machover）与杰里·拉韦兹（Jerry Ravetz）的帮助，他们皆欣然阅读了第二章与附录的草稿，并提出有助益的批评。

我们还要感谢桑德拉·D·米歇尔（Sandra D. Mitchell）的工作，尤其还有格里高利·柯里（Gregory Currie），他仔细评审了我们对于拉卡托斯著作的加工工作。约翰·沃拉尔埃利·扎哈尔作者引言

思想史上屡见不鲜的是，当一个强有力的新方法出现时，可采用此新方法处理的问题之研究进步迅速、引人瞩目，余者却趋于被忽视甚至遗忘，其研究就会遭到鄙视。

由于元数学（metamathematics）劲头十足地发展，此一情形在我们世纪的数学哲学中看来业已出现。

元数学的主要内容是一种对数学的抽象，在其间，以形式系统替代数学理论、以合式公式（well-formed formula）的某种序列替代证〔1〕明、以“理论上可有可无”却“排印简便”的“缩略标记”（abbreviatory devices）替代定义。此种抽象由希尔伯特（Hilbert）发明，旨在提供一种强有力的技术工具，以解决数学方法论中的一部分问题。同时，却尚有在元数学抽象之运用范围外的问题，与非形式（inhaltliche，就内容而言）数学及其发展和解数学题的情境逻辑（situational logic）有关的所有问题仍然处在其中。

倾向于认为数学等同于其形式公理抽象（以及数学哲学等同于元数学）的数理哲学学派，我称之为“形式主义”学派。形式主义立场的最明白阐述之一可在卡尔纳普（Carnap）［1937］那里找到。卡尔纳普声称：（a）“哲学将让位于科学逻辑……”，（b）“科学逻辑不过是科学语言的逻辑句法……”，（c）“元数学是数学语言的句法”（第xiii页与第9页）。换言之，数学哲学将被元数学取代。

形式主义把数学哲学与数学史割裂开来，因为，据形式主义的数学概念，真正的数学并无历史。所有形式主义者皆会大体同意罗素那措词“罗曼蒂克”但立意严肃的评论，依此，则布尔（Boole）的《思想规律》（Laws of Thought）（1854）就是“古往今来第一本数学

〔2〕书”。形式主义拒不承认大部分过去公认的数学之作为数学的资格，并对其发展只字不言。所有“创造”时期与几乎所有“批判”时期的数学理论都不许迈入形式主义的天堂，天堂里数学理论如炽天使〔3〕（Seraphim）一般存在，尘世间不确定性的种种污迹被清洗得一干二净。然而，形式主义者又往往为堕落的天使留一扇小小的后门：对一些“数学与非数学之混合物”来说，倘若后来发现有“在某种意义上容纳它们”的形式系统存在，它们亦可获准升天（柯利（Curry）［1951］，第56—57页）。依此种说法，则牛顿不能不等4个世纪，直到皮亚诺、罗素与奎因（Quine）以形式化微积分助他升入天堂了。狄拉克（Dirac）更是幸运：他还在世时，L·施瓦兹（L. Schwartz）便拯救了他的灵魂。或许我们这里倒该提提元数学家自相矛盾的困境：就是照形式主义甚至演绎主义的标准来看，他们亦非诚实的数学家。迪厄多内（Dieudonné）说，以公理形式表述推理过程是“任何有志于诚实治学的数学家，都肩负着的绝对义务”（［1939］，第225页，斜体是我加的）。

当此形式主义处于支配地位之时，我们要套用康德（Kant）的话：数学史，在缺乏哲学的引导下，已变得盲目了；而数学哲学，在置数学史上最引人入胜的现象于不顾时，已变得空洞了。“形式主义”乃是逻辑实证主义哲学的堡垒。根据逻辑实证主义，一命题之所以有意义仅当其为“重言式的”或是经验的陈述。由于非形式数学既非“重言式的”亦非经验的，其必为无意义的纯粹胡诌〔4〕。逻辑实证主义的教条对数学史与数学哲学都是有害的。

这些文章的目的是要解决数学方法论的某些问题。我使用“方法论”此词，其意义近于波利亚与伯奈斯（Bernays）的“探试法”〔5〕〔6〕和波普尔的“发现的逻辑”或“情境逻辑”。当下，套用“数学方法论”一词作为“元数学”的同义词无疑是形式主义的手法，这说明在形式主义的数学哲学中，没有作为发现的逻辑的方法论〔7〕之地位。形式主义者说，数学与形式化的数学是等同的。但是，在一个形式化的理论中可以发现（discover）什么呢？两种情形。第一，可发现一些问题的解法，而一个调试得当的图灵机（Turing Machine）可在有限的时间内解决这些问题（如：某个宣称的证明是否为一证明？）。没有数学家会对贯彻这些判定过程指定的枯燥机械的“方法”感兴趣。第二，还可以发现一些问题的解法（如：在一不可判定的理论中，某公式是否为一定理？），在这些问题中，可作指导的“方法”只有“无法驾驭的顿悟与好运气”了。

现在，现实的数学不再坚持机械的理性主义与瞎猜的非理性主义〔8〕之间的苍白选择了：研究非形式数学，可为正开展工作的数学家得出一套丰富的情境逻辑，它既非机械的，亦不是非理性的，但不能为形式主义哲学所承认，更不能为其所激发。

若没有对形式主义的批判和最终摒弃，数学史与数学发现的逻〔9〕辑，即数学思想之系统发生与个体发生，是不能得到发展的。

可是，形式主义数学哲学有很深的根基，它是教条主义数学哲学之长链的最新的一个环节。教条主义者与怀疑主义者的争论已有两千多年。教条主义者以为——依靠我们人类的智识以及/或者感官的力量——我们能获得真理并知晓我们已获得了它。相反，怀疑主义者以为要么我们全然不能获知真理（除非经由神秘体验之助），要么我们不能知晓我们是否能获得或已经获得了真理。在这场大辩论中，双方的论点不断与时俱进，而数学一直是教条主义引以为豪的堡垒。不论何时，只要数学教条主义陷入了“危机”，一个新版本便会又一次提供货真价实的严格而终极的基础，而数学即由之恢复权威的、一贯正确的、不可驳倒的形象，俨然是“上帝迄今愿意赐予人类的唯一科学”（霍布斯（Hobbes）［1651］，第15页）。大多数怀疑主义者都〔10〕听任教条主义认识论的这个根据地固若金汤。如今对它的挑战也早该来临了。

这个案例研究的核心是要向数学形式主义挑战，但却不会直接地反对数学教条主义的根本观点。谦虚地说，它的目标是详细发挥此一论点：非形式、准经验的数学的发展，并不只靠逐步增加的毋庸置疑的定理的数目，而是靠以思辨与批评、证明与反驳之逻辑对最初猜想的持续不断的改进。不过，因为元数学是如今正迅速发展的非形式、准经验的数学的一个范式，所以，此文亦会隐含地挑战现代数学的教条主义。目前元数学之历史的研究者将会在其自己的领域里辨认出此处描述的模式。

对话形式当可折射出故事发展的辩证性；其意在包含而体现一种合理地重建或“提炼净化”过的历史。真实的历史会插在脚注当中，故大多数脚注应该看作此文有机的组成部分。注　释〔1〕丘奇（Church）［1956］，第1卷，第76—77页。亦参见皮亚诺（Peano）［1894］，第49页，以及罗素（Russell）和怀特海（Whitehead）［1910—1913］，第1卷，第12页。此是帕斯卡（Pascal）［1659］规划的欧几里得（Euclid）纲领的一个固有组成部分，参见拉卡托斯［1962］，第158页。〔2〕罗素［1901］。此文以《数学与形而上学家》（Mathematics and the Metaphysicians）为标题重印罗素［1918］的第5章。引语可于1953年企鹅版（Penguin edition）的第74页上找到。在罗素［1918］的前言中，他论及此文：“它所以有这样的语调，部分原因是编辑请求我行文‘尽可能罗曼蒂克’。”〔3〕译注：Seraphim，希伯来语，本意“燃烧中之物”（burning ones），指“炽天使”（“撒拉弗”），基督教九级天使之最高者，本性为“爱”，象征“光明”、“热情”和“纯洁”，参见《旧约·以赛亚书》第6章第2—6节。〔4〕据图开特（Turquette），哥德尔式（Gödelian）语句是无意义的（［1950］，第129页）。图开特持论反对柯比（Copi），后者声称，因为哥德尔式语句是先验的真理，且是非分析的，它们便驳倒了先验的分析论（［1949］与［1950］）。他们均未注意到，从这个观点来看，哥德尔式语句的独特状态在于这些定理是非形式数学的定理，并且事实上他们是在一个特例下讨论非形式数学的状况。〔5〕波利亚［1945］，尤其是第102页，亦见［1954］、［1962a］；伯奈斯［1947］，尤其是第187页。〔6〕波普尔［1934］，随后见于［1945］，尤其是第90页（或第4版［1962］，第97页）；亦见［1957］，第147页以下。〔7〕可以举例论述此点，如塔斯基（Tarski）［1930a］和［1930b］。在前一篇文字中，塔斯基明确使用“演绎科学”一词，作为“形式化演绎科学”的略语。他说：“基本上是在相同的意义上，形式化演绎学科构成元数学的研究领域，而空间实体构成几何学的研究领域。”在第二篇文中却给此一合情合理的表述来了一个密谋的霸道的歪曲：“基本上是在相同的意义上，演绎学科构成演绎科学方法论的主题，空间实体构成几何学的主题，而动物构成动物学的主题。自然，并非所有演绎学科都纳入了适合作为科学研究之对象的形式。譬如，那些没有确定的逻辑基础的，没有精确的推论规则的，以及以通常模棱两可而不确切的口头语言词汇表述其定理的——一句话，那些尚未被形式化的——都不适合。因此，元数学研究只限于讨论形式化演绎学科。”有新意之处是，前一个表述声称元数学的主题是形式化演绎学科，后一个表述声称，只是因为非形式化演绎科学根本不是科学研究的合适对象，所以元数学的主题限制在形式化演绎学科中。这意味着，形式化学科的史前史（prehistory）不能是科学研究的主题——不像一个动物物种的史前史，正可以成为十分科学的进化论的题材。没有人会怀疑，关于数学理论的某些问题只能在其形式化后才可处理，正如有关人类的某些问题（如人体解剖学）只能在人死后才可处理。但几乎没人会由此推论，人类仅仅在他们“纳入了‘死’的形式”时，“对于科学研究方是合适的”，因而生物学研究只限于讨论死者——虽然，我并不会惊奇，如果在早期解剖学的辉煌日子里，当强有力的新解剖法出现时，维萨里（Vesalius）的一些充满热情的学生曾认为生物学等同于对尸体的分析。（译注：Andreas Vesalius，1514—1564，比利时解剖学家、医师，现代人体解剖学之奠基人，首次以解剖人尸作教学演示，著有《人体结构》（De Humani Corporis Fabrica）7卷。）塔斯基对于除形式系统之外，是否存在他种方法论持否定态度。在其［1941］的前言中，他详细论述了这种否定态度：“经验科学的方法论课程……必须主要地限于评估与批评试探性的摸索与不成功的努力。”理由是，经验科学是非科学的：因为塔斯基定义一个科学理论为“被断言的陈述按某些规则排列的系统”（同上）。〔8〕形式主义哲学最危险的奇异行为之一是以下的习惯：（1）陈述某种情形——以正确的方式——关于形式系统的；（2）接着说这适用于“数学”——此又是正确的，如果我们接受数学与形式系统之一致性；（3）然后就偷换词义，按通常的意义使用“数学”一词。所以奎因说（［1951］，第87页），“这反映出数学上的典型情形；数学家由无法驾驭的领悟与好运偶然发现了证明，但此后其他数学家可以检验他的证明”。但通常检验一个普通（非形式）证明是一项棘手的工作，而偶然发现一个“错误”需要与偶然发现一个证明同样的领悟力与好运气：在非形式证明中发现“错误”有时也许需要几十年——如果不是几百年的话。〔9〕H·庞加莱与G·波利亚均提议将E·海克尔（Haeckel）有关个体发生重演系统发生的“基本生物发生律”应用于思想发展，尤其是数学的思想发展中（庞加莱［1908］，第135页，及波利亚［1962b］）。在此引用庞加莱的话：“动物学家坚持说，一个动物的胚胎发育在轮廓上重演它的历代祖先通贯地质时代的整个历史。看来心智的发展也是同样道理……为此故，科学史应当是我们的第一指南”（G·B·霍尔斯特德（G. B. Halsted）授权译本，第437页）。（译注：Ernst Heinrich Haeckel，1834—1919，德国生物学家、哲学家，达尔文主义支持者，提出生物发生律，以为进化论之证据。）〔10〕关于数学在教条主义与怀疑主义之争中扮演的角色之讨论，参见我的［1962］。第1章1．一个问题与一个猜想

对话发生在一间虚构的教室里。课堂上正热衷于讨论一个问题：在多面体——尤其是正多面体——的顶点数V、棱数E、面数F之间，是否有一定的关系呢？就像多边形的顶点数与边数的通常的关系，即边数与顶点数相等：V＝E？依照后一关系，我们能根据边数（或顶点数）划分不同的多边形：三角形、四边形、五边形等等。类似的关系将会有助于给多面体分类。

在多次尝试和错误之后，他们注意到，对所有正多面体有V－E〔1〕＋F＝2。有人猜测这可能对无论什么样的多面体都成立。其他人尝试去证伪此一猜想，试着用不同的方法检验它——它始终成立。结果确证（corroborate）了这个猜想，并暗示它可以被证明（proved）。正当此时——问题与猜想的阶段之后——我们走进了教〔2〕室。老师正欲给出一个证明。2．一个证明

老师：上一节课，我们得到了一个关于多面体的猜想，即对所有多面体有V－E＋F＝2，此处V为顶点数，E为棱数，F为面数。我们曾用多种不同的方法检验它，但尚未证明它。有人找到证明了吗？

学生SIGMA：“我个人得承认我尚不能构思出此定理的一个严格证明……然而，既然在如此多的例子中，它的真实性已经建立起来，便不用怀疑它对任何立体皆能成立。这样此命题看来便被圆满地说明〔3〕了。”不过，若您有一个证明，定请道来。

老师：实则我有一个，由下列思想实验组成。第一步：且想象一个多面体是空心的，其表面由薄橡胶制成。我们若切去一面，便可使余下的表面平铺拉伸于黑板上而不撕裂它。面与棱将变形，棱或将变弯，但V与E不变，故而当且仅当对于初始多面体有V－E＋F＝2时，对于此平面网状物就有V－E＋F＝1——记住我们移去了一个面。（图1画的是立方体情形下的平面网状物。）第二步：现在我们把这地图分成三角形——它看上去确像一张地理上的图。我们在尚非（可能由曲线围成的）三角形的（可能由曲线围成的）多边形中连上（可能是曲线的）对角线。连每一对角线时我们都使E与F各增加了1，故总数V－E＋F不变（图2）。第三步：我们从这三角形化的网状物中一个一个地移走三角形。为此我们要么移去一条棱边，而减掉一个面一条棱边（图3（a）），要么移去两条棱边与一个顶点，而减掉一个面、两条棱边与一个顶点（图3（b））。可见，若在移动一个三角形之前有V－E＋F＝1，移动之后亦复如是。末了便单单剩下一个三角形，对它而言V－E＋F＝1是成立的。于是我们便证明了我们的猜想〔4〕。

学生DELTA：您现在该叫它定理了。它再无丝毫猜想的成分了〔5〕。图1图2图3

学生ALPHA：我怀疑。我知道这实验能施于立方体或四面体之上，但我如何知道它能施于任何多面体？举例来说，先生，您确定任何多面体移去一个面之后，都能平铺拉伸在黑板上吗？我对您的第一步有些怀疑。

学生BETA：您肯定在把地图三角形化以后，每新添一条边都能产生一个新面吗？我对您的第二步有些怀疑。

学生GAMMA：您确定在一个个地挪去三角形时，仅有去掉一条棱边和去掉两条棱边一个顶点这两种选择吗？您甚至肯定在过程的最〔6〕后一定仅剩一个三角形吗？我对您的第三步有些怀疑。

老师：我当然没有把握。

ALPHA：但如此我们岂不比以前更糟了！不但是一个猜想，现在至少有3个了！而您把这叫做一个“证明”！

老师：我承认，用“证明”这个传统名字来称呼此一思想实验，也许的确会被看作是有些误导。我并不以为它确立了猜想的真实性。

DELTA：那么它又是在做什么呢？您认为一个数学证明要证明什么？

老师：这个难以捉摸的问题，我们之后会试着回答。在那之前我提议，保留“证明”这个确立已久的崇高术语来指称思想实验——或称“准实验”（quasi-experiment），它暗示了原猜想之分解为子猜想或引理。这样便可将猜想嵌入一堆可能非常不同的知识中。比如，我们的“证明”已将原猜想——关于晶体或者说立体的——嵌入橡胶膜理论中。笛卡儿和欧拉，这两位原猜想的始作俑者，是做梦亦想〔7〕不到这点的。3．用局部而非全局的反例对证明的批评

老师：按证明的暗示把猜想分解，便为猜想的检验开拓了新的视野。分解开扩了猜想的多个方面，我们的批评于是就有更多的目标。我们现在至少有3个找反例的机会，而不止从前的1个了！

GAMMA：我已表示了，我不喜欢您的第三引理（即由拉伸与随后的三角形化得到网状物后，要从其上移走三角形，我们仅有两种选择：不移去一条边，便移去两条边与一个顶点）。我怀疑挪走三角形时是否会出现别的花样。

老师：怀疑不算是批评。

GAMMA：那么反例算是批评吗？

老师：当然算。猜想可以忽略不喜欢与怀疑，却不能无视反例。

THETA［旁白］：猜想明显与它们的代言人不是一个鼻孔出气。

GAMMA：我要举一个普通的反例。且看在一个立方体上施行了前两个操作所得的三角形化网状物（图2）。这时，若我自这网状物的内部移去一个三角形，正如可以从七巧板中间拿出一块一样，我便在未移走任一边或一顶点的情况下移走了一个三角形。因此，第三引理是错的——不但对立方体如此，对除四面体之外的所有多面体皆如此，因为四面体的平面网状结构的所有三角形都是边界三角形。这样，您的证明便只是在给四面体的欧拉定理作证明。但我们已经知道对四面体有V－E＋F＝2，又何需多此一举？

老师：你说对了。但注意，立方体虽是第三引理的反例，却并非主猜想的反例，因对于立方体有V－E＋F＝2。你已说明了论证——证明——的贫乏，但未涉及我们的猜想的错误。

ALPHA：那么您就要放弃您的证明了吗？

老师：不。批评不一定是破坏。我会改进我的证明，使其能经得起批评。

GAMMA：怎样做呢？

老师：在解释怎样做前，让我先引进以下术语。我把反驳一条引理（并不一定反驳主猜想）的例子称为“局部的反例”，而把反驳主猜想自身的例子称为“全局的反例”。这样你的反例便是局部的而非全局的。一个局部而非全局的反例只算是对证明的批评，不是对猜想的批评。

GAMMA：所以，猜想可能是真的，但您的证明尚未证明它。

老师：但我能轻易地详细阐释并改进这个证明，以略加修改的引理代替原来错误的引理，你的反例便驳不倒了。我不再争辩说，移除任何三角形都会导致以上两种模式之一种，而只说，在移除操作的每一个阶段，移除任一边界三角形均会导致以上模式之一种。回头来看我的思想实验，我所必须做的仅仅是在我的第三步中插入一个单词，即“我们从这三角形化的网状物中一个一个地移走边界三角形”。你〔8〕该会同意，只需一次微不足道的观察，便使证明表述正确了。图4

GAMMA：我认为您的观察并非如此微不足道；实则此举是相当精巧的。说清楚些，我要让它露出破绽。再次以立方体的平面网状物为例，以图4所示之顺序移去10个三角形之中的8个。轮到移去第八个时，此时它虽肯定是一边界三角形，我们却仅移走了两条棱边，却未移走顶点——这便使V－E＋F改变了1。留下的是两个分离的三角形9和10。

老师：唉，要是我说我所谓的边界三角形是指其移走并不分裂网状物的三角形，我便可保全面子了。但理智的诚实不允许我用“我所谓的……”式的句子起头，来对我的观点做点儿鬼鬼祟祟的修改，故我承认，现在我必须以三角形移动操作的第三个版本来替换第二个版本：我们在V－E＋F不变的条件下一个个地挪走三角形。

KAPPA：我慷慨一点儿，同意与此种操作对应的引理为真：即如果我们在V－E＋F不变的条件下一个个地挪走三角形，则V－E＋F不变。

老师：不对。此引理为：我们的网状物中的三角形可以如此编号：以编号后正确的顺序移动它们至最后一个三角形时，V－E＋F将保持不变。

KAPPA：可是，就算这个正确的顺序存在，又怎样去构造它呢〔9〕？您初始的思想实验有这样的操作说明：以任意顺序移去三角形。您修改后的思想实验有这样的操作说明：以任意顺序移去边界三角形。现在您说我们应遵从一固定的顺序，却不说这顺序是哪一种，也不说它究竟是否存在。所以，这一思想实验就此破产。您改进了证明分析，即那一连串引理；但您美其名曰“证明”的思想实验破产了。

RHO：仅第三步破产了。

KAPPA：况且，您改进了引理吗？您头两种简单版本至少在驳倒前看起来是一般真实的；您的冗长、拼凑的版本甚至表面上都不像真实的。您真相信它可以逃过反驳吗？

老师：“貌似有理的”或甚至“普通真实的”命题通常几下就驳倒了：极其复杂奥妙的、似乎不真的、在批评中成熟的猜想倒可能会撞上真理。

OMEGA：那么，如果您的“极其复杂奥妙的猜想”甚至也被证伪了，并且这次您拿不出未被证伪的猜想来替代它们，那将会发生什么呢？或者，假如您进一步局部地补补缀缀也未能成功改进论证呢？您仗着把被驳倒的引理替换掉，而顺利制服了一个非全局的局部反例。假使您下次没有成功又如何呢？

老师：好问题——明日再讨论吧。4．全局的反例对猜想的批评

ALPHA：我有个反例，可以证伪您的第一引理——而它同样是主猜想的反例，即它亦是全局的反例。

老师：真的吗！有趣。让我们见识见识。

ALPHA：设想由一对嵌套的立方体围成的立体——这对立方体中，一个在里，互相并不接触（图5）。这个空腔立方体证伪了您的第一引理，因为从内立方体移走一个面后，此多面体便不能平铺拉伸至一平面了。另外，从外立方体移去一个面亦是无益的。除此之外，对每一个立方体有V－E＋F＝2，所以对空腔立方体而言，有V－E＋F＝4。〔10〕

老师：精彩的演示。且称其做反例1。现在该怎样呢？图5（a）猜想之拒斥。让步法

GAMMA：先生，您的冷静使我觉得困惑。单单一个反例便可驳倒猜想，同10个反例一样见效。这一猜想及其证明已全部未达目的而失败了。举起手来！您不认错也不行。还是抛弃错误的猜想，忘掉它，尝试一个彻底的新方法吧。

老师：我同意你的话，猜想已受到了ALPHA的反例所做出的严厉批评。但证明却也并非已“全部未达目的而失败”。倘若你暂时赞成我稍早的提议，用“证明”一词以指“把原猜想分解为子猜想的思想实验”，而不在“保证某种真理”的意义上使用，你便不一定得出这个结论。我的证明当然在前一含义上证明了欧拉猜想，但在后一含义上便不一定了。你只对那证其欲证者之证明感兴趣。但即使证明未完成其预定任务，我也感兴趣。哥伦布（Columbus）并未到达印度，但他发现了某些极其有趣的东西。

ALPHA：所以根据您的哲学——一个局部的反例（若其不同时是全局的反例）是对证明的反驳，却不针对猜想——一个全局反例是对猜想的反驳，却不必针对证明。就猜想而言，您同意认错，但您还要为证明作辩护。然而，若猜想为假，则证明究竟要证明什么呢？

GAMMA：您把哥伦布拿来类比也不管用。接受一个全局的反例必然意味着全盘皆错。（b）反例之拒斥。怪物排除法

DELTA：但为什么接受这个反例？我们曾证明了我们的猜想——现在它就是定理。我承认它与那所谓的“反例”相对立。它们之间有一个必须放弃。但既然定理业已被证明为真，又为何该它放弃？应该放弃的，是那个“批评”。它是伪批评。那对嵌套立方体根本不是多面体。它是一个怪物、一个病态的例子，而不是个反例。

GAMMA：凭什么不是？一个多面体是表面由多边形面构成的立体。而我的反例就是被多边形面围成的立体。〔11〕

老师：让我们把这定义称为定义1。

DELTA：你的定义是不对的。一个多面体必须为一个曲面：有一些面、棱、顶点，可以变形，平铺拉伸在黑板上，且与“立体”的概念无关。一个多面体是由一个多边形系统构成的曲面。〔12〕

老师：称此为定义2。

DELTA：那么你便实际上给我们看了两个多面体——两个曲面，其中一个完全在另一个之内。子宫里有胎儿的妇女并不是人类只有一个脑袋这一论题的反例。

ALPHA：原来如此！我的反例已孕育出一胎新的多面体概念了。难道你敢断言，针对多面体你总是指一个曲面？

老师：现在我们暂时接受DELTA的定义2。如果针对多面体，我们就是指一个曲面，你还能驳倒我们的猜想吗？

ALPHA：当然能。且看两个共有一条棱的四面体（图6（a））。或者，看两个共顶点的四面体（图6（b））。这两对孪生四面体都是相连的，都仅构成了一个曲面。并且，你可以检验，对它们均有V－E＋F＝3。〔13〕

老师：反例2a和2b。图6

DELTA：你这种颠倒错乱的想像力，我很仰慕，但我当然没有说任一多边形系统都是一个多面体。说多面体，我指的是一个以下列方式排列的多边形系统：（1）每一条棱上恰好有两个多边形相交；（2）从共顶点的一个多边形内的一点到另一多边形内的一点的连线不与任何一条棱相交是可能的。你的第一对孪生四面体，由我定义中的第一条标准排除，第二对由第二条标准排除。〔14〕

老师：定义3。

ALPHA：你这种颠倒错乱的想像力，我很仰慕，你可以一个接一个地发明定义，设防别人证伪你特别重视的想法。你何不干脆把多面体定义为满足V－E＋F＝2等式的多边形系统？如此完美的定义（Perfect Definition）……〔15〕

KAPPA ：定义P。

ALPHA：……这样就可以一劳永逸地解决这场辩论了。以后再不需要研究这个问题。

DELTA：但这世界上并没有定理可以不被怪物证伪。

老师：很抱歉，打断一下你们。我们曾看到，反例所施予的反驳取决于问题中语词的意义。若一个反例要成为客观的批评，我们必须在我们的语词意义上达成一致。我们可以在交流中断之时通过定义语词来达成这样的一致。拿我来说，我并不曾定义“多面体”。我假定了大家都熟悉此概念，即是说有能力分辨一个物体是不是多面体——一些逻辑学家称之为了解多面体概念的外延。结果这概念的外延一点也不清楚分明：反例一出现，便不停有定义被提出、被争论。我建议，我们现在先考察所有这些相互对立的定义，后面再讨论选择不同定义得出的结论的差异。有谁能举出即便最严格的定义也承认的反例吗？

KAPPA：包括定义P？

老师：定义P除外。

GAMMA：我能。请看此，反例3：一个星状多面体——我叫它

〔16〕海胆（图7）。它由12个五角星组成（图8），有12个顶点，30条棱，12个五边形面——如果诸位愿意验查，可亲自数一数。这样一来笛卡儿-欧拉论题便根本不真了，因为对此多面体，V－E＋F＝－〔17〕6。图7　开普勒的星状多面体。每一面用一种不同的方式画影，以示哪些三角形属于同一五角星面图8

DELTA：你凭什么认为你的“海胆”是一个多面体？

GAMMA：你没看见吗？这是一个多面体，其各个面是这12个五角星。它满足你最后的定义：它是“一个以下列方式安排的多边形系统：（1）每一条棱上都正好有两个多边形相交；（2）由一条不在任一顶点跨过任何棱的路线，自任一多边形的内部到任一其他多边形的内部，是可能的”。

DELTA：这样说足见你连多边形是什么都没弄明白！五角星肯定不是多边形！一个多边形是以下列方式安排的棱边系统：（1）每一顶点都正好有两条棱相交；（2）除了顶点，棱与棱之间没有在何公共点。

老师：这就叫定义4吧。

GAMMA：我不明白你为何包含了第二个分句。一个多边形的正确定义应当只包含第一个分句。

老师：定义4′。

GAMMA：第二个分句与多边形的本质无关。且看：如果我将一条边稍提起来，则五角星即使在你的意义上也是多边形。你想象的多边形是用粉笔画在黑板上的，但你本应该把它想成是木架子结构：如此则清楚了，你认为的公共点实际上并非一个点，而是一上一下的两个不同的点。你所以误入歧途，是因为你把多边形嵌在一个平面里了〔18〕——你应当让它的手脚在空间中伸展开来！

DELTA：你不介意的话，请告诉我何谓一个五角星的面积？或者你会说有些多边形是没有面积可言的？

GAMMA：说多面体与立体概念无关的人不是你自己吗？为何现在又建议应该把多边形的概念和面积的概念联系起来？我们曾达成一致，认为多面体是一个带有诸棱与顶点的闭合曲面——那么，为何不同意说，一个多边形仅仅是一个带有诸顶点的闭合曲线？但如果你〔19〕坚持己见，我愿意定义一个五角星的面积。

老师：我们暂时放下这争论，进行从前的讨论。把刚才的两个定义一起考虑——定义4和定义4′。有人能给我们的猜想举个反例，与两个多边形的定义都相吻合吗？

ALPHA：反例在此。考虑像这样的一个画框（图9）。这是一个符合迄今为止提出的所有定义的多面体。然而，你数了顶点、棱和面后，会发现V－E＋F＝0。图9〔20〕

老师：反例4。

BETA：我们猜想就此结束了。真是遗憾，它本对如此多的情况都是适用的。但看起来我们仅是在浪费时间了。

ALPHA：Delta，我目瞪口呆了。你无话可说了吗？你难道不能再来一个定义，将这个新反例排除吗？我还以为，世界上没有什么假设，你不能耍上一套恰到好处的花言巧语，将其从被证伪的水深火热之中拯救出来。你现在要放弃了？你最终承认非欧拉多面体存在了？真是难以置信！

DELTA：你应该为你那些非欧拉的害人精切实找个更贴切的名字，不要把它们叫做什么“多面体”，让大家误入歧途。不过，我渐渐对你的怪物们失去兴趣了。我对你拙劣可悲的“多面体”感到恶心，〔21〕欧拉的漂亮定理竟对它们不适用。我寻求数学中的秩序与和〔22〕谐，你却一味宣扬无序和混乱。你我的态度势不两立。

ALPHA：你真不愧是一个过时的保守党（Tory）！你谴责无政府主义者的恶作剧，搅和了你的“秩序”与“和谐”，而你却用改换字眼的建议来“解决”这些困难。

老师：我们听听这最新的挽救型定义。

ALPHA：您是说最新的语言花招，最新的“多面体”概念的收缩吧！Delta消除真正的问题，而不想解决它们。

DELTA：我不收缩概念。而你，扩展了它们。譬如，这个画框根本就不是一个货真价实的多面体。

ALPHA：为什么？

DELTA：试取“隧道”——画框包围的空间——中的任意一点。穿过这点安放一个平面。你会发现任意这样的平面总与画框有两个不同的截面，造成了两个不同的、完全隔开的多边形！（图10）图10

ALPHA：那又如何？

DELTA：如果是一个名副其实的多面体，通过空间中的任一点，至少有一个平面与多面体的截面仅由一个多边形组成。对于凸多面体，所有平面都满足此要求，不管我们在何处取点。对于普通凹多面体，一些平面会有更多的交点，但总有些平面只有一个（图11（a）和（b））。对于这个画框来说，若我们在隧道中取一点，所有平面将会有两个截面。你又怎么能称它是一个多面体呢？图11

老师：这像是另下了一个定义，这一回是个隐定义了。就叫定义〔23〕5吧。

ALPHA：有一连串反例，就有一连串与之匹配的定义！这些定义号称是不包含新东西的，仅仅是对早先的概念之丰富性的重新显示，似乎那一早先的概念碰上多少反例就自有多少“隐藏”条款。对所有多面体，V－E＋F＝2似乎是不可动摇的，是一个悠久的、“永恒的”真理。忆及它曾几何时是一个漂亮的猜想，充满着挑战与激动，倒觉得奇怪了。如今，因为你们在含义上施行奇怪的变换骗术，它已经沦为一个可怜的约定、一个可鄙的教条了。（他离开教室）

DELTA：我不能理解，为何一个能干如Alpha的人要在仅仅的捣乱、嘲弄上浪费时间。看起来，他聚精会神于创造畸形。但是，不论在自然界抑或思想界中，畸形从不促进发展。进化总是遵循着和谐与秩序井然的形式。

GAMMA：遗传学者轻易即可驳倒此观点。你没听说过，产生畸形的突变在宏观进化（macroevolution）中扮演了重要角色？他们把这种畸形的突变物叫做“有希望的怪物”。在我看来，Alpha的几个〔24〕反例虽是怪物，但却是“有希望的怪物”。

DELTA：Alpha反正已经放弃了争论。现在不再有怪物了。

GAMMA：我又有一个新怪物。它符合定义1、2、3、4、5中的所有限制，但V－E＋F＝1。这个反例5就是一个简单的圆柱体。它有3个面（顶面、底面和外套面）、两条棱（两个圆圈），没有顶点。它是一个符合你们的定义的多面体：（1）每一条棱上都正好有两个多边形相交；（2）由一条不在任一顶点跨过任何棱的路线，自任一多边形的内部到任一其他多边形的内部，是可能的。你亦须承认这些面是名副其实的多边形，因为它们符合你们的要求：（1）每一顶点都正好有两条棱边相交；（2）除了顶点，棱边与棱边之间没有任何公共点。

DELTA：Alpha扩展了那些概念，你却撕裂了它们！你的“棱”并不是棱！一条棱有两个顶点！

老师：定义6？

GAMMA：但为什么不承认有一个或可能没有顶点的“棱”与棱的关系呢？你习惯了收缩概念，可你现在让它们支离破碎，以致所剩无几了！

DELTA：但你没瞧见这些所谓的反驳是徒劳的吗？“以前，一个新多面体发明出来，是为了某个实用的目的；如今它们被专门发明出来，使我们的先辈们的推理变得不可靠，而除了这套，就没有什么其他东西可向它们请教。我们的主题被转换成一个畸形学博物馆，正派的普通多面体若在这里能保留一块很小的角落，也就觉得满足了。”〔25〕

GAMMA：我认为，倘若我们想真正深入地了解某样东西，我们必须以批判的态度，高度兴奋地、热情地研究它，而不是在其“正常的”、固定的、通常的形式下。如果你要了解正常的健康身体，在它不正常时、害病时研究它。如果你要了解各种函数，那就研究它们的奇异性。如果你要了解普通多面体，那就研究它们的极端分子。要想〔26〕让精确的分析进入该主题的核心处，就得走这条路。不过，即便你大体上正确，你没瞧见你针对这个那个问题的特定（ad hoc）方法的无效吗？如果你要寻出反例与畸形物之间的界限，你不能做做停停。

老师：我认为，我们应该拒绝接受Delta处理全局反例的策略，不过也应恭维他运用策略的娴熟巧妙。我们可以给他的方法取上一个合适的名字：怪物排除法。用此方法，可以通过对多面体、对它的定义项或对它的定义项的定义项所做的间或熟练的但总是临时的重新定义来消除任何反例。不管怎么说，我们终究应更尊敬地对待反例才行，而不应顽固地予以怪物的称号，把它们驱除掉。Delta的主要错误也许是他解释数学证明的教条主义偏见：他以为一个证明必然应证明其欲证明者。我对于证明的解释可以允许一个“错误的”猜想被“证明”，即把它分解为几个子猜想。若猜想为假，我当然可以预计至少诸子猜想之一为假。但分解仍会是有意义的！找到了一个“已证”猜想的反例，我不会感到不安；我甚至愿意开始即着手“证明”一个错误的猜想！

THETA：我不听你的。

KAPPA：他只听《新约全书》的：“但要凡事察验，善美的要持守。”（《帖撒罗尼迦前书》第5章，第21节）（c）以例外排除法改进猜想。逐步排除。策略性撤退或稳扎稳打

BETA：我猜测，先生，您正预备就您莫名其妙的评论作一番解释。然而，我对我的没耐性感到万分抱歉，我现在不得不发泄一下我受压抑的感情。

老师：请说。（ALPHA又进来了。）

BETA：我虽然觉得Delta的论点有些方面傻乎乎的，但我已相信这些论点有一个合理的内核。现在，我认为没有普遍有效的猜想，猜想仅在某一排除了例外的有限界域中有效。我反对称这些例外为“怪物”或“病态的例子”。此举会在方法论上导致决定不由这些有趣的例子的本来意义去考虑它们，但是它们是值得单独考察一番的。可我同样反对“反例”一词；这个词虽然正确地认可了它们作为例子，与支持的例子有同等地位，但从某种意义上说，其又为它们涂上了好战的色彩，以至于如Gamma者，面对它们时就恐慌起来，以至于要把美丽而精巧的证明一齐抛弃了。实际不是这样的：它们不过是例外罢了。

SIGMA：深表同意。“反例”此词散发着好斗性的气味，冒犯了那些发明了证明的人。“例外”才是正确的表达。“存在3种数学命题：“1．总为真者。此种命题不存在限制和例外，例如：一切平面三角形之内角和总等于两直角。“2．依赖于某错误原理者。故无论如何决不能承认。“3．虽立足于真原理，但仍承认某些情况下之限制或例外者……”

EPSILON：什么？

SIGMA：“……不应把错误的定理与受制于某种限定的定理混为〔27〕一谈。”俗话说：例外能反证规律。

EPSILON（向KAPPA说）：这头脑不清者是谁啊？他该学点逻辑了。

KAPPA（向EPSILON说）：还要学点非欧平面三角才是。

DELTA：不得不去预言在此次讨论中Alpha和我也许会站在同一边，我发觉这样挺使人难堪的。我们均在一命题之为真或为假的基础上争论，亦仅在欧拉定理是真还是假此一特殊问题上不一致。但Sigma盼望我们承认命题的第三种范畴，即“原理上”为真但“在某些场合容许例外”。容忍定理与例外的和平共处，不啻向数学中的混淆与无序屈服。

ALPHA: D'accord.（同意）

ETA：我一直不想打断Delta才华横溢的论述，但现在我想，若我简要解释我的智识发展的经历或许有些益处。在我的学生时代，按你们的称呼，我成了一个怪物排除者，作为守方反对Sigma一类而非Alpha一类的观点。我犹记得在一期刊上阅读到有关欧拉定理的话：“关于这定理的普遍有效性，杰出的数学家们已经提出过诸种证明了。然而这定理却碰到种种例外……有必要提醒大家注意这些例外，〔28〕因为晚近的学者们也并不总能清楚地认识它们。”这不是一篇孤立的圆滑文章。比如，还有“虽然几何学教科书与讲义总是指出欧拉的漂亮定理V＋F＝E＋2在某些情况下要受‘限制’，或谓‘似乎并不〔29〕有效’，但谁也不清楚这些例外之所以例外的真正缘由。”如今我仔细地检查这些“例外”，我得出的结论是：它们都与问题中的实体（多面体）的真实定义不相吻合。所以证明与定理便可恢复原位，而定理与例外的混乱共存便消逝了。

ALPHA：Sigma的混乱立场可为你的怪物排除法提供一个解释，但不能作为替你开脱的借口，更别说作为正当的理由。为何不通过接受反例证明书并且拒绝接受“定理”与“证明”来消除混乱局面呢？

ETA：为何我必须拒绝证明？我没瞧见它有任何一点儿错误。你瞧得见吗？在我看来，我的怪物排除比你的证明排除似乎更为合理。

老师：这场争论说明了，怪物排除如果源自Eta的两难困境，便似乎能博得一位更为同情的听众。不过，我们还是回到Beta与Sigma的讨论。把反例重新命名为例外的是Beta。Sigma与Beta的论调一致……

Beta：Sigma与我一致，我很高兴，但恐怕我不能同意他的论调。确实存在3种命题：真者、绝望的错误者、充满希望的错误者。此最末一种用加入声明诸例外的限制性条款可改进为真。我从不“认为公式属于一个未确定的有效界域。实际上，大部分公式仅当满足某些条件时方成立。如果确定了这些条件，当然还要精确确定我所使用的语〔30〕词之意义，我便消灭了所有的不确定性”。因此，如你们所见，我并不主张让未改进之公式与例外有任何形式的和平共处。我改进我的公式，让它们与Sigma在第一堂课上提出的公式一样完美化。这就意味着，只要怪物排除法用来确定原猜想的有效界域，我便接受它；而只要它当作以受限制的概念来挽救“漂亮”定理的语言花招来用，我便拒绝接受它。Delta方法的这两种功用应当分开来看。我愿意给我的方法命名为“例外排除法”，这一方法只能用第一个功用来描述。我要用它来精确确定欧拉猜想的有效界域。

老师：你许诺要给欧拉多面体“精确确定的界域”是什么？你的“完美的公式”又是什么？

BETA：对没有空腔（如嵌套立方体对则有）和隧道（如画框则有）的所有多面体，V－E＋F＝2。

老师：你肯定？

BETA：是的，我肯定。

老师：孪生四面体呢？

BETA：不好意思。对没有空腔、隧道、“多重结构”的所有多面〔31〕体，V－E＋F＝2。

老师：我明白了。我赞同你改进猜想的策略，而不只是要么接受，要么拒绝。相对怪物排除法和放弃法而言，我更倾向于采纳这一策略。然而，我有两点反对意见。第一，我坚决主张，你所声称的不但改进猜想，并且“完善”猜想、“使其严格地正确”、“使所有的不确定性消失”的方法是站不住脚的。

BETA：果真如此？

老师：你必须承认，你的每一版新猜想，只不过是对刚刚出现的一个反例的特定消灭。你意外发现嵌套立方体时，你排除带空腔的多面体。你偶然注意到画框时，你排除带隧道的多面体。我欣赏你那开

试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]

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