作者：陈峰华
出版社：清华大学出版社
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ADAMS 2018虚拟样机技术从入门到精通试读：
前言
本书介绍的软件ADAMS是专门用于机械产品虚拟样机开发的工具，通过虚拟试验和测试，在产品开发阶段就可以帮助设计者发现设计缺陷，并提出改进的方法。
ADAMS研究复杂系统的运动学关系和动力学关系，以计算多体系统动力学为理论基础，结合高速计算机来对产品进行仿真计算，得到各种试验数据，帮助设计者发现问题并解决问题。本书主要介绍ADAMS的使用方法，由于涉及较多的理论知识，尤其是力学方面的知识，因此请读者参考多体系统动力学和结构动力学方面的书籍。
本书以ADAMS 2018版本为基础，涉及的内容包括刚性体建模、柔性体建模、参数化设计、优化计算、振动分析、控制系统等，详细介绍了ADAMS/View、ADAMS/PostProcsser、ADAMS/Autoflex、ADAMS/Vibration、ADAMS/Controls、ADAMS/Car等模块的使用方法，所介绍的内容不仅仅是入门内容，更多的是高级应用的内容。
全书共分为17章，各章安排如下：
第1章 简要介绍ADAMS 2018的新功能、ADAMS软件的基本算法，包括ADAMS建模中的一些基本概念、运动学分析算法、动力学分析算法、静力学分析及线性化分析算法以及ADAMS软件积分器等内容。
第2章 首先介绍ADAMS 2018的工作界面、零件库、约束库和设计流程，然后讲解ADAMS中工作界面的设置以及物体、约束副和施加载荷的创建，最后分析讲解后处理中的动画显示和输出测量曲线等。
第3章 介绍载荷的施加方式以及各种载荷的作用，并通过实例具体讲解各种载荷的施加方式。
第4章 讲解后处理的使用方法，通过后处理计算标记点（Marker）的位移、速度和加速度，计算运动副关联的两个构件之间的相对位移、速度和加速度等。
第5章 通过一个卡车模型和3个具体实例帮助读者熟悉刚体建模、定义材料属性、施加驱动和约束及仿真分析、后处理等操作步骤，以达到掌握运用ADAMS进行刚体建模的目的。
第6章 介绍刚-柔耦合建模的知识，通过3个具体的实例讲解刚-柔耦合仿真模型的建立及求解和后处理等内容。
第7章 首先介绍多柔体仿真的工程背景，然后讲解多柔体系统动力学中的几个突出问题，最后通过两个实例具体讲解多柔体系统动力学仿真的使用方法。
第8章 首先介绍机电联合仿真的基础知识，然后对控制工具栏进行详细讲解，最后通过实例讲解机电一体化联合仿真的实践与应用。通过本章的学习，读者可以掌握利用控制器进行仿真控制设置以及实现机电一体联合仿真的方法。
第9章 首先介绍三维建模软件与ADAMS之间的交换接口，然后讲解Pro/E和SOLID模型导入ADAMS的步骤，最后给出UG与ADAMS之间双向模型交换的一个典型实例，讲解两者之间模型转换的方法。
第10章 首先对参数化建模做简单介绍，然后通过双摆臂独立前悬架机构实例对参数化建模做详尽的阐述和分析，最后利用前悬架机构优化设计分析实例对机构优化设计进行深入分析。通过本章的学习，读者可以掌握参数化建模和分析的步骤，以及通过参数化建模来分析不同变量对系统的影响。
第11章 首先介绍振动分析模块，然后通过实例讲解刚性体模型建立振动模型、振动参数的输入和输出以及模型的测试、验证、精化及优化等，最后通过实例讲解柔性体模型建立振动模型的过程。通过本章的学习，读者可以掌握振动模型的输入和输出，振动仿真模型测试、验证、精化及优化，以及结果后处理方法等相关知识。
第12章 以3个耐久性例子为基础介绍耐久性模块的使用，通过实例的学习和分析，使读者对耐久性模块能够有深入的了解和认识，学会通过耐久性模块查看模型的应力和应变信息，并生成报告文件。
第13章 首先介绍ADAMS二次开发用户界面的定制，然后讲解宏命令的使用方法，最后讲解循环命令和条件命令的使用。
第14章 首先介绍ADAMS的主要文件，然后讲解求解器（Solver）模型语言分类并对每个模型语言与语法附带一个例子，最后介绍求解器（Solver）命令及仿真控制文件。通过本章的学习，读者可以深刻理解ADAMS中几何、约束、力元等的实质，脱离ADAMS/View环境，直接利用ADAMS/Solver进行一些高级应用。
第15章 首先介绍用户子程序种类和使用的基础知识，然后通过例子讲解GFOSUB用户子程序及常用的子程序，最后对功能子程序进行概述，重点讲解SYSARY和SYSFNC功能子程序。通过本章的学习，读者将具备基本的开发用户子程序的能力。
第16章 通过简要讲解ADAMS中专业车辆模块ADAMS/Car，再通过创建悬吊系统、整车装配等来展示如何应用这个专业模块进行设计和仿真设计，使读者掌握用车辆模块创建整车模型以及进行仿真设计的方法。
第17章 首先介绍ADAMS函数的基础知识，然后通过例子讲解驱动约束、定义和调用系统状态变量、测量及请求的定义和调用等。通过本章的学习，读者将对函数有进一步的认识和了解，提高对函数的掌握和理解。
本书最后的附录给出ADAMS中常用的使用技巧，帮助读者在学习过程中更快地掌握软件的使用技巧，提高工作效率。
为方便读者上机练习，本书提供了3～12章的模型文件，读者可以扫描下面的二维码下载：
如果读者在下载过程中遇到问题，可发送邮件至booksaga@126.com获得帮助，邮件标题为“ADAMS 2018虚拟样机技术从入门到精通”。
本书使用ADAMS 2018中文版编写，但对提到的中文界面术语都加入了英文注释，因此同样适用于英文软件的读者。读者在学习过程中遇到问题时可发送邮件至comshu@126.com邮箱，编者会尽快给予解答。
虽然编者在编写本书的过程中力求叙述准确、完善，但是水平有限，书中欠妥之处在所难免，希望读者和同仁能够及时指出，共同促进本书质量的提高。编 者2019年5月第1章ADAMS 2018简介
本章主要介绍ADAMS软件的基本算法，包括ADAMS建模中的一些基本概念、运动学分析算法、动力学分析算法、静力学及线性化分析算法以及对ADAMS求解器的介绍。通过本章的学习，我们可以对ADAMS软件的基本算法有较深入的了解，为今后合理选择求解器进行仿真分析提供理论基础，为更好地使用ADAMS打下良好的理论基础。知识要点
• 掌握ADAMS软件的基本概念、运动学分析算法、动力学分析算法。
• 掌握ADAMS静力学及线性化分析算法。
• 掌握ADAMS求解器。1.1 ADAMS 2018新功能
ADAMS是由美国Mechanical Dynamics Inc公司研制的集建模、求解、可视化技术于一体的虚拟样机软件，是目前世界上使用范围最广、最负盛名的机械系统仿真分析软件。
使用这套软件可以产生复杂机械系统的虚拟样机，真实地仿真其运动过程，并且可以迅速地分析和比较多种参数方案，直至获得优化的工作性能，从而大大减少了昂贵的物理样机制造及试验次数，提高了产品设计质量，大幅度地缩短产品研制周期和费用。该软件从20世纪90年代开始在我国的机械制造、汽车交通、航空航天、铁道、兵器、石油化工等领域得到应用，为各领域中的产品设计、科学研究做出了贡献。
ADAMS包含的模块有ADAMS/View、ADAMS/PostProcsser、ADAMS/Autoflex、ADAMS/Vibration、ADAMS/Control、ADAMS/Car等。
2012版ADAMS引入了新的ADAMS/ViewFlex模块，使用户在无须脱离ADAMS环境或者依赖于外部有限元建模（FEM）或有限元分析（FEA）软件的情况下即可创建柔性体。该功能技术支持来自嵌入式MSC Nastran，整体在ADAMS后台运行实现，从而提高了设计效率，使高保真建模变得更容易。
MSC ADAMS 2018官方版是一款由msc公司推出的专业多体动力学和运动分析软件，这是最新版本，仅适用于64位操作系统，MSC ADAMS 2017可以帮助工程师快速创建和测试机械系统的模型，并拥有操作简单，分析速度快的特点。MSC ADAMS 2018新版本的ADAMS带来了全新的性能，包括模拟齿轮噪音、高效的建模命令语言等功能，同时还改进了有限元部件性能。
ADAMS 2018有以下特色：（1）软件界面友好，操作简单，易学易用。（2）三维实体、弹性体碰撞和冲击分析，摩擦、间隙分析。（3）极好的解算稳定性，最早支持SMP并行计算。（4）支持系统参数化实验设计、优化分析。（5）独特的振动分析能力，能在频域中分析机构任意运动状态下的系统振动性能。（6）提供多学科软件接口，包括与CAD、FEA、CSD（控制仿真软件）之间的接口。（7）提供凝聚了丰富行业应用经验、实际工程问题的专业化产品。
ADAMS 2018可辅助工程师研究运动部件的动力学特性以及在整个机械系统内部荷载和作用力的分布情况。用过ADAMS尽早进行系统级设计验证可以提升工程效率、降低产品开发成本。工程师可评估并管理包括运动、结构、驱动和控制在内的各学科之间复杂的相互作用，以便更好地优化产品设计的性能、安全性和舒适度。凭借广泛的分析能力，ADAMS可充分利用高性能计算环境对大型问题进行优化。1.2 ADAMS多体系统动力学的建模、分析和计算方法
ADAMS采用世界上广泛流行的多刚体系统动力学理论中的拉格朗日方程方法建立系统的动力学方程。它选取系统内每个刚体质心在惯性参考系的3个直角坐标和确定刚体方位的3个欧拉角作为笛卡儿广义坐标，用带乘子的拉格朗日方程处理具有多余坐标的完整约束系统或非完整约束系统，导出以笛卡儿广义坐标为变量的运动学方程。
ADAMS的计算程序应用了吉尔（Gear）的刚性积分算法以及稀疏矩阵技术，大大提高了计算效率。1.2.1 广义坐标的选择
动力学方程的求解速度在很大程度上取决于广义坐标的选择。研究刚体在惯性空间中的一般运动时，用它的连体基的原点（一般与质心重合）确定位置，用连体基相对惯性基的方向余弦矩阵确定方位。
为了解析和描述方位，必须规定一组转动广义坐标表示方向余弦矩阵。
• 第一种方法是用方向余弦矩阵本身的元素作为转动广义坐标，但是变量太多，同时还要附加6个约束方程。
• 第二种方法是用欧拉角或卡尔登角作为转动坐标，它的算法规范，缺点是在逆问题中存在奇点，在奇点位置附近数值计算容易出现困难。
• 第三种方法是用欧拉参数作为转动广义坐标，它的变量不太多，由方向余弦计算欧拉角时不存在奇点。
ADAMS软件用刚体的质心笛卡儿坐标和反映刚体方位的欧拉角作为广义坐标，由于采用了不独立的广义坐标，因此系统动力学方程虽然是最大数量，但却是高度稀疏耦合的微分代数方程，适用于稀疏矩阵的高效求解。1.2.2 多体系统动力学研究状况
多体系统动力学的核心问题是建模和求解，其系统研究开始于20世纪60年代。从20世纪60年代到80年代，多体系统动力学侧重于多刚体系统的研究，主要是研究多刚体系统的自动建模和数值求解。
到了20世纪80年代中期，多刚体系统动力学的研究已经取得一系列成果，尤其是建模理论趋于成熟，不过更稳定、更有效的数值求解方法仍然是研究的热点。
20世纪80年代之后，多体系统动力学的研究更偏重于多柔体系统动力学。这个领域也正式被称为计算多体系统动力学，至今仍然是力学研究中最有活力的分支之一，但已经远远超过一般力学的涵义。1．多体系统动力学研究的发展
机械系统动力学分析与仿真是随着计算机技术的发展而不断成熟的，多体系统动力学是其理论基础。计算机技术自诞生以来，几乎渗透到科学计算和工程应用的每一个领域。
数值分析技术与传统力学的结合曾在结构力学领域取得了辉煌的成就，出现了以ANSYS、NASTRAN等为代表的应用极为广泛的结构有限元分析软件。
计算机技术在机构的静力学分析、运动学分析、动力学分析以及控制系统分析上的应用在20世纪80年代形成了计算多体系统动力学，并产生了以ADAMS和DADS为代表的动力学分析软件。两者共同构成计算机辅助工程（CAE）技术的重要内容。
多体系统是指由多个物体通过运动副连接的复杂机械系统。多体系统动力学的根本目的是应用计算机技术进行复杂机械系统的动力学分析与仿真。它是在经典力学基础上产生的新学科分支，在经典刚体系统动力学的基础上经历了多刚体系统动力学和计算多体系统动力学两个发展阶段，目前已趋于成熟。
多刚体系统动力学是基于经典力学理论的，多体系统中最简单的情况（自由质点）和一般简单的情况（少数多个刚体）是经典力学的研究内容。
多刚体系统动力学就是为多个刚体组成的复杂系统的运动学和动力学分析建立适宜计算机程序求解的数学模型，并寻求高效、稳定的数值求解方法。经典力学逐步发展成多刚体系统动力学，在发展过程中形成了各具特色的多个流派。
早在1687年，牛顿就建立起牛顿方程，解决了质点的运动学和动力学问题。刚体的概念最早由欧拉于1775年提出，他采用反作用力的概念隔离刚体，以描述铰链等约束，并建立了经典力学中的牛顿-欧拉方程。
1743年，达朗贝尔研究了约束刚体系统，区分了作用力和反作用力，达朗贝尔将约束反力称为“丢失力”，并形成了虚功原理的初步概念。
1788年，拉格朗日发表了《分析力学》，系统地研究了约束机械系统。他系统地考虑了约束，提出了广义坐标的概念，利用变分原理考虑系统的动能和势能，得出第二类拉格朗日方程——最少数量坐标的二阶常微分方程（ODE），并利用约束方程与牛顿定律得出带拉格朗日乘子的第一类拉格朗日方程——最大数量坐标的微分代数方程（DAE）。
虚功形式的动力学普遍方程尚不能解决具有非完整约束的机械系统问题，1908年若丹给出了若丹原理——虚功率形式的动力学普遍方程，利用若丹原理可方便地讨论碰撞问题和非完整系统的动力学问题。
对于由多个刚体组成的复杂系统，理论上采用经典力学的方法，即以牛顿-欧拉方法为代表的矢量力学方法和以拉格朗日方程为代表的分析力学方法。
这种方法对于单刚体或者少数几个刚体组成的系统是可行的，但随着刚体数目的增加，方程复杂度成倍增长，寻求其解析解往往是不可能的。后来计算机数值计算方法的出现使得面向具体问题的程序数值方法成为求解复杂问题的一条可行道路，即针对具体的多刚体问题列出其数学方程，再编制数值计算程序进行求解。
对于每一个具体的问题都要编制相应的程序进行求解，虽然可得到合理的结果，但是这个过程长期重复是让人不可忍受的，于是寻求一种适合计算机操作的程序化的建模和求解方法就变得非常迫切了。在这个时候，也就是20世纪60年代初期，航天领域和机械领域分别展开了对于多刚体系统动力学的研究，并且形成了不同派别的研究方法。
最具代表性的几种方法是罗伯森-维滕堡（Roberson-Wittenburg）方法、凯恩（Kane）方法、旋量方法和变分方法。（1）罗伯森与维滕堡于1966年提出一种分析多刚体系统的普遍性方法，简称为R/W方法。这种方法的主要特点是利用图论的概念及数学工具描述多刚体系统的结构，以邻接刚体之间的相对位移作为广义坐标，导出适合于任意多刚体系统的普遍形式动力学方程，并利用增广体概念对方程的系数矩阵做出物理解释。
R/W方法以十分优美的风格处理了树结构多刚体系统；对于非树系统，通过铰切割或刚体分割方法将非树系统转变成树系统进行处理。（2）凯恩方法是在1965年左右形成的分析复杂系统的一种方法，利用广义速率代替广义坐标描述系统的运动，直接利用达朗伯原理建立动力学方程，并将矢量形式的力与达朗伯惯性力直接向特定的基矢量方向投影以消除理想约束力，兼有矢量力学和分析力学的特点，既适用于完整系统，也适用于非完整系统。（3）旋量方法是一种特殊的矢量力学方法（或牛顿-欧拉方法，简称为N/E方法）。其特点是将矢量与矢量矩合为一体，采用旋量的概念，利用对偶数作为数学工具，使N/E方程具有极其简明的表达形式，在开链和闭链空间机构的运动学和动力学分析中得到广泛运用。（4）变分方法是不同于矢量力学或分析力学的另一类分析方法。高斯最小拘束原理是变分方法的基本原理。保保夫和里洛夫从这一原理出发，发展了两种不同风格的计算方法。该方法有利于结合控制系统的优化进行综合分析，而且其不受铰的约束数目的影响，适用于带多个闭环的复杂系统。
这几种方法构成了早期多刚体系统动力学的主要内容，借助计算机数值分析技术，解决由多个物体组成的复杂机械系统动力学分析问题，但是多体系统动力学在建模与求解方面的自动化程度相对于结构有限元分析的成熟来说相差甚远。
正是为了解决多体系统动力学建模与求解的自动化问题，美国Chace和Haug于20世纪80年代提出了适合计算机自动建模与求解的多刚体系统笛卡儿建模方法。这种方法不同于以罗伯森-维滕堡方法为代表的拉格朗日方法，以系统中的每个物体为单元，建立固结在刚体上的坐标系。刚体的位置相对于一个公共参考基进行定义，其位置坐标统一为刚体坐标系基点的笛卡儿坐标与坐标系的方位坐标，再根据铰约束和动力学原理建立系统的数学模型进行求解。
20世纪80年代，Haug等人确立了“计算多体系统动力学”这门新的学科，使多体系统动力学的研究重点由多刚体系统走向侧重多柔体系统，柔性多体系统动力学也成为计算多体系统动力学的重要内容。
柔性多体系统动力学在20世纪70年代逐渐引起人们的注意。一些系统（如高速车辆、机器人、航天器、高速机构、精密机械等）中柔性体的变形对系统的动力学行为产生了很大影响。
二十多年来，柔性多体系统动力学一直是研究热点，这期间产生了许多新的概念和方法，有浮动标记法、运动-弹性动力学方法、有限段方法以及绝对节点坐标法等，其中浮动标记法最早是在航天领域研究中提出来的。
计算多体系统动力学是指用计算机数值手段来研究复杂机械系统的静力学分析、运动学分析、动力学分析以及控制系统分析的理论和方法。相比于多刚体系统，对于柔性体和多体与控制混合问题的考虑是其重要特征。其具体任务为：
• 建立复杂机械系统运动学和动力学程序化的数学模型。要开发实现这个数学模型的软件系统，用户只需输入描述系统的基本数据，借助计算机就能自动进行程序化处理。
• 开发和实现有效的处理数学模型的计算方法与数值积分方法，自动得到运动学规律和动力学响应。
• 实现有效的数据后处理，采用动画显示、图表或其他方式提供数据处理结果。
计算多体系统动力学的产生极大地改变了传统机构动力学分析的面貌，使工程师从传统的手工计算中解放了出来，只需根据实际情况建立合适的模型，就可由计算机自动求解，并可提供丰富的结果分析和利用手段，对于原来不可能求解或求解极为困难的大型复杂问题，也可利用计算机的强大计算功能顺利求解。而且现在的动力学分析软件提供了与其他工程辅助设计或分析软件的强大接口功能，与其他工程辅助设计和分析软件一起提供了完整的计算机辅助工程（CAE）技术。2．多体系统动力学研究活动
自20世纪60年代以来，国内外在多体系统动力学方面多次召开了深具意义的会议。国际范围内的会议有1977年由国际理论和应用力学学会（International Union of Theoretical and Applied Mechanics，IUTAM）发起的在德国慕尼黑由Magnus主持召开的第一次多刚体系统动力学讨论会。自此，国际多体系统动力学研究活动如雨后春笋般涌现。
国内有影响的教材和专著主要有：
• 刘延柱，洪嘉振，杨海兴．多刚体系统动力学[M]．北京：高等教育出版社，1989
• 黄文虎，邵成勋．多柔体系统动力学[M]．北京：科学出版社，1996
• 陆佑方．柔性多体系统动力学[M]．北京：高等教育出版社，1996
• 洪嘉振．计算多体系统动力学[M]．北京：高等教育出版社，1999轻巧提示以上教材仅提供参考，有关多体力学的图书很多，读者可自行查阅学习。3．多体系统动力学研究现状
计算多体系统动力学中所研究的多体系统根据系统中物体的力学特性可分为多刚体系统、柔性多体系统和刚柔混合多体系统。
多刚体系统是指忽略系统中物体的弹性变形而将其当作刚体来处理的系统，这类系统常处于低速运动状态。柔性多体系统是指系统在运动过程中会出现物体的大范围运动与物体的弹性变形的耦合，从而必须把物体当作柔性体处理的系统，大型、轻质而高速运动的机械系统常属于此类。如果柔性多体系统中有部分物体当作刚体来处理，那么该系统就是刚柔混合多体系统，这是多体系统中最一般的模型。1.2.3 多体系统建模理论
对于多刚体系统，从20世纪60年代到80年代，在航天和机械两个领域形成了两类不同的数学建模方法，分别称为拉格朗日方法和笛卡儿方法；20世纪90年代，在笛卡儿方法的基础上又形成了完全笛卡儿方法。这几种建模方法的主要区别在于对刚体位形描述的不同。
航天领域形成的拉格朗日方法是一种相对坐标方法，以Roberson-Wittenburg方法为代表，它以系统每个铰的一对邻接刚体为单元，以一个刚体为参考物，另一个刚体相对该刚体的位置由铰的广义坐标（又称拉格朗日坐标）来描述，广义坐标通常为邻接刚体之间的相对转角或位移。
这样开环系统的位置完全可由所有铰的拉格朗日坐标阵q所确定。其动力学方程的形式为拉格朗日坐标阵的二阶微分方程组，即
这种形式首先在解决拓扑为树的航天器问题时推出。其优点是方程个数最少，树系统的坐标数等于系统自由度，而且动力学方程易转化为常微分方程组（Ordinary Differential Equations，ODES）。但方程呈严重非线性，为使方程具有程序化与通用性，在矩阵A与B中常常包含描述系统拓扑的信息，其形式相当复杂，而且在选择广义坐标时需人为干预，不利于计算机自动建模。不过目前对于多体系统动力学的研究比较深入，采用拉格朗日方法的几种应用软件也取得了较好的效果。
对于非树系统，拉格朗日方法要采用切割铰的方法以消除闭环，这引入了额外的约束，使得产生的动力学方程为微分代数方程，不能直接采用常微分方程算法去求解，需要专门的求解技术。
机械领域形成的笛卡儿方法是一种绝对坐标方法，即Chace和Haug提出的方法，以系统中每一个物体为单元，建立固结在刚体上的坐标系，刚体的位置相对于一个公共参考基进行定义，其位置坐标（也可称为广义坐标）统一为刚体坐标系基点的笛卡儿坐标与坐标系的方位坐标，方位坐标选用欧拉角或欧拉参数。
单个物体位置坐标在二维系统中为3个、三维系统中为6个（如果采用欧拉参数为7个）。对于由N个刚体组成的系统，位置坐标阵q中的坐标个数为3N（二维）或6N（或7N）（三维）。由于铰约束的存在，因此这些位置坐标不独立。系统动力学模型的一般形式可表示为
式中，Φ为位置坐标阵q的约束方程，Φ为约束方程的雅可比矩q阵，λ为拉格朗日乘子。这类数学模型就是微分-代数方程组（Differential Algebraic Equations，DAES），也称为欧拉-拉格朗日方程组（Euler-Lagrange Equations），其方程个数较多，但系数矩阵呈稀疏状，适合计算机自动建立统一的模型进行处理。笛卡儿方法对于多刚体系统的处理不区分开环与闭环（树系统与非树系统），统一处理。目前国际上最著名的两个动力学分析商业软件ADAMS和DADS都采用这种建模方法。
完全笛卡儿坐标方法由Garcia和Bayo于1994年提出，是另一种形式的绝对坐标方法。这种方法的特点是避免使用一般笛卡儿方法中的欧拉角或欧拉参数，而是利用与刚体固结的若干参考点和参考矢量的笛卡儿坐标描述刚体的空间位置与姿态。
参考点选择在铰的中心，参考矢量沿铰的转轴或滑移轴，通常可由多个刚体共享而使未知变量减少。完全笛卡儿坐标所形成的动力学方程与一般笛卡儿方法本质相同，只是其雅可比矩阵为坐标线性函数，便于计算。
至于柔性多体系统，从计算多体系统动力学角度看，柔性多体系统动力学的数学模型首先应该和多刚体系统与结构动力学有—定的兼容性。当系统中的柔性体变形不计时就退化为多刚体系统，当部件间的大范围运动不存在时就退化为结构动力学问题。
柔性多体系统不存在连体基，通常选定一个浮动坐标系描述物体的大范围运动，物体的弹性变形将相对该坐标系定义。弹性体相对于浮动坐标系的离散将采用有限单元法与现代模态综合分析方法。
在用集中质量有限单元法或一致质量有限单元法处理弹性体时用节点坐标来描述弹性变形。
在用正则模态或动态子结构等模态分析方法处理弹性体时用模态坐标描述弹性变形。这就是莱肯斯首先提出的描述柔性多体系统的混TTT合坐标方法，即用坐标阵p=(qa)描述系统的位形，其中q为浮动坐标系的位形坐标、a为变形坐标。考虑到多刚体系统的两种流派，在柔性多体系统动力学中也相应提出了两种混合坐标，即浮动坐标系的拉格朗日坐标加弹性坐标与浮动坐标系的笛卡儿坐标加弹性坐标。
根据动力学基本原理推导的柔性多体系统动力学方程形式同式（1-1）和式（1-2），只是将q用p代替，即柔性多体系统具有与多刚体系统类似的动力学数学模型。1.2.4 多体系统动力学数值求解
多刚体系统拉格朗日方法产生的形如式（1-1）的动力学数学模型是形式复杂的二阶常微分方程组（ODES），系数矩阵包含描述系统拓扑的信息。对于该类问题的求解，通常采用符号-数值相结合的方法或者全数值的方法。
符号-数值方法是先采用基于计算代数的符号计算方法进行符号推导，得到多刚体系统拉格朗日模型系数矩阵简化的数学模型，再用数值方法求解ODE问题。鉴于计算机技术的发展，目前全数值方法也较为流行，就是将多刚体系统拉格朗日数学模型当作一般ODE问题进行求解，这方面的技术已经较为成熟。
多刚体系统笛卡儿方法产生的形如式（1-2）的动力学数学模型是著名的微分-代数方程组（DAES）。DAE问题是计算多体系统动力学领域的热点问题。
柔性多体系统的动力学数学模型形式与多刚体系统相同，借鉴多刚体系统数学模型的求解方法。只是混合坐标中描述浮动坐标系运动的刚体坐标q通常是慢变大幅值的变量，而描述相对于浮动坐标系弹性变形的坐标a却为快变微幅的变量，两类变量出现在严重非线性与时变的耦合动力学方程中，其数值计算呈病态，将出现多刚体系统中见不到的数值计算困难。
综上所述，多体系统动力学问题的求解集中于微分-代数方程组的求解。下面将简要地介绍一下DAE问题的求解方法。1．微分-代数方程组的特性
多刚体系统采用笛卡儿方法建模生成的微分-代数方程组为：其中，分别是系统位置、速度、加速度向量，是拉格朗日乘子，是时间，为机械系统惯性矩阵，Φ为约束雅可比矩阵，为外力向量，Φqq为位置约束方程。
将式（1-4）对时间求一阶和二阶导数，得到速度和加速度约束方程：
其中，称为速度右项，称为加速度右项。
给定方程组初始条件：
微分-代数方程组的特性和需要注意的问题有：微分-代数方程问题不是常微分方程（ODE）问题；由式（1-3）和（1-4）组成的微分-代数方程组是指标3问题，通过对约束方程求导，化为由式（1-3）～（1-6）组成的微分-代数方程组后，其指标降为1；微分-代数方程数值求解的关键在于避免积分过程中代数方程的违约现象；初值式（1-7）与位置约束式（1-4）及速度约束式（1-5）的相容性；微分-代数方程组的刚性问题。2．微分-代数方程组积分技术
自20世纪70年代以来，国际上对微分-代数方程问题做了大量的研究，新的算法不断涌现。根据对位置坐标阵和拉格朗日乘子处理技术的不同，将微分-代数方程组问题的处理方法分为增广法和缩并法。（1）增广法
传统的增广法是把广义坐标加速度和拉格朗日乘子λ作为未知量同时求解，再对加速度进行积分，求出广义坐标速度及广义坐标位置q，包括直接积分法和约束稳定法。近十年来，在传统增广法的基础上又发展形成了超定微分-代数方程组（ODAEs）方法等新的算法。
• 直接积分法：将式（1-3）和（1-6）联立在一起，同时求出与λ，然后对积分得和q。该方法未考虑式（1-4）和（1-5）的坐标和速度违约问题，积分过程中误差积累严重，极易发散。在实际的数值计算过程中，并不直接采用直接积分法，但在直接积分法的基础上发展了一系列控制违约现象的数值方法。
• 约束稳定法：将控制反馈理论引入微分-代数方程组的数值积分过程以控制违约现象。通过把式（1-6）右边量替换为含位置约束和速度约束的参数式，保证位置约束和速度约束在式（1-3）和（1-6）联立求解时恒满足。该方法稳定性好，响应快，但如何选择参数式中速度项和位置项适当的系数是一个问题。
• 超定微分-代数方程组（ODAEs）法：将系统速度作为变量引入微分-代数方程组，从而将原来的二阶DAE化为超定的一阶DAE，再为所得方程组引入未知参数，根据模型的相容性消除系统的超定性，如此可使数值计算的稳定性明显改变；或者将系统位置、速度、加速度向量和拉格朗日乘子向量联立作为系统广义坐标，再将由式（1-3）、（1-4）、（1-5）和（1-6）组成的微分-代数方程组及速度与位置、加速度与速度的微分关系式作为约束，化二阶DAE为超定的一阶DAE，再根据系统相容性引入两个未知参数，消除超定性，这样所得的最终约化模型更为简单，但方程组要多n个。在ODAE方法的基础上产生了一系列新的更为有效的算法。
• 解耦ODAE法：在ODAE方法的基础上，发展形成了一类解耦思想，就是在ODAEs的基础上对常用的隐式ODE方法采用预估式，再按加速度、速度和位置的顺序进行求解。后来进一步发展形成了无须对隐式ODE方法利用预估式的解耦思想，进一步提高了效率。（2）缩并法
缩并法就是通过各种矩阵分解方法将描述系统的n个广义坐标用p个独立坐标表达，从而将微分-代数方程组从数值上化为与式（1-1）类似的数学模型，以便于用ODE方法进行求解。传统的缩并法包括LU分解法、QR分解法、SVD分解法以及可微零空间法等，后来在传统缩并法的基础上产生了局部参数化缩并方法等新的算法。缩并法中的这些具体方法分别对应着约束雅可比矩阵的不同分解。
• LU分解法：又称为广义坐标分块法。把广义位置坐标q用相关坐标u和独立坐标ν分块表示，再将约束雅可比矩阵Φ用qLU分解法分块，得到广义坐标速度、加速度用独立坐标速度、加速度表达的式子。将这两个表达式代入式（1-3），就可得到形如式（1-1）的关于独立坐标加速度的二阶微分方程。该算法可靠、精确，并可控制误差，但效率稍低。
• QR分解法：通过对约束雅可比矩阵Φ正交分解的结果做微分q流型分析，得到可选作受约束系统独立速度的，并将微分-代数方程组化作二阶微分方程，如此可保证在小时间间隔内由积分引起的广义坐标的变化不会导致大的约束违约。
• SVD分解法：把约束雅可比矩阵Φ做奇异值分解所得的结果q分别用于式（1-3）和（1-6），得到缩并后的系统动力学方程。在该方法推导过程中没有用到式（1-4）和（1-5），所以也存在位置和速度违约问题，可用约束稳定法改善其数值性态。
• 可微零空间法：通过Gram-Schmidt正交化过程自动产生约束雅可比矩阵Φ的可微、唯一的零空间基来对系统方程降q阶。具体做法是对由和任意矩阵构造的矩阵采用Gram-Schmidt正交化过程，将P化为正交非奇异矩阵V。再引入新的速度矢量，使满足，将新速度矢量和加速度矢量按正交化结果分块，得到新的独立速度矢量和加速度矢量。如此可将微分-代数方程组化为关于新的独立加速度矢量的动力学方程。
• 局部参数化缩并方法：先将式（1-3）～（1-6）改写为等价的一阶形式，再用微分流形理论的切空间局部参数化方法将
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