作者：圣才电子书
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北京大学数学系《高等代数》（第3版）配套题库【名校考研真题＋课后习题＋章节题库＋模拟试题】（上册）试读：
第一部分 名校考研真题
第1章 多项式
一、判断题
1．设Q是有理数域，则P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域，其中．（ ）[南京大学研]【答案】对【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α＋βi，b＝α＋112βi其中α，α，β，β为有理数，故21212
a±b＝（α＋βi）±（α＋βi）＝（α±α）＋（β±β）i∈P11221212
ab＝（α＋βi）（α＋βi）＝（αα－ββ）＋（αβ＋αβ）i112212121221∈P
又令c＝α＋βi，d＝α＋βi，其中α，α，β，β为有理数且d33443434≠0，即α≠0，β≠0，有44
综上所述得P为数域．
2．设f（x）是数域P上的多项式，a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k重根（k≥1）并且f（a）＝0，则a是f（x）的k＋3重根．（ ）[南京大学研]【答案】错k2＋3【解析】反例是f（x）＝（x－a）＋（x－a），这里f（a）＝k0，并且f‴（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）满足a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k重根（k≥1）．4
3．设f（x）＝x＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可约．（ ）[南京大学研]【答案】对432【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y＋4y＋6y＋8y＋2，故由艾森斯坦因判别法知，它在有理数域上不可约．
二、计算题32
1．f（x）＝x＋6x＋3px＋8，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研]2
解：f′（x）＝3（x＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则2（1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））＝x＋4x＋43
所以x＋2是f（x）的三重因式，即f（x）（x＋2），这时f（x）的三个根为－2，－2，－2．（2）若p≠4，则继续辗转相除，即
当p＝－5时，有（f（x），f′（x））＝x－12
即x－1是f（x）的二重因式，再用（x－1）除f（x）得商式x＋8．故322
f（x）＝x＋bx－15x＋8＝（x－1）（x＋8）
这时f（x）的三个根为1，1，－8．
2．假设f（x）与f（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多1242343项式，且x＋x＋1整除f（x）＋xf（x），试求f（x）与f（x）1212的最大公因式．［上海交通大学研］
解：设6次单位根分别为623242
由于x－1＝（x）－1＝（x－1）（x＋x＋1），所以ε，ε，1242ε，ε是x＋x＋1的4个根.454234333
由于ε＝ε＝－1，且x＋x＋1∣f（x）＋xf（x），所以，1512343分别将ε，ε代入f（x）＋xf（x）可得1512
从而f（－1）＝f（－1）＝012
即x＋1是f（x）与f（x）的一个公因式．12343
同理，将ε，ε代入f（x）＋xf（x）可得f（1）＝f（1）241212＝0，即x－1是f（x）与f（x）的一个公因式．12
所以（x－1）（x＋1）是f（x）与f（x）的一个公因式．12
又因为f（x），f（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项122式，所以（f（x），g（x））＝x－1
三、证明题nn
1．设不可约的有理分数p/q是整系数多项式f（x）＝ax＋ax01－1＋…＋ax＋a的根，证明：q∣a，p∣a[华中科技大学研]n－1n0n
证明：因为p/q是f（x）的根，所以（x－p/q）∣f（x），从而（qx－p）∣f（x）．又因为p，q互素，所以qx－p是本原多项式[即多项式的系数没有异于±l的公因子]，且n－1
f（x）＝（qx－p）（bx＋…＋b，b∈zn－10i
比较两边系数，得a＝qb，a＝－pb⇒q∣a，p∣a0n－1n00n
2．设f（x）和g（x）是数域P上两个一元多项式，k为给定的正kk整数．求证：f（x）∣g（x）的充要条件是f（x）∣g（x）[浙江大学研]
证明：（1）先证必要性．设f（x）∣g（x），则g（x）＝f（x）kkkh（x），其中h（x）∈P（x），两边k次方得g（x）＝f（x）h（x），kk所以f（x）∣g（x）kk（2）再证充分性．设f（x）∣g（x）（i）若f（x）＝g（x）＝0，则f（x）∣g（x）（ii）若f（x），g（x）不全为0，则令d（x）＝（f（x），g（x）），那么
f（x）＝d（x）f（x），g（x）＝d（x）g（x），且（f（x），111g（x））＝1①1kkkkkk
所以f（x）＝d（x）f（x），g（x）＝d（x）g（x）11kkk
因为f（x）∣g（x），所以存在h（x）∈P[x]（x），使得g（x）k＝f（x）·h（x）kkkk
所以d（x）g（x）＝d（x）f（x）·h（x），两边消去11kkkd（x），得g（x）＝f（x）·h（x）②11k
由②得f（x）∣g（x），但（f（x），g（x））＝1，所以f（x）11111k－1∣g（x）1
这样继续下去，有f（x）∣g（x），但（f（x），g（x））＝11111
故f（x）＝c，其中c为非零常数．l
所以f（x）＝d（x）f（x）＝cd（x）⇒f（x）∣g（x）1
3．设f（x），g（x）都是P[x]中的非零多项式，且g（x）＝ms（x）g（x），这里m≥1．又若（s（x），g（x））＝1，s（x）∣11f（x）．证明：不存在f（x），r（x）∈P[x]，且r（x）≠0，∂1（r（x））＜∂（s（x））使 ①
[浙江大学研]
证明：用反证法，若存在f（x），r（x）使①式成立，则用g（x）1乘①式两端，得
f（x）＝r（x）g（x）＋f（x）s（x）②11
因为s（x）∣f（x），s（x）∣f（x）s（x），由②式有s（x）∣1r（x）g（x）．1
但（s（x），g（x））＝1，所以s（x）∣r（x）．这与∂（r（x））1＜∂（s（x））矛盾．
4．设f（x）是有理数域上n次[n≥2]多项式，并且它在有理数域上不可约，但知f（x）的一根的倒数也是f（x）的根．证明：f（x）每一根的倒数也是f（x）的根．[南开大学研]
证明：设b是f（x）的一根，1/b也是f（x）的根．再设c是f（x）的任一根．下证1/c也是f（x）的根．
令g（x）＝f（x）/d，其中d为f（x）的首项系数，不难证明：g（x）与f（x）有相同的根，其中g（x）是首项系数为l的有理系数不可约多项式．nn－1
设g（x）＝x＋ax＋…＋ax＋a，（a≠0）．由于n－1100nn－1
b＋ab＋…＋ab＋a＝0①n－110nn－1（1/b）＋a（1/b）＋…＋a（1/b）＋a＝0n－110nn－1
⇒ab＋ab＋…＋a b＋1＝001n－1nn－1
⇒b＋（a/a）b＋…＋（a /a）b＋1/ a＝0 ②10n－100
由g（x）不可约及①，②两式可得1/a＝a，a/a＝a（i＝00i0n－i1，2，…，n－1）．故
a＝±1，a＝±a（i＝1，2，…，n－1）③0in－i
由③式可知，当f（c）＝0时，有f（c）＝0，且g（1/c）＝0，从而f（1/c）＝0．
5．设f（x）是复系数一元多项式，对任意整数n有f（n）都是整数．证明：f（x）的系数都是有理数．举例说明存在不是整系数的多项式，满足对任意整数n，有f（n）是整数．［浙江大学研］
证明：设f（x）＝g（x）＋ih（x），g（x），h（x）∈R[x]
由于∀n∈Z，f（n）＝g（n）＋ih（n）∈Z，所以h（x）＝0．
下证g（x）∈Q[x]．事实上，令m
g（x）＝a＋ax＋…＋ax，a≠0，a∈R，i＝1，2，…，m01mmi
则有
a＋a＋…＋a＝g（1）∈Z，01mm
a＋a·2＋…＋a·2＝g（2）∈Z，01m
⋮m
a＋a（m＋1）＋…＋a（m＋1）＝g（m＋1）∈Z.01m
记
则有（a，a，…，a）T＝（g（1），g（2），…，g（m＋1））①01m
又显见∣T∣＝m!（m－1）!…2!1!≠0，由①式得－1（a，a，…，a）＝（g（1），g（2），…，g（m＋1））T01m－1
这里T是有理数域上的矩阵，g（1），g（2），…，g（m＋1）均为整数，所以a，a，…，a∈Q．因此f（x）＝g（x）∈Q[x]．01m22
取f（x）＝x/2－1/2，有f（x）＝（x－n）（x/2＋n/2）＋（n－1）/2
可见存在不是整系数的多项式f（x），对任一整数n，有f（n）＝2（n－1）/2∈Z．
第2章 行列式
一、填空题*－1*
设A是3阶方阵A的伴随阵，∣A∣＝－1/2，则∣A－2A∣＝______．［华东师范大学研］【答案】－16－1*－1*【解析】因为∣A∣·∣A－2A∣＝∣AA－2AA∣＝∣E－2∣A∣E∣＝3∣2E∣＝2，所以
二、计算题
1．计算n阶行列式
[武汉大学研]
解：利用行列式的性质，对原n阶行列式进行化简，得以下（n＋1）阶行列式
2．计算n阶行列式
[上海交通大学研]
解：将D按第n列拆分得n
对如上第一个行列式r－r（i＝n，n－1，…，2），第2个行列i－1i式按第n列展开得
又D＝aa＋aa＋aa，故2010212
D＝aa…a＋aa…aa＋…＋aaa…an01n－101n－2n123n
3．设，又A为A中的（i，j）元素在∣A∣中的ij代数余子式，试求．［南开大学研］
解：解法1：因为
所以A可逆．又
所以
即
从而
解法2：同解法1，∣A∣＝－16，又因为
所以
从而
4．计算n阶行列式
其中x＝yz．[武汉大学研]
解：按第1行展开得 ①nnn－1
由①式得D＝D＋x＝（D＋x）＋x＝…＝（D＋nn－1n－2234n－1n2n－1nx）＋x＋…＋x＋x＝1＋x＋x＋…＋x＋x。
三、证明题1－n
若n阶方阵A与B只是第j列不同，试证2∣A＋B∣＝∣A∣＋∣B∣．[北京航空航天大学、华中师范大学研]
证明：设
则
于是1－n
所以∣A∣＋∣B∣＝2∣A＋B∣．
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]