作者：（美）布莱恩·克里斯汀,（美）汤姆· 格里菲思
出版社：中信出版社
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算法之美试读：
序言
假设你想租房子，正在旧金山四处寻找房源。旧金山可能是整个美国最难找房子的城市了。由于技术产业的蓬勃发展，再加上城市区划法律严格限制建造新住房，旧金山的房租已经与纽约不相上下，甚至比纽约还高。房源清单列出来几分钟，房子就会被人们一抢而空。通常情况下，只有第一个把定金支票塞到房东手里的人，才能拿到房子的钥匙。
理论上讲，认真调查、仔细斟酌是理性消费者的一大特征，但是旧金山的残酷市场并没有为他们留有权衡考虑的机会。在购物中心或者网上购物时，人们可以反复权衡再做出决定，但是将要入住旧金山的租客没有这个特权，他们必须迅速做出决定：要么舍弃其他所有可能的选择，就选定当前正在看的这套房子，要么掉头就走，再也不要回头。
简单起见，我们姑且假设，你唯一关心的就是尽最大可能增加挑中最理想公寓的机会。你的目标是把“看过的好房子被人挑走”与“还有好房子没来得及看”这两种遗憾的发生概率降至最低。于是，你立刻发现自己陷入了两难境地：如果没有衡量的标准，如何判断一套公寓是否是最合适的呢？如果你不先看一些公寓（这些公寓将被你放弃），又如何确定衡量标准？你收集的信息越多，越能在最合适的机会出现时准确地认出它，但是你已经与最合适的机会失之交臂的可能性也越高。
那么，到底该怎么办？如果收集信息的行为会危及结果，那么怎样才能在掌握足够多信息的基础上做出明智决定呢？这个令人极其为难的情境近乎于一个悖论。
在被问及此类问题时，大多数人凭直觉给出的回答可能大致如此：这需要在继续挑选与立刻下手之间达成某种平衡。也就是说，你必须先看足够多的房子，确定一个标准，然后接受符合这个标准的房子。事实上，平衡概念正是解决这类问题的关键。但是，大多数人根本无法确定这个平衡点在哪里。好消息是，这个平衡点已经被找出来了。
答案就是37%。
如果你希望选中最合适公寓的可能性达到最大，那么在看前37%的房子时不要做出任何决定（如果你准备花一个月的时间挑选房子，那么在前11天不要做出决定）。这段时间你是在为制定标准做准备，因此看房子时把银行卡放在家里吧。但是，过了这个时间点之后，你就要做好随时签约的准备（包括准备好定金等），一旦你对某套房子的满意程度超过之前看过的所有房子，就立刻下手。在继续挑选与立刻下手之间做出的这种妥协，并不仅仅是一种直觉，而是已经得到证明的最优解。
我们知道这个答案，是因为找房子问题属于数学上被称作“最优停止”（optimal stopping）的一类问题。37%法则明确了解决这些问题的一系列简单步骤（计算机科学称之为“算法”）。事实证明，找房子仅仅是最优停止问题在日常生活中的表现形式之一。在面临一连串选择时如何做出决定的难题，经常会改头换面，以不同的形式出现在我们的生活当中。在驶入停车位之前，需要绕整个停车场多少圈？在商业风险中何时套现脱身？在买房子或者停车时，何时是结束观望、做出决定的最佳时机？
在约会这个更加令人头疼的问题上，人们也经常要面对这样的难题。最优停止理论是一夫一妻婚姻制度催生的科学。
每天，人们都要面临最优停止问题的困扰（当然，诗人更愿意追逐的话题肯定是求婚带来的烦恼，而不是停车时的两难境地），有时甚至会因此而痛苦不堪。不过，我们大可不必如此，因为这类问题至少可以通过数学方法来解决。借助并不繁复的算法，我们不仅可以解决找房子的问题，生活中遭遇的所有最优停止问题都可以被妥善处理。
从本质上讲，我们身边经常出现因为租房子、停车、求婚而感到苦恼的人，这些人其实就是在自寻烦恼。他们需要的不是治疗师，而是一种算法。治疗师告诉他们要在冲动与多虑之间找到一个正确的、舒服的平衡点。
算法告诉他们这个平衡点就是37%。※—※—※
由于我们生活在有限的时间和空间之中，因此所有人都会面临一系列特定的问题，诸如在一天或者十年里，哪些事必须做，哪些事应当放手？如何在尝试新的体验与从事自己喜爱的活动中取得平衡，才能生活得惬意自在、心满意足？
这些问题看起来似乎都是人类特有的，其实不然。半个多世纪以来，计算机科学家苦苦思考的问题（有很多已经得到妥善解决）与这些日常难题在本质上并无区别。例如，处理器在执行用户请求时应该如何分配自己的“注意力”，才能降低费用、节省时间？在什么情况下应该在不同任务之间来回切换？刚开始应该接受多少任务量？如何利用有限的存储资源取得最佳效果？应该收集更多数据，还是根据已收集的数据采取行动？对人类而言，如何把握今天可能不是一件易事，但是我们身边的计算机可以轻轻松松地把握每一毫秒。显然，计算机有很多值得我们借鉴的地方。
将算法与人类生活相提并论似乎是一件很奇怪的事。在很多人看来，“算法”这个词意味着神秘莫测的谋划与操作，与大数据、大政府、大企业有密切的联系，正在逐渐变成现代社会基础架构中一个越来越重要的部分。其实，算法指的就是解决问题的一系列步骤，其含义远不限于计算机，存在的历史也远远长于计算机。在计算机开始使用算法之前，人类早就将算法应用到生活当中了。“算法”（algorithm）一词得名于波斯数学家花拉子密。公元9世纪，这位数学家写过一本书，讨论用纸笔解决数学问题的技巧。［书名为“al-Jabr wa’l-Muqabala”，其中的“al-jabr”就是后来“algebra”（代数）这个词的前身。］不过，最早的数学算法早于花拉子密。在巴格达附近出土的4000年前的苏美尔人泥板文献上，就刻有一幅长除法示意图。
但是，算法不仅限于数学。在按照食谱介绍烤面包时，食谱上的所有步骤就是一个算法。按照图样编织毛衣时，这份图样就是一个算法。使用鹿角的末端连续精确地敲打，使石器形成锋利的刃的过程（这是制作精密石器的一个关键步骤），也遵循着一个算法。从石器时代开始，算法就已经是人类生活的一部分了。※—※—※
本书将探讨人类事务算法设计这个概念，以帮助人们更好地处理日常生活中遇到的难题。将计算机科学的研究方法应用于日常生活，可以在多个层面上产生深远的影响。首先，它可以提供切实有效的建议，帮助我们解决具体问题。例如，最优停止理论可以告诉我们何时应该小心观察，何时应该果断行动；探索-利用平衡理论教会我们如何在尝试新事物与因循守旧之间找到平衡点；排序理论可以帮我们判断出是否需要以及如何整理办公室；缓存理论可以帮助我们合理地填充橱柜；日程安排理论则可以提供合理安排时间的高招。
其次，计算机科学还为我们理解这些领域的深层次运行规则提供了一套语汇。卡尔·萨根指出：“与其说科学是大量知识的汇总，不如说它是一种思考方式。”即使生活中的某些情况非常复杂，我们无法进行严格的数值分析，找不到任何现成的答案，我们也可以考虑这些问题的简单化表现形式，从而得出某些直觉和概念，帮助我们理解其中的关键环节并取得进展。
从更广泛的意义上看，借助计算机科学，我们可以了解人类思想的本质和理性的意义，学会回答如何度过一生这个最古老的问题。把认知视为一种解决周围环境所造成的问题（从本质上看，都是一些计算问题）的手段，并认真地加以研究，就有可能彻底改变我们对人类理性的理解。
认为研究计算机内部运行机制能够帮助我们学会思考与决策、判断某个事物是否可信、选择行为方式的观点，在很多人看来，不仅把问题过于简单化了，而且具有误导性。即使计算机科学告诉我们应该如何思考、应该采取哪些行动，我们愿意接受吗？读一读讲人工智能和机器人的科幻小说就会发现，那样的生活似乎都不是我们所向往的。
之所以如此，部分原因是我们把计算机看成了机械呆板的确定性系统——这些机器借助严谨的演绎逻辑，通过穷举所有可选方案，无论花费多少时间、问题难度如何，它都可以给出完全正确的答案。事实上，在阿兰·图灵当时的想象中，计算机就应该是这样。这位第一个设想出计算机的人通过类比的方式给出了计算的定义，而类比的原型就是认真钻研的人类数学家——他们通过长长的计算步骤，最终得出绝对正确的答案。
因此，当人们发现现代计算机处理难题的方式与他们对计算机的认识并不一致的时候，他们也许会大吃一惊。当然，简单的算术对现代计算机而言没有任何难度。目前，计算机科学面临的最难解决的问题其实是人机对话、修复破损文件、下围棋取胜，这些问题都具有规则不明确、所需信息不全，或者需要考虑无数种可能性才可以找出正确答案的特点。研究人员已经开发出各种算法，使计算机在解决难度极大的问题时不需要完全依赖穷举计算。要解决这些来自现实世界的任务，就必须正确处理好可能性问题，利用粗略估算，在时间与精确度之间做出某种妥协。
随着计算机处理现实任务的能力不断增强，计算机算法不仅对于人类自己的生活具有借鉴意义，同时还为人们理解人类认知提供了一个更好的比较标准。在过去的一二十年里，行为经济学对人类进行了非常具体的研究，结果发现，人类是不理性的，很容易犯错误，而问题的源头在很大程度上就是大脑这个古怪而独特的硬件。这种自我贬低的认识越来越普遍，却无法解释某些令人困惑的问题。例如，在完成包括想象、语言、因果推理在内的大量认知任务时，4岁儿童的能力仍然超过成本高昂的超级计算机，这到底是什么原因？
从计算机科学为日常问题提供的解决方案可以看出，人类思维具有另外一种特点——人生充满了难以解决的问题。人经常犯错误，虽然这可以说明人类大脑容易出错，但是也表明这些问题具有难以解决的本质特点。通过算法来思考我们周围的世界，了解我们所面临问题的基本结构以及计算机给出的解决方案的特性，可以帮助我们真实地了解我们自己，更好地理解我们所犯的那些错误。
事实上，人类需要不断面对计算机科学所研究的一些高难度问题，在不确定性及时间有限、信息不全、情况瞬息万变等不利因素的干扰下做出决定。针对一些问题，即使最前沿的计算机科学也没能开发出永远不会犯错误的有效算法，有的情形似乎是任何算法都无法解决的。
不过，尽管有的现实问题异常复杂，人们还没有开发出完善的算法，但是一代代计算机科学家一直在与这些难题斗争，并且在这个过程中得出了深刻而独到的见解。这些来之不易的真知灼见与我们对理性的直觉认识并不一致，与数学家对周围世界的精确描述也迥然不同——数学家一心想要把这个世界变成整齐划一的线条。计算机科学告诉我们：不要总是考虑所有的可选方案；不必每次都追求最佳结果；偶尔犯点儿错误；放下包袱，轻装前进；有的事情可以暂时放一放；相信自己的本能，不要过多思考；放松自己；采用抛硬币的方式；要体谅，但是不能忘记；忠于自我。
用计算机科学的智慧指引自己的人生之路，这似乎是一条不错的建议。毕竟，与大多数建议不同的是，这条建议有据可依。※—※—※
当初，算法设计在各学科的夹缝中找到了立足之地，它是数学与工程技术糅合而成的怪异混合体。现在，为人类设计算法的工作也面临相同的境遇——找不到一个现成的归属学科。今天的算法设计不仅需要借助计算机科学、数学和工程技术，还需要得到统计学、运筹学等相关领域的帮助。此外，我们不仅需要考虑计算机算法设计与人类思维活动之间的关系，还需要认真研究认知学、心理学、经济学等学科。
本书作者都有跨学科工作与研究的经历。布莱恩学习的是计算机科学和哲学，研究生阶段学习的是英语，毕业之后从事的是与这三个学科都相关的工作。汤姆学的是心理学和统计学，在加州大学伯克利分校从教期间，他主要研究人类认知与计算之间的关系。但是，人类算法设计涉及多个领域，任何人都不可能是所有领域的专家。因此，在探索研究方便人类生活的算法时，我们还与过去50年最著名的算法专家进行了交流，询问这些全世界最聪明的人，他们的研究对他们自己的生活（包括寻觅配偶、收拾衣帽鞋袜）到底产生了什么样的影响？
接下来，我们就将开始引领大家游览这个神秘的领域。首先，我们将讨论计算机与人类大脑都需要面对的巨大挑战：如何应对有限空间、有限时间、有限注意力、未知的未知事物、不完整的信息与不可预见的未来给我们造成的麻烦，如何镇定自若、充满自信地面对这些麻烦，如何与其他人一起，共同面对这些麻烦，我们将讨论这些难题的基本数学结构，了解计算机解决大多数难题的设计原理（有时，这些设计甚至与我们的想象背道而驰）。此外，我们还将了解人脑的工作原理，了解人脑在解决相同类型问题、应对相同限制条件时有哪些独特且密切相关的处理方式。最终，我们不仅将得到有助于解决身边问题的一系列具体建议，学会在面临最复杂人类困境时有助于我们看清其脉络结构的新方法，还可以清醒地认识到人与计算机深度融合过程中的痛苦与艰辛。此外，我们还会有一些意义更加深刻的收获：一套描述周围世界的全新语汇以及一个从全新角度了解自己的机会。最优停止理论 如何选择停止观望的时01机？约翰尼斯·开普勒所有的基督徒都会在结婚请柬的最前面郑重宣布，他们走进婚姻的殿堂是遵从上帝的特别安排。但是，我要站在哲学的角度，详细地探讨这个问题……简·奥斯汀，《爱玛》如果你觉得马丁先生是最优秀的人选，如果你觉得与他相处最为融洽，那么你还犹豫什么呢？
对于在中学时代就建立了恋爱关系的大一新生而言，感恩节就是一个严峻的考验：因为回家度过短短4天的假期之后，很多恋人就劳燕分飞了。大学辅导员把这个普遍现象称作“放弃火鸡”。
大一新生布莱恩就面临着这个问题。他中学时的女友在另外一所大学，天各一方的两个人不仅需要解决空间距离造成的麻烦，还需要认真思考一个问题：他们两人之间的感情到底有多深？他们从来没有考虑过这个具有哲学深度的问题。由于没有类似的感情可以参考，他们无从回答这个问题。于是，焦虑不安的布莱恩找到辅导员，向她寻求帮助。辅导员知道这是新生经常遭遇的一个典型难题，所以她用一种极其冷淡的语气给出了自己的建议：“先收集一些数据吧。”
显而易见，在连续性单配偶的生活方式中，人们不可避免地会遇到一个非常重要的问题：接触多少人之后，才可以确定自己的理想伴侣？如果在收集数据的过程中与自己的“真命天子”失之交臂，那该怎么办？这似乎成了感情问题上无解的“第22条军规”。
我们知道，这个令大一新生忧心忡忡、牢骚满腹的“第22条军规”其实就是数学界的“最优停止问题”，它的答案其实很简单，就是37%。
当然，前提条件是你愿意在爱情问题上做出各种假设。秘书问题
在所有最优停止问题中，最大的难点不在于选择哪一种可选方案，而是确定自己需要考虑多少种可选方案。这些问题往往会引发不同的后果，不仅陷入爱河的人和需要租房的人必须慎重考虑，司机、房主、入室行窃者等也常常面临同样的抉择。“37%法则”源于所谓的“秘书问题”——最优停止问题中最著名的一类难题。秘书问题的情境与我们前面考虑过的租房难题十分相似。假设一堆人申请一个秘书岗位，而你是面试官，你的目标是从这堆申请人中遴选出最佳人选。你不知道如何给每一名申请人评分，但是可以轻松地判断哪一名申请人更加优秀。（用数学语言来表述，就是说你只能看到序数，即申请人相互比较的排名，但是无法看到基数，即在一般性评分标准下的得分。）你按照随机顺序，每次面试一名申请人。你随时可以决定将这份工作交给其中一人，而对方只能接受，于是面试工作就此结束。但是，一旦你否决其中一名申请人，就不能改变主意再回头选择他。
普遍认为，秘书问题第一次出现在出版物中是在1960年2月，那一期的《科学美国人》杂志在马丁·伽德纳最喜欢的栏目——“趣味数学”专栏中刊登了几个难题，其中之一就是秘书问题，不过当时没有明确地提到“秘书”这个词。但是，这个问题到底从何而来，这是一个非常神秘的谜。除了一些推测以外，初期的调查没有任何确凿的结论。随后，我们风尘仆仆地赶到斯坦福大学，查阅伽德纳的文书档案。伽德纳在20世纪中期留下来的那一盒盒书信，出乎意料地把我们的调查变成了侦探工作。阅读书信有点儿像偷听别人打电话，你只能听到通话一方所说的话，因此需要推断另一方到底说了什么。从这些回信看，大约50年前，伽德纳本人似乎正在调查秘书问题的来源。但是，看完这些书信，我们更是一头雾水了。
哈佛大学数学家弗雷德里克·莫斯特勒回忆说，1955年，他听同事安德烈·格里森提到过这个问题，而格里森又是从其他人那里听说的。阿尔伯塔大学的里奥·莫泽在信中说，他曾经在波音公司R.E.加斯克尔的“笔记”中看到过这个问题，而加斯克尔本人则说他是从一位同事那里听说这个问题的。罗格斯大学的罗杰·平克汉姆称，他是1955年从杜克大学数学家J.舍恩菲尔德那里第一次听说秘书问题的，他还说：“我记得，他说他是从密歇根大学的某个人那里听说的。”
几乎可以肯定，“密歇根大学的某个人”其实就是梅里尔·弗拉德。尽管在数学界以外几乎没有人知道弗拉德，但是他对计算机科学的影响很难被忽略。他把“旅行商问题”（我们将在第8章深入讨论）变成了一个广为人知的内容，还设计了“囚徒的困境”（参见第11章），甚至“软件”（software）一词也可能是他造出来的。1958年，他成了已知的第一个发现37%法则的人，同时他宣称，他从1949年就开始考虑这个问题了。但是，在说到最初来源时，弗拉德本人提到了另外几名数学家。
秘书问题是一个近乎完美的数学难题：问题本身表述简单，解题难度非常高，答案简洁明了，而影响力又足以让人产生浓厚的兴趣。因此，通过人们的口口相传，这个问题以燎原之势在20世纪50年代的数学界迅速蔓延开来。1960年，在伽德纳专栏的推波助澜之下，它又大大地激发了普通大众的想象力。至20世纪80年代，秘书问题已经变成了一个研究分支，无数人撰文讨论这个问题及与其相关的变体。
至于这个问题是如何与秘书产生联系的，这是一个非常有意思的过程——每种文化的社会偏爱都会对社会的形式系统产生影响。例如，在我们的心中国际象棋是中世纪欧洲人的象征，但是实际上国际象棋起源于8世纪的印度。15世纪，粗暴的“欧洲化”过程把沙阿（即国王）变成了王，维齐尔（即高官）变成了王后，而大象则成了基督教主教的形象。最优停止问题同样有多种不同化身，每种化身都是当时关注热点的某种反映。19世纪，最优停止问题的典型形式是巴洛克彩票和女性挑选求婚者的行为；20世纪初，常见的表现形式是驾车度假的人挑选宾馆、男性选择约会对象；在官僚作风盛行、男性占主导地位的20世纪中叶，最典型的最优停止问题是讨论男性老板如何挑选女性助手的问题。第一次明确提出“秘书问题”的是发表于1964年的一篇论文，自此之后，这个名称就再也没有发生变化。37%从何而来？
在选择秘书时，遴选程序停止过早或者过晚都会导致不理想的结果。停止过早，最优秀的申请人还没有得到亮相的机会；停止过晚，就说明你在为一位根本不存在的更优秀的申请人保留这份工作。要取得最理想的结果，显然需要在两者之间找到最合适的平衡点，在甄选时既不可迟迟不决，又不可草草收手。
如果找到最优秀申请人是你追求的唯一目标，那么在整个面试过程中，只要不是已有申请人当中的最优秀人选，你都不会接受。但是，仅仅达到“目前最佳”这个条件，还不足以说服面试官。比如说，第一名申请人毫无疑问就符合这个条件。一般而言，我们有理由相信，随着面试程序不断进行下去，出现“目前最佳”申请人的概率将不断下降。例如，第二名申请人是截至目前最优秀申请人的可能性是50%，第五名的可能性只有1/5，第六名的可能性只有1/6，以此类推。因此，随着面试工作的深入，目前为止最优秀申请人一旦出现，必然会令人眼前一亮（别忘了，根据定义，这名申请人比之前所有申请人都更加优秀），不过，这种可能性在不断降低。
所以说，看到第一个目前最优秀申请人就欣然接受（也就是说，面试第一名申请人之后就结束面试程序），显然是过于草率了。在一共有100名申请人时，也不能因为第二名申请人比第一名申请人更优秀就迫不及待地选择他，因为这种做法同样有些操之过急。那么，我们到底该怎么办？
凭直觉，我们可以找到几种应对的办法。例如，当第三次（或者第四次）出现胜过前面所有的申请人时，就把工作机会交给他。或者，在连续多个申请人都不理想的情况下，一旦出现一名目前为止最优秀的人选，就毫不犹豫地接受他。
但是，事实证明，所有这些相对来说似乎有道理的策略都算不上是最明智的做法。事实上，效果最佳的做法是接受所谓的“摸清情况再行动准则”（look-then-leap rule）：事先设定一个“观察”期，在这段时间里，无论人选多么优秀，都不要接受他（也就是说，你的任务就是考察目标，收集数据）。“观察”期结束之后，就进入了“行动”期。此时，一旦出现令之前最优秀申请人相形见绌的人选，就立即出手，再也不要犹豫了。
考虑申请人数极少时的秘书问题，“摸清情况再行动准则”就会自动显露出来。如果只有一名申请人，这个问题就非常简单——接受她的申请！如果有两名申请人，无论你如何选择，你成功选到优秀人选的概率都是50%。你可以接受第一名申请人（此时，她是半程最优秀申请人），或者拒绝她，而拒绝第一名申请人就意味着接受第二名申请人（她也是半程最优秀申请人）。
如果有第三名申请人，情况就一下子变得有意思了。如果随机选择一名申请人，得到理想结果的概率是1/3，也就是33%。有两名申请人时，我们没有办法取得比碰运气更好的结果。那么，在有三名申请人时，会怎么样？事实证明，我们可以取得更理想的结果，而其中的关键就在第二场面试。在面试第一名申请人时，我们没有任何信息——她肯定是目前最优秀的申请人。在面试第三名申请人时，我们没有任何能动性——我们只能将工作机会交给这名申请人，因为我们已经拒绝了其他人的申请。但是，在面试第二名申请人时，我们既掌握了一些信息，又有一定的能动性——我们知道她与第一名申请人相比孰优孰劣，同时我们既可以接受她，也可以拒绝她。如果她比第一名申请人优秀，我们接受她，反之就拒绝她，那么会产生什么样的结果？事实上，在有三名申请人时，这是最理想的方案。令人吃惊的是，在有三名申请人时采用这个方法，与有两名申请人时选择半程最优秀人选的方法相比，效果不相上下。
在有4名申请人时，穷举所有可能的情况之后就会发现，我们仍然应该在面试第二名申请人时采取行动；如果一共有5名申请人，我们应该等到面试第三名申请人时才采取行动。
随着申请人数不断增加，观察与行动之间的分界线正好处在全部申请人37%的位置，从而得出了37%法则：在考察前37%的申请人时，不要接受任何人的申请；然后，只要任何一名申请人比前面所有人选都优秀，就要毫不犹豫地选择他。表1-1 挑选秘书的最优方案
事实证明，利用这种最优方案，我们选中最优秀申请人的概率为37%。方案本身与出现理想结果的概率正好相等，这是这类问题表现出来的令人奇怪的数学对称性。上表列出了申请人数不同时的秘书问题最优解决方案。从中可以看出，随着申请人数不断增加，取得理想结果的概率（以及从观察期切换到行动期的时间点）在37%左右。
采用最理想的方案也会有63%的失败率，这是一个令人警醒的事实。在面对秘书问题时，即使我们采取了最理想的行动方案，在大多数情况下也会遭遇失败，也就是说，大多数情况下我们都无法选中所有人选当中最优秀的那名申请人。对于把爱情视为寻觅“真命天子”的人来说，这确实是一个坏消息。不过，也不完全都是坏消息。直觉告诉我们，随着申请人数的不断增加，选中最优秀申请人的可能性将稳步下降。例如，如果采用随机选择的方式，在申请人总数为100时，我们得到理想结果的可能性是1%，在总人数为100万时，可能性就会降到0.0001%。但是，令人意想不到的是，秘书问题的计算结果不会发生变化。如果采用最优停止理论，在100人当中选中最优秀申请人的可能性是37%。而总人数是100万时，无论你相信与否，你得到理想结果的可能性仍然是37%。因此，申请人总数越多，最优算法理论就越有价值。的确，在大多数情况下，大海捞针都会无功而返，但是，无论“海洋”多么辽阔，最优停止理论都是最理想的工具。情场上的出手时机托马斯·马尔萨斯两性之间的情欲几乎不会随着时代的变迁而发生改变。在代数学上，我们可以称之为给定量。芭芭拉·布什夺走我的初吻的男人后来成了我的丈夫。我把这些告诉孩子们时，他们的反应十分强烈。
卡内基-梅隆大学的运筹学教授迈克尔·特里克也曾经为寻觅真爱而苦恼，当时他还是一名研究生。他回忆说：“我突然想起来，人们研究过这个问题，这不就是秘书问题吗？我身边有一个空缺，现在有若干人提出了申请，而我的目标就是从中选出最优秀的申请者。”于是，他进行了量化分析。他不知道他一辈子可以结识多少名女性，但是37%法则有一定的灵活性，既可以表示申请者的人数，也可以表示遴选过程持续的时间。假设遴选过程从18岁开始，至40岁结束，那么根据37%法则，在26.1岁时他就应该结束观察期，随时果断出手。碰巧的是，当时的特里克正好处于这个年龄。因此，当他发现某一名女性比之前所有约会对象都优秀的时候，他知道机会来了，于是他果断行动。他说：“我不知道她会不会是完美的妻子（模型的各种假设都无法帮助我做出这个判断），但是毫无疑问，她符合算法为这个步骤开出的所有条件。于是，我向她求婚了。”“结果，她拒绝了我的求婚。”
至少从17世纪开始，爱情问题就已经让数学家头疼了。现代人知道约翰尼斯·开普勒这个名字，或许是因为他发现行星轨道是椭圆形的，此外他还是“哥白尼革命”的重要成员，与伽利略、牛顿等人一起，颠覆了人类对自己在宇宙中所处位置的认知。不过，开普勒也不是不食人间烟火。1611年，在他的第一任妻子离世后，渴盼重建家庭的开普勒开始了漫长而艰苦的求爱经历，前后一共交往了11名女性。在前4名交往对象中，开普勒最喜欢第4个（“因为她身材高挑，英姿飒爽”），但是他没有就此打住。开普勒回忆说：“如果不是爱情和理智把第5名女性强推给我，我应该已经安定下来了。但是，这名女性对我的爱，她的谦恭忠诚、勤俭持家以及她对继子继女的爱，一下子征服了我。”
他接着说道：“不过，我仍然我行我素，继续与其他女性交往。”
亲朋好友继续为开普勒牵线搭桥，开普勒也没有拒绝，不过兴致不是很高，因为他的心仍然被第5名交往对象占据着。在一共交往了11名女性之后，开普勒决定收手了。他回忆说：“就在我准备前往雷根斯堡的时候，我回过头来去找第5名交往对象并向她求婚，结果她同意了。”于是，开普勒和苏珊娜·罗伊特林格举行了婚礼。除了第一次婚姻留给他的几个孩子之外，开普勒和罗伊特林格又生了6个孩子。据说，开普勒之后的家庭生活十分幸福美满。
开普勒和特里克在寻觅爱情上的亲身经历告诉我们（两者的结局正好相反），秘书问题把情况想得过于简单了。在经典的秘书问题中，申请者肯定希望得到那份工作，像特里克那样遭遇拒绝的情况绝不会发生。此外，申请者一旦被否决之后，就不可以“复活”，因此开普勒采取的策略是行不通的。
在秘书问题首次被提出后的几十年时间里，人们研究了各种各样的情境，并结合不同的条件提出了若干最优停止策略。例如，针对可能遭到拒绝的问题，他们提出了一个简单明了的数学答案：尽早向多名对象伸出橄榄枝。假如遭到拒绝的可能性是50%，那么得出37%法则的那个数学分析过程就会告诉你，遴选过程完成1/4后就应该随时准备求婚了。如果遭到拒绝，那么在发现下一个最佳人选时要再次求婚，直到求婚成功为止。运用这个策略，获得成功（即向所有人选中的最佳人选求婚并被接纳）的总概率仍然可以达到25%。根据自己的标准寻觅爱情本身就有难度，再加上遭到拒绝这个不利条件，25%的成功概率可以算是一个还不错的结果了。
开普勒把自己没有及时出手的原因归咎于“不安现状、心存疑虑”。他在一封信中向自己的知己好友哀叹：“难道非得四处碰壁，所有欲望都落空之后，我的心才会平静下来，接受命运的摆布吗？”在这种情况下，最优停止理论同样可以起到一定的安慰作用。事实证明，不安现状和心存疑虑并不是道德沦丧或者心理退化的标志，而是在合适情境下捕捉二次机会的最有效策略的一个组成部分。如果可以复活之前被放弃的人选，最优算法就会对我们所熟悉的摸清情况再行动准则做一个小的调整：推迟表态时间，制订备用计划。
例如，我们假设即时求婚肯定会被接受，而迟滞求婚则有一半的可能遭到拒绝。根据数学分析，我们在观察前61%的人选时都不应该表态，等到剩余39%的人选中出现目前最优秀人选时再出手。如果考察完了所有人选之后仍然没有找到合适对象（开普勒当时就面临这种情况），就回过头，在你淘汰的人选当中选择最优秀的那个。在这种情况下，策略与结果之间再次表现出对称性，在允许二次选择这个条件下，你最终选中最优秀人选的概率仍然是61%。
正因为现实与经典秘书问题有所不同，所以开普勒最终还是找到了自己的幸福。事实上，经典问题发生的那个小变化也没有导致特里克愿望落空。在遭到拒绝之后，特里克读完大学并在德国找了一份工作。特里克回忆说：“我在酒吧里遇到一位漂亮的姑娘，我们一见钟情，三周后就同居了。后来，我邀请她去美国‘暂住一段时间’。”姑娘接受了邀请。6年后，他们举行了婚礼。掌握候选对象的完整信息
经典秘书问题的前提条件是，即时表态一定会被接受，而迟滞表态肯定会遭到拒绝，但是我们在前面讨论的第一组变量（拒绝与复活）则颠覆了这个前提。在这种情况下，最有效的应对办法没有任何变化，仍然是：不要急于表态，观察一段时间后及时出手。
不过，秘书问题的一个更重要的前提，可能会引起我们的异议。在秘书问题中，除了可以相互比较之外，我们对这些申请者一无所知。对于优秀人员应该具有哪些特点，我们无法参考任何客观标准或者已有标准，而且在比较这些申请者时，我们只能知道孰优孰劣，但是无法了解彼此之间的确切差距。正因为如此，“观望”阶段是不可避免的。在前期阶段，我们冒着与优秀人选失之交臂的危险，不断调整我们的期望值与权衡标准。数学家把这种最优停止问题称作“无信息博弈”。
这种情境可能与大多数寻租公寓、寻觅伴侣和招聘秘书的情况有天壤之别。假设我们可以参考某种客观标准。例如，安排所有秘书参加打字考试，然后像美国高考（SAT）、研究生入学考试（GRE）或者法学院入学考试（LSAT）那样按照百分制统计成绩。也就是说，根据得分，我们可以知道每名申请者的打字水平在所有人选中的位置。如果申请者得了51分，则表示她的打字水平略高于平均水平，如果得了75分，则表示她的水平高于3/4的申请者，以此类推。
假设所有申请者可以代表全体人口样本，而且所有数据没有受到任何倾向性或者自选择的影响。同时，假设打字速度是我们判断申请者是否合适的唯一条件。此时，情况就完全不同了，因为我们拥有数学家所谓的“全信息”。1966年的那篇秘书问题研讨会论文指出：“不需要根据积累的经验设定判断标准。有时，我们可以立刻做出一个有益的选择。”换言之，即使得95分的申请者第一个接受评判，我们也可以信心满满地立刻与她签约。当然，前提是我们认为所有申请者中没有得96分的。
问题来了。如果我们的目标是找到最适合这份工作的优秀人选，那么我们仍然需要小心斟酌，因为其余的申请者当中可能还有更加优秀的人选。不过，既然我们掌握了全信息，就可以直接计算这种可能性到底有多大。例如，下一个申请者得到96分或者更高分的可能性一定是1/20。因此，是否立刻停止的决定取决于还剩下多少申请者没有接受面试。全信息的意义在于我们无须观望就可以直接出手。此时，我们可以运用阈值准则，一旦发现某位申请者的分数高于某个值，就立刻接受她，而不需要先考察一批候选人并确定阈值。但是，我们需要密切关注可供选择的人还有多少。
数学计算表明，如果还有很多人等待面试，那么你就不应该接受当前正在面试的那名申请者，即使她非常优秀，因为你有可能找到一个更优秀的人选。但是，随着可供选择的人数不断减少，你就应该做好准备，随时准备与优于平均水平的申请者确立雇佣关系。有一句我们都比较熟悉（尽管不是那么鼓舞人心）的话说得好：面对花哨的包装，还是降低你的期待吧。我们还可以找到另外一句话，用以说明与之相反的情况：天涯何处无芳草，何必单恋一枝花！重要的是，无论是哪种情况，数学都可以告诉我们临界点到底在哪儿。
在这种情况下，最简单的方法是从后往前，反过来理解这些数字的含义。如果你一直面试到最后一名申请者，那么你就别无选择，只能接受他。如果你一直在观望，那么在面试倒数第二名申请者时你需要考虑的问题就变成了：他的分数是否高于50呢？如果是，就雇用她；如果不是，那么你可以考虑把宝押在最后一名申请者身上，因为她的分数高于50的可能性是50%。同理，如果倒数第三名申请者的高于69，倒数第四名的分数高于78，以此类推，那么你就应该立刻选择这名申请者。也就是说，剩余的申请者越多，在评判时就应该越挑剔。无论如何，你都不应该选择低于平均水平的申请者，除非你已经别无选择。（此外，既然你一定要在这些申请者当中挑出最优秀的，那么如果某名申请者不是目前为止最优秀的人选，就一定不要雇用他。）
在这种全信息版本的秘书问题中，选中最优秀申请者的可能性是58%。这个概率远谈不上十拿九稳，但是已经大大优于无信息博弈中根据37%法则得到的37%的成功率。如果你掌握了所有信息，那么即使申请人数非常多，你多半也会取得成功。全信息秘书问题中的最优停止阈值
因此，全信息博弈往往会产生令人意想不到，有时甚至会让人感到奇怪的结果。如果追求的目标是金钱，而不是爱情，则成功的可能性更高。在根据某种客观标准（例如收入排名情况）评判合作伙伴时，可供使用的信息比较多。如果评判标准是模糊不清的情感反应（“爱情”），则可能需要我们根据经验以及比较结果不断做出调整，同时可供使用的信息也相对较少。
当然，选择对象的“资产净值”与我们权衡的标准不一定一致。任何标准，只要可以全面反映申请者与其他人对比的情况，就会导致我们弃用摸清情况再行动准则，转而采用阈值准则，同时我们成功找出最优秀申请者的可能性也会大大增加。
此外，人们还经常修改秘书问题的其他前提条件，使之与现实生活中寻觅爱情（或挑选秘书）等难题更为相似，结果形成了更多的秘书问题变种。不过，最优停止问题给我们的启发不仅限于约会与招聘这两个方面。事实上，在租房子、找停车位、见好就收的时机选择等问题中，我们同样需要面对一个又一个的可选方案，做出最有利的选择。从一定程度上说，这些问题已经得到了解决。卖房子的时机
只需修改经典秘书问题的两个特征，就可以从浪漫的爱情跳进不浪漫的房地产领域。在前文中，我们说过租公寓的过程属于最优停止问题，但是真的拥有房产之后，你仍然难免要与最优停止问题打交道。
假设你想卖房子。在咨询了几个房地产中介之后，你将粉刷一新、带有园林景观的房子推向市场，然后静等有意者上门。每个看房人提出有意购买时，你基本上都要做出决定，要么接受，要么拒绝。但是，拒绝是有代价的，因为在下一个有意购买者上门之前，你需要再支付一周（甚至一个月）的抵押贷款，而且下一个购买者的报价未必更高。
卖房子与全信息博弈比较相似。我们知道有意者愿意付出的具体金额，不仅可以看出谁报出的价格更高，而且可以看出彼此之间的具体差额。此外，我们还掌握有关房地产市场行情的更多信息，至少可以对预计的报价变化幅度做一个大致的预测。（有了这样的预测，就相当于掌握了上述打字测试中的信息。）两者之间的差别在于目标不同。卖房子时，我们的目标其实不是得到最有利的报价，而是通过整个过程最终获取尽可能多的钱。由于等待是有代价的，是要付出真金白银的，因此当前的有利报价比几个月之后略高一点儿的报价更有吸引力。
掌握了这些信息之后，我们就可以省略确定阈值所需的观望阶段，直接确定一个阈值。然后，我们可以忽略所有低于这个阈值的报价，直接接受第一个高于阈值的报价。诚然，如果在某个时间之前不把房子出手，我们有限的积蓄就会消耗殆尽，或者我们只想考虑数量有限的几个报价，对随后的报价不感兴趣，那么在快要达到极限时，我们当然应该降低标准。（购房者喜欢找“积极的”卖主，原因就在这里。）但是，如果没有被这两种情况逼到墙角，那么我们就可以通过成本效益分析，确定是否应该继续观望。
接下来，我们分析一种非常简单的情况：假设我们清楚报价金额的变化幅度，并且在这个变化范围内各种报价出现的可能性是相同的。只要报价不会中断（我们的积蓄也不会花完），我们就可以单纯地考虑我们对收获或损失的期望值，以决定是否继续等待更有利的交易。如果拒绝当前的报价，预计出现更有利报价的可能性是多少？该报价与当前报价之间的差，乘以该报价出现的可能性，乘积是否大于继续等待的成本呢？数学计算的结果清楚地表明，停止价格是等待成本的一个显函数。
无论你出售的是价值高达数百万美元的豪宅，还是摇摇欲坠的棚屋，对这个数学结果都不会有任何影响。你唯一需要关心的是你可能接收到的最高报价与最低报价之间的差值。输入几个具体数字，就可以看出这个算法可以提供给我们大量清楚明了的指导意见。例如，假设我们预计报价金额在400000~500000美元之间。首先，如果等待成本非常低，那么在挑选买主时我们几乎无须有任何顾忌。如果等待下一个报价的成本仅为1美元，那么为了赚取尽可能多的钱，我们可以一直等到有人愿意支付499552.79美元时才出手。少一分钱，我们都不会卖给他。如果每次等待需要付出2000美元的代价，那我们就应该等待480000美元这个报价。如果面对的是一个不景气的市场，每次等待需要耗费10000美元时，那么只要报价高于455279美元，我们就应该立刻出手。最后，假设等待成本为预计报价范围的一半（在本例中，报价变化幅度的一半就是50000美元）或更高时，那么观望对我们来说不会有任何好处，最有利的做法是直接接受第一个报价，然后立刻成交。人在屋檐下，不得不低头。
在这个问题中，阈值完全取决于搜寻成本，这也是这类问题需要注意的关键要点。下一个报价令人心动的可能性（以及搜寻成本）都不会发生任何变化，因此，无论运气如何，我们在搜寻过程中都无须降低最优停止价格。一旦确定最优停止价格之后（即使这是我们在将房子推向市场之前做出的决定），我们就再也不要有任何动摇。卖房子问题的最优停止阈值
威斯康星大学麦迪逊分校的优化专家劳拉·阿尔伯特·麦克莱回忆说，她在卖房子时，就用到了最优停止问题的相关知识。她说：“我们收到的第一个报价就非常高，但是他们希望我们比预计的搬离日期早一个月搬走。这个代价太大了。这时候，又有人报出了一个有竞争性的报价……但是我们一直不为所动，直到最后有人报出了令我们满意的报价为止。”对很多卖家而言，建议他们拒绝一两个优厚的报价都会让他们神经紧张，如果随后的报价比不上前者，那么他们就会更加紧张。但是，麦克莱很冷静，坚守立场没有动摇。她承认：“如果我不知道数学计算的结果，就很难坚持下来。”
在任何情况下，只要你可以得到一系列报价，而寻找或等待下一个报价需要付出一定成本时，就可以应用上述准则。因此，除了卖房子，在很多情况下我们都可以考虑这条准则。例如，经济学家利用这个算法构建的找工作模型，可以轻而易举地解释失业工人与空缺岗位并存这个看似矛盾的事实。
事实上，最优停止问题的这些变种还有一个更令人吃惊的特性。前面说过，在开普勒寻觅爱情的过程中，可以“复活”之前被自己拒绝的机会是一个非常重要的条件。但是，在卖房子或者找工作时，即使我们可以重新考虑之前的报价或工作邀请，即使我们可以肯定那个报价或工作邀请仍然有效，我们也绝不应该重新考虑它。如果之前它没有达到阈值的要求，那么现在它也不会高于阈值。在拒绝那个报价或工作邀请之后，我们的付出已经成为已支付成本。因此，不要妥协，不要试图亡羊补牢。坚持住，不要回头！最优停车位置克拉克·克尔，加州大学伯克利分校校长（1958—1967年）我发现，大学校园里有三个主要的行政管理问题：学生关心性爱，校友关心体育，教职员工关心停车问题。
最优停止问题经常出现的另一个领域与汽车驾驶有关（在这个领域，回头同样是不明智的）。在某些早期文献中，秘书问题的主角是驾车者，而汽车只进不退的基本设定把驾车旅行中的所有决策过程（包括寻找饭店、寻找浴室，以及最令城市驾车者头疼的寻找停车位等过程）全部变成了停止问题。要讨论进出停车场的问题，加州大学洛杉矶分校著名的城市规划教授、被《洛杉矶时报》称作“停车场摇滚明星”的唐纳德·舒普显然是最合适的人选。我们从加州北部出发，驾车前往学校拜访舒普。我们告诉舒普，我们为这段行程预留了大量时间，让他不要担心我们会因为意外的交通情况而无法按时抵达。舒普回答说：“说到针对‘意外的交通情况’制订计划，我认为你们应该考虑的是预计的交通情况。”舒普的知名度或许大多归功于他的著作《免费停车的高昂代价》，此外他还做了大量工作，推动人们讨论、了解驾车旅行的真实情况。
我们真应该同情那位可怜的驾驶员。根据舒普的模型，理想的停车位应该在停车位“标价”、行走所需时间及造成的麻烦、寻找停车位所需时间（随着目的地、一天中的时间不同而发生显著变化）以及整个过程所消耗的汽油等方面实现优化并达成精确平衡。因为车内乘客人数不同，上述等式会发生变化，因为乘客可以分担停车费用，但是无法分担搜寻时间，也无法分担步行的时间与麻烦。与此同时，驾驶者还需要考虑到的一个问题是：停车位最多的地方可能也是停车需求最大的地方。停车问题含有博弈论的成分，因为在你算计道路上其他驾车者的时候，他们也在算计你。话虽如此，停车难题大多归根于一个数字，即停车位占用率——目前被占用的所有停车位占总停车位的比例。如果占用率很低，找到一个好的停车位并非难事；如果占用率很高，想为你的车找到一席之地就不是那么容易了。
舒普认为，停车的很多难题都归因于城市政策，因为这些政策导致停车位占用率极高。如果某个地方的停车费用非常低（更糟糕的是，有的甚至免费），就会刺激人们把车停在那里，而不是停到稍远的位置，然后步行。于是，大家都想在那儿停车，但是大多数人发现那里已经停满了车，因此他们只好开着车四处巡游，试图找到一个停车位，结果既浪费时间，又浪费汽油。
舒普建议的解决办法是安装数字停车计时器，根据停车需求自动调整价格。（旧金山市区已经采用了这种计时器。）在设定价格时，需要先设定一个目标占用率。舒普认为，这个目标值应该在85%左右（对于路边停车率接近100%的大多数大城市而言，这个占用率已经非常低了）。舒普指出，当停车位占用率从90%升至95%时，尽管仅多停了5%的车，但是大家寻找停车位的时间就会翻一番。
一旦意识到停车其实是一个最优停止问题，你就会发现占用率对停车策略有着关键的影响。行驶在大街上，每次看到一个空车位时，我们都必须做出决定：是停到这个车位上，还是试试运气，再往前开一点儿？
假设你行驶在一条无限长的道路上，路边车位均匀分布，而你的目标是把车停到尽可能接近目的地的车位上，以便少走几步路。那么你应该采用摸清情况再行动准则。为了实现最优停止这个目标，在距离目的地一定路程之外，即使看到空车位也不要停车；一旦进入一定距离之内，就应该从观望阶段转变为行动阶段，看到空车位后立刻停车。这段距离的长短，取决于停车位可能被占用的百分比，即停车位占用率。下表列出了与某些有代表性的停车位占用率相对应的转变距离。表1-2 寻找停车位的最优策略
如果这条无限长的街道与大城市一样，停车位占用率高达99%，只有1%的停车位是空闲的，那么在距离目的地大约70个停车位（略多于1/4英里）处开始，只要看到空车位，就应该停车。但是，如果舒普的办法奏效，将占用率降低到85%左右，那么在距离目的地半个街区之前，你都无须着急停车。
我们行驶的道路大多不是笔直的，也不会是无限长的。因此，同其他最优停止问题一样，研究人员也在上述基本情况的基础上做出了各种调整。例如，他们考虑了若干不同情况，包括允许驾驶者调头、距离目的地越近停车位越少、驾驶者与目的地相同的其他驾驶者形成竞争关系等。但是，无论该问题的参数发生哪些变化，增加空闲停车位的数量都可以使我们的生活更加方便。从某种意义上讲，这是提示市政府的政策制定者：停车问题不是单纯靠增加资源（停车位）并最大化利用资源（占用）就可以解决的。停车还是一个进程（是一个最优停止问题），消耗注意力、时间、汽油，还会导致污染和拥堵等后果。合适的政策可以彻底解决这个问题。而且，适宜居住的街区周围有空的停车位，可能是街区运行良好的一个标志，这正好与我们的直觉相反。
我们问舒普，他在洛杉矶车流中穿行，前往加州大学洛杉矶分校上班的时候，他的研究是否可以为他提供优化方案。作为一名全世界顶尖的停车问题专家，他是否有什么秘密武器。
舒普还真的拥有一个秘密武器：“我骑车上下班。”见好就收的时机
1997年，鲍里斯·别列佐夫斯基因拥有大约30亿美元的财产，被《福布斯》杂志确认为俄罗斯首富。仅仅10年前，他还是苏联科学院的一名数学家，靠工资度日。他利用在研究过程中建立的业界关系，创建了一家公司，帮助外国汽车制造商与苏联汽车制造商AvtoVAZ沟通交流。随后，他的公司变成了AvtoVAZ汽车的大型经销商，同时还通过分期付款的方法，利用卢布的恶性通货膨胀牟利。他还利用与AvtoVAZ的合作关系套取资金，用来购买这家汽车制造商及俄罗斯公共电视台、西伯利亚石油公司的部分股份。最终，他赚得了几十亿美元的身家，成为寡头阶层的新成员。随后，他开始参与政治。1996年，他支持鲍里斯·叶利钦连任；1999年，他又支持弗拉基米尔·普京成为叶利钦的继任者。
但是，后来别列佐夫斯基的政治态度开始转变。普京当选总统之后不久，别列佐夫斯基公开反对普京提出的旨在扩大总统权限的宪政改革。他在公开场合不断批评普京，导致他与普京的关系开始恶化。2000年10月，在有人请普京就别列佐夫斯基对他的批评发表评论时，普京说：“政府手持大棒，只需一下，就能击碎其脑壳。目前我们还没有动用大棒……一旦我们真的动怒，就将毫不犹豫地砸下去。”当年11月，别列佐夫斯基就离开了俄罗斯，再也没有回来。流亡到英国之后，别列佐夫斯基继续批评普京。
别列佐夫斯基如何做出离开俄罗斯的决定？是否可以通过数学方法考虑“见好就收”这条建议？多年前，别列佐夫斯基本人就是一名数学家，而且他研究的正好就是最优停止问题，他创作的第一本书（当然也是他的唯一一本书）全部关于秘书问题，因此他当时可能也考虑了这个问题。
人们在分析见好就收这个问题时，为它披上了好几种伪装，但是最适合别列佐夫斯基这种情况的可能应该是“窃贼问题”（向俄罗斯寡头表示歉意）。在窃贼问题中，窃贼可以实施一系列盗窃活动。他们的每次盗窃都会有收获，并且每次都有机会带着战利品顺利脱身。但是，一旦被抓住，他们就会失去之前的所有收获。窃贼希望收获最大，那么什么样的算法可以给他提供合理建议呢？
窃贼问题有解，对于盗窃题材的电影剧本而言不是好消息。当盗窃团队诱惑一位已经金盆洗手的老手，希望他复出并干最后一票的时候，这位狡猾的窃贼只需要认真分析那些数字就知道该怎么做了。凭直觉也可以得出结果。实施盗窃的次数应该大致等于顺利脱身的可能性除以被抓的可能性的值。如果你是一名有经验的窃贼，每次盗窃成功的可能性为90%（损失全部身家的可能性为10%），那么在盗窃9次（90÷10=9）之后，你就应该洗手不干了。如果是一名笨手笨脚、成功率只有一半的生手，情况会怎么样？第一次去偷盗时，你本来就身无分文，因此无须担心有任何损失，但是之后就不要再去碰运气了。
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