作者：赵忠奎,崔学慧,郝华宁
出版社：石油工业出版社
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数学物理方程试读：
前言
“数学物理方程”在物理、力学和工程技术等众多科学领域中有着广泛的应用，其研究范围广、内容丰富，对于研究生来讲，是一门重要的工程数学课程.整体来讲，学生在学习这门课程时可能感到有些困难，主要原因是该课程涉及的知识较多，仅就数学而言，就涉及微积分、常微分方程、傅里叶分析、复变函数等.这些内容虽然他们在大学本科时大多已学习过，但真正运用的时候仍然会感到很困难，因此，编写本书时，我们在保证内容完整性和系统性的前提下，更注重内容的适应性和实用性，遵循“论述深入浅出、循序渐进，便于教师教学和学生学习”的原则.另外，在每章后都编配一定数量的习题，使学生学练结合、牢固掌握并能灵活运用所学内容.
本书主要介绍“数学物理方程”的一些基本概念、三种典型二阶线性偏微分方程的建立及各种定解问题的一些解法（包括分离变量法、行波法、积分变换法及格林函数法）.在这些解法中，分离变量法是重点，书中较详细地讨论了三种典型方程在直角坐标系、极坐标系、柱坐标系与球坐标系中进行分离变量的一般步骤及各种边界条件的处理.在格林函数法中，引入了δ函数的概念及应用，从两个不同的背景出发，给出了格林函数的概念；在积分变换法中，除介绍了傅里叶变换和拉普拉斯变换外，还介绍了汉克尔变换及关于积分变换的一般讨论等内容.
本教材力求条理清楚、论证严谨，具有科学性、系统性和实用性.对于研究生而言，通过学习，可进一步拓宽他们的知识面，拓展他们的思维空间，对研究生的后续发展大有益处.
本书编写分工如下：第一章、第二章、第三章和第四章由东北石油大学赵忠奎编写，第五章、第六章、第七章和第八章由中国石油大学（北京）崔学慧编写，第九章由西安石油大学郝华宁编写，附录Ⅰ、附录Ⅱ由赵忠奎编写，附录Ⅲ由崔学慧编写.赵忠奎负责全书的统稿工作，东北石油大学孔令彬教授任主审.
本书在编写过程中，孔令彬教授和参编院校的老师都提供了很多意见和建议，相关的各兄弟院校研究生院、数学院和理学院的领导也给予了全力的支持和帮助，在此一并表示衷心的感谢.
由于水平有限，书中难免有疏漏之处，诚望各位专家和广大读者批评指正.编者2013年4月
第一章 典型方程和定解条件
要建立描述一些物理问题的数学模型，首先应知道所研究的物理量在其相应的物理过程（或物理现象）中受到何种物理定律的制约；然后将这一物理定律相应的数学恒等式表示出来；最后将等式加以化简、整理便可得到一方程，即所需的数学模型.正是由于这种方程是从物理问题中归结出来的，所以称为数学物理方程.
第一节 典型方程
下面将通过建立具体物理问题的数学模型推导出一些简单方程，这些方程是后续学习中的主要研究对象.
一、 弦的振动方程
假设有一根均匀柔软而有弹性的轻细弦，两端约束在x=0和x=l两点，平衡时沿直线拉紧，而且除受不随时间而变的张力及弦本身的重力作用外，不受外力影响.由于外界因素作用，弦在平衡位置附近作微小横向振动.求弦上各点的运动规律.
所谓“柔软”，是指发生在弦中任一点处张力的方向总是沿着弦在该点处的切线方向；“有弹性”意味着张力的大小可按照虎克（Hooke）定律计算；“横向”是指全部运动出现在同一平面上，而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动（图1-1）.所谓“微小”，是指振动的幅度及弦在任意位置处切线的倾斜角都很小，以至它们的高于一次方的项都可以忽略不计.图1-1
设弦上具有横坐标为x的点，在时刻t时的位置为M，位移NM记为u.在振动过程中位移u是变量x与t的二元函数u（x，t），现在建立位移u满足的方程.把弦上点的运动先看作小弧段的运动，然后再考虑小弧段趋于零的极限情况，在弦上任取一弧段，其长为Δs，设ρ是弦的线密度，弧段两端所受的张力记作T（x）、T（x+Δx）.由于假定弦是柔软的，所以在任一点处张力的方向总是沿着该点的切线方向.现在考虑弧段在t时刻的受力情况.用牛顿运动定律，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的质量乘以该方向上的加速度.
在x轴方向弧段受力的总和为-T（x）cosα+T（x+Δx）cosα′，由于弦只作横向振动，所以
按照上述弦振动微小的假设，可知在振动过程中弦上M点与M′点处的切线的倾斜角都很小，即α≈0、α′≈0，从而有cosα≈1,cosα′≈1,
代入式（1-1），便可近似得到T(x)=T(x+Δx),
从上式可看出，张力T可视为常量.
在u方向弧段受力的总和为-T(x)sinα+T(x+Δx)sinα′-ρgds,
式中，-ρgds是弧段的重力.
又因为当α≈0、α′≈0时，有
且小弧段在时刻t沿u方向运动的加速度近似为，小弧段的质量为ρΔs，由牛顿（Newton）第二运动定律有
从而有
上式两端同时除以Δx，并令Δx→0，得
或
一般说来，张力较大时弦振动速度变化很快，即要比g大得多，所以又可以把g略去，从而在u（x，t）关于x，t都是二次连续可微的前提下，最后得出u（x，t）应近似满足方程
其中
式（1-2）称为一维波动方程.
如果在振动过程中，弦上另外还受到一个与弦的振动方向平行的外力，且假定在时刻t，弦上x点处力密度为F（x，t），利用上面的推导方法得到弦的强迫振动方程
其中
上式表示t时刻单位质量的弦在x点处所受的外力密度.
类似地，由薄膜的微小横振动可推导出二维波动方程
由声波在介质中传播可推导介质的压强所满足的三维波动方程
二、 传输线方程
对于直流电或低频的交流电，同一支路中的电流是相等的.但对高频率的交流电（指频率还没有高到能显著地辐射出电磁波的情况），由于要考虑导线的自感和电容的效应，因此同一支路中的电流未必相等.
现考虑双线或同轴的高频传输线.为了分析直观起见，把它当做具有分布参数的导体（图1-2），来研究这种导体内电流流动规律.在具有分布参数的导体中，电流通过的情况可用电流强度i和电压v来描述，电流强度i和电压v都是导线截面位置x和时间t的函数：i=i（x，t），v=v（x，t）.图1-2
根据基尔霍夫第二定律，在长度为Δx的传输线中，电压降应等于电动势之和，即
式中 R——每一回路单位的串联电阻；
L——每一回路单位的串联电感.
上式两端同时除以Δx，并令Δx→0，得
另外，由基尔霍夫第一定律，流入节点x的电流应等于流出该节点的电流，即
式中 C——每单位长度的分路电容；
G——每单位长度的分路电漏.
上式两端同时除以Δx，并令Δx→0，得
将方程（1-3）与方程（1-4）联立，即得方程组
由方程组得
再将式（1-3）中的代入上式，得到i所满足的方程
用类似的方法可得到v所满足的方程
方程（1-5）和方程（1-6）称为传输线方程.
若在高频传输的情况下，电导与电阻所产生的效应忽略不计，即令G=R=0，这时方程（1-5）与方程（1-6）可简化为
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]