作者：佟玉霞、徐秀娟、谷建涛
出版社：清华大学出版社
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A-调和方程及其障碍问题试读：
前言
众所周知，许多重要的物理现象的数学模型都是二阶非线性椭圆方程或方程组．如物理中的热平衡问题、渗流问题等．正是由于非线性椭圆方程或方程组在微分方程（如Monge-Ampere方程）、微分几何（如调和映照）、流形上曲面之间的变换、拟正则映照、弹性力学（如Lame-Navie方程组，Beltrami-Michell方程组、平面应力问题的Levy方程）、量子物理学（如薛定谔方程）、电磁学中的电动方程（如Yang-Mills方程）、控制论等方面的广泛应用，使得研究二阶非线性楠圆方程或方程组的弱解的相关性质具有重要的理论和现实意义．
作为描写稳定和平衡等物理现象的Laplace方程，它的解有许多重要性质，这些性质在阐明物理现象、研究定解问题以及在其他数学理论中都起着重要作用．近年来，人们所做的一个重要工作是推广Laplace方程以使其理论能够应用到更为复杂的领域．Laplace方程的一个重要推广是p-Laplace方程，其研究结果能够应用于流体力学和弹性力学的领域．引入张量后，p-Laplace方程就可推广为更为广泛的A-调和方程．A-调和方程是p-Laplace方程和p-调和方程的重要推广形式，在位势理论、拟共形映射理论和弹性理论等现代科学技术的许多领域中有着广泛的应用．例如R. P. Gilbert、P. Shi和Fang M. 将带有体积力和源的非等温非牛顿H-S流问题化成了p-调和（或A-调和）方程的边值问题［1-3］．形式各异的A-调和方程成为连接数学与上述分支领域的桥梁，进而为科学家和工程师们建立和研究数学建模提供了行之有效的工具和方法．
A-调和方程的理论和应用问题研究是目前国际上的热门研究课题．20世纪80年代初，Bojarski和Iwaniec将空间拟正则映射理论与A-调和分析、高维奇异积分的Calderon-Zygmund理论和偏微分方程理论，尤其是与A-调和方程联系起来，使得人们可以用这些现代工具研究和解决几何函数论的问题．目前，许多国际知名复分析专家，如O. Martio和T. Iwaniec教授等都致力于本方向的理论研究与应用研究工作．
本书主要讲述A-调和方程及其障碍问题的弱解和很弱解的性质，以及微分形式A-调和方程的加权积分估计．其中大部分是作者近年来的科研成果．全书共分为6章：第1章是预备知识；第2、3章讲述了A-调和方程及其障碍问题的弱解（很弱解）的若干性质，如正则性、有界性、唯一性、局部极值原理等；第4、5章讲述了微分形式A-调和方程的加权积分估计和很弱解的性质；第6章为相关问题．
本书的编著和出版得到了河北省重点学科（华北理工大学应用数学）、河北省自然科学基金项目（编号A2013209278）以及清华大学出版社大力支持，并感谢北京交通大学郑神州教授和河北大学高红亚教授多年来的指导与帮助．
本书的主要内容是作者及其合作者近年来的科研成果，同时参考了其他作者的文献．由于本书是从大量文献中整理出来的，书中出现疏漏或错误在所难免，作者真诚地欢迎读者批评指正．佟玉霞第1章 预备知识
椭圆方程理论在数学、物理学（如电学、热学、光学、电磁学、天体物理学、量子物理学等）、工程技术（如流体动力学、弹性力学等）以及实际生活中有着广泛的应用［4］．A-调和方程是p-Laplace方程和p-调和方程的重要推广形式，非线性椭圆方程在微分几何、拟正则映照、非线性弹性力学、控制论等现代科学技术的许多领域中有着广泛的应用［4-5］．本章讲述研究A-调和方程常用的Sobolev空间的基本知识［6］．
记Rn（n≥2）为n维Euclid空间．两个向量x=（x1，x2，...，xn），y=（y1，y2，...，yn）∈Rn的内积记为向量x的模为
|x|=（x，x）1/2．记ei，i=1，2，...，n为Rn中的标准正交基．
设Ω是Rn中的集合．若Ω为可测集，则记|Ω|为Ω的n维Lebesgue测度．
函数f∶Ω→R的支撑定义为
用表示所有在Ω上具有紧支撑的无穷次可微函数
φ∶Rn→R所形成的代数．引入n重指标
α=（α1，α2，...，αn），这里α1，α2，...，αn是非负整数，记
|α|=α1+α2+...+αn．α次微分算子为Dα可作用于充分光滑的函数上．约定0=（0，...，0）为0重指标，D0为恒等算子．当k为非负整数时，记Dk={Dα}|α|=k．
对x∈Rn，A⊂Rn，定义x到A的距离为A的直径定义为对任意A，B⊂Rn，A与B的距离为设r>0，x∈Rn．分别用和表示以x为中心，以r为半径的球、闭球和球面．Rn中单位球B（0，1）的体积为其中为单位球面S（0，1）的表面积．
记C0（Ω）=C（Ω）为所有在Ω上连续的函数的全体．设k为非负整数（可能为∞），m≥1为整数．记设f∶Rn→Rm为给定的函数．若ω∶［0，∞）→［0，∞）满足下列条件：（1）ω非减；（2）；（3）对任意x，y∈Rn，
|f（x）-f（y）|≤ω（|x-y|），则称ω为f的连续模．
若ω（t）=Ktα，0 |f（x）-f（y）|≤K|x-y|α．当α=1时，称f满足具有常数K的Lipschitz条件． 用符号C0，α（Ω，Rm），0<α≤1，表示所有满足指数为α的Hölder条件的映射f∶Ω→Rm的集合．即 C0，α（Ω，Rm）={f∶|f（x）-f（y）|≤K|x-y|α}．称映射f属于Hölder空间Ck，α（Ω，Rm），其中k≥1为整数，0<α≤1，若f∈Ck（Ω，Rm），且f的所有小于等于k阶的偏导数属于C0，α（Ω，Rm）．即Ck，α（Ω，Rm）在范数之下成为Banach空间． 设Ω⊂Rn，1≤p≤∞．Lp（Ω）定义为在Ω中的所有p次可积的可测函数f∶Ω→R的集合，即而即Ω中所有局部可积的函数的集合．这里V⊂⊂Ω意味着． 当1≤p≤∞时，Lp（Ω）中的范数由给出．当p=∞时，Lp（Ω）中的范数由给出．在不至于引起混淆的情况下，‖f‖p，Ω简写为‖f‖p． 当f是向量或矩阵时，仍用式（1-1），式（I-2）表示f的p范数，这里|f（x）|理解为向量或矩阵的范数．例如，f=（f1，f2，...，fm）时，此时式（1-1）成为 严格来说，Lp（Ω）中的元素不是函数，而是函数的等价类．两个函数f（x）和g（x）称为等价的，如果除去一个零测度集外它们相等． 设a，b>0，p，q为Hölder共轭的，既引入Zimer［111］中的下列不等式取ε>0，将上面不等式中的α换为ε1/pa，b换为ε-1/pb，就得到Young不等式上式当p=q=2时为Cauchy不等式 设f∈Lp（Ω），g∈Lq（Ω），p≥1，则有下面的Hölder不等式当p=q=2时，Hölder不等式成为Schwarz不等式 Lp从空间中的三角不等式，即Minkowski不等式，为 引入函数f在Ω上的积分平均由Hölder不等式可得，当1≤p≤q，|Ω|<∞时，
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]