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2019年广西公务员录用考试专项教材：数量关系【考点精讲＋典型题（含历年真题）详解】试读：
第1章 数量关系概述
一、大纲解析
数量关系主要测查报考者理解、把握事物间量化关系和解决数量关系问题的能力，主要涉及数据关系的分析、推理、判断、运算等。常见的题型有：数字推理、数学运算等。（一）考查内容
在公务员录用考试当中，考查的主要内容是从基础数学知识和基本数学思维入手，并且思维能力是考察当中的重点，即与平常难度比较大的数学考试不同，公务员录用考试是要充分考查考生的思维能力，也即“理解、把握事物间量化关系和解决数量关系问题的能力”，而不在于考查学生的数学解题能力。（二）考查重点“涉及数据关系的分析、推理、判断、运算等”——这一句话明确地指出了公务员录用考试对数量关系主要从分析、推理、判断、运算四个方面进行考查。由于公考侧重于考查考生的思维能力，所以前三项能力是考查的侧重点。运算是排在最后的，也即反映了公考的考题并不是要考复杂的运算，相反的，只要真正弄懂题意、抓住要害，计算反而是非常简单的。（三）考查形式
公考中，数量关系的考查形式是数字推理和数学运算。数字推理通常为给出一个数列，要求考生找出其中的排列规律；数学运算为给出一个算术式或者一段文字，要求考生能够熟练应用基本数学知识和运算法则，计算或者推出结果。从近几年这两种题型出现的频率看，数学运算的比重较大，考生在备考过程中可有所侧重，可适当提高数学运算的备考比重，降低数字推理的备考比重。
二、考情概况
（一）历年考情1数学运算
近五年的高频题型主要有几何问题、排列组合问题（含概率）、行程问题、容斥原理问题、费用问题、计算问题等。高频题型的特点是侧重考查考生的分析、推理、构造等能力及列方程、解方程的能力。因此考生在备考过程中，要努力抓住备考的方向，全面提升这些能力。
2数字推理
数字推理在近几年的公务员录用考试中比较不稳定，题量有所下降，但是考生在备考过程中千万不能掉以轻心，以为数字推理已经退出公务员录用考试的舞台。相反的，我们要适当地调整备考策略，有所侧重。（二）考情预测
通过对数量关系题的考察与分析，我们可对考情进行一个预测。
1．在考查方向上，趋于考查分析问题、理解问题的能力，趋于考查列方程、解方程的能力。
2．在考查形式上，趋于对不同知识点的综合考查，趋于对常规方法和常用技巧的综合应用考查。
3．在考查难度上，趋于中等难度题目占主体、较难问题占少数的模式，趋于考查更广的知识面。
三、题型分析
（一）数学运算1概述（1）定义
数学运算是指每道题给出一道算术式子或者表达数量关系的一段文字，要求考生熟练运用加、减、乘、除等基本运算法则，并利用其他基本数学知识，准确迅速地计算或推出结果的题型。（2）考查要点
①数学运算要求考生熟练运用基本的数学知识，依据题目给出的式子或文字，准确迅速地计算或推出结果。
②数学运算考查的知识涵盖从小学到高中的数学基础知识，不是单纯的小学数学题，而是能力测试，是对考生的知识储备量的考查。
③文字型的应用题将会成为数学运算的主流形式，因为它能够更好地测查分析、推理能力。
2题型
从题干的形式和考查的内容上分析，数学运算题可分为几种不同类型。为了更加高效的解题，在考试当中争分夺秒，我们需要熟悉各个题型特点，优化解题思路。从历年考试当中可看出数学运算题主要题型有：计算问题、几何问题、组合问题、行程问题、比例问题和其他问题。（1）计算问题
①数的性质【例1】有一个整数，用它分别去除157、324和234，得到的三个余数之和是100，求这个整数是（ ）。
A．44
B．43
C．42
D．41【答案】D【解析】由题意可知，所求整数能够整除157＋324＋234－100＝615，615÷41＝15。【例2】有四个自然数A，B，C，D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是（ ）。
A．216
B．108
C．314
D．348【答案】C【解析】A＝B×5＋5＝5×（B＋1），A＝C×6＋6＝6×（C＋1），A＝D×7＋7＝7×（D＋1），故A是5、6、7的倍数，又因为5，6，7的最小公倍数是210，所以A是210的倍数，而A不超过400，故A＝210，代入上述余数基本恒等式，得B＝41，C＝34，D＝29，即这四个自然数的和是A＋B＋C＋D＝314。【例3】2011×201＋201100－201.1×2910的值为（ ）。
A．20110
B．21010
C．21100
D．21110【答案】A【解析】2011×201＋201100－201.1×2910＝2011×（201＋100－291）＝2011×10＝20110。
②算式计算【例1】已知两列数2，5，8，11…2＋（100－1）×3；5，9，13，17…5＋（100－1）×4。它们都是100项，则两列数中相同的数有（ ）项。
A．24
B．25
C．26
D．27【答案】B【解析】第一个这两个数列中相同的项是5，且第一个数列的公差为3，第二个数列的公差为4，则这两个数列中相同的项既是3的倍数又是4的倍数，所求即转换为求首项为5，公差为12的等差数列的项数，又第一个数列最大的数为2＋（100－1）×3＝299，第二个数列最大的数为5＋（100－1）×4＝401，新数列最大不能超过299，又5＋12×24＝293，5＋12×25＝305，则两列数中相同的数有25项。【例2】小明今年（1995年）的年龄是他出生那年的年份的数字之和。问：小明今年多少岁？（ ）
A．21
B．24
C．18
D．20【答案】A【解析】设小明出生时是19ab，则1＋9＋a＋b＝95－10a－b，从而11a＋2b＝85。当a≥8时，11a＋2b＞85；当a≤6时，11a＋2b≤66＋2×9＝84，所以必有a＝7，b＝4，即小明今年是1＋9＋7＋4＝21岁。22【例3】如x⊕y＝x＋y，则3⊕1⊕3＝（ ）。
A．109
B．100
C．120
D．160【答案】A2222【解析】3⊕1＝3＋1＝10，则3⊕1⊕3＝10⊕3＝10＋3＝109。（2）几何问题
①平面几何问题【例】一个正三角形和一个正六边形周长相等，则正六边形面积为正三角形的（ ）。
A．倍
B．1.5倍
C．倍
D．2倍【答案】B【解析】设正三角形和一个正六边形的周长为6，六边形的边长为1，三角形的边长为2；正六边形可以分成6个边长为1的小正三角形，边长为2的正三角形可以分成4个边长为1的小正三角形。所以正六边形面积:正三角形的面积＝6:4，即正六边形面积为正三角形的1.5倍。
②立体几何问题【例】工作人员做成了一个长60厘米、宽40厘米、高22厘米的箱子，因丈量错误，长和宽均比设计尺寸多了2厘米，而高比设计尺寸少了3厘米，那么该箱子的表面积与设计时的表面积相差多少平方厘米？（ ）
A．4
B．20
C．8
D．40【答案】C【解析】由题意可知，原设计的箱子的表面积为2×（58×38＋38×25＋58×25），尾数为8，加工后的箱子表面积为2×（60×40＋60×22＋40×22），尾数为0，则表面积差为2×（58×38＋38×25＋58×25）－2×（60×40＋60×22＋40×22），8－0＝8平方厘米。
③几何性质问题【例】N是正方形ABCD内一点，如果NA:NB:NC＝2:4:6，则∠ANB的度数为（ ）。
A．120°
B．135°
C．150°
D．以上都不正确【答案】B【解析】过B作BN′⊥BN，且使BN′＝BN，连接N′A，N′N，如下图所示，因为∠N′BN＝∠ABC＝90°，得∠N′BA＝∠NBC。又因为AB＝BC，BN′＝BN，有△N′AB≌△NCB，则N′A＝NC，设NB＝4x，NC＝N′A＝6x。在直角△NBN′中，∠NN′B＝45°，且NN′＝4x，在△N′AN中，N′A＝N′N，所以∠N′NA＝90°，得∠ANB＝135°。
图1-1
④平面解析几何【例】在平面直角坐标系中，如果点P（3a－9，1－a）在第三象限内，且横坐标纵坐标都是整数，则点P的坐标是（ ）。
A．（－1，－3）
B．（－3，－1）
C．（－3，2）
D．（－2，－3）【答案】B【解析】点P在第三象限，则横坐标和纵坐标都小于0，即3a－9＜0，1－a＜0，解得1＜a＜3。由于横纵坐标都是整数，所以a是整数，则a＝2。因此P点坐标为（－3，－1）。（3）组合问题
①常规排列组合【例】由0，1，2，3，4，5六个数组成的六位数从小到大排列，第五百个数是多少？（ ）
A．504123
B．504213
C．504132
D．504231【答案】C【解析】由1为最高位，则根据排列组合规律，共有5×4×3×2×1＝120个数，同理，以2为最高位也有120个数，依次类推，500÷120＝4…20，则第500个数是以5为最高位、从小到大排列的第20个数字。以5为最高位，0为下一位的数字有4×3×2×1＝24个。所以所求数字是以5为首位，0为万位的数。以1为千位上的数，则有3×2×1＝6个数字，故所求数字的千位上的数不为1。以2为千位上的数字同理有6个数字，6＋6＝12，不到20。20÷6＝3…2，依此类推可知千位数字为4的数字中有所求数字，且是千位为4的数字中第二小的数字。因此该数字为504132。
②概率问题【例】有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，但是婚礼操办者并不知道他们彼此之间的关系。只是随机安排座位。问5对夫妇恰好都被安排在一起相邻而坐的概率是多少？（ ）
A．不超过1%
B．超过1%
C．在5‰到1%之间
D．在1‰到5%之间【答案】D【解析】不附加任何条件，10人环线排列的情况总数是；5对夫妇都相邻而坐，则可以看成由两步来完成，首先把每对夫妇看成一个人，5个人环线排列，然后考虑每对夫妇内部的顺序。第一步有种情况；第二步有2×2×2×2×2＝32种情况。所以情况总数是4！＝32。5对夫妇恰好都被安排在一起相邻而坐的概率为32/（9×8×7×6×5）＝2/（9×7×3×5）＝2/945，这个数的值应该略大于2/1000＝2‰，D项最接近。
③容斥原理【例】某地区目前就业状况如下：有2900人报考公务员，博士生有450人，研究生有600人，大学生有1200人，专科生有650人。要保证考上公务员的有600人是同一学历，问至少有多少人考上公务员？（ ）
A．2248人
B．601人
C．2150人
D．1200人【答案】A【解析】由题意可知，每一类别都有尽可能多的人考上，但是不到600人。此时，再多一人，就达到了600人，则研究生599人，大学生599人，专科生599人，博士生450人，即最少有599×3＋450＋1＝2248人，即最少有599×3＋450＋1＝2248人。
④抽屉原理【例】对若干人进行测试，一共5道题，规定每道题做对得2分，没做得1分，做错得0分。考官说这次测试至少有3个人每道题的得分都一致。则至少有多少人参加测试？（ ）
A．450
B．488
C．243
D．487【答案】D5【解析】每道题都有3种得分的可能性，则得分情况共有3＝243种，则至少有243×（3－1）＋1＝487人参加测试。（4）行程问题
①初等行程问题【例】一个人从家到公司，当他走到路程的一半的时候，速度下降了10%，问：他走完全程所用时间的前半段和后半段所走的路程比是（ ）。
A．10:9
B．21:19
C．11:9
D．22:18【答案】B【解析】设前半程速度为10，则后半程速度为9，路程总长为180，则前半程用时9，后半程用时10，总耗时19，一半为9.5。因此前半段时间走过的路程为90＋9×（9.5－9）＝94.5，后半段时间走过的路程为9×9.5＝85.5。两段路程之比为94.5:85.5＝21:19。
②相遇问题【例】甲车从A地，乙车和丙车从B地同时出发，相向而行。已知甲车每小时行65公里，乙车每小时行73公里，丙车每小时行55公里。甲车和乙车相遇后，经过15小时又与丙车相遇，那么A、B两地相距（ ）公里。
A．10100
B．13800
C．10600
D．14800【答案】B【解析】由题意可知，设从出发到甲乙相遇经过了t小时，得65×15＋55×15＋55t＝73t，得t＝100；A、B两地的距离应为：65×100＋73×100＝13800公里。
③追及问题【例】甲和乙在长400米的环形跑道上匀速跑步，如两人同时从同一点出发相向而行，则第一次相遇的位置距离出发点有150米的路程；如两人同时从同一点出发同向而行，问跑得快的人第一次追上另一人时跑了多少米？（ ）
A．600
B．800
C．1000
D．1200【答案】C【解析】由“第一次相遇的位置距离出发点有150米的路程”可知，两个人分别跑了250米和150米，两人相差250－150＝100米。若两人同时从同一点出发同向而行，跑得快的人第一次追上另一人时定多跑了400米，而速度未变，则此时跑得快的人跑了400÷100×250＝1000米。
④行船问题【例】小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把空塑料水壶掉进江中，当他们发现并调过头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？（ ）
A．0.2小时
B．0.3小时
C．0.4小时
D．0.5小时【答案】D【解析】根据题意，小船调转船头追水壶时为顺流，小船的顺流速度是4＋2＝6千米/时；此时水壶与船已经相距2千米，即追及路程是2千米，水壶的速度即为水流速度，则追及时间为2÷（6－2）＝0.5小时。
⑤其他行程问题【例】一条环形赛道前半段为上坡，后半段为下坡，上坡和下坡的长度相等，两辆车同时从赛道起点出发同向行驶，其中A车上下坡时速相等，而B车上坡时速比A车慢20%，下坡时速比A车快20%。问在A车跑到第几圈时，两车再次齐头并进？（ ）
A．22
B．23
C．24
D．25【答案】D【解析】设A车速度为ν，则B车上坡速度为0.8ν、下坡速度为1.2ν，由等距离平均速度公式可知，B车完成一圈的平均速度为
则A车与B车的速度之比为25:24，即A车完成25圈时，两车同时回到起点。（5）比例问题
①工程问题【例】一项工程，甲一人做完需30天，甲、乙合作完成需18天，乙、丙合作完成需15天。甲、乙、丙三人共同完成该工程需（ ）。
A．10天
B．12天
C．8天
D．9天【答案】A【解析】设工作量为90，则甲效率为3，甲效率＋乙效率＝5，乙效率＋丙效率＝6，即甲效率为3，乙效率为2，丙效率为4，则三人合作所需时间为90÷（3＋2＋4）＝10天。
②浓度问题【例】10个完全一样的杯子，其中6个杯子装有10克酒精，4个杯子装有10克纯水。如果从中随机拿出4个杯子将其中的液体进行混合，问最终得到50%酒精溶液的可能性是得到75%酒精溶液的可能性的多少倍？（ ）
A．3/2
B．4/3
C．6/5
D．9/8【答案】D【解析】每个杯子液体质量均为10克，则4杯液体的总质量为40克，若混合液浓度为50%，则要求酒精为20克，即2杯，此时水也应该为2杯；混合液浓度为75%，则要求酒精为30克，即3杯，则此时水应该为1杯；得到50%浓度混合液的概率为，得到75%浓度混合液的概率为，两个概率相除得9/8。
③钟表问题【例】4时30分后，时针与分针第一次成直线的时刻为（ ）。
A．4时40分
B．
C．
D．4时57分【答案】C【解析】时针一小时走30度，每分钟走0.5度；分针1分钟走6度。四点半时，时针与分针的夹角是45度，则第一次成直线需要（180－45）÷（6－0.5）＝24又6/11分，即4点54又6/11分时第一次成直线。
④牛吃草问题【例】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可以在9周内吃光，21只猴子可以在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）（ ）
A．2周
B．13周
C．4周
D．5周【答案】C【解析】设一只猴子每周吃的野果量为1个单位，每周生长的野果量为（21×12－23×9）÷（12－9）＝15个单位。原有的野果量为（23－15）×9＝72个单位。所以33只猴子一共可以吃72÷（33－15）＝4周。（6）其他问题
①年龄问题【例】赵先生34岁，钱女士30岁。一天他们碰上了赵先生的三个邻居，钱女士问起了他们的年龄，赵先生说：他们三人的年龄各不相同，三人的年龄之积是2450，三人的年龄之和是我俩年龄之和。问三个邻居中年龄最大的是多少岁？（ ）
A．42
B．45
C．49
D．50【答案】C【解析】三人年龄之积为2450＝1×2×5×5×7×7，但同时三人年龄之和必须为64且三人年龄各不相同，则有10×5×49＝2450，10＋5＋49＝64，即最大的为49岁。
②日期问题【例】小孙出差归来，发现日历有好几天没翻了，就一次翻了6张，这6天的日期数字加起来是123，请问今天的日期应该是（ ）。
A．26号
B．24号
C．23号
D．21号【答案】B【解析】6个日期数之和是123，平均数就是123÷6＝20.5，也就是说中间两天的日期应该是20号和21号，这6天的日期依次是18、19、20、21、22、23。那么今天的日期应该是24号。
③利润问题【例】小王周末组织朋友自助游，费用均摊，结账时，如果每人付450元，则多出100元；如果小王的朋友每人付430元，小王自己要多付60元才刚好，这次活动人均费用是（ ）。
A．437.5元
B．438.0元
C．432.5元
D．435.0元【答案】A【解析】设参加活动的人数为x，即450x－100＝430x＋60，得x＝8。因此每个人的均摊费用为（450×8－100）÷8＝437.5元。
④统筹规划问题【例】某公司的6名员工一起去用餐，他们各自购买了三种不同食品中的一种，且每人只购买了一份。已知盖饭15元一份，水饺7元一份，面条9元一份，他们一共花费了60元。问他们中最多有几人买了水饺？（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4【答案】C【解析】设买盖饭、水饺、面条的人分别有x、y、z个。由题意则有15x＋7y＋9z＝60，x＋y＋z＝6。两式联立得y＝3（x－1），由于都是整数，所以y只能取0、3、6。由题意可知，y最多取3。
⑤趣味杂题【例】一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得5分；回答不完全正确，得3分；回答完全错误或不回答，得0分。至少（ ）人参加这次测验，才能保证至少有3人的得分相同。
A．89人
B．90人
C．91人
D．92人【答案】C【解析】由评分标准可知，最高得分为50分，最低得分为0分，由于在0～50分之间，1分、2分、4分、7分、47分、49分不可能出现，故共有51－6＝45种不同得分情况，最不利的情况是每种得分情况都有两个人对应，那么若再加一人，则无论他是哪种得分情况都可以保证至少有3人的得分相同，即至少有45×2＋1＝91人参赛。
3技巧点拨
公考题量多，时间紧，考生在应试过程中要抓住技巧，快速解题。从分析数学运算的考查点来看，数学运算考查内容并非在于应考者的知识积累，而在于应考者的反应速度及应变能力。因此，考生要善于总结方法，熟练掌握一些基本的解题技巧：（1）凑整法
利用交换律和结合律，从整数入手，能够帮助考生快速抓住题干的重点，快速进行计算，得出正确答案。（2）查找隐含规律法
找规律解题是最为明智的选择。在行测中，各个题目或多或少，或明或暗都隐含着一定的规律，考生要善于抓住隐含的规律，总结一类题目的解题策略。（3）基准数法。基准数字能够为数字运算提供一个大致的标准，提高考生的运算速度。例如：当遇到两个以上的数字相加时，可以找一个合适的中间数作为基准，然后再加上或减去每个加数与基准数的差，从而求得它们之和。（4）归纳总结、举一反三法
只有善于总结归纳，举一反三，考生才能充分掌握公考的考查规律，提升自己的解题能力。（5）其他
排除法、比较法等常用的客观题解题技巧的运用会帮助考生快速、准确地选出正确的答案，从而提高答题的效率。（二）数字推理
1概述（1）定义
数字推理是指每道题给出一个含有一定规律的数列，但其中缺少一项，要求考生仔细观察这个数列各数字之间的关系，找出其中的规律，然后从四个供选择的答案中选出最合适、最合理的一个来填补空缺项，使之符合原数列的排列规律的题。（2）考查要点
从数字推理考查的重点看，实质就是考查考生对数字的敏感度，主要体现在以下几点：
①归纳数字特点。考生要善于归纳数字特点，提升对数字的认识程度，这是最基本的能力。
②概括数间关系。对数间关系的认识能力是数字推理所考查的最重要的能力。
③判断数列结构。对题干结构的判断能力反映的是考生对数字推理题干的整体认识程度。
2主要题型（1）多级数列【例】1，8，22，50，99，（ ）。
A．120
B．134
C．142
D．176【答案】D【解析】依次将相邻两项作差得7、14、28、49；再次作差得7、14、21，是公差为7的等差数列，即所填数字为21＋7＋49＋99＝176。（2）递推数列【例】3，7，16，65，321，（ ）。
A．4542
B．4544
C．4546
D．4548【答案】C2222【解析】7＝2＋3，16＝3＋7，65＝7＋16，321＝16＋65，第一22项＋第二项＝第三项，即所填数字为65＋321，尾数为5＋1＝6。因此答案选C。（3）分数数列【例】2/3，5/8，13/21，（ ）。
A．21/33
B．35/64
C．41/70
D．34/55【答案】D【解析】分子依次为：2＝1＋1，5＝2＋3，13＝5＋8；分母依次为：3＝1＋2，8＝3＋5，21＝8＋13。从第二项开始，分数的分子为前一个分数的分子、分母之和，分母为前一个分数的分母与所求项分数的分子之和，即所填数字为（13＋21）/（13＋21＋21）＝34/55。（4）幂次数列【例】1，，，，（ ）。
A．
B．
C．
D．【答案】D【解析】，，，，规律为，即所填数字为（5）组合数列【例】2，11，14，（ ），34。
A．18
B．21
C．24
D．27【答案】D2222【解析】3＝1＋2，2＝2－2，11＝3＋2，14＝4－2，幂次项的底数是公差为1的等差数列，指数均为2；偶数项＝幂次项－2，奇数项2＝幂次项＋2。即所填数字为5＋2＝27。（6）图形数阵【例】（ ）。
A．7
B．5
C．3
D．9【答案】C【解析】从每一行来看，15＋2＋3＝20，22＋4＋14＝40，从上至下，若加入10，则每一行三个数字之和可构成公差为10的等差数列，即所填数字为30－10－17＝3。
3技巧点拨
数字推理有一定的难度，并且朝着混合数列的方向发展，着重考查考生的思维能力。考生在备考过程中，要善于总结解题技巧，在提高准确率的基础上加快速度，节省时间。基本解题步骤如下：（1）快速总结数列特点。快速掌握数列的特点是准确解题的关键，考生要培养对数列特点的观察能力，熟悉常见的数列规律，提高对数列的认识能力。（2）观察邻项之间的关系。在难以得出数列特点的情况下，可以通过考察邻项之间的关系，找出数列之间的规律。（3）回归数字本身。在上述方法行不通的情况下，考生可以通过回归数列中的每一个数字本身，寻找其在构成上的特点。
备考数字推理的要领在于培养数字的敏感度，逐步建立“单数字发散、多数字联系”的思维方式；多视角、全方位的观察数字特征，熟练掌握基本题型，开阔视野，以培养对新题型的适应能力。
四、备考策略
（一）数学运算从近几年的考试中，数学运算的难度上升，解题时间长，正确率较低，是考生非常容易失分的题型。为了提高考生在这一题型上的成绩，需要考生掌握正确的解题策略。
1．稳扎基础知识
万变不离其宗，基础知识是考查的重中之重，只有稳扎地掌握基础知识，才能提升考生的解题能力。
2．熟悉基本题型
在备考过程中，考生要注意总结常见的题型，在全面复习的基础上有所侧重，善于总结属于自己的解题方法。
3．提高综合分析能力
数学运算中混合考查是趋势，题目常常是基本题型的复合或是将等量关系隐藏于题干之中，对于这类题，考生的综合分析能力是关键，在复杂问题面前，能够看到本质，挖掘其中深层次的等量关系。
4．练题
数学上练题是关键，一方面能够帮助考生巩固基础知识，另一方面能够培养考生的做题感觉，提高对数字的敏感度。这不仅能够提高数学运算的解题速度和正确率，对数字推理等部分题型的解题也很有帮助。（二）数字推理
1．巩固基础
要想快而准地解答数字推理题，考生要熟练掌握位置关系、数项特征、整体特征、运算关系等基础知识。
2．总结系统方法
考生在备考过程当中，要系统地总结出数字推理的解题方法，在练题的过程中，学会融会贯通，灵活运用。
3．把握规律
数字推理题当中或多或少隐含着数字规律，考生在备考过程中要熟练掌握常见的基本数列及其变式，并掌握图形式数字推理的解题方法，把握规律，提高解题速度。
4．注重实战
勤能补拙，积极练习，培养举一反三的能力，有意识地培养数字敏感度和运算直觉，这是解决数字推理问题的核心所在。
第2章 数学运算
2.1 考点精讲
一、基本解题思想与方法
（一）代入法1概念
代入法是考试中最为常见的解题方法之一，是将题目的选项直接代入题干判断正误的方法。代入法有效地避开了解题的常规思路，绕掉了题目中隐含的各种关系，即使考生不会解题，也能用代入法得出正确的答案。
2应用
代入法在考试中实际应用时，根据应用的方向不同又可分为两类：（1）代入验证
直接将选项代入题干中进行验证的方法，若符合要求，则为正确答案。【例】四个连续的自然数的积为1680，它们的和为（ ）。
A．26
B．52
C．20
D．28【答案】A【解析】设四个自然数中最小的为x，则四个自然数分别为：x，x＋1，x＋2，x＋3，则4个自然数的和为4x＋6，即4个数的和减去6能被4整除，代入选项，只有A符合。（2）特殊值代入法
将题干中某个未知量用特殊值（通常是方便计算）代入，求出结果。【例】一辆汽车以60千米/时的速度从A地开往B地，它又以40千米/时的速度从B地返回A地，则汽车行驶的平均速度为（ ）千米/小时。
A．50
B．48
C．30
D．20【答案】B【解析】假设AB两地距离为120千米，则A地开往B地用了2小时，从B地返回A地用了3小时，来回总路程为240千米，则汽车行驶的平均速度为240÷5＝48千米/小时。（3）代入法的其他形式：代入法经常和粗略判断法、排除法、猜证结合法等综合运用。【例】有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛的长度是粗蜡烛长度的2倍，点完细蜡烛需要1小时，点完粗蜡烛需要2小时。有一次停电，将这样两支蜡烛同时点燃。来电时，发现两支蜡烛所剩长度一样，则此次停电共停了（ ）。
A．10分钟
B．20分钟
C．40分钟
D．60分钟【答案】【解析】因为细蜡烛的长度是粗蜡烛长度的2倍，且点完细蜡烛需1个小时，则所求的时间应在30分钟和60分钟之间，把各选项代入，只有当停电时间为40分钟时符合题意。（二）赋值法
1概念
赋值法是根据题目的具体情况，合理地、巧妙地对某些元素赋值，特别是赋予确定的特殊值，所赋的实际值不影响最终的结果，通常能使问题获得简捷有效的解决。
2应用（1）当题目某些量没有给出具体数值，而只给出比例关系，且具体数值对最终结果没有影响时，一般考虑使用赋值法。（2）赋值法以便于运算、取整运算为原则，若题干中有分数，则赋值要选取分母的倍数。（3）若题干中有比例特征，则根据比例倍数进行赋值。（4）赋值法主要应用于分数应用题、工程问题、行程问题、费用问题等题型中。【例】2013年某种货物的进价为15元/公斤，2011年该货物的进口量增加了一半，进口金额增加了20%，问2014年该货物的进口价格是每公斤多少元？（ ）
A．10
B．12
C．18
D．24【答案】B【解析】设2013年的货物进口量为100公斤，则2013年的进口金额为15×100＝1500元。根据题意，2014年该货物的进口量增加了一半，进口金额增加了20%，则2014年的货物进口量＝100×（1＋0.5）＝150公斤。2014年的进口金额＝1500×1.2＝1800元。则2014年该货物的进口价格为1800÷150＝12元/公斤。（三）逆推法
1概念
有些题目只给出对未知数量经过某些运算而得到的最后结果，要想求出未知量，可以从最后结果出发，运用加与减，乘与除之间的互逆关系，从后往前一步一步地推算，这种方法称为逆推法。
2适用题型
逆推法适用于从正面直接考虑比较复杂的题目，在操作还原问题中应用较多。
考试中出现形式如下题目：A、B、C三堆货物，从A中取出一部分给B，再从B中取出一部分给C，然后再从C中取出一部分给A。已知经过变换后A、B、C的数量，求变换前A、B、C的数量。对于这类题，运用常规方法列出三元一次方程求解可以求出数值，但通常运算量很大，耗时长且易出错。解这类题，常用的方法就是逆推法。【例】甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多；最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有81元，那么甲、乙、丙三人原来的钱分别是多少元？（ ）
A．55，19，7
B．50，23，8
C．40，30，11
D．55，20，6【答案】A【解析】三人最后一样多，都是81÷3＝27元，利用逆推法还原：①甲和乙把钱还给丙，甲乙两人的钱都增加2倍，是原来的3倍，则甲和乙都是27÷3＝9，丙是81－9－9＝63；②甲和丙把钱还给乙，甲9÷3＝3，丙63÷3＝21，乙81－3－21＝57；③最后乙和丙把钱还给甲，乙57÷3＝19元，丙21÷3＝7元，甲81－19－7＝55元。（四）构造极端法
1概念
构造法解题是公务员录用考试中比较常用的方法，其核心是根据题目的要求，对其中的未知量赋以适当的值，构造出满足条件的情况，从而解决问题。
2应用
当题目中出现“至多”“至少”“最多”“最少”“最大”“最小”“最快”“最慢”“最不利”“最有利”等字样时，通常首先分析题意，然后构造出满足题目要求的最极端的情况。【例】调研人员在一次市场调查活动中收回了435份调查问卷，其中80%的调查问卷上填写了被调查者的手机号码。那么调研人员至少需要从这些调查表中随机抽出多少份，才能保证一定能找到两个手机号码后两位相同的被调查者？（ ）
A．101
B．175
C．188
D．200【答案】C【解析】根据题意，最差情况是：①抽取的恰好全部是20%未填手机号码的问卷，共有87份；②再次抽取的手机号码后两位全不同，这2类情形根据排列组合原理为10，共100份。故至少需抽到188份才能保证符合条件。因此答案选C。（五）方程法
1概念
方程法是指将题目中未知的数用变量（如x，y）表示，根据题目中所含的等量关系，列出含有未知数的等式（组），通过求解未知数的数值，来解应用题的方法。因其为正向思维，思路简单，故不需要复杂的分析过程。根据未知数和计算式的个数是否相同，可以将方程分为两种：①常规方程；②不定方程。
2应用（1）设未知数
设未知数的原则有：
①设题目所求的量为未知量；
②以便于理解为准，设出来的未知数要便于列方程；
③尽量减少未知数的个数，方便解方程。
具体而言，可以利用比例关系、取中间量等技巧优化未知数，达到便于列方程和解方程的目的。（2）快速建立方程
快速建立方程的核心在于抓住题目条件中的等量关系。等量关系条件一般有两种：
①条件中出现“相等”“同样”“一样”等词；
②表述为“A比B多（高）……”形式。（3）消未知数
消未知数原则
①方程组消未知数时，应注意保留题目所求未知量，消去其它未知量。
②消未知数时注重整体代换。（4）解方程组
①解方程组可采用消元法、整体法、换元法等提高求解效率；
②不定方程需要利用整数的整除性、奇偶性、尾数等来确定方程的解。【例】小张和小赵从事同样的工作，小张的效率是小赵的1.5倍。某日小张工作几小时后小赵开始工作，小赵工作了1小时之后，小张已完成的工作量正好是小赵的9倍。再过几个小时，小张已完成的工作量正好是小赵的4倍？（ ）
A．1
B．1.5
C．2
D．3【答案】C【解析】令小张每小时的工作量为3，则小赵每小时的工作量为2，设再过x小时，小张已完成的工作量正好是小赵的4倍，则2×9＋3x＝4×（2＋2x），得x＝2小时。（六）图解法
1概念
图解法运用的图形包括线段图、网状图/树状图、文氏图和表格等手段将抽象的数量关系直观展示出来，以辅助解题的方法。
2应用（1）线段图：解决和差倍比问题、行程问题等。（2）网状图或树状图：一般用来解决排列组合问题、推理问题或者时间安排类的对策分析问题。（3）文氏图：容斥问题、集合问题。（4）表格：多次操作问题和还原问题中的复杂过程。【例】A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处。甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航。水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同。如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是（ ）米/秒。
A．8
B．10
C．12
D．15【答案】B【解析】假设两船在M地第一次相遇，在N地第二次相遇（如图所示）。因为两船在静水中的速度相同，则两船的顺水速度和逆水速度分别相同，由此可得AN＝BM，那么第一次相遇时，乙船走了（100－20）÷2＝40千米，甲船走了100－40＝60千米。故两船的顺水速度与逆水速度之比为60:40＝3:2。设船在静水中速度为x米/秒，则（x＋2）:（x－2）＝3:2，x＝10米/秒。
图2-1
二、计算问题
（一）数的性质1奇偶性与质合性（1）奇数与偶数
能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数为奇数，0是偶数。关于偶数和奇数有下面的性质：
①两个连续整数中必是一个奇数一个偶数。
②奇数与奇数的和或差是偶数；偶数与奇数的和或差是奇数；任意多个偶数的和都是偶数；单数个奇数的和是奇数；双数个奇数的和是偶数，即“同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇”。
③奇数与奇数的积是奇数；偶数与偶数的积是偶数；奇数与偶数的积是偶数。即“乘数有偶则为偶，乘数无偶则为奇”。
④若干个整数的连乘积，如果其中有一个偶数，乘积必然是偶数。
⑤相邻偶数最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半。
⑥除2外所有的正偶数均为合数。
⑦偶数的平方被4整除，奇数的平方被8除余1。【例】某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分。问答对题数和答错题数（包括不做）相差多少？（ ）
A．33
B．39
C．17
D．16【答案】D【解析】答对的题目＋答错的题目＝50，是偶数，则答对的题目与答错的题目的差也应是偶数。D项，16为偶数，符合题意。（2）质数与合数
①质数
如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数），如2、3、5、7、11、13…
②合数
如果一个大于1的正整数除了能被l和它本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数，如4、6、8、9、10…
③1既不是质数也不是合数。
④质因数
每个合数都可以写成几个质数相乘，这几个质数都叫这个合数的质因数。
2数的整除
两个整数a，b，如果a÷b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除（或者说b能整除a），称a是b的倍数（或者说b是a的约数）。（1）整除性质
①如果数a能被b整除，数b能被c整除，则a能被c整除。
②如果数a和数b能同时被数c整除，那么a±b也能被数c整除。
③如果数a能被数b整除，c是任意整数，那么积ac也能被数b整除。
④如果数a能被b整除，同时能被c整除，且b和c互质，则数a能被b·c整除。
⑤如果数a能同时被数b和数c整除，那么数a能被数b与数c的最小公倍数整除。（2）整除判定
要判断一个数是否能被其他数整除，根据除数的不同，可通过查看被除数的末位数、数字和或数字差等方式来确定。
①能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性
a．能被2（或5）整除的数，末一位数字能被2（或5）整除；
b．能被4（或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；
c．能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；
d．一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得的余数；
e．一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得的余数；
f．一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数。
②能被3、9整除的数的数字特性
a．能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除；
b．一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。【例】下列四个数都是六位数，X是比10小的自然数，Y是零，一定能同时被2、3、5整除的数是多少？（ ）
A．XXXYXX
B．XYXYXY
C．XYYXYY
D．XYYXYX【答案】B【解析】这个六位数能被2、5整除，则末位为0；这个六位数能被3整除，则六位数各位数字和是3的倍数，因此答案选B。
3公约数与公倍数（1）约数与倍数
如果一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。其中，一个数的最小约数是1，最大约数是它本身。（2）公约数与公倍数
①几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。
②几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。公倍数中最小的一个大于零的公倍数，叫这几个数的最小公倍数。【例】某生产车间有若干名工人，按每四个人一组分，多一个人；按每五个人一组分，也多一个人；按每六个人一组分，还是多一个，该车间至少有多少名工人？（ ）
A．31
B．41
C．61
D．122【答案】C【解析】由题意可知，该车间工人数减去1以后是4、5、6的公倍数，而4、5、6的最小公倍数为60，因此该车间至少有60＋1＝61人。
4余数（1）基本余数问题
余数基本关系式：被除数÷除数＝商…余数（0≤余数＜除数）
余数基本恒等式：被除数＝除数×商＋余数
核心公式：被除数＝除数×商＋余数（0≤余数＜除数）；被除数－余数＝除数×商，这也可以看作具有整除性质，在余数计算中常有使用。【例】33÷70小数点后第1000位上的数字是（ ）。
A．4
B．2
C．8
D．1【答案】A【解析】33÷70＝0.47142857142857…，可以看出商的小数点后面数字部分从第二位开始，以7、1、4、2、8、5这6个数字为一周期循环出现的。（1000－1）÷6＝166…3，余数为3，可知小数点后第1000位上的数字是该循环的第3个数为4。（2）同余问题
同余指两个整数，若他们除以同一个整数所得的余数相同。
①余同取余：如果一个被除数的除数不同，余数相同，那么这个数的通项公式可以表示为几个除数的公倍数加上除数共同的余数。
②和同加和：如果一个被除数的除数不同，除数与余数的和相等，那么这个数的通项公式可以表示为几个除数的公倍数加上除数与余数的和。
③差同减差：如果一个被除数的除数不同，除数与余数的差相等，那么这个数的通项公式可以表示为几个除数的公倍数减去除数与余数的差。【例1】一个整数除以5余3，用所得的商除以6余2，再用所得的商除以7余1，用这个整数除以35，则余数为（ ）。
A．8
B．19
C．24
D．34【答案】A【解析】由题意可知，题中除数与余数相加均为8，由同余问题的口诀“差同减差，和同加和，余同取余，公倍数作周期”可知，这个数为210n＋8。又因为210能被35整除，则这个数除以35的余数为8。因此答案选A。【例2】有一个两位数，除以3的余数为2，除以4的余数是1，则这个数除以12的余数是（ ）。
A．0
B．5
C．1
D．6【答案】B【解析】由“和同加和，公倍数做周期”可知，满足条件的整数为5＋12n（n≥1），故该整数除以12的余数为5。
5多位数问题
多位数问题主要涉及一位数、两位数、三位数等多位数的构造、求值以及判定位置等问题。在这类问题中，考查重点是考生的分析数字的能力，需要考生能够将题目条件迅速转化为相应的数字形式。多位数问题考查技巧涉及多位数构造、数字拆分、数字结构分析、直接代入验证等多个技巧。（1）多位数构造
多位数构造指题目给出某多位数的数位信息，构造出具体的多位数。【例】由1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的五位数中，有多少个大于34152？（ ）
A．50
B．54
C．58
D．60【答案】C【解析】由题意可知，大于34152的五位数有以下几种情况：①万位数是4或5时，分别有4×3×2×1＝24个；②万位数是3，千位数是5时，有3×2×1＝6个；③万位数是3，千位数是4时，有4个：34215，34251，34512，34521。则共有24＋24＋6＋4＝58个数。（2）数字拆分
数字拆分指因为数字的特殊结构，需要对每位数上的数字单独分析的方法。【例】一个自然数（0除外），如果它顺着数和倒过来数都是一样的，则称这个数为“对称数”。例如，2，101，1331是对称数，但220不是对称数。由数字0，1，2，3组成的不超过3位数的对称数有（ ）个。
A．9
B．12
C．18
D．21【答案】C【解析】一位数有3种情况，分别为1，2，3（注意0除外）；两位数有3种情况，分别为11，22，33；三位数要为对称数，其百位数字不能为0，且应与个位数字相同，只有3种选择，而十位数字可以为任意情况，有4种选择，因此符合要求的三位数有3×4×1＝12个。综上所述，对称数共有3＋3＋12＝18个。（3）数字结构分析
数字结构分析指通过对数值的每个位数或添加数字在某些位数后，结构上发生的一些变化，通过对这些结构变化上的分析，得出具体的数字。【例】有一个两位数，如果把数码1加在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1加在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而这两个三位数相差414，求原来的两位数？（ ）
A．35
B．43
C．52
D．57【答案】D【解析】设这个数十位为x，个位为y，则这个数可表示为10x＋y，将1加在这个数前形成的新数为a＝100＋10x＋y，将1加在其后形成的新数为b＝100x＋10x＋1，由两数相减为414，可知b的个位“1”减去a的个位“y”结果应为4，则y应为7。因此答案选D。（二）算式计算
1比较大小问题
题目给出一组数据，要求找出其中的最大值、最小值，或者是对这组数据进行排序，这是计算问题的一种题型。一般进行比较的数字为无理数或者分数。
2解题技巧（1）作差法
对任意两数a，b
①如果a－b＞0，则a＞b；
②如果a－b＜0，则a＜b；
③如果a－b＝0，则a＝b。（2）作比法
①当a，b为任意两正数时
a．如果a/b＞1，则a＞b；
b．如果a/b＜1，则a＜b；
c．如果a/b＝1，则a＝b。
②当a，b为任意两负数时
a．如果a/b＞1，则a＜b；
b．如果a/b＜1，则a＞b；
c．如果a/b＝1，则a＝b。（3）中间值法
对任意两个数a、b，若能找到一个中间值c，满足a＞c且c＞b，则可以推出a＞b。【例】分数4/9、17/35、101/203、3/7、151/301中最大的一个是（ ）。
A．4/9
B．17/35
C．101/203
D．151/301【答案】D【解析】要比较的分数都在1/2附近，则比较这些分数与1/2的大小关系。由于9/2＝4.5＞4，35/2＝17.5＞17，203/2＝101.5＞101，7/2＝3.5＞3，而301/2＝150.5＜151，则大于1/2的只能是151/301，因此答案选D。（4）通分比较法
根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母的分数进行比较。
①先找出这几个分数的分母的最小公倍数；
②根据分数的性质，将分数化成相同的分数；
③根据分子的大小来确定分数的大小。【例】下列选项中，大于3/5而小于5/7的数是（ ）。
A．4/7
B．103/140
C．25/34
D．47/70【答案】D【解析】BD两项，分母是5、7的公倍数。将3/5与5/7通分，为36/70与50/70，而47/70在36/70与50/70区间。因此答案选D。
2平均值问题
平均值分为算术平均数、加权平均数、调和平均数等。其中以算术平均值最常见，掌握各种平均值解法就能很容易的解决问题。（1）算术平均数
①概念
算术平均数，又称均值，是统计学中最基本、最常用的一种平均指标，分为简单算术平均数、加权算术均数。
②简单算术平均数＿
主要用于未分组的原始数据，其计算公式为x＝（x＋x＋x＋…123＋x）/nn【例】有四个数，去掉最大的数，其余三个数的平均数是41，去掉最小的数，其余三个数的平均数是60，最大数与最小数的和是95。则这四个数的平均数是（ ）。
A．49.75
B．51.25
C．53.75
D．54.75【答案】A【解析】将所有情况合为整体，恰好每个数字被计算两次，则平均数＝（41×3＋60×3＋95）÷2÷4＝49.75。
③加权算术平均数
主要用于处理经分组整理的数据，其计算公式为
其中，w，w，w，…，w分别为x，x，x，…，x的权。123n123n【例】在一次法律知识竞赛中，甲机关20人参加竞赛，平均分是80分，乙机关30人参加竞赛，平均分是70分，请问两个机关参加竞赛的人的总平均分是多少？（ ）
A．76分
B．75分
C．74分
D．73分【答案】C【解析】两个机关参赛人员的总平均分是（80×20＋70×30）÷（20＋30）＝74分。（2）调和平均数
调和平均数又称倒数平均数，是总体各统计变量倒数的算术平均数的倒数。其计算公式为【例】，则T值的整数部分是（ ）。
A．180
B．181
C．182
D．183【答案】C【解析】1/T＝1/2002＋1/2003＋…＋1/2012，因此2002/11＜T＜2012/11，得182＜T＜182.9，即T的整数部分应为182。
3数列问题（1）常用数列推理公式
①1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝（1/2）n（n＋1）；2
②1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n；2222
③1＋2＋3＋…＋n＝（1/6）n（n＋1）（2n＋1）；2222
④1＋3＋5＋…＋（2n＋1）＝1/3（2n－1）（2n＋1）；2222n－12n－1
⑤1－2＋3－4＋…＋（－1）n＝（－1）（1/2）n（n＋1）；
⑥1×2＋2×3＋3×4＋…＋n（n＋1）＝（1/3）n（n＋1）（n＋2）；33332
⑦1＋2＋3＋…＋n＝[（1/2）n（n＋1）]。（2）等差数列
从第二项起，每一项与前一项之差为一个常数的数列，该常数称为公差。
①通项公式
a＝a＋（n－1）dn1
其中，a表示数列的第一项，a表示数列的第n项，d表示公差。1n
②求和公式
③对称公式
当m＋n＝p＋q时，有a＋a＝a＋a，特别地，当m＋n＝2p时，mnpq则有a＋a＝2a。mnp
④等差中项
在数值a、b之间插入一个数值M，使得M＝（a＋b）/2，称M是数列a、M、b的等差中项。对于有n个数值，且n是一个有限的数值等差数列：
a．n是奇数，等差中项M＝a（n＋1）/2＝（a＋a）/2，求和公1n式为Sn＝Mn；
b．n是偶数，等差中项M＝（a/2＋a/2＋1）/2，求和公式为Snnn＝Mn。【例】如果按一定规律排出的加法算式是：3＋4，5＋9，7＋14，9＋19，11＋24，…，第80个算式是（ ）。
A．157＋389
B．159＋394
C．163＋404
D．161＋399【答案】D【解析】加号前面的数构成公差为2的等差数列，加号后面的数构成公差为5的等差数列，由等差数列的公式可得加号前面的数字为2×（80－1）＋3＝161，加号后面的数位5×（80－1）＋4＝399，第80个算式是161＋399。（3）等比数列
相邻两项的数值的比值是一个非零常数的数列，该常数称为公比，简化为q。当然，等比数列也会涉及到计算，而且数列有规律，所以也会有通项公式和求和公式。
①通项公式（n－1）
a＝aqn1
其中，q表示公比，a表示数列的第一项，a表示数列的第n项。1n
②求和公式
a．q≠1时，
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]