作者：张初兵
出版社：北京普华文化发展有限公司
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连续时间下确定缴费型养老金的最优化管理试读：
前言
随着经济社会的发展，养老保险制度发挥着越来越重要的作用。在社会人口老龄化速度加快的背景下，老年人口的比例越来越大，人数也越来越多，养老保险为老年劳动者提供了基本生活保障，因此，养老保险对社会的稳定和发展有着非常重要的作用。
由于人口演化和经济波动，养老金面临诸多不确定性因素，如工资结构、职工流动、股价波动、通货膨胀及利率变化等。众所周知，这些人口统计变量和经济变量的变化不是确定的而是随机的。基于此，随机模拟理论和随机控制理论早已被应用于对养老金的最优化管理的研究中。本书应用数理方法研究连续时间下确定缴费型养老金的最优化管理问题，旨在对现有确定缴费型养老金的最优化管理模型进行扩展，并对所构建的数理模型进行最优化求解。全书分别从随机利率模型、随机工资模型、随机波动率模型和均值-方差目标四个方面进行了数学建模求解，主要研究内容如下。
第四章，分别对仿射利率模型（包含Vasicek模型和CIR模型）和仿射利率模型下带有随机工资的确定缴费型养老金的最优化管理问题进行了建模求解。
第五章，分别对对数效用和指数效用下带有随机工资的确定缴费型养老金的最优化管理问题进行了建模求解。
第六章，分别假设风险资产服从CEV模型和Heston模型，并在不同的随机波动率模型下对确定缴费型养老金的最优化管理问题进行了建模求解。
第七章，在均值-方差目标下，分别对风险资产服从GBM模型和CEV模型下带有随机工资的确定缴费型养老金的最优化管理问题进行了建模求解。
本书顺利出版得益于“天津市高等教育科技发展基金（20100821）”和“天津财经大学优秀青年学者培育计划（TJYQ201201）”的资助。在本书即将付梓之际，特别要感谢天津大学理学院荣喜民教授的悉心指导。同时，还要感谢常浩、赵慧、范立鑫、孙海洋、贺芳、宫妍、司震寰、宋梦吟的支持与帮助。在本书的编写过程中，我参考了国内外许多学者的相关研究成果，并在书后列出了主要参考文献，在此一并向他们表示感谢。
第一章 绪论
第一节 研究背景
一、全球人口老龄化趋势明显，机遇与挑战并存
[1]根据百度百科的定义，人口老龄化是指总人口中因年轻人口数量减少、年长人口数量增加而导致的老年人口比例相应增长的动态过程。国际上通常将60岁以上人口占总人口比重达到10%，或65岁以上人口占总人口比重达到7.0%作为国家或地区进入老龄化社会的标准。
根据美国统计局公布的数据，全球65岁以上人口比例在2001年达到7.0%，并且此后基本上以年均0.1%的速度递增，在2012年已达[2]到8.0%。其中，日本人口老龄化程度最高，2010年日本65岁以上人口占总人口的比重已达到23%。换句话说，每5个日本人中就至少有1个65岁以上的老年人。全球65岁以上人口比例如表1-1所示。表1-1 全球65岁以上人口比例
数据来源：美国统计局数据
美国统计局于2009年基于历史数据对全球人口老龄化趋势做出预测，到2015年，全球65岁以上人口占比将首次超过5岁以下人口占比；到2040年，全球65岁以上人口占比将达到14%；发达国家的老龄化率较高，但是发展中国家的老龄化率增速很快。根据《世界人口老龄化:1950—2050》研究预测，到2050年，全球老年人口数量将在历史上首次超过年轻人口的数量。因此，人口老龄化不仅不可能在短期内逆转，而且会越来越严重。
人口老龄化会给现有的经济社会带来前所未有的挑战。首先，人口老龄化会降低劳动力的供给数量，从而制约经济的发展。劳动力供给不足会严重影响一国的经济发展。这种现象在发达国家表现得十分明显。其次，人口老龄化会加重社会负担，随之带来很多问题。人口老龄化程度高，相应地退休人口就多，与之匹配的养老保障、医疗卫生和公共服务等方面的压力会越来越大。例如，在一些发达国家，养老保险支出已经约占国内生产总值的10%，医疗卫生支出占比也达到了10%。
人口老龄化趋势日益严峻，但是人口老龄化不仅仅是一种挑战，同样还会给经济社会带来机遇。例如，人口老龄化会催生新的老龄产业；老年人具有丰富的生活和工作的经验。因此，我们不能完全用消极的态度去看待人口老龄化，而应该从更积极的视角去应对人口老龄化。其实，人口老龄化既会抑制社会经济的发展，又会推动社会经济的发展。这就要求政府在制定各项政策时，须充分考虑人口老龄化问题。例如，日本政府早在20世纪就陆续出台了《国民年金法》、《老人福利法》和《老人保健法》，并在2000年开始执行“看护保险制度”，以解决老年人生活不能自理的问题。此外，日本政府还通过政策措施鼓励员工延长退休年龄，引导老年人由“老有所养”转变为“老有所为”。
二、中国人口老龄化增速快，老龄化问题十分严峻
2000年，我国65岁及以上人口占总人口的比重达到7%，这标志着我国正式进入老龄化社会。根据《2012年国民经济和社会发展统计公报》，到2012年，我国60岁及以上人口为19 390万人，占总人口的14.3%；65岁及以上人口为12 714万人，占总人口的9.4%，超出我国2000年时约0.24个百分点，超出全球约0.14个百分点。2012年年末中国人口数及其构成如表1-2所示。
根据《中国老龄事业发展报告（2013）》，2013年我国老年人口数量将达到2.02亿人，人口老龄化水平已达到14.8%，16～59岁的劳动年龄人口，从2011年的峰值 9.40亿人下降到 2013年的 9.36亿人。根据经济合作与发展组织（OECD）的人口发展预测，到2030年，中国65岁以上人口占比将超过日本，成为全球人口老龄化程度最高的国家。我国快速迈向人口老龄化社会大势已定，无法逆转，生育率能[3]否尽快走出低谷是决定中国人口未来的关键（蔡泳，2012）。表1-2 2012年年末中国人口数及其构成
数据来源:中国统计局数据
尽管我国当前人口老龄化比率较低，但是我国人口老龄化的增速很快。从国内外人口老龄化问题对比来看，我国人口老龄化问题会十分严峻。人口老龄化可能给我国未来的经济增长潜力带来长期的不利[4]影响（胡鞍钢等，2012）。
首先，美国、日本等发达国家在进入人口老龄化社会之前基本都已实现现代化，而我国是在经济发展的过程中进入人口老龄化社会[5]的。不过，王志宝等（2013）利用1990～2010年的统计数据分析了我国人口老龄化的区域差异，研究发现，我国各省区的人口老龄化演变阶段差异较大，但是基本未出现“未富先老”，人口老龄化并未阻碍经济的发展。上述两种观点完全对立，但都有一定的道理。相对美国、日本等发达国家而言，“未富先老”的观点成立；若只是从我国区域经济发展与人口老龄化关系来看，“未富先老”的观点有待商榷。但是，无论是何种观点都不能否认我国人口老龄化趋势将会加速，在未来也会给经济社会带来沉重负担。
其次，尽管绝大多数人都已认识到我国人口老龄化问题越来越突出，但是未对即将到来的人口老龄化危机做充分的准备。在人口老龄化背景下，我国医疗保险制度出现许多新的问题:参保人员结构老化、医保“隐性债务”增加、医疗保险基金支出增加（林森和张军涛[6][7]，2013）。董志强等（2012）基于1996～2009年省级数据，以基尼系数衡量收入不平等，从经验上证实了我国人口老龄化的确显著地加剧了我国的收入不平等。不过，人口老龄化也会带来一些积极作用。例如，人口老龄化会对人身保险市场有推动作用，并且老龄化程度越[8]高，这种推动作用越明显（张连增和尚颖，2011）。
三、中国现行养老保险制度尚需完善
我国现有四种养老保险计划，包括1951年建立的城镇职工基本养老保险（简称“基本养老保险”），1953年建立的机关事业单位养老保险，2009年推出的新型农村养老保险和2011年推出的城镇居民[9]养老保险（合称“城乡居民养老保险”）（封进，2013）。同时，我国还形成了三个不同层次的养老保险计划，即基本养老保险计划、企业补充养老保险计划和个人储蓄型养老保险计划。
基本养老保险是我国养老保险体系中的第一层次，也是最高层次。基本养老保险的目的是为保障全社会离退休人员的基本生活需要，它是国家根据统一的政策规定强制建立和实施的。我国基本养老保险计划将社会统筹与个人账户整合在一起，是全球首创的一种新型基本养老保险计划。社会统筹由国家、单位和个人三方共同负担，体现了社会共济的原则；而个人账户实行个人负担，强调自我保障与激励的原则。根据人力资源社会保障部公布的“2012年全国社会保险情况”[10]，截至2012年底，全国参加城镇职工基本养老保险人数为30 427万人，比上年末增加了2 036万人。其中，参保职工为22 981万人，参保离退休人员为7 446万人。2012年，全国城镇职工基本养老保险基金收入为20 001亿元，比上年增加了3 106亿元；基金支出为15 562亿元，比上年增加了2 797亿元；年末基金累计结存为23 941亿元，比上年增加了4 445亿元。
企业补充养老保险，也称企业年金，是我国养老保险体系中的第二层次，它并不是国家强制的，而是企业根据自身实力，在国家政策支持下自愿建立的。企业补充养老保险由企业和职工共同缴纳，建立职工养老金个人账户，这部分资金经过商业运营，在职工退休时根据缴费额和投资收益率来确定退休人员养老金领取的额度。还需注意的是，企业补充养老保险既不是商业保险，也不是社会保险，因而既不具有盈利性，也不具有强制性，它是企业的一项福利制度。一般来说，基本养老保险并不能保障退休人员维持原有的生活水平，企业补充养老保险的实施能够在一定程度上解决这个问题。总体上，对政府而言，企业补充养老保险能够降低政府养老负担；对企业而言，企业补充养老保险能够激励员工，增强企业竞争力与凝聚力；对个人而言，企业补充养老保险能够保障甚至提高员工退休后的生活水平。不过，我国目前推行企业补充养老保险的企业相对较少。根据人力资源社会保障部公布的数据，截至2013年第二季度，我国仅有59 363个企业建立了企业补充养老保险，约1 957.30万职工享有企业补充养老金。
个人储蓄型养老保险是我国养老保险体系中的第三层次，它是由个人根据需要投保商业型养老保险产品来实现的。不过，我国个人储蓄型养老保险的发展过于缓慢，并未在我国养老保险体系中发挥显著的作用。按照国际标准，商业型养老保险在整个养老保险体系中的比例应占到25%～40%，而我国商业型养老保险的占比远远低于这一标准。但是，近年来，这种局面有所改善，随着生活水平的提高，人们保险意识的增强，以及养老保险公司产品与服务的完善，有越来越多的人开始投保于商业型养老保险。根据中国保险监督管理委员会网站[11]公布的数据，2013年1～5月，我国寿险公司原保费收入为5 086.55亿元，同比增长了5.88%，寿险公司总资产为63 728.43亿元，较年初增长了4.49%。
我国现行养老保险制度还存在其他不足。比如，事业单位人员退休养老金和企业人员退休养老金执行两种截然不同的制度，即养老金“双轨制”。首先，两者的筹资方式不同，前者由财政统一筹资，而后者是由企业与员工按一定比例缴纳；其次，两者的退休支付方式不同，前者由财政统一支付，而后者是由自筹账户支付；再次，两者的[12]受益额有差距。很多学者对此进行了深入研究，如，张翼（2012）指出应借鉴国外经验，尽快提升我国社会养老保险统筹层次，整合养[13]老金制度体系，扩大养老金覆盖面；封进（2013）认为应降低企业养老保险缴费率，统一企业和事业单位养老金。
四、中国养老基金投资运行效率尚需进一步提高
我国养老基金逐渐面临入不敷出的窘境，养老保险覆盖面较窄，养老基金资金来源匮乏，这些都加重了我国养老基金的资金缺口。在这种背景下，如何通过改进养老基金的资本化运作提高养老基金收益[14]率、化解养老风险，值得我们关注与思考。
2011年7月起施行的《社会保险法》规定，包括基本养老保险基金在内的社会保险基金在保证安全的前提下，按照国务院规定投资运营实现保值增值，这里规定的投资渠道仅为购买国债和银行存款。而《全国社会保障基金投资管理暂行办法》规定，作为战略储备养老金的社会保险基金投资范围限于银行存款、买卖国债和其他具有良好流动性的金融工具，包括上市流通的证券投资基金、股票、信用等级在[15]投资级以上的企业债、金融债等有价证券。 因此，我国养老基金的投资运行效率相对较低。尽管我国养老基金的安全性和流动性得到了很好的保障，但是这种投资方式并不能消除由通货膨胀而造成的贬值，更不能抵制由于人口老龄化而加剧的养老基金缺口。
目前，我国养老保险基金的投资渠道有限，投资市场尚未完全开放，在投资模式与类别方面，基本养老保险金除少部分委托社保基金管理外，统筹层次大部分在省级（2010年年末31个省市建立省级统[16]筹制度），资金基本以银行存款和国债形式存在（王怡等，2012）。随着人口老龄化的发展，我国未来养老保险基金的需求将不断增加，而受投资范围限制及通货膨胀、利率下调等因素的影响，我国养老保险基金投资收益率很低，特别是占全部养老保险基金60%的基本养老[17]保险基金的实际收益率甚至为负数（杨华，2012）。
实际上，我国资本市场的投资管理主体和客观市场条件已为养老基金的入市奠定了良好的基础，政府主管部门应逐步放宽关于养老基金投资的限制，在考虑安全性的同时兼顾投资的收益性，并保证提高[18]养老金的购买力，真正起到保障的作用（韩立岩和王梅，2012）。从我国的实际情况出发，促进养老基金投资运营需妥善解决好以下三个关键问题:选择合适的个人账户基金投资运营模式；培育一批投资能力强的养老基金管理机构；正确处理收益与风险之间的关系（熊军[19]，2011）。
五、中国养老基金试点投资收益良好，需完善制度建设
我国目前的基本养老个人账户的名义账户收益难以抵御通货膨胀，部分基金制功能难以有效发挥，在既定的制度替代率目标水平下，较低的投资收益水平将会导致制度缴费率提高，而我国社会保险缴费已达到国际水平，通过提高缴费率来填补养老金隐性债务和保证制度[20]替代率的途径也难成为现实（陈志国和冯梦如，2012），反而通过养老基金的投资来实现保值增值才是明智之举。根据《社会保障“十二五”规划纲要》，政府将积极推进养老保险基金投资运营，实现养老基金保值增值。根据《中国保险业发展“十二五”规划纲要》，政府将适时调整保险资金投资政策，不断拓宽保险资金运用的渠道和范围，稳步推动保险资金投资于不动产、未上市股权和战略性新兴产业。
根据《中国养老金发展报告（2012）》公布的数据，2011年，在32个统筹单位中，如果剔除财政补贴，2010年有17个收不抵支，缺口为679亿元；2011年收不抵支的单位虽然减少到14个，但收支缺口却高于2010年，缺口为767亿元。为解决这一问题，我国从2000年开始了“做实”个人账户试点。截至2011年底，全国已有13个省份试点做实养老金个人账户，包括辽宁、吉林、黑龙江、天津、山西、上海、江苏、浙江、山东、河南、湖北、湖南、新疆，共积累养老金个人账户基金2 703亿元，但其与记账额之间的差额，仍达到2.23万亿元。不过，仅从增长率来看，试点养老金投资运营的收益率达到了 [21]9.17%，状况良好。
2012年3月，经国务院批准，广东省政府委托全国社会保险基金理事会对广东省企业职工基本养老保险结存资金的1 000亿元进行为[22]期两年的投资运营。这是我国首次准许地方基本养老基金投资入市。全国社会保障基金于2012年年报首次披露了广东省的1 000亿元基本养老金委托投资运营情况，截至2012年底，该基金权益余额为1 034.09亿元。这次广东省基本养老基金投资入市试点取得的成绩能够有效推动我国政府在其他省份进一步试点，甚至在未来可推广至全国。目前，这是地方养老基金投资入市的唯一渠道。除此之外，地方养老基金只能购买国债或是存入财政专户，其年均收益率极低，若扣除通货膨胀率，则年均收益率会变为负值。如果各省基本养老基金的总数额越大，那么由此所带来的损失就越惨重。这次广东省养老基金投资入市试点成功是我国地方养老基金投资入市的有益尝试。这也进一步验证了对养老金进行良好的投资运营是其保值增值的关键。
不过，我国养老基金投资入市渠道的放开不是一蹴而就的，需要相应的投资运营实施细则的出台，届时才能解决我国养老基金投资渠道单一、收益率较低等问题，进而实现养老基金的保值增值。
第二节 研究的目的与意义
一、研究目的
由于人口演化和经济波动，养老金面临诸多不确定性因素，如工资结构、职工流动、股价变动、通货膨胀及利率变化等。众所周知，这些人口统计变量和经济变量的变化不是确定的而是随机的。由此，随机模拟理论和随机控制理论早已被应用于养老金最优化管理的研究中。
本书写作的总体目标旨在对现有确定缴费型养老金最优化管理模型进行扩展，并对所建构的数理模型进行最优化求解。所得研究结论希望对确定缴费型养老金最优化管理相关问题有所借鉴。
根据不同的分析视角及其模型的构建方式，本书的具体内容主要有以下四个方面。（1）假设确定缴费型养老金最优投资模型中的利率是随机的，分别对仿射利率模型和仿射利率模型带有随机工资的养老金最优投资问题进行了建模求解。（2）假设确定缴费型养老金最优投资模型中的工资水平是随机的，分别在对数效用函数和指数效用函数下带有随机工资的养老金最优投资问题进行了建模求解。（3）假设确定缴费型养老金最优投资模型中的股价是随机的，分别在CEV模型和Heston模型下对养老金最优投资问题进行了建模求解，其中CEV模型和Heston模型各具特点。（4）假设确定缴费型养老金最优化管理的目标不是终端时刻的期望效用最大化，而是以均值-方差为目标，其更具可操作性，由此，分别在股价服从GBM模型和CEV模型下对养老基金最优投资问题进行了建模求解。
上述内容是对现有关于确定缴费型养老金最优化管理问题的数理建模及其求解的一次扩展与延伸，将进一步推动相关数理模型的一般化，确保符合我国现有养老金投资市场的需求，进而较好地指导实践。
二、研究意义
养老金的设计方法包括确定给付型和确定缴费型两种。确定给付型养老金的养老金给付额是由基金管理者提前确定的，并且为了维持养老金的平衡，缴费率可随时调整，因此相关金融风险由基金管理者承担。确定缴费型养老金的缴费率是由投保人提前确定的，养老金给付额的多少依赖于养老金的投资回报率，因此相关金融风险由投保人承担。本书研究的是确定缴费型养老金，全书对确定缴费型养老金的最优化管理问题进行了数学建模与求解，具有重要的理论意义和现实意义。
1.理论意义
关于确定缴费型养老金最优化管理问题的研究，绝大多数学者都是以终端退休时刻财富的期望效用最大化为目标，从而求得最优投资组合策略。采用的效用函数包括幂效用函数、指数效用函数、对数效用函数。同时，绝大多数学者都假设股价服从几何布朗运动，并结合随机利率或随机工资对养老金最优投资问题进行建模研究。但是，上述研究存在以下三项缺陷。（1）以效用最大化为目标求得的最优投资策略通常是短视的，同时在实际操作过程中，很难针对不同的投资人挑选合适的效用函数，更难了解投资人是如何通过风险和收益的权衡来做投资决策的。（2）股价服从几何布朗运动不符合现实金融市场的情况，其描述风险资产价格的变化经常会导致与现实市场状况不一致。大量实证数据分析显示，风险资产价格的波动率并非常数。（3）随机利率服从Vasicek模型的假设也存在缺陷，会导出负的利率，且不能导出能够实际观察到的期限结构，而CIR模型假设尽管考虑到了利率不为负的情况，但其缺点在于作为模型基础的一般均衡的经济体系过于简化，且不能表达复杂的利率期限结构。
本书针对上述缺陷，从多视角开展研究，遵循从简单到复杂的建模思路，分别以均值-方差为目标、CEV股价模型、Heston股价模型及仿射利率模型等构建新的模型，由此所构建的模型都是从不同角度对上述提及不足的克服。因此，本书所构建的确定缴费型养老金最优化管理模型具有较强的理论意义，是对现有文献中提及模型的延伸与扩展，同时也更符合实际。
2.现实意义
养老保险是社会保障制度的重要组成部分，是社会保险五大险种中最重要的险种之一。养老保险（或养老保险制度）是国家和社会根据相关法律法规，为解决劳动者在达到国家规定的解除劳动义务的劳动年龄界限，或因年老丧失劳动能力退出劳动岗位后的基本生活而建立的一种社会保险制度。随着经济社会的发展，养老保险制度发挥着越来越重要的作用。在当今社会人口老龄化加速发展的背景下，老年人口的比例越来越大，人数也越来越多，养老保险为老年劳动者提供了基本生活保障，这等于保障了社会相当部分人口的基本生活，因此，养老保险对社会的稳定和发展有着非常重要的作用。
起初，绝大多数国家遵循互助共济、社会统筹的思想，采用确定给付型养老金计划，但是，随着经济社会的发展，确定给付型养老金计划的缺陷越来越突显，已不能完全适合社会保障体系发展的需要，因此，确定缴费型养老金计划越来越被受重视，许多国家开始完全转向或部分转向确定缴费型养老金计划。目前，我国的基本养老保险制度实行社会统筹与个人账户相结合的模式。社会统筹部分采用现收现付制，以短期内的基金收支平衡为目标，属于确定给付型；个人账户则采用完全基金积累制，根据精算公式确定缴费率，养老金给付额由缴费率和基金投资收益决定，属于确定缴费型。
由此，养老基金的保值增值尤为关键，但是我国养老基金的资本化运作程度还相对较低。根据《社会保险法》规定，养老基金的投资渠道仅包括购买国债和银行存款两种；根据《全国社会保障基金投资管理暂行办法》的规定，作为战略储备养老金的社会保险基金投资范围限于银行存款、买卖国债和其他具有良好流动性的金融工具。目前，我国的养老基金投资渠道非常狭窄，除了可以存入银行和购买国债以外，没有其他的合法投资渠道。在这种情况下，养老基金一旦遭遇通货膨胀的话，不仅无法保值增值，还会大幅度缩水。不过，在地方养老基金投资运营方面，我国政府也做了新的尝试。即，2012年3月，经国务院批准，全国社保基金理事会受广东省政府委托，投资运营广东省企业职工基本养老保险结存资金的1 000亿元。
总体而言，养老基金投资渠道多元化是大势所趋，但是针对我国养老金最优化管理问题的相关研究十分滞后，即缺乏养老金保值增值的理论基础。本书所得研究成果能够作为养老金最优化管理的理论基础，并能够指导我国养老基金最优化管理的实践。
第三节 主要内容与创新点
一、主要内容
正如前文所述，许多国家开始完全转向或部分转向确定缴费型养老金计划。因此，本书对连续时间下确定缴费型养老金的最优化管理进行深入研究。基于对已有文献的深入分析，力求建立更为符合实际的养老金最优化管理模型，保证能够更有效地指导实践。
对现有文献进行总结并归纳发现，关于养老金最优化管理方面的研究的不足之处有以下三个方面。
1.在养老金最优化管理的模型中分别将利率和工资随机化，尽管许多学者已经对此开展了研究工作，但是他们基本选取的都是Vasicek利率模型及服从几何布朗运动的随机工资假设。
2.现有文献绝大多数都是以效用最大化为目标，不具有可操作性，本书尝试选用均值-方差模型作为养老金最优化管理的目标函数，进一步解决以效用最大化为目标存在的缺陷。
3.现有研究已有文献假设股价服从CEV模型，但是并未继续引入随机利率、随机工资等假设，也未考虑均值-方差目标，还未考虑其他的波动率模型，如Heston模型。
基于上述提及的不足之处，本书在连续时间下确定缴费型养老金的最优化管理问题的框架下，分别从随机利率模型、随机工资模型、随机波动率模型和均值-方差目标四个方面进行了数学建模求解。具体研究内容如下所示。
第四章，分别对仿射利率模型和仿射利率模型下带有随机工资的确定缴费型养老金的最优化管理问题进行了建模求解。其中，主要研究了仿射利率模型的确定缴费型养老金的最优投资问题。在仿射利率模型中，养老基金被允许投资于一种无风险资产、一种零息债券或一种风险资产。通过运用HJB方程、Legendre变换和对偶理论，分别求得了相对风险厌恶（Constant Relative Risk Aversion，简称CRRA）和绝对风险厌恶（Constant Absolute Risk Aversion，简称CARA）效用函数的显性解。研究发现，在幂效用函数下，随着退休时刻的临近，高风险的股票投资开始逐步转向低风险的现金或债券投资，但无法确定现金和债券的投资比例；在指数效用函数下，随着退休时刻的临近，养老金管理者将更多地投资于高风险的资产股票，而较少投资于低风险的现金和债券，在此情况下，同样无法确定现金和债券的投资比例。
第五章，分别对对数效用和指数效用下带有随机工资的确定缴费型养老金的最优化管理问题进行了建模求解。其中，主要将常方差弹性（CEV）模型与随机工资模型结合在一起研究，分别在对数效用和指数效用函数下建立数学模型，并通过应用随机动态规划理论求得了显性解。假定工资波动完全来源于金融市场，工资瞬时波动率随着股票的价格时刻变化，并且它们的瞬时波动率之间存在乘数关系（η），其测度了股票价格风险如何影响工资的变化。在对数效用函数下，研究了退休前以养老金计划持有者的工资水平为基准的确定缴费型养老金的最优投资问题，利用随机控制、Legendre 变换和对偶理论求得了养老金的最优投资比例。在指数效用函数下，直接通过幂变[23]换和变量替换技术（Cox，1996），将非线性方程变换为线性方程，再通过求解，最终得到养老金最优投资问题的显性解。
第六章，分别假设风险资产服从CEV模型和Heston模型，并在不同的随机波动率模型下对确定缴费型养老金的最优化管理问题进行了建模求解。其中，一是为保持本书研究的完整性，分别在幂效用函数、指数效用函数和函数对数效用函数下，利用随机控制理论，建立养老金最优投资问题，通过Legendre变换和对偶理论得到了退休前和退休后确定缴费型养老金的最优投资策略。二是考虑到CEV模型的波动率不是完全随机的，而是价格依赖型波动率模型，其波动率与股票价格相关，波动率的弹性系数为常数，对克服波动率的效果并不理想，林[24]祥和杨益非（2010）首次在确定缴费型养老金的背景下假定风险[25]资产价格服从Heston 模型（1993），以最大化期望指数效用为目标，求得确定缴费型养老金最优投资策略，但是在 Heston 模型下，采用随机控制方法，针对幂效用函数下确定缴费型养老金最优投资的研究还未被报告过，所以基于林祥和杨益非的研究，将其扩展到幂效用函数下，通过运用最大化原则，得到最优化问题的价值函数，并通过幂变换和变量替换求得最优投资策略的显性解。
第七章，分别在CEV模型和GBM模型下，以均值-方差为目标对确定缴费型养老金的最优化管理问题进行了建模求解。以效用最大化为目标求得的最优投资策略通常是短视的，同时在实际操作过程中，很难针对不同的投资人挑选合适的效用函数，更难了解投资人是如何通过风险和收益的权衡来做投资决策的。若以均值-方差为目标研究确定缴费型养老金的最优投资问题，则可解决以效用最大化为目标存在的缺陷。不过，很少有文献研究均值-方差下确定缴费型养老金的最优投资问题。其中，一是研究了退休前和退休后确定缴费型养老金的最优投资问题，针对以效用最大化为目标的研究的不足，采用均值-方差模型，能够更了解投资人风险和收益相权衡的决策过程，利用随机控制理论，建立均值-方差下养老金的最优投资问题，通过Legendre变换和对偶理论得到了退休前和退休后确定缴费型养老金的最优投资策略，导出了均值-方差下确定缴费型养老金最优投资的有效前沿。二是研究了均值-方差模型下带有随机工资的确定缴费型养老金的最优投资问题。尽管风险模型不是CEV模型，但是本章模型中包含了n种风险资产，并且还考虑到了随机工资的变化，其中随机工资的随机源来源于金融市场和非金融市场两个方面。通过构造一个特殊的Riccati方程作为最优化问题的HJB方程的解，进而求得了最优投资策略的显性解，并最终推导出均值-方差下的有效前沿。
二、创新点
本研究旨在对现有确定缴费型养老金的最优化管理模型的拓展与延伸，以期更符合实际。本研究创新点主要体现在以下三个方面。
1.采用仿射利率模型建立确定缴费型养老金的最优化管理问题。对于随机利率下的确定缴费型养老金的最优投资研究已被广泛的讨论。在相关文献中，一般假设随机利率服从Vasicek模型。由于在Vasicek模型中，利率的瞬时波动是常数，所以有可能产生负的利率，这与现实不符。而在CIR模型中，将利率的瞬时波动设定为利率水准的开方根，可以表示为当利率越高时，变异越大，利率越低时，变异越小，这更符合实际。由于仿射利率模型既包含 Vasicek 模型又包含CIR模型，所以仿射利率模型更为全面，更加符合实际。本书采用仿射利率模型，分别在幂效用函数和指数效用函数下，求得了确定缴费[26]型养老金的最优化投资问题的显性解。本书是对Gao（2008）研究的推广。
2.以均值-方差为目标对确定缴费型养老金的最优化管理问题进行研究。本研究采用终端时刻财富的期望效用最大化为目标，从而求得最优投资策略。常用的效用函数包括以下两种:相对风险厌恶（CRRA）效用函数，如幂效用函数和对数效用函数；绝对风险厌恶[27]（CARA）效用函数，如指数效用函数。不过，Zhou和Li（2000）指出以效用最大化为目标求得的最优投资策略是短视的，同时在实际操作过程中，很难针对不同的投资人挑选合适的效用函数，更难了解投资人是如何通过风险和收益的权衡来做投资决策的。然而，以均值-方差为目标研究确定缴费型养老金的最优投资问题就可解决以效用最大化为目标研究存在的缺陷。本书假定风险资产价格服从常方差弹性（CEV）模型，求得退休前和退休后确定缴费型养老金的最优投资策略，并推导出均值-方差下确定缴费型养老金的最优投资的有效前沿。而且研究了放松风险资产的价格模型到几何布朗运动（GBM），但是考虑了n种风险资产，并将随机工资引入到养老金的最优化管理的模型中，以均值-方差模型为最优化目标，最终求得最优化问题的显性解和有效前沿。
3.在幂效用函数下，对股价服从Heston模型下确定缴费型养老金的最优化管理问题求解显性解。大量实证数据分析显示，风险资产价格的波动率并非常数。确定性波动率模型—CEV模型和随机波动率模型—Heston模型都是对常数波动率的修正。本书采用CEV模型描述风险资产的价格过程。由于养老基金投资属于长期投资，所以在长时间里养老金计划持有人的工资水平肯定是随机波动的，因此，随机工资对养老金的最优化管理的影响作用是不容忽视的。但是，现有文献并没有考虑CEV模型下带有随机工资的确定缴费型养老金的最优投资问题。因此，本书所构建的数理模型，从金融资产和随机工资两个维度出发，扩展了前人的研究，相对来说更符合实际。此外，林祥和杨益[28]非（2010）首次将Heston模型引入养老金的最优化管理的研究中，但并未对幂效用函数进行研究。本书假设风险资产服从Heston模型，在幂效用函数下求得了最优投资问题的显性解。
注 释
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[28].林祥和杨益非.Heston随机方差模型下确定缴费型养老金的最优投资[J].应用数学，2010，23（2）:413-418.
第二章 文献综述
第一节 确定给付型养老金的最优化管理
在确定给付型养老金中，养老金给付额是投保人提前确定的，依据其最终工资水平和工作年限由精算成本法计算得到，而缴费率是通过估值过程调整的。由于现实的养老金计划很难符合先前的估值假设（如人口统计和经济变量），因此养老基金将不可避免地出现剩余或不足。养老基金的投入不仅来源于投保人的缴费，而且还来源于养老金的投资回报。所以，最优缴费问题和最优投资问题就成为确定给付型养老金的研究重点。
一、最优目标函数选择
[1][2]针对目标函数，Haberman（1993 a，1993 b）、Haberman和[3][4]Sung（1994）和Haberman（1997）将确定给付型养老金的最优化管理问题模型转化为线性二次最优控制问题。与Merton模型类似，养老金的动态化也被假定为线性的。人们普遍认为养老基金管理者是以最小化缴费风险和最小化偿付风险为目标的。最小化缴费风险是以缴费率与正常成本的偏差来测量的，与养老金计划的稳定性相关；最小化偿付风险用未纳入精算负债的规模来测量，与养老金计划的安全性相关。养老基金管理者希望通过以上两种风险的凸组合来控制养老金计划的稳定性和安全性。在这个凸组合中，权重系数代表两种风险对于养老基金管理者的相对重要性。由此求得的解是这个多目标规划的一个帕累托最优，表明不增加其中一个风险，另外一个风险不可能降低。[5][6]
此后，Chang（1999）、Haberman和Sung（2002）提出用缴费率与精算负债的比例来代替缴费率，用基金与精算负债的比例来代替基金水平，从而对上述最优化目标进行了修正。后续的研究基本遵[7]循上述双目标（Josa-Fombellida 和Rincón-Zapatero，2004，[8][9][10]2008a，b），但是 Colombo 和 Haberman（2005）以最小化资[11]产负债不匹配度为目标，Josa-Fombellida和Rincón-Zapatero（2006）以最大化养老金水平达到预定目标的概率或最小化期望折现惩罚成本（最大化期望折现收益）为目标，Josa-Fombellida和[12]Rincón-Zapatero（2010）以最小化未纳入精算负债的偏差为目标，对此问题进行了深入研究。
二、人口演化模型设定
在精算文献中，养老金计划中的人口理论主要是基于标准的确定[13][14]模型（Bowers等，1976；Winklevoss，1993）。起初都认为人口稳定，因而养老金支付额是稳定的（Josa-Fombellida和Rincón-[15]Zapatero，2001）。由于养老金计划中有不断的新加入者和退出者，因此养老金计划中的人口演化是一个非常复杂的现象，人口理论的稳定性假设是不符合实际的。
许多学者从不同方面建立了人口模型，以使其更符合实际。[16]Mandl 和Mazurova（1996）利用独立随机序列描述养老金计划中[17]固定年龄的新加入者。Owadally（1998）假设有稳定的人口和固定的加入养老金计划年龄，利用随机变量来描述每年的新加入者。[18]Chang等（2002）研究了人口演化是随机模型的情况，其中正常成本由一个布朗运动驱动。与前人假设不同，Josa-Fombellida和Rincón-Zapatero（2001）提出了养老金计划中的人口演化服从几何布朗运动，进而养老金给付额服从几何布朗运动，使确定给付型养老金的随机性更符合实际。
三、投资回报率设定
由于养老基金总额很大，养老基金的投资回报决定了养老金的水平，因此关于养老基金的最优投资问题是不容忽视的。但是，起初对养老金最优投资的研究很少，一般都是从总体上假定养老金投资回报率是随机的，并未考虑养老金的最优投资组合问题。在现有的研究中，有将养老金的投资回报率假设为独立同分布过程（Zimbidis 和 [19][20]Haberman，1993）、自回归过程（Gerrard 和 Haberman，1996）[21]和移动平均过程（Haberman和Wong，1997）。但这种假设显然不符合实际，因为不同的投资组合所带来的投资回报率是不同的。
后续的研究更多的是假设养老基金分别投资于风险资产和无风险资产。在Josa-Fombellida和Rincón-Zapatero的研究中，都假设养老金投资于n种风险资产和一种无风险资产，其中风险资产服从几何布朗运动。同时，Josa-Fombellida和Rincón-Zapatero（2001）在随机利率下，假定养老基金被允许投资于一种无风险资产、一种零息债券和一种风险资产，以最小化未纳入精算负债的偏差为目标，在有限时间里，利用随机最优控制技术求得显性解，并发现最优投资组合的构成是两项之和，即一项与未纳入精算负债成比例，另一项与精算负债成[22]比例。Josa-Fombellida和 Rincon-Zapatero（2012）假设养老金给付额和风险资产价格同时服从跳扩散过程，以最小化缴费和偿付风险为目标，利用随机最优控制技术求得显性解，并得到补偿成本与最优投资策略之间存在线性关系的结论。
四、结论
经过以上的系统梳理，在确定给付型养老金的最优化管理的研究中，最优化目标更多的是考虑兼顾缴费风险和偿付风险；确定的人口理论假设较多，随机的人口理论假设较少；最优缴费的研究较多，最优投资的研究较少。因此，侧重于研究确定给付型养老金的最优投资问题，兼顾研究最优缴费问题及它们之间的关系是后续研究的重点内容。
第二节 确定缴费型养老金的最优化管理
随着人口演化及资本市场的发展，确定缴费型养老金计划在社会保障体系中扮演着越来越重要的角色，许多国家已从确定给付型养老金计划转向确定缴费型养老金计划。在确定缴费型养老金计划中，缴费率是提前确定的，未来的养老金给付额依赖于缴费率和基金的投资收益，风险由投保人承担，投保人需面临养老金积累阶段的投资风险和退休时的年金风险。
一、最优目标函数选择
许多学者对确定缴费型养老金在退休前的基金积累阶段的最优投资策略进行了深入研究。本研究采用终端退休时刻财富的期望效用最大化为目标，从而求得最优投资组合策略。常用的效用函数包括以下两种:相对风险厌恶（CRRA）效用函数，即幂效用函数（Boulier 等[23][24][25]，2001；Cairns 等，2006；Deelstra 等，2003）或对数效用[26]函数（Xiao等，2007）；绝对风险厌恶（CARA）效用函数，即指[27][28]数效用函数（Devolder等，2003；Battocchio和Menoncin，[29]2004）。另外，Haberman和Vigna（2002）定义每一时刻养老金的实际水平与其目标值差值的平方作为损失成本，即利用二次损失函数以最小化期望损失为目标。
不过，以效用最大化为目标求得的最优投资策略通常是短视的，同时在实际操作过程中，很难针对不同的投资人挑选合适的效用函数，更难了解投资人是如何通过风险和收益的权衡来做投资决策的。若以均值-方差为目标研究确定缴费型养老金的最优投资问题，则可解决以效用最大化为目标研究存在的缺陷。但是，在均值-方差下研究确定缴费型养老金的最优投资问题较少。在投资组合选择的研究中，[30]Markowitz（1952）首次提出了单周期离散时间的均值-方差模型，[31]Richardson（1989）利用鞅方法将其推广到连续时间下，而Li和[32][33]Ng（2000）、Zhou和Li（2000）利用随机控制理论分别将其推广到离散时间多周期和连续时间下。
二、风险资产价格设定
以上所提及的文献中，绝大多数都是假设风险资产服从几何布朗运动，Xiao等首次将常方差弹性（CEV）模型引入到确定缴费型养老金的最优投资研究中，研究了仅有一个服从CEV模型的风险资产参与组合投资的最优投资问题。常方差弹性（CEV）模型是几何布朗运动[34]的一个自然扩展，最早是由Cox（1975）提出的。CEV模型不仅包括几何布朗运动，而且还描述了风险资产内在的波动斜度（波动微笑[35]曲线，Dennis和Mayhew，2002）。基于CEV模型的优势，它被广[36][37]泛应用于金融衍生品的定价（Yuen 等，2001；Jones，2003；[38][39]Widdicks 等，2005；Hsu等，2008）。
当CEV模型被引入到投资组合选择问题的研究中时，会带来很多困难，通常很难得到问题的显性解。Xiao 等利用 Legendre 变换和对偶理论，求得了在CEV模型下确定缴费型养老金的最优投资问题的显性解，但其组合中仅有一种符合CEV的风险资产。在 CEV 模型下，[40][41]Gao（2009 a，b）分别在 CRRA 和CARA效用函数下，对确定缴费型养老金的最优投资问题进行了研究，并求得了显性解；而Gu[42]等（2010）对比例再保险问题进行了研究，得到相应的最优比例再保险和最优投资组合测量。但是，由于在CEV模型中，随着股票价格越高，股票波动率就越接近零，这是不符合实际的，是该模型存在[43]的缺陷。为克服此缺陷，Gao（2010）又提出了扩展的CEV模型，并将其运用于确定缴费型养老金的研究中，但未求得显性解。此外，[44]Zhao和Rong（2012）考虑了多资产服从CEV 模型的纯投资问题，并在一些限制条件下求得了模型的显性解。
三、其他相关问题研究
为应对退休时的年金风险和最优化退休后的养老金资产管理，许[45][46]多学者对此进行了研究（Khorasanee，1996；Milevsky，[47][48]1998；Milevsky 和 Robinson，2000；Albrecht和 Maurer，2002；[49]Charupat 和 Milevsky，2003）。但大多数学者，都是集中讨论退休时的年金的方案设计或选择，较少研究不同方案下的最优投资问题，以及最优投资对方案设计的影响。
四、结论
综上所述，对于确定缴费型养老金的最优化管理的研究，关于最优目标函数的假设较一致，但可以考虑尝试其他的目标函数；一般假设风险资产价格服从几何布朗运动，但CEV模型和扩展的CEV模型的假设更符合实际，但是相应的研究也更困难；学者们也对退休后的年金风险的规避和资产的最优化管理进行了研究。
第三节 养老金最优化管理的其他问题
确定缴费型养老金之所以受欢迎，一是投保人可以及时获取养老金，二是确定缴费型养老金计划不受工作变换的影响。但它的最大缺陷在于确定缴费型养老金计划的风险完全由投保人承担。由此，确定缴费型养老金计划的投保人未来的退休给付根本无法得到保障，养老金水平也无法满足退休后的基本生活需要。
一、有最低保障的养老金
针对上述的缺陷，伴随最低保障的确定缴费型养老金计划被提[50]出。Boulier等（2001）在Vasicek（1977）模型下，研究了伴随最低保障的确定缴费型养老金，假设最低保障是一种特殊的结构，即从确定退休时刻到确定死亡时刻的年金，养老基金投资于一种无风险资产、一种长期债券和一种风险资产的最优化管理问题，发现最低保障依赖于退休时刻的随机利率水平，这种养老金的最优结构可以被划分为三个部分，即缴费总额的折现、与最低保障给付额相关的未定权益及一种套期保值基金。在Boulier等（2001）的模型中，缴费率被假设为连续的、确定的过程，有一个固定的增值率，而Deelstra等（2003）考虑更为一般的随机缴费过程，并假设利率服从仿射结构，[51]包括 Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型（Cox等，1985）和Vasicek（1977）模型，以终端时刻财富的期望效用最大化为目标，[52]并假设最低保障给付额的结构与Jensen和Srensen（2001）的研究一致，最终通过完全市场假设求得最优投资策略。此后，Deelstra等[53]（2004）将研究聚焦于确定缴费型养老金的最低保障给付额的最优设计，最后求得了最优最低保障的显性解，并确定了养老金发起人和投保人之间的分配规则在养老金管理中的重要作用。
伴随最低保障的确定缴费型养老金，其实是在两种极端的养老金计划（确定给付型和确定缴费型养老金计划）之间构架了一座桥梁，从某种程度上兼顾了两种养老金计划的优点。但是，该如何设计最低保障成为难点，另外，最低保障的设计与最优投资之间存在何种关系也不清楚。因而，对伴随最低保障的确定缴费型养老金的最优化管理进行研究尤为重要。
二、考虑死亡率风险的投资
上述研究，无论是确定给付型养老金还是确定缴费型养老金，都[54]未考虑死亡率风险。Hainaut和Devolder（2007）将随机死亡率引入养老金模型，假定死亡率服从泊松过程，在Vasicek（1977）模型下，养老金被允许投资于一种无风险资产、一种长期债券或一种风险资产，以最大化红利及终端时刻预算约束下剩余的效用为目标，求得了最优投资和分红的策略。通过梳理文献发现，将死亡率风险引入养老金的最优化管理的研究极少。死亡率风险是养老金计划所面临的不可避免的风险，养老金模型中考虑死亡率风险会更符合实际，研究成果也会更具有实际意义。虽然死亡率风险的引入必将使养老金模型更复杂、更难求解，但这值得我们去进行深入研究。
第四节 养老金最优化管理的文献评述
有效管理养老金对于一个国家的社会稳定和发展具有重要的意义，特别是对于人口老龄化国家或正趋于人口老龄化的国家尤为重要。本书对西方养老金最优化管理的研究进行了文献梳理，主要从确定给付型养老金、确定缴费型养老金和其他问题三个方面进行了系统的总结与归纳。
一、研究现状
西方学者对养老金最优化管理的研究已取得了较好的研究成果，但总体来说还存在许多不足。西方研究养老金最优化管理的现状主要有以下四点。
1.关于确定给付型养老金最优化管理的研究。（1）经常采用最小化缴费风险和偿付风险的双目标，也采用以最小化资产负债匹配度、最大化达到预定目标概率为目标。（2）起初研究采用人口理论的稳定性假设，近来有学者假定人口演化服从几何布朗运动。（3）通常从总体上随机化投资回报率，因而，相应的最优投资研究较少，但近来有学者考虑多种资产的最优配置问题。
2.关于确定缴费型养老金最优化管理的研究。
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