高手集训大选拔(txt+pdf+epub+mobi电子书下载)

作者：刘超

出版社：安徽人民出版社

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高手集训大选拔试读：

前言

时下网络游戏严重冲击着我们青少年的智力与思维，危害着我们青少年的身心健康。据有关部分调查，我国共有青少年网民1.67亿人，占网民总体的55.9%，其中未成年网民占55.6%。青少年在网吧上网的比例为57.5%，其中有48.4%的中小学生在网吧上网。在青少年网民中，有9.72%的人有网瘾，也就是1600多万青少年有网瘾，而大约87%的网瘾青少年是对网络游戏成瘾。这是为什么呢？

这是因为我们青少年身心还很不成熟，十分缺泛辨别力，容易被一些不良兴趣爱好所迷惑。特别是青少年对网络游戏的迷恋，更是造成了许多不良后果，其危害表现为：先是沉迷其中难以自拔，用自身零花钱难以维持后，便发展为说谎、向父母骗钱，最终发展为厌学、逃课、偷窃、诈骗，勒索，甚至离家出走等。

那么，青少年为什么对网络游戏如此痴迷呢？主要是我们青少年正处在思维能力由具体向抽象过渡时期，思维能力正向深化和扩散方向发展，思维敏捷，反应灵活，接受性和操作力很强，正是学习知识技能、接受新鲜事物、从事脑力活动的“黄金时期”。此时如果没有更加有益有趣的智力游戏填补青少年的思维空间，那么当然就要受到网络游戏的侵袭了。

我们青少年处于兴趣爱好非常浓厚的阶段，同时也处于提高智力和学习知识的重要时期，兴趣爱好直接影响到各科学习成绩，同时还会影响到今后职业选择和能力发展。总之，兴趣是智力的火种，是求知的源泉，是成长的动力，我们青少年应该把智力、知识和兴趣培养很好地结合起来，使自己处于最佳的成长中。

因此，让丰富有趣的智力游戏代替网络游戏，培养青少年健康有益的兴趣爱好，使他们在趣味盎然的智力开发游戏活动中学好玩好，寓教于乐，这是我们面临的重要问题。培养青少年的智力需要学习，提高青少年的学习又需要智力。我们只有把他们的智力和学习通过智力开发游戏活动的形式有机地巧妙结合起来，使他们学得多、学得快、学得深、学得巧、学得主动，这样才能让他们获得学习知识的方法和途径，从而产生学习的趣味性和自觉性。

为此，我们按照青少年的身心发展特点和智力组成形态，特别根据中外最新的有关智力开发游戏，编撰了这套《青少年智力开发丛书》系列读物。每册自成体系，又相互补充，完整地构成了智力开发、知识学习和兴趣培养的有机结合体，非常有利于提高青少年的智力和学习。

这套作品每册内容包括故事、游戏、竞赛、解题、答案等内容，丰富多彩，趣味盎然，能够促使广大青少年互动参与式地进行动手动脑，具有极强的可读性、趣味性和知识性。并且每册内容归纳排列，篇幅短小、内容精炼、语言简洁、明白晓畅，能够达到青少年喜闻乐见和学好玩好之目的。同时这套作品每册根据内容需要适当配图，图文并茂，生动形象，智趣结合，有教有乐，非常适合广大青少年用以培养智力和学习素质，同时也非常适合广大父母和各级教育组织用以组织开展青少年智力游戏活动。

智力竞技

你能做出来的

你要做的就是按照下面的规则将18个点放在多米诺骨牌上：

在下图4个空白的多米诺骨牌中，牌的上半部分点的总个数等于下半部分的个数。同时，第一个多米诺骨牌上的点数要等于最后一个牌的2倍。另外，两个中的一个只有一个点，而另一个则有2个点。即上下两部分各有一个。有3个多米诺骨牌的上半部分的点数相同，有两个多米诺骨牌的下半部分的点数相同。

这是为数不多的多米诺骨牌思维游戏中的一个，听起来让人很迷惑，我相信你完全可以做出来，而且你可能用不了15分钟！［答案：第一个多米诺骨牌：上半部分有6个点；下半部分有4个点。第二个多米诺骨牌：上半部分有1个点；下半部分有1个点。第三个多米诺骨牌：上半部分有1个点。第四个多米诺骨牌：上半部分有1个点；下半部分有4个点。如图所示：］

什么叫“二进位制”

公元17世纪时，英国数学家莱布尼兹创造了二进位制，即逢二进位的记数制。二进位制记数法中只有两个符号：0和1。如二进位制数101，记作（101）2，以免和十进位制数相混淆。二进位制数和十进位制数可以互化。如下面的对应关系：

读数时，不要把十进位制数“7”在二进位制中读作“一百一十一”，而应读作“一、一、一”。同样的道理，十进位制中的“2”和“5”在二进位制中应分别读作“一、0”、“一、0、一”。

我们可以看出，二进位制写起来比较麻烦，特别是遇到大数的时候。但这个缺点对机器来说是微不足道的。相反，它只要求机器显示两种不同状态的优点，却是十进位制数所望尘莫及的。现在电子计算机所使用的语言都是二进位制的，其道理就在于此。

什么叫做进位制

由于生产和生活的需要，在产生记数符号的过程中，用一定个数的计数单位，组成一个相邻的较高的计数单位，就得到一种进位制，如二进制、五进制、十进制、十二进制、十六进制、六十进制等等。世界各国多用十进制。

什么叫做计数单位

计数单位是指计算物体个数的单位。它有很多，如个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。“一”是自然数的基本单位，其他的计数单位又叫做辅助单位。不同的数位，计数单位也就不同。如“5”写在个位，表示5个“1”，如果写在十位上，就表示5个“十”。

“十进位制”是怎样形成的

国际上最常用的进位制就是十进位制，即较低位上的十个单位组成较高位上的一个单位。那么，“十进位制”是怎样形成的呢？

根据美国数学家易勒斯的调查，在最早的原始各民族307种的记数方法中，就有146种是十进位的，106种是五进位、十进位混用的。这就说明十进位制在很久以前就得到了广泛应用。

我国周代的《易经》中表示数量时，就有“万有一千五百二十”的记载，说明早在两三千年前，我国就有十进位制了。

1500多年前，印度人也知道了十进命数法。公元595年，在一块版面上记载着346个日期，这些日期都是用十进位位值符号写出的。公元8世纪，阿拉伯人入侵西班牙，又把十进位制传到了欧洲。

人类为什么不约而同地采用十进位制呢？根据语言学家的研究，这是由于人的手有10个手指，可以自由伸屈，是一个很好的天然记数工具。因此，大家都不谋而合地采用了十进位制，而且很快就传播开来。

“准确数”和“近似数”

用和实际情况完全相符合的数来表示某一个量，这样的数叫做准确数。例如，某班有学生52人，这里的数“52”就是准确数，它与这个班的学生实际人数完全符合。又如，教室里有26张课桌，这里的数“26”也是准确数，它与教室里课桌实际张数是完全符合的。

用和实际数很接近的一个数来表示某一个量，这个数就叫做近似数。例如，一个国家的人口经常有变动，很难说出准确的数，但可以说出一个接近的数。如我国有13亿人口，13亿人口就是一个近似数。近似数也叫近似值。又如绕地球赤道一圈的路程约为40000千米，这40000千米就是一个近似数。

“代数学”是怎样产生的

小学数学课本中的用字母表示数及方程等内容都属于代数学的范畴。“代数学”一词来自拉丁文algebra，而拉丁文又是从阿拉伯文来的。

公元825年左右，阿拉伯数学家阿勒·花剌子模写了一本书，名为《代数学》或《方程的科学》。作者认为他在这本小小的著作里所选的材料是数学中最容易和最有用处的，同时也是人们在处理日常事情时经常需要的。这本书的阿拉伯文版已经失传，但12世纪的一册拉丁文译本却流传至今。在这个译本中，把“代数学”译成拉丁语Algebra，并作为一门学科。后来英语中也用Alge. bra。“代数学”这个名称，在我国是1859年才正式使用的。这一年，我国清代数学家李善兰和英国人伟烈亚力合作翻译英国数学家棣么甘所著的《ElementsofAlgebra》，正式定名为《代数学》。后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国学者瓦里斯的《代数术》，卷首有：“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之。”说明了所谓代数，就是用符号来代表数字的一种方法。

最早的数码字

据发现，我国最早的数码字是3000多年前殷商时期刻在甲骨文上的数字。在殷朝都城（今河南省安阳县西北一带）的废墟上，出土了约10万片刻着文字的甲骨，人们在其中共发现了13种数码，现在这些数字的书写虽然有了较大的变化，但在当时却是世界上最先进的。

“数位”与“位数”

387是三位数，但不能称为百位数，如果是百位数，就必须有 100个数字，占有100个数位。

最大的一位数是9，最小的一位数是1；

最大的两位数是99，最小的两位数是10；

……

“数”与“数字”

数和数字是数学中最基本的两个不同的概念。

数的概念是由人类生活实际需要而逐步形成和发展起来的。“数”是表示事物的量的基本数学概念。例如1991（自然数）、0（零）、7/8（分数）、8.59（小数）、－5（负数）等等。而“数字”是用来表示记数的符号，又叫做数码。有时候，一个数字就表示一个数，如阿拉伯数字8，又表示数8。在这种情况下，数和数字是一样的，也就是说，这个数字既可以看成数字，又可以看成数。但是有时需要用两个或两个以上的数字表示一个数，例如857，它与数字就不同了，“857”是表示数，8、5、7才是数字。

常见的数字有哪些

1.中国数字。是指我国汉字中以及过去商业中通用的记数符号，分小写、大写、数码三种：

小写：?、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十等。

大写：零、壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾等。

2.罗马数字。是罗马人创造的记数符号。基本的共有七个：I（表示1），V（表示5），X（表示10），L（表示50），C（表示 100），D（表示500），M（表示1000）。

这些数字在位置上不论怎么变化，所代表的数是不变的。

3.阿拉伯数字。共有10个，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。由于它书写简单，记数方便，看起来清楚、便于运算，所以早就成为国际通用的数字。数学中所说的数字，一般就是指阿拉伯数字。

“0”不属于自然数

因为自然数是从表示“有”多少的需要中产生的，用来表示物体的个数的数，因此，自然数的计数单位是1。每当有实物存在而又需要计数时，才有数的意义。如果表示没有物体存在，当然也就谈不上数了，这时就产生了一个新的数——零，用符号“0”来表示。所以“0”不是自然数，它比自然数都小。

取近似数的方法

在进行近似数的计算时，往往需要把一个数截取到某一指定的数位。

怎样截取呢？通常有以下3种方法：

1.四舍五入法。这个方法是，去掉多余部分的数后，如果去掉部分的首位数字大于或等于5，就给保留部分的最后一位数加上1（称“五入”）；如果去掉部分的首位数字小于5，保留部分不变（称“四舍”）。例如，用四舍五入法使2.964保留两位小数，得2.964≈2.96（四舍）；若要求保留一位小数，得2.964≈3.0（五入）。这里要特别注意的是，在表示近似数的精确度时，小数点后面的0不能随意划掉，如3.0表示精确到0.1，即十分位，所以3.0不能写成3，因为取3表示精确到个位。

2.进一法。这个方法是，去掉多余部分的数字后，给保留部分的最后一位数加上1。例如，一辆客车最多可以坐55人，现有乘客240人，问需要几辆客车？240÷55＝4.36……或240÷55＝4（辆）余20人。这就说明240人上满4辆客车之后还剩20人，这20人还需要一辆客车。这时要用进一法，就是240÷55＝4.36……≈5（辆）。

3.去尾法。这个方法是，去掉多余部分的数字后，保留部分不变。例如，每套童装需要3米布，现有86米布，可做童装多少套？86÷3＝28.66……或86÷3＝28（套）余2米。这说明86米布做了28套童装后还剩2米。这剩下的2米不够做一套童装，所以这时要用去尾法，就是86÷3＝28.66……≈28（套）。

螺旋三角形

著名的黄金矩形是由边长分别为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……的正方形组成的螺旋，这些正方形的边长形成了一个斐波纳契数列。

在斐波纳契数列中，后一位数是前两位数的和。在斐波纳契数列里，后一个数与前一个数的比率越来越接近黄金比例（也写作phi，约等于1.61）。

另一个类似的数列叫巴都万数列，它是以建筑学家理查德·巴都万的名字命名的。巴都万数列运用的是螺旋的正三角形。

如图所示，巴都万数列的正三角形的面积为：1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21……

你能否找出这个数列的规律，并写出这个数列的前22项？将巴都万数列与斐波纳契数列相比较：（1）有没有在两个数列里都出现的数？（2）与破碎波纳契数列的黄金比例相比，巴都万数列后一个数与前一个数之比趋向于一个什么值？

下面巴都万数列中的下一项是什么？［答案：巴都万数列的前22项是：1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，28，37，49，65，86，114，151，200，265……巴都万数列的一般规律是：巴都万数列中的每一个数都等于它前边第2位和第3位数之和。斐波纳契数列的前21项：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4171，6755，10925……除了1和2以外，两个数列里都出现的数只有3、5、21。巴都万数列后一个数与前一个数之比趋向于一个常量，它约等于1.324718。到目前为止，在源自于数学题目的斐波纳契数列研究中，已经发现了它在自然界许多地方存在。这一发现，将会使这一课题具有更广泛的意义。］

学习用字母表示数

在用字母表示的数中，字母已经不是具体的某一个数了，而是代表着泛指的一系列数，因而用字母表示数有一个突出的优点，就是可以简明地概括出数量关系的一般规律，具有更抽象更广泛的适用性。正如华罗庚曾讲过的：“数学的特点是抽象，正因为如此，它就更具有广泛的应用性。”例如，在加法中，交换加数的位置，和不变，这是用语言文字叙述的“加法交换律”，若用字母表示加法交换律，则为ɑ＋b＝b＋ɑ。这里的ɑ、b不仅可以表示1、2、3，也可以表示4、5、6、7……使用字母公式不仅简明，而且便于记忆。又如，长方形的面积＝长×宽，如果用s表示长方形的面积，用ɑ表示长，用b表示宽，那么长方形的面积计算公式可以写成：s＝ɑb

不管世界上有多少个不同的长方形，它们的面积都可以通过这个公式计算出来，这就体现了字母表示数的优越性。

24时记时法

在一日（天）的时间里，钟表上时针正好走两圈，一日（天）有24小时。

在邮电、交通、广播等部门都采用从0时到24时的记时法，通常我们把这种记时法叫做“24时记时法”。它从夜里12时开始，定为0时，接下去是1时、2时……直到中午12时，再接下去是13时（即下午1时）、14时（下午2时）……直到24时（即夜里12时，也就是第二天的0时）。例如：火车15时到站，“15时”就是我们常说的下午3时。

“改写”与“省略”

对于一些较大的数，为了读、写的方便，有时要把它改写成以“万”或“亿”为单位的数，有时要把“万”或“亿”后面的尾数省略。前者是改写，后者是省略，这是两个不同的概念。

把一个多位数改写成以“万”或“亿”为单位的数，只是改变原来的计数单位，不改变这个数的大小，仅仅是数的形式上的变化。改写后得到的数与原数的值是相等的，所以用“＝”表示。例如把360000改写成以“万”为单位的数，就是先把360000缩小一万倍，得36，然后再在36的末尾添上“万”字，这样，原数的大小实际上没有改变。即360000＝36万；再如，把402500000改写成以“亿”为单位的数，就是先把402500000缩小一亿倍（即把小数点向左移动八位），得4.025，然后再在4.025的末尾添上“亿”字，这样原数的大小没有改变，即402500000＝4.025亿。

省略一个多位数“万”或“亿”后面的尾数，是按一定的要求去掉尾数，它既改变了这个多位数的计数单位，也改变了这个数的大小，省略尾数后，得到的数是原来多位数的近似数，所以要用“≈”连接。例如，省略806000这个数万后面的尾数，通常用“四舍五入”法写成806000≈81万；再如，省略748009000元这个数亿后面的尾数，应写成748009000元≈7亿元。

这里要注意的是，无论是“改写”还是“省略尾数”，在所得数的后面都要写上相应的计数单位“万”或“亿”。如果原数后面还带有计量单位名称，在所得数的后面同样要写出来。

“1”的意义与作用

1.1是自然数中最小的一个，1再加上1就得到自然数2，2再加上1就得到自然数3，等等。

2.1是自然数的单位，任何一个自然数都是由若干个1合并而成的，如498，就是由498个1组成的。

3.1只有一个约数，就是它本身，所以1既不是质数，也不是合数。

4.公约数只有1的两个数，可以判断是互质数。

5.一个数（0除外）与1相乘，仍得原数。

6.一个数（0除外）除以1，仍得原数。所以1可以整除所有的自然数，它是一切自然数的约数。

7.同数相除（0除外）得1。

8.任何自然数都可以改写成分母是1的假分数。如。

9.因为互为倒数的两个数乘积是1，所以用1除以一个数，就得到这个数的倒数。如8的倒数是。

10.在分数里，1可以作为单位“1”，表示由一些物体组成的整体。如一个国家的人口，一堆小麦的重量，一条公路的长度，一筐苹果的个数……均可以看做单位“1”。

一把随身带的方便尺子

为了到实地去测量，首先需要有一把方便的尺子，这把尺子就在你自己身上，随身带着。例如：你量量自己中指宽大约是1厘米，手掌宽大约是7厘米。又如人们常用的“一拃”（zhǎ），它是指大拇指与中指之间的最大距离。

一拃的长度是因人而异的，有的人约是18厘米，有的人约是16厘米……再如人们常用的“一庹（tuǒ）”，即两臂左右平伸，掌心向前时两中指尖之间的距离。一庹的长度也是因人而异的，有的人约是115厘米，有的人约是123厘米……还有人们最常用的“一步”，即一只脚的脚尖到另一只脚的脚尖之间的距离。一步也叫做一“自然步”。因为人有高矮之别，步也有大小之分。有的人一步长约是64厘米，有的人约是72厘米……你身上的这把尺子要在日常生活中充分运用起来。

“除”和“除以”的区别

下面这道算式应该怎么读？450÷15。是的，这道算式既可读成450除以15，又可读成15除450。但是，千万不能读成15除以450（或450除15），那样，就大错而特错了。“除”字有“等分”的意思。15除450也就是说15等分450，也可读成450被15除。“除以”的“以”含“用”的意思。450除以15也就是说450用15去分。“除”和“除以”仅一字之差，其意思却截然相反。同学们可不要轻视这一字之差哟。

“乘”和“乘以”的区别

我们知道乘法有交换律：两个数相乘，交换乘数与被乘数的位置，它们的积不变。即：ɑ×b＝b×ɑ。如此看来，区分“乘”或“乘以”是毫无意义的吗？

要回答这个问题，首先要明确乘法的意义。在小学阶段，乘法有两种意义，一种是求几个相同加数和的简便运算。一般规定，相同的加数作被乘数，相同加数的个数作乘数。另一种是把一个数扩大若干倍数，其中这个数作被乘数，扩大的若干倍数作乘数。因此，对初学乘法的人来说，如果不能正确区分“被乘数”与“乘数”，就不能理解“乘”和“乘以”的概念，所以也就不能正确运用乘法的意义来解题了。

概念的形成有一定的阶段性。在把数量更进一步抽象化以后，我们也可以不再区分“被乘数和乘数”，而把它们统称为“因数”。

“增加了”和“增加到”

在学习应用题时，我们常会遇到“增加了”、“增加到”等术语，这些术语虽然只有一字之差，但其意义却大不相同。

例1：一个工地用5辆汽车来运石头，每辆汽车一天可运10吨石头。后来又增加了同样的汽车2辆，每天可运多少吨石头？

解：（5＋2）×10＝70（吨）

答：每天可运70吨石头。

例2：某机械厂原来每年可生产车床3000台，采用新技术后，每年生产的车床比原来增加了43%，现在每年生产车床多少台？

解：3000×（1＋43%）＝4290（台）

答：现在每年生产车床4290台。

从上面的例子可以看出，“增加了”是指在原数的基础上增加的部分，不包括原数在内。与“增加了”说法相同的还有“增加”、“增长”、“增长了”、“多”、“多了”等等。在应用题数量关系中不涉及倍比关系时，“扩大”、“扩大了”与“增加了”也是同一个意思。

例3：一个学校原有学生500人，现在的学生已增加到700人，比原来多多少人？

解：700－500＝200（人）

答：比原来多200人。

例4：某机械厂原来每年生产车床3000台，采用新技术后，每年生产的车床增加到原来的143%，现在每年生产车床多少台？

解：3000×143%＝4290（台）

答：现在每年生产车床4290台。

从上面的两个例子可以看出，“增加到”是指在原数的基础上加上“增加了”的数所得到的总和，包括原数在内。与“增加到”说法相同的还有“增长到”、“增长为”、“提高到”、“提高为”、“增加为”、“达到”等。当应用题中数量关系不涉及到倍比关系时，“扩大到”与“增加到”也完全是一个意思。

和“增加了”、“增加到”一样，“降低了”、“降低到”等的意思也是不同的。同学们可以自己思考一下。

解数学题有哪些步骤

做任何事情，都有一个从准备、进行到完成的过程，解数学题也是如此。一般来说，解数学题有下列四个步骤：

1.审题。即通过仔细读题来弄清楚：这是一道什么样的题？题的结构如何？题中的已知条件是什么？题中的问题或要求是什么等等。

2.分析。即在审题的基础上，弄清楚条件与条件以及条件与问题之间的联系或关系，并根据要求分析解题途径，探求解题方法，从而实现由已知向未知的转化。分析的基本思路一是回忆，二是推想。如回忆有关的定义、定律、性质、法则、公式，联想有关的典型问题的解法和注意事项等等，以确定如何解题。推想则是对解题途径的推测和尝试。

3.叙述。即做好上述两项工作以后，把解题付诸实践，也就是按照解题要求写出解题过程。这一步是同学们经常做的工作。

4.检验。即对解题过程进行复核、验算。如审题是否失误？公式是否用错？运算是否正确？格式是否符合要求等等。

同学们，你在解题时是按照上述步骤进行的吗？

四则混合运算的顺序，为什么要规定“先乘除，后加减”。

对于运算顺序的这一规定，是基于以下两个原因：一是在实际计算中需要先乘除后加减的问题比需要先加减后乘除的问题多，这一规定可大大减少使用括号的麻烦，使运算简便。二是从数学发展史来看，加减是数量变化的低级形式，乘除是高一级的形式。“乘法是递加同一数的简便算法，除法是递减同一数的简便算法”。因而乘除比加减简便、迅速、计算效率高，所以就产生了尽量运用乘除的规定。

加减法是互为逆运算吗

我们知道，已知加法中的和与其中的一个加数，求另一个加数，用减法。

例如：x＋20＝45

x＝45－20，

x＝25。

例如：x＋25＝45

x＝45－25，

x＝20。

也就是说，用减法可以求出加法中两个加数中的任何一个。所以说：“减法是加法的逆运算。”那么，加法是否是减法的逆运算，或者说，加减法是否是互为逆运算呢？看一看下面的例子。

例如：x－50＝80

＝80＋50，

x＝130。

例如：130－x＝80，

x＝130－80，

x＝50。

从上面的例子可以看出，已知减法中的差与减数，求被减数，用加法；已知减法中的差与被减数求减数，不再是用加法，而是仍用减法。也就是说，用加法只能求出减法算式中左边的数（被减数），用加法不能求出减法算式中右边的数（减数）。因此，我们只能说，加法是减法的左逆运算，不是加法的右逆运算。所以，在我们所学的“小学整数”范围内笼统地说“加法是减法的逆运算”是不对的，说“加法和减法互为逆运算”也是不对的。

同样的道理，可以说：“除法是乘法的逆运算”，但不能笼统地说“乘法是除法的逆运算”，或者笼统地说“乘法和除法互为逆运算”。只能说：“乘法是除法的左逆运算。”

“倍”是计量单位吗

表示几倍的“倍”不是计量单位，它不表示长度、重量及体积等意义，仅仅表示相除两个量之间的一种比较关系。它同其他表示倍数关系的概念如分率、百分数、减数等一样，都属于不名数的范围。

验算的常用方法与技巧

1.逆算法：对于计算题而言，利用“减法是加法的逆运算”、“除法是乘法的逆运算”进行检验。

对于应用题而言，可把求出的结果当作已知条件，代入题目中，用逆运算的方法验算，检验是否符合题意。

例如：修一条长1000米的公路，已经修了800米，余下的要5天修完，平均每天修多少米？

解：（1000－800）÷5＝40（米）。

答：平均每天修40米。

把平均每天修40米当作已知条件，用逆运算的方法验算。

40×5＋800＝1000（米）

验算结果与题意相符，说明这道题解对了。

2.估计法：估计法又有以下5种。（1）总体估计法。例如，19.3×6.2，当6个20计算，其结果应为120左右。若出入太大，便是错误的。（2）最高位估计法。例如，87563÷4，商的最高位一定是“2”，否则，便是错的。（3）最低位估计法。例如，38×54，积的末位应当是“2”，否则，便是错的。（4）位数估计法：即判定某一式子的结果的位数是几。采用这种方法要注意进位与退位等问题。（5）常识法：如果得出水稻每亩产10千克或某人步行速度为40千米/小时，显然是错误的。应该检验列式或计算是否有错。

3.另解法：对于一题多解的应用题，当用一种解法解答后，还可以用另一种解法进行检验。

例如：一个服装厂原来做一套儿童服装用布2.2米，现在改进了裁剪方法，每套节省用布0.2米。原来做600套这种服装所用的布，现在可以多做多少套？

解：2.2×600÷（2.2－0.2）－600＝60（套）。

答：现在可以多做60套。

验算时可用另一种方法来解答，即先求出现在做600套衣服比原来节约多少布，再求用这些节约出来的布现在可以多做多少套衣服。即：

0.2×600÷（2.2－0.2）＝60（套）

两种解法结果相同，可见此题解法正确。

4.弃九法：先把一个数的各位上的数相加，再求和被九除的余数，从而求出这个数的九余数。例如5412的九余数为3。（1）加法的验算：两个加数的九余数相加，如果不等于和的九余数，则计算必有错误。（2）减法的验算：被减数的九余数减去减数的九余数（不够减的，在被减数的九余数上加9再减），所得的结果与差的九余数不同，则计算必有错误。（3）乘法的验算：两个因数的九余数相乘，如果所得的数或其九余数与积的九余数不同，那么计算必有错误。（4）除法的验算：根据除法是乘法的逆运算的关系，用乘法的验算方法进行验算。

用弃九法验算，不能验证某个计算一定是正确的。因为若得数中多写“0”或少写“0”，或数字的位置有所颠倒，其九余数不变。所以，用弃九法验算，还要结合估计法等其他方法才能肯定计算的正确性。

5.等量法：对于应用题而言，可抓住题意中的等量关系进行验算。如较复杂的归一应用题，可以抓住关键的句子“照这样计算”，进行前后单一量是否相等的计算。

近似值的截取方法有哪些

在实际计算中，根据不同需要，截取近似值的方法也不同，主要有以下几种方法：

1.四舍五入法：这是一般常用的方法。如果去掉的多余的部分大于或等于5，则向前一位进1；如果去掉的多余的部分小于或等于4，则将其舍去。

例如：7.335≈7.34（保留两位小数），7.335≈7.3（保留一位小数）

2.进一法：去掉多余部分的数字，总是向前一位进一。

例如：把400千克桔子装入筐内，每筐装30千克，把这些桔子全部装完，至少要用多少只筐？

400÷30＝13.333……≈14（只）。

因为剩下的部分也要用一只筐装，所以至少要14只筐才能把全部桔子装完。

3.去尾法：去掉多余部分数字，保留部分不变。

例如：400张纸，可以装订30页的本子多少本？

400÷30＝13.333……≈13（本）。

因为余下的部分，不够订一本，所以只能装订13本。

慧心集结

人和乌龟赛跑

意大利著名数学家芝诺有个最有名的悖论，即“阿基里斯和乌龟赛跑”。芝诺是这样说的：当阿基里斯跑到乌龟的起点（A点）时，乌龟已经跑到了B点。现在阿基里斯必须要跑到B点来追赶乌龟，但是同时乌龟又到了C点，依此类推，阿基里斯需要用无限的时间来追赶乌龟。阿基里斯与乌龟的距离越来越近，但他永远都不可能赶上乌龟。

阿基里斯跑过的路程可以被划分成无数段。当要移动一段距离，你必须首先移动到这段距离的二分之一处；而当你要移动到它的二分之一处，你必须首先移动到它的四分之一处，以此无限地分下去。如图所示。

请问：“阿基里斯和乌龟赛跑”的悖论中哪一点错了呢？［答案：芝诺的悖论中第1处错误就是他假定无限个数的和还是无限个数，这与事实不符。无限个数的和，例如：1＋1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋1/32＋1/64＋…＝2我们知道这是一个等比数列。等比数列的首项为1，后一个数与前一个数的比值（x）相等。在上面这个例子中，x等于1/2。当x小于1时，无限项的等比级数各项之和是一个有限的数。阿基里斯追上乌龟所跑的距离和用掉的时间可以分别看做是等比小于1的等比级数，因此他追上乌龟所跑的总距离并不是无限的，同样，所用的时间也是有限的。假定乌龟的起点在阿基里斯的起点前10米，阿基里斯每秒钟跑1米，速度是乌龟的10倍，那么他用5秒就可以跑完一半，再用2.5秒就可以跑完剩下路的一半。依此类推，他用10秒就能够跑完10米。而这时乌龟才刚刚跑了1米。阿基里斯在11秒多之后在离他的起点11.1米的地方就已经超过乌龟，很轻松地赢得了这场比赛。］

学好数学的10种方法

俗话说，学海无涯苦作舟。当然，刻苦学习是必要的，但还要学之有法。你掌握了好的学习方法，往往就会事半功倍，不仅可以提高学习效率，而且可以学得更深、更透。下面提供了10种好的学习方法，对照使用一下，你一定会受益匪浅。

1.课前预习，寻找疑难。

2.勤思多问，掌握规律。

3.动脑动手，手脑并用。

4.消化巩固，温故知新。

5.仔细读题，认真验算。

6.注重理解，默诵记忆。

7.开动脑筋，一题多解。

8.多读多看，开阔视野。

9.分析失分，总结经验。

10.劳逸结合，合理安排。

你知道这些记忆方法吗

我们在学习数学的过程中，少不了要记忆公式、法则、特殊数值、解题方法等。我们要在理解的基础上记忆，不要死记硬背，这样，才能记得牢，用得活。这里向大家介绍几种常用的记忆方法。

1.串联记忆：把相互有联系的内容按一定的顺序串联起来记忆，而不是零散地去记。这样，如果某一内容记忆不准确，通过回忆这一连串的内容，就能把遗忘的东西回忆起来。如记忆锐角、直角、钝角、平角、周角的概念时可按它们角度从小到大的变化顺序来记忆。

2.对比记忆：把成对的表面相近或相关，但有实质差别的东西通过对比、辨别来记忆，这样，可以避免相互混淆，增强记忆的准确性。如质数与合数、周长与面积、整除与除尽等概念，通过辨别它们之间的联系和区别，就比较容易准确无误地记住它们了。

3.口诀或谐音记忆：把一些数学原理及特殊值等编成口诀或根据其特点编成谐音来记，将更加容易记忆。如对π的记忆，有这样一个故事：从前，一位私塾先生让学生背π值到20位数，自己却到山上的寺庙中喝酒去了。有一学生急中生智，把π值与先生喝酒联系起来，编成了谐音顺口溜：

山顶一寺（3.14），一壶酒（159），尔（你）乐（26），苦煞吾（我） （535），把酒吃（897），酒杀尔（932），杀不死（384），乐尔乐（626）。

4.联系实际记忆：把学习中碰到的问题与实际情况联系起来，能帮助记忆，加深印象。如要记牢面积单位间的换算关系，可以联想生活中的一些事实：一张32开的纸，面积约230平方厘米，而课桌桌面的面积通常是35平方分米；一个易拉罐中所能装的可乐，一般约是350毫升等等。

同学们，你们还能想出更好的记忆方法吗？

参加数学考试要注意些什么

1.树立信心，充分准备。参加考试要有信心，相信自己能考出好成绩来。考前，要做好准备工作，把必要的文具用品整理齐全。临考之前，千万不要开夜车，保证休息好。否则，考试时会头昏脑涨，影响成绩。

2.镇定自若，不慌不忙。拿到考卷后，不要忙于立即做，可以先把整个卷子简要地看一遍，一共有几部分，然后再一部分一部分地解答。有的同学没有把试卷全面看一遍，结果把反面的题目都漏做了。

3.讲求策略，先易后难。试卷上的题目有难有易，可以把会做的题目先做，不会做的题目暂时放一放。等会做的题目做完了，再回过头来解答比较难的题目。

4.细致认真，及时验算。解题时要细心，要把题目仔细看几遍，必须弄懂题目，看清要求，再动手做。做完一题立即验算一遍，争取做一题对一题。

同学们，希望你们在参加考试时，一定要照着上面的几条去做。这样，你就一定能取得理想的成绩。不信，你试试看。

长度单位“米”的确定

1790年，法国国民议会作出决定，采用巴黎子午线长度的四千万分之一作为长度的基本单位。直到1799年，终于完成了一切测量工作。人们准备了两个完全相等的标准白金模型，规定0℃时两端中间刻线之间的距离为1米。后来，这个米原器就保留在法国度量局内。

可是，这样的米原器有很多缺点：材料会变形，精确度不高，只能达到0.1微米（1微米＝1/1000毫米）；一旦毁坏，不易复制。为了弥补米原器的缺点，20世纪以来，各国计量工作者都致力于研究应用自然光波来代替米原器。1960年，国际计量大会通过米的新定义，决定以在规定条件下元素氪的同位素（Kr86）原子在真空中辐射成的光波之长，作为世界统一的公制长度准器。

1983年10月，在法国巴黎举行的第17届国际计量大会上，又正式通过了米的新定义：“米为光在真空中，在1/299792458秒内的时间间隔内运行距离的长度。”

解数学题的基本思路

解答数学题的基本思路是分析法和综合法。

分析法就是从所求的问题出发，逐步追溯到解答所需的已知条件，这就是执果索因的解题方法。

综合法就是从已知条件出发，逐步推算到新的条件和最后要解答的问题，这就是由因导果的解题方法。

例如：商店原有糖果50千克，又运进糖果5箱，每箱75千克。现有糖果多少千克？

用分析法解题思路如下：

①现有糖果多少千克？②原有糖果50千克，又运进糖果多少千克？③又运进糖果5箱，每箱75千克。

用综合法解题思路如下：

又运进糖果5箱，每箱75千克；原有糖果50千克，又运进糖果多少千克？75×5＝375（千克）；现有糖果多少千克？375＋50＝425（千克）。

其实，在解题中，分析法和综合法是相辅相成、协同运用的。用分析法思考的时候，要随时注意题中的已知条件，考虑哪些已知数量搭配在一起可以解所求的问题。因此，分析中也有综合。用综合法思考的时候，要随时注意题中的问题，考虑为了解决所提的问题需要哪些已知数量，因此，综合中也有分析。换句话说，实际解题时需要不断地既有分析又用综合的思维活动。

为什么不写“倍”

先看下面这道例题：

小鸡有8只，小鸭有4只。小鸡的只数是小鸭的只数的几倍？

解：8÷4＝2

答：小鸡的只数是小鸭的只数的2倍。

我们知道，一个数只有带上计量单位，才能准确表示一个物体的大小、多少、长短、轻重、快慢等。“倍”不是计量单位，它表示两个数量之间的关系，如上例。在算式里不写“倍”是为了防止与计量单位名称发生混淆。

小数点的发明

小数点是用来表示小数部分开始的符号。现在的小数点是用一个实心的圆点来表示的，然而，以前表示小数点的方法却很多。16世纪，比利时有个叫西蒙斯芬的人，把9.65表示为9（0）6（1）5（2）；17世纪初，英国人威廉·奥垂德用9ㄥ65表示9.65。这些记法都不便。17世纪末，英国人约翰瓦里司创造了现在的小数点。

现在小数点的使用大体分两派。欧洲大陆（德、法等国）用逗号做小数点，而小圆点用来做乘号的符号，乘法避免用“×”，以防止与字母X相混淆。中、英、美等国用小圆点而不用逗号做小数点，逗号用来做分节号。

什么叫做逆运算

什么叫做文字题

文字题又叫文字叙述题，它是用文字表达数与数之间的关系的题目。它是由数学名词术语、数字与问题三部分组成的题目。例如：“715减去20乘以5的积，差是多少？”

解文字题的思考方法一般有两种：

1.顺推法：就是顺着题目的叙述顺序思考列式。如：“24与37的积减去23与17的和，差是多少？”我们可以这样想：“24与37的积”列式为24×37，“23与17的和”列式为23＋17；要求差时，先要算出23与17的和，这就要改变运算符号，所以要加小括号。整个列式为：24×37－（23＋17）。

2.倒推法：就是从问题出发，先确定最后一步运算，再确定参加这一步运算的数是怎样得来的，这样依次类推上去；当需要改变运算顺序时就要加括号。如上题可以这样想：最后一步是求差，那么被减数与减数是什么呢？被减数是24与37的积，减数是23与17的和，于是有：（24×37）－（23＋17）。因为23＋17要先算，列式时要加小括号，即得24×37－（37＋17）。

一个数乘以11的速算方法

1.积的个位上的数与被乘数的个位上的数相同。

2.积的十位上的数等于被乘数个位上的数与十位上的数的和（如满10要向百位上进1）。

3.积的百位上的数与被乘数十位上的数相同（如积的十位上有进位，百位上的数还要加上1）。概括地说，一个数乘以11的规律是：所得的积头尾两位数字一般和被乘数的头尾两个数字相同，中间的数字，就是被乘数相邻的两个数字相加的和，满十要进一（即在高一位数上加1）。我们根据这个规律，就可以很快算出一个数乘以11的积。

30°角用放大镜能变大吗

放大镜的确可以把许多东西放大几倍、十几倍甚至几十倍，但是有一个东西却无论如何也放不大，这个东西就是“角”。

我们已经知道“角”的大小是指角的两条边叉开的程度。放大镜虽然能把画面上的射线和字母都放大，可是却不能把角张开的程度改变，即角两条边的位置总是不变的，所以角的大小并没变。正如我们的桌子或者书本的四角，不管怎么放大，它们的四个角仍旧都是直角。这说明，用放大镜看任何一个角，角的度数是不变的。30°的角，不管用什么样的放大镜看，也变不成300°的角。

刘徽如何发明“重差术”

刘徽是我国三国时代的魏国人，可能是山东人。他曾从事度量衡考校工作，研究过天文历法，但主要是研究数学。

刘徽自幼就学习《九章算术》，对该书有独到的研究，他不迷信古人，对《九章算术》中许多问题的解法不满意，于公元263年完成了《九章算术注》，对《九章算术》的公式和定理给出了合乎逻辑的证明，对其中的重要概念给出了严格的定义，为我国古代数学建立了完备的理论。

刘徽创造了一种测量可望而不可即目标的方法，叫做“重差术”。重差术也叫“海岛算经”，附在《九章算术》之后，共有九个问题。

刘徽说：“凡望极高，测绝深而兼知其远者必用重差，勾股则必以重差为率，故曰重差也。”这段话的意思是，重差用于测不可到达物的距离。用两次测量之差，再利用相似比来进行计算。“海岛算经”的第一个问题是“测海岛高及距离。”题目原文是：“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直。从前表却行123步，人目著地取望岛峰，与表末参合。从后表却行127步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何。”按现代数学语言译出，就是：“为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和E处树立标杆DC和EF，标杆高都是3丈，两标杆相距1000步，AB、CD和EF在同一平面内。从标杆DC退后123步到G点，看到岛峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆FE退后127步到H点，也看到岛峰A和标杆顶端正在一条直线上。求岛峰高AB及水平距离BE。”

为解此题，可令标杆高为h，两标杆的距离为d，第一次退a，第1二次退a。又设岛高为x，BE为y。2

按刘徽的做法是，作EL∥AG交BH于L点。

∵△ELH～△ACE

△EHF～△AEK

已知EC＝DF＝d，HL＝FH－FL＝FH－DG＝a－a，EF＝h，可21得：

又∵△CDG～△AKC

∴

已知

所以

在上面公式里

是两个差数之比，所以叫重差术，也有人说因为两次用的差a－2a，所以叫重差。1

刘徽也得到了上面的公式，其公式为：

其中“表”就是标杆，“却行”就是后退。

将“海岛算经”第一题的数据代入公式，可得x＝1506步，y＝30750步。“海岛算经”本来不独立成书，是附在《九章算术》中“勾股”章后面的一个附录，主要讲用勾股定理进行测量的补充和发展。到公元7世纪唐朝初年，才从《九章算术》中抽出来成为一部独立著作。因为第一题是关于测量海岛的高和远，所以起名《海岛算经》。

现传本《海岛算经》的九个问题中，有三个问题需要观测两次；有四个问题要观测三次；还有两个问题要观测四次。所有的观测和计算，都是应用相似三角形对应边成比例进行的，虽然没有引入三角函数，但是利用线段之比，同样可得结果。

重差术是我国数学上的一个创造。

如何丈量地球

根据牛顿有关引力的理论，可以推想出来，地球并不是一个纯粹的圆球体，而应该有点像橘子那样，是个中间宽，两头扁的球状体。换句话说，由于离心力的作用，地球在赤道上的直径要比两极间的直径要长。也就是说，两极的每一纬度间的距离要比赤道附近每一纬度间的距离要大。

为了证实这一理论，法国政府于1735年组织了两次考察。考察队的任务是通过对子午线弧度的测量，精确地计算出地球的形状和大小。第一支考察队，由拉康达明率领，他们在深入到位于赤道附近的秘鲁安第斯山区时遇到了许多困难。两年后，第二支考察队由马保梯率领，去了北欧拉普兰地区，那是当时欧洲人所能到达的最靠近北极的地区。由于恶劣的气候条件和仪器的敏感度很高，这两次考察不仅耗费时日，而且历尽周折。但是，在历时数年的艰苦工作中，他们所收集到的数据和得出的计算结果证实了牛顿的想法。北极附近的一个纬度间距要比赤道附近的一个纬度间距长1%。赤道部位的地球要比两极部位的更圆。今天我们知道，赤道区域的海平面要比两极地区的海平面离地球的中心远21千米。

如何测量经度

许多世纪以前，航海家们已经懂得如何测量纬度（赤道到地球南北任何一点的距离）。为此，他们只要测量出太阳在某地的最高点或北极星的位置，再算出它们与天顶的距离就可以了。但是，只有知道某一点与出发港口的确切距离（无论是向东或向西），才有可能计算出经度，而这一点在那个时代绝非易事。

1714年，英国政府宣布，谁能找到确定海上航行船只确切位置的方法，就奖励他两万英镑。英国人哈里森是一位木匠和手工艺人。从1728年开始，他制作出了好几只适合在船上使用的计时器，一只比一只更轻便、更精确。1739年，他又制作出了第一只适合远洋航行用的计时器，但有点复杂，也不十分精确。又经过多年的研究和试验，终于在1761年建造了一只相当精确的计时器，用它计算出来的经度只有几海里的误差。这只计时器有一个用几种不同金属制成的内置平衡装置，它既可抗御船只的颠簸，又能适应温度的变化。但是，哈里森还必须对他的计时器进行多次试验，成功以后才能获得悬赏。1762年，在一次从英国到加勒比海的巴巴多斯的航行中使用了这个计时器。航行历时5个月，哈里森的计时器只慢了15秒。但是，10年以后，英国政府才给哈里森颁发了奖金。这只计时器的出现开辟了航海事业的新纪元。从此，在海上航行的船只可以知道自己的确切位置，并有可能绘制出更加精确的航海图，为找到更加快捷的新航线提供了可能。

先抽签后抽签哪个中奖机会大

我们常会碰到这样的问题，10个人抽一个奖，应该说每人获奖的概率是一样的。但有的人认为，先抽合算，后抽不合算。现在我们来分析一下：

第一人抽着奖的概率是抽不着奖的概率为

第二人抽时只有9个签，有两种可能：①第一人已抽着奖，第二人抽着奖的概率应是；②第一人未抽着奖，第二人抽着奖的概率应是

所以第二人抽着奖的概率为：

因此，第二人抽签，不管第一人是否抽到奖，他抽到奖的概率仍是

第三人去抽签时还有8张签，也是两种情况：

①前面两个人中已有一个抽着奖，第三人抽着奖的概率应是

②第一、二人都未抽着奖，而第三人抽着奖的概率应是：

所以第三人抽着奖的概率为：

因此，不管第一人，第二人是否抽着奖，第三人抽着奖的概率仍为所以10人抽签不管先抽还是后抽，抽着奖的概率是一样的，机会是一样的。

怎样让客人等吃饭的时间最少

星期天，家里来了客人。爸爸妈妈留客人吃饭，准备烧四个菜、一个汤、两个冷盘。你算算需花多少时间。

取米淘米3分钟，烧饭10分钟，焖饭6分钟，炒菜（甲乙丙菜）各要4分钟、5分钟、6分钟，清蒸菜10分钟，烧一锅汤要10分钟，每次洗锅要0.5分钟，每次盛菜到碗里要1分钟，盛饭配碗筷要2分钟，配制两冷盘各要5分钟、4分钟。这样，大约一个小时以后，客人可以吃饭。

3＋10＋6＋4＋5＋6＋3×0.5＋10＋10＋3＋2＋5＋4＝69.5分钟。

如果我们作一个统筹安排，烧饭用电饭锅，烧菜分两只锅炒，先取米淘米烧饭，同时烧汤、配冷菜、清蒸等。可以同时用两只锅炒菜，这样的话，我们实际用了：

3＋10＋10＋5.5＋2＝30.5分钟，让客人少等半个多小时就能吃到饭。

哪些灯还亮着

有一百盏电灯，排成一横行。自左向右，我们给电灯编上号码1，2，3……99，100。每一盏灯由一个拉线开关控制着。最初，电灯全是关着的。

另外，还有一百个学生。第一个学生走过来，把凡是号码是1的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第二个学生走了过来，把凡是号码是2的倍数的电灯开关拉了一下；第三个人再走过来，把凡是号码是3的倍数的电灯上的开关拉了一下，如此下去，最后那个学生走过来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉一下。这样做过之后，问：“哪些灯是亮着的？”

这简直令人眼花缭乱，不易理出头绪，方法不当就更不得要领。

正确的思考是：由于最初所有的电灯都是关着的，所以被拉了偶数次开关的电灯，仍然是关着的；只有那些被拉了奇数次开关的电灯才是亮着的。因此，人们只需去关心那些被拉过奇数次开关的电灯。

按照问题所规定的法则，编号为n的电灯被拉过几次呢？要看整数n中有多少个正因数。如果n不是平方数，那么n的全部正因数的个数是偶数，这盏灯是关着的。只有当n是平方数时，n的全部正因数个数是奇数，这盏电灯被拉过奇数次，因此它是亮着的。

这样，我们知道了，只有编号为

1，4，9，16，25，36，49，64，81，100的灯是亮着的。

最后举一例，看你是否有了“对称意识”：

两人把一个棋子，从左到右移动，使它经过一排方格中的每一个格，这排方格的总数是1990，谁把棋子移动到最后一格，谁就获胜。两人轮流，一次移动1至3格。如果你先走，你会赢吗？若再模仿前两个游戏，就会因找不到对称中心而困惑。但如果你有“对称意识”，就会立刻想到在四个格子里，对手先走，你必能获胜。这样，你走第一次时只要使剩余的格数是4的倍数就行了，对手走1格，你走3格；对手走2格，你走2格；对手走3格，你走1格，一直到你把棋子移到最后一格里。

为此，你的第一步只要把棋子移到左边的第二个格子里，（1990÷4＝497×4＋2）就稳操胜券了。

疾病普查怎样进行最省力

我国的医疗机构常进行一些疾病的普查。一种常见的普查方法是验血，通过验血，可以对肝炎、霍乱、血吸虫病等多种疾病作出早期诊断。普通的验血普查方法是：由医疗人员到各个普查点抽取每位接受检查人员的少量血液，做好标记，由医疗人员带回医院或研究机构逐一检查，最后再把检查结果告诉每一位被检查者。这种普查方法虽然很有效，但检查过程费时费力。有没有省时省力一点的办法呢？答案是肯定的。我们举一个例子来说明这个问题。

某次疾病普查需要对上海市1400万居民进行肝炎病毒的验血普查。医疗人员抽取血样带回以后，有两种验血方案可供选择。第一种是普通的方法，即对每份血样逐一进行检查。另一种方案是把所有血样先进行分组，每组100份，从同一组的每份血样中抽取一部分（验血只需要极少量的血样）进行混合，然后再对混合后的血样进行检查。如果检查结果呈阴性，即没有检出肝炎病毒，则表明该组100份血样都无病毒；如果检查结果呈阳性，即检出肝炎病毒，则表明该组100份血样中有某一份或某几份带有病毒，为了查明到底哪一份或哪几份血样带有病毒，必须对这100份血样再逐一检查一遍。那么到底采用哪种方案好呢？

如果采用第一种方案的话，每组血样要做100次检查，而若采用第二种方案，每组血样可能只要做一次检查，也可能要做101次检查。为了作出比较，必须求出采用第二种方案时每组血样需要做的平均检查次数，而这又需要知道两种检查次数出现的可能性有多大。

根据以往资料或试查资料（疾病普查之前常先进行小范围内的试查）估计，肝炎病毒的携带率为0.1%，即平均每1000人中有1人为病毒携带者，或说每份血样中带有病毒的可能性是0.1%。因此每组血样中每份都不带病毒的可能性是：

而有一份或几份带有病毒的可能性是1－90.48%＝9.52%。因此，采用第二种方案验血，每组血样需要检查的平均次数为：

1×90.48%＋101×9.52%＝10.52（次），比采用第一种方案节省了89.48%。如果每验血一次需要花费10元钱的话，采用第一种方案进行检查需要花1.4亿元，而采用第二种方案只需要花1472.8万元，比采用第一种方案节省了1亿多元。

事实上，采用第二种方案进行验血时，并不一定每组含100份血样，也可以每组含50份或150份血样，等等，有兴趣的少年朋友可以试着计算一下，此时又能比采用第一种方案节省多少费用。

数字中为何有周期现象

周期现象是普遍存在的。如果你注意一下，就可以发现，数字中也存在着形形色色的周期现象。

例如，自然数经过5次乘方之后，其末位数会出现“重现”或“回归”：2的5次方是32，其末位仍然是2；3的5次方是243，其末位仍然是3；7的5次方，我们即使不算出其结果，也可以肯定它的末位必定还是7；等等。

观察一下从1至9的平方的末位数，可以发现它们组成了一个回文序列：1，4，9，6，5，6，9，4，1。10的平方100末位是0，而此后各数的平方的末位数又是1，4，9，6，5，6，9，4，1。整个自然数的平方的末位数，始终在那儿兜圈子，循环反复，以至无穷。而这些反复出现的周期，中间是以0来分界的。

人们还发现，一切平方数的根数只能是1，4，7，9这四个数字，不可能是其他数字。这里所称的“根数”，就是把一个正整数的各位数字统统相加起来，求出其和数，如果这个和数比9大，就一直减去9的整倍数，直至余数小于或等于9为止。例如，135的根数是9，246的根数是3，等等。

利用上述知识，有时很容易判别一个数究竟是不是平方数。譬如说，98765432123456789是不是一个平方数？我们不妨查一下它的根数，是8，而不是1，4，7，9中的一个，于是就可以肯定它不是一个完全平方数。

一切平方数的根数不仅具有如上的特性，而且当完全平方数依序递增时，其根数也是以1，4，9，7，7，9，4，1的回文序列反复出现的。不过，这一次是以9，而不是用0来作为各个周期的分界。下面举些实例来说明：

100（10的平方）的根数为1；

121（11的平方）的根数为4；

144（12的平方）的根数为9；

169（13的平方）的根数为7；

196（14的平方）的根数为7；

225（15的平方）的根数为9；

256（16的平方）的根数为4；

289（17的平方）的根数为1；

324（18的平方）的根数为9；——周期的分界标志

361（19的平方）的根数为1；——下一周期的开始

……

平方数的这些性质，不仅有趣，而且有很大的实用价值。灵活运用这些性质，我们就可掌握许多速算的窍门。

古希腊三大几何问题是什么

传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。另外两个著名问题是三等份任意角和化圆为方问题。

古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。但直尺和圆规所能做的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。经过2000多年的艰苦探索，数学家们终于弄清楚了这3个古典难题是“不可能用尺规完成的作图题”。认识到有些事情确实是不可能的，这是数学思想的一大飞跃。

然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等份任意角就都是可测量的了。数学家们在这些问题上又演绎出很多故事。直到最近，中国数学家和一位有志气的中学生，先后解决了美国著名几何学家佩多提出的关于“生锈圆规”（即半径固定的圆规）的两个作图问题，为尺规作图添了精彩的一笔。

博弈论是什么

下棋已成为许多人茶余饭后乐此不疲的一项业余爱好。既要对弈，就必有胜负。赢棋的奥妙是一个很值得研究的问题。而研究这类问题的学问就是博弈论，又叫对策论。

博弈论是20世纪20年代才发展起来的新兴学科，由冯·诺曼等人的研究开始，最先被用于考虑经济问题和军事问题，之后也被用解决一些社会问题。下面用一个简单的例子来看看是如何考虑问题的。

例如，两人轮流在国际象棋棋盘的空格内放入“相”棋，一方为黑棋，一方为白棋。当任何一方放“相”棋时，要保证不被对方已放入的“相”吃掉，谁先无法放棋子谁为输者。问谁为输者？（国际象棋棋盘为8×8格的方形棋盘，“相”的走法为斜飞，格数不限）

答案是先走棋者输。具体策略是：后走者以棋盘的一条竖直平分线为对称轴，将“相”放在对方棋子的对称位置。这种策略对后走棋者来说是必胜策略。因为先走者走棋后，按策略，后走者总可以走棋，而且因为“相”的斜飞规则，后走者的棋不可能吃先走者的棋，同时也不可能被先走者的棋吃掉。这样按策略走下去，先走者必输无疑。

什么是选择与推理

对于复杂的问题，只要已知条件是充分的，能不能得出正确的结论，关键在于能否掌握正确的推理方法，从而选择出准确的结果。

流传很广的“谁养斑马”就是一个有趣的例子。这道号称世界难题的题，起源于美国，轰动一时，使很多人着了迷。它像一阵风，吹到世界各地，到处便掀起了解题热。在我国青少年中，同样也引起了反响，甚至一些老人也参加了研究和讨论。

原题说的是：某地从西向东，排列着五幢颜色各不相同的房子，侨居着5个不同国籍的人，他们都喜欢饲养动物，并且所养的动物种类各不相同。另外，5个人各喝不同类型的饮料，抽不同牌子的香烟。请你找一找：谁是喝水的人？谁是饲养斑马的人？已知条件有：

1.英国人住的是红色房子；

2.西班牙人养的是狗；

3.住绿色房子的人喝咖啡；

4.乌克兰人喝茶；

5.绿色房子位于白色房子相邻的东侧；

6.抽万宝路牌香烟的人养蜗牛；

7.住在黄色房子中的人抽可乐牌香烟；

8.正中那幢房子的主人喝牛奶；

9.挪威人住在西边第一幢房子里；

10.抽本生牌香烟的人和养狐狸的人是隔壁邻居；

11.抽可乐牌香烟的人和养马的人也是隔壁邻居；

12.抽肯特牌香烟的人喝桔子水；

13.日本人抽摩尔牌香烟；

14.挪威人和住蓝色房子的人是隔壁邻居。

这个题头绪很多，关系复杂。请你自己动手画一个图，便一目了然了。

问题涉及：房子自西向东的顺序号码是1、2、3、4、5；房子的5种颜色；5个国家；5种饮料；5种香烟；5种动物。5×6＝30，共30个元素。每个元素用一个字表示。

根据已知条件，在两个字之间连线。例如，条件1，英国人住红房子，便连一条线：

英红（条件1）；

同理，还可以画出：

西狗（条件2）；

绿咖（条件3）；

乌茶（条件4）；

万蜗（条件6）；

黄可（条件7）；

3奶（条件8）；

1挪（条件9）；

肯桔（条件12）；

日摩（条件13）；

2蓝（条件14）；

另外，还有三个条件没有用上，就是：

条件5，绿色房子与白色房子相邻，绿在东；

条件10，抽本生烟的人在养狐狸的人隔壁；

条件11，抽可乐烟的人在养马的人隔壁。

把条件5和条件1、条件9结合起来，得：

1——黄。由1，1不可能是红的；由2——蓝，和由白绿相邻，1也不可能是白或者绿。

从连线情况看出，抽可乐烟的人住1。用条件11，又得2——马。这样，图上已有13条连线了。

再用条件5，绿白相邻，红房子只能是3或者5了。这需要分两种情况讨论：

A，要是红房子是第5，得：

红……5，白……3，绿……4。这些是在假定A之下推出来的，用虚线连，表示区别于题设条件。

进一步，得：

乌——蓝。乌兰克人要是住白，应该喝奶；要是住绿，应该喝咖啡，都与茶矛盾，所以只有住蓝色房子。

乌……本。乌克兰住2必养马，所以不能抽万宝路，又因为不喝桔子水，所以不能抽肯特。

西——肯，因为西班牙人不养蜗牛，所以不抽万宝路。

于是，西班牙人要喝桔子水。这样，西……绿、西……白都不可能。推出了矛盾，说明这个假设红……5行不通，虚线作废。

B，红房子一定是第3。于是，红——3，白——4，绿——5。

乌克兰人只能住在蓝或者白，又需要分两种情况来讨论。

B，由乌——白，得西——绿。因西班牙人养狗，不能在2。1

于是得西——本。因西班牙人喝咖啡，不能抽肯特。

由条件10，西班牙人隔壁养狐，得白——狐。因为乌住白，养狐，不能抽万宝路。

于是，乌克兰人又喝茶又喝桔子水，矛盾。

B，由乌——蓝，得乌——本。因乌——养马，不能抽万宝路；2喝茶，不能抽肯特。

西——肯。西养狗，不能抽万宝路。

英——万。用条件10，养狐人是抽本生的隔壁，而英国人养蜗牛，只有挪——狐。

结论：日本人养斑马；挪威人喝水。

从上例可知，要想做出正确的推理和选择，对错综复杂的现象需慎重分析与判断。

继续这个数列

你将如何继续这个数列？如图所示。［答案：靛青和紫色（这是彩虹中含有的颜色）。］

什么是完全平方数

完全平方数是这样一种数：它可以写成一个正整数的平方。例如，36是6×6，49是7×7。

你知道吗？2

从1开始的n个奇数的和是一个完全平方数，n——即：2

1＋3＋5＋7＋……＋（2n－1）＝n。2

例如 1＋3＋5＋7＋9＝25＝5。

每一个完全平方数的末位数是：

0，1，4，5，6，或9。

每一个完全平方数要么能被3整除，要么减去1能被3整除。

每一个完全平方数要么能被4整除，要么减去1能被4整除。

每一个完全平方数要么能被5整除，要么加上1或减去1能被5整除。

迷人的素数问题

将数分类的一个方法是把它们描述成或是素数或是复合数。素数只有1和自己这两个因数。它不能被任何其他数整除。另一方面，复合数除了1和自己以外还有别的因数（例如，12不是素数，因为它的因数是1、2、3、4、6和12）。此外，每一个数可以用唯一的素数积来描述（12的素数积是2×2×3）——这积称作它的素因数分解。除了12以外，没有别的数能由两个2和一个3相乘而得。18世纪初，克里斯琴·哥德巴赫写信给伦哈德·欧拉，说他相信能证明除2以外的每一偶整数是两个素数的和（例如，8＝5＋3；28＝11＋17）。这个清楚而简单的陈述至今仍是未解决的数学问题之一。数学家所探究的其他迷人的素数问题中有孪生素数、梅森素数和索菲·热尔曼素数。

什么是“四色问题”

在给地图着色的时候，我们总是给相邻的不同区域涂上不同的颜色，使这些区域互相之间有所区别。那么，画一张地图，要用多少种不同的颜色呢？如果一张地图需要用四种颜色着色，我们就称它为“四色地图”；如果需要用五种颜色，我们就称它为“五色地图”；依此类推。

1852年10月，刚从伦敦大学毕业不久的青年数学家弗兰西斯·古色利在为一张英国地图着色时，发现最多只要4种颜色，就能把相邻的国家区分开来。古色利写信把自己的发现告诉在大学学习物理的弟弟弗雷德里克，弗雷德里克又向他的数学老师摩根提出，摩根又去请教哈密尔顿，并由此引起了一场长达120多年的证明大战。这就是著名的“四色问题”，它与费马大定理、哥德巴赫猜想一起，被称为近代三大数学难题。

1879年，肯泊在一篇论文中发表了一个证明，1890年，希伍德指出了肯泊证明中的错误，同时也指出，肯泊的方法可以用来成功地证明每个地图都可用5（或少于5）种颜色着色。这就是“五色定理”。

但是从五色减为四色，却困扰了许多数学家。因为要证明四色问题，就要考虑到所有可能画出来的地图，而可能画出来的地图又是多得不计其数。1940年，温恩证明了任意35个或少于35个区域的地图可用4种或少于4种的颜色着色；1968年，奥尔和史坦普尔声明他们把区域个数从35提高到了39。在最终得到证明前，这个数字最高曾经达到96。进入70年代以后，人们大大改进了证明的方案，同时计算机的运算能力也有了很大的提高。1976年，美国伊利诺大学的两位数学家阿倍尔和哈肯分别在三台电子计算机上，花费了1200个小时计算，终于完成了四色定理的证明。这是1976年世界数学领域的一件大事，也代表了计算机数学时代的来临。从此，四色问题从猜想发展成为定理。尽管如此，仍有许多人在寻求着书面的证明。

算术是怎么来的

算术是数学中最古老、最基础和最初等的部分。它研究数的性质及其运算。“算术”这个词，在我国古代是全部数学的统称。至于几何、代数等许多数学分支学科的名称，都是后来很晚的时候才有的。国外系统地整理前人数学知识的书，要算是希腊的欧几里得的《几何原本》最早。《几何原本》全书共十五卷，后两卷是后人增补的。全书大部分是属于几何知识，在第七、八、九卷中专门讨论了数的性质和运算，属于算术的内容。现在拉丁文的“算术”这个词是由希腊文的“数和数数的技术”变化而来的。“算”字在中国的古意也是“数”的意思，表示计算用的竹筹。中国古代的复杂数字计算都要用算筹。所以“算术”包含当时的全部数学知识与计算技能，流传下来的最古老的《九章算术》以及失传的许商《算术》和杜忠《算术》，就是讨论各种实际的数学问题的求解方法。

关于算数的产生，还是要从数谈起。数是用来表达、讨论数量问题的，有不同类型的量，也就随着产生了各种不同类型的数。远在古代发展的早期，由于人类日常生活与生产实践中的需要，在文化发展的最初阶段就产生了最简单的自然数的概念。自然数的一个特点就是由不可分割的个体组成。比如说树和羊这两种事物，如果说两棵树，就是一棵再一颗；如果有三只羊，就是一只、一只又一只。但不能说有半棵树或者半只羊，半棵树或者半只羊充其量只能算是木材或者是羊肉，而不能算作树和羊。不过，自然数不足以解决生活和生产中常见的分份问题，因此数的概念产生了第一次扩张。

分数是对另一种类型的量的分割而产生的。比如，长度就是一种可以无限地分割的量，要表示这些量，就只有用分数。从已有的文献可知，人类认识自然数和分数的历史是很久的。比如约公元前2000年流传下来的古埃及莱茵德纸草书，就记载有关于分数的计算方法；中国殷代遗留下来的甲骨文中也有很多自然数，最大的数字是三万，并且全部是应用十进位制的位置计数法。

自然数和分数具有不同的性质，数和数之间也有不同的关系，为了计算这些数，就产生了加、减、乘、除的方法，这四种方法就是四则运算。把数和数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验累积起来，并加以整理，就形成了最古老的一门数学——算术。

大写数字是怎么来的

不管是阿拉伯数字（1、2、3……），还是所谓汉字小写数码（一、二、三……），由于笔画简单，容易被涂改。所以一般文书和商业财务票据上的数字都要采用汉字数码大写：壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟（“万、亿、兆”本身笔画已经比较复杂，使用机会也少，没有必要再用别的字代替）。如“3564元”写作“叁仟伍佰陆拾肆元”。这些汉字的产生是很早的，用作大写数字，属于假借。数字的这种繁化写法，早在唐代就已经全面地使用了，后来逐步地规范化成一套“大写数码”。

在大明政权建立之初，每年全国各司、府、州、县，都要派计吏到户部呈报地方财政的收支账目及钱粮数。各级政府之间及与户部之间的数字，必须完全相符。稍有差错，即被退回重报。由于地方与京城相距遥远，为节省时间，免去路途奔波之苦，各地便带上了盖有官印的空白账册。如被退回，则随时填写更正。又因为空白账册上盖有骑缝印，能做别的用途，户部也就没有干预。

洪武十八年（公元1385年）三月，户部侍郎郭桓特大贪污案东窗事生，震惊全国。郭桓勾结刑、礼、兵、工等六部小官员及各省官僚、地主，贪污税粮及鱼盐等，折米二千四百余万石。这差不多和全国秋粮实征的总数持平！除此之外，还侵吞大量宝钞金银。

贪官们就是利用空白账册做的文章，各部串通一气，大做假账。以此欺骗皇帝老儿，鱼肉百姓。朱元璋龙颜大怒，下令把郭桓等六部的十二名高官及左右侍郎以下同案犯数万人皆处死。下狱、充边、拟罪者不计其数。

为了制止官员的贪污腐败，朱元璋制定了严格法令，并在财务管理上进行技术防范，实施了一些行之有效的措施。把记载钱粮数字的汉字“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千”改为大写，用“壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟”等复杂的汉字，用以增加涂改账册的难度。后来“陌”和“阡”被改写成“佰、仟”，并一直使用到现在。

植物与数学相关吗

人类很早就从植物中看到了数学特征。花瓣对称地排列在花托边缘，整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称形状，叶子沿着植物茎秆相互叠起，有些植物的种子是圆的，有些呈刺状，有些则是轻巧的伞状……所有这一切向我们展示了许多美丽的数学模式。

其中，17世纪法国著名的数学家笛卡儿研究了一簇花瓣和叶子33的曲线特征之后，列出了“x＋y－3axy＝0”的曲线方程式，准确形象地揭示了植物叶子和花朵的形态所包含的数学规律性。这个曲线方程取名为“笛卡儿叶线”或“叶形线”，又称作“茉莉花瓣曲线”。如果将参数a的值加以变换，便可描绘出不同叶子或者花瓣的外形图。

科学家在对三叶草、垂柳、睡莲、常青藤等植物进行了认真的观察和研究之后，发现植物之所以拥有优美的造型，在于它们和特定的“曲线方程”有着密切的关系。其中用来描绘花叶外孢轮廓的曲线称作“玫瑰形线”，植物的螺旋状缠绕茎取名为“生命螺旋线”。

后来，科学家又发现，植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个奇特的数列——著名的斐波那契数列：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……其中，从3开始，每一个数字都是前二项之和。

通过证实，植物与数学是紧密联系在一起的。

最早使用负数的国家

早在两千多年前，我国就有了正负数的概念，掌握了正负数的运算法则。人们计算的时候用一些小竹棍摆出各种数字来进行计算。这些小竹棍叫做“算筹”。算筹也可以用骨头和象牙来制作。

我国三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献。刘徽首先给出了正负数的定义，他说：“今两算得失相反，要令正负以名之。”意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们。

刘徽第一次给出了正负区分正负数的方法。他说：“正算赤，负算黑；否则以邪正为异”意思是说，用红色的小棍摆出的数表示正数，用黑色的小棍摆出的数表示负数；也可以用斜摆的小棍表示负数，用正摆的小棍表示正数。

我国古代著名的数学专著《九章算术》（成书于公元一世纪）中，最早提出了正负数加减法的法则：“正负数曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”这里的“名”就是“号”，“除”就是“减”，“相益”、“相除”就是两数的绝对值“相加”、“相减”，“无”就是“零”。

什么是比例

表示两个比相等的式子叫做比例，也是比的意义。比例有4项，前项后项各2个。

在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比的基本性质。

比表示两个数相除，只有两个项，前项和后项。而比例是一个等式，表示两个比相等，有四个项，两个外项和两个内项。

比的性质：比的前项和后项都乘以或除以一个不为零的数，比值不变。比的性质用于化简比。

比例的性质：在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积。比例的性质用于解比例。

什么是点差法

点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。“点差法”常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题。

在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程。这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围。

罗马数字是怎么来的

罗马数字是一种现在应用较少的数量表示方式。它的产生晚于中国甲骨文中的数码，更晚于埃及人的十进位数字。但是，它的产生标志着一种古代文明的进步。

大约在两千五百年前，罗马人还处在文化发展的初期，当时他们用手指作为计算工具。为了表示一、二、三、四个物体，就分别伸出一、二、三、四个手指；表示五个物体就伸出一只手；表示十个物体就伸出两只手。这种习惯人类一直沿用到今天。

人们在交谈中，往往就是运用这样的手势来表示数字的。当时，罗马人为了记录这些数字，便在羊皮上画出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ来代替手指的数；要表示一只手时，就写成“Ⅴ”形，表示大指与食指张开的形状；表示两只手时，就画成“ⅤⅤ”形，后来又写成一只手向上，一只手向下的“Ⅹ”，这就是罗马数字的雏形。

后来为了表示较大的数，罗马人用符号C表示一百。C是拉丁字“century”的头一个字母，century就是一百的意思。用符号M表示一千。M是拉丁字“mille”的头一个字母，mille就是一千的意思。取字母C的一半，成为符号L，表示五十。用字母D表示五百。若在数的上面画一横线，这个数就扩大一千倍。这样，罗马数字就有下面七个基本符号：Ⅰ（1）Ⅴ（5）Ⅹ（10）L（50）C（100）D（500）M（1000）

罗马数字与十进位数字的意义不同，它没有表示零的数字，与进位制无关。用罗马数字表示数的基本方法一般是把若干个罗马数字写成一列，它表示的数等于各个数字所表示的数相加的和。但是也有例外，当符号Ⅰ、Ⅹ或C位于大数的后面时就作为加数；位于大数的前面就作为减数。例如：Ⅲ＝3，Ⅳ＝4，Ⅵ＝6，ⅩⅨ＝19，ⅩⅩ＝20，ⅩLⅤ＝45，MCMⅩⅩC＝1980。罗马数字因书写繁难，所以，后人很少采用。现在有的钟表表面仍有用它表示时数的。此外，在书稿章节及科学分类时也有采用罗马数字的。

重复数次：一个罗马数字重复几次，就表示这个数的几倍。如：“III“表示“3”；“XXX“表示“30”。

右加左减：在一个较大的罗马数字的右边记上一个较小的罗马数字，表示大数字加小数字，如“VI”表示“6”，“DC”表示“600”。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如“IV”表示“4”，“XL”表示“40”，“VD”表示“495”。尽管在一个较大的数字的左边记上一个较小的罗马数字，表示大数字减小数字。但是，左减不能跨越等级。比如，99不可以用IC表示，用XCIX表示。

加线乘千：在一个罗马数字的上方加上一条横线或者在右下方写M，表示将这个数字乘以1000，即是原数的1000倍。同理，如果上方有两条横线，即是原数的1000000倍。

单位限制：同样单位只能出现3次，如40不能表示为XXXX，而要表示为XL。

何为三角剖分

三角剖分是代数拓扑学里最基本的研究方法。以曲面为例，我们把曲面剖开成一块块碎片，要求满足下面条件：（1）每块碎片都是曲边三角形；（2）曲面上任何两个这样的曲边三角形，要么不相交，要么恰好相交于一条公共边（不能同时交两条或两条以上的边）

拓扑学的一个已知事实告诉我们：任何曲面都存在三角剖分。

假设曲面上有一个三角剖分，我们把所有三角形的顶点总个数记为p（公共顶点只看成一个，下同），边数记为а，三角形的个数记为n，则e＝p－а＋n是曲面的拓扑不变量！也就是说不管是什么剖分，e总是得到相同的数值。e被称为称为欧拉示性数。

假设g是曲面上洞眼的个数（比如球面没有洞，故g＝0；又如环面有一个洞，故g＝1），那么e＝2－2g。

g也是拓扑不变量，称为曲面的亏格。

上面例举曲面的情形。对一般的拓扑对象（复形），我们有类似的剖分，通常成为单纯剖分。分割出的每块碎片称为单纯形。

什么是三维

三维是指在平面二维系中又加入了一个方向想量构成的空间系。所谓的三维空间是指我们所处的空间，可以理解为有前后——上下——左右，如果把时间当作一种物质存在的话，再加上时间就是四维空间了，但是不能理解为可以在时间里任意往来，回到过去，只是应该理解为“刚才”和“现在”是不同的物质存在。

所谓三维，按大众理论来讲，只是人为规定的互相垂直的三个方向，用这个三维坐标，看起来可以把整个世界任意一点的位置确定下来。原来，三维是为了确定位置。

三维既是坐标轴的三个轴，即x轴y轴z轴，其中x表示左右空间，y表示上下空间，z表示前后空间，这样就形成了人的视觉立体感，三维动画就是由三维制作软件制作出来的立体动画，实现在发展的趋势。

试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]

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