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同济大学数学系《高等数学》（第7版）（下册）笔记和课后习题（含考研真题）详解试读：
第八章 向量代数与空间解析几何
8.1 复习笔记
一、向量及其线性运算
1．向量的概念（1）向量的定义
既有大小，又有方向的这一类量称为向量（或矢量）．（2）向量的表示
①用有向线段表示向量；
②用黑体字母来表示向量．（3）自由向量
只考虑向量的大小和方向，不考虑起点的向量称为自由向量．（4）相等向量
大小相等且方向相同的向量．（5）向量的模
向量的大小称为向量的模．（6）单位向量
模等于1的向量称为单位向量．（7）零向量
模等于零的向量称为零向量，记作0或．（8）向量a与b的夹角
设两个非零向量a，b，任取空间一点O，作．规定不超过π的∠AOB（设
）
称为向量a与b的夹角（图8-1-1）．记作或，即．
注：如果向量a与b中有一个是零向量，规定它们的夹角可以在0到π之间任意取值．
图8-1-1（9）向量平行
如果或π，称向量a与b平行，记作．（10）向量垂直
如果，称向量a与b垂直，记作a⊥b．（11）向量共线
两向量平行，又称两向量共线．（12）向量共面
设有k（k≥3）个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果k个终点和公共起点在一个平面上，称这k个向量共面．
2．向量的线性运算（1）向量的加法
①定义
设有两个向量a与b，任取一点A，作，再以B为起点，作，连接AC（图8-1-2），则
向量称为向量a与b的和，记作a＋b，即c＝a＋b．
图8-1-2
②运算规律
a．交换律a＋b＝b＋a；
b．结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．（2）向量的减法（差）
①负向量
a为一向量，与a的模相同而方向相反的向量称为a的负向量，记作－a．
②向量的差
向量b与a的差，即把向量－a加到向量b上，便得b与a的差b－a．
③向量加法和减法的不等式（3）向量与数的乘法
①定义
向量a与实数λ的乘积记作λa．
②乘积的模
模．
③乘积的运算规律
a．结合律
b．分配律（4）两向量平行的充要条件
向量，则b∥a⇔存在惟一的实数λ，使b＝λa．
3．空间直角坐标系（1）坐标分解式
如图8-1-3所示，，则
设
则
上式称为向量r的坐标分解式，xi、yj和zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量．（2）向径
向量称为点M关于原点O的向径．
图8-1-3
4．利用坐标作向量的线性运算
设，λ为实数，则
注：当向量时，向量相当于，坐标表示式为
即
5．向量的模、方向角、投影
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]