作者：江安海 编著
出版社：化学工业出版社
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从零开始玩数独试读：
书名：从零开始玩数独作者：江安海编著CIP号：第312380号ISBN：978-7-122-28732-8责任编辑：旷英姿出版发行：化学工业出版社（北京市东城区青年湖南街13号 100011）购书咨询：010-64518888售后服务：010-64518899网址：http://www.cip.com.cn版权所有 违者必究前言3×3排列的表格被称为九宫格，3×3排列的九宫格是标准数独的游戏盘面。按一定的规律，预先在游戏盘面上填上若干个提示数字，就能让它成为一道有趣的数学游戏习题。接下来，游戏玩家在剩下的格子里填上1～9，使每个数字在每一行、每一列以及每个九宫格里出现并只出现一次。在世界的各个角落，每时每刻，正有许多人为它如痴如醉。
标准数独的流行衍生出了许多变型数独游戏，聪明方格和杀手数独是变型数独中具有代表性的两种。广义上讲，数独游戏可以泛指数独及其变型游戏。
聪明方格（Kenken）将拉丁方阵的游戏规则和加减乘除四则运算结合在一起，是一项可以开发大脑潜能、提高思考注意力的益智游戏。聪明方格的发明者是日本人宫本哲也，他是一名优秀的算术老师。宫本老师将设计好的聪明方格分发给学生，不作任何的指导和提示，让学生独立地思考并解决这些游戏。据报道，宫本老师的学生在日本首都圈重点中学有高达80%以上的升学率。
杀手数独（Killer Sudoku）结合了加法运算、数字组合以及标准数独的玩法。杀手数独与标准数独最大的区别在于游戏给定的初始条件，标准数独给定的初始条件是提示数，而杀手数独给定的初始条件是区及其区内数字之和。在杀手数独中，因为规定给定区内数字不重复，从另一角度看，行、列和宫也可以认为是一种特殊的给定区。
聪明方格只需要四则运算，杀手数独只需要加法运算，这都是小学一二年级的知识。高阶数独看起来有些“复杂”，但是，这些“复杂”源于平常思维训练的“懒惰”。平常看起来简单至极的知识，会让我们不屑一顾而疏于整理，其结果就是当需要综合运用这些知识进行决策时，竟然感觉到“复杂”，甚至难于上青天。
现在，很多学校的数学老师都在为学生布置数独作业，因为经常玩数独，对于中小学生启迪数学思维以及提高学习兴趣，大有裨益。
首先，数独能训练观察能力。毋庸置疑，即使学习再多的解题技巧，如果无法观察出这些技巧的应用条件，就无法有效地应用起来。玩数独游戏，有条不紊、周密细致的观察能力是关键。
其次，数独能培养逻辑思维能力。逻辑推理讲究周密和准确，玩数独游戏，每一步都需要充分利用盘面的条件，严格考察应用条件，充分分析各种可能，然后进行准确无误的推导；否则，一旦出错就要推倒重来，相信这种“惨痛”的经历一定让很多人印象深刻。
最后，数独能提升我们的记忆能力。玩数独游戏，大脑将迅速地进行数字组合、信息处理、策略选择等诸多思考，大脑的神经元之间会广泛地建立联络，日积月累，就会提升大家的记忆能力。
本书力求做到：例题精选，解读细致；技法详尽，简明实用。本书的目的是让读者从零基础开始，学数独，玩数独。
由于时间及水平所限，书中不当之处在所难免，敬请读者指正。编著者2016年11月第一章 拉丁方阵：填数字游戏的起源
18世纪，欧洲的普鲁士王国的腓特烈大帝希望组建一个由36名军官组成的仪仗队。这些军官来自6支不同的部队，军衔分别是上校、中校、少校、上尉、中尉、少尉共6种。国王设想将这36名军官排列成一个6行6列的方阵，要求方阵的每一行和每一列的军官中，分别来自6支不同的部队，还要包含6种不同的军衔。但是，腓特烈大帝及其部下忙活了好多天，绞尽脑汁也排不出来，只能向当时最有名的大数学家欧拉求助。欧拉经过仔细研究以后，告诉腓特烈大帝：这样的方阵根本排不出来！
这就是欧拉方阵的由来，因为欧拉在研究中用拉丁字母表示方阵中的元素符号（例如故事里的部队和军衔），欧拉方阵也被称为拉丁方阵（Latin Square）。
拉丁方阵是流行的填数字游戏（例如标准数独、聪明方格和杀手数独等）的起源。三阶拉丁方阵
在上述“36名军官”的故事中，存在两种元素（部队和军衔），每种元素都有6种符号，属于正交拉丁方阵的构造问题。
现在，我们从单一元素的三阶拉丁方阵开始学习。
如图1-1a所示，三阶拉丁方阵列的游戏盘面是一个九宫格，有三行，分别标记为R1、R2和R3，例如R2就代表第二行。图1-1a
同时，如图1-1b所示，九宫格还有三列，分别标记为C1、C2和C3，例如C2就代表第二列。图1-1b
为了表述的方便，如图1-1c所示 ，用方格所在的行号和列号标记它的坐标。例如，图中方格A的坐标可以标记为R2C2。图1-1c
拉丁方阵的填数字游戏，需要给定已知条件，在某些方格中预先给定的数字，被称为提示数。三阶拉丁方阵的游戏规则
在一个三行三列（3×3）的九宫格中填入1、2、3这三个数字，要求每一行和每一列中都要出现1、2、3这三个数字。
根据给定的提示数，每个方格中的数字唯一。例题1.1
如图1-2所示，这是一个三阶拉丁方阵填数字游戏，在九宫格中已经填了三个数字了，要求每一行和每一列中，都要出现数字1、2、3。图1-2
解答
拉丁方阵要求每个数字在行和列中都要出现，一行（列）中，有三个方格，数字也是三个，根据抽屉原理，数字不能重复。
第1步：如图1-3所示，第一行的方格R1 C1中的数字是3，为了描述方便，简记为R1C1=3；同时，R1C2=2。第一行已经出现了数字3和2，这样，根据规则，第一行中唯一的空格R1C3=1。图1-3
这种解题方法我们称为行唯一法。在行（或列）中，大部分的方格都已经被填上了数字，只剩下一个空格时，这个空格中的数字也就确定了，就是该行（或列）中唯一没有出现的数字。这是对拉丁方阵规则的基本应用。
第2步：如图1-4所示，观察第一列，已经出现了数字3和1，因此，第二行第一列的空格R2C1=2。图1-4
这和行唯一法的原理完全相同，被称为列唯一法。
第3步：如图1-5a所示，★所在的空格R3C2同时属于第三行和第二列。图1-5a
在拉丁方阵中，同一行或同一列中的数字不能重复，如果两个方格同属于一行或一列，即意味着同行或列的方格中三个数字各不相同。
也就是说，空格R3C2中的数字与它同行同列的方格（图1-5a的阴影部分）中的数字都不相等。
在拉丁方阵中，如果方格A与另一个方格B同属于一行或者同属于一列，那么，方格B就是方格A的同位格。方格A的所有同位格组成了一个集体，这个集体就是方格A的同位群。
特别地，对于游戏盘面上的一个空格，在它的同位群中暂时还没有确定出现的数字被称为这个方格的余数。其中，确定出现的数字是指方格中的提示数和已经解出的数字，还包括同位群中区块上的数字。
如图1-5b所示，空格R3C2的同位群中，已经出现了数字1和2，因此，空格R3C2的余数只有数字3，是唯一的，可以确定，R3C2=3。点算某空格的余数，当余数唯一时，这个空格中的数就是这个唯一的余数，这种方法被称为余数唯一法。图1-5b
第4步：如图1-6所示，根据列唯一法，第二列，R2C2=1。图1-6
第5、第6步：如图1-7所示，根据行唯一法，第二行中，R2C3=3。图1-7
同理，第三行中，R3C3=2。四阶拉丁方阵
相对于三阶拉丁方阵，如图1-8所示，四阶拉丁方阵的表格中增加了第四行（R4）和第四列（C4）。行和列的增加，意味着拉丁方阵的复杂度增加，还可以五阶、六阶……不断地扩容。图1-8四阶拉丁方阵的游戏规则
在一个四行四列（4×4）的表格中填入1、2、3、4这四个数字，要求每一行和每一列中都要出现1、2、3、4这四个数字。
根据给定的提示数，每个方格中的数字唯一。例题1.2
如图1-9所示，这是一个四阶拉丁方阵，你能快速判断出空格R2C4中的数字是什么吗？图1-9
解答
观察图1-9，第二行中，无法应用行唯一法，因为整行都是空白。
第四列也无法应用列唯一法，因为该列只有一个数字4。
同时，方格R2C4的同位群中仅出现了一个数字4，余数是1、2、3，并不唯一。怎么办？
如图1-10所示，第一行的R1C1=1，因此，R1C4中的数字不可能是1，可简记为R1C4≠1。图1-10
第三行R3C3=1，因此，R3C4≠1。
根据规则，数字1在第四列必须出现，因此，有R2C4=1。
在一行（或列）中，当某个数字只能出现在唯一的空格中，根据规则，这个数字就是这个空格的唯一解，可以直接填写到这个空格中。
依据同位群中已经出现的数字，或者依据同位群中已经确定的区块中的数字和数组，对空格中的数字进行排除，这种方法被称为排除法。
对于某一个数字，如果某一列中，大部分空格都将它拒之门外，仅剩下一个空格可以容身，这个空格的唯一解就找到了。这种方法被称为列排除法。
同样，如图1-11所示，因为R3C2=2，所以，R1C2≠2，这样就可以断定R1C4=2。与列排除法相对应，这种方法被称为行排除法。图1-11
行（列）唯一法和余数唯一法统称为余数法，行（列）排除法统称为排除法，余数法和排除法是解决拉丁方阵的基本算法。习题一#101答案#102答案#103答案#104答案#105答案#106答案#107答案#108答案#109答案#110答案#111答案#112答案第二章 聪明方格：算术训练的好游戏
聪明方格游戏的发明人是日本的宫本哲也先生。2004年，他发明了这个“可以使你变得聪明的智力游戏”，英文名称“Kenken”，中文名称“聪明方格”。
宫本哲也先生是日本横滨一家“算数塾”（算数培训教室）的老师，他自称是“不战而胜算数掌门人”。宫本先生受到流行数独游戏的启发，结合了加减乘除各种计算方法，发明并设计出独特而有趣的聪明方格游戏。
聪明方格解题的线索不再是提示数，而是算术符号以及运算结果。
聪明方格是一项可以开发大脑潜能、提高思维注意力的益智游戏。四阶聪明方格
聪明方格如同一件数字秘案，千头万绪，需要游戏玩家细心查找数字秘案的蛛丝马迹。四阶聪明方格的游戏规则
1.在4×4的表格中分别填入数字1、2、3、4。
2.每一行、每一列都要分别填入数字1、2、3、4。
3.粗框内左上角的数字以及＋、－、×、÷符号，分别表示粗框内所填数字之和、差、积、商。
4.左上角只有1个数字且无运算符号时，就将该数字填入此方格中。例题2.1
如图2-1所示，这是一道四阶聪明方格习题，请在每一个4×4的表格中填入整数1、2、3、4，要求每一行和每一列中出现的数字不重复。图2-1
解答
在聪明方格中，被粗框包围的完整区域定义了一个区块，简称为区。所谓的区块就是指具有特殊性质的方格的组合，区块的概念很重要，在本书中会反复应用。作为已知条件预先给定的区块，被称为给定区。聪明方格的区由若干个方格组成，区的外围是粗框线，区的左上角标注了数字和算符，称为提示符。
当一个区的左上角无运算符号而只有一个数字时，这个区属于独立方格，可以直接将该数字填入到这个方格中。例如，图2-1中的R2C1就属于独立方格，左上角标注的数字是4，所以R2C1=4。
提示符表示的是区内数字根据运算符号运算的结果。例如，图2-1中的“6+”“2-”“12×”“2÷”等。
为了文字描述的方便，可以用6+{R1C1,R1C2,R2C2}方式表示一个区，大括号内是区内方格的坐标，并且R1C1+R1C2+R2C2=6。
例如，12×{R1C3,R1C4}，表示R1C3和R1C4这两个方格构成一个区，并且R1C3×R1C4=12。
再如， 2÷{R2C3,R2C4}，表示R2C3和R2C4这两个方格构成一个区，并且R2C3÷R2C4=2，或者R2C4÷R2C3=2。
除法和减法不满足交换律，必须考虑将数字交换。
尤其需要注意，在聪明方格的游戏中，当区内的空格均属于同一行（或同一列）时，显然，它们的数字不能重复；当区内的空格分别属于不同的行（或列），区内数字有可能会出现重复的情况。
对于聪明方格的每一行（列）而言，都可以看作是一个特殊的区。例如：图2-1中的第一行就可以写为：10+{R1C1,R1C2,R1C3,R1C4}，或24×{R1C1,R1C2,R1C3,R1C4}
第1步：如图2-2所示，在游戏的初始盘面发现独立方格，R2C1=4。图2-2
第2步：如图2-3所示，注意第二行的区2÷{R2C3,R2C4}，因为图2-32=4÷2=2÷1
该区内的两个方格有两种可能的数字组合：2和4，或者是1和2。数字组合，简称数组。数字2和4构成数组，1和2也构成数组，为了方便描述，分别用符号{2,4}、{1,2}表示。
每一个区都对应若干个符合条件的数组，根据聪明方格的规则：区内数组是唯一的。如果能够直接获得空格的唯一解，当然是极好的；当求之不得时，如果能够找到区块的唯一数组也是相当不错的。
考虑到R2C1=4，因此，R2C3≠4，且R2C4≠4，因此，该区的唯一数组就是{1,2}。两个空格，两个数字，数字1和2被这个区锁定了。特别地，当两个方格属于同一行或者同一列，这两个方格的唯一数组称为数对。
发现唯一数组或数对时，可以在其所在区块的右下角，用铅笔以小号字将相关的数字标注出来。
数对可以占领位置，锁定数字，既可以参与排除法的应用，也可以用来求余数。
对于第二行，因为R2C3和R2C4中存在数对{1,2}，根据排除法，剩下的唯一空格R2C2=3。
第3、第4步：如图2-4所示，注意第四列的区6×{R3C4,R4C4}，在1、2、3、4中，2×3=6，符合条件的数组只有一个，该区存在数对{2,3}。图2-4
第四列中，数字2被R3C4和R4C4锁定了，这样，R2C4≠2，对于数对{1,2}而言，只能是R2C3=2，R2C4=1。
用行或列中的已知数字对数对所在的区块应用排除法，这种方法就是数对排除法。
第5、第6步：如图2-5所示，注意第一行的区12×{R1C3,R1C4}，在1、2、3、4中，3×4=12，满足条件的数组只有一个，也就是说，这个区存在数对{3,4}。图2-5
因为第四列中已有数对{2,3}，应用排除法，得到R1C3=3，R1C4=4。
第7、第8步：如图2-6所示，注意第四行中的区2÷{R4C1,R4C2}，满足该区条件的数组有两个，{2,4}或{1,2}。图2-6
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