作者：李有华
出版社：电子工业出版社
格式: AZW3, DOCX, EPUB, MOBI, PDF, TXT
老师没教的数学试读：
前言
边玩边学 学习老师没教的好玩的数学大家好，我是“大老李”。我在“喜马拉雅FM”发布第一条声音时，万万没想到居然还能以书面形式跟大家“玩”数学。原本想继续用“聊”数学这个标题，但是编辑劝我用了“玩”这个字。起初我还有点犹豫，怕自己写的东西不好玩。但后来我想到英语里“玩”就是“play”，“play”这个词又可以用在诸如足球、乐器这些文体活动上，而对我来说，数学就像是一种文体爱好，所以用“玩”是再恰当不过了。很多人心目中的数学与“玩”联系不起来，他们想到数学多是先想到一些枯燥的公式和习题。我从小数学成绩就比较好，经常有人问我是怎么学数学的，学得不累吗？我那时就有点不知如何作答，因为确实是不累啊。
首先，数学是不用“背”的学科。小时候，我尤其讨厌那些需要大量时间背诵的科目，而数学从来没有让我感觉有“背”的需要，除了“九九乘法表”和初中学习三角函数时期的“积化和差/和差化积”公式是需要下点功夫“背”的。但前者在小学低年级就可以背熟了，因为那时是把“九九乘法表”当成儿歌背诵的，完全不觉得痛苦。后者确实需要花点时间背诵，但是这些公式之间是有相似性的，因此是有记忆技巧的。我的一个诀窍是，在考试开始时就把这些公式全部默写在草稿纸上，这样在后续的考试时间里我就不用担心了，因为我等于是把“参考书”默写出来了。而随着学习的深入，当这些公式不再是考试内容时，我又不用“背”了。
总之，数学从来没有让我感觉有记忆上的痛苦。上数学课的时候，我似乎不是在学，而是等老师“帮”我把一些“顺理成章”的道理从大脑里“挖掘”出来。我心里经常出现的声音是：“啊，就应该这样”，“对，如果是我也会这样做”。如果你也有这种感觉，那你学数学是绝对不会感到累的。
其次，数学不但没有背诵压力，学起来轻松，而且确实是一门可以“玩”起来的学科。比如，在学习圆面积公式的证明时，我确确实实是找来一张纸，照着课本上的形状完整地剪了一遍。小学课本上的圆面积公式“证明”过程，你还记得吗？
在数学考试时，我尤其喜欢做“应用题”，因为对于我来说应用题就像是一道道谜题，解出来会特别有成就感。所以我在本书中，也很喜欢用应用题来说明问题，比如“三人分蛋糕”问题。
可惜的是，随着数学考试难度的提高，出题人在试卷中提出合适的应用题就越来越难。所以在中学之后的数学考试里，应用题也越来越少，倒是需要去物理试卷里找数学应用题了。不过物理试卷中的应用题，从计算手榴弹飞出的距离到计算卫星的公转周期，这些不也是证明了数学很好玩吗？
最后，学数学不但好玩，而且零成本！要知道现在很多兴趣爱好都很浪费钱财，俗语云：“玩××穷三代”，但是“玩数学零负担”！对数学爱好者来说，一支笔一张纸就足够了。如果你会一点编程的技能，则更是锦上添花。这么省钱又易操作的爱好，何乐而不为？
读到这里，你可能会说：数学，我“玩”不出乐趣啊！那这就是你需要看这本书的理由了，数学里面有很多好玩的内容是老师不教的，但这不能怪老师，因为他们毕竟要以应付各类考试为主，而这本书所要讲的更多是一种数学思维。
市面上的数学科普书，除去仅供中小学生看的那种“教辅”和“竞赛”方向的，大概分两种：一种是偏向“历史”的，比如论述某个问题的来龙去脉或某个定理前赴后继的证明过程；另一种是偏向“技术”的，就是针对某一具体数学分支（比如概率、几何、函数等）中的问题的深度剖析。
前者读起来是很有趣味的，可惜对具体的技术问题着墨不多，即使看过也很难对问题本身有深入的理解。当然，这主要是因为那些问题确实是数学里非常高深的问题，比如费马大定理、黎曼假设等。这些问题很难用浅显的语言让一般爱好者感受到问题本身的乐趣。而“技术”方向的科普书，往往又太过偏重“应试”，趣味性不足，让人难以坚持下去。
我写这本《老师没教的数学》，则是希望在以上两种数学科普书中，找到一个折中点。一方面，尽量保持趣味性，多出一些大家喜闻乐见的“应用题”；另一方面，对于有深度和难度的问题，多方发掘它们所有的背景资料，找出有意思的方面介绍出来，使得有兴趣的读者可以有深入阅读的愿望，并方便他们找到可自行研究的入口。
在每一节的最后，我也出一些所谓的“思考题”。这些题与每一节的主题是有所关联的，而且部分题目的答案是开放性的，我也不知道具体答案，是可供读者继续思考和“玩”的题。欢迎你关注我的微信公众号（dalaoli_shuxue），或者发送电子邮件（dalaoliliaoshuxue@gmail.com）跟我聊聊你对这些题的感想，也希望你喜欢这些题。总之，如果你能在这些题中找到“玩”的感觉，那么我的目的就达到了。
这本书中的很多话题也许是你在其他书籍或网络文章中看到过的，但我可以确保你从本书中了解到的是有关此问题的（成书时）最新研究成果，绝不是老生常谈或浅尝辄止。另外，我也尽量配一些有意思的图片来帮助你理解问题。
有种说法是：“数学书中每增加一个公式，图书销量就会减少一半”，本书仍不可避免地会有些公式。但书中的绝大多数公式是中学生能看懂的，而且针对每个公式我也尽量配合具体文字进行说明，让你看得不累，最终使你能欣赏公式之美，喜欢公式，甚至能够“玩”公式。
最后，我要感谢电子工业出版社，使得本书得以出版。感谢互联网上无偿分享、为我提供众多写作素材的网站和博主，特别是：维基百科，Numberphile@YouTube，mathworld.wolfram.com，quantamagazine.org和John D.Cook。
还要感谢我的太太为我绘制了书中的所有插图。因本书属于科普性质，具体数学问题的描述难免有不精当之处，万望读者指正并谅解。
希望你在数学大海中“玩”得开心！
Level: 0!
寻找数字中的宝石——梅森素数
我们在小学课本里就学到了“质数”这个概念，虽然在课本中一笔带过，但质数是数学中非常吸引人却又充满风险和意外的一个话题。在我看来，质数是数学最基本的一个要素，甚至是全宇宙最基础的元素与沟通基础。我曾经设想，如果有一天外星人造访地球并与地球人对话，那么一开始人类应该怎么跟外星人沟通呢？
如果是我，我会拿一堆石子，摆成2个，3个，5个，7个，11个，13个…如果外星人的数学水平够高，不是特别笨的话，他们肯定能会心地数出17个石子将其组成接下来的一堆。当然外星人能发展出访问地球的科技水平，了解质数肯定是其必备的基础知识。我认为与外星人聊数学一定是最有用的沟通方式，而与外星人聊文史哲或者物理化学，开始时恐怕都是对牛弹琴，鸡同鸭讲。
既然说到质数，我们聊一个可能很多人已经十分熟悉的质数相关话题：梅森素数。也许有人会问，不是说质数吗，怎么又出来素数了，质数其实又称为素数，为了配合讲清楚梅森素数，我们把文章中的质p数统称为素数。梅森素数就是那种2-1形式的素数，我相信读者已经在很多数学科普书中看到过梅森素数了。我们从小到大看过的数学科普书里，只要是讲到素数，都会提到梅森素数，而且经常是第一章。还有比较有意思的一点是，在不同时期出版的书中，都会提一下当前已经发现的最大的梅森素数，我也不能免俗，在此给大家刷新一下梅森素数的“存盘”进度。如果外星人来访，跟外星人一起摆石子“聊”质数是沟通的好办法。
这几年基本上每一到三年就会有一个新的梅森素数被发现。目前82589933的最新纪录是2018年12月被发现的第51个梅森素数：2-1，它的位数已经达到2400多万。
梅森素数是根据17世纪的法国数学家马林·梅森的名字来命名的。但这并不是因为梅森素数是他发现的，也不是因为他发现了很多梅森素数。这种类型的素数在古希腊时期人们就已经注意到它们的存在了，但梅森是系统研究这种类型素数的第一人，而且他认为自己找出了指数小于257的所有梅森素数。不过梅森错判了两个，遗漏了三个，但这些错误是在很多年之后才被人们纠正的。17世纪法国数学家马林·梅森。
梅森认为：当p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257pp时，2-1是素数。但是当p=67和257时，2-1并不是素数。他遗漏了当p=61，89和107时这些数是素数的情况。让我们看看他误判的两个数的分解：67
2-1=193707721×761838257287257
2-1=535006138814359×1155685395246619182673033×374550598501810936581776630096313181393
看了以上分解，你大概也不会笑话他错判了。可惜梅森没有留下他如何鉴定梅森素数的方法，大概他自己也知道自己的方法不能做到百分之百准确。
而现代人寻找梅森素数的方法如你所猜测的一样，人们是用计算机来寻找这种形式的素数的。从1997年开始，所有新的梅森素数都是由一个分布式计算项目发现的，这个项目的名称缩写叫GIMPS，意为“互联网梅森素数搜索计划”。每个人都可以参与这个计划，因为该网站会提供一个程序供人们下载，你只要下载并运行这个程序，就意味着参与了这个计划，从而为寻找更大的梅森素数贡献自己的力量。第50个梅森素数就是由一名美国联邦快递雇员，使用一台教堂闲置的老旧计算机，持续运行这个项目软件十年后发现的。梅森素数分布的预测与实际对比图。x轴为梅森素数的序号，y轴为log(log Mn)，Mn是第n个梅森素数。最近几个梅森素数有点“密”，所22以蓝点有些“平”了。
梅森素数为什么这么难找？你大概已经听说过检验一个素数是一个“多项式时间”的问题，即所谓P问题。有关素数定理
而检验梅森素数则比检验一般素数更为简单，有一个“卢卡斯 - 莱默检验法”。这种方法先由法国数学家爱德华·卢卡斯于1878年发现，再由美国数学家德瑞克·莱默于20世纪30年代改进完成。其方法相当简单：
首先定义序列S，序列第一项的下标为0，且：iS=40
之后每一项：2S=S-2ii-1
该序列的开始几项就是4，14，194，37634…pp
而如果2-1是素数，当且仅当S整除2-1，即：p-2S≡0(mod M)p-2p
这个方法看上去很简单，而且仅需要O(p)的时间复杂度，但要考察的梅森素数都已经上千万，计算量仍然非常大，因此平均需要等上一年到三年。而每一个新的梅森素数与前一个的间隔也越来越大，因此寻找下一个梅森素数所花的时间也会更长。
顺便提一句，如果说鉴定一个数是否是素数是很难的问题，那么对一个大的合数找出其素因子，要比素性检验难成千上万倍。数学家n根据以上“卢卡斯 - 莱默”检测法，虽然发现了很多2-1形式的合数，但并不说明人们知道它们的质因子是几。
我们为什么要孜孜不倦地去寻找梅森素数呢？那是因为梅森素数有一些非常有意思的特点，而这些特点使人感到它似乎隐含着某种艰深的奥秘。pp
首先我们可以问，为什么只找2-1这种形式的素数，而不找3-1p或者4-1之类形式的素数呢？因为有一个定理：bppp
如果a-1是一个素数，那么这个a必须是2。即3-1，4-1，5-1等都不可能是素数。这个定理的证明是十分简单的，你可以自行尝试一下，应该能很快发现其证明方法。然后还有一个定理：p
如果2-1是素数，那么这个p必须是素数。简短的证明思路是这ab样的：考虑任何一个2-1形式的数，其中a和b都是不为1的正整数。ab可以验证，它肯定有一个因子2-1和另一个因子2-1，这样它不可能p是素数。所以，如果2-1是一个素数，那么这个p也必须是一个素数。
你可能会想，太好了，要寻找梅森素数，范围已经非常小了，只要找2的素数次幂减1这样的数，其他类型的整数都不用考察了。但就像很多有关素数的命题一样，它们像是大自然跟人类开的一个玩笑。虽然我们知道2的素数次幂减1可能是素数，但如果真正去验证的话，你会发现它们大多数都不是素数，只是偶尔会有。
这很像去寻找宝石矿，你有些线索，你知道某个地方可能会有宝石，而且你也排除了其他绝大部分不可能有宝石矿的位置，于是你不停地往下挖，挖了半天还是什么东西都没有。所以有数学家把梅森素数比喻成“数字中的宝石”，对数学家来说，找到一个新的梅森素数，真的像挖到一块宝石一样可遇而不可求。
我们说梅森素数像宝石，不仅是因为稀有，还因为梅森素数有一个非常引人注目的特点，就是它与“完美数”是有直接的联系的。“完美数”的定义是：
如果针对一个自然数，将它所有的真因子相加，包括1，加起来正好是其本身的话，那它就是完美数。比如说6的真因子有1，2，3，而1+2+3=6，所以6是完美数。完美数本身是一个很大的话题，但完美数与梅森素数有一个美妙的联系，即一个偶数，如果它是完美数，当且仅当它有这种形式：寻找梅森素数的过程就像挖金矿一样。pp-12(2-1)p
且其中的2-1是一个梅森素数，这被称为“欧几里得 - 欧拉定理”。也就是说偶完美数与梅森素数是一一对应的，这是一个非常神奇的结果，每当人们找出一个新的梅森素数，就等于找出了一个新的完美数，所以你也明白了数学家们为什么会这么开心。顺带说一句，现在还没有人发现奇数的完美数。很多数学家认为可能没有奇完美数，1500因为已经验证过，在10以内，人们没有找到奇完美数。但像数论中的很多命题一样，如果没有被证明的话，谁都不敢打包票。
另外，梅森素数不但宝贵，而且很有用。有一种1997年由日本的松本真和西村拓土发明的随机数生成算法就叫“梅森旋转算法”，该算法因利用了一对梅森素数而得名。
接下来看看与梅森素数相关的一些猜想。第一个：有没有无穷多个梅森素数？这个“简单”的命题到现在我们都无法证明。虽然看上去没有什么理由阻止宇宙间有无穷多个梅森素数，绝大多数数学家也都认为这个命题是真的，但就是证明不了。
第二个：有没有无穷多个梅森数是合数？你可能会说：这不是废p话吗？我们不是已经验证过这么多，而且大部分2-1的数都是合数吗？但是数学中出现过那种前期虽然有很多例证，但是最后出现反例，从而推翻猜想的情况。尽管大部分数学家确实认为有无穷多个梅森数是合数，但这个问题到现在的的确确还只是一个猜想！它与上面的猜想两者至少有一个为真命题，当然，也可能都是真命题。
欧拉曾证明：
如果k>1且p=4k+3是素数，则2p+1是素数，当且仅当：p2=1(mod 2p+1)
这意味着：如果有无穷多个p=4k+3和2p+1都是素数的话，就有无穷多个梅森素数是合数。
第三个：是不是每一个梅森数，它的因子当中都不含有完全平方数呢？该命题的意思是：p
如果2-1是素数的话，它的因子当中当然不会含有完全平方数。p如果2-1是合数，那么我们能对它进行质因数分解。在分解的结果中，是不是每个素因子只出现一次，即它不可能被任何完全平方数（1除外）整除。目前此猜想对所有是合数的梅森数都适用，以下是另两个梅森数的因子分解例子，其中每个因子都只出现一次：112-1=23×89712-1=228479×48544121×212885833
此猜想问的是这是否对所有梅森数都成立，目前仍未可知。而这个猜想跟另一个相当有趣的素数——“韦弗利素数”是相关的。“韦弗利素数”是这种数：2p-1
如果一个素数p，满足p整除2-1，则称其为“韦弗利素数”。17
数学家在4.96×10内仅发现了两个韦弗利素数：1093和3511，所以它比梅森素数更稀有！但是这两个素数的平方不是目前已知任何梅森数的因子，也不知道是否有无穷多个韦弗利素数，它简直比梅森素数更神秘。
第四个猜想更有意思。有人构造了这样一个数列，取数列第一项为：
a=2；1
第二项取前一项的值作为指数，计算：2
a=2-1=2-1=3；3是一个素数。2
第三项取第二项的值作为指数，有：a32
a=2 -1=2-1=7；7是一个素数。3
如此推算，可得a=127，a也是素数。我们很自然地会猜想是45不是所有如此推得的a都是素数呢？n
看上去挺有道理的，但是基本所有数学家都认为这个猜想是错的，而且很可能a就不是素数，唯一的障碍就是a太大了！66127
a会有多大呢？a=2-1就有三十多位数了，而我们验证过的65最大梅森素数的指数才只有9位。所以要验证a这个梅森数是否为素6数，用现有方法是不可能做到的。
那么数学家为何能如此斩钉截铁地说它是假命题呢？历史经验告诉我们，对数论方面的命题，再多的数字例证都不足为据。更何况在与素数相关的命题中，无数的“反例”都是出现在天文数字之后，而这个命题只有5个例证，简直微不足道。
素数的各种表现告诉我们，想要找出一个素数的简单生成公式是不可能的。上千年以来，已有无数的人想构造一个简单的公式去产生素数序列，但或早或晚都失败了。寻找能够“有效”产生素数序列的公式，仍然是数学中非常困难的课题。
甚至有个数学家理查德·盖伊，他提出了一个颇具幽默感的“小数规律”，是相对于概率论的“大数规律”提出的。其意思是说：对一个数学猜想来说，提供再多的具体实证例子，于这个猜想本身是否成立，产生的影响都非常小。不管你提供了几万个甚至几亿个实例，其影响都可以忽略不计。不久前有人使用电脑程序去验证过a，结果651在10内没有找到它的因子，导致他没有信心继续找下去了。但这丝毫不能动摇数学家认为a6是个合数的想法。p
最后，还有人提出一个更夸张的猜想：如果梅森素数2-1中的pp本身是个梅森素数，是否产生数字的也都是梅森素数？即如果2-1是-1素数，是否-1也是素数？这种素数被称为“双重梅森素数”（Double Mersenne Primes）。
当p=2，3，5，7时，该命题都成立。但有意思的是这个命题在p>7之后，都是反例了。所以现在的猜想是：在p=7之后有没有更大的双重梅森素数？双重梅森素数是否有无穷多个？有数学家猜想“双重梅森素数”只有我们已发现的这4个，但仍然是因为数字增长太快的原因，我们至今无法确切解答这个问题。
以上有关梅森素数的相关话题差不多讲完了，不知道你是否感受到这些“数字中的宝石”的珍贵。我的最大感想是：谈及与素数相关的命题时要非常小心，不能简单找到几个例子就轻下结论。思考题大老李陪你一起“玩”
1.马兰·梅森遗漏了当p=61，89和107时的梅森素数。请你用“卢卡斯 - 莱默检测法”检查一下它们是否确实为素数。
2.已知一个梅森素数，请你验证双重梅森数2
三人分蛋糕问题
小时候我们常有这样的经历，如果你有一块蛋糕要和另一个小伙伴分享时，大人们会说你们可以这样分：你们其中的一个先把这块蛋糕分成两块，然后让另一个先挑。
小时候的我就觉得这个方法十分巧妙，因为分蛋糕的那个人会想：如果我分的不一样大，那么对方先挑就会拿走那块大的，所以我只有尽量使两块差不多大，这样他拿哪块我都不会吃亏。这个方法的巧妙之处就在于自动达到了“公平”的效果。
你是否想过，如果三个人分蛋糕的话，有没有类似方法能够达到同样的效果呢？为此，我们首先要确定衡量一个方法好不好的标准。对这个分蛋糕问题，我们有一个基本标准叫作“公平”：每个人都感觉自己分到了至少平均数以上的那份蛋糕。如果只是要达到这个标准的话，那么有一个相当简单的方法：
第一个人先把蛋糕切出一块他认为的1/3，然后传给第二个人。第二个人如果觉得这块蛋糕比他心目中的1/3要大一点，那么他就再切掉一点，以达到他心目中的1/3；如果他觉得这块蛋糕已经比他心目中的1/3小了，那么他就直接给第三个人。第三个人做了同样的抉择之后，我们就把这块蛋糕给最后一个切过蛋糕的人。如果第二、第三个人都没有切过蛋糕，那么这块蛋糕就给第一个人。
之后的问题就是让两个人分剩下的那份蛋糕，这个方法前面已经说过了。这个分蛋糕的方法确实十分简单，其本质上就是要比较每个人心目中的“1/3”，找出谁心中的“1/3”是最小的。这个人就可以拿走最小的“1/3”，剩下的两个人肯定会觉得从剩下的2/3再取一半，总是比他们心中的“1/3”多的。这个方法也很容易推广到许多人的情况，只要重复这个切蛋糕—传蛋糕的过程就可以了。
但是我们的分蛋糕问题还没有解决。在前面三人分蛋糕的过程中，虽然我们达到了“公平”标准，却不能避免人们产生“嫉妒”心理，也就是英文当中的“Envy”这个词。此处“Envy”的意思是：如果某个人感觉自己拿到的蛋糕比别人的少（虽然大于等于他心中的1/3），那么他就会产生“嫉妒”心理。
比如，当一个人先拿到自己心目中的1/3之后，他就只能眼巴巴看着剩下的两个人来分了。等剩下两个人分完，他观察自己手里的这块和另外某一个人拿到的那块，发现自己的那块比另一个人的小很多。他想：早知道你接下来能分到这么大一块，那我之前就不拿我这手里的这“1/3”了。这就是人性之中的黑暗面，但又是天性使然，难以避免的一面。
古人云：“不患寡，而患不均也”，意思是：大家穷不要紧，但是我见不得别人比我富（我的歪解，不要用在语文考试中）。一个分蛋糕的好方法是既能做到“公平”，又能免于“嫉妒”，每个人都不会觉得比别人所得的少，之前的两人分蛋糕方法就能达到这两个标准。“不患寡而患不
英文把第二个标准叫“Envy Free”（无嫉均”出处妒，不是“免费嫉妒”），所以就有人继续研究，有没有一种既公平，又“Envy Free”的分蛋糕方法，这个问题就要比仅仅达到公平标准难很多。但确实有人找到了对三人分蛋糕问题既“公平”且无嫉妒的方法，这种方法还不止一种。
先说其中一种。1980年，有一个叫沃尔特·斯多奎斯特的数学家提出了一种令人拍案叫绝的方法，俗称“走刀法”。假设这块蛋糕是一个长条形的，每个部分都是均匀的，邀请一个裁判和三个参与分蛋糕的人，并让他们手里各拿着一把刀。这个刀当然不是用来互砍的，只是用来切蛋糕的。
裁判先把刀放在蛋糕的一头，比如最左边，但不要切下去，而缓慢匀速地向右移动。三个分蛋糕的人站在裁判右边，始终看着裁判手中悬浮的刀的位置，评估在这右半部分蛋糕上，哪个位置是自己心目中的一半蛋糕的位置，然后保持自己手里的刀在这个位置上。
所以情形就是一个裁判站在左边持刀向右缓慢移动，另外三个人站在他的右边，也拿着各自的刀，同时把刀指向裁判的刀的右半部分的蛋糕的一半的位置。另外三个人也会缓慢地向右移动，因为裁判向右移动的话，另外三个人评估的这个一半的位置肯定也会缓慢地向右移动。走刀法图示：Referee是裁判的刀。A、B、C是三人各自的刀的位置，喊停者（caller）拿最左边那块。
与此同时，这三个分蛋糕的人还要始终评估在裁判刀的左侧的那部分蛋糕，如果这部分蛋糕达到他们心目中的1/3，他就要高喊一声“切”。当有人喊出“切”以后，所有人的刀就不能再移动了。此时裁判把自己的刀切下去，而右边三个分蛋糕者，要看谁的刀处于另外两把刀之间的位置，然后把中间的刀切下去，不管这把刀是谁拿着的，如此操作之后，这个蛋糕就被分成了三部分。
接下来该分蛋糕了。最左面那块，是裁判的刀切出的蛋糕，分给那个喊“切”的人。因为喊“切”的人认为那个部分已经达到了他心目中的1/3，所以他拿这块是没有大问题的。然后就看剩下两个人的刀的位置。谁的刀靠左，就拿中间这块。谁的刀靠右，就拿最右边那块。现在看看这个方法为什么“公平”且“无嫉妒”。
首先，每个人“走刀”时的最佳逻辑策略如下。
走刀策略：每个人的刀总是处于可以平分右半边蛋糕的位置。
喊“切”策略：当你认为最左边的蛋糕和你不喊“停”时可以得到的蛋糕一样大时，就需要喊“切”（若不“喊”，则左边这块可能被别人“抢”走）。具体来说，当你的刀在最左边时，在“左边=中间”时喊“切”；当你的刀在最右边时，在“左边=右边”时喊“切”；当你的刀在中间时，当“左边=中间=右边”时喊“切”。
对没有喊“切”的两人来说，他们认为裁判切出的蛋糕达不到他们心目中的1/3，所以他们绝不会嫉妒那个喊“切”的人。又因为右边两块切下的位置是在两人的刀中间，所以两人都会觉得至少得到了自己满意的那部分。
而对于喊“切”的人，若他的刀在最左边，则他认为自己拿到的蛋糕和中间那块蛋糕是一样大的，甚至比第三个人还多。刀若在最右边，则他认为自己拿到的蛋糕和右边那块蛋糕是一样大的，也比第三个人拿得多。若在中间，则他会认为大家拿的蛋糕是一样多的。
以上过程确实精妙，而且蛋糕只用切两刀就完成了分割。但这个方法的缺点也很明显，就是没有可操作性。它需要假设这个蛋糕是一块连续且均匀的物体，且每个人对刀的控制是即时且非常精确的，每个人也需要知道走刀的最佳逻辑策略。所以这种方法更像是一个计算机算法，而不是一种可以实际操作的方法。那有没有一种更具实操性，可以按轮次执行来解决三人分蛋糕问题的方法呢？
还真有。早在1960年，一个叫约翰·塞尔弗里奇的数学家就提出了一个解决方法，他把他的方法告诉了一个同行兼好友理查德·盖伊，然后盖伊又把这个方法告诉了其他许多人。但是当时他们显然都没有把这个发现当回事，所以也从未正式发表过。因而这一发现，只是在坊间流传了一段时间，并未引起较大轰动。可能塞尔弗里奇认为这只是一个雕虫小技，不值一提。也确实，相对于这个数学家在其他方面的成就，这个分蛋糕问题显得太微不足道了！
直到1993年，另外一位著名数学家约翰·康威又独立地发现了这个解法，“生命游戏”就是他发明的。巧合的是，两位发现这个分蛋糕方法的数学家名字都叫约翰，而且他们都没有正式发表这个方法，只是在私底下非正式地交流了一下。但此后的很多科普和专业文章都提到了这个方法，最终让这个方法为大家所知，所以现在这个方法就用两位数学家的姓氏来命名，称为“塞尔弗里奇 - 康威分割步骤”。约翰·康威和“天使与魔鬼”游戏介绍
为方便大家理解，我将借用一个故事来介绍这个方法。庙里有三个和尚：一个胖和尚，一个高和尚和一个小和尚，我们让这三个和尚来分蛋糕。
话说这三个和尚平日里都很自私，谁都不愿意多付出一点，导致某日庙里的水极度短缺，饭也没法烧，三人都饥肠辘辘。这一天忽然有个行脚僧来访，欲借宿一宿。这个行脚僧说：“看三位都饿了很多天了，我这里有一块蛋糕，可供三位分着吃。”
但是对于这个蛋糕该怎么分，三个人又开始激烈地争论起来，谁也不愿意吃亏，也见不得别人比自己多分一点。行脚僧说：“别吵了，我有一个办法让大家都满意。”
三人将信将疑，但没有其他办法，就让行脚僧说说看，这个行脚僧说，我的方法是这样的：
小和尚你先过来，把这块蛋糕分成三块，但是记住你将是最后一个选的，所以请你把蛋糕分成你认为最均匀的三块，这样你到时候拿哪块都不吃亏。小和尚虽然认为这个差事看上去并不太好，但还是努力把这个蛋糕分成了自己认为公平的三块。
然后行脚僧对胖和尚说：“如果让你第一个选，你会选哪块？”胖和尚暗自开心：这个问题好，原来是我先挑啊。他马上选了他认为的最大的那块。行脚僧接着说：“慢着，你还不能拿这块。现在请你在剩下的两块中再选一块，你觉得比较大的。”胖和尚也不知道这个行脚僧葫芦里卖的什么药，只好再选了一块次大的。然后胖和尚说：“现在我可以拿蛋糕了吗？”三个和尚分蛋糕。“不行”，行脚僧说：“刚才你已经选了最大的和一块次大的，那么现在请你从你选的最大的那块当中，切一点下来，放到一边。你的目标是使这块最大的和那块次大的看上去大小是一样的。”
胖和尚一听有点泄气了，原来前面是在试探我啊。但是没办法，现在行脚僧是权威，所以就小心翼翼地从他认为最大的那块当中切了一小块出来放在一边。此时他觉得最大的和次大的两块蛋糕在他心目当中已经是一样大的了。
行脚僧说：“好了，现在轮到高和尚了，你可以从小和尚分的这三块里面随便挑一块，当然其中一块是被胖和尚切掉一点的。如果你喜欢这块被切过的蛋糕的话，你也还是可以选它。”
高和尚一听太开心了：“原来是我先选啊！”高和尚看了三块蛋糕之后，觉得胖和尚次选的那块才是他的最爱，所以他选了那块。这时候行脚僧说：“胖和尚，现在因为高和尚拿了他想要的那块了，而且他没有拿你切过的那块，所以你现在必须拿你刚才切过的这块。你刚才也认为你切过的这块比最后一块要好一点，所以你拿这一块应该没有什么不满意的。”
胖和尚一想确实如此，所以就拿了自己切过的这一块。最后行脚僧说：“小和尚你可以拿剩下的这块。这块是当初你自己分的，而且你认为三块是一样大的，所以你应该也没什么不满意。”小和尚就拿了最后一块。
但是小和尚说：“不对，这里还有胖和尚切下的一小块没有分。这块蛋糕虽然小，但是浪费也不好。”行脚僧胸有成竹地说：“对，那我们现在就来分这剩下的一小块。有请高和尚，你过来，把这一小块分成你认为公平的三块吧。”于是高和尚小心地分了三块。
然后行脚僧说：“这次请胖和尚先选一块。”胖和尚就从这三块中选了自己认为最满意的一块。然后行脚僧说：“再请小和尚来选一块。”小和尚也挑了一块自己喜欢的，最后高和尚拿走了剩下的最后一小块。行脚僧此时说：“好了，蛋糕都分完了，三位满意吗？”
三个和尚开始在心里算计起来。胖和尚是这么想的：第一轮我拿到了自己切过的那一块。这块我觉得跟高和尚拿走的那块相比是一样的，要比小和尚的那块好。第二轮呢，又是我第一个选，所以我选的这块肯定要比高和尚和小和尚的好，所以我当然没什么不满意的。
高和尚是怎么算计的呢？他想：第一轮我是第一个选的，所以我觉得我这块比另外两个和尚拿到的都好。第二轮这三块是我分的，对我来说这三块都一样，我也无所谓，所以两次加起来呢，我应该比另外两个和尚好，这个结果挺好。
小和尚是这样算计的，他想：第一轮我拿的这块是自己切的。这块对我来说与高和尚的那块是一样好的，但是比胖和尚切过后拿走的那块要好一点。第二轮我比高和尚先选，所以我总体来说肯定比高和尚拿到的要好一点。如果我跟胖和尚比，胖和尚只是拿了我当初切的1/3，切掉的那一小块又被我和高和尚各分走一点，所以他总体拿的还不如我第一轮拿的多，我比他划算太多了，所以这次分蛋糕对我来说是很划算的。
就这样，一个神奇的局面出来了。三个和尚都觉得自己分得的蛋糕比别人只多不少，所以三个人都满意，行脚僧圆满完成任务！
上述分蛋糕的故事就是根据塞尔弗里奇 - 康威分割步骤改编的。要说明的一点是，这个故事并没有覆盖到所有可能的选择，但已经足够说明整个步骤的框架。关于具体细节，各位可以自行思考或上网查找。这个步骤的最神奇之处，就是能实现“无嫉妒”的目标，即最后分析时，每个人都会打小算盘算计，但是怎么算都会觉得自己分得的蛋糕是大于等于其他人的。
现在你肯定在想这个方法能否推广到三人以上的情况呢？这是一个非常困难的问题。因为这个问题分为两种情形：在上面三个和尚切蛋糕的过程当中，每个人分得的蛋糕是一大块和一小块，是断开的。但在走刀程序中，蛋糕的切割结果是完整的，每个人都可拿到一块完整的蛋糕。可以想象，要使最终的切割结果是完整的要比断开的困难得多。如果要得到完整的蛋糕，就不能做调整，必须一次切出大家都满意的结果。
在20世纪90年代，人们发现的所有的四人或四人以上的分蛋糕方法，都可能需要无穷多个切割步骤，或者更准确地说是“问询步骤”。所谓“问询步骤”，就是说去问某一个分蛋糕的人，哪个位置是你需要的，或哪块蛋糕是最好的。对于这个分蛋糕问题，“问询”是最主要的操作步骤，因为并不是每次问询都会产生一次切割。而且，如果需要得到连续的蛋糕，那么n个人肯定最多只能切n-1刀，所以能真正评估某个切割方法好坏的标准就是“问询”的次数。
直到20世纪90年代末，人们虽然发现了很多分割方法，但是这些方法都可能需要无穷多个问询步骤。在2000年到2010年这十年间，人们证明了：对不要求蛋糕连续的情况，这个问询步骤的下限，2即最少次数是O（n），其中n为参与分割的人数，意即与人数的平方成正比例关系，但这只是下限。
而要求最终结果是不断开的蛋糕的话，这个下限是无穷大，即证明了没有一个只用有限问询次数的方法来切出大家都满意的连续的蛋糕。可以看到“走刀法”从本质上讲，也是一种需要无限问询次数的方法，因为每一小段刀的移动都等价于产生了无数次问询。
但是在很长一段时间里，人们不知道，在不要求结果是连续的蛋糕的情况下，有没有一个有限的切割步骤？虽然我们知道它有一个下限，但是这个上限还是不为人所知的。这个问题直到2016年才取得突破，两位澳大利亚的研究者证明，对四人或四人以上不要求切割结果完整的情形问题，具有一个有限的上限，这个上限数字十分神奇：
这个数字当然是大得可怕，哪怕是n=2，一般计算器都无法显示其结果。但不管怎样，这总算告诉我们这个问题是有一个有限的答案的，这是非常重大的突破。也许以后有人能证明出更小的上限或者更2大的下限。因为目前来看，这个上限要比这个它的下限O(n)大很多。
最后值得一提的是，这个分蛋糕问题还有很多有趣的变体，比如蛋糕的形状不是一个抽象的直线形，而是一个二维的圆形，就有更简便的走刀法。另外如果蛋糕部分分完，允许剩下一些部分的话，那么对任何人数来说，都有一个相对简单且有限问询次数的分割方法。但这种情况的缺点就在于，随着人数增多，未分完的蛋糕的比例也越来越大，虽然可以重复这个步骤，继续分未分完的蛋糕，但总有不能分完的蛋糕。
相信你此时也在思考如何扩展塞尔弗里奇 - 康威分割步骤到四个人呢？好消息是已经知道存在有限的步骤能完成分割；坏消息是步骤次数上限为。我要警告你，这会是一个很难的问题，否则不会拖
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]