作者：周建莹
出版社：北京大学出版社
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高等数学解题指南试读：
内容简介
本书是理工医农各专业的大学生学习“高等数学”课的辅导教材。两位作者在北京大学从事高等数学教学四十年，具有丰富的教学经验，深知学生的疑难与困惑。他们围绕着该课的基本内容与教学要求，根据学生初学时遇到的难点与易犯的错误，通过精心挑选的典型例题进行分析、讲解与评注，给出归纳和总结，以帮助学生更好地理解“高等数学”课的内容，掌握其基本理论和正确的解题方法与技巧。全书共分13章，内容包括：一元微积分，空间解析几何，多元微积分，无穷级数（包含傅里叶级数）与常微分方程等。在每一节中，设有基本理论内容提要，典型例题的讲解与分析，以及供学生自己做的练习题等部分，书末附有习题答案。为了适应不同程度学生的要求，本书还较系统地讲解了适量的综合题和一定难度的例题（以*号标出），这不仅可以开拓学生的解题思路，帮助学生学好高等数学，而且还可作为考研复习之用。本书根据每年的考研试题增补新的综合题。
本书可作为综合大学、理工科大学、高等师范学校理工医农各专业大学生学习高等数学的学习辅导书，也可供成人教育、自学考试的学生阅读，对青年教师及报考研究生的大学生来说，本书也是较好的教学参考书和考研复习用书。
作者简介
周建莹 北京大学数学科学学院教授。1960年毕业于北京大学数学力学系，从事高等数学教学工作四十年，具有丰富的教学经验；周建莹教授对高等数学中的典型例题和解题方法有系统的归纳、总结，编写的教材有《高等数学（生化医农类）（1985年第1版，2002年修订版，北京大学出版社）、《高等数学简明教程》（北京大学出版社，1999）。
李正元 北京大学数学科学学院教授。1963年毕业于北京大学数学力学系，从事高等数学、数学分析等课程教学工作四十年，具有丰富的教学经验；李正元教授对高等数学解题思路、方法与技巧有深入研究、系统归纳和总结，编写的教材和学习辅导书有《高等数学》、《数学复习全书》、《数学分析》、《数学分析习题集》。第一章微积分的准备知识§1 函 数内容提要1．函数概念
函数的定义 设在某一过程中有两个变量x与y，若对变量x在其变化域X中的每一个值，依照某一对应规则，变量y都有惟一确定的一个值与之对应，我们就称变量y是变量x的函数，记作
y＝f（x） （x∈X）．
这时称x为自变量，称y为因变量．自变量x的变化域X称为函数的定义域，而相应的因变量y的变化域Y称为函数的值域．
函数的对应规则与定义域是函数定义中的两个要素．2．函数的图形
函数y＝f（x）（x∈X）的图形是指点集
｛（x，y）｜y＝f（x），x∈X｝．
一般情形下，它是Oxy平面上的一条或几条曲线，任何一条平行于y轴的直线，与曲线y＝f（x）至多相交于一点．3．几类常见的函数
有界函数 若存在一个实数M，使对一切x∈X，都有
f（x）≤M，
则称函数f（x）在X上是有上界的，并称M为f（x）的一个上界．
类似地，若存在一个实数N，使对一切x∈X，都有
f（x）≥N，
则称f（x）在X上是有下界的，并称N是f（x）的一个下界．
既有上界又有下界的函数称为有界函数．即若存在两个实数M与N，使得
则称f（x）在X上是有界函数．函数有界性的一个等价的定义是：若存在一个大于零的常数K，使
│f（x）│≤K，对任意的x∈X，
则称f（x）在X上是有界函数，并称常数K为f（x）在X上的一个界．
奇偶函数 设有函数y＝f（x），x∈X，其中X关于原点对称（即：若x∈X，则-x∈X）．
若f（-x）＝-f（x），对任意的x∈X，则称y＝f（x）为X上的奇函数．
若f（-x）＝f（x），对任意的x∈X，则称y＝f（x）为X上的偶函数．
奇函数的图形对称于原点，偶函数的图形对称于y轴．
单调函数 对任给的x，x∈X，若x＜x时有f（x）≤f（x）121212（f（x）≥f（x）），则称f（x）在X上是单调上升的（单调下降12的）．在X上单调上升与单调下降统称为在X上单调．单调上升（下降）也称为单调递增（递减）．又若x＜x时有f（x）＜f（x）1212（f（x）＞f（x）），则称f（x）在X上严格单调上升或严格递增（严12格单调下降或严格递减）．
周期函数 设f（x）在（-∞，+∞）上定义，若存在常数l＞0，对任给的x∈（-∞，+∞），有f（x＋l）＝f（x），则称f（x）为周期函数，l为f（x）的一个周期．周期函数一定有无穷多个周期，若其中有一个最小的正数T，则称T为周期函数的最小周期，简称周期．4．复合函数
设有函数
y＝f（u），u∈U；u＝φ（x），x∈X，值域为U′．
若U′⊆U，则在X上确定了一个新函数
y＝f［φ（x）］，x∈X，
称为y＝f（u）与u＝φ（x）的复合函数，u称为中间变量．5．反函数
设函数y＝f（x）的值域为Y．若对Y中每一个y值，都可由方程y＝f（x）惟一地确定出一个x的值，则得到一个定义在Y上的函数，称为y＝f（x）的反函数，记作-1
x＝f（y），y∈Y．
易知，严格单调函数必有反函数，并且其反函数也是严格单调的．-1
函数y＝f（x）（x∈X）与其反函数x＝f（y）（y∈Y）的图形在同一个坐标系中是相同的．-1
习惯上，为了强调对应规律f，并将因变量仍记作y，通常将反函数写为-1
y＝f（x），x∈Y，
它的图形与y＝f（x）（x∈X）的图形关于直线y＝x对称．6．基本初等函数、初等函数
基本初等函数是指以下六类函数：常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数．
由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函数，称为初等函数．典型例题分析
1．将函数y＝2x＋│2－x│用分段函数表示．
解 根据绝对值的定义，当x≤2时，│2－x│＝2－x；当x＞2时，│2－x│＝x－2，所以
2．形如f（x）＝kx＋l（其中k，l为常数）的函数称为线性函数．问：线性函数f（x）在哪些区间上有界？在哪些区间上无界？f（x）是否是奇函数？是否是偶函数？f（x）何时单调上升？何时单调下降？并求：f（sinx），sin（f（x）），f（f（x）），f（f（f（x））），f（f（sinx））的表达式．其中哪些是线性函数？
答 f（x）在任意有限区间［a，b］上都是有界函数，因为当x∈［a，b］时，有
│f（x）│≤│k│·│x│＋│l│≤│k│·m＋│l│，
其中 m＝max（│a│，│b│）．
│k│m＋│l│是一个确定的常数，故上述不等式说明：f（x）在［a，b］上是有界的．f（x）在区间（a，+∞），（-∞，a）或（-∞，+∞）上都是无界函数．当k≠0且l＝0时f（x）是奇函数；当k＝0时f（x）是偶函数；当kl≠0时f（x）既非奇函数，也非偶函数．当k≥0时f（x）单调上升，当k≤0时f（x）单调下降．
其中f（f（x）），f（f（f（x）））是线性函数．
3．设y＝f（x）的定义域为［0，2］，求下列函数的定义域：2（1）y＝f（x）；（2）（3）y＝f（x＋a）＋f（x－a），a＞0．2
解 （1）为使u＝x的值域属于或等于［0，2］，必须│x│≤2故y＝f（x）的定义域为（2）仅当x≥0时u＝sgnx的值域属于［0，2］，所以y＝f（sgnx）的定义域为［0，+∞）．（3）y＝f（x＋a）＋f（x－a）的定义域为
要使上两式同时成立（注意a＞0），必须且只需a≤x≤2－a，由此推出必须a≤1．所以当a≤1时，定义域为a≤x≤2－a；当a＞1时，这个函数没有定义．
4．设g（x）＝sinx，f（x）＝arcsinx，求f（g（x）），g（f（x））．
解 注意反正弦函数主值的值域为［-π／2，π／2］，所以当x∈［-π／2，π／2］时，arcsin（sinx）＝x．当-π／2＋kπ≤x≤π／2＋kπ，即-π／2≤x－kπ≤π／2（k＝0，±1，±2，…）时，令t＝x－kπ，则
综合起来，有k
arcsin（sinx）＝（-1）（x－kπ），x∈［-π／2＋kπ，π／2＋kπ］，（k＝0，±1，±2，…）．
另一方面，
sin（arcsinx）＝x （x∈［-1，1］）．
5．设
求f（g（x））．
解 为求分段函数的复合函数f（g（x）），可先在f（x）的表达式中以g（x）代x，再根据g（x）的表达式进行分段：*6．已知f（φ（x））＝1－3x且φ（x）≥0，求φ（x）并写出它的定义域．
解 由所给条件，有取对数得2
φ（x）＝ln（1－3x），
由φ（x）≥0，得φ（x）的定义域中的点应使ln（1－3x）≥0，即1－3x≥1，即x≤0．*3cosx7．设f（x）＝│xsinx│e（-∞＜x＜+∞），问：函数f（x）在（-∞，+∞）上是否是：（1）有界函数； （2）单调函数； （3）奇函数； （4）偶函数．
解（1）f（x）不是有界函数．要证f（x）在（-∞，+∞）上不是有界函数，需要证明任意正数M都不是f（x）在（-∞，+∞）上的界．为此只要证明：任意取定一个正数M，至少存在一点x∈（-M∞，+∞），使│f（x）│＞M．现在对任意取定的M＞0，取点x＝MM2π［M］＋π／2（其中［M］为不超过M的最大的整数），便有3
f（x）＝x│sinx│＝x．MMMM
下面证明：│f（x）│＝x＞M．MM
当0＜M＜1时，x＝π／2＞1＞M；M
当n≤M＜n＋1（n＝1，2，…）时，x＞2nπ＞n＋1＞M．M
总之有│f（x）│＝x＞M．故f（x）在（-∞，+∞）不是有界函MM数．
注意，如果考虑有限区间，则f（x）在任意有限区间［a，b］上是有界函数．事实上，cosx
│f（x）│≤│x│·│e│≤│x│·e≤e·h，
其中 h＝max（│a│，│b│）．（2）f（x）在（-∞，+∞）上不是单调函数．
只需考虑等处的值．不难算出
f（0）＝ f（π）＝0， f（π／2）＝π／2，
故有：f（0）＜f（π／2）＞f（π）．这表明f（x）在（-∞，+∞）上既非单调上升，也非单调下降，故不是单调函数．（3）f（x）不是奇函数．只需说明当x∈（-∞，+∞）时，f（-x）≠-f（x）．事实上，3cos（-x）3cosx
f（-x）＝│-xsin（-x）│e＝│xsinx│e≠-f（x）．（4）f（x）是偶函数．因为对任意x∈（-∞，+∞），都有
f（-x）＝f（x）．3cosx
实际上，不难验算函数xsinxe也是偶函数．这个结论也可从3奇偶函数的运算性质而得：因为x与sinx都是奇函数，所以它们的乘3cosx积xsinx是偶函数，又因e是偶函数，而两个偶函数的乘积仍是偶函数．
8．
分析 本题实际上是要求f（u）与u＝-x的复合函数的表达式．通常是采用代入法，即将中间变量u＝-x代替函数f（x）中的自变量x的位置，再将表达式变形或化简．*9．设
求f（x）的反函数g（x）的表达式．
分析f（x）是分段函数，其定义域（-∞，+∞）被分成三个区间（-∞，-1），［-1，2］，（2，+∞），在每个区间上f（x）的表达式不同，但都是单调上升的函数，所以f（x）的反函数存在，且可在这三个区间上分别求反函数．2
解 当x∈（-∞，-1）时，函数y＝1－2x的值域为（-∞，-1），3其反函数为当x∈［-1，2］时，函数y＝x的值域为［-1，8］，其反函数为当x∈（2，+∞）时，函数y＝10x－12的值域为（8，+∞），其反函数为所以*10．证明函数f（x）＝x－［x］在（-∞，+∞）上是有界周期函数，其中［x］表示不超过x的最大的整数．
证 先证f（x）是有界的．即要证存在两个常数，使当x∈（-∞，+∞）时f（x）的值域介于这两个常数之间．
事实上，任取x∈（-∞，+∞），设
n≤x＜n＋1 （n＝0，±1，±2，…），
则［x］＝n．于是x－［x］≥n－n＝0，x－［x］＜n＋1－n＜1．故有
0≤x－［x］＜1， 对一切x∈（-∞，+∞）．
上式说明f（x）在（-∞，+∞）上是有界的．
再证f（x）是周期函数．对任意x∈（-∞，+∞），有
上式说明f（x）是以1为周期的周期函数．
11．证明下列函数在其定义域内是无界的：（1）f（x）＝│1－3x│； （2）f（x）＝xsinx．
分析 要证明一个函数在X上是无界的（即f（x）在X上不是有界函数），就应证明：任意给定一个正数K，都存在一个点（与K有关的）x∈X，使│f（x）│＞K．现在对所给的两个函数，具体地找出这种KK点x．K
证 （1）f（x）的定义域为（-∞，+∞）．注意
│1－3x│≥│3x│－1＝3│x│－1．
故对任意给定的正数K，要使│1－3x│＞K，只要使3│x│－1＞K，即故任意给定一个正数K，我们取点就有
│f（x）│＝│3x－1│≥3│x│－1＝K＋2＞K．KKK
这说明f（x）在（-∞，+∞）上是无界的．证毕．（2）f（x）的定义域为（-∞，+∞）．任意给定正数K≥1，取
x＝2［K］π＋π／2，K
则 │f（x）│＝│xSinx│＝│x│＝2［K］π＋π／2＞K．KKKK
这说明f（x）在（-∞，+∞）上是无界的．
评注 （1）从证明过程看出，对任意给定的正数K，实际上在f（x）的定义域内有无穷多个点x，使│f（x）│＞K．但证明时只需找出一个x，使│f（x）│＞K，便足以证明f（x）在定义域内无界．KK（2）对本题中所给的两个函数f（x），当给定的正数K增大时，相应的x也增大，即只有当自变量取充分大的值x时，才能使│KKf（x）│＞K．但由于不论x多么大，都有x∈（-∞，+∞）．故f（x）KKK在（-∞，+∞）上是无界的．由此看出，当将f（x）限制在任意有限区间［A，B］上时，则f（x）在［A，B］上是有界的．严格证明请读者自己完成．本节小结
1．已知f（x）的表达式后，能正确写出f（-x），f（1－x），f（φ（x））等复合函数的表达式．
2．绝对值不等式是解题的基本工具，读者应能灵活运用下列绝对值不等式：（1）│a＋b│≤│a│＋│b│； （2）││a│－│b││≤│a－b│；（3）│x│≤r⇔-r≤x≤r，│x－x│≤r⇔x－r≤x≤x＋r；000（4）存在常数M，N，使N≤f（x）≤M，x∈X
⇔存在常数K＞0，使│f（x）│≤K，x∈X．
3．要证函数f（x）在区间X上有界，只要证：存在常数M，N，使
N≤f（x）≤M， x∈X，
或存在常数K＞0，使
│f（x）│≤K， x∈X．
要证函数f（x）在区间X上无界，只要证：任给常数M＞0，总存在点x，使│f（x）│＞M．MM练习题1.1
1.1.1 判断下列函数是否相同，如若不同，为什么？2（1）f（x）＝lnx，g（x）＝2lnx； （2）（3）
1.1.2 求下列各函数的定义域：（1）
1.1.3 求下列函数在指定点处的函数值．（1）（2）f（-x）．
1.1.4 证明第11题中的两个函数在任意有限区间［A，B］上都是有界的．§2 极限的概念、性质和若干求极限的方法内容提要1．序列极限的概念（1）序列极限的定义
给定序列｛x｝和常数a，若任给ε＞0，存在正整数N，使当n＞nN时，有
│x－a│＜ε，n
则称n趋于无穷时，x以a为极限，记作n
也称｛x｝收敛于a．n
当n→+∞时，x以a为极限的几何意义是：任给ε＞0，存在N，当n
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]