诗话数学(txt+pdf+epub+mobi电子书下载)

作者：梁进著

出版社：上海科技教育出版社有限公司

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诗话数学试读：

我很小就开始在祖父的指导下读写古体诗词、做灯谜，尽管在那“口号”的年代，诗歌灯谜都是没有土壤的。因此，我很早就对格律比较熟悉，也喜欢在约束下发现不同组合的文字美感。我读诗填词做灯谜没有任何功利目的，只是觉得好玩。暑假里我常去祖父祖母家做客，曾写过一首七绝：且喜重逢恨别离，恨离正喜有逢期。无别何喜何来恨，再喜还生再恨时。

那时的我不懂什么叫永别，直到后来我在国外，祖父祖母相继离世，我都未能赶回送行。回读这首诗我才知道少时的天真，有种别离是一种绵绵无绝期的恨。

后来我去研究数学，在研究过程中常常也能体会到类似于诗歌的那种内在美。现在看儿时的那首诗，虽然稚嫩，却有种对偶映射、循环周期的情调，很有数学味。再后来，我学习了英文，也开始研读英文诗，并发现了英文诗中的美丽天地。我在英文哲理诗中找到了共鸣，并用我数学的眼光去欣赏，也收获一些心得。我觉得诗歌要吟诵，尤其要用原文吟诵，才能体会其中韵律和意境原汁原味的美。当然，了解英文诗歌产生的文化背景是欣赏它的前提，而这点是大多数中国读者的短板。

诗歌是用高度凝练的文字，通过一定的韵律和文学手段，表达作者情感、社会生活和哲理的一种抒情言志的文学体裁。简单地说，用言语表达的韵律艺术就是诗歌。优秀的诗歌是脍炙人口、流传百世的。相对之下，数学的发展有着自己严谨而苛刻的轨迹，似乎不容诗歌那种飘逸和洒脱的风格。但从另一个角度来看，数学和诗歌虽然各有自己的天地，却都要求抽象、创新和想象。我在分析绘画与数学的关系时曾说过，艺术和数学是高维联通的，诗歌是艺术的一部分，所以诗歌与数学也是高维联通的。绘画和雕塑是空间的艺术，音乐和诗歌是时间的艺术，它们各自施展的领域虽然不同，但绘画和雕塑也一直试图表达时间，音乐和诗歌也一直在拓展自己的空间，而编织这些关系的正是数学。

数学是理性思维和想象的结合，是研究数量、结构、变化及空间关系的一门学科。它以其精致的严谨性、高度的抽象性为人们津津乐道，却很少有人关注它“美”的一面。其实，数学在自然中，在生活中，在想象中，也在未知中，当然还在诗歌中。在古今中外，在汗牛充栋、千姿百态的诗歌中，处处都可以看到数学的身影。本书所关注的数学之美，主要指其与诗歌的高维联通性。

数学除了与诗歌的特点有所共鸣之外，其自身所包含的“妙趣横生的数字”，“富有思辨性的逻辑推理”，“千变万化的几何状态”，“无限延伸的空间时间”，乃至“寓意深远的数学理念及思维”，都是诗歌中常常出现的元素与话题。用数学的眼光去欣赏诗歌，用诗歌的语言来解析数学，读者自然会发现，看似处于不同轨道的数学与诗歌竟如此“契合”，别有一番风味。

我在同济大学开设“数学和艺术”的课程，讲绘画与数学的关系，也讲诗歌和数学的关系，课程很受欢迎。为此，我把课程中涉及诗歌的内容整理成了本书。其实市面上已有些书在讨论诗歌中的数学，但与它们不同的是，我更多的是立足于数学去看诗歌，希望用数学的诠释，让读者能够领略到浪漫的诗歌背后所蕴含的理性，品味艺术与科学共通之美。

本书还收集了大量外文诗歌，特别是英文诗歌，毕竟数学在西方的发展更有历史。诗歌是非常依赖语言的，其美感不能和语言分离。所以各种文字的诗歌都有其独特的特点，许多人甚至认为诗歌是不能被翻译的。著名诗人雪莱在《为诗一辩》（A Defence of Poetry）一书中也表示，译诗是徒劳无益的，把一个诗人的创作从一种语言译成另一种，其聪明程度不亚于把一朵紫罗兰投入坩埚，企图由此探索它的色泽和香味的构造原理。多数优秀译文可以译出原诗的“意味”，但“韵味”或多或少也会损失些。尽管翻译会有伤诗的韵味，但我还是选择了一些优秀的译文，连同外文原诗及我的解读一起呈现给读者。

因为我的英语略好于其他语种，对英语诗歌就读得相对多些，所以这本书收集的外文诗歌多数是英文诗歌，少量为德语、俄语、法语、葡语诗歌。有些著名诗人的诗，是用孟加拉语或波斯语的小语种写就的，我只能读到其英译诗。读不到或读不懂原文固然是遗憾，但退而求其次地读英文译本总好过与这些优秀诗歌擦肩而过。当然我的阅读量也很有限，肯定还有很多数学意味隽永的诗没有提到，希望以后进一步学习并有机会可以增补。2019.1第一章初识诗数真面目

诗歌是一种有着悠久传统的文学形式，有人称诗歌乃文学之祖、艺术之根。无论古今中外，那些意象优美、含蕴隽永的诗歌，总是受到人们的喜爱，广为传颂。

在中国，诗歌的历史可谓源远流长。中国最早的诗歌总集是《诗经》,共收集了西周初年至春秋中叶（公元前11世纪至前6世纪）305篇诗歌。战国时期，楚国华夏族和百越族语言逐渐融合，诗歌集《楚辞》突破了《诗经》的形式限制，更能体现南方语言的特点。到了汉代，为了配音乐演唱，形成了乐府诗。而这种称为“曲”、“辞”、“歌”、“行”等的乐府诗都是古体诗。三国时期，以建安文学为代表的诗歌汲取了乐府诗的营养，为后来的格律更严谨的近体诗奠定了基础。唐朝时期，中国诗歌出现了绝句和律诗，其中律诗的声韵、平仄、对仗都有严格规定。唐诗的形式和风格多样，把我国古曲诗歌的音节和谐、文字精练的艺术特色，推到前所未有的高度。

始于唐而盛于宋的词，是诗歌的一种重要变体。词的格式要依从一些固定的词牌，以便于配以乐曲演唱，例如《满江红》、《西江月》和《十六字令》等。唐代是诗的时代，宋代是词的时代，流传至今的中国古典诗词，很多都是这段时期的优秀作品。

现代诗歌又称新诗，是指“五四运动”以后出现的新诗体。有别于古典诗歌的是，现代诗歌顺应时代要求，以白话语言反映现实生活，形式更为自由，可不拘于格律。

西方的诗歌历史同样悠远。公元前8世纪到前6世纪是古希腊历史上的“黄金时期”，在这一时期出现的古希腊诗歌首次把诗歌从口头形式变成了书写形式。古希腊人几乎发展出了西方诗歌的所有固定格式诗体，如颂歌诗体、史诗体、抒情诗体等，著名的《荷马史诗》（Homeric Hymns）就是史诗体诗歌的代表作品。在5至15世纪的中世纪里，以宗教内容为主题的圣经诗歌占据了主要位置。14世纪文艺复兴后，诗歌也迎来了又一个高峰，意大利诗人但丁的《神曲》（Divine Comedy）成为西方文学的又一座里程碑。之后，古典主义、浪漫主义、唯美主义等不断兴起，使西方诗歌进入了一个群星璀璨、百花争艳的局面。

诗歌被誉为一个民族文化的结晶。诗歌虽然依赖于语言，却不会在任何一种语言里缺席，只是表达的方式不同。由于中西方的文化差异和所使用文字的不同特点，西方诗歌与中国传统诗歌在表现形式方面有着明显的差异，但两者之间也有着许多有趣的共通与相似之处，后面我们还会时有提及。

那么，什么是诗歌？

古往今来，人们对诗的定义众说纷纭。我国古代文论家对诗的本质特征的认识是“诗言志”。现代散文家、诗人朱自清（1898—1948）在《诗言志辩》中称：“诗言志是中国诗论的开山纲领。”这三个字作为理论术语第一次出现，是在《尚书·尧典》中：“诗言志，歌永言，声依永，律和声。”类似地，还有《庄子·天下篇》说：“诗以道志。”《荀子·儒效》篇云：“《诗》言是其志也。”由此可见其在我国诗史上的重要地位。

然而，“诗言志”虽然清楚地表达了诗歌的作用，但它却远远不能涵盖诗歌的全部，如诗歌中所体现的美感、音韵、思想等。美国学者韩德（T. W. Hunt）在《文学概论》（Literature: Its Principles and Problems）中就将诗定义为：“用格律的形式，通过想象、感情和趣味的媒介，而以给人的快感为首要目的思想的表现。”当然，人们还从不同的角度，对“诗是什么”这个命题给出了自己的答案，如诗是情，诗是美，诗是画，诗是愿，诗是史，诗是典，诗是思，诗是实，不一而足。

伟大的古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前580至前570之间—约前500）曾经说过一句名言“万物皆数”，以此来表达数学在人类文明中的重要地位。诗歌无疑是万物之一，按照这个逻辑，我们当然也可以说“诗是数”了！作为这本书的主题，这无疑是一个极好的诠释。

那么，诗歌与数之间是否真的有关联呢？答案当然是肯定的，不仅有，而且还相当大，大到我们需要用整整一本书来讲。

节奏和韵律是诗歌的骨架，优美的辞藻是诗歌的衣裳，丰富的典故是诗歌的气质，而隽永的意境却是诗歌的灵魂。下面，我们先来聊聊诗歌的音韵和结构之美中所体现的数学。

一般来说，诗词都有押韵、节律和对仗的要求。有趣的是，中外文诗歌的押韵的道理差不多，其节律因语言的不同表现形式亦不同，中国诗歌讲究的是“平仄”，外文诗歌凭借的是“轻重音”，而对仗则是中文诗歌所独有的。

押韵指诗、词、歌、赋等韵文中某些句子的最后一个字，采用了韵腹和韵尾相同的字（或者韵腹相近韵尾相同的字），进而使得韵文声调和谐优美。因为押韵的字一般都放在韵文一句的最后，故称“韵脚”。 人们对诗词中的用韵情况进行归纳，把韵尾相同的字放在一起，统称其为“同类韵脚”。许多工具书里都可以查到同类可用的韵脚，如戈载（1786—1856）的《词林正韵》分平、上、去三声为十四部，入声为五部，一共是十九个韵部。

韵脚是根据韵尾来进行分类的，这些“类”构成数学意义中的“集合”。所谓集合，就是把某些有共性的东西放在一起而构成的集体。用一个与我们生活密切相关的例子来说，“生物”就是一个集合，该集合中的所有“元素”都要满足“生物的特点”，即能够进行新陈代谢及遗传。而生物又可分为动物、植物、真菌、原生生物、原核生物，苔藓属于植物；那么相应地，植物集合是生物集合的子集，苔藓是生物集合的子集植物集合中的元素。

回到韵脚，以唐代诗人李商隐（约813—约858）的一首名诗《无题》为例：相见时难别亦难，东风无力百花残。春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干。晓镜但愁云鬓改，夜吟应觉月光寒。蓬山此去无多路，青鸟殷勤为探看。

韵脚依次是：难、残、干、寒、看。在《词林正韵》里，它们同属［十四寒］这个集合。

外文诗的押韵也比较容易理解，就是句尾的单词具有相同或相似的元音和重音。以苏格兰诗人彭斯（Robert Burns，1759—1796）的情诗《我的爱人像朵红红的玫瑰》（A Red，Red Rose，王佐良译）为例：

O, my luve's like a red, red rose, / 啊，我的爱人像朵红红的玫瑰，

That's newly spring in june; / 六月里迎风初开；

O, my luve's like the melodie, / 啊，我的爱人像支甜甜的曲子，

That's sweetly play'd in tune. / 奏得合拍又和谐。

As fair art thou, my bonnie lass, / 我的好姑娘，多么美丽的人儿！

So deep in luve am I; / 请看我，多么深挚的爱情！

And I will luve thee still, my dear, /亲爱的，我永远爱你，

Till a'the seas gang dry. /纵使大海干涸水流尽。

Till a'the seas gang dry,my dear, /纵使大海干涸水流尽，

And the rocks melt wi'the sun; / 太阳将岩石烧作灰尘，

O, I will luve thee still, my dear, /亲爱的，我永远爱你，

While the sands o'life shall run. /只要我一息犹存。

And fare thee weel, my only luve, / 珍重吧，我唯一的爱人，

And fare thee awhile; / 珍重吧，让我们暂时别离，

And I will come again, my luve, /但我定要回来，

Tho'it were ten thousand mile! / 哪怕千里万里！

这首英文诗每段的韵脚分别属于国际音标“[uː]，[aɪ]，[ʌ]，[aɪ]”所对应的集合。

顺便提一句，在中国，也可以找到与这首诗的意境有异曲同工之妙的作品，如明代戏曲作家、文学家汤显祖（1550 —1616）的《紫箫记·胜游》：地老天荒，海枯石烂，永劫同灰，无忘旦旦。

平仄为中国诗词中用字的声调。所谓声调，指语音的高低、升降、长短。根据隋朝至宋朝时期修订的韵书，如《切韵》、《广韵》等，古汉语有四种声调，分别为平、上、去、入。《康熙字典》里的《分四声法》这样描绘：平声平道莫低昂，上声高呼猛烈强，去声分明哀远道，入声短促急收藏。

简单地说，今天所说的平仄是在四声基础上，用不完全归纳法归纳出来的，是四声二元化的尝试，“平”指平直，“仄”指曲折。古调中的“入”声在普通话里大都已消逝。除了“平”声，其余三种声调有高低的变化，故统称为“仄”声。诗词中平仄的运用有一定格式，称为格律，以此来体现节奏。平声和仄声，代指由平仄构成的诗文的韵律。

例如，一首五绝平起押韵的韵格是：平平仄仄平(韵)(仄)仄仄平平(韵)(仄)仄平平仄平平仄仄平(韵)

而一曲《十六字令》的韵格是：平。仄仄平平仄仄平。平平仄，平仄仄平平。

如果说诗歌遵循押韵及平仄的规律，读起来就会抑扬顿挫、朗朗上口、富有音乐的律动美感，那么形象描绘这种波动之律恰恰是数学的长项。倘若我们根据数学中的二进制数的规定，用0表示“平”，1表示“仄”，那么上文提到的五绝的韵格就变成了：00110111001100100110

十六字令的韵格则变成了：0 1100110 001 01100

相对于中国古诗词的平仄，英文诗歌也有其节奏性，只不过英文诗歌的这种特点是通过轻重音来表达的。每个重音和它前后相关的一个或几个轻音组成一个音步，从而形成自己的韵律。

例如，英国作家、诗人、《金银岛》（Treasure Island）的作者史蒂文森（Robert Louis Stevenson，1850 —1894）在《夏天睡觉》（Bed in Summer，笔者译）一诗中写道：数学档案

二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数据是用0和1两个数字来表示的数。它的进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，由德国数学家、哲学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646 — 1716）发现。

当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，数据在计算机中主要是以补码的形式存储的。计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用“1”来表示“开”，“0”来表示“关”。

实际上，二进制表示两种状态，除了计算机，它在逻辑运算等诸多领域也有广泛应用。

And does it not seem hard to you, /这是不是对你太过痛苦，

When all the sky is clear and blue, /天空还是那么蔚蓝亮堂，

And I should like so much to play, /我多么想嬉戏玩耍，

To have to go to bed by day. /却要在白天睡觉上床。

这里用了英文诗轻重两音节的抑扬格。这种节奏带来了一种活泼的旋律。英文的韵格还有重轻两音节的扬抑格、两轻一重的抑抑扬格、一重两轻的扬抑抑格等。

著名英国诗人济慈（John Keats，1795—1821）在《希腊古瓮颂》（Ode on a Grecian Urn，笔者译）里的名诗句：

Heard melodies are sweet, but those unheard are sweeter.

听得到的乐声虽好，但听不见的却更美妙。

这句的前半句应用的是抑扬格，而后半句是抑抑扬抑扬格。

重读音节和非重读音节按规律交替出现，可产生或跌宕起伏、或曲折绵延等的艺术效果和美感。如英国剧作家、诗人莎士比亚（William Shakespeare，1564—1616）在《麦克白》（Macbeth，笔者译）中通过运用语言节奏中的扬抑格来传递女巫的咒语的那种不祥和怪异的感觉：

Double, double, toil and trouble; fire burn and cauldron bubble.

加倍,加倍，麻烦和糟糕，烧伤和汽锅泡泡。

类似地，我们用1 表示“重音”，0表示“轻音”，那么上面的三例英文诗的韵格又可呈现为：

01010101

010100101

1010101010

对仗又称队仗、排偶，它是把同类或对立概念的词语放在相对应的位置上使之出现相互映衬的状态，使语句更具韵味，增加词语表现力。清代学者车万育（1632—1705）在其著作《声律启蒙》中向初学者介绍了对仗的口诀，我们挑其中一段来体会对仗的美：

云对雨，雪对风，晚照对晴空。来鸿对去燕，宿鸟对鸣虫。三尺剑，六钩弓，岭北对江东。

对仗的运用有宽有严，因而出现了不同类型，在内容上则有言对、事对、正对、反对等名目。相对来说，格律诗中对仗的要求最为严格：首先上下两句平仄必须相反；其次相对的句子句型应该相同，句法结构也要一致，如主谓对主谓，偏正对偏正，述补对述补等； 再次，词语所属的词类（词性）要相一致，如名词对名词，动词对动词，形容词对形容词等；最后，词语的“词汇意义”也要相同，至少要相近，如均属天文、地理、自然、人物等某一类。

常见的律诗要求其中间两联（颔联和颈联）是对仗的，如上文提到的李商隐的《无题》，在其颔联和颈联中，“春蚕”对“蜡炬”、“到死”对“成灰”、“丝方尽”对“泪始干”、“晓镜”对“夜吟”、“但愁”对“应觉”、“云鬓改”对“月光寒”,十分工整。

词有时也有对仗的要求，但平仄仍要满足词的格律，对应者不一定平仄相对，所以在词中我们称其为“对偶”。《沁园春》是常见的词牌名，其词调以苏词为正体，前段自第四句、后段自第三句起句式相同，一个领字，领以下四个四字句，可两句为一对偶，可四句为两个对偶，亦可前两句对偶，后两句不对偶，但以对偶为工。

以毛泽东（1893—1976）《沁园春·雪》为例：

北国风光，千里冰封，万里雪飘。

望长城内外，惟余莽莽；大河上下，顿失滔滔。

山舞银蛇，原驰蜡象，欲与天公试比高。

须晴日，看红装素裹，分外妖娆。

江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。

惜秦皇汉武，略输文采；唐宗宋祖，稍逊风骚。

一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕。

俱往矣，数风流人物，还看今朝。

其中,“长城内外，惟余莽莽” 对“大河上下，顿失滔滔”，“秦皇汉武，略输文采”对“唐宗宋祖，稍逊风骚”，甚为工整。

诗词中的“对仗”与数学中的“映射”理念相对应。如果两个集合具有某种共同的特性，同时又分别属于平、仄声调，那么这两个集合间存在的映射关系，即我们提到的诗词中的“对仗”。例如一个集合包含“风、云、雷、阳”皆为平声的自然现象名词，另一集合包含“雨、电、雪、雹”都是仄声的自然现象名词，前一个集合的元素就可以和另一个集合的元素建立映射关系“对仗”。当然，其中成对的集合也可以是同字数、同结构的短语，如主谓短语、动宾短语等；两个集合语义上的关系，可以是同义，也可以是反义。

用典指引用古籍中的故事或词句，即引经据典。

由于诗歌十分精练，若想要在较少的字数里表达更深层次的意思，就少不了用典。在我国古典诗歌中，用典是一种十分常见且尤为重要的表现手法。

用典的方法很丰富，如正用、反用、直用、曲用。诗人对典故掌握得越多，在用典的过程中就越能随心所欲。巧用典故可以数学档案

映射指的是两个集合之间元素相互“对应”的关系。换句话说，就是用一种规则，把从属于两个不同集合的元素关联起来。使诗句或典雅风趣，或含蓄有致，或寓意深远，从而充分表达诗意深层次的内涵。古代文学理论家刘勰（约465—约532）在《文心雕龙》里诠释“用典”为“据事以类义，援古以证今”。用现代的语言来说，就是“以古比今”、“以古证今”、“借古抒怀”。诗词用典往往引申了更深的一层或几层含义。以毛泽东的《七律·人民解放军占领南京》为例：钟山风雨起苍黄，百万雄师过大江。虎踞龙盘今胜昔，天翻地覆慨而慷。宜将剩勇追穷寇，不可沽名学霸王。天若有情天亦老，人间正道是沧桑。

这首律诗每句都有典：“苍黄”、“雄师”、“虎踞龙盘”、“天翻地覆”、“穷寇”、“霸王”、“天若有情天亦老”、“正道”、“沧桑”皆为典故，其中“虎踞龙盘”和“天翻地覆”不仅有典故，还是成语。

以颈联中“穷寇”、“霸王”展开分析。“穷寇”之典故出自《孙子·军事》：“穷寇勿迫，此用兵之法也。”诗人反用典故，誓言穷灭残敌。“霸王”指楚霸王项羽，《史记·项羽本纪》记载了项羽在鸿门宴优柔寡断，即便项庄舞剑，也没杀了刘邦，最后反而导致其在乌江自刎的故事；诗人借此强调不能给敌人以卷土重来的任何机会。短短一联就表现出了诗人将革命进行到底的决心，其坚如磐石的意志和力量亦喷薄而出。

用数学的语言，“典”实际上就是“特征”，对应着历史上著名的历史事件或人物，用以描述诗词中所要表达的意思。例如，上面提到的“霸王”，其含义远远超过字面本身的意思，它早已成为失败英雄的代名词，在不同的语境下，还可引申出“悲壮别姬”、“先赢后输”、“刚愎自用”、“无颜见江东父老”等语义。

韵律、对仗、平仄等这些严格的诗文规律，对于计算机来说是很容易“掌握”的，毕竟它们有模板或者说有规律可循，与计算机语言关联甚密。人们只需将自己想要作诗的“元素”输入计算机，系统便可创作出相关诗文。例如，在某网站中输入“二”，计算机系统即生成一首七绝：菊花里外寿无穷，自谓香街碧草芳。六夜四番长见画，密云之曲喜非常。数学档案

特征是一个客体或一组客体特性的抽象结果。特征是用来描述概念的。任一客体或一组客体都具有众多特性，人们根据客体所共有的特性抽象出某一概念，该概念便成为了特征。在数学中，特征是经典特征函数在局部域上的一种推广。数学中关于特征的有特征值、特征函数和特征线等。

这首诗的平仄、押韵都可以，但语义不清，意境平平。尽管计算机在诗文“规范”上表现突出，但在传递思想及情感上却逊色不少，在用典方面也很难通人达意、自如贴切。正如前文所说，在诗歌中，节奏和韵律是骨架，辞藻是衣裳，而用典是气质、意境是灵魂。骨架可以分析构造，衣裳可以裁剪修饰，但气质却难以模仿，灵魂“意境”更是难以“言传”。

这几年，人工智能（AI）写诗是个热门话题，越来越多的AI通过了图灵测试。AI写诗作画本质上是通过以数学为基因的程序去“创作”，所以这是数学和艺术相结合的很好范例，而其蓬勃发展使得艺术和数学的关系进一步密切。AI具有深度学习的能力，它可以在已有的诗歌数据基础上模拟写诗，不断进步，逐渐形成 “自己的”写诗风格，通过关键词或照片的提示，“创作”出相关主题的诗，而且写诗速度极快。AI是人类智力的扩展工具，这点大家已不再怀疑，但它到底能不能超越人类的“创作特权”，已是哲学范畴的问题， 这里就不作进一步讨论。数学档案

图灵测试由英国数学家图灵（Alan Mathison Turing，1912—1954）发明，指测试者与被测试者（一个人和一台机器）隔开的情况下，通过一些装置（如键盘）向被测试者随意提问。进行多次测试后，如果有超过30%的测试者不能确定出被测试者是人还是机器，那么这台机器就通过了测试，并被认为具有人类智能。

其实，在中国传统文化中与数学相关联的并非只有诗歌，成语、对联和谜语中所包括的数学元素和数学理念也很多。从某种角度上说，作对子、猜灯谜不仅是文人雅士的游戏，它们还是作诗赋词的基本功。

成语是中国传统文化的一大特色，有固定的结构形式和固定的说法，多为四字，亦有三字、五字，甚至是七字以上，比如：探玄珠、华而不实、覆巢无完卵、风马牛不相及、春蚕到死丝方尽、燕雀安知鸿鹄之志等。

多数成语是从古代相承沿用下来的，在用词方面往往不同于现代汉语，它代表了一个故事或者典故。有些成语来自古典诗歌，所以我们还可以称其为典故表征，或是微型诗句。比如，成语“曲径通幽”、“万籁俱寂”正出自唐代诗人常建（708 —？）的题壁诗《题破山寺后禅院》：清晨入古寺，初日照高林。曲径通幽处，禅房花木深。山光悦鸟性，潭影空人心。万籁此俱寂，但余钟磬音。

成语与数学间的关系同样值得玩味。若从典故的角度来说，成语实则与数学“特征”相关；若从语言表述上来看，诸多成语中都包含了数学元素，可谓妙趣横生。

以四字成语为例，其中嵌入数字的成语就有很多。数字在其中并不坐实，却起到多寡、对比等非数字无法起到的作用和效果，比如：万古千秋，千锤百炼，百密一疏，一心两用，两面三刀，三邻四舍，四分五裂，五颜六色，七情六欲，七手八脚，八河九江，九儒十丐，十不当一，化整为零。

同样，数学中的几何元素也时常出现在成语之中，比如：外圆内方，拐弯抹角，中规中矩，横冲直撞，飞针走线，以点带面，浑然一体。这类成语因其形象饱满，往往可直抒其意。细细品味，果真有滋有味。

对联又称对偶、门对、对子、楹联等，要求对仗工整、平仄协调、结构相同。数字对联是对联的分支，数学趣味盎然，有些数字绝对流传至今仍无人能破。传说明代江南才子祝枝山（本名祝允明，1460—1526）就曾经出过这样一个上联:三塔湾前三层塔，塔塔塔。

开始有人觉得不难，立刻应对：五台山上五座台

这个人对完后才发现自己上当了，后面的“塔塔塔”无法对了。若后面接“台台台台台”，岂不是多出两个字？若直接对“台台台”，那与前面的数字“五”又不相称了！这就是数字对联的陷阱，也是数字对联的乐趣。

中国古代留下了大量优美的数字对联，下面仅采几支供欣赏。

一叶孤舟，坐二三个骚客，启用四桨五帆，经由六滩七湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟！

十年寒窗，进九八家书院，抛却七情六欲，苦读五经四书，考了三番二次，今天一定要中！

这副数字对联，对仗巧妙，意思畅通，上联从一到十，下联从十到一，每联的数字之和都是55。三星白兰地五月黄梅天

这是一副著名的“无情对”。这种对联讲究上联下联字词相对，对得工整；而内容要各讲各的，绝不相干。这里，“三星白兰地”与“五月黄梅天”上下联字字相对，上联讲酒名，下联指天气，内容还真是驴唇不对马嘴。无情对可谓是对联中的一朵奇葩，除了上述的文字要求外，它还要求对对者信手拈来，立即回对，也正因此，这种对联往往给人以奇谲难料之感，回味不尽之趣。

童子看椽，一二三四五六七八九十；

先生讲命，甲乙丙丁戊己庚辛壬癸。

这副对联对仗相当工整，将数字一到十与天干对应，意思自然平实，结构对称合缝，把先生规矩刻板讲课、小童无聊望顶数数的情形刻画得生动有趣。

一声不响，二目无光，三餐不食，四体不勤，五谷不分；六神无主，七窍不通，八面威风，九坐不动，十足无能。

这是一副奇特的数字对联，上联从一到五，下联从六到十，通篇基本是四字词语，巧妙地应用一到十的数字把泥菩萨的形象刻画得惟妙惟肖，具有一定的反迷信思想。不仅如此，它还是一个数字谜语，谜底是“泥菩萨”。

谜语用数学的话来说就是密码。在通信和军事上，密码的重要性毋庸置疑。通信中的密码只希望收发人懂而不希望其他人破译，所以谜面很可能是一堆乱码；而在普通大众的生活中，密码则是用于娱乐的谜语，由出谜者公开招募破译者，所以谜面相对清楚，是提供解谜线索的主要来源。一般的谜语只是把谜底换成数学档案

密码学是研究如何隐密地传递信息的学科，它研究编制密码和破译密码的技术。研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学；两者总称为密码学。密码算法是用于加密和解密的数学函数。另一种说法作为谜面让读者猜谜底，但好的谜面很可能将猜谜者的思路引向歧途。

谜语源自中国古代民间的口头文学，后经文人加工、创新，进而有了一套严格的、有规则的系统密码，即文义谜。人们常说的灯谜，指的就是文义谜。灯谜是写在彩灯上的谜语，供人猜射。灯谜又称文虎，故猜灯谜亦称打虎。灯谜是中国特有的文化现象，其谜面常常是一句成语或者一句诗词，而谜底的范围则相当广泛，包括单字、词语、词组、短句等。

从数学的角度看，谜底和谜面之间存在某种数学映射，人们要做的就是尝试各种映射函数，找到那个特定的映射函数，并通过这个映射函数找到谜底。谜面有歧义可以增加灯谜的难度和趣味，但一般要求对应的谜底是唯一的。

灯谜还有许多谜格，谜格可以看成对谜底的进一步加密，也可以看成限制了上述映射函数的特征和范围，类似于数学映射中的限制条件和允许集合。要猜谜的人，按照规定的格式，把谜底字的位置、读音、偏旁进行一番加工处理后，来扣合谜面。

猜谜不是本书的主要目的，所以书中仅内置一些和数学有关的谜语（部分谜语为笔者所制），请读者来猜。 祝大家“闯关”成功。当然，所有谜底都可在本书内找到。

谜语是非常依赖于语言的，这点毋庸置疑。各种语言都有自己的谜语和解谜方式。例如：“What letter is an animal?” 这就是简单的英文字谜，其谜底是“B”（bee）。

趣味盎然的英文字谜有很多。丹·布朗（Dan Brown，1964 — ）的畅销小说《达·芬奇密码》（The Da Vinci Code）的开篇场景是这样的：法国巴黎卢浮宫博物馆的馆长被人暗杀，以四肢张开的形式躺在卢浮宫里，他的身边留下了一串数字和两行诗句：13-3-2-21-1-1-8-5O, Draconian, devil!（啊，严酷的魔王！）

Oh, Lame Saint!（哦，瘸腿的圣徒！）

这串数字和两行文字看似是馆长在弥留之际的随意涂鸦，实则却隐藏着他死亡的重要线索。而谜底即真相。

13-3-2-21-1-1-8-5这串数字耐人寻味，这里有什么线索可以挖掘吗？其实，这些数字是一些很特别的数字，同一个著名的数列有关，这个数列就是具有“黄金分割数列”之称的斐波那契数列。斐波那契数列是以意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，约 1170 —约1240）的名字命名的，相传该数列是斐波那契在解一个有关兔子繁殖的问题时发现的，故又称“兔子数列”。

如果一开始有一对兔子，它们每月生育一对兔子，小兔子在出生后一个月又开始生育，且繁殖情况与最初的那对兔子一样，那么一年后（其间，没有死亡发生）有多少对兔子？

下图黑色的圆圈表示已成熟（可繁殖和生育）的兔子，白色的圆圈表示的是小兔子。从中我们可以发现，最右边这一列数字是有规律的。第一个数和第二个数为1，之后的每一个数为前两个数之和。比如，六月份的兔子数量为四月份和五月份兔子数量之和，即8=5+3。

有了这个规律，兔子数量的问题就很容易解决了：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144。答案为 144 对。数学档案

数列，即按一定次序排列的一列数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。如果数列中的项等差增大，称为递增数列；如果项等差减少，则称为递减数列。

通项公式，即用来表示数列中第n项与序号n之间关系的公式。斐波那契数列的通项公式为：

上述数列就是斐波那契数列，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。有意思的是，随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……，而这也是斐波那契数列被誉为黄金分割数列的原因。

回过头来，我们来看斐波那契数列的前八项（1-1-2-3-5-8-13-21），没错，那串耐人寻味的数字就是斐波那契数列的前八项，只不过排列方式被打乱了。这暗示着什么？是否地面上数字下的两行文字也应该重新排列？令人惊讶的是，两行诗句重排的结果竟是：

Leonardo da Vinci!（列奥纳多·达·芬奇！）

The Mona Lisa!（蒙娜丽莎！）

这就指向了下一个线索就是卢浮宫的镇馆之宝：名画，达·芬奇的《蒙娜丽莎》！小说中的主人公也正是由此开始，带领读者进入接二连三的破谜之旅。

谜语不但与数学有着千丝万缕的关联，更是诗人之所爱。下面，我们一起品读一下我国宋代大才女朱淑真（又称朱淑贞，约1135—约1180）的《断肠谜》：

下楼来，金钱卜落；

问苍天，人在何方；

恨王孙，一直去了；

詈冤家，言去难留；

悔当初，吾错失口；

有上交，无下交；

皂白何须问；

分开不用刀；

从今莫把仇人靠；

千里相思一撇消。

朱淑真自幼聪明颖慧、博通经史，但一生爱情失意，最终抑郁早逝。这首《断肠谜》正是她对丈夫无比绝望之后写下的诗词，其伤心决绝的意念仿佛可透纸而出。有趣的是，诗中每一句都是一个字谜，谜底分别是“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十”这10个数字。全诗谜面构思巧妙，意思亦贯通流畅。字谜采用的基本上是消减法，例如，第一句“下”去掉“卜”就是“一”。这首诗流传至今，部分人已把它用作元宵节的灯谜，猜谜的同时也不免让人感叹：即便作者才情八丈，也只落得个伤情落寞的结局。“谜意”与“谜趣”自在解谜者心，而就“谜”本身来说，则蕴意深远，诸多诗人也曾以此为题，直抒胸臆。下面，我们再来欣赏国内外两位女诗人席慕蓉（1943— ）和狄金森（Emily Dickinson，1830 —1886）关于谜语的佳作。《谜题》

当我猜到谜底，

才发现，

一切都已过去，

岁月早已换了谜题。《我们能猜的谜》（The Riddle We Can Guess，江枫译）

The Riddle we can guess /我们能猜的谜

We speedily despise — /我们很快抛弃—

Not anything is stale so long /世上将没有陈腐，只要

As Yesterday's surprise — /昨日尚被认为神奇—猜 谜

1. 一加一不是二（打一字）

2. 一减一不是零（打一字)第二章数字登诗妙趣花

数字是文字的一部分，也是数学和算术的基础，它传递着多寡、对称和秩序等重要信息。有些数字在大多数情况下为“虚指”。比如，“八面玲珑”中的“八”实为“多”的意思。“零敲碎打”的“零”取的是“非整”之意。因此，数字入诗，或可鲜明地说明大小多少等真切之意，或可用其虚指之意夸张绘出事物的极端之妙，使诗歌本身的叙述性、趣味性、灵活性更胜一筹。下面，就让我们共同赏析诗人是如何巧妙地将数字运用到诗中，最终使全诗妙趣别具，平添许多艺术魅力的吧。

七月流火，九月授衣。

一之日觱发，二之日栗烈。

无衣无褐，何以卒岁？

三之日于耜，四之日举趾。

同我妇子，馌彼南亩，田畯至喜。

这首诗出自《诗经· 豳风· 七月》，可能是最古老的数字诗。它通过数字将时间的顺序与百姓的作息联系得丝丝入扣，充满生活情趣。用现在的白话说是：

七月大火西落，九月妇女缝衣。

十一月北风猛吹，十二月寒气劲袭。

没有好衣粗衣，怎能度过年底？

正月始修锄犁，二月耕种下地。

带上妻儿，送饭阳地，田官欢喜。

再来欣赏一首“一字诗”：

一篙一橹一渔舟，一丈长杆一寸钩。

一拍一呼复一笑，一人独占一江秋。

这首诗名为《钓鱼绝句》，是清代大才子纪晓岚（1724—1805）对钓鱼人恣意大自然、忘情垂钓的生动写照。相传，清代乾隆皇帝在一个秋日出游，想难为跟班的纪晓岚一下，就随手指向远处的一个钓鱼翁，要纪晓岚写一首镶嵌十个“一”字的绝句。纪晓岚略加沉思，就吟出这首描绘秋钓的《钓鱼绝句》。乾隆皇帝不禁拍案叫绝，亲自酌酒赏给纪晓岚。

这首绝句中每句都有 “一”，且每句中的“一”用法都不同，第一句中的“一”是可数物件的量词，为准确应用；第二句中的“一”是量度的量词，为近似应用；第三句中的“一”是动作量词，为借延应用；第四句中的“一”是虚幻量词，为抽象应用。四种用法把描景层层推进，从用物到人物，从静态到动态，由个体再到整个大环境，尤其是最后一句，一下子把整首诗的意境提升到了天人合一的境界，好一幅由点到面的自然画卷！一片两片三四片，五片六片七八片，九片十片千万片，飞入芦花都不见。

这是民间流传甚广的一首打油数谜诗。有关作者是谁存在多种说法，有说是乾隆，有说是纪晓岚，也有说是刘墉，因此也演绎出许多名人轶事和趣闻笑谈来。这首诗的谜底是“雪花”。芦花秋季开花，一直延伸到冬季，盛花期白色的花如雪随风飘扬，如果此时飘起小雪，的确混入芦花不可分。严格地说，这首诗并不满足绝句的格律要求，但读来有一种步步上升，最后豁然开朗的意境，隐含着有形到无形、有限到无限的大道理，所以有其强大的生命力。其中数字的迭加回复，宛如一个递增数列，对营造整首诗的意境起到了不可或缺的作用。一望二三里，烟村四五家。门前六七树，八九十枝花。

这首五言绝句是北宋哲学家邵雍（1011—1077）的作品《山村咏怀》，又叫《一望二三里》。还有一个版本是“一望二三里, 烟村四五家。亭台六七座, 八九十枝花。” 这首格律严谨的绝句非常适合儿童入门咏读，其内容浅显易懂、合辙上口、节奏明快，容易记诵，曾入选小学语文教材。“一”到“十”的数字嵌入诗中,组合成一幅静美如画的山村素描图，质朴淡雅，令人耳目一新。这里的数字是虚指，可以让孩子开始接触数字的抽象意义。

明代南海才子伦文叙（1467—1513）为苏东坡《百鸟归巢图》题了一首数字诗：天生一只又一只，三四五六七八只。凤凰何少鸟何多，啄尽人间千石谷！

这首诗的奇特之处在于它蕴含了一道数学运算题。“天生一只又一只”，是1＋1＝2。“三四五六七八只”，可破解为3×4＝12，5×6＝30，7×8＝56。四组数字相加之和，正好是100只。这首诗有如智力游戏，启人以智。

由于数字有多个，因此数字诗的形式多样，半字诗也属其中。“半”是两种状态的过渡，明代诗人梅鼎祚（1549 —1615）的《水乡》，四句诗文共二十四字，有八个“半”字，硬是把一幅半隐半现、烟雨朦胧的江南水乡春景图描绘得惟妙惟肖:半水半烟著柳，半风半雨催花；半没半浮渔艇，半藏半见人家。

无独有偶，要说中庸，“半”字为重，清代学者李密庵《半半歌》不仅写景，也写理：看破浮生过半，半之受用无边。半中岁月尽幽闲，半里乾坤宽展。半郭半乡村舍，半山半水田园。半耕半读半经廛，半士半姻民眷。半雅半粗器具，半华半实庭轩。衾裳半素半轻鲜，肴馔半丰半俭。童仆半能半拙，妻儿半朴半贤。心情半佛半神仙，姓字半藏半显。一半还之天地，让将一半人间，半思后代与沧田，半想阎罗怎见。酒饮半酣正好，花开半时偏妍。帆张半扇免翻颠，马放半缰稳便。半少却饶滋味，半多反厌纠缠。百年苦乐半相参，会占便宜只半。

中国诗词中有一种较为特殊的体裁名为回文诗，又称回环诗。其应用了回环往复的修辞手法，如同数学中的周期函数一般，读起来绵延无尽，予人以强烈的叙事效果。（回文诗的几何结构，我们将在“诗里乾坤几何佳”这章里作进一步介绍。）下面我们来欣赏一首别有风味的数字回文诗歌：一别之后，二地相思。只说是三四月，又谁知五六年。七弦琴无心弹，八行书不可传。九曲连环从中折断，十里长亭望眼穿。百思想，千系念，万般无奈把郎怨。万语千言说不完，百无聊赖十倚栏。重九登高看孤雁，八月中秋月圆人不圆。七月半，烧香秉烛问苍天。六月伏天，人人摇扇我心寒。五月榴花如火，偏遇阵阵冷雨浇花端。四月枇杷黄，我欲对镜心意乱。三月桃花随流水，二月风筝线儿断。噫！郎呀郎，巴不得下一世你为女来我为男。

这首数字回转体的诗歌传说是卓文君写给司马相如的《怨郎诗》。卓文君和司马相如有一段动人的爱情故事。景帝中元六年，被临邛县令奉为上宾的清贫才子司马相如到蜀地参加富豪卓王孙的宴请。司马相如仪表堂堂，风度翩翩，当庭弹唱一曲《凤求凰》助兴：“凤兮凤兮归故乡，游遨四海求其凰。时未遇兮无所将，何悟今兮升斯堂。有艳淑女在闺房，室迩人遐毒我肠。何缘交颈为鸳鸯，胡颉颃兮共翱翔。”司马相如精湛的琴艺，博得众人好感，更使那隔帘听曲的卓王孙之女卓文君为其倾倒。卓文君是远近闻名的美貌才女，因丈夫刚逝世不久而回娘家守寡，当她听到司马相如的琴声时，如痴如醉，一见倾心。其后二人双双产生了爱慕之情，并约定私奔。一天夜里，卓文君没有告诉父亲，就私自去找司马相如。他们一起回到成都成亲。这就是有名的“文君夜奔”的故事。

但是，这个故事的结局并非“王子和公主从此过上了幸福的生活”。二人私奔后，卓文君不得不面对家徒四壁的处境，于是开起了酒肆，自己当垆卖酒，最终迫使爱面子的父亲承认了他们的爱情。后来汉武帝下诏来召，相如与文君依依惜别。岁月如梭，司马相如别娇妻去长安做官已五年。文君朝思暮想，盼望丈夫的家书，可万没料到盼来的却是写着“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万”13个数字的家书。文君反复看信，明白丈夫的意思。数字中无“亿”，表明相如已对她无“意”。文君伤心不已，挥笔写下上面的《怨郎诗》。这首诗除去文字优美、意象生动外，数字的用法更为精湛。首先卓文君将司马相如家书中的13个数字嵌于诗中，其情感顺沿数字的递增而逐渐升温，随之通过数字的回转，达到一吁三叹、轮回周复、诉尽相思之妙。然而一周期过后，完成了从“一别”到了“一世”的大回环，亦从相思地起点提到了生命的高度。相传司马相如读过此诗后黯然落泪，悔恨自己的无情，遂驷马高车，亲自回乡把卓文君接往长安同住。

数字在诗歌中的作用是跨越语言的。在英文诗歌中，也不乏“数字登诗”的例子。例如：

There was an Old Man with a beard, /一位老人胡子茂，

Who said, “It is just as I feared! /他说，“我只是心焦！

Two Owls and a Hen, /两只猫头鹰和一只母鸡，

Four Larks and a Wren, /还有四只云雀加一鹪鹩，

Have all built their nests in my beard!”/都在我的胡子上做巢！”

这是爱德华·利尔（Edward Lear，1812—1888）所写的五行打油诗（笔者译），诗人以数字一、二、四，在大小多少里开了个玩笑，讲了个诙谐幽默的故事。这么多鸟儿要在老人茂盛的胡须中做鸟巢，真有点匪夷所思，这竟然让这位老人烦恼心焦。

诗配上音乐或者现成的曲填上词就是歌曲。中国古代诗词多数都是有曲谱的，只可惜曲谱已几近失传，我们只能通过平仄来朗读。如此说来，部分“歌词”也为诗歌。下面这首脍炙人口的音乐剧《音乐之声》（Sound of Music）的歌曲Do-re-mi的歌词与数学有关（音阶符Do-re-mi-fa-so-la-ti在简谱中对应的是1-2-3-4-5-6-7），并且具有诗歌的美感，作者玛利亚·弗朗西斯卡·冯·特拉普（Maria Franziska von Trapp，1905—1987）巧妙地将每个音节符对应一个同音的英文词，使得小朋友也能很容易记住它，然而这种巧妙却是没法翻译的。现在让我们来一起感受一下吧：

Let's start at the very beginning

A very good place to start

When you read you begin with A-B-C

When you sing you begin with do-re-mi

Do-re-mi, do-re-mi

The first three notes just happen to be

Do-re-mi, do-re-mi

Do-re-mi-fa-so-la-ti

Let's see if I can make it easy

Doe, a deer, a female deer

Ray, a drop of golden sun

Me, a name I call myself

Far, a long, long way to run

Sew, a needle pulling thread

La, a note to follow Sew

Tea, a drink with jam and bread

That will bring us back to Do (oh-oh-oh)

Do-re-mi-fa-so-la-ti-do So-do!猜 谜

1. 九十九（打一字）

2. 灭火（打一字）

3. 其中（打一字）

4. 7/8（打一成语）

5. 十八斤（打一大学数学名词）

6. 一丝不乱（打一大学数学名词）

7. 天下共富（打一大学数学名词）第三章灵巧诗词题算用

算题诗，顾名思义就是隐含数学题目的计算类诗歌。这类诗歌常常融文、史、数、谜为一体，妙趣横生、朗朗上口，其以口口相传或文字记载的方式久为流传。《九章算术》、《孙子算经》和《算学宝鉴》等我国极为重要的早期数学文献中也不乏算题诗的身影，这种方式让数学具有了更强的传播性。我国古代数学家，如南宋的杨辉，元代的朱世杰、丁巨、贾亨，明代的刘仕隆、程大位等人，都曾尝试用歌谣、口诀和诗歌等形式提出并推广诸多数学问题及数学算法。尽管当时人们并不知道应用近代数学的方法来解决诸多的数量关系问题，但古人已经积累了这类问题的相当程度的解法。这些解法体现了古人相当高的智慧，当然,提出这些算题所需的智慧更高。

很多诗歌并不追求解答，而是通过设问和数学营造一种气氛。其中最有名的诗应该是唐朝孟浩然（689 —740）的《春晓》 ：春眠不觉晓，处处闻啼鸟。夜来风雨声，花落知多少。

全诗自然天成，景晰情浓。尽管没有答案，但这种说不尽的爱、算不出的情，恰恰烘托出此诗的韵味醇永。

下面，我们收集了一些算题诗的沧海散珠，并用今天的数学来破解这些诗题，虽然这些诗歌涉及的数学领域并不全面，但也已星光灿烂。

算算是多少

在我国传统文化中，有关算题的文学表达形式是多种多样的，对联、歌曲和诗词均占据着重要地位。

乾隆五十年（公元1785年），皇帝喜添五世元孙，为表皇恩浩荡，其在乾清宫如期举行了规模空前的千叟宴。皇亲国戚、文武大臣等共聚一堂，其中也有从民间奉召进京的老人。相传，席间被推居上座的是一位长寿老人，年高141岁。乾隆帝和纪晓岚即兴为这位老人作了一副对联：花甲重逢，又加三七岁月。古稀双庆，更多一度春秋。

这副对联工整优美，“花甲”（六十）对“古稀”（七十）、“重逢”（×2）对“双庆”（×2）、“又加”（+）对“更多”（+）、“三七”（21）对“一度”（1），“岁月”（时间）对“春秋”（时间）。平仄也相对。更值得一提的是，这里的上、下联都隐含一道算术题，上联是60×2+21=141，下联是70×2+1=141。答案均为141岁，堪称绝对。

明代著名画家、书法家、诗人唐寅（1470—1524）有一首《七十词》算术算得幽默又感慨，人生的短暂与不易透纸而出：

人生七十古稀，

我言七十为奇。

前十年幼小，后十年衰老。

剩下五十年，一半又在夜里过了。

算来只有二十五年，受尽多少奔波烦恼！

需要澄清的是，据史料记载，唐寅享年仅54岁，所以声称唐寅在《七十词》中感慨自己活过“古稀”，唏嘘人生几何的解读是不当的。

在歌剧《刘三姐》中，刘三姐与三位秀才（陶、李、罗）对唱，刘三姐巧妙应对，其中，下面这一段尤为精彩：罗秀才:小小麻雀莫逞能，三百条狗四下分。一少三多要单数，看你怎样分得清？

刘三姐:九十九条打猎去，九十九条看羊来。九十九条守门口，还剩三条狗奴才。

在这里，罗秀才提出了一个非常有趣的问题，即如何把300分成4个单数之和，其中3个较大的数字要求相等。其实，这个问题属于数学中很常见的“拆数问题”。让人欢欣雀跃的是，刘三姐不仅立即唱出了99、99、99和3的分法，还借用“三条”狗奴才，一语双关地损了一把向不良财主卑躬巴结的秀才们。古题用代数

代数方程方法可能是算题诗中用得最多的解题方法了。不过古人不懂代数，要想解出这类诗题还真颇为挑战智慧。以《孙子算经》中有名的鸡兔同笼趣题为例：

今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

这道题的传统解法有许多，比如：

［砍足法］假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则鸡就成“独脚鸡”，兔就成“双脚兔”。这样一来，鸡和兔的脚的总数就由94只变成94÷2 = 47（只）。如果笼子里有一只兔子，那么脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总数47与头的总数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12（只）。显然，鸡的只数就是35－12＝23（只）。

［假设法］假设全部是鸡，头有35个，则脚应有35×2 = 70（只），与题面中脚数相差 94 -70 = 24（只），这应是兔多出的脚，每只兔比每只鸡多2只脚，所以，兔有24÷2 = 12（只），鸡有数学档案

方程是指含有未知数的等式。是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。求方程的解的过程称为“解方程”。未知数是代数的方程称为代数方程。35－12＝23（只）。

若采用代数方程法，则解题过程就相对简单多了:

［方程法］设兔有x只，则鸡有35 -x只，由题意可知4x +（35-x）×2 = 94，解得 x=12，鸡有 35 － 12 ＝ 23（只）。巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。三百六十四只碗，看看用尽不差争。三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹。请问先生名算者，算来寺内几多僧。

相传，这是清代诗人徐子云留下的算题诗。用代数方程的方法解：设僧人数量为x,由诗语可知碗有364只，3人共用一碗饭，4 人同食一碗羹，可列关系式为 x/3 + x/4 = 364,解得 x = 624。所以该古寺共有僧人624名。巧诗解同余

算题诗中常常涉及数学中的同余问题。颇有代表性且流传甚广的是，我国明代数学家程大位（1533—1606）在《算法统宗》中的这首诗：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。

试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]

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