作者：秦赟,闫森
出版社：安徽人民出版社
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数学教学的趣味知识设计试读：
前言
数学是一门逻辑性非常强且非常抽象的学科，要让数学教学变得生动有趣，关键在于教师要善于引导学生，精心设计课堂教学，提高学生的学习兴趣。在数学教学中，教师应当采取多种方法，充分调动学生的好奇心和求知欲，使学生在每一节课中都能感受学习的乐趣、收获成功的喜悦，从而提高学生自主学习和解决问题的兴趣与热情。只有这样，才能使学生愉快轻松地接受数学知识，并取得良好的教学效果。
有人说，数学枯燥、乏味，学习时没有意思，其实，这是对数学的误解。只要你真正懂得了数学，你就会知道，数学是一个最富魅力的学科。它所蕴含的美妙和奇趣，是其他任何学科都不能相比的。茫茫宇宙，滔滔江河，哪一种事物能脱离数和形而存在？是数、形的有机结合，才有这奇奇妙妙千姿百态的大千世界。数学的美，质朴，深沉，令人赏心悦目；数学的妙，鬼斧神工，令人拍案叫绝！因为它美，才更有趣；因为它有趣，才更显得美。当然，这种美的感觉，只有当你真正认识它后才能理解。懂得了这个道理，你才会有学习数学的动力，才会走进数学爱好者的行列。
为此，我们特地编写了这套“数学教师的趣味教学设计与创新”丛书，包括《数学教学的趣味奥秘设计》、《数学教学的趣味数独设计》、《数学教学的趣味故事设计》、《数学教学的趣味运用设计》、《数学教学的趣味题型设计》、《数学教学的趣味之谜设计》、《数学教学的趣味知识设计》、《数学教学的趣味名人设计》、《数学教学的趣味现象设计》、《数学教学的趣味游戏设计》共10册，丛书一方面分别对相关数学基础知识的趣味教学设计与创新进行了全面指导，另方面进行了举例示范，目的是使广大师生在理论指导下进行教学和运用，逐步提高数学知识素养与兴趣。因此具有很强的系统性、实用性、实践性和指导性，不仅是广大师生教学指导的最佳读物，也是各级图书馆珍藏的最佳版本。
第一章 数学教学的趣味知识运用
1.数学教学的趣味性原则
在很多人的观念里，数学的教学都是很枯燥乏味的。不可否认地说，这种传统的数学教学观念影响了很多人。包括老师、学生家长甚至学生。确实，在教师们教材进行改进之前，数学书打开就尽是些算式、公式、符号和练习题。在教师们还是小学生的时候，就没有去想过这数学课怎样上得有趣生动。教师们就只想着这数学就是听讲例题，然后人量地练习，成绩就会好了。然而，随着时代的进步、社会的发展，各种先进的理念不断地进入教学领域。这为教师们教育工作者带来了更大的教学压力但也带来了更大的学习空间。
大家都知道，任何科目的学习，如果学生学习起来感兴趣，那么教学是一件十分轻松愉快的事情。应该说兴趣是学生学习的最人动力！那么，数学的“教”和“学”能不能做到生动、有趣味，学生乐意学习呢？
一、内容趣味吸引学生
在教学的过程中，要吸引学生来听学习的内容。这就意味着教师们学习的内容就要让他们觉得有趣。怎样让他们觉得有趣呢？作为学生，他们感兴趣的是贴近他们生活、和他们自己有着密切联系的问题。也许就有人会问，这数学和教师们的生活好像没什么联系，也没多大用啊？确实，教师们不认真去想，还真觉得数学不在教师们身边，没有人说话说一二三、几加几。但是，教师们细心地去发现，才知道在教师们生活中有很多很多的数学现象。
比如买多少东西要多少钱、怎么付钱、几点起床、到学校要多久……那么教师们教师在教学中就应该把这些隐含在生活中的与教师们的生活比较贴近的实例找出来和学生一起探讨。关于贴近生活得例题，教师们的教材改进就专门针对这一点做了很大的改动。数学书上开始出现了很多的插图。图上画的东西，所举的例子都是生活中的实际问题。这样一来，学生在学习上就会对所学内容有一定的兴趣。同时，值得教师们教师注意的问题是：在学习书上的内容的时候教师们还需要搞清楚教师们所面对的对象。书上的一部分例题，一部分插图所表述的内容对于教师们农村的孩子们来说可能有些许陌生。那么教师们教师在讲解教材的时候是不是可以考虑在书本的基础上再从新加入教师们身边的数学元素？另外，学生对于和自己有关的问题有着极其浓厚的兴趣，如果教师们老师在讲课的时候能适当地用和本班同学相关的问题来举例应该能让学生觉得更加地有趣！这就是通过有趣的学习内容来吸引学生。对于内容的趣味教师们就应该从上课的过程着手。
1.课题的导入
要使数学课上起来有趣味，内容吸引学生。那么课题的导入是十分关键的。那么着就要求教师在备课的时候要认真地去发掘关于本堂教学的趣味元素。用什么让学生感兴趣的内容来吸引学生的注意力、怎么样让学生的思维跟着教师的教学思路走？这都是教师们教师在备课中应该下很多功夫的。有了一个好的、有趣的课题导入，学生的注意力都集中到老师所讲的内容上。那么备课这一重要的环节呢教师们就算是成功的。
2.数学的过程
在教学的过程中，例题的讲解、概念的理解、公式定理的认识都是必不可少的内容。而这些内容是最易让学生觉得枯燥乏味的。那么，怎么样给这些“死”的东西、枯燥的内容加入“活”的、有趣味的内容呢？对于例题的讲解，教师们是不是可以考虑把例题的内容加以“升华”，在例题中加入一些简单小故事，小幽默。这样，让学生在一个开心的环境下听课教师们就可以收到很好的教学效果；对于概念公式，这些内容是比较“死”的。那么，要使之有趣味教师们就应该让它“活”起来。教师们可以把这些内容通过比喻、拟人的方法转化成一些具有生命的有活力的“个体”。让学生通过认识这些“个体”而识记概念公式。这也是一个数学趣味教学的典型方法。
二、教师讲话的趣味性
上课过程中，教师们还要充分运用好教师的语言魅力。教师在讲课时语言的生动、有趣却并不是很容易做到的。这就需要教师们教师在平时生活中多积累、在教学中多体会、在与学生一起时多沟通。比如教师们要批评某个同学，那教师们就不用声色俱厉地去数落他。而应该用深刻而又幽默的语言去教育学生，让学生认识到自己的不对却又并不对老师的批评有逆反的心态。
总的说来，数学教学要教出趣味、学出趣味，需要教师们老师不断地在身边发掘与数学有关的趣味元素；不断地用孩童的心态去体验趣味、用耐心去创造趣味。
2.数学教学要发现趣味性
俄国著名文学家托尔斯泰说过：“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣。”兴趣出勤奋、勤奋出天才。兴趣是指一个人力求认识某种事物或从事某种活动的意识倾向。“培养学习数学的兴趣”是《九年义务教育全日制小学数学教学大纲》中的一项任务，因此，兴趣的培养在学生的整个学习活动中起着十分重要的作用。就数学特点来说，它是一门知识抽象，逻辑严密的学科。小学生年龄小，尤其是低年级的孩子，让其在短时间内明白一个道理光靠老师硬灌，学生会感到乏味和厌倦的，学习效果往往是事倍功半。怎样激发学生的兴趣，调动学生学习的热情，使学生在轻松愉快气氛中学习，是一件十分重要的事情。教师就如何用趣味激发学生的兴趣谈一点不成熟的做法。
一、引入的趣味性
引入新课是一堂课的前奏。一堂课的开端虽然教师清楚，自己要教什么，理解什么，要求学生知道什么，记住什么，理解什么，会做什么，但对于学生来说，还是一个谜。尤其是低年级的学生，爱动、好奇心强，教师若能抓住儿童的这一心理，巧妙引入新课内容，揭示课题，激发学生的学习兴趣，那就是一节成功课的良好开端。
引入新课有情趣，实质就是创设兴趣情境，让学生在较短的时间内，轻松愉快地进入最佳学习状态。教师在讲授“速算与巧算”时，因二年级的学生入学前都上过学生班或学前班，如果枯燥的说出本课要学的内容，揭示课题，学生会感到乏味，可能就会骚动起来，于是教师用“1、2、3、4、5、6、7、8、9，谁和谁是好朋友”来导入新课，揭示课题，学生注意力非常集中；在教学“数列求和”时，教师给学生讲高斯求和的故事：
高斯念小学的时候，有一次在老师教完加法后，因为老师想要休息，所以便出了一道题目要同学们算算看，题目是：
1＋2＋3＋……＋97＋98＋99＋100＝？
老师心里正想，这下子小学生一定要算到下课了吧！正要借口出去时，却被高斯叫住了！！原来呀，高斯已经算出来了，小学生你可知道他是如何算的吗？
高斯告诉大家他是如何算出的：把1加至100与100加至1排成两排相加，也就是说：
1＋2＋3＋4＋……＋96＋97＋98＋99＋100
100＋99＋98＋97＋96＋……＋4＋3＋2＋1
＝101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＋101
共有一百个101相加，但算式重复了两次，所以把10100除以2便得到答案等于＜5050＞。
从此以后高斯小学的学习过程早已经超越了其它的同学，也因此奠定了他以后的数学基础，更让他成为——数学天才！
在学生听得入神的时候，教师揭示了课题“数列求和”。当然采取什么形式引入新课，揭示课题，应根据教学内容和学习环境设计，但面对小学阶段的孩子应尽可能做到有趣味性。
二、讲授的趣味性
讲授新课是一堂课的主旋律，能否使学生在这段时间里保持旺盛的注意力，经常产生新鲜感，怀着愉快的心情去接受新知识，这就需要教师有扎实的语言基本功，即语言既准确、简练，又要生动有趣。
在讲授“鸡兔同笼问题”时，因为小学阶段的学生想象力和动手能力都比较强，所以会让学生先画出小鸡和小兔，这样不但使学生愉快的融入课堂，而且又使他们记住了今天所要学习的课程。接着又让学生观察，小鸡和小兔有几条腿。这样既培养了学生的观察能力，又能让学生动手动脑。学起来很轻松愉快。
三、练习的趣味性
巩固练习是一首歌曲的反复，优化练习内容，增强练习的趣味性，能起到事半功倍的作用，使学生不感到上课枯燥无味，又容易消除疲劳，振作精神，集中注意力。
教师还要经常用“夺红旗”、“开火车”、“小猫钓鱼”、“对口令”、“接力赛”、“布雷阵”等游戏，增强了练习的趣味性，使学生学得愉快，记得扎实，掌握得牢固，不容易马虎。用教学过程的趣味性激发学生兴趣，有助于发展学生智力，吸引学生的注意力，训练学生思维的敏捷性，并培养了学生的良好的思想品质，促进了学生的全面发展。在小学数学教学中是一种行之有效的方法。但不是唯一的手段，要根据教学内容、教学环境来选择其教学手段，努力探讨教学良法，使学生更好地掌握一定的数学基础知识和基本技能。
3.数学教学的趣味性方法
学生普遍喜欢游戏和运动，而数学由于其学科特点，相对而言比较抽象和枯燥，如果将数学知识融入游戏和运动中，让学生在玩中学，在动中学，就既可满足学生的游戏和运动需要，又可很好地完成数学教学目标。根据这一理论设定，在组织小班数学活动时，教师就着手进行数学知识与游戏运动相结合的实验。结果表明，让学生在游戏、运动中学数学比单纯的数学集体活动和操作活动效果要好。归纳起来，大致有几点经验和体会：
一、在游戏中学数学
教育家说：“玩具是学生的天使，游戏是学生的伴侣”，学生就是在游戏中、在玩中一天天长大和进步的。游戏深受学生喜爱，融入数学知识的游戏或者说将数学活动设计成游戏则更受学生的欢迎。在数学活动中，教师总是采用游戏的形式，千方百计地把学生的注意力吸引过来，让他们全身心地投入到活动中，这样，枯燥的数学知识就会变得有趣，简单重复的练习也因游戏而变得生动起来，小学生学得轻松、学得愉快，效果也会更好。
1.结合日常生活活动设计数学游戏
日常生活活动在小班学生的一日活动中占了很大的比例，从家长的心理需要考虑，他们也希望老师更多地关注学生的生活护理而不是学习，所以，将数学知识融入学生的日常生活活动中就是小班数学老师必须面对的一个课题。据此，教师设计了一些游戏，让学生在生活活动中学习数学知识。如：吃饼干的时候，小学生大多关注的是“吃”这一活动，不会考虑别的更多的东西，教师就启发学生动脑筋让饼干“变魔术”，一会儿变成三角形，一会儿变成圆形，一会儿变成正方形，这样，在吃饼干这一生活环节中，小学生们关注的就不再仅仅是吃，同时也巩固了对图形的认识，培养了学生动脑筋的习惯，还避免了浪费饼干的现象。
在日常生活中，随机地引导学生学习数学，能使学生在没有思想负担的情况下，自然、轻松、愉快地获得一些粗浅的数学知识，从而有利于激发学生学习数学的兴趣。
在教师们的生活环境中，每件物品都是以一定的形状、大小、数量和方位存在着的，如皮球是圆的，手帕是方的，手指的长短粗细是各不相同的等。教师应有意识地引导学生感知日常生活中的数学知识，如当学生带来各种玩具时，教师可告诉学生这些都是玩具。当各种颜色的毛巾集中在一起时，教师可告诉学生这些都是毛巾，从而初步渗透集合的概念；游览公园时，教师可以让学生数数公园里有多少花，当学生无法数清时，可以教他们用“许多”来表示，并请他们寻找日常生活中还有哪些东西也有“许多”，如有许多的茶杯、小床、毛巾、玩具等。
学生生活在充满数学内容的环境中，数学启蒙教育的契机俯拾即是，如水果店的水果是分类放置的，动物园里的各种小动物是分类关在不同的动物园舍内的，小学生由矮到高排队，碗、碟从大到小往上叠等现象，都为学生提供了有关数学的感性认识。
学生园的日常生活包括盥洗、餐点、睡眠等，教师可以结合这些活动让学生逐步感知数学知识。如在盥洗的同时可以引导学生观察对应现象：一只杯子内放1把牙刷，1个小学生用1条毛巾，并知道小学生和毛巾是一样多的，但如果有位小学生没有来，就会出现小学生少、毛巾多的情况；进餐时，教师请每组的值日生盛一碗饭，放一把调羹，再把饭一一送到本组小学生的手中，感知对应的方法。吃点心时，教师可以请学生数出自己盘子里点心的数量。有一次吃龙虾片，教师先请学生数出自己盘子里龙虾片的数量，然后问他们每人有几片，如果再给1片是几片。当学生回答正确时，教师就奖励他1片。餐点结束后，教师可以要求学生学会按顺序做事：先将毛巾展成大正方形擦嘴，再将毛巾对折成长方形擦脸，再对折成小正方形擦手，最后依次把杯子、盘子、毛巾放好；午睡穿脱衣服时，教师可引导学生数数自己穿了几件衣服、几条裤子，从中渗透数数的内容。
2.结合学生感兴趣的特例设计数学游戏
小班学生由于年龄较小，不能保持长久的注意力，对于枯燥的数学更是爱不起来，注意力集中不起来。一次，组织学生看魔术表演，教师发现在整个过程中小学生都能高度集中注意力，有滋有味地观看。这说明，小班学生不是不能相对时间长一点地集中注意力，而是视内容和形式而定，能吸引学生的内容和形式就能让学生保持长时间的注意。受这一生活特例的启发，在帮助学生进行数学知识复习时，教师就采用了“变魔术”的方法，比如：将颜色和图形结合起来进行复习，教师故意用夸张的动作将各色图形藏到背后，嘴里说：“一、二、三，变、变、变！”小学生都睁大眼睛静观到底变出什么来，注意力高度集中，练习效果也就更好。
国内外众多的研究表明：学生只有通过动手操作、摆弄，才能逐步体验抽象的数概念，因此教师应为学生提供学数的操作练习材料。例如让小班学生学习按物体的某一种特征进行分类时，教师可提供给每个学生彩色的正方形、三角形、圆形卡片各3～4张，一张练习纸，让学生给图形卡片分家，把各个图形卡片摆入形状相同的“家”中。学生在这一操作过程中，不但学会了按物体的某一特征进行分类，还认识了不同的图形。
又如，学习用对应的方法比较物体的多少，学生往往要通过多次的操作练习，才能真正理解。首先教师发给学生每人一张练习纸，要求学生用笔将上排的花和下排的花一一连结起来。接着教师出示小猴和桃子的教具，让学生用一对一连结的方法比较小猴和桃子哪个多，哪个少，由于小猴与桃子没有对齐，有的学生在连结时就出现了一些情况。这时，教师引导学生用画连线的方法玩“小猴吃桃子”的游戏，当笔碰到桃子时，学生就发出“啊呜”声，表示吃了一个桃子。当轮到给第三只小猴吃桃子时，有的学生说吃最后一个，因为最后一个桃子与小猴大致对着，这时，教师引导学生学习按顺序连线。由于教师的指导生动、形象，所以小班学生很快接受了上述比较方法。后来，当教师出示小猫吃鱼时，学生就知道了先找小猫的嘴巴，再去找鱼，并能按顺序连线，从而理解了对应的方法。在操作练习过程中，学生愉快地通过实践获得了有关数学知识，并对数学产生了兴趣。
学生早期数学教育的娱乐化还体现在学生的各类游戏，如小班学生喜欢摆弄“娃娃家”的餐具，教师就可以趁机引导学生区分碗的大小，把碗和杯子分类摆放；在拼图游戏中，教师可事先拼好简单的图形，制成一张张样卡，然后让学生寻找相应的图形片放在样卡上，并引导学生数数、比较多少。此外，结构游戏对学生认识大小、长短、形状也是十分有益的。
二、在运动中学数学
有人说，学生是在摸、爬、滚、打中认识周围世界的，由于年龄原因，小班学生更喜欢运动，顺应这一年龄特点，教师注意将数学练习和运动即体育游戏结合起来，让学生在运动中学数学，收效也很明显。
1.对现有体育游戏进行改编
许多现成的体育游戏注重的是对学生基本动作技能的训练，因其简单有趣，深受学生的喜爱。如果将数学知识融入其中，岂不是既练习了动作技能又巩固了数学知识？可谓一举两得、两全其美。因此，在教学实践中，教师有意识地对现成的体育游戏进行改编，将数学练习融入其中。如；“拍皮球”是个传统的体育游戏，教师结合“1”和“许多”的教学和3以内的点数，在原来的游戏中增加了“拍一下”、“拍许多下”、“拍三下”等，让学生练习边双脚跳边回答：“跳一下”、“跳许多下”、“跳三下”。改编后的体育游戏更切合教学实际，也更有利于学生掌握数学知识。
2.根据需要创编体育游戏
根据数学科的教育计划，许多游戏是让小学生在室内进行桌面操作的，能不能创编一些包含数学练习的室外体育游戏呢？因为那样既可以满足学生户外活动的需要，同时也能进行数学练习。实践证明，根据数学教学的需要，创编一些易组织的体育游戏是可行的。如：结合“按大小排序”的教学，可创编《教师给球儿来排队》的室外游戏；结合图形的教学，可创编体育游戏《跳房子》等。
根据皮亚杰的认知理论，有学者提出了让学生从“在操作中学数学”向“在社会情景中学数学”变革的理论，教师想，让小班学生在游戏中、在运动中学数学也算是学习这一理论的一点实践经验和体会吧。
4.数学知识的趣味性和操作性
一、强化操作，使数学知识不断展开和深入
低年级小学生，他们的抽象概括水平极低，主要还停留在“直观形象水平”。研究表明，“他们所能概括的特征或属性，常常是事物的直观的、形象的、外部的特征或属性，他们更多注意的是事物的外观和实际意义。从这一规律出发，充分地让学生看一看、摸一摸、数一数、量一量、掂一掂、试一试，对实际事物进行感知性操作，逐步发展学生抽象概括能力和对数学的更深层的理解。如一年级上册里有一道“聪明题”：把下列铅笔分类，你有几种分法？下面画有一大堆铅笔：有用过的和没用过的、有长的短的、有橡皮的和没橡皮的、还有各种颜色的。这是一道多标准分类题，对一年级学生来说比较难，如果只让学生讨论、说说或者老师问学生答，这样大部分学生肯定糊里糊涂。
在教学时，让全班学生拿出自己的全部铅笔，按照你自己的想法分一分，过了几分钟，奇迹出现了，各种不同标准的分类展示在眼前。然后让不同分法的学生说说道理。一道很抽象的数学问题在学生的动手操作中很快解决了，学生很兴奋，教师也很兴奋。再如，一年级上册里的小正方体堆积起来的各种图形，让学生数一数每个堆积图形里有几个小正方体。教师先让学生看着图数，大部分学生只数出看到的部分，这时，教师让学生拿出自己的学具小正方体按照书上的图形摆一摆，一会儿，正确答案出来了，有的学生恍然大悟地说：原来下面没有图形，上面的图形就没办法放。
数学的产生源自于生活实践，数学的教学同样离不开实际的生活。在扎实训练学生掌握数学基本知识和基本技能技巧的过程中，教师们必须要注重联系实际，强化学生的动手操作活动，以培养学生创新精神和实践能力，使数学知识不断展开和深入。
二、激发兴趣，推动学生学习的内部动因和动力
兴趣是直接推动学生学习的内部动因和动力，心理学家认为“兴趣是最好的老师”。学生是有个性的人，他的活动受兴趣支配，一切有成效的活动必须以某种兴趣作先决条件。兴趣可以产生学习动机，是学生学习的重要动力源之一，有了兴趣，教学才能取得良好的效果。如，一年级上册有这样一道思考题：小学生们做操，小明的左边有4人，右边有7人，这一排共有多人？在做这道题前，教师用很兴奋的口气说，现在教师们来做游戏，不过你们必须按老师的要求排好队，然后教师们才能开始玩，行吗？学生的气氛很高昂，然后出示题目，学生很激烈地讨论着，教师让他们下座位排排看，很快，答案出来了。接着用类似的方法解决了“从左往右数小明是第4个，从右往左数小明是第7个，这一排一共有多少人？”整个教学过程紧张而热烈，学生学得非常高兴。
数学既能锻炼人的形象思维能力，又能锻炼人的逻辑思维能力。主题思维要善于在事物的不同层次上纵、横两个方面发展，达到对事物的全面认识。为此，教师们应重视在数学教学过程中揭示数学问题的实质，帮助学生提高思维的凝练能力。在解决问题的过程中，先对问题作整体分析，构建数学思维模型，再由表及里，揭示问题的实质。当问题趋于解决后，由此及彼，系统地研究相关的问题，做到解决一题就可解一类题，即触类旁通，才能提高课堂教学的密度和容量。也只有这样，才能达到既不增加学生的负担，又能提高教学质量。
5.数学趣味知识教学的积累
从数学的学习成绩来看，没有一门学科的反差像数学那样悬殊，一方面是，几乎每个学校都有一批数学迷在孜孜不倦地求索；另一方面，也有为数不少的差生视数学为畏途，是一门枯燥乏味的鬼课。数学真是那样令人生厌吗？其实，这是一种对数学世界缺乏了解的认识误区。
数学中处处蕴含着美，数学世界实际上就是一个群芳斗艳的百花园。教师们一起去领略它的千种娇美，万般风情吧？
一、有趣的数字世界
对称性：122＝144212＝4411122＝125442112＝445211132＝127693112＝96721
就如文学中的回文联：如人过大佛寺，寺佛大过人；谁也不知道这样的数有多少？它们就有一种对称和谐之美。
数阵精灵：幻方，所谓幻方，是由1到n2的连续自然数按一定规律排成n行n列的方阵，其中每一行，每一列以及对角线上的n个数之和全是相等的。由于变幻无穷，使得众多数学家为之绞尽脑汁。
二、富含诗意的几何
曲线之美，普天公认，画家与美联社学家经多年细心观察发现，物体轮廓由波浪线构成都显得优美，这就是曲线美的美学规律。由此推论：一切曲线中首推人体曲线最美。
难以想象的是，看来严谨到近乎于刻板的数学公式，竟然会与如此优美的几何图形（曲线）相映成辉。
当你漫步在山花烂漫山坡上时，你是否想到，有些花的形状，居然与某一个精确的数学方程式相吻合。
曲线富含哲理：圆——完美无缺，无可非议；螺旋线蜿蜒伸拓，暗示着某种人生的真缔；渐近线欲达而不能，激起人们不懈的追求。
造物主精妙的安排：天体运动着的星球遵循四种形状的轨道，人造卫星，行星，慧星等依据运动速度不同，即每秒7.9公里，11.2公里，16.7公里三种宇宙速度，分别按圆，椭圆，抛物线，双曲线的轨迹进行运动。
最美最巧妙的比例――黄金分割：把一条线段分为较长与较短两段，使之符合较短线段比较长线段等于较长线段比整条线段。这个比值为0.618。这0.618正是最美最巧妙的比例，人们称之为黄金分割。
法国的巴黎圣母院，中国故宫的构图都融入了黄金分割的匠心，著名的维纳斯雕像中的一些长度比值都采用了0.618。舞台上报幕员的最佳位置，最后的晚餐中犹大的位置都处在黄金分割点上，运动员上下身之比接近5：8，看上去就修长而挺拔，可惜的是一般人上身多长了2寸左右，有些女性就用鞋跟来弥补。
几何构造的美与巧：九曲桥，拱形桥不仅合于力学原则，还有观赏价值；雪花的几何构造其晶体的平面对称极为精巧，并由此内含着深刻的物理性质，蜂房的底部的每个蜡板，钝角都是109°28ˊ，锐角都是70°34ˊ，这样的构造使得同样体积下用料最省。
三、题海拾贝流连忘返
当人们遨游于无边无际的题海中时，常常会流连忘返，废寝忘食。特别是许多世界名题引人入胜极富诱惑力。如哥德巴赫猜想，费尔马大定理，九点圆，哥斯尼堡七桥问题等。
费尔马大定理：形如xn＋yn＝zn的方程，当n大于2时没有正整数解。费尔马是一位业余数学爱好者，被誉为“业余数学家之王”。他去世后人们在他的一本书中看到这一定理及旁边他写下的“教师已发现了这个断语的美妙证法，可惜这里的空白地方太小，写不下”
1908年，德国一个科学会拿出10万马克作为费尔马大定理的解答奖金。加上这个定理连小学生都能读明白，使得上百年来众多数学爱好者前赴后继，后来一位数学家写了一百零八页的解答论文，算是最终解决了这一问题。但至今人们还在寻找着费尔马所说的美妙证法。
四、数理逻辑妙趣横生
幽默的逻辑也会开人们的玩笑，有一个奇异的循环，困扰着逻辑世界二千多年，这个难题也称为说谎者悖论，它有最简单的形式：“教师说的这句话是谎话”——这是真话，还是谎话？把它判作真话，则它是谎话，判作谎话呢？则它已申明自已说谎话，因而成了真话，是真话？则又成了谎话。这就是数学世界的喜剧，它富有美妙，多样的情趣。极富有幽默感。
只要你愿意，只要你留意，你就会积累很多数学中的有趣的材料，它们将会随机的融入课堂里，教学中，对吸引学生的注意力能起到意想不到的效果。
6.数学知识性与趣味性的整合
怎样激发学生的学习兴趣，充分调动他们学习的积极性，主动性，提高课堂教学效率，优化课堂教学呢？
一、巧妙设问，激发兴趣，诱发探究热情
1.用生活实际中的教学问题激发学生学习兴趣
生活中充满着无数的数学问题，因此，教师要善于从学生的生活实际中提出数学问题，使学生感到数学就在他们的身边，从而产生学习的兴趣。特别是新课的引入，要注意创设新颖的问题情景，让学生很快被教师创设的情景所吸引，从而激发他们强烈的求知欲望，例如，教学“圆的认识”，学生联系生活实际举出圆形物体的例子后，教师引导学生思考：“车轮为什么一定要用圆形呢？”学生对这个问题很感兴趣，积极思考，为“圆的认识”教学作了较好的铺垫，教学“年月日”，讲授新知识前，教师设问：今天是谁的生日？同学们多长时间过一次生日？学生回答后教师又引导他们的思索：“小明的哥哥十二岁，才过了三个生日，猜猜看他的生日在哪天？”趣味性的开头，使学生进入了学习的最佳心理状态。
2.降低坡度，找出联系，让学生产生愉悦的情感。根据学生的认知特点，从他们已有知识和经验入手，顺势导入新课。如教学“百分数应用题”时，先将例题中的百分数改为分数让学生练习，然后根据分数与百分数的互化，将题中的分率变为百分率，从而把分数应用题转化成百分数应用题。这样，教师有意识地降低坡度，很自然地引入新课，消除了学生对“百分数应用题”的陌生感，找到了百分数应用题和分数应用题的联系，从而轻松愉快地投入百分数应用题的学习中去。
二、启发引导，释疑解难，让学生主动学习
在新知识教学过程中，要使学生长时间的保持浓厚的学习兴趣，教师不仅应注意适时启发、点播、释疑、而且要注意调动学生学习的积极性、主动性、引导他们在探索过程中把感知与思维相结合，变“学会”为“会学”。如教学“圆的认识”，新授时先让学生阅读课本的有关内容，尔后教师提出问题：用什么工具画圆？怎样画圆？启发学生读后讲出画圆的步骤，并找出关键字词：“先”、“然后”、“再”、“就”，再让学生动手练习。在认识圆的各部分名称时，教师仅适时引导、点播、而让学生通过读一读、议一议、画一画、量一量等方法，让他们在实践活动中感知，逐步加深对圆的各部分有关概念的理解。由于多种感官参与了知识的形成过程，改变了学生被动学习的局面，因此，课堂变成了师生共同进行创造性劳动的乐园。
三、重视反馈，精选练习，让学生学以致用
新课的巩固练习，目的是使学生进一步理解和掌握知识，同时也是对教师教学效果的反馈。练习设计应做到份量适度，紧扣知识重点，有一定梯度，形式多样，适合不同层次学生的需要，真正做到因材施教，力求达到全面巩固知识的最佳效果。如教学“质数、合数”时，教师将基本练习题设计成填空题，选择题，判断题，采用抢答比赛的形式，让中差生也有参与的机会，有效地调动了全班学生学习的积极性。对第二层次的发展题，教师又设计成游戏题形式，让学生给三件代号分别为1、2、9的无扣衣服钉上合适的纽扣，纽扣为a（整数），b（自然数），c（偶数），d（奇数），e（质数），f（合数）。这样设计，巧妙地寓知识性、趣味性于一体既加强了新旧知识的联系，又教给了正确区分以上概念的方法，培养了学生运用知识的能力。对第三层次的深化题，教师设计成“机敏题”：看谁能当上最佳“侦探”。告诉学生一隐形战机的位置比20小，是个奇数，又是合数，又是3的倍数，也是30的约数，让学生把隐形战机找出来。整个练习设计把不同层次的学生都深深地吸引住，同学们积极思考，对运用数学知识解决各种问题的额兴趣十分浓厚，达到了全面巩固所学知识的目的。
四、概括全课，留下余地，让学生思索回味
教师的教学过程，应有总有分，有张有弛，既严肃又活泼，学生的大脑皮层始终处于兴奋状态。特别是课尾，教师更应注意通过廖廖数语，由博反约，简要地概括出全课实质，使学生对所学内容印象深刻，使用起来得心应手。
如教学“圆的面积”，小结时教师设计了如下问题：“这堂课大家学到了什么？有什么收获？”于是学生七嘴八舌，发言十分热烈，他们对圆面积的认识也进一步提高。又如教学“年、月、日”，新课结束时，教师安排学生听鲁迅、高尔基等名人珍惜时间的名言，学生在学到时间知识的同时，还受到惜时如金事业有成的思想教育。
一堂课的结束，并不意味着教学内容的终止，教师应力求创设新的问题情景，制造悬念，或进一步拓宽学生的思路，把课内学习延伸到课外，或让学生回味无穷，保持旺盛的学习热情。如教学“反比例应用题”，全课结束前，教师设计了这样一个问题引导学生思考：“例4是反比例知识解答的，你能用正比例知识解答吗？该怎样解答？”这样，不仅拓宽了学生的解题思路，而且课内课外相辅相成，新旧知识巧妙结合，起到了较好互补作用。
第二章 数学教学的趣味知识推荐
1.数学的产生
数学最初是从结绳记事开始的。大约在三百万年前，人类还处于茹毛饮血的原始时代，以采集野果、围猎野兽为生。这种活动常常是集体进行的，所得的“产品”也平均分配。这样，古人便渐渐产生了数量的概念。他们学会了在捕获一头野兽后用一个石子、一根木条来代表；或者用在绳子上打结的方法来记事、记数。这样，在原始社会人们的眼光中，一个绳结就代表一头野兽，两个结代表两头……或者一个大结代表一头大兽，一个小结代表一头小兽……。数量的观念就是在这些过程中逐渐发展起来的。随着捕获手段的提高，所获的野兽越多，绳子的结越多，需要的数目也越大。
在距今大约五六千年以前，沿非洲的尼罗河出现了一个伟大的文明社会——埃及。埃及人较早地学会了农业生产。尼罗河每年7月定期泛滥，淹没大片农地，11月洪水逐渐退落。埃及人通过长期观察，注意到当天狼星和太阳同时出没的时候，正是洪水将至的预兆。还发现，这种现象大约365天重复一次。这样，埃及人就选择在洪水泛滥之后留下的肥沃淤泥上下种，待6月洪水来临之前收割，以获得好的收成。这是通过天文观测进行农业生产的结果，其中也包含了数学知识的应用。另一方面，古埃及的农业制度，是把同样大小的正方形土地分配给每一个人的，租用的人每年把他的收成提取一部分给土地所有者——国王。如果洪水冲毁了他们所分得的土地，他可以向国王报告，国王便派人前来调查并测量损失的那一部分，这样，他交的租就会相应减少。这种对于土地的测量，导致了几何学的诞生。实际上，几何学的原意就是“土地测量”。
数学正是从打结记数和土地测量开始的。
与埃及同时，世界上还有几个同样伟大的文明社会，如亚洲西部的巴比伦，南部的印度和东部的中国，它们分别创造了自己的文字，同时也产生了各自的记数法和最初的数学知识。在距今大约两千多年以前生活在欧洲东南部的希腊人，继承了这些数学知识，并将数学发展成为一门系统的理论科学。古希腊文明被毁灭后，阿拉伯人保存和继承了他们的文化，后来又传回欧洲，使得数学重新繁荣起来，并最终导致了近代数学的创立。
2.数的出现
原始社会，人类在狩猎、种植、捕鱼、采集等活动中，要与野里、鱼、木棒、石头等打交道，久而久之，人们便有了多少、数量的认识。这种对数的认识往往与实物联系在一起，如用“月亮”代表“1”，用“眼睛”、“耳朵”、“鸟的翅膀”代表“2”。这是由于只有一个月亮，人有两只眼睛两只耳朵、鸟有两只翅膀的缘故。原始人还认识到一个苹果和一头羊各是一个个体，三棵树和三把石斧都是三个体的堆等，这就是最初的数的概念。
最早用来计数的是手指、脚趾，或小石子、小木棍等。表示1，2，3，4个物体，就分别伸出1，2，3，4手指，遇到5个物体便伸出一只手，10个物体伸出两只手。当数目很多时，就用小石子来计数，10颗小石子一堆就用大一些的一颗石子来代表。中国古代用的是木、竹或骨子制成的小棍，称为算筹。但是，大多数的原始人遇到大一些的数目，往往无法区分。
用手指、脚趾、石子、小木棍等来计数，难以长时间记录一个数字。因此，古人发明了打绳结来记数的方法，或者在兽皮、树木、石头上刻划记数。这些记号，慢慢就变成了最早的数字符号（数码）。
现在通用的数码是印度——阿拉伯数码，用十进位制来表示数。用0，1，2，…，9十个数码可表示任一数，低一位的数满10后就进到高一位上去。这种十进制，现在看来简单而平常，可它却是人类经过长期努力才演变成的。如在古埃及，数码记号是这样的：
1 10 100 1000 10000 10000 100000 100000
一个数中若某位数超过1时，就要将它的符号重复写若干次。写更大的数则是一大串符号了，这样运算当然十分困难。古希腊人也需要27个字母互相组合，才能表示100以内的数目，非常不便。
除了十进制以外，还有五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十一进制、十二进制、二十进制、六十进制等。经过长期实际生活的应用，十进制占了上风。
数的概念和数码、进位制的出现和发展，都是人类长期实践活动的结果。
3.泥版的故事
19世纪前期，人们在亚洲西部伊拉克境内发现了50万块泥版，上面密密麻麻地刻有奇怪的符号。这些符号是古巴比伦人所用的文字，现在人们称它为“楔形文字”。科学家经过研究，弄清了泥版上所记载的，是古巴比伦人已获得的知识，其中包括了大量的数学知识。
古代人最初用石块、绳结，后来又用手指来记数。一个指头代表1，两个指头代表2，……，当数到10时，就得重新开始，巴比伦人由此产生了逢十进一概念。又因为，一年中月亮有12次圆缺，一只手又有5个指头，12×5＝60。这样，他们又有了隔60进一的记数法。他们用▼表示1，＜表示10，从1到9是把▼写相应的次数，从10到50是把＜和▼结合起来写相应的次数。例如35写成。这种记数的方法，影响了后人，产生了现在我们所用的十进制和六十进制。例如，时间分为1小时＝60分，1分＝60秒。
巴比伦人还掌握了许多计算方法，并且编制各种数表帮助计算。从那些泥版上，人们发现巴比伦人已有了乘法表、倒数表、平方和立方表、平方根和立方根表。他们还运用了代数概念。
巴比伦泥版上还有这样的问题：兄弟10人分米那的银子（米那及后面的赛克尔都是古代的重量单位，其中1米那＝60赛克尔），已知他们分得的银子数成等差数列，而且第八个人的银子为6赛克尔，求每人所得的银子数量。从这样一些例子中，科学家认识到了巴比伦已知道等差数列、等比数列的概念。
巴比伦人也具备了初步的几何知识。他们会把不规则形状的田地分割为长方形、三角形和梯形来计算面积，也能计算简单的体积。他们非常熟悉等分圆周的方法，求得圆周与直径的比π≈3，还使用了勾股定理。
他们的成就对后来数学的发展产生了巨大的影响。
4.金字塔和纸草书
闻名世界的埃及金字塔，几百年来不仅以它宏伟高大的气势，吸引了无数旅游观光者，而且由于它设计的别致，建造的精巧，吸引了世界各地的科学家。据对最大的胡夫金字塔的测算，发现它原高146.5米（现因损坏还高137米），基底正方形每边长233米（现为227米）。但是，各底边长度的误差仅仅是1.6厘米，只是全长的；基底直角的误差只有12″，仅为直角的。此外，金字塔的四个面正向着东南西北，底面正方形两边与正北的偏差，也分别只有2′30″和5′30″。
这么高大的金字塔，建造精度如此之高，这使得科学家深信，古埃及人已掌握了丰富的知识。当科学家破译了古埃及人流传下来草片上的文字后，这一猜想得到了证实。
原来，在尼罗河三角洲盛产一种形状如芦苇的水生植物——纸莎草，古埃及人把这种草从纵面剖成小条，拼排整齐，连接成片，压榨晒干，用来写字，在纸莎草上写的字，叫纸草书。如今将这种纸草书的一部分整理出来。
1822年，一位名叫高博良的法国人弄清了它们的含义，使人们知道，古埃及人已学会用数学来管理国家和宗教事务，确定付给劳役者的报酬，求谷仓的容积和田地的面积，按土地面积估计应该征收的地税，计算修造房屋和防御工程所需要的砖块数；计算酿造一定量酒所需的谷物数量；等等。换成数学的语言就是，古埃及人已经掌握了加减乘除运算、分数的运算；他们解决了一元一次方程和一类相当于二元二次方程组的特殊问题。纸草书上还有关于等差数列和等比数列的问题。他们计算矩形、三角形和梯形的面积，长方体、圆柱体、棱台的体积等结果，与现代计算值相近。更令人惊奇的是，他们用公式（d为直径）来计算圆面积，这相当于取π值为3.1605，这是非常了不起的。
由于具有了这样的数学知识，古埃及人建成金字塔就不足为怪了。
5.佛掌上的“明珠”
印度是个信奉佛教的国度，古印度人对古代数学的贡献，犹如印度佛掌上明珠那样耀眼、令人注目。
在公元前3世纪，印度出现了数的记号。在公元200年到1200年之间，古印度人就知道了数字符号和0符号的应用，这些符号在某些情况下与现在的数字很相似。此后，印度数学引进十进位制的数字和确立数字的位值制，大在简化了数的运算，并使记数法更加明确。如古巴比伦的小记▼即可以表示1，也可以表示，而在印度人那里，符号1只能表示1单位，若表示十、百等，须在1的后面写上相应个数的0，现代人就是这样来记数的。
印度人很早就会用负数来表示欠债和反方向运动。他们还接受了无理数概念，在实际计算中把适用于有理数的运算步骤用到无理数中去。他们还解出了一次方程和二次方程。
印度数学在几何方面没有取得大的进展，但对三角学贡献很多。这是古印度人热衷于研究天文学的副产品。如在他们计算中已经用了三种三角量：一种相当于现在的正弦，一种相当于余弦，另一种是正矢，等于1.cosa，现在已不采用。他们已经知道三角量之间的某些关22系式。如sinα＋cosα＝1，cos（90°－α）＝sinα等，还利用半角表达式计算某些特殊角的三角值。
6.数学之桥
阿拉伯人对古代数学的贡献，早现在人们最熟悉的1、2、…9、0十个数字，称为阿拉伯数字。但是，在数学发展过程中，阿拉伯人主要是吸收、保存了希腊和印度的数学，并将它传给欧洲，架起了一座“数学之桥”。
在算术上，阿拉伯人采用和改进了印度的数字记号和进位记法，也采用了印度的无理数运算，但放弃了负数的运算。代数这门学科的名称就是由阿拉伯人发明的。阿拉伯人还解出一些一次、二次方程，2甚至三次方程，并且用几何图形来解释它们的解法。如对于方程x＋10x＝39，他们的几何解法如下：作一个正方形，假定它的边长为未知数x，然后在经四边上，向外作的矩形。将整个图形扩充成边长为x＋5的正方形，整个大正方形面积等于边长为x的正方形面积与边为的四个正方形面积及边长各为x、的四个矩形面积之2和。所以大正方形面积是，即x＋10x＋25。2因为x＋10x＝39，所以大正方形面积等于39＋25即是64。因此，大正方形边长等于8，而x就是。阿拉伯人还用圆锥曲线相交来解三次方程，这是一大进步。
阿拉伯人还获得了较精确的圆周率，得到了2π＝6.283185307195865，π已计算到17位。此外，他们在三角形上引进了正切和余切，给出了平面三角形的正弦定律的证明。平面三角和球面三角的比较完整的理论也是他们提出的。
阿拉伯数学作为“数字之桥”，还在于翻译并著述了大量数字文献，这些著作传到欧洲后，数字从此进入了新的发展时期。
7.数学的摇篮
巴比伦人和古埃及人积累了许多数学知识，但他们只能回答“怎么做”，却无法回答“为什么”要这么做的道理。古希腊人从阿拉伯人那里学到了这些经验，进行了精细的思考和严密的推理，才逐渐产生了现代意义上的数学科学。
第一个对数学诞生作出巨大贡献的是泰勒斯。他曾利用太阳影子计算了金字塔的高度，实际上就是利用了相似三角形的性质。他弄清了：直角彼此相等；等腰三角形的底角相等；圆被任一直径平分；如果两个三角形有一边及这边上的两个角对应相等，那么这两个三角形全等；而且证明了这些知识。这些知识现在看起来很简单，但在当时是非常了不起的。
在仄勒斯之后，以毕达哥拉斯为首的后批学者对数学作出了贡献。他们最出色的成就之一是发现了“勾股定理”，在西方被称为“华达哥拉斯定理”。正是用了这一定理，后来导致了无理数的发现，引起了第一次数学危机。
稍晚于毕达哥拉斯的芝诺，提出了四条著名的悖论，对以后数学概念的发展产生了重要的影响。
经过泰勒斯到芝诺等人的努力，古希腊的数学有了全新的发展。欧几里德吸取其中的精华，写成了《几何原本》这本在数学史上最有名的著作。今天人们所学的平面几何学知识，都来源于这本书。
继欧几里德之后，阿基米德开创了希腊数学发展的新时期，人们称之为亚历山大时期，阿基米德在数学方面的工作，远远超越了他那个时代，被后人称为“数学之神”。他设计过一种大数体系，即使整个宇宙都填满了细小的砂粒，也可以毫不费力地把砂子的粒数数出来。他通过作边数越来越多的内接正多边形、外切正多边形，算得了圆周率的值在到之间。他得到了求面积和求体积的公式，还发明了以他名字命名的螺钱。
在阿基米德之后，古希腊的数学更加侧重于应用。在天文学发展的促进下，希帕恰斯、梅尼劳斯、托勒密创立了三角学。尼可马修斯写出了第一本专门的数论曲籍——《算术入门》，丢番图则系统地研究了各种方程，特别是各种不定方程。这们，初等数学的各个分支——算术、数论、代数、几何、三角全部建立了起来，这意味着，由巴比伦人、古埃及人孕育的数学“婴儿”，终于在古希腊的摇篮中诞生了。
8.几何学的奠基人
两三千年前，古埃及人生活在尼罗河两岸，生产力很发达，大片大片的土地被开发。但是，人类无法与大自然抗争，当时的人们对洪水束手无策。每年，当夏秋季节尼罗河泛滥时期，河两岸的田地就有不少被洪水淹没或因河床改道，好端端的一块农田就会被吞没一块。每到这时，就会有几个聪明的埃及人拿着木棍绳子又比又量，准确地计算法老租给人们土地面积的变化。渐渐地，埃及人积累了不少计算面积的公式。如：
矩形：A＝ab（其中A是面积，a是长，b是宽。）
三角形：A＝ah/2（其中a是边长，h是高。）
另外，还能计算出梯形面积。而当时计算圆形面积的公式（8d/9）2，和如今的计算公式极为相近。
但是，当时的人们还没有把这些公式命名为几何学。
到了公元前320年，有一位叫作欧德谟的学者，根据埃及人的经验，写了一本《几何学的发展史》。这部书只有残篇传到了现在。又过了大约20年，古希腊出了一位叫欧几里得的人，他根据前人的经验，经过自己的计算推理，写出了一本共13篇的《原本》（又称《几何原本》）。这是人类第一次出现的“几何”概念。
欧几里得在《原本》这本书里，首先给出的是定义和公理。比如，他的点、线、面的概念：
点是只有位置没有大小的；
线是只有长度没有宽度的；
面是只有长度和宽度的；
平行线是同一平面内无限延长后永不相交的两条直线；
……
这些定义和现今的几何定义极为相似。
欧几里得还按照逻辑原理，推论出十分严谨美妙的五条公理（又称“公设”）。其中有：
从一点到另一任意点作直线是可能的；
所有的直角都相等；
a＝b，b＝c，则a＝c；
若a＝b，则a＋c＝b＋c；《原本》中还有关于圆的性质的讨论。如弦、切线、割线、圆心角等等。讨论了圆的内接和外接图形。其中，有一个命题是在一个圆内作正15边形。
据说，当时的天文学一直认为地球赤道面与地球绕日公转面的交角是24°，即是圆周的1/15。于是，欧几里得运用自己的智慧，作出了正15边形，这在当时是一个难度十分大的命题。《原本》13篇中共有467个命题。这些命题和推理所建立起来的几何学体系是相当严谨和完整的，以至于连20世纪最伟大的科学家爱因斯坦都这样说：一个人当他最初接触欧几里得几何学时，如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么他是不会成为科学家的。
从《原本》的出现到现在，这部书出版过一千次以上，几乎世界上所有的杰出数学家，都是读着《原本》成长起来的。两千多年来，《原本》就像一尊坚固的宝塔，其坚固程度没有人能撼动它。因此，后人，尤其是科学界都把《原本》看作是一部经典奇书，而欧几里得的名字，也同《原本》一道流传千古。
欧几里得大约生于公元前330年，死于公元前275年。可惜的是，他一生的经历久已失传。
9.数学竞赛判真伪
1500年的某天，意大利北部的布里西亚，一户人家生了一个男孩，取名叫丰坦那。不久，意大利与法国发生战争，法军攻陷了布里西亚地区，大肆屠杀意大利人。丰坦那的父亲死于战祸，小丰坦那的头部和下颚也受了重伤。好在他的母亲是一位聪明而勇敢的妇女，她见儿子受伤，又没有医生看病治疗，她就想到了狗用舌头舔愈伤口的情景。于是，她也学着这个方法，用自己的舌头治好了儿子的伤口。谁知痊愈后的小丰坦那却得了一个口吃的毛病，说话不连贯，人们就给他取个外号叫塔尔塔利亚（意译为口吃者）。久而久之，塔尔塔利亚就成了他的名字，丰坦那的名字也被人忘记了。
因为父亲死于战乱，塔尔塔利亚的家境十分贫寒，母亲无力送他上学读书。但是，塔尔塔利亚从小求知欲极强，母亲就在他父亲坟墓的石板上教他认字、算题。由于他天资聪明，意志坚强，竟独自学会了拉丁文和希腊文，对数学的钻研成绩更为突出。经过长期自学，成人后，他终于取得了成功，先后在他的家乡布里西亚和威尼斯等地从事教学工作。塔尔塔利亚专门喜欢解各种数学难题，在这方面不少数学爱好者败在他的手下。
1530年的一天，有一位叫科拉的数学教师向塔尔塔利亚提出两道数学难题进行挑战：
1.一个数的立方加上它的平方的3倍等于5，求这个数。实际上是32一个一元三次方程，即：x＋3x＝5
2.三个数，第二个数比第一个数多2，第三个数比第二个数多2，三个数的乘积是1000，求这三个数各是多少。实际上这也是一个一32元三次方程，即：x（x＋2）（x＋2＋2）＝1000，展开后是x＋6x＋8x＝1000
当时，人类还没有找到三次方程的解法。塔尔塔利亚于是全身心地投入进去，废寝忘食地解这两道题。不久，居然让他解开了，并因此找到了解开一元三次方程的办法。于是，塔尔塔利亚向外公开宣称，他已经知道了一元三次方程的解法，但不能公开自己的步骤，他要保密。此时，有一位叫菲俄的人也宣称，他也找到了解开一元三次方程的办法，并宣称，他的方法是得到了当时著名数学家波伦那大学教授费罗的真传。
他们二人谁真谁假？谁优谁劣？于是，1535年2月22日，在意大利有名的米兰大教堂里，举行了一次仅有塔尔塔利亚和菲俄参加的数学竞赛。竞赛内容专门限于一元三次方程。他们各自给对方出30道题，谁解得对解得快谁就得胜。两个小时之后，塔尔塔利亚解完了全部30道题，而菲俄却一道题也解不出来。竞赛结果，塔尔塔利亚大获全胜。
原来，一元三次方程的问题是1404年被人引起来的。当时意大33利著名数学家巴巧利说：“x＋mx＝n，x＋n＝mx之不可解，正像化圆为方问题一样。”谁知此问题提出不久，就被费罗解出了。1510年，他将方法透露给了他的学生菲俄。于是，当塔尔塔利亚宣称他找到一元三次方程解法时，便出现了要举行竞赛的事情。
初时，塔尔塔利亚面对出名的学者未免心虚，因为他的方法还不完善。据说在竞赛之前的10天，即2月12日深夜，塔尔塔利亚一夜未睡，直至黎明。他头脑昏昏，走出室外，伸伸懒腰，吸吸新鲜空气。顿时，他的思路豁然开朗，多日的深思熟虑，终于取得了结果。因此，才在竞赛中大获全胜。
为了使自己的成果更完善，塔尔塔利亚又艰苦努力了6年，才在1541年真正找到一元三次方程的解法。很多人请求他把这种方法公布出来，但却遭到他的拒绝。原来，塔尔塔利亚准备在译完欧几里得和阿基米德的著作之后，再把自己的发明发现写成一本专著，以便流传后世。
在这之前60几年，米兰有一位学者卡当，对一元三次方程的问题十分感兴趣，苦苦央求塔尔塔利亚把解法告诉他，并起誓发愿，决不泄密。1539年，塔尔塔利亚被卡当的至诚之心所动，就把此法传授给他。
卡当是意大利的数学家，后来又开业行医，也常常为人占卜，曾受雇于教皇当过占星术士。没过多久，卡当背信弃义，写成了一部叫《大术》的书。此书1545年在纽伦堡出版发行。在书中，卡当公布了一元三次方程的解法，声称这是他的发明。当时人们信以为真，便把三次方程的求根公式称为“卡当公式”。
在《大术》一书中，卡当说：“大约在30年前，波伦那的费罗教授发现了这一法则，并传授给了威尼斯的菲俄，菲俄曾与塔尔塔利亚进行过公开竞赛。塔尔塔利亚也发现了这一方法，他在我的恳求下，把三次方程的解法告诉了我，但是没有给出证明。借助塔尔塔利亚的帮助，我找到了几种证明方法，它是非常困难的。”
卡当的背信弃义激怒了塔尔塔利亚，他向卡当宣战，要求进行公开竞赛。双方各拟31道试题，限期15天完成。卡当临阵怯场，只派了他的一个高徒应战。结果，塔尔塔利亚在7天之内就解出了大部分试题，而卡当的高徒仅做对一题，其余全是错的。接着，二人又进行了一场激烈的争鸣和辩论。就这样，人们才明白事情的真相，塔尔塔利亚才被人们知道，他才是一元三次方程求根公式的真正发明人。
塔尔塔利亚经过这场风波之后，准备心平气和地把自己的成果写成一部数学专著，可是他已经心力憔悴，1557年，他没有实现自己的愿望就与世长辞了。
10.代数之父
16世纪末，法国在同西班牙的战争中，西班牙依仗着密码，在法国境内秘密地自由通讯，交通情报，结果使法军连连败退。法国国王请来当时很有名望的数学大师韦达进行帮助，韦达借助数学知识，成功地破译了一份西班牙的数百字的密码，从而使法国只用两年时间就打败了西班牙，韦达在这次战争中立了大功。但是，西班国王菲力普二世向教皇控告说，法国人在对付西班牙时采用了魔术。于是，西班牙宗教裁判所，以韦达背叛上帝的罪名进行缺席判决，要将韦达处以焚烧的极刑。当然，宗教的野蛮刑法未能实现，韦达于1603年12月13日在巴黎逝世，终年63岁。韦达死后，人们誉他为“代数之父”。
韦达于1540年生在法国的丰特内，本名叫佛兰西斯·韦埃特。韦达是他的拉丁名字。他的专业是学律师的，曾任过布列塔尼议会议员、那瓦尔的亨利亲王的枢密顾问官。他对天文学、数学有着浓厚的兴趣，经常利用业余时间研究数学。1584年到1589年，由于他在政治上处于反对派地位，被免去了官职。从此，他便专心致力于数学的研究。
在从政期间，韦达研究丢番图、塔尔塔利亚、卡尔丹诺、邦别利、斯提文等人的著作。他从这些名家，特别是从丢番图那里，获得了使用字母的想法。
在韦达之前的一些大学者，包括欧几里得、亚里斯多德在内，虽曾用字母代替过特定的数，但他们的用法不是经常的、系统的。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母代替数进行数学运算的人。他不仅用字母表示未知量和未知量的乘幂，而且还用来表示一般系数。通常，他用辅音字母表示已知量，用元音字母表示未知量。他的做法是划时代的，从而奠定了代数学的基础，对代数的国际通用语言的形成起到了极为重要的作用。
1591年，韦达出版了他的代数学专著《分析方法入门》，这是历史上第一部符号代数学。它明确了“类的算术”和“数的算术”的区别，即代数与算术的分界线。
据载，韦达还以他精湛的数学知识，为国家赢得了荣誉。
当时，比利时有一位数学家，名叫罗梅纽斯，深受国王推崇，国民也深感自豪和骄傲。一次，比利时的大使向法国国王亨利四世夸口道：“你们法国还没有一个数学家能解开我国数学家罗梅纽斯的一个关于45次方程的求根问题。”原来，这道45次方程是罗梅纽斯于1573年在他的《数学思想》一书提出来的。
面对比利时的挑战，亨利四世决定在国内挑选数学家来解开此题，以长国威。谁知找了不少数学教授都找不到答案，国王心里十分烦闷，如同丧权辱国一般。
一天，国王将此题给韦达看，韦达说：“一个相当简单的问题，我马上就能给出正确答案。”因为韦达看出，这个方程是依赖于sin45θ与sinθ之间的关系，所以几分钟内就求出了两个根。国王见了答案，高兴地说道：“韦达是我国乃至全世界最伟大的数学家。”接着便赏给韦达500法郎。
韦达生前写出不少著作，但多数没有出版发行。有一部《论方程的整理与修改》，是在他去世12年后才出版的。在书中，韦达把5次以内的多项式系数表示成其根的对称函数。他还提出了4个定理，清楚地说明了方程的根与其各项系数之间的关系——即韦达定理。此定理至今仍在使用。他还为一元三次方程、四次方提供了可靠的解法，为后来利用高等函数求解高次代数方程开辟了新的道路。
另外，韦达利用欧几里得的《几何原本》第一个提出了无穷等比级数的求和公式，发现了正切定律、正弦差公式、纯角球面三角形的余弦定理等。韦达利用代数法分析几何问题的思想，正是后来的数学家笛卡尔解析几何思想的出发点。笛卡尔说他是继承韦达的事业。
直到1646年，韦达死后的40多年之后，他的全部著作才由荷兰数学家范·施库腾等人整理成书，名为《韦达全集》。
11.解析几何的问世
1617年，荷兰奥伦治公爵的军队里来了一名22岁的博士生，他就是伟大的数学家笛卡尔。
一天，部队开到布雷达城，无所事事的笛卡尔漫步在大街上，忽然看见一群人围在一起议论纷纷，原来在一堵墙上贴着一张几何难题的悬赏启事。启事上说，谁能够解开此题谁就能获得本城最优秀的数学家称号。笛卡尔出于好奇心抄下题目，回到军营，专心致志地研究这道几何难题。经过潜心钻研，两天后，他终于求得了答案，由此使他数学天才初露锋芒。
荷兰多特学院院长毕克曼十分赏识笛卡尔的才华，劝他说：“你有深厚的数学基础，才思敏捷，很适合数学研究。离开军队吧，我相信你将来会成功的。”
笛卡尔没有离开军队，但仍然迷恋数学，尤其想碰一碰古希腊几何三大问题。说起这三大问题，还有一个很古老的传说：
大约是2300多年前，古希腊的第罗斯岛上，一场可怕的瘟疫正在蔓延，人们生活在死亡的恐怖之中。他们来到神庙前祈求：“万能的神啊，请赐予我们平安吧！”谁知神庙里的主人欺骗这些可怜的人们说：“我忠实的信徒们，神在保佑着你们，只要你们把上供的正方体祭坛，在不改变原来形状的情况下，把它的体积增大到原来的两倍，神就会高兴，就能免除你们的灾难。”
濒于死亡的人们听后立即去改造神的祭坛，他们把祭坛的每边棱长扩充到原来的两倍。但神庙的主人看后说：“这哪里是原来的两倍，这是原来的八倍了。神不高兴啊！”
人们听后赶忙拆了重建，他们把体积改成了原来的两倍，可形状却是一个长方体。神庙的主人训斥道：“该死的信徒们，你们怎么把祭坛的形状改变了呢，这不是戏弄神吗？当心还有更大的瘟疫！”
惊慌失措的人们急忙去找著名的学者柏拉图，把希望寄托在这位大智者的身上。谁知柏拉图和他的学生们无论怎么用直尺和圆规去画，也同样找不到正确的办法，于是，立方倍积问题便成了一道几何难题。
后来，希腊人又碰到了把一个已知角分成三等分和化圆为方问题（即求一个正方形，使它的面积等于一个已知圆的面积）。
从此，立方倍积、三等分角、化圆为方这三个问题一直困扰着世世代代的数学家，不少人为此呕心沥血，穷毕生精力也找不到答案。这样一直延续了2000年。
笛卡尔认真总结前人的大量经验教训后猜想，古希腊三大几何难题，采用尺和规作图的办法。是不是本来就作不出呢？应该另找一条道路才是。
1621年，笛卡尔退出军界，与数学家迈多治等朋友来到巴黎，潜心研究数学问题。1628年，他又移居资产阶级革命已经成功的荷兰，进行长达20年的研究。这是他一生最辉煌的时期。
一天，疲惫不堪的笛卡尔躺在床上，望着天花板思考着数学问题。突然，他眼前一亮，原来，天花板上有一只蜘蛛正忙碌地编织着蛛网。那纵横交错的直线和四周的圆线相交叉一下子启发了他。困扰他多年的“形”和“数”问题，终于找到了答案。他兴奋地爬了起来，迫不及待地把灵感描绘出来。他发现了这样的规律，如果在平面上画出两条交叉的直线，假定这两条直线互成直角，那么就出现四个90度的直角。在这四个角的任一个点上设个位置，就可以建立起点的坐标系。
这个发现的基本概念简单到近乎一目了然，但却是数学上的伟大发现。它就是建立了平面上点与坐标（x、y）之间的对应关系。进一步构成了平面上点与平面上曲线之间的对应关系。从而把数学的两大形态——形与数结合了起来。不仅如此，笛卡尔还用代数方程描述几何图形，用几何图形表示代数方程的计算结果。于是，创造出了用代数方法解几何问题的一门崭新学科——解析几何。
解析几何的诞生，改变了从古希腊以来，延续两千年的代数与几何分离的趋向，从而推动了数学的巨大发展。虽然，笛卡尔在有生之年没有解开古希腊三大几何问题，但他开创的解析几何却给后人提供了一把钥匙。
解析几何的重大贡献，还在于它提供了当时科学发展迫切需要的数学工具。17世纪资本主义迅速发展，天文和航海等科学技术对数学提出了新的要求。例如，要确定船只在海上的位置，就要确定经纬度；要改善枪炮的性能，就要精确地掌握抛物体的运行规律。所有这些，涉及到的已不是常量而是变量。
12.和牛顿比肩的数学家
1684年，《学术学报》上发表了德国数学家莱布尼茨的一篇文章，宣布他发现一种微分法，即“一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算”，1686年，他又发表了类似的文章，讨论“潜在的几何与分析不可分和无限”等。一年以后，物理学家牛顿出版了他的巨著《自然哲学之数学原理》，也谈到了他研究的求极大与极小的问题。实际上，他们俩人都发现了微积分的数学原理。于是，就有关创立微积分的优先权问题，发生了一场激烈的争论。遗憾的是，由于人们不明真相，使30多岁的莱布尼茨长期蒙受冤屈。1699年，瑞士数学家法蒂奥德迪利给皇家学会写文章，说莱布尼茨的思想获自牛顿。接着，不少科学家接踵而至，都说莱布尼茨不是发明者。萨维尔天文学教授凯尔，则指控莱布尼茨是剽切者。为此，莱布尼茨参与了争论，辩白自己的冤枉。但没有人相信他。1716年11月14日，莱布尼茨含冤逝世，朝廷竟不闻不问，教士们也借口说莱布尼茨是“无信仰者”而不予理睬。
直到莱布尼茨死后，英国皇家学会为牛顿和莱布尼茨发现微积分的优先权问题，专门成立了调查评判委员会。经过长期调查，终于弄清事实，委员会在《通讯》上宣布，牛顿的“流数术”和莱布尼茨的“无穷小算法”只是名词不同，实质上是一回事，他俩都是微积分的发明人。
原来事情是这样的，1676年，牛顿在写给莱布尼茨的信中，宣布了他的二项式定理，提出了根据流的方程求流数的问题。但在他们交换的信件中，牛顿却隐瞒了确定极大值和极小值的方法，以及作切线的方法等。而莱布尼茨在给牛顿的回信中写道，他也发现了一种同样的方法，并诉说了他的方法。这个方法与牛顿的方法几乎没有什么两样。二者的区别是：牛顿主要是在力学研究的基础上，运用几何方法研究微积分；而莱布尼茨主要是在研究曲线和切线的面积问题上，运用分析学方法引进微积分概念，得出运算法则。牛顿是在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼茨高出一筹。但莱布尼茨的表达式采用的数学符号，既简洁又准确地揭示出微分、积分的实质，远远优于牛顿。因此，他们二人发明微积分各有千秋。
莱布尼茨1646年6月21日出生于德国东部的莱比锡城。他的父亲是哲学教授，但在他6岁时父亲就过早去世了。然而，父亲留下的大量藏书却为莱布尼茨提供了丰富的知识源泉。
莱布尼茨8岁入学，少年时就可以用多种语言表达思想。15岁时考入有名的莱比锡大学，开始对数学发生兴趣。1666年，莱布尼茨转入纽伦堡的何尔道夫大学。这一年他发表了第一篇数学论文《论组合的艺术》，显示了他的数学才华。这篇论文，正是近代数学的一个分支“数理逻辑”的先声，他也因此成为数理逻辑的创始人。
大学毕业后，莱布尼茨获得法学博士学位，投身外交界。1672年3月他作为大使出访法国巴黎，为期4年。在巴黎工作之余钻研数学，结识了荷兰数学家惠更斯。并利用业余时间攻读笛卡尔、费尔马、帕斯卡等人的原著。为他步入数学王国的殿堂打下了坚实的基础。
1676年，莱布尼茨到汉诺威，在那里他博览群书，创立了微积分的基本概念和运算方法，成就了他一生最伟大的发明。
莱布尼茨陆续创立了一些表示微积分的符号：dx表示微分，即拉丁文“differentia”的第一个字母，意为“分细”。∫表示积分，即拉丁文“summa”的第一个字母“s”拉长，意为“求和”。他创立的这些符号，为数学语言的规范化和独立化起到了极为重要的推动作用。这些符号一直用到今天。
此外，莱布尼茨还提出了使用“函数”一词，首次引进了“常量”，“变量”和“参变量”，确立了“坐标”、“纵坐标”的名称。他对变分法的建立及在微分方程、微分几何、某些特殊曲线（如悬链曲线）的研究上都做出了重大贡献。
13.双目失明者创造的“欧拉时代”
1707年4月15日，瑞士巴塞尔城附近的里恩村，有一位叫保尔·欧拉的牧师家里诞生了一个男孩，这就是后世称其为“百科全书式的数学家”欧拉。
小欧拉自幼聪颖，7岁那年，父亲把他送到巴塞尔神学校去学习神学。起初，他对上帝创世深信不疑。一次，他问老师：“天上有多少颗星？”老师答不出来，只是说：“天上的星星都是上帝亲手嵌上去的。”于是，小欧拉问：“既然上帝亲手制作了星星，为什么记不住它们的数目呢？”他对上帝的信仰开始动摇，也不专心听课了。不久，学校开除了他。
父亲保尔通数学，见儿子不愿学神学，就开始向他传授数学知识。小欧拉如鱼得水，立刻入了迷。
1719年，欧拉12岁。父亲为了考一考儿子的能力，正赶上家里要修羊圈。于是，他给出了一个固定长度，让欧拉围成一个面积最大的方形羊圈。欧拉想来想去，把它围成了一个正方形。于是，小欧拉“巧围羊圈”的故事不胫而走，被巴塞尔大学的著名数学教授伯努利约翰知道了。这位教授竟亲自出城，找到欧拉的父亲，说要保举小欧拉去大学学数学。老欧拉却说：“教授，我希望他将来是一位神学家，而不是数学家。”约翰说：“可你知道吗，这孩子是个数学天才。如果你固执己见，会葬送这孩子的前程。”
在约翰教授的劝说下，老欧拉终于点头了，13岁的小欧拉被巴塞尔大学破格收录了。欧拉不负老师厚望，入学后勤奋好学，广闻博览，又善于独立思考，不久就可以与那些年龄大的同学比肩。他的老师约翰则根据他的特点因材施教，循循善诱，每周六的下午都挤出时间为他个别辅导，使他的学业突飞猛进。17岁时，欧拉便成为巴塞尔大学第一位最年轻的硕士。1726年，欧拉发表了讨论船桅最佳位置选择的论文，荣获巴黎科学院的奖金。
1727年，欧拉由丹尼尔推荐，受俄罗斯女王叶卡特琳娜的聘请，来到彼得堡科学院任院长，做丹尼尔的助手。1733年，丹尼尔回国，欧拉接替丹尼尔的工作，成为数学教授及彼得堡科学院的学部领导人。由于当时俄国统治集团长期陷入权力之争，无心科学事业，科学院的生存岌岌可危。1733年至1741年，欧拉的工作条件相当艰苦。他的许多不朽著作，都是在“膝上坐着孩子，肩上趴着猫”的情况下写出来的。欧拉还担负着许多社会责任，如承担菲诺运河的改造方案，宫廷排水设施的设计审定，为俄国学校编写教材，帮助政府绘制地图，制定度量衡标准，为气象部门提供天文数据，协助建筑单位进行设计结构的力学分析……由于他长期疲劳工作，又长期观测太阳，使他的视力迅速衰退。1735年，年仅28岁的欧拉右眼失明了。就在这时，有关“七桥问题”传入彼得堡科学院，欧拉出于对数学的热爱，又潜心研究起“七桥问题”。“七桥问题”是古希腊人留下的一道难题。18世纪初，波罗的海沿岸的古城哥尼斯堡（今加里宁格勒），普雷格尔河横贯市区。这条河在市区内分成两个支流，把奈发夫岛截成两段并把两岛环抱起来，形成了一个美妙的“8”字。有好事者根据古人的“七桥问题”，就在这里建起了七座桥，把两个小岛和两岸连接起来。
于是，这个问题直观地摆在游人面前：一个人怎样才能一次走过七座桥，而且每座桥只经过一次，最后又回到出发点。
从此，无论是稚气未退的少年还是白发苍苍的老者，都想试一试自己的智力。他们在这七座桥上穿来走去，但都没有一个人能成功过。因此，这七座桥便很快地名扬欧洲，又引来一批批游客。但是，又有多少年过去了，还是没人成功。
这时，29岁的独眼青年欧拉也来到了哥尼斯堡，他在桥上走了几次之后，想道：“千百万人的无数次失败，是不是说明这样的走法根本就不存在呢？”
猜想是需要证明的。于是，欧拉埋头对这个猜想进行证明。他先用“穷举法”，即把所有可能的走法列成表格，逐一检查哪种走法能行得通。结果他发现这是一件相当繁琐的事情，要列出7×6×5×4×3×2＝5040条路线来！这太困难。另外，他又想到，如果存在更多的桥，或一个城市有更多的街道，那可如何列呀？
于是，他换了一种思维方式，想到了莱布尼茨的“位置几何学”。经过细心推想，他把两个小岛和两岸陆地看成A、B、C、D四个点，而把7座桥看成是7条线，就画成了一幅图：
由于此图有点像蝉，所以后人称之为“欧拉金蝉”。通过这个图形，欧拉严谨地证明：不可能不重复地一次走遍这7座桥。
很明显，“七桥问题”是一个几何图形问题。但是，在此之前的传统几何学却把它排除在外，因为人们所熟知的几何理论，都是与“量”（长短、大小等）有关，而这个问题居然与“量”无关。“七桥问题”提出了一个新的几何学的分支——“拓扑学”。欧拉一举证明了“七桥问题”一时引起人们的敬慕和惊叹，求教的人络绎不绝。后人称他为“拓扑学的鼻祖”。接着，欧拉又继续研究，他的几何学超出了欧几里得的范围，从而奠定了“网络论”几何学科的基石。
1741年，欧拉不能忍受俄国统治者的昏庸腐败，离开了生活14年的彼得堡，踏上了普鲁士国土。1759年，他成为柏林科学院的领导人，为普鲁士王国解决了大量的社会实际问题。如社会保险、运河水力、造币规划等。他成功地将数学应用到各种实际的科学和技术领域。
1762年，俄国的叶卡特琳娜二世继位。在这位有为的女王敦请下，欧拉重返彼得堡，继续他的研究和工作。1766年，欧拉的左眼又失明了，使他完全成了一个盲人。但他仍以顽强的毅力，采用口述，由别人记录的方法，坚持他的研究。
1777年，更大的不幸降临，欧拉的家里不慎失火，他的著述几乎全都变为灰烬。这对于70岁高龄的欧拉来说，是一个致命的打击。然而，欧拉却以惊人的毅力，重新开始他的著述。他的头脑里如一卷百科全书，他不停地口述，助手为其记录，居然把他葬身火海的著作全都重新写了出来，而且还进行了一次订正！
1783年9月18日，欧拉走过了76年的历程与世长辞。他死后，数学家们把他的著作编成全集出版，竟达72卷之多。
在欧拉的著作中，“无限小分析”方法是从欧拉开始的；变分学基础是欧拉方程；拓扑学中有欧拉数；刚体力学有欧拉角；复变函数中有欧拉函数；数论中有欧拉定理……后人称欧拉为“数学分析的化身”。在世界数学发展史上，人们把18世纪称为“欧拉时代”。
14.命运多舛的数学之星
1832年5月30清晨，在法国同提勒的一个湖边，有位农民发现一个受了枪伤的青年躺在地上。这位好心的农民立刻找来村民，把这个青年抬进了医院。可惜，由于他伤势过重，流血过多，第二天就死去了。过后，人们才知道，这位青年不满20岁，是因为与人决斗而死的。不久，人们又知道，这位青年精通数学，留下了虽然是薄薄60页的书稿，但却有着十分重要的科学价值。又过了数年，数学界、物理学界和化学界的学者们猛然发现，这位早亡的不满20岁的青年创立了一个数学上的新分支——群论。这一理论可以使人们深入地探讨各种不同的学科，诸如算术、结晶学、粒子物理以及鲁比克魔方的翻法……能应用于数、理、化各个领域，因此，法国人把他誉为“法兰西科学之光”。这位19岁的青年就是埃瓦里特·伽罗华。
伽罗华1811年10月26日出生于巴黎近郊的布拉伦镇。父亲是一位热衷民主共和的政治家，母亲是一位受过良好教育的法官的女儿。12岁时，他考入一所著名的皇家中学。在中学里，迷上了令同学们生厌的数学，之后便一发不可收，课内课外阅读了大量数学书籍。其中，他居然用了一周时间，一口气读完了勒让德的经典著作《几何原理》。
有一天，主持课外数学讲座的理查老师，为了刹一刹课外活动小组个别学生的傲气，故意给学生们留了一道数学难题让他们课后去做。伽罗华整整做了一个通宵，终于在第二天凌晨把这道题做完了。他敲开理查老师的家门，理查披着睡衣走出房间，听说伽罗华来交作业，就冷谈地说：“留下来我看看吧，恐怕你们这些人还没有谁能完成这个题目！”
伽罗华走了后，理查又忙别的事情去了。直到这天晚上，他才无意中拿起了伽罗华的作业随便看上一眼。谁知不看则已，一看便不能释手，最后竟大呼起来：“奇才，奇才！”
原来，理查是从数学大师高斯的著作思考题中找出了一道怪题，此类题就是造诣很高的成年数学专门人才，也得费很大劲才能做出来。谁知伽罗华居然做出了几个不同解法。他被这少年的超人智慧折服了，他暗下决心，一定要下大力气培养他。
当理查问伽罗华做此题的感受时，伽罗华平静地说：“高斯提出的问题我已经考虑好久了。其中的习题有的我已经做了好几遍了。”当伽罗华讲述他理解此题的经过和思路时，讲到精采处，理查情不自禁地鼓起掌来。他对其他教师说：“伽罗华最适宜在数学的尖端领域中做研究工作。”之后，他帮助伽罗华撰写了第一篇数学论文《循环连分数定理》，并推荐在《纯粹与应用数学年鉴》上发表。
16岁时，伽罗华考入巴黎师范大学。入学半年，他向法国科学院提交了有关群论的第一篇论文。不久，他又以超人的才气完成了几篇数学研究文章，以应征巴黎科学院的数学特别奖。谁知命运对他极不公正，使他连遭厄运。
当科学院第一次审查会开始时，法国数学家柯西是一位心胸狭隘的人。当他打开公文包时，耸耸肩，却说：“非常遗憾，伽罗华的论文不知怎么丢失了。”于是审查会不得不草草收场。伽逻华还曾向法国科学院寄过几篇数学论文，经手的人是常务秘书傅立叶。傅立叶也是一位大数学家。岂知事不凑巧，傅立叶接到手稿后不久去世了，人们在他的遗物中也没有找到伽罗华的手稿。
1831年1月17日，科学院第三次审查伽罗华的论文。主持人是大数学家泊松。泊松出于傲慢与偏见，认为伽罗华只是一个普通高校的普通大学生，难有什么创见，因此没有认真听伽罗华的论文宣读，便草率地下了一个结论：“完全不能理喻。”
尽管命运如此不公，但伽罗华仍继续他的数学研究。他涉足了方程论、群论、可积函数等众多领域，创立了“伽罗华理论”，为群论打下了坚实的基础。除此之外，他还在数学中建立了许多概念，他的研究成果在大量的、各种各样的数学研究中得到广泛应用。在他的著作基础上，产生了许多全新的数学分支……
伽罗华还是一个倾向民主共和的积极分子。为了纪念法国人民攻占巴士底狱，他参加了反对复辟王朝的群众游行示威，并因此被逮捕，在狱中被关押8个月。
就在他出狱不久，为了一桩至今仍是谜团的恋爱纠纷，被迫接受决斗，因而惨死枪下。
也许他知道此次决斗凶多吉少，于是他留下了遗言给他的同伴。信中写道：“我请求大家不要责备我不是为自己的祖国而献出生命……苍天作证，我曾经用尽办法试图拒绝决斗，只是出于迫不得已才接受了挑战。”
他还在自己留下的60页数学手稿中留下了字条：“这个论据需要补充，现在没有时间。”
伽罗华英年早逝，无疑是数学界的一大损失。一些大学者们认为，他的死，“至少使数学发展推迟了几十年。”
15.玻洛汉姆桥上的数学发现
爱尔兰的都柏林市有一座名叫玻洛汉姆的桥。至今，桥头仍立着一块石碑，碑文刻的是：“1843年10月16日，当威廉·哈密顿经过此桥时，他天才地发现了四元数的乘法基本公式。”人们经过这里，都要驻足观看碑文，缅怀哈密顿对科学的伟大贡献。
哈密顿，1805年生于爱尔兰首府都柏林。他的父亲是一位律师兼商人，母亲是名门小姐，父母都很有才华。但是，到他14岁时，双亲都不幸相继去世。从此，他的叔叔詹姆士·哈密顿成了他的监护人。詹姆士是一位精通多种语言的专家，哈密顿从小就受其影响，在语言上得到了早期发展。正是早期的语言发展，提高了他的逻辑思维能力，为他在数学的成就奠定了基础。
12岁时，哈密顿读完了《几何原本》，接着，又读完了法国数学家克莱罗的《代数基础》。13岁时，从美国来了一位数学神童。于是，两位神童互相切磋，取长补短，使他在数学上的兴趣大增。17岁时，哈密顿就掌握了微积分，并学会了计算日食和月食的数理天文学。18岁时，他参加了都柏林三一学院的入学考试，在100多名考生中，他以第一名的成绩被录取。
1827年，22岁的哈密顿大学还没有毕业，就写成了《光线系统理论》的论文。这篇论文为几何光学的建立奠定了素材基础，并且引入了所谓光学的物征函数。后来，哈密顿又对该论文作了三个补充，从数学理论推演出，在双轴晶体中按某一特殊方向传播的光线，将产生折射光线的一个圆锥。这个论点后来被光学实验证实了。
当时学院里有一位很有影响的天文学教授叫布瑞克莱，他十分欣赏哈密顿的才华。1827年，布瑞克莱宣布辞去都柏林三一学院天文学教授的职位。他极力推荐，并说服校方，年仅22岁的哈密顿就成了布瑞克莱的继承人，成为天文学教授。与此同时，哈密顿又荣获了爱尔兰皇家天文学家的称号。
但是，哈密顿的志向不在天文学上，他全力以赴地钻研数学。1828年开始，他就着手研究四元数。四元数是实数、复数这个数系的发展，是超复数的一种，即属于四维矢量。用现代术语来说，它是一个线性代数的组成部分。
然而，经过十几年的苦心钻研，哈密顿仍然没有成功。1843年，已经是他研究四元数的15个年头了。这年的10月16日黄昏，哈密顿的妻子见丈夫整日埋头书堆，劳累不堪，于是费了好大劲才把他劝动，拉他外出散步。
当时秋高气爽，景色宜人。哈密顿在妻子的陪同下，漫步在皇家护城河畔的林荫道上。一阵阵秋风吹来，带着成熟的果香。哈密顿贪婪地呼吸着河畔清新的空气，不禁心旷神怡。他暂时忘了他醉心的数学题目，陶醉在大自然之中。
他们夫妻俩走上了玻洛汉姆桥，驻足桥上，望着暮色中的街景桥影，哈密顿的大脑思维突然再度活跃起来，闪光、跳荡、寻觅、联想……突然，他的思维大门一下子打开了，智慧的冲击波冲破了以往的障碍束缚，他一下子悟出了四元数运算的奥秘。他立刻掏出随身携带的笔记本，把他头脑中闪光的要点迅速记录下来。追求15年之久的四元数研究目标，终于在玻洛汉姆桥上找到了它的解法。哈密顿唯恐思路中断，急忙拉起他的夫人往家里跑去，这时，其他散步的男女老少都用奇异的目光看着这一对怪人。
回到家里，哈密顿把自己关进书房，一连几天不肯出来，甚至连饭都得让人送进去。最后，他终于从数百页演算纸里，抄清出了一篇极有价值的论文。
1843年11月，哈密顿在爱尔兰科学院宣布发现“四元数”，从而轰动了当时的数学界。四元数的发现，有力地推动了向量代数的发展。过去，复数理论只可用于平面向量，而空间向量问题则要用四元数向量部分来解决。哈密顿还把四元数引入微积分，定义了描述函数的数量或方向两个方面的变化的一系列概念。例如“梯度”、“旋量”等，成为研究物理学、工程学的重要计算工具。
10年之后，哈密顿写成了《四元数讲义》，并于1857年发表。当时著名的物理学家麦克斯韦正在研究电和磁，他苦于无法描述电磁运动及其变化规律。电和磁都是带有方向性的量。要弄清电磁运动的规律，必须首先从数学方法上找到解决的途径。麦克斯韦曾长期用复数向量处理，却一直得不到正确结果。当哈密顿四元数问世后，终于使麦克斯韦走出困境，使他的电磁研究获得了成功，并得出了“麦克斯韦方程组”，预言了电磁波的存在。
哈密顿深知四元数在科学上的重大意义。于是，在他生命的最后20多年中，一直倾注全力进行研究。他预感到，四元数的应用将在物理界引起巨大的变革。可惜的是，在这种变革没有到来之际的1865年9月2日，他因为慢性酒精中毒而离开了人间，终年60岁。
16.“假结婚”走出国门的女数学家
1850年，莫斯科一位数学教师家里诞生了一位女婴，她就是俄国伟大的女数学家苏菲·柯瓦列夫斯卡娅。
幸运的是，苏菲从一降生，就生活在数学的天地里。原来，她住的房子，墙壁上四处裱糊着她父亲的数学讲义。苏菲从小就看着，读着这些半懂不懂的讲义长大。那些奇奇怪怪的数学符号给她留下了深刻的印象。伴随年龄的增长，在家庭女教师的解答下，她渐渐弄懂了这些符号和数学公式。
14岁的时候，苏菲不经别人帮助，就能看懂父亲的朋友带给她的数学教科书中三角公式的意义，15岁时，父亲同意她利用冬季居住彼得堡期间，学习高等数学。
长成大姑娘的苏菲十分想往完全的高等教育，可是当时俄国的大学对女子是紧闭大门的。当时，只有西欧一些大学肯收女学生，苏菲于是立志要到外国去。可是，专横的父亲不同意，他不希望女儿从自己的身边飞走。
当时，一些俄国姑娘为了离开专制的家庭，常常采用与外国人“假结婚”的办法出国，苏菲也如法炮制，与莫斯科大学一位外国学生协商，帮她实行“假结婚计划”。1868年，苏菲不顾父母的反对“结婚”了，第二年春天，她冲出国门，为了她喜爱的数学，来到了德国的海德堡。
又几经周折，苏菲进了德国最古老、最有名望的海德堡大学。三年期间，她修完了数学、物理、化学和生理学等大学课程。在大学里，她最喜欢的课程是“椭圆积分论”。当她得知这一理论是著名数学家魏尔斯特拉斯建立的，就热切地想去柏林向这位著名的教授学习。
1870年，苏菲来到柏林，尽管她带来了海德堡大学教授的推荐信，但柏林大学仍拒收她，唯一的理由就是“柏林大学不收女学生”。无奈，苏菲只好直接去找年已55岁，声名显赫的魏尔斯特拉斯教授。这位数学大师与苏菲一谈，深被她的求知欲所感动，便亲自与学校当局疏通，但学校当局及同事们都认为，数学不是女人的事，拒绝了他的极力推荐。
善良的魏尔斯特拉斯为了不让苏菲失望，决定自己教她，但他要先试试苏菲的水平，刚好他手里有一些准备给高年级学生演算的试题，他就叫苏菲做一做。令他吃惊的是，苏菲不仅演算迅速、答案清晰，而且很有独创性。从此，苏菲便在这位名师的指导下从事数学学习和研究。
1874年，德国的数学中心哥廷根大学，根据魏尔斯特拉斯教授的推荐和苏菲三篇高水平论文，未经口试，便授予苏菲博士学位。她成为哥廷根大学第二个女博士。之后，魏尔斯特拉斯教授极力推荐她去大学教书，但顽固的守旧势力始终不肯接纳她，苏菲只好回俄国去了。
在俄国，经科学院院士切比雪夫极力举荐苏菲去大学教书，但仍没有成功。后来，还是在魏尔斯特拉斯的瑞典学生帮助下，才使她有幸在斯德哥尔摩一所大学当数学讲师。
1888年，法国巴黎科学院悬赏解题——“刚体绕固点旋转的问题”，这是数学大师欧拉和拉格朗日长期感到棘手的问题。学术委员会采用密封评选的办法，在应征的15篇论文中，选出了一篇最出色的予以奖励，奖金5000法朗。打开选中的试卷一看，获奖者竟是俄国女性苏菲。
苏菲获此奖励在法国学术界轰动一时，她成为第一个跨进法国科学院大门的奇女子。她在偏微分方程方面很有建树。在此期间，她完成了法国大数学家柯西的一项研究，偏微分方程理论的一个重要基本定理“柯西——柯瓦列夫斯卡娅定理”，就是以柯西和苏菲二人的名字命名的。
苏菲获奖的第二年，斯德哥尔摩学院授予她一笔高额奖金，又正式任命她为大学教授。可是，守旧势力是顽固的。瑞典的著名作家特林倍格就此撰文说：“女人担任数学教授是奇怪的、有害的、难堪的现象。”但苏菲却以她出色的教学成绩，赢得了学生们的爱戴和尊敬。仅用一年时间，她就能用流畅的瑞典语讲课了。最终，瑞典人信服了她。
1891年，历经坎坷的苏菲在瑞典逝世，年仅41岁，人们把她安葬在斯德哥尔摩，表示对她永久景仰。
苏菲死后，她的大脑按北欧人的特殊习惯，进行了解剖研究，据说4年后，医生把她的大脑与德国大物理学家赫尔霍兹的脑量比较，发现她的大脑在比例上大于一般男人。
17.第一个算出地球周长的人
2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长。这个人就是古希腊的埃拉托色尼（约公元前275—前194年）。
埃拉托色尼博学多才，他不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。
细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城（今埃及阿斯旺附近），夏日正午的阳光可以一直照到井底，因为这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立和形成的夹角。按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。埃拉托色尼测出夹角约为7度，地球的周长大约为4万公里，这是实际地球周长（360度）的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长（40076公里）相差无几。还计算出太阳与地球间的距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近。这充分反映了埃拉托色尼的尝试说和智慧。
埃拉托色尼是首先使用“地理学”名称的人，从此代替传统的“地方志”，写成了三卷专著。书中描述了地球的形状、大小和海陆分布。埃拉托色尼还用经纬网绘制地图，最早把物理学的原理与数学方法相结合，创立了数理地理学。
18.业余数学家之王——费马
17世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就是费马（1601—1665年）。nzn
这道题是这样的：当n＞2时，x＋y＝z没有正整数解。在数学上这称为“费马大定理”。为了获得它的一个肯定的或者否定的证明，历史上几次悬赏征求答案，一代又一代最优秀的数学家都曾研究过，但是300多年过去了，至今既未获得最终证明，也未被推翻。即使用现代的电子计算机也只能证明：当n≤4100万时，费马大定理是正确的。由于当时费马声称他已解决了这个问题，但是没有公布结果，于是留下了数学难题中少有的千古之谜。
费马生于法国南部，在大学里学的是法律，以后以律师为职业，并被推举为议员。费马的业余时间全用来读书，哲学、文学、历史、法律样样都读。30岁时迷恋上数学，直到他64岁病逝，一生中有许多伟大的发现。不过，他极少公开发表论文、著作，主题通过与友人通信透露他的思想。在他死后，由儿子通过整理他的笔记和批注挖掘他的思想。好在费马有个“不动笔墨不读书”的习惯，凡是他读过的书，都有他的圈圈点点，勾勾画画，页边还有他的评论。他利用公务之余钻研数学，并且成果累累。后世数学家从他的诸多猜想和大胆创造中受益非浅，赞誉他为“业余数学家之王”。
费马对数学的贡献包括：与笛卡尔共同创立了解析几何；创造了作曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分的思想先驱；通过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理论——数论的发方向。他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一。
19.康托尔的数学成就
伽利略曾作过这样的证明：DE是△ABC的中位线，，通过A引任意一条直线，必然有DE上的P′和BC上P一一对应，因此，DE所包含的点与BC所含的点“一样多”，导致结论：DE＝BC，1＝2。这是一个数学悖论。
由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果（称为“悖论”），许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。1874—1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔（1845—1918年）向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的一点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”！后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。
康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。
真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩。1897年举行第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认。伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月6日，康托尔在一家精神病院去世。
康托尔生于俄国彼得堡一个丹麦犹太血统的富商家庭，10岁随家迁居德国，自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学们，以后一直从事数学教学研究。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础。
20.全能数学家——彭加勒
一位数学史权威评价彭加勒（1854—1912年）时说，他是“对于数学和它的应用具有全面知识人的最后一个人。”20世纪以来，数学进入了多学科、高难度的现代阶段，要想达到每个领域的最高成就已经不可能，但彭加勒确实是他那个时代的数学全才。
一般把数学划分为算术、代数、几何和分析四个领域，彭加勒对各个领域的研究成果，都是第一流的。他成功地解决了像太阳、地球、月亮间相互运动这一类的三体问题；他是现代物理的两大支住——相对论和量子力学的思想先驱；他研究科学哲学提出的“约定论”着重分析了人类理性认识的基本法则，日益受到当代哲学家的重视。在他从事科学研究的34年里，发表论文500篇，著作30多部，获得过法国、英国、俄国、瑞典、匈牙利等国家的奖赏，被聘为30多个国家的科学院院士。
1912年6月26日，彭加勒病逝前20天作了最后一次讲演，他说：“人生就是持续斗争。”彭加勒的一生就是斗争的一生。他因为小时候得过病，语言不够流畅，写字画图都有困难；还留下了喉头麻痹身体虚弱的后遗症。不少人把他当作笨人。他成为数学家后，一位心理学家通过测验仍然认定他是“笨人”。彭加勒取得成就的关键是注意力高度集中。他一生最大的嗜好就是读书，读书速度快，记忆准确持久。因为视力不好，书写困难，他上课不记笔记，全神贯注于听讲、思索、理解，长期的磨练，使他具备了运用大脑完成复杂运算，构思长篇论文的能力。1871年，17岁的彭加勒报考高等工业学校，轻松地解决了主考官特意为他设计的难题，尽管他的几何作图得了零分，学校也破格录取。1879年，25岁的彭加勒获数学博士学位，32岁任数学和物理学教授，以后在科学园地里辛勒耕耘26年。
21.非欧几何创始人之一
罗巴切夫斯基（1792－1856），俄国数学家，非欧几何的创始人之一。生于诺夫哥罗得即现在高尔基城。10岁进入中学，15岁进喀山大学，19岁获硕士学位，24岁任喀山大学数学教授。1826年2月6日罗巴切夫斯基在喀山大学提出了用法文写的论文《几何学原理简述及平行线定理的严格证明》。人们把这一天公认为是新几何的诞生日。1827年7月30日被选为喀山大学校长，一直连任到1846年。1829年《喀山通报》第一次登载了他的几何论述“关于几何学原理”。他的主要功绩是改变了欧几里得几何中的平行公理（即第五公设），提出了一种新的几何学，称为“双曲几何学”或罗巴切夫斯基几何学。但是它和传统的欧氏几何发生了矛盾，所以最初发表时不能被人理解，甚至被认为是荒谬的，因而在他生前这种几何思想未被人们重视。1856年2月24日罗巴切夫斯基逝世，1893年在他诞生100周年之际，为了纪念他在数学史上的杰出贡献，喀山大学树起了他的纪念像。1896年9月1日又在喀山大学对面树起了罗巴切夫斯基的纪念碑，将他的名字载入世界数学的光辉史册。
22.沈括和他的隙积术
沈括（公元1031～1095）是我国古代卓越的科学家，他出生于钱塘（杭州）。有一天，他和朋友在一家酒店喝酒时，看到院子里整整齐齐放着一堆酒坛。
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