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作者：倪尔瑚

出版社：浙江大学出版社

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材料科学中的谐振和色散试读：

谐振必然引起色散，但色散的出现不一定是谐振，而本书所考察的色散是源于谐振。材料科学中的谐振和色散所涉及的面非常广，这里只讨论均匀材料的整体谐振［1，2］，和由谐振微单元（包括复合单元）组成的周期超材料（metamaterials）的色散［3-9］，它处于周期尺寸小于1/4波长时的状况；以及周期间隔是波长的可比尺度时发生的相消干涉状态所形成的电磁波带隙（electromagnetic band-gap）材料［10，4-9］。也就是说，当把各类介质谐振器也视为材料时，借助于谐振和色散可以将这三类频率选择材料联系在一起。就应用的观点来看，在微波电路的微型化、模块化和集成化所构成的亚系统或系统中，这些材料性能的互补、配合，可为器件-电路-系统实现更好的电磁兼容和功能优化。特别值得一提的是，介质谐振器整体，由于能实现电的或磁的谐振，故也可以作为超材料的微单元。此外，对这三类结构的电磁场分析和设计优化的方法，以及等效电磁参数的提取也是极其类似的。

从电介质物理学知道，在电磁场作用下，极化激元尺寸远小于波长的常规媒质，遵循介质极化（或磁化）规律，那里有Kramers-Krnig关系式、介电（磁）弛豫、谐振吸收和色散等。原子和（或）分子电极化是由价电子产生的，其响应频率是在3×1014～3×1015Hz的范围，即从近红外（1μm）到紫外（0.1μm）的光谱范围，满足激元尺寸远小于波长的静态-准静态条件。在某一极化的谐振响应频区，用相对复介电常数描写的电极化频率响应是：其实部εr先从某一稳定值快速升到一个非常大的正值急速下降经εr=0到非常大的负值，接着随频率升高而回升，再经εr=0超过εr=1最后到达低于原先的另一稳定值。其虚部呈现类似于谐振曲线的响应，峰值的位置对应于激元的谐振频率。用复磁导率μr描写的某一磁极化频率响应，不仅虚部有相似的情况，其实部也有类似的谐振-反谐振规律。在现有的材料中，使电极化增强的谐振典型地发生在很高的频率：对于金属材料在光频，对于半导体和电介质最低在THz～IR（红外）频段。在另一方面，磁谐振极化典型地发生在低得多的频率，通常截止于THz～IR频区的下边。简而言之，由材料中谐振极化现象增强的基本电的和磁的过程不能发生在同一频率附近，所以在自然界只出现单负（-εr或-μr）材料。

在微波到可见光的频率下，介质中的这类响应可以用谐振或非谐振的微单元（散射元）取代原子，组成周期（或非周期）结构予以实现。当组成结构的散射元尺寸远小于激励波长时，是一种复合媒质，可以用常规的材料参数来描述。而当散射元尺寸占波长的较小部分直至与波长可以比较时，情况就不一样了。例如，就埋入低损耗介质的金属丝而言，当外激励的电场平行于线轴时，可实现介电常数εr的谐振-反谐振现象，在高于反谐振频率的区域是负εr材料。这时电磁波不能传播，是带隙。又如，把金属开环（或等效结构）埋入低损耗介质中，当外激励的电场跨接开口间隙、或磁场沿环的轴向时，可实现磁导率μr的谐振-反谐振现象，在特定的频区是负μr材料，也出现不能传播电磁波的带隙。如果合理设计散射元的结构，使人造周期媒质中呈现负εr与负μr的频区重叠，这两个带隙的组合就变成带通，传播反向波。但它是自然界所没有出现的双负参数（-εr和-μr）材料或负折射指数材料，也称左手材料（LHM）或超材料。可见，左手材料是因E（电场矢量）×H（磁场矢量）是沿-k（波矢）方向传播而得名的，当然是就平面波而言。

我们知道：金属丝周期结构可以模拟等离子体，从而在微波频段得到负介电常数材料。而负磁导率材料的获得是借助于开口环谐振器（split ring resonator），那里，由外场激励而谐振的局域电流在SRR中环流，导致很强的磁响应，从而提供了金属丝负介电常数媒质所希望频率下的负磁导率。2000年，终于得到Veselago早在1967年所预言的左手材料。另一种现象是：SRR或其他有强磁响应性能的散射元的适当排列，因磁耦合而产生的感应电压，称为磁感应（magnetoinductive）波。它可以是正向导行波（群速与相速同方向）或反向导行波（群速与相速反方向），所以MI波也属于超材料的范畴。它可以把实现反向波的低端频率延伸到几十MHz，其高端可达THz。类似于声子谱，在线性双周期结构中的磁感应波色散曲线有两个分支：声学支和光学支。不管是光学支或是声学支，在低频端总是正向导行波，在高频端总是反向导行波。

至今，许多作者承认，SRR按比例缩小尺寸来创建磁响应能达到的极限频率是373THz（波长804nm）。而纳米圆锥对网格媒质或纳米球环形阵列媒质可在可见光波长（380~760nm）下同时创建电和磁的响应，来实现负折射材料。这样，基于人为磁响应去实现超材料的频率范围目前约是30MHz～700THz。随着光学超材料的出现，光频下没有磁性的概念变得模糊起来。

可见，为要实现负折射，造成强烈的人为磁响应是我们必须面对的巨大挑战。从这个问题来看，寻找其他不同的方法去制造反向波媒质已被一些学者考虑。特别是，这样的效应能存在于更复杂的手征（旋光）媒质中。简而言之，当散射元-电偶极子或（和）磁偶极矩接近谐振时，折射指数n变成小于手征参数κ。在各向同性手征媒质中，两个本征波的实传播常数是β=k0（n±κ），这意味着两个本征波中的一个是反向波。从原理上看，即使媒质只有非常弱的磁性或没有磁性，反向波也能被实现。这就是说，若用手征媒质也能实现负折射，而不必生成人造负磁性响应。超材料中的手征特性（空间螺旋特性）也导致某些奇异的波现象，例如，在εr和μr趋于零的极限情况［称为手征虚无（chiral nihirity）媒质］下的反向波和负折射特性。

从研究SRR基左手材料的特性和应用可知，由于SRR谐振结构的窄频带和损耗，常难于去实现微波应用。而左手材料的传输线（TL）结构能得到一个低损耗和宽频带的非谐振结构。此外，基于一般的传输线处理方法，给我们提供了对LHM物理现象的洞察力，可能在唯象的水准去模拟超材料的特殊性能，也为左手现象应用提供有效的设计工具。但在实际的LHM中也包含自然界存在的右手效应，即复合右-左手传输线结构应该被认为是LHM的更一般模型。含有右手和左手性能的超材料，称为复合右-左手（CRLH）超材料。其近似分析常采用传输线LC网络的复合右-左手材料模型或LC负载传输线的左手材料模型，得到的结果是完全一样的。由于可以应用现成的金属印刷电路技术制造，导致快速发展某些新的微波器件，特别是在微波天线领域的极宽广的应用前景。因此，超材料概念的传输线结构是一个很受欢迎的方向。

值得一提的是：传输线网格虽然可以为宏观超材料在性质和实验方面进行一个极好的描述，但是不应该与媒质完全混淆，当以它们的相似性为基础得出通用结论时，某些情况值得担忧，因为CRLH-TL材料本质上是一个带通滤波器，也更接近于电磁波带隙结构。

周期结构还遵循Bragg谐振、散射和衍射规律。类似地，当辐射源波长和人造结构的周期尺寸可以比较时，复杂的衍射和散射发生在微单元的层次，要涉及局域分析。在这种非经典的周期结构中，只有空间谐波显现相速与群速的反向平行，而当计及所有的Fouier分量时，其真实电磁场展示出高的不均匀分布，那里局域衍射（或散射）处于支配地位。这种周期间隔是波长的可观尺度时所发生的相消干涉状态，阻止了负折射现象，电磁波不能传播，出现阻带，呈现全磁导体（perfect magnetic conductor）性质，也可等效于单负（-εr或-μr）材料，称为电磁波带隙（EBG）材料或光子带隙（photonic band-gap）材料。

电磁波带隙材料一般是介质（或真空）-介质或金属-介质交替的周期结构，它包含带阻和带通性能。其2-维结构本质上是一个频率选择表面（frequency selective surface）。例如，由空气毛细柱埋入熔融石英介质中的六方结构形成的2-维介质-介质EBG结构，当将其高阻抗表面设计在红外频段时，是很好的高温隔热材料，但在微波频段则是很好的透波均匀媒质；从而可应用在卫星天线罩（窗）等方面。

因为电磁波带隙结构本质上是一个高阻抗材料，所以也可从材料的波阻抗来设计它。从阻抗Z=（μ0μr/ε0εr）1/2=（μ0/ε0）1/2·μr/n来看，假使磁导率不是特别大，而是介电常数接近于零，波阻抗仍然能够非常大。这意味着折射指数n=（μrεr）1/2变小。也就是说，高阻抗-低折射指数块也可作为人造磁性导体（artificial magnetic conductor），在某频率下呈现PMC界面。

当然，电磁波带隙结构还存在类似于Bragg谐振的通带。这就是说，对于介质（含真空）-介质结构，类似于晶体中声子（晶格振动）对入射光的调制，可以认为色散关系是结构介电常数（极化）对入射电磁波的周期调制，类似于晶体中的电子，容许传播Bloch 波。但也发现，在某些频率的特定入射角区，会出现负折射现象。负折射能被观察到的论点和事实就自然联系到超材料。这样，除常规的带通性能外，EBG材料可以在某些电磁波入射角下认为是左手材料，而在另外的一些入射角下则认为是等效折射指数小于1的材料。这是由于EBG结构的集体性能，使其可以作为周期材料问题处理。只有在这个意义上，EBG结构才能被看成是一种媒质，可以用等效参数来描述，看成另外一类负折射指数材料。这样，EBG结构能作为光波下左手材料的一种选择。

电磁波带隙结构和电（或磁）等离子体的等效，意味着凡是传播消逝波的结构都可等效于单负材料。这样用消逝波导模既可模拟-ε又可模拟-μ，可采用Drude-Lorentz模型来描述。理论、数字模拟和实验已证明：截止波导与电等离子的等效是基于消逝的TE模，当用截止矩形空波导模拟电等离子体时，在宽边中部垂直置入一系列SRR（其轴平行于磁场H），可传输反向波；它的对偶情况是，截止波导与磁等离子体的等效是根据TM消逝模，当把截止矩形空波导视为磁等离子体时，在电场E方向置入2-维金属丝阵列，同样可传输反向波。这就是说，截止波导消逝波可模拟人造电或磁等离子体形成的单负媒质；电磁波带隙即可看成TE消逝模，又可视为TM消逝模，即电磁波带隙是混合模。基于截止波导原理构成的超材料也可作为微波下反向波传输的一种选择。

然而，对于由谐振的金属散射元构成的超材料，虽然这些谐振有时发生在单元尺寸远小于自由空间波长的情况，但谐振附近的局域电荷和电流分布是不均匀的，即使把导电元作为具有单一均匀电磁性质的人造结构的主要成分，均匀也是属于理想的情况。这就是说，尽管构成超材料的散射元尺寸显著小于自由空间波长，超材料不满足均匀媒质的定义。此外，大部分周期结构超材料还有另一个共同点：周期尺度要占激励场的自由空间波长的较小部分，常为1/5～1/12波长；或者用更相关的参数k0a（自由空间波数乘以晶格常数）处于接近1的情况。即在运行频率下，单个周期单元内的电磁场相位仍遗留明显的差别。这在概念上它接近于光子晶体。从这两个共同点来看，至今几乎所有的超材料结构中，其等效周期尺度比之于自由空间波长不能被忽略，或者说，周期单元内的电磁场是不均匀的，用某些复合媒质的静态-准静态描述可能导致媒质全部重要电磁性能的丢失。即所有的均匀媒质分析技术是靠不住的，它不能应用。然而，用场平均计算法使非均匀周期元均质化，或用S参数提取技术、反射系数集的复指数近似法，按与超材料有等值响应功能的媒质取代，都可以找到超材料的色散图和等效材料参数。用它来说明某些基本超材料结构的性质，会导致切合实际的和有用的结果。

周期结构的等值响应功能法可以扩展到大大超出等效媒质理论的传统极限，甚至自由空间波长可以与周期元尺寸是同一数量级的电磁波带隙材料。当其周期元是对称结构时，对于非均匀周期结构，正确的等效折射指数总是能够被获得；波阻抗也能被赋值，但取决于周期元的终端状态。对于沿波传播方向不对称的结构，对应于波传播的两个关联方向，有两个不同值的阻抗被提取。阻抗的双值性导致确定ε和μ的重大模糊，并随着周期元尺寸与波长的比值升高而增大。分析显示，用于说明超材料特性这个方法，对于电磁波带隙材料是近似正确的。尽管如此，只需稍加改变，仍可成功用于带隙结构的初始设计。

涉及这些谐振、色散及其相关联、相结合的众多研究，已经和一定能持续地极大促进微波-天线领域的小型化、低翼形、模块化和集成化［11，12］，以及满足电子、通信领域对材料日益增长的新的或特殊的要求。这些讨论所涉及波的不寻常传播和自然界没有出现的特异电磁性能，为介质与波（材料与电磁波）相互作用的近代研究带来一些崭新的概念和应用，并在不断地深入、扩大、丰富和发展。

当然，也引起学科间的相互作用，并开始出现有价值的结果。例如，与超材料有关的全电磁导体（perfect electromagnetic conductors）被讨论［13，14］；某些很早以前的理论课题，借助于超材料的性质，现在能够被复活，像Dyakonov表面波近期被重新研究那样［15］；企图产生超导超材料被发表［16，17］；以及与电磁超材料的相似现象也出现在声学［18］。清楚地，源于谐振和色散的广义超材料将会对科学和技术产生大的和增长性的影响 。

特别值得一提的是，原子水准的周期性提供在连续区域的各向异性，而离散水准的人造周期结构则产生独特的性质。这个概念同样适用于媒质中的声波，因而可以获得单负、双负参数（密度和弹性系数）的声学超材料。此外，由于声波波长接近电磁波的105倍，对光波或微波是各向同性的材料，而对弹性波则是各向异性的。这样一块材料就可以设计在同时运行于电磁波、声波和它们的耦合状态，电磁波超材料和声波超材料、EBG和声波带隙（SBG）材料可以并存，也能使EBG和SBG均处于各向异性场合。这些性能的出现也为实现多功能灵巧（smarts）模块增添了非常重要依托。

顺便提一下，介质中的低频色散之一是源于偶极分子或偶极基团的弛豫极化。对含偶极分子物质的弛豫响应进行深入研究，想必将会对中草药成分的弛豫特征频率和食品中残毒（化合物）的定性判断起重要的作用。由于频率响应能提供物质中有一定浓度的偶极分子（基团）的弛豫信息，例如：在中草药配伍中偶极响应可以定性判断某些成分的消失和新成分的生成。在更宽广阔的领域，也许有可能成为定性判别某些物质受污染情况和判断某些未知残留物的便易手段。此外，利用水在微波频段的Cole-Cole图想必可以回答纯水的大分子结构是不存在的。

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［18］ Li J，Chan C T.Double-negative acoustic metamaterial.Phys.Rev.E，2004，70：paper no.055602第一章　介质的电学谐振

介质电学谐振的典型代表是介质谐振器。类似于金属壁谐振腔，在介质谐振器中也存在很多的谐振波模。最粗糙的近似是把介质谐振器视为金属壁（电壁）腔的对偶体，即磁壁腔或截止空间的介质谐振器。准确地说，介质谐振器先视为在虚拟磁壁截止波导中的谐振子，接着介质谐振器的周边磁壁被取消，变成以轴向两平行面形成的截止波导为负载的介质波导。可见，介质谐振器的轴向和径向都存在消逝波。电学谐振总是与滤波器、双（多）工器和天线紧密地联系在一起，当然，介质谐振器也不例外。

介质表面敷设金属或金属图形可作为等效介质，其整体也能实现电学谐振。其中微带贴片天线和TEM模介质谐振器已获得极广泛的应用和巨大发展。沿电场指向的金属图形贴片介质板的组合可视为一块能大大增强电偶极子的介质谐振器材料，也已步入器件的应用研制；易于用印刷电路板（PCB）技术或低温共烧陶瓷（LTCC）技术来实现。

介质电学谐振器件的谐振频率、电磁场分布、耦合系数等的准确分析，应采用各种方法的全波电磁模拟技术。

1.1　介质谐振器和滤波器

1939年，R.D.Richtmyer［1］证明：未金属化的电介质物体能够起极类似于金属谐振腔的作用，称为介质谐振器（dielectric resonator）。然而，介质谐振器实际应用于微波电路却开始于20世纪60年代后期，这起因于高介材料在微波频率下的介质损耗的改善。在初期的介质谐振器和滤波器研究中，Harrison［2］提出的带通滤波器结构是将TE01δ模介质圆柱谐振器同轴地置于TE01模截止圆波导中。Cohn［3］给出计算相邻介质谐振器之间耦合系数的近似公式。但由于材料介电常数的温度稳定性比所要求的相差一个数量级，从而限制了DR滤波器的应用。

陶瓷介质谐振器有实质性的突破发生在20世纪70年代：第一个温度稳定的低损耗钡-钛陶瓷被Raytheon［4］发展；用正、负温度系数材料复合而形成温度稳定的微波介质谐振器被Konishi［5］发表；不久，一个性能有改进的变形钡-钛系被Bell实验室［6］发表。这些积极结果导致介质谐振器成为微波器件。然而由于材料不足，没有商品可买到。下一个主要的突破来自村田（Murata）公司生产的（Zr，Sn）TiO4陶瓷［7］。他们提供了温度系数在+10～-12ppm/℃范围内可调节的制品，并把这些器件变成价格适中的商品。此后，介质谐振器的理论工作和应用飞速发展。如今，由介质谐振器构成的商品化电子元器件、组件，种类繁多，且很容易买到。

20世纪80年代，陶瓷材料技术的突破和卫星通信的重大进展使DR的应用再度受到重视，出现各种各样的微波电路构型和亚系统［8-11］。随着许多具有高Q因子和低温度系数的新高介材料被发展，在有效使用的温度范围内，介质谐振器能够令人满意地被控制在低的温度系数。此外，新的滤波器技术也被发展，如双模滤波器、椭圆函数响应滤波器和DR滤波器的精确全波模拟和分析方法［12-18］。这样，在过去的30年中介质谐振器和滤波器的稳定性和小型化获得惊人的进展，使DR滤波器有着低损耗、小尺寸和对温度超稳定性的优点。

自20世纪90年代以来，移动通信的快速进展大大增加了对高性能微波滤波器和双（多）工器的需求，以用于手机和基站。在地面移动通信系统工业中，单个滤波器的成本和生产批量是关键的，而在卫星通信应用中，对体积和重量的要求是苛刻的。平面布置的TE01δ模滤波器在平行馈电配置上具有许多优点，因而广泛地用于移动通信系统的基站［13，19-27］。其中，除双模介质谐振腔滤波器［26］和混合模介质谐振器滤波器［16］外，高Q可调谐DR滤波器［19］、双频带DR滤波器［20］和单一DR的三模（TE01δ，TM01δ，TE11δ）［21］结构也相继被提出。

通常采用的有两种类型介质加载谐振腔滤波器。一种是HE11双模谐振腔滤波器，它具有低损耗、小体积和椭圆函数响应；因而只需一半数目的腔体。另一种是TE01δ单模谐振腔滤波器，它具有低损耗、可灵活布置结构和非常低的寄生性能。介质加载谐振腔滤波器的缺点是介质谐振器内在的寄生模特性，尤其是在双模结构中［14-16，25，26］。以合理设计的TE01δ和HE11的混合模滤波器，DR滤波器的寄生模性能能够被改善，而仍保持椭圆函数响应滤波器的优点。

介质谐振器也广泛地应用于手机中。当高介电常数材料成为同轴线的均匀介质时，则构成另一类DR滤波器。充介质的同轴谐振腔与充空气的比较，其尺寸缩小1/εr（εr为相对介电常数），从而获得最大的尺寸下降；而谐振腔的损耗却以因子εr升高，以及功率输送能力也随着降低［17］。因此，同轴介质谐振腔滤波器常见于低功率和接收电路的应用。同轴型介质谐振器和滤波器的分析和设计相同于充空气的情况，将在稍后顾及。

1.1.1　介质谐振器的性质

我们已经知道，以自由空间为界面的介质体能在各种波模下实现谐振［24，25，3］，称介质谐振器（DR）。假使介电常数是高的，在给定谐振波模下的电场和磁场将被限制在谐振器的内部和近旁，并在一个比自由空间波长小得多的距离内衰减到可忽略的值。因此，辐射损耗是低的，谐振器的无载Q因子主要被介质体内部损耗限制。电场损耗的产生是由于介质材料的损耗角正切tanδ。假使某一谐振模的所有电能几乎都贮存在介质谐振器的内部、而外部场又不产生损耗，则DR的无载Q因子极接近

Qu=1/tanδ （1.1）

对于基模谐振器，DR的尺寸接近介质材料中的半个波导波长（λd取决于波模），并有λd≈λa/εr，εr越大，这个关系越接近；这里λa为空气中的波导波长。这样介质谐振器的尺寸可以非常小于金属谐振腔。从理论研究得知，在这些形状中L

对于所有实际应用的DR，由于在四周金属屛蔽壳内的辐射和散射，总是有一些外部损耗。这些损耗导致降低Qu，而介质外部贮藏的电能则会升高Qu。目前，可用于制作介质谐振器的材料，其相对介电常数值常为20～100。当介电常数的数量级为100或更高时，这些效应是小的，式（1.1）是DR无载Q的很好近似。

如果加载的只有截止金属腔，且金属外壳内的体积是介质谐振器的2～3倍，在谐振频率下，绝大部分能量被储藏在介质内，外壳阻止了电磁波的辐射。因为外壳是远离介质的，所以可以忽略其电导损耗对介质Qu的影响，即腔体内部的损耗实际上只受介质谐振器的损耗控制，式（1.1）仍是很好的近似。同时，由DR外场在金属屛蔽壳表面引起的电流没有严重影响谐振频率，结构的谐振频率极大地取决于介质尺寸和介电常数。在理论分析中，当所有的边界微扰被计及时，一个准确的谐振频率是可以得到的。当然，还要求用专用的介质支架（柱）来固定介质谐振器，但必须特别当心，以阻止其Q因子和谐振频率稳定度的下降。

对于DR的应用，除介质材料的介电常数和无载Q外，另一重要的材料性质是谐振频率的温度系数τf，它由三个独立的因子组成：介电常数的温度系数τε，材料的热膨胀系数α，和固定DR的周围介质或支架的热膨胀系数。由本征材料参数引起的谐振频率移动Δf与各温度系数的关系为

τf=Δf/f≈-τε/2-α （1.2）

1.1.2　介质谐振器中的波模

介质谐振器最常用的形状常常是一个长度L小于它直径D的柱面圆盘。按这个形状，其最低频率谐振模是TE01δ模［24，33］，它有一个圆环电场分布，磁场最强是在圆盘轴向，并超出圆盘足够的距离。这个场类似于轴向磁偶极子。对于L>D的情况，其基模是TM01δ模，它有一个横切于轴的等效磁偶极矩。在TE01δ模和TM01δ模附近，在DR中还存在许多另外的高次模。其中最熟悉的一个是HE11模，它常用于构成双模滤波器。HE11模的电场和磁场是沿方位角方向变化的。

介质谐振器的缺点是各个模的谐振频率彼此接近。为DR的广泛实际应用，谐振器的设计目标之一是将运行模的谐振频率尽可能远离其他模的谐振频率。屏蔽壁总是安排在大于DR直径的距离，使其很小或不影响介质谐振器的性能。DR自身的高度l与直径d的比对调谐和Q因子也有某些影响，对于TE01δ模的运行，为最佳Q和最少高次模干扰，推荐选择l/d=0.4。

在DR中心引入一个孔，形成环形谐振器，能改善TE01基模与高次模的分离［9］。给出介质内孔直径是如何影响整体DR寄生特性的。这个特性可用于改善介质负载滤波器的寄生性质。

1.1.3　介质谐振器的模型

1.Cohn简单介质谐振器模型

介质谐振器的严密分析是复杂的和数学上高强度的。一个较佳的途径是以某些简单的方法找到DR的解，而其结果又接近准确值。最常采用的简单数学模型之一是Cohn介质谐振器模型［3］，那里，圆柱DR的2-阶模型被用于去改善计算谐振频率和场的准确度。该模型假定DR被包围在全磁导体壁（PMC）的波导中。介质圆盘的顶盖和底盖通过充空气的PMC波导与DR连接。这样，DR模型降为一个简单的波导问题。在介质区，波导是高于截止频率，而在空气区波导是低于截止频率。这个波导的等值电路是两端以电抗端接的、长度L的传播传输线，而该纯虚数电抗等于以空气为介质的截止波导阻抗。

对于最通常的应用，DR常放在充空气的金属屏蔽壳内，各充空气区的尺寸与DR相当。这个把金属平行板包括进去的Cohn模型变体进一步改善了模型的准确度，它不仅包括金属屏蔽壳顶盖和底盖的效应，也计及介质支柱或基片的影响。当两个金属盖板移到无限远（L1=∞，L2=∞）和介质两端都为空气（εr1=1，εr2=1）时，这个模型变体又回到标准的Cohn模型，即它是在自由空间的一个孤立的谐振器，或者说在截止空间的介质谐振器。

用变形的Cohn模型，介质谐振器的TE01δ和HE11（TM11δ）模能够被解答。这时，每一区间内的电磁场可表示为

Hz=（Aeγpz+Be-γpz）J0（kρρ）

Hρ=-γρ/kρ（Aeγpz-Be-γpz）J1（kρρ）

Eφ=-jωμ0/kρ（Aeγpz+Be-γpz）J1（kρρ）（1.3）

式中：p是区间指数。波模的径向传播常数是被在ρ=a处的PMC壁固定，最低波模的解为

TE01δ模（L/D较小时）：

kρa=χ01=2.4048 （1.4）

HE11模（L/D较大时）：

kρa=χ11=3.832 （1.5）

各独立常数是

β2=-γ2=k20εr-（χm1/a）2 （1.6）

γ21=（χm1/a）2-k20εr1 （1.7）

γ22=（χm1/a）2-k20εr2 （1.8）

式中：波数k0是空气中的情况。

用屏蔽壳顶部（z=L1+L+L2）和底部（z=0）的全电导体壁（PEC）的性质，以及应用在介质表面（z=L1）和（z=L1+L）的边界条件，保证了电场和磁场切向分量在界面是连续的。

从［3，18］的详细分析和公式中，可得到下面的场方程解

1/2=tan-1（γ1/βcothγ1L1）

2/2=tan-1（γ2/βcothγ2L2）

βL=1/2+2/2+π，/=0，1，2，3，… （1.9）

通常，附加角π給出所有可能的谐振条件。当=0时，则是具有所希望径向传播常数的最低模TE01δ或TM11δ。这里，δ表示小于1的非整数，有

δ=1/π（1/2+2/2）（1.10）

可见，对于具有所希望径向传播常数的最低模（=0），在DR中的谐振器长度L方向，由于两端充空气段的作用，其场变化小于1/2波长。

2.精确模匹配模型

在介质谐振器分析或设计的初始阶段，简单DR模型是有帮助的，但对现代微波电路设计缺少必要的准确度。由于计算机技术的近代进展和微波工程CAD工具的发展，许多3-维电磁场模拟软件和方法已被发展，使其能用于计算准确的DR谐振频率和场图。模匹配法就是最有效和精确的DR分析和设计方法之一。

本质上，所有的圆柱DR结构能够用径向模匹配法来分析。在［34］中，描写了轴向和径向都可调节材料层数通用多层结构的模匹配法分析。谐振器的ij区充满介电常数（εr）ij和损耗角正切（tanδ）ij的介质材料。层数和每一区（格子）的材料性质被赋予是基于整个谐振结构能够被分析。结构的上、下盖板和側壁可以是全电导体（PEC）或全磁导体（PMC），取谐振器对称的优点，以减少计算时间。

整个谐振器中的场被表示为每一径向区的两个平行板波导的本征函数之总和。为简化分析，通常把简正模场分成两个正交组，即TEz模（Ez=0）和TMz模（Hz=0）；总场是这两组的和。下一步是去找寻每一径向区内本征函数所要求的系数。

对于每一径向区，每一层的本征函数可表示为

｛eez（γez，z）

hhz（γhz，z）｝=Cssinh（γe，hzz+as）+Cccosh（γe，hzz+ac）（1.11）

式中：Cs，Cc，as，和ac是本征函数的系数。

介质层各界面的边界条件要求切向电、磁场连续，即

｛Eti｜z=li=Eli+1｜z=li

Hti｜z=li=Hli+1｜z=li｝ i=1，2，…Nz-1 （1.12）

在给定频率下所有本征函数的系数和γez（或γhz）能够被确定，用寻找满足介质层间、介质与上盖板间和介质与下盖板间的所有边界条件的径向传播常数。

在获得z向的本征函数和加载两平行板的多层介质径向波导的本征模的场分量之后，径向模匹配法能够被用于去解径向层结构间的不连续性。给出谐振器i与i+1层间的径向不连续性。在整体谐振器中有Nr个径向区，以及每一径向区在z向有Nz层介质。用两个径向区间的边界条件，可求解i和i+1层间的径向不连续性；取适当的内标积，i+1区的场系数关系矩阵能够被获得。对整体介质谐振器从内到外重复级联系数矩阵，一个与最外区场系数有关的方程能够被获得。最后，应用側壁ρ=a的边界条件，谐振器谐振频率的特征方程能够被获得。对于非无效解，方程的行列式必须是零，有

det［X］=0 （1.13）

找到的特征方程行列式等于零式（1.13）的频率就是所分析的介质负载谐振腔的谐振模之谐振频率。从解特征方程求出的场系数，场分布和无载Q也被获得。

给出用简单的Cohn法和精密的模匹配法计算得到的某些DR的谐振频率与测量结果的比较。可以看到，简单模型计算的谐振频率与测量值的误差在8%以内，而精密法计算结果的误差在测量值的1%之内。

1.1.4　介质谐振器的耦合系数

当设计DR滤波器时，除谐振频率、无载Q和场图外，还要求DR之间的耦合系数。通常可以按磁（或电）偶极矩使用Cohn法［3］去近似谐振器得到的。由于商品化的全波电磁模拟软件的出现，越来越多的工程师将其用于3-维的设计计算来获得DR之间的精确耦合系数。

1.近似法

Cohn指出，两个DR间的耦合可用两个磁偶极子模型化，并能导出耦合系数的一般公式［3］。那里，谐振器被表示为在一个任意屏蔽壳内的导电耦合环，假定两个环在同频率下谐振，有谐振频率f0=1/（2πLiCi）和环间互感Lm。因此通过磁场，第一个环的电流将在第二个环感应出一个电压。得到两个谐振器之间的耦合系数为

k=Lm/L1L2=μ0MH2/2W1W2 （1.14）

式中：Wi是储藏在谐振器中的能量；M，H2是由第一个环电流产生的磁场值。

当两个谐振器之间有一个窗孔时，耦合系数则可表示为

k=Pmμ0Ht1Ht2/2W1W2 （1.15）

式中：Pm是用有限厚度隔膜校正的窗孔磁极化率；Hti是隔膜中的磁场。

假如两个谐振器是相同的，则电感耦合系数简化为

kh=Lm/L=Pmμ0H2t/2W0

kh=Pm｜H2t｜/∫v｜H2t｜dv （1.16）

类似地，对于电容耦合情况，耦合系数可用电极化率Pe来计算，有

ke=Pe｜E2t｜/∫v｜E2t｜dv （1.17）

当磁场和电场同时存在于窗孔时，总耦合系数为

k=kh-ke （1.18）

2.全波谐振频率法

用3-维电磁模拟软件通过计算部分或全部结构的谐振频率，就能获得耦合系数。当包括耦合机制和相同谐振频率的两个谐振器等所有的耦合结构被计及时，从谐振结构的两个谐振频率，可计算耦合系数，即

k=f2-f1/f2 （1.19）

对于两个相同的谐振器，可以计算结构的一半来获得耦合系数，即取结构对称的优点，以节省计算时间。在结构中心分别应用PEC和PMC边界条件，则获得两个谐振频率，有耦合系数为

k=f2e-f2m/f2e+f2m （1.20）

式中：fe和fm分别是在对称面为PEC和PMC边界条件下，一半结构的谐振频率。

1.1.5　介质谐振器滤波器

1.TE模DR滤波器

TE01δ模滤波器是DR滤波器的最通用型式，因为TE01δ是DR的基模，以及它没有简并模。这样，TE01δ单模滤波器有设计简单、布局选择灵活和制造成本低廉（比双模滤波器）等优点。TE01δ模滤波器可以有一个平面布局，这对批量生产和调谐非常适合。

因为TE01δ模的磁场在腔体上、下盖是径向的，在側壁是轴向的，所以耦合窗孔应该开在腔壁上的沿磁场方向。非近邻耦合能用于去实现先进的滤波器性能，如准椭圆函数、恒定延迟和非对称响应。四联体和三联体可以被认为是产生对称和不对称传送零点的基本功能组件。用TE模腔的四联体和三联体可以实现非近邻耦合。给出几个等值耦合腔模型，那里磁耦合被认为是正耦合，用电感表示。非近邻耦合的符号与近邻耦合相反，被认为是负耦合，用电容表示。我们注意到，在四联体和三联体的同一平面上，用窗孔（或膜片）实现交叉耦合的符号不同于在同一位置用探针实现交叉耦合的符号。此外，对于不同类型的腔体，如波导腔、梳齿状腔［23］，由于谐振器波模的不同场分布，其耦合性能也是不同的。

给出一个5-节TE模DR滤波器的例子［22］。该滤波器用3个非近邻的窗孔耦合，由于包含电感和电容耦合，使其获得在通带低側具有3个传送零点的椭圆频率响应。这个滤波器的耦合矩阵如下

［M］=［-0.0108/1.0120/0/0/-0.1093

1.0120/-0.0114/0.3328/-0.4933/0.4608

0/0.3327/-0.5362/0.2042/0

0/-0.4933/0.2042/-0.2641/0.9011

-0.1093/-0.4608/0/0.9011/-0.0140］ （1.21）

从可见，这个5-节滤波器的布局是不对称的。从而有理由认定被非近邻耦合孔提供的磁场正负耦合为：M24（-），M25（+）和M15（-）。

2.HE11双模DR滤波器

双模滤波器可以将谐振腔的数目减到原来的一半，因此显著降低了滤波器的重量和体积。HE11双模滤波器以及由它们组合成的多工器例行地应用于卫星通信系统。双模滤波器能够被用于去实现高性能的椭圆函数滤波器，当然需要非近邻腔间的耦合。

那里，介质谐振器被轴向固定在每一消逝场的圆柱腔中心，一个低损耗和稳定的固定支架被采用，以保证好的电学和温度性能。每个DR径向的腔壁上有两个正交的调谐螺钉，在它们中间的45°处还设有耦合螺钉，以实现介质谐振器内部模之间的耦合。含DR腔体之间的耦合是通过位于其相隔金属壁上的有鉴别极化功能的十字形耦合窗孔，使每个腔中的谐振耦合到邻近的腔。这就构成了直线型C波段8-节DR滤波器。

3.TE01和HE11混合模DR滤波器

TE01模和HE11模滤波器只能很有限地抑制寄生模的性能。而含DR腔的TE01和HE11混合模，由于能移动该两类谐振器的寄生频率，故能改善滤波器的寄生性能，而又能保持椭圆函数滤波器的优点［15］。

用介质负载腔体的6-节准椭圆函数滤波器的机制性实际结构。这个原理能容易地扩展到高次模滤波器。那里，一个单缝窗被用于提供TE01腔和HE11腔之间的耦合，为M12和M56。十字缝窗被用于中心的HE11腔到另一HE11腔的耦合，即M25。而正交调谐螺钉和耦合螺钉则实现双模单个介质谐振器内部的耦合，有M23和M45。

由于HE11模的腔中心处的磁场最大，而TE01模的腔中心处的磁场最小，所以这两个模的腔体轴间横向偏离可用于增强耦合。在TE01模腔导电端板处的切向磁场通常是很弱的，比之于HE11模腔的情况。此外，在TE01腔中的DR能够向靠近耦合孔移动，以增强耦合。

为计算两个不一样腔间窗孔的耦合系数kab，可利用1.1.4的公式先分开计算两个一样腔间的耦合系数ka和kb，再按下面简单公式求得，有

kab=kakb （1.22）

给出6-节TE01和HE11混合模DR谐振腔滤波器在L频段的所有谐振频率。是测量得到的该滤波器宽带频率响应。波模图（）准确预示滤波器寄生模的位置。从图看到，寄生响应能在中心频率的170%的范围内被显著抑制。可见，混合模滤波器的低寄生模响应非常优于用同一波模的典型介质负载谐振腔滤波器。

TE01和HE11模DR的预测波模图

6-节混合模DR滤波器实测宽带频率响应

1.2　介质中的耳语坑道（WG）谐振模

所示的耳语坑道模（Whispering-Gallery Modes），不需要截止金属腔，因为介质以外各方向电磁波均随距离按指数衰减，构成截止自由空间-介质谐振系统。对于各向同性或弱各向异性材料，如YAG（钇铝石榴石）和蓝宝石等，该技术是常用的；只要选择适合的介质尺寸，就可以运行在几乎是任何的微波频率。

在介质棒中，WG模可以被看成对着圆柱界面凹向跑的、在圆断面的平面内移动的组合波。因而，其电磁场能量的绝大部分被约束在圆柱界面和一个设想的内圆之间的薄断面中；而在这个区域之外，电磁波随径向距离按指数衰减，是消逝场；沿轴向其传播常数非常小。这个现象可以用光学镜片原理来形象地说明［36］：光束在介质-空气界面是全反射的，相继的反射与一个想象的内圆相切，即在介质中心存在一个很短的焦散柱面。这样，光束只能在靠近介质棒侧界面的环形小范围的横断面内移动。可见，WG模的电磁场基本上是沿着方位角在某平面内移动，为高次方位角模。

WG模是混合模，有两族，分别用WGEm，n，和WGHm，n，表示。这里，下标m表示方位角变量，n是径向变量，为轴向情况。前者是准TE模，其主电磁场分量有Er，Hz和少量Eφ；后者是准TM模，其主电磁场分量有Hr，Ez和少量的Hφ（）。由可知，对于这两族模，Poynting矢量的主方向是指向水平方位角的，即最主要的电磁能传播方向是绕着介质谐振器的圆周，而由于内部的全反射，电磁场很好地被约束在介质内。通常，方位角数m越大，方位角向传播就越强，电磁场能量也更好地被约束在介质内。这两族波的基模分别是WGEm，0，0和WGHm，0，0模。

由于WG模的上述特性，因此，除介质圆柱体和环形介质圆柱体外，WG模还能在另外两种结构中被激励出来。

1）不同于普通形状的圆柱介质谐振器（）：在这个结构中，WG模介质谐振器具有更好的轴向能量约束性能。该特性是用缩小谐振器上、下部的直径尺寸来实现的。这时，上、下区的传播常数比中部小。

运行在WG模的圆柱形

介质谐振器

运行在WG模的平面形

介质谐振器

2）平面型介质谐振器（）。由于WG模的电磁场特性基本上是介质谐振器半径的函数，所以能够在一个薄的圆片（其直径远大于厚度）中被激励出来。

这样，运行在WG模下的介质谐振器应具有如下特点。

1）相对大的几何尺寸。这点对短毫米波相当重要。例如，对于εr=36的圆柱介质谐振器，当运行在TE01δ模下，约在100GHz时，其直径和厚度为0.5mm数量级。因为其尺寸太小，变成难以加工。WG模介质谐振器正好能克服这个困难。

2）Q因子非常高。WG模介质谐振器无载Q因子只取决于制造它的材料之损耗角正切，辐射损耗可以忽略。而TE或TM模介质谐振器，其无载Q因子不仅取决于材料损耗，也包括围绕它的金属屏蔽罩。

3）优良的抑制寄生模特性。这是由于WG模沿轴向的传播常数非常小，不希望的模则从轴向泄漏而达到没有失真地被吸收。

4）可提供一类高集成度的微波器件：因为WG模基本上朝着方位角方向跑的，它提供了一类新微波器件的可能性，如定向滤波器、功率合成器等，它们的反射系数非常低。且这类器件能与毫米波其他集成器件相匹配，从而引起人们的很大关注。

5）可以用于复介电常数及其温度系数的测量［21］，特别是极低损耗的介质。用WG模来测量介质谐振器的复介电常数是基于这样的事实：由于这两族模的主电磁场是TM或TE波，当圆柱样品的轴与被测晶体样品的c轴一致时，其相应的谐振频率主要是被介电常数张量的平行分量或垂直分量所决定。因此，它适用于单轴各向异性的介质材料。用WGE和WGH模的两个谐振频率和两个介电常数分量所建立的联立方程组，编写计算机程序，选择介电常数初始值，按数字计算技术，直到计算得出的谐振频率与测量结果一致，就能确认介电常数的两个分量。从计算得到的两个模的平行与垂直方向电能充满因子，按有关公式，可得到两个方向的介质损耗角正切。

模匹配技术是计算轴对称介质结构的谐振频率之最准确方法之一。在这里，这个方法被用于去决定介电常数张量分量与定向单轴各向异性介质样品的谐振频率之间的关系。由于介质样品是对称地放在圆柱导体腔内部（参阅～），是轴对称结构，所以只需分析子午截面（即r-z截面）。在径向模匹配技术中，一个谐振结构首先被分为仅仅是轴向介质不均匀的圆柱分区。在每一分区电磁场分量独立地被表示成级数展开式。应用相邻区间的边界条件，导出一个含场展开系数的矩阵方程组；用特征函数的正交性质，分离出只与某一分区有关的未知展开系数的方程组。只有当行列式等于零时，展开系数才有非零解。而谐振频率的涵义正是使矩阵的行列式为零。假使谐振时的电磁场结构有一个垂直于轴的对称面，由于WG模的电磁场极其充分地被约束在介质样品中，所以，根据这个对称面，能将方程组分裂为独立的两组：对称模（S），和不对称模（N）。这里，描写不对称模的符号N是指在样品中心的方程对称平面是电壁（PEC）；描写对称模的符号S是指在样品中心的方程对称平面是磁壁（PMC）。这样，WGHm00，WGHm10，WGEm01，WGEm11…等是不对称模，分别表示为N1，N2，N3，N4，…等；而WGEm00，WGHm01，WGEm10，WGHm11…等是对称模，分别表示为S1，S2，S3，S4，…等。此外，上述这些模的谐振频率都是方位角数m的周期函数；且在谐振频带内的m数随介质谐振器的直径扩大而增加。这样，对于小直径的介质谐振器，两个相邻模之间的谐振频率间隔是大的。例如，对于直径5mm高0.635mm的氧化铝陶瓷（εr=9.87）介质谐振器，WGE800的谐振频率是92.35GHz，WGE900模是98.48GHz，其频率间隔约为6GHz；而对于直径30.24mm高7.64mm的同类介质谐振器，上述两个WG模的谐振频率分别是13.14GHz和14.24GHz，其频率间隔仅为约1GHz。

介质谐振器中的WG模研究［37，38］虽然已久，但其微波器件［36，39］和模块仍然进展较慢，这也许由于模间的耦合、数学上和技术上的复杂性所致［40，41］。可是对于极低损耗和（或）各向异性晶体介质的材料参数测量还是很有价值的［41-46］。

1.3　金属图形贴片介质谐振器

进一步缩小介质谐振器的尺寸有许多途径，在介质表面施加金属或金属图形是一种很方便的方法，易于用印刷电路板（PCB）技术或低温共烧陶瓷（LTCC）技术来实现。下面介绍几种典型的敷设金属涂层（或图形贴片）介质谐振器和相应的滤波器。但也应该注意到体积的过分减小也涉及承受功率的降低，所以下面的例子主要是针对较低功率的。此外，引入的金属涂层也降低了谐振器的Q因子，对于TE01δ模更是相当大。引入的金属涂层有两类完全不同的原理：①介质表面敷设金属的TEM模介质谐振器，这就是把金属同轴谐振腔中的空气用低损耗介质（常为高介）替代，以实现其小型化；它已获得极广泛的应用和很大发展。②与环形电场吻合的金属开环或与直线电场平行的金属带贴片的介质板组合体，可视为在媒质中增加电偶极子，从而大幅度地提升介电常数，Awai称这类含金属图形贴片介质谐振器为人造介质谐振器［47-49］。后者的金属图形也是超材料结构的典型微单元，但却有着本质的差别：①超材料是运行在金属微单元的谐振频率附近，而现在介质谐振器的工作频率远低于微单元的谐振频率。②超材料在每一微单元上跨接的波长为1/5～1/12，属于不均匀媒质；而金属图形贴片介质谐振器，由于运行在低得多的频率，金属微单元的尺寸远小于激励源的波长，人造结构整体仍然是均匀介质。

1.3.1　TEM模介质谐振器滤波器

轴向穿孔的圆形或方形介质棒，在其所有的表面敷以银（或铜），则构成半波长同轴TEM模介质谐振器；如果在轴向的一端没有导电涂层，近似成为磁壁，则构成1/4波长同轴TEM模介质谐振器（DR）。将多个DR轴向平行排列起来、并实现谐振耦合，就成为TEM模介质谐振器滤波器。虽然TEM模介质谐振器的Qu较低（<1000），但却可以制成最紧凑的、尺寸最小的结构。由于可实用材料的介质常数提高到约90，再加上结构的改进，使其尺寸和重量约下降到只有初期的1/10，因而，曾在蜂窝移动电话的天线双工器和滤波器中维持着广泛应用。近几年来，由于低温共烧陶瓷（LTCC）材料和技术的进展［50］，使DR滤波器的体积和重量进一步降低，还不断出现各种各样的多功能模块［51］。

有代表性整体介质滤波器或整体介质天线双工器［52，53］是在一块矩形介质中钻一些平行的等直径圆孔，将圆孔内壁及其4个侧面和一个端面敷以银层，形成以圆孔轴为基准、一端接地、另一端开路的一系列1/4波长同轴型TEM模介质谐振器，但在这样一个均匀排列的结构中，谐振器之间没有足够的耦合。从一个谐振器到相邻谐振器的耦合，常用下面4种方法来实现：①在开路端的陶瓷上涂覆类似于印刷电路的导电线条，形成电场（电力线）耦合；②用完全不同于上述布局的导电线条，来取代一个大侧面的整体导电涂层，同样可形成电耦合；③在相邻的两个介质谐振器之间钻一不涂银的小孔，实现体耦合；④在TEM谐振器圆孔内壁接近开端处用一无银层缝隙环去形成间隙电容（准TM模），这样近邻DR间就实现了磁耦合，分别给出其开端为磁壁或电壁的情况，以及电容缝隙与耦合系数的关系。对于两端都是电壁的情况，其原理实际上是典型的电容负载同轴线谐振器，它比1/4波长同轴型TEM模介质谐振器有着好得多的屏蔽性能。

对于输入/输出信号的耦合常用的方法有：①在滤波器两侧各增加一个与谐振器平行的涂银孔，使输入（输出）端与近邻的谐振器耦

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