作者：纪志刚 郭园园 吕鹏
出版社：江苏人民出版社
格式: AZW3, DOCX, EPUB, MOBI, PDF, TXT
西去东来：沿丝绸之路数学知识的传播与交流试读：
绪论
1 “探路者”汉武帝建元元年（公元前140年），汉武帝刘彻（公元前156~前87年）欲联合大月氏共击匈奴，张骞（公元前164~前114年）应募出任使者，于建元三年（公元前138年）出陇西，途经匈奴时被俘。张骞羁留匈奴十余载，“持汉节不失”，后设法逃脱。西行至大宛，经康居，抵达大月氏，再至大夏，停留了一年多才返回。在归汉途中，张骞改从南道，依傍南山，以避免被匈奴发现，但仍为匈奴俘获，又被拘留一年多。元朔三年（公元前126年），匈奴内乱，张骞乘机逃回汉朝，向汉武帝详细报告了西域情况，汉武帝授以太中大夫。因张骞在西域有威信，后来汉所遣使者多称“博望侯”以取信于诸国。
张骞出使西域本为贯彻汉武帝联合大月氏抗击匈奴的战略意图，但出使西域后汉夷文化交往频繁，中原文明通过张骞开辟的西域通道迅速向四周传播。因而，张骞“凿空”西域这一历史事件便具有特殊的历史意义。图1 莫高窟第323窟初唐时期张骞出使西域图壁画
1877年，德国地理学家李希霍芬（Ferdinand von Richthofen,1833~1905年）在其著作《中国》一书中，把从公元前114年至公元127年间中国与中亚、中国与印度间以丝绸贸易为媒介的这条西域交通道路命名为“丝绸之路”（Seidenstraβe），这一名词很快被学术界和大众所接受，并正式运用。
历史上的文化交流所能达到的深远程度常常超越人们的意料之外，人们往往赞叹明朝郑和（1371~1433年）下西洋的伟大壮举，其实，早在唐朝就有一位名叫杨良瑶（736~806年）的官员，在唐德宗贞元元年（785年）就已受命出使阿拉伯半岛的黑衣大食。杨良瑶从广州出发，走海上丝绸之路，经过3年时间，完成联络大食、夹击吐蕃的政治使命，返回唐朝。杨良瑶聘使大食更为重要的成果，是给唐朝带回来珍贵而完整的海上丝路的航海日记。据考证，这应当就是贾耽（730~805年）记录的《皇华四达记》中从广州到巴格达的航海路线。当然，这条路线也正是800年之后耶稣会士们梯航东来的路线。
在东西方交往的陆地“丝绸之路”与海洋“丝绸之路”上，不仅有丝绸玉器、陶瓷琉璃、香料药材，还有佛教、景教、摩尼教、伊斯兰教、儒家思想和道教方术。火药、指南针、造纸术和印刷术也是沿着丝绸之路传向西方。而对于中外数学文化交流来说，沿丝绸之路数学知识的传播与交流，一直为学者们所关注。
1925年，钱宝琮（1892~1974年）著文《印度数学与中国算学之关系》，比较了中国数学与印度数学的若干关系，论述了佛教与中印数学的传授。值得注意的是，钱宝琮在论文开篇指出：
西算史论印度算史者，有谓印度算学除小部分传自希腊外，创造甚富。有谓印度算学大多取材于中国算学。持第一说者漠视中国算学与印度算学之关系。持第二说者对于中国算学又往往过事夸大，易启疑窦。皆未明中国算学之过也。
1927年，钱宝琮发表《〈九章算术〉盈不足术流传欧洲考》，在该文的“结论”部分，钱宝琮指出：
中国算学西传，为西域诸民族，及欧洲中古算学所采用者，其例甚多。盈不足术，特其显而易见者耳。但近人熟悉中国算学者少。撰世界算学史者，往往藐视中国算学之地位，以为中国僻处东亚，其算学传授，可以存而不论。兹编述盈不足术之世界史，以补西洋算书之缺憾。取《〈九章算术〉盈不足术流传欧洲考》为本篇题目者，将以引起读者之注意耳。
李俨（1892~1963年）也十分关注中外数学的交流问题。相关文章有：《中算输入日本之经过》（1925年）、《明清之际西算输入中国年表》（1927年）、《印度历算与中国历算之关系》（1934年）、《伊斯兰教与中国历算之关系》（1941年）、《从中国算学史上看中朝文化交流》（1955年）。
在李俨所著《中国算学史》（1937年）和钱宝琮主编的《中国数学史》（1963年）中均列有专章论述中外数学交流。2 李约瑟的“清单”与马若安的质疑
在西方学者的相关论述中，则以李约瑟（Joseph Needham,1900~1995年）为代表。在其巨著《中国科学技术史》中，李约瑟专用一节来讨论中国传统数学与其他文明的“影响与交流”。他指出：“关于在中国数学与旧大陆其他重要文化区的数学之间似乎发生过的接触，把我们收集到的资料放在一起也没有多少。……但是，当问到有什么数学概念似乎是从中国向南方和西方传播过去的时候，我们却发现有一张相当可观的清单。”
兹将李约瑟“清单”内容简要概述如下：（1）十进位位值制与零中国的十进位位值制的记数法早在商代（公元前14世纪）就已经出现了。在印度则直到公元6世纪，才放弃了对十的倍数所采用的专门符号；而欧洲则要更晚。（2）开平方和开立方在公元前1世纪，（《九章算术》中的）“开方法”就已有了高度发展。公元4世纪孙子开平方的方法和五世纪张邱建开立方的方法，同公元630年在梵藏的著作中给出的法则非常相似。中国从贾宪开始所用的求高次方根的方法，似乎曾影响了阿拉伯的卡西（15世纪）。这些先进方法的痕迹后来不久就在欧洲发现。（3）“今有术”与三率法“三率法”的名称属于印度，但它在汉代的《九章算术》中就已出现，早于任何一部梵文古籍。（4）分数所有中世纪印度数学家用竖行表示分数的方法，与汉代在筹算盘上所用的方法相同。（5）负数最早出现在中国（公元前1世纪）的负数，在印度直到梵藏的时代（630年）才得到运用。（6）勾股定理的证明在公元3世纪赵君卿的《周髀算经注》中给出了毕达哥拉斯定理的“弦图”证明，而在公元12世纪，巴斯卡拉丝毫不差地再次给出这个证明。（7）几何测量在《九章算术》及3世纪刘徽的注释中出现的几何测量问题，后来在9世纪大雄的著作中再次出现。（8）弓形面积大雄重复了《九章算术》关于求弓形面积的方法，而且中国的弓形面积的错误公式，恰好也在印度的著述中重现。（9）用代数法求解几何问题一千多年来，中国数学家一直深刻地认识到代数关系式与几何关系式基本上是一致的，而在别的国家，这种一致性到了9世纪才第一次由波斯数学家花拉子米加以阐明，虽然除了花拉子米曾出使可萨（Khazaria）以外，没有其他正式的证据说明他受到中国人的影响，但从逻辑上和地理环境来看，认为有这种影响大概也不是不合理的。（10）双假设法，即盈不足术《九章算术》中的双假设法在公元13世纪以Regula Elchataym为名出现在意大利，这个名称说明它是阿拉伯人传播过去的。阿拉伯人可能是从印度学到这种方法的，但中国很可能是它的发源地。（11）不定分析不定分析首先是在《孙子算经》（4世纪）开始的，然后才出现在圣使（5世纪末）和梵藏（7世纪）的著作中。这一数学方法通过阿拉伯人和印度人的介绍传给14世纪拜占廷僧人阿吉罗斯。丢番图（3世纪末）所提出的问题和方法则与《孙子算经》颇为不同。（12）不定方程《张邱建算经》中的“百鸡问题”是最早的不定方程的问题，随后以几乎完全相同的形式在大雄（9世纪）和巴斯卡拉（12世纪）的著作中出现。（13）高次数字方程王孝通（7世纪）成功地解决了三次数字方程。在宋末（12和13世纪），中国代数学家已经特别善于处理高次数字方程。在欧洲，斐波那契（13世纪）是第一个提出王孝通那类问题的解法的人，有理由认为，他可能是受到东亚来源的影响。（14）二项式系数表中国在公元1100年左右就已经知道二项式系数的帕斯卡三角形。大致在同一时期，在波斯，由于接触到印度的开方法，似乎也产生了帕斯卡三角形，而印度开方法本身大半应归功于早期中国的著作。在16世纪前不久，这种三角形传到欧洲，于公元1527年在那里公开发表。
但是，李约瑟的这份“清单”并没有得到学界的一致赞同。法国学者马若安（J-C.Martzl of f）指出，李约瑟的论证因其“年代学”和“方法论”的不严密而颇受争议，并提出以下质疑：比如，第9条中的“代数与几何的关系”究竟指代何意？难道是指依据几何图形推导出某种代数公式吗？而巴比伦数学家中对这一方法的使用要远远早于中国。再如，第14条中的“帕斯卡三角形”的形式如何？用处何在？它是印度数学家用于求解组合问题，还是中国数学家用于求解开方问题？或者是像帕斯卡那样去计算概率？马若安还指出“三率法”在埃及的“莱茵德纸草书”（the Rhind papyrus）中就已经被使用；中国古代的负数概念与印度的负数概念亦不尽相同；“弓形面积的近似公式”罗马的测量员们也在用，而且海伦的书中还称之“此为古法”；巴比伦数学中对毕达哥拉斯定理的认识比中国更要古老。等等。
马若安对李约瑟“清单”的质疑，并不是否认中外数学交流的存在及其意义。马若安指出：
然而，有关数学知识传播问题的回答并不令人满意，并不是说这一问题并未产生，更不意味着这一问题并不重要。只要这一问题继续存在，中国科学思想的起源就难以给出清晰的判断。无论如何，可以确定地说，在不同的历史时期，中国通过陆路和海路都保持着与外界的接触。
所以，马若安在自己的书中也设立专章“影响与传播”，视野所及比李约瑟还要广泛。马若安讨论的问题有：
中国与塞琉古（Seleucids）的可能接触；
中国与印度的交流；
中国与伊斯兰国家间的交流；
中国数学在朝鲜与日本的传播；
中国与蒙古的接触；
中国与西藏的交流；
中国与越南的交流；
中国与欧洲的交流。3 海外回响
1997年7月，11位学者齐聚德国Oberwolfach“数学研究所”（Mathematisches Forschungsinstitut），他们的任务是依据原始文献，考察从古代到欧洲文艺复兴时期，沿着那条连接中国与西方的“传奇丝绸之路”（the legendary silk routes），数学问题、概念和技巧在各种文明之间可能存在的相互交流。但Oberwolfach会议没有通晓梵语的专家，也没有印度数学史家，于是与会学者们决定再举行一次规模更大、论题更为集中的会议。2000年5月，第二次会议在意大利Bellagio“洛克菲勒基金会研究与会议中心”（the Rockefeller Foundation's Research and Conference Center）举行，参会学者有23人，会期一周。会议主题聚焦于早期的数学著作，特别是古代中国、印度、美索不达米亚、阿拉伯/伊斯兰世界，以及中世纪晚期/文艺复兴时期的数学问题。
近二三十年以来，大量有关中国、印度、美索不达米亚、阿拉伯或波斯原始数学文献的发掘，各类古典和中世纪西方数学作品的仔细研究和编辑出版，使得跨文化的数学传播研究成为可能。Oberwolfach会议与Belagio会议的举办，正是得益于此。事实上，由于跨文化数学知识的传播与交流研究的复杂性，几乎没有哪一位学者能够熟练地掌握汉语、梵语、阿拉伯语、波斯语、希腊语、拉丁语、希伯来语、意大利语、法语、德语和西班牙语，而要想在东西方文化交流领域做出令人满意的成果，掌握这些语言则是十分必需的。因此，就需要组成一个国际化的研究团队，其成员具有共同的研究志趣，各自熟悉相关的语言，进而一起构建早期数学知识的传播图景，从而展示出商贸旅途上知识迁徙最初的也是最重要的路径。
Bellagio会议成果丰硕，与会学者的报告结集出版，论文集的标题是：《从中国到巴黎：数学思想传播2000年》，内收20篇论文，其中与中国相关的论文如下：
Kurt Vogel:A Surveying Problem Travels from China to Paris。
Jens Hoyrup:Seleucid Innovations in the Babylonian'Alge-braic'Tradition and their Kin Abroad。
J.Lennart Berggren:Some Ancient and Medieval Approxi-mations to Irrational Numbers and Their Transmission。
Andrearéard:Problems of Pursuit:Recreational Mathe-maticsor Astronomy。
Karine Chemla&Agathe Keller:The Sanskrit karanīs and the Chinese mian。
Liu Dun:A Homecoming Stranger:Transmision of the Method of Double False Position and the Story of Hiero's Crown。
Benno van Dalen:Islamic and Chinese Astronomy under the Mongols:a Litle-Known Case of Transmission。
Alexei Volkov:On the Origins of the Toan phap dai thanh(Great Compendium of Ma the matical Methods)。
Menso Folkerts:Regiomontanus?Rolein the Transmission of Ma the matical Problems。
特别值得介绍的是论文集的第一篇，即Kurt Vogel（1888~1985年）的ASurveying Problem Travels from China to Paris.原文以德语发表于1983年，Vogel此文考察了历史上的山高或塔高测量问题，山峰或塔顶以及底部距观测者距离皆不可直接测量。此类问题给出的形式有诸多不同，但解答方法却几乎一致。Vogel依次考察了中国的刘徽，印度的阿耶波多（āryabhata）与婆罗摩笈多（Brahmagupta），伊斯兰的比鲁尼（al-Biruni），中世纪欧洲的列奥纳多（Leonardo），以及圣·维克多的休（Hugh of St.Victor）的相关著述。最后一位休来自法国北部，先是住在马赛（Marseille），后在巴黎（Paris）教书，于1141年去世，著有《实用几何》（Practica Geometriae），书中设有两次测望问题。Vogel还提到了14世纪中叶，多米尼库斯（Dominicus）的同名著作Practica Geometriae也在巴黎问世。Vogel在论文的结尾处说道：
我们的从中国到巴黎之旅到此结束。（Thus our travels from Chinato Paris cometo an end.)
本论文集的书名正是借用此句，Vogel的论文被文集的编纂者赞誉为数学知识传播的“研究范例”（a paradigmatic example），特置为论文集的开篇之作。
Kurt Vogel（1888~1985年）是一位著名数学史家。他早年先是在埃尔朗根跟随M.诺特（Max Noe the r,1844~1921年）、P.古尔丹（Paul Gordan,1837~1912年）和E.施密特（Erhard Schmidt,1876~1959年）学习数学与物理学，后转入哥廷根跟随F.克莱因（Felix Klein,1849~1925年）、D.希尔伯特（David Hilbert,1862~1943年）学习数学。1940年起在慕尼黑大学（Ludwig Maximilian University of Munich）任教。他的数学史研究领域涵盖埃及、希腊和中国。他将花拉子米的《算法与代数学》从拉丁语翻译为德语，将《九章算术》本文翻译为德语（1968年）。1969年，Vogel荣获萨顿奖章（George Sarton Medal）。因此，将Vogel的论文置于篇首，是对这位数学史家的崇高敬意。4 吴文俊“数学与天文丝路基金”
自李俨、钱宝琮之后，国内有关中外数学交流的论文所见甚少。1956年，沈康身发表《中国古算题的世界意义》，1985年又发表《中国与印度在数学发展中的平行性》。1957年，严敦杰发表《阿拉伯数字传到中国来的历史》，1966年，杜石然发表《试论宋元时期中国与伊斯兰国家间的数学交流》，1984年发表《再论中国和阿拉伯国家的数学交流》。
历史的转折点出现在2002年。国际数学家大会在北京召开，作为大会主席，吴文俊院士在开幕典礼的致辞中指出：
现代数学有着不同文明的历史渊源。古代中国的数学活动可以追溯到很早以前。中国古代数学家的主要探索是解决以方程式表达的数学问题。以此为线索，他们在十进位值制记数法、负数和无理数及解方程式的不同技巧方面做出了贡献。可以说中国古代的数学家们通过“丝绸之路”与中亚甚至欧洲的同行们进行了活跃的知识交流。今天我们有了铁路、飞机甚至信息高速公路，交往早已不再借助“丝绸之路”，然而“丝绸之路”的精神——知识交流与文化融合应当继续得到很好的发扬。
正是为了发扬“丝路精神”，就在北京国际数学家大会召开的前一年，吴文俊院士从他荣获的国家最高科技奖奖金中先后拨出100万元人民币建立了“数学与天文丝路基金”，用于促进并资助有关古代中国与亚洲各国（重点为中亚各国）数学与天文交流的研究。
事实上，作为一位具有战略眼光的著名数学家，吴先生对中外数学交流早就十分关注。1984年7月，教育部在北京师范大学举办全国高等院校中、外数学讲习班。吴先生应邀在开幕式上致辞，正是在这篇讲话里，吴先生呼吁数学史界要展开中外数学交流的研究工作。吴先生说道：
更重要的一步是弄清楚东、西方数学的关系。东方数学和西方数学，正像斯特洛伊克那本书里讲的是明显不同的两个体系，有不同的思想在里面。要说那么长的岁月里没有交流嘛，这是不可想象的。当然不是像“欧洲中心论”和“西方至上论”的那些学者讲的，东方的东西是从西方传过来的。这是荒谬的。我们应该作为历史问题来考虑，应该实事求是，从我们掌握的资料来追查当时东方、西方学术上的交流是怎样的。一般来说总是文化高的地区流向文化低的。……十二、十三世纪，他们甚至连加法都认为是学术上很难的东西，数学教科书上讲加法就很不错了。像这样落后的状况，你却说东方的文化不流向西方，而是西方的反而流到东方，这合理吗？当然这是从“情理”方面来讲的，推测应该是这样的，查无实据。这个实据，我想应该是存在的，等待地下资料的发掘，这个发掘既需时日，也靠不住。我们不能把希望完全寄托在这上面。事实上，我相信在现有的资料里面，在我们大家所能看到的能掌握的资料里，就可以分析出东方、西方交流的情况。这是要下功夫的事。
在讲话的最后，吴先生戏言这些想法是他一个人的“狂想”。我们看到，这一“狂想曲”在吴先生的胸怀里激荡了整整18年，在他获得国家科学技术大奖之后，立刻付诸实施。
吴文俊“数学与天文丝路基金”旨在鼓励支持有潜力的年轻学者深入开展古代与中世纪中国与其他亚洲国家数学与天文学沿丝绸之路交流传播的研究，努力探讨东方数学与天文遗产在近代科学主流发展过程中的客观作用与历史地位，为我国现实的科技自主创新提供历史借鉴，同时通过这些活动逐步培养出能从事这方面研究的年轻骨干和专门人才。
为了具体实施“吴文俊数学与天文丝路基金”的宗旨与计划，根据吴文俊院士本人的提议，成立了由有关专家组成的学术领导小组。已支持的研究项目有（括号内为课题组负责人）：
1.中亚地区数学天文史料考察研究（新疆大学：依里哈木、阿米尔）；
2.斐波那契《计算之书》的翻译与研究（上海交通大学：纪志刚）；3.中世纪中国数学与阿拉伯数学的比较与交流研究（辽宁师范大学：杜瑞芝）；
4.中国朝鲜数学交流史研究（内蒙古师范大学：郭世荣）；
5.中国数学典籍在日本的流传与影响研究（清华大学：冯立昇）；
6.中国传统数学传播日本的史迹调研（天津师范大学：徐泽林）作为“吴文俊丝路基金”资助项目部分研究成果的《丝绸之路数学名著译丛》，首批5种译著已经出版，它们分别是：（1）阿尔·花拉子米：《算法与代数学》（2）阿尔·卡西：《算术之钥》（3）斐波那契：《计算之书》（4）婆什迦罗：《莉拉沃蒂》（5）关孝和等：《和算选粹》
上述5种著作，都是数学史上久负盛名的经典、丝绸之路上主要文明的数学珍宝。
在李文林教授的卓越组织下，“吴文俊数学与天文丝路基金”顺利展开，卓有成效，极大地推动了东西方数学知识传播与交流的深入进行。5 本书的撰写
综上所述，我们可以看到：
1.沿丝绸之路东西方数学知识的交流与传播不仅是数学史研究的重点，也吸引了历史学、文化史学的关注，表现出这一研究课题跨学科、综合性的特点，彰显出文化多样性的研究价值；
2.对中国学者来说，受语言和文献资料匮乏的制约，早期工作多借用西方的“二手”材料，缺少自己的“话语权”。近年来随着古典文献英译本的刊行和国内学者直接阅读梵语、阿拉伯语、拉丁语等原典的努力的实现，特别是“吴文俊数学与天文丝路基金”的设立，使得研究工作出现新的机遇；
3.对于西方学者来说，由于所掌握中国数学史知识的局限性，难以看透西方数学史料的东方背景，更无法从史料比照、算法分析、思想溯源等更深层次上探讨不同文明之间数学的相似性与一致性。
因此，本书的研究突显出中外数学文化交流史上的必要性与重要性。
本书的主要内容如下：
绪论 概述了“丝绸之路”的历史起源以及中外学者围绕“丝绸之路数学知识的传播与交流”开展的研究工作。前辈们的卓越工作正是本书作者们踏上新征程的起点。（纪志刚撰写）
第一篇“中国传统数学的世界意义”本篇从中国传统数学的社会性、算法化和普世价值三个方面探讨了中国传统的特点和意义。围绕两个著名数学问题“物不知数”“百鸡问题”的历史演变和世界传播，阐述中国传统数学的世界意义。（纪志刚撰写）
第二篇“印度古代数学及其与中算的若干比较”本篇首先介绍了印度古代数学的历史文化背景，探讨了印度数系理论的历史发展，然后依据原始文献从一般数学问题和典型问题两个方面入手，展开印度与中国传统算法的比较。（吕鹏撰写）
第三篇“阿拉伯代数学的溯源与演进”在内容丰富的阿拉伯数学中，“代数学”是其最具有文化特征的一个数学分支，本篇探讨了阿拉伯代数学的思想起源、方法发展和理论演化，以期揭示阿拉伯数学的东方源头及其对西方数学的影响。（郭园园撰写）
第四篇“《计算之书》中的东方数学“13世纪意大利数学家斐波那契的《计算之书》被誉为西方世界的“数学百科全书”，但其书中带有浓郁的“东方色彩”。本篇着重分析了《计算之书》中与中国传统数学相近的算题与算法，并以“双假设法”和“代数学”作为重要案例，揭示东方数学向西方传播的历史事实。（纪志刚撰写）
第五篇“历史的闭环：明清之际西方数学的传入与影响”明清之际，西方传教士不远万里，梯航东来，开启了中西文化交流的历史帷幕。《几何原本》的翻译、《同文算指》的编纂必定是重头大戏，而一部佚名的《欧罗巴西镜录》却也折射出东西文化交流的历史曲折，更有深意的是《同文算指》中的“借衰互征”即中国古代的“今有术”，或印度古算中的“三率法”，而“叠借互征”就是中国传统的“盈不足术”，亦或阿拉伯的“双假设法”，这样，曾经穿过中亚的沙漠，跨过地中海的东方算法，又随着耶稣会士东来的航船而传入中国。（纪志刚撰写）
结语 沙漠中西去的驼铃，大洋上东来的风帆，在跨越千年的时空后，中外数学交流形成一个“历史的闭环”，这其中似乎蕴含着本书作者所要探寻的答案。作者总结全书，并提出新的思考。（纪志刚、郭园园、吕鹏撰写）第一篇 中国传统数学的世界意义第一章 中国传统数学的东方特色
由于独特的地理环境，古代中国在一个相当长的时期内保持一个相对稳定、相对独立的发展过程。由此哺育出独具特色的中国古代文明，中国传统数学则是古老中华文明中的一支奇葩。在诸多东方文明中，印度文明久远古老，但屡受外来文明入侵，如公元前326年前后，亚历山大的军队就曾深入印度腹地，在古代印度数学中留下了希腊印记。阿拉伯文明直到公元7世纪才形成，并积极吸收希腊、印度和中国文化，形成多元文化复合的阿拉伯数学。至于朝鲜、日本、越南则一直处于“汉字文化圈”之中。因此，中国传统数学无愧于“东方特色”的突出代表，而这种“东方特色”充分表现在：鲜明的社会性、显著的算法化和普世的文化价值。1.1 “大哉言数”：中国传统数学的社会性《周髀算经》开篇记载着“周公问数”的故事，其文如下：
昔者周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也。请问古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度。请问数安从出。
商高曰：数之法出于圆方。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半之一矩。环而共盘。得成三四五。两矩共长二十有五。是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。
周公曰：大哉言数。
周公“大哉言数”的一声感慨，表明他的确认识到数学对于治理国家的重要意义，从仰观天象，至俯察大地，无不需要数学。《周礼》卷一“天官冢宰第一”开篇即称：“惟王建国，辨方正位”。郑玄注称“……以景为规，识日岀之景与日入之景，昼参诸日中之景，夜考之极星，以正朝夕，是别四方”。显然，这里“辨方正位”用的是数学测量的方法。甚至测定皇权象征的“地中”，更离不开立竿测影的数学方法。如刘徽《九章算术序》记载：“《周官大司徒》职，夏至日中，立八尺之表，其影尺有五寸，谓之地中。”在这样的背景下，我们就能理解为何王子王孙从小就要学习“九数”。按照《周礼·地官·司徒》记载：“保氏掌谏王恶，而养国子以道，乃教六艺：一曰五礼、二曰六乐、三曰五射、四曰五驭、五曰六书、六曰九数。”据东汉郑玄考证“九数”的名目是“方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要”，后来又有“重差、夕桀、勾股”。因此，刘徽在注释《九章算术》时写道：“周公制礼而有九数，九数之流，则《九章》是矣。”《九章算术》可谓是一部国家体制的数学经典，像汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌这样的政府高官都曾参与《九章算术》的编纂、修订。如刘徽《九章算术注》“序言”中的记载：
汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目与古或异，而所论多近语也。《九章算术》的篇名“方田”“粟米”“衰分”“少广”“商功”“均输”“盈不足”“方程”“勾股”均与行政管理有密切的关系。正如李约瑟所说，从《九章算术》的“社会根源来看，它与官僚政府组织有密切的关系，并且专门致力于统治官员所要解决的（或教导被人去解决的）问题。土地的丈量、谷物容积、堤坝和河渠的修建、税收、兑换率——这些似乎都是最重要的实际问题”。
比如《九章算术》的“商功章”，今天人们更多关注本章中的柱、锥、台、球等各类体积的计算公式，却忽视了本章记载的“穿地”之后的不同土类的体积折算以及土方输运的工程安排。如“商功章”第1题：
今有穿地，积一万尺。问为坚、壤各几何？
答曰：为坚七千五百尺；为壤一万二千五百尺。
术曰：穿地四为壤五，为坚三，为墟四。以穿地求壤，五之；求坚，三之；皆四而一。以壤求穿，四之；求坚，三之；皆五而一。以坚求穿，四之；求壤，五之；皆三而一。“穿地”为“壤土”（或谓“息土”），体积增大，折算比率是“穿地四为壤五”；若夯实为城墙或堤坝，则谓之“坚土”（或谓“筑土”），折算比率是“穿地四为坚三”。刘徽称之“此皆其常率”。因此，“商功章”第26题“今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上广六尺，为垣积五百七十六尺。问穿地下广几何？”就需要首先将“垣积”按照“以坚求穿地，当四之三而一”，复原为“穿土”，然后再用体积公式反求下广。
此外，“商功章”有关“四季人功”的记载，如“冬程人功四百四十四尺”“春程人功七百六十六尺”“夏程人功八百七十一尺”“秋程人功三百尺”。这样，在计算土方输送需要的人力时，就需要考虑不同季节的工程定额。例如“商功章”第21题：
今有盘池，上广六丈，袤八丈，下广四丈，袤六丈，深二丈。问积几何？
答曰：七万六百六十六尺、太半尺。
负土往来七十步，其二十步上下棚除。棚除二当平道五，踟蹰之间十加一，载输之间三十步，定一返一百四十步。土笼积一尺六寸，秋程人功行五十九里半。问人到积尺及用徒各几何？
答曰：人到二百四尺。用徒三百四十六人一百五十三分人之六十二。
可见，本题已经不再是简单的土方体积计算，它涉及工程现场的各种因素，如“负土往来”“上下棚除”“踟蹰之间”“土笼积”以及“秋程人功”，最后确定“人到积尺”和“用徒人数”。
最能表现服务国家管理的数学问题，莫过于“均输章”的前四问。第一问“均输粟”，四县共输运粟米25万斛，用车1万乘，按照“道里远近、户数多少衰出之”；第二问“均输卒”，五县共赋输运役卒1200人，服役一月。按照“道里远近、人数多少衰出之”；第三问“均赋粟”，五县共赋输粟1万斛，而各县粟价不同、至“输所”道里远近不同，欲以县户赋粟而要“令劳费等”；第四问“均赋粟”，六县赋粟6万斛，但“粟有贵贱，佣各别价”，欲“以算出钱，令劳费等”，还要考虑输运途中的重车去、空车返等因素，来确定“均平之衰”。
正是这些服务国家经济管理的因素，人们把《九章算术》看做一部“官书”。曾有人指责说中国传统数学过于依赖社会，它囿于经验，满足实用，致使其丰富的理论蕴藏未能得到充分的发掘，从而未能抽象到理论的高度。这种说法有其一定的道理，但是我们怎么能要求在关注现世生活的文化土壤中，长出一株抽象的数学之树呢？正如在欧几里得的《几何原本》中不会给出三角形的面积公式，也不会有圆周率的各种近似值。当然，理论数学和应用数学如何交相辉映、并肩前进，这也是令人深思的历史课题。1.2 “寓理于算”：中国传统数学的算法神韵
中国古代数学的社会性，决定了它的发展以解决实际应用问题和提高计算技术为其主要目标。中国古代数学称为“算术”（calculatingarts），其原始意义是运用算筹的技术。算筹是中国古代特有的计算工具。“算术”一词概括了传统数学使用算器、以算法为中心的特点。人们把“算器”比喻为计算机的“外设”，而把“算法口诀”比喻为“程序语言”，这样的类比是很有道理的。一个突出的例子是《九章算术》的“开方术”，其术如下：
开方术曰：置积为实。借一算步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除。除已，倍法为定法。其复除，折法而下。复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副从定法。复除折下如前。
从这一算法中可以明显看到“初始指令”（“借一算，步之”）、“子程序”（“其复除，折法而下”），甚至“循环语句”（“复置借算步之如初”）。我们知道，任何完整、系统的算法都不可能仅仅建立在单纯的经验之上。数学的抽象性、思辨性不仅表现在概念、定义和证明上，计算方法也是抽象和思辨的产物。对于中国传统数学来说，“算理”蕴含于“算法”。中算家常常是把来自实践的问题，概括为一个个的“算法”，而把其依据的“算理”蕴含于演算步骤之中，整个算法层次清楚，步骤清晰，只要正确地执行算法，便可迅捷地得到正确的结果，从而让人“心悦诚服”，这种“不言而喻”、“不证自明”的特征被概括为“寓理于算”。
关于《九章算术》和“刘徽注”的研究表明，中算家善于从错综复杂的数学现象中概括出深刻的数学概念，提炼一般的数学原理，并从这些简单的原理出发在解决具体问题中达到理论的抽象。比如传统数学中的几何理论就建立在“出入相补”原理、刘徽“截面原理”、祖暅原理等为数不多而又十分精妙的“简明原理”之上，这在某种程度上极大地丰富了中国传统数学的思想宝库。1.3 “世术之美”：中国传统数学的普世价值“普世价值”是当代社会的一个重要概念，一般理解为某种具有普遍意义、为世人共同遵守或接受的道德准则与价值判断。在西方，欧几里得的“公理化”思想曾深深影响了上层建筑的理论架构。如法国的《人权宣言》（1789年）开宗明义地说道：“组成国民议会的法国人民的代表们，……决定把自然的、不可剥夺的和神圣的人权阐明于庄严的宣言之中，以便公民们今后以简单而无可争辩的原则为根据的那些要求能经常针对着宪法与全体幸福之维护。”美国《独立宣言》（1776年）开篇即称：“我们认为下述真理乃是不言而喻的：人人生而平等”。正如林肯后来的解释：“任何人都有极大信心说服一位愿意讲道理的小孩，使他接受欧几里得那些比较简单的定理；但如果对方不接受定义和公理的话，他便完全束手无策，以失败告终。杰弗逊定下的原则是自由社会的定义和公理。”可见，以“公理化”为特征的几何学渗透到了西方的“普世价值”之中。
在古代中国，数学也曾作为一种“普世价值”被宣告天下，正如《孙子算经》的“序言”宣称：
孙子曰：夫算者，天地之经纬，群生之元首，五常之本末，阴阳之父母，星辰之建号，三光之表里，五行之准平，四时之终始，万物之祖宗，六艺之纲纪。稽群伦之聚散，考二气之降升，推寒暑之迭运，步远近之殊同，观天道精微之兆基，察地理从横之长短，采神祇之所在，极成败之符验。穷道德之理，究性命之情。立规矩，准方圆，谨法度，约尺丈，立权衡，平重轻，剖毫厘，析黍累。历亿载而不朽，施八极而无疆。散之者富有余；背之者贫且窭。心开者，幼冲而即悟；意闭者，皓首而难精。夫欲学之者，必务量能揆己，志在所专，如是，则焉有不成者哉！图1.1 《孙子算经》序（取自《宋刻算经六种》，北京：文物出版社，1980年）《孙子算经》序中的“算”，不单纯是筹码、算式，而是升华到了更高层次的抽象的“算理”，与毕达哥拉斯学派的“数乃万物之本原”的思想很相近。这个“算理”又与古希腊的演择推理不同，而是注重应用，强调实践，颇有“中国特色”，即数学的社会性。“序言”所言“夫算者，……历亿载而不朽，施八极而无疆”，说明中算家们已经认识到“算理”将随人类社会的进步而发展，随人类认识水平的提高而有更加广泛的应用。
翻开《九章算术》，所看到的并不是一道道枯燥的算题，那里不仅有典章制度，更有风情民俗。如“衰分章”第2题：
今有牛、马、羊食人苗。苗主责之粟五斗。羊主曰：我羊食半马。马主曰：我马食半牛。今欲衰偿之，问各出几何？
这是诉说的是用“衰分法”解决“邻里纠纷”。“衰分章”第4题：
今有女子善织，日自倍，五日织五尺。问日织几何。
我们似乎听到了“木兰当户织”传出的机杼之声。“均输章”第16题：
今有客马日行三百里。客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉。持衣追及与之而还，至家视日四分之三。问主人马不休，日行几何？
这反映“路不拾遗”的纯朴民风。“均输章”第25题：
今有程耕，一人一日发七亩，一人一日耕三亩，一人一日耰种五亩。今令一人一日自发、耕、耰种之，问治田几何？
这是“锄禾日当午”诗句的生动写照。虽然李白诗云“蜀道难，难于上青天”，但我们看到“盈不足章”第20题：
今有人持钱之蜀。贾，利十三。初返归一万四千，次返归一万三千，次返归一万二千，次返归一万一千，后返归一万。凡五返归钱，本利俱尽。问本持钱及利各几何？
可见为了生意，商人全然不顾蜀道艰险。“盈不足章”第1题：
今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？
何尝不是古时的“团购”呢？而“方程章”第13题：
今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何？
则描绘了互帮互助、共建和谐家园的生动场景。
也许正是这些生动的问题，深深吸引了刘徽，他“幼习九章，长再详览”，通过“观阴阳之割裂”，达到“总算术之根源”，进而“采其所见，为之作注”。确立“考论厥数，载之于志，以阐世术之美”的宏伟之愿。也许刘徽是中国历史上唯一一位从“美”的高度阐释数学的学者，所以在刘徽的注释中，既有“析理以辞”的深刻思想，也有“解体用图”的生动图例，并可看到他反复引述传统经典阐述数学思想的深刻内涵（如刘徽称“数尤刃也，易简用之则动中庖丁之理”，见“方程章”第18题）。凡此种种皆是中国传统数学“普世价值”的集中表现。
M.克莱因在其名著《西方文化中的数学》中说道：“在西方文明中，数学一直是一种主要的文化力量。……作为理性精神的化身，数学己经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，而且取代它们成为思想和行动的指南。”同样，从文化的角度来审视中国传统数学，我们看到以算法化为其特色的中国古代数学，在其生长的历史环境中也扮演了重要的角色：它也为促进社会发展、繁荣经济生活、提升人们对自然的认识发挥了积极作用。所以无论是东方还是西方，无论是古代希腊的“理论数学”，还是古代中国的“算法数学”，它们都说明“作为一种宝贵的、无可比拟的人类成就，数学在使人赏心悦目和提供审美价值方面，至少可与其他任何一种文化门类媲美。”第二章 从“物不知数”到“中国剩余定理”2.1 “物不知数”《孙子算经》卷下第26题“今有物不知其数”即著名的“孙子定理”，也正是这一问题，使《孙子算经》成为载入世界数学史册的著名数学典籍。
其问是：
今有物不知其数。三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
这是一个一次同余式组问題。用现代数学符号表示，即是：N≡2(mod3)≡3(mod5)≡2(mod7)
求满足条件的最小正整数。答案是N=23。《孙子算经》给出了这一问题的解法。术曰：图2.1 《孙子算经》“物不知数”题（取自《宋刻算经六种》，北京：文物出版社，1980年）
三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五。一百六以上，一百五减之，即得。
按术文的前半段，给出本题的解：N=70×2+21×3+15×2-105×2=23
而术文的后半段，则给出这类一次同余式组的一般解法。即，设三个模数为3、5、7，相应的余数为R,R,R，满足下面同余式组N≡123R(mod3)≡R(mod5)≡R(mod7)的一般解是：123N≡70R+21R+15R-105p;（p为正整数）123《孙子算经》所述术文简略，没有说明解法的原理，但从解的构造则能窥探出几分奥秘。术文中三个关键性数字70、21、15具有下述性质：如70被3除余1，被5、7整除；21被5除余1，被3、7整除；15被7除余1，被3、5整除。用记号R[M]表示R的整倍数，上述性质可表述为：70=3[M]+1=5[M]=7[M]21=3[M]=5[M]+1=7[M]15=3[M]=5[M]=7[M]+1
各以所余R,R,R乘之：12370R=3[M]+R=5[M]=7[M]1121R=3[M]=5[M]+R=7[M]2215R=3[M]=5[M]=7[M]+R33*
三式相加：N=70R+21R+15R123
=3[M]+R=5[M]+R=7[M]+R123
而 105=3[M]=5[M]=7[M]*
选取适当的整数p，可使N=N-105p=70R+21R+15R-105p是满123足同余式组（1）的最小正整数解。《孙子算经》的解法实际上可以概括成更一般的情形（见本章第3节），故称此类问题为“孙子定理”。“物不知数”题不见于《九章算术》而首载《孙子算经》并不是偶然的。中国古代历法自汉代起就重视上元积年的推算，而以各种天文周期（如回归年、朔望月、近点月）和相应的差数来推算上元积年，则构成了一个求解一次同余式组的问题。因此，《孙子算经》虽以“物不知数”的游戏形式设问造术，而本质上则是古历推求上元方法流行于民间的生动体现。《孙子算经》提出的“物不知数”问题引起了后世学者的很大兴趣。人们从术文知道解题的关键是在找到三个与1同余的数的乘积，故作诗文以助记忆，“物不知数”遂以各种形式得以流传普及。其主要线索有：（1）宋杨辉“剪管术”。《续古摘奇算法》（1275年）载孙子问题，其“解题”下注称：“俗名秦王暗点兵，犹覆射之术”，并将题术定名为“剪管”。杨辉又为此法另拟四道问题，兹引述如下：
第一题：用工不知其数，差人支犒，每三人支肉一斤，剩五两八铢，乃三数剩二；每五人支钱一贯，剩零四百，是五数剩三；每七人支酒一掇，恰撞成掇，是七数无剩。问总工所支几何？
答数：98人，钱19贯600文，酒14掇，肉32斤10两16铢。
注意，杨辉所拟问题并未直接给出“用工”所余。“总工”是人数，而余数是物零，需将物零折算每人份数，物零有几份便可折合人数。
如：3人分肉，剩余5两8铢，即1/3斤，是1人份，即已分2份，故折合人数2，即人数为“三数剩二”。
5人支钱1000文，是每人200文；剩400文，是2人份，即已分600文，是3人份，故人数“五数剩三”。
第二题：七数剩一，八数剩二，九数剩三。问本总数几何。
答数：498。
第三题：十一数余三，十二数余二，十三数余一。问元总。
答数：14。
第五题：二数余一，五数余二，七数余三，九数余四。问原总数几何。
答数：157。（2）宋周密“鬼谷算”。《志雅堂杂钞》（1290年）卷下“阴阳算术”条将孙子题术变作“鬼谷算”，又名“隔墙算”，所记算法是“先将钱不拘多少三数数之，凡遇剩一则下七十，二则下百四十。次五数数之剩一则下二十一，二则下四十二。又七数数之剩一，则下十五，二则下三十。总计其数，然后退一百五，或多则二百十，之外余者即是见在钱数也。”并以诗隐括：
三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇；
七度上元重相会，寒食清明便可知。
这里“上元”指正月十五元宵节，暗射15,“寒食”指清明节前一天，冬至后一百零五天是清明前后，暗射105.周密指出了解的构造“秘密”：“按此法取相乘之数也，如三则以五七相乘数，倍之。五则以三七相乘之数，七则以三五相乘，乘数合之得百零五。”（3）明严恭“管数”。《通原算法》（1372年）载剩余问题称“此系管数”。（4）明周述学“总分”。《神道大编历宗算会》（1558年）卷十“总分”条叙述剩余问题。所列五题与杨辉相同。（5）明程大位“孙子歌”。《算法统宗》（1593年）卷五载“孙子歌”（又云“韩信点兵”）曰：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；
七子团圆正半月，除百零五便得知。
诗里对4个数据不绕弯道，和盘托出。此歌在民间广为流传，曾传至日本，影响甚广。2.2 秦九韶的“大衍总数术”
自《孙子算经》提出“物不知数”问题以后，引起了人们的很大兴趣。《孙子算经》所示算法的思路启发人们认识到，求解一次同余式组N≡R1(moda1)≡R2(moda2)≡R3(moda3)
的关键是在寻找三个与1同余的数的乘积，即设计辅助系数K,K,K使如下同余式成立：123Kaa≡1(moda)1231Kaa≡1(moda)2132Kaa≡1(moda)3123
那么，所求数N依下式求得：N=RKaa+RKaa+RKaa-paaa112322133312123（式中p非负整数）当然，在简单的情况下，K i可以通过观测试算得出，可它的一般方法呢？此外，如若“物不知数”设问的三个模数不是两两互素，“孙子歌”便行不通。因此，中算家在深入研究“物不知数”问题时，必然面临如何求解模数不两两互素的同余式组：
N≡R(mod A)11
≡R(mod A)22
……
≡Rn(mod A n)
式中Ai称为“问数”，一般不两两互素。秦九韶的“大衍总数术”便是解决这一问题的杰出创造。
1247年，秦九韶《数书九章》问世。全书18卷，81道数学问题按应用分为9类：大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅和市物。《数书九章》开篇第一卷“大衍类”问题，就是一次同余式组问题，而其中“大衍总数术”是对一次同余式组的辉煌总结。“大衍总数术”包括两大部分：
其一是化问数为定数。即将问题所给数据标准化，“问数”即模数。一般说来，模数{Ai}并不两两互素，因此，首先需要把模数{Ai}约化为一组两两互素的模数{ai}。
其二是运用剩余定理的求解程序，计算
秦九韶为式中各数设定了一套特别的术语：
定数a，且两两互素：（a,a)=1iij
衍母M=aaa...a123n
衍数M=M/aii
乘率K，满足Kig≡1(moda),iii
奇数g,g〈a，若g=1，则1（单数）即为乘率iiii
用数K Mii
求乘率K的算法就是著名的“大衍求一术”。秦九韶化问数为定i数的基本算法是：两两连环求等，约奇弗约偶。
所谓“连环求等”，即是A,A,……,A n要两两相见，不重不漏。12具体做法是先以A n与A n-1,……,A,A求等相约，尔后以A与A n-2,21n-1……,A,A求等相约，最后是A与A求等相约。这样经过（n-1）2121“变”，可以约化完毕，得到一组互素的定数{a}。在每一变中，各元i数a的地位不尽相同。例如，在第一“变”中，A n要与n-1元数配对i相约，而其它元数仅只与A n配对相约一次，为了表示这种区别，秦九韶将元数A n称之为“偶”，而把其余的元数A n-1,……,A,A皆称为21“奇”。
所谓“约奇弗约偶”，是说在第k变中，一般是用等数去约处于“奇”位的元数A(1≤j〈n-k+1），而不约处于“偶”位的元数a.只jn-k+1是在特殊的情形才有例外。对此，秦九韶特加注说明“或约得五，而彼有十，乃约偶弗约奇”。其意是说，只有在“约奇弗约偶”后仍有等数，而“约偶弗约奇”结果互素的情形，才“约偶弗约奇”。这种情形秦氏称为“反约”。“大衍类”第八问“积尺寻源”是“求等相约”的典型算例。特以此例说明秦氏“大衍总数术”的解算过程。
问：欲砌基一段，见管大小方砖、六门砖、城砖四色。令匠取便，或平或侧，只用一色砖砌，须要适足。匠以砖量地计料，称：用大方料，广多六寸，深少六寸；用小方，广多二寸，深少三寸；用城砖，长广多三寸，深少一寸；以阔深少一寸，广多三寸；以厚广多五分，深多一寸；用六门砖，长广多三寸，深多一寸；以阔广多三寸，深多一寸；以厚广多一寸，深多一寸；皆不匼匝，未免修破砖料稗补。其四色砖：大方方一尺三寸，小方方一尺一寸，城砖长一尺二寸，阔六寸，厚二寸五分；六门砖长一尺，阔五寸，厚二寸。欲知基深广几何。
答曰：深三丈七尺一寸，广一丈二尺三寸。
术曰：以大衍求之。置砖方、长、阔、厚为元数，以小者为单，起一，先求总等，存一位，约众位[列位多者，随意立号],乃为元数。连环求等，约为定母。以定相乘为衍母，各定约衍母得衍数，满定去之得奇。奇定大衍得乘率，以乘衍数得用数。次置广深多少数，多者乘用，少者减元数，余以乘用，并为总。满衍母去之，不满得广、深。
如设地基的宽度和进深分别是x,y（单位：分），那么本题就是要解两个同余式组：
x≡60(mod130)≡30(mod120)≡20(mod110)≡30(mod100)
≡30(mod60)≡30(mod50)≡5(mod25)≡10(mod20);
y≡-60(mod130)≡-10(mod120)≡-30(mod110)≡10(mod100)
≡-10(mod60)≡10(mod50)≡10(mod25)≡10(mod20);
下面以广为例，说明解算过程。表2.1 “积尺寻源”问数的约化程序
第一步，以八音（金、石、丝、竹、匏、土、革、木）为号记其问数，从大到小“锥形置之”。按“两两求等”原则进行约化（见表2.1）。
经过求等相约之后，原问数约化为13（金），8（石），11（丝），1（竹），3（匏），1（土），25（革），1（木），此八数两两互素，称为“定数”。原同余式组可简化为：
x≡60(mod13)≡30(mod8)≡20(mod11)
≡30(mod3)≡5(mod25);
第二步，原同余式组已转化为“孙子问题”。下面求“乘率”Ki:K×8×11×3×25≡1(mod13)1K×13×11×3×25≡1(mod8)2K×13×8×3×25≡1(mod11)3K×13×8×11×25≡1(mod3)5K×13×8×11×3≡1(mod25)7
对左边进行“模运算”，得到同解的同余式：K×9≡1(mod13)1K×5≡1(mod8)2K×1≡1(mod11)3K×1≡1(mod3)5K×7≡1(mod25)7
至此，原同余式组转化为求解单个同余式：Kig≡1(moda)ii
式中K，称为“乘率”，g称为“奇数”，即：iig=a…a-1a+1…-siai1iii
s为非负整数。i
秦九韶给出了求解K的规范化算法——“大衍求一术”，原术如i下：
大衍求一术云：置奇右上，定居右下。立天元一于左上。先以右上除右下，所得商数与左上一相生，入左下。然后乃以右行上下，以少除多，递互除之。所得商数，随即递互累乘，归左行上下。须使右上末后奇一而止。乃验左上所得，以为乘率。或奇数已见单一者，便为乘率。
下面给出求K×7≡1(mod25)的推演过程：7
求得K=18，同理可求得K=3,K=5。712
本问的最后结果可由下式推出：
N≡RKM+RKM+RKM+RKM+RKM(mod M)111222333555777
其中：R=60,30,20,30,5;（i=1,2,3,5,7.下同）i
K=3,5,1,1,18;i
a=13,8,11,3,25;i
M=aaaaa12357
M=M/aii
求得N的最小整数解是1230。2.3 清代学者的工作
元、明两代对“孙子问题”鲜有新的研究。直到《数书九章》从《永乐大典》辑出，收入《四库全书》之后，才引起清代学者的极大兴趣，而对“大衍求一术”用力尤勤。焦循《天元一释》（1800年）、张敦仁《求一算术》（1803年）、骆腾凤《艺游录》（1820年）、丁取忠《数学拾遗》（1851年）、时曰醇《求一术指》（1870年）、黄宗宪《求一术通解》（1874年）等，都对阐发同余式组求解做出了贡献。特别是黄宗宪以“析泛母”的方法给出了模数非两两互素情形的简明、严整的约化方法。其书《求一术通解》“例言”称：
求定母。旧术极繁，至《求一术指》，稍归简捷，而约分之理，仍不易明。今析各泛母为极小数根，了如指掌。遇题有多式者，一索无遗。“泛母”即各模数，“极小数根”即素因子。也就是说，只要把各模数分解成素因子连乘积，秦氏之术中各定数是容易得到的。具体做法是：
前法析泛母毕，乃遍视各同根，取某行最多者用之，余行所有，弃之不用。再视本行所有异根，或少于他行，则弃之，抑或多于余行，亦用之，或与他行最多者等，则此两行随意用之。以所用数根连乘之，即得平行定母。若某行各根皆少于他行者，则此位无定母。
仍以秦九韶“积尺寻源”题为例，将黄宗宪的计算方案列于表2.2。
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]