10倍速心算：写给中小学生的42个心算指南：升级版(txt+pdf+epub+mobi电子书下载)

作者：（日）栗田哲也

出版社：北京日报出版社

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10倍速心算：写给中小学生的42个心算指南：升级版试读：

算术作为数学学习中最基础的部分，对算术的掌握程度是影响今后数学学习的关键。作为教学经验丰富、培养出多位国际奥林匹克数学奖牌得主的栗田先生，他希望通过这本习题集来塑造学生对算术的判断力与感觉，让即使不怎么擅长算术的学生也能在读过本书之后，将算术变成自己的拿手科目。所谓塑造对算术的感觉，不是说一味胡冲莽撞地实行题海战术，觉得只要努力过了就能达到预期，栗田先生认为，为了能切实掌握这种能力，需要学生亲自动手，逐步推敲，找出适合自己并且能熟练理解运用的解题技巧。因而，解出题目时所收获的也不单是成就感，更重要的是被拓宽的学生读者的视野，以及对数学世界的更为广阔的认识。

本书主要面向中小学生群体，具有无需大量的知识储备也能轻松阅读的特点，对于想对算术世界一探究竟的数学初学者以及数学爱好者来说，这都是不可或缺的一册指南。书中共配套有42个“实练与习题”，个别题目涉及少量初中数学的知识点，对读者以后初中数学的学习会奠定一定的基础。本书旨在通过引导学生多做实验、多观察，进而引导学生自己总结出方法与答案。与以往较死板的单方面知识传授的辅导书相比，本书更像是与学生读者一起，在算术的探险中一同寻找出口，在逐步的思考与推敲中，共同找出解题方法与答案。

这是一本栗田老师根据多年教学经验凝集而成的具有划时代意义的习题教辅书，也是一本引导读者走进神秘又有趣的算术世界的指南书，因此我们也希望各位小读者能通过这本书，领略到算术世界的魅力，在学习算术的过程中，收获快乐，获得成长与感动。教育无边界字幕组2017年12月关于本书●这本书想要向你们传授的东西

为了让小学生跟数字和图形变得更为亲密，作者编写了这本书。

当你们听到“算术”的时候，脑海中可能会浮现出计算、解答问题的画面。的确，算术中最多的就是计算、解答问题。

但是，如果只做习题的话，并不能提高解题能力。做题之前，你需要先跟数字、图形的世界变得亲密，掌握对数字和图形的判断力（感觉），这样做起题来就会得心应手。

因此，这本书的关键词是：做实练，多观察，动脑筋，找答案。

现如今你们在这个世界上生活所依赖的，追根溯源都是通过科学技术创造出的东西。科学这门学问，说到底，就是以做实验（实练）、观察、动脑筋为基础，让想法变成更有深度的学问。

同样，算术最重要的也是自己做实练，并且注意深度观察和动脑筋。●这本书的使用方法

※之后的文章中，“实验”这个词将用“实练”来代替。因为你们将通过实际动手来练习解题。

实练与习题

本书共有42个“实练与习题”。首先，你们需要仔细阅读每章的内容并完成练习题。理解每节的内容大概需要20～30分钟。实练（实验）结束之后，仔细阅读该页的内容，试着自己总结所学到的东西。

完成之后，试着解决每章附带的练习题吧。

答案·解析

解答完练习题之后（标准时间大约为10～20分钟），根据“答案·解析”来核对自己做出的解答是否正确，不明白的地方请仔细阅读解说。当这42套练习题都做完的时候，你们应该就已经对算术的世界相当熟悉了。※关于实练的答案，一部分写在正文中，除此之外都写在“答案・解析”里。

●阅读这本书所必需的知识

本书无需大量的知识储备也可阅读。但是，某些小节中会出现分数计算（第5、第6节）的情况，因此知道下面这些词语的意思很有必要。

全等：两个图形，其大小和形状都完全相同。

对顶角：指如右图所示，两条直线相交时，像a和i那样正面相对的角。

两个角的角度都等于180°-u，我们称之为“对顶角相等”。（多边形的）内角·外角：不限于右图中所示的五边形的情况，在多边形中，图形内侧的角被称为内角，用180°减去内角后所得的角被称为外角。（平行线的）内错角·同位角：右图中，角a是角i的内错角。

角a是角u的同位角。

∠a=∠i

∠a=∠u·第一部分·　实练与习题01　加法就是钱的借和还

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望实、春香、小智、保志是同学。除了春香是认真学习的优等生之外，其他三人都特别的贪玩，不爱学习。“要是有那种不用太费力，就能学好算术的方法就好了。”某天保志发牢骚。

春香说：“说不定我叔叔知道不用太费力气就能学好算术的方法。”

于是，大家就决定去跟春香的叔叔学习算术。

然而，当春香向叔叔提出请求后，却被叔叔教育道：“天真，太天真了！怎么可能会有那种不用费力就能学好算术的方法，如果真的有那种方法的话，叔叔我也想知道呢。但是，稍微辛苦一些就能打好基础功底的方法倒是有的，要试试看吗？”

虽然大家稍微犹豫了一下，但还是决定要学好算术。

本书中提到的“老师”代指春香的叔叔。

老师首先给大家出了两道题，说道：“试着用心算来计算。”38+97　197+351

大家开始苦思冥想。如果用笔算老老实实计算的话还能做出，但心算就有些心里没底了。

过了一会儿，春香小心翼翼地说道：“30和90相加等于120对吧？8和7相加等于15对吧？将这两个答案相加，嗯，等于135吧？”“做出来了！”老师说道，“但如果能有把97看作100少3的数的想法的话，就能更快地算出答案。38和100相加等于138，之后再减去3……”“我明白了，138减去3就得出答案135了。”保志说。“同理，因为197+351中，197是200少3，因此将200与351相加得到551后减去3，答案是548。假设收到3块钱之后再返还3块钱就可以了，加法就是钱的借和还呢。”

请在5分钟以内解答以下习题……习题请用心算回答下面的习题（按照每列的顺序写答案）。99+9849+169999+9978+46258+239396+38759+42498+45677+13948+59998+98+5999+998+997

望实思考了一下：“也就是说，容易计算的数字很重要。比如像100或者1000这样的数，如果不是的话，像59就可以考虑为容易进行计算的60减去1得到的结果。”

小智也思考道：“减法能不能也用同样的方法啊？如果可以的话，不用乱七八糟地写很多也能求出结果呢。”

春香在心中盘算：“虽然我用普通的方法也能心算出来，但是用这个方法只用两步就能进行验算，看上去可以避免由于粗心引起的错误呢。”

即使是加法这样的简单运算，如果能有数感的话，计算的速度也会大幅度改变，粗心引起的错误也会减少很多。拥有数感这点很重要。02　“去掉”和“不一致”

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第二天，老师给出了两道减法题目：92-38　137-96“做这两道题之前，”老师说，“你们知道14-8有什么含义吗？”“就是从14里去掉8吧？”春香说，“因为从14的个位数4上不够去掉8，所以要借10来用。也就是说，从10里去掉8得到2，之后和4相加得到6，是不是这样啊？”“啊，好意外，”保志说，“我觉得既然是要减去8，就先把8分解成4和4，先减去4之后再减去4。也就是说，14-4得到10。再用10-4得到6这样子吧？”“啊，”望实出声道，“因为减法就是计算‘差值’，也就是不一样的部分对吧？不是去掉，而是从不一样的部分来考虑。像下面这样的线段图中，就是要考虑线段长度的区别，对吧？因为中间有10，8到10之间的距离是2，10到14之间的距离是4。所以加起来就是6。”

老师微笑着听完后说道：“就算只是对于减法，也是有很多不同的思考方式的嘛，比较有代表性的就是‘去掉’的思考方式和‘不一致’的思考方式，不管哪种，还是都掌握一下比较好，比如，在92-38的情况中，‘去掉’的思考方式就会容易很多。从92里去掉容易计算的40得52。可是这样就多去掉了2。因此要把多去掉的2补回来，得到答案54。“而在137-96的情况中，用‘不一致’的想法来解题会相对容易。137与100之间相差37，100与96之间相差4，相差之和为37+4，得到答案为41。所谓减法的心算，就是根据不同的情况来使用这两种方法。”

请在5分钟以内解答以下习题……习题请用心算回答下面的习题。83-39374-99182-9678-49300-187498-399312-1971001-493995-397656-565“两种方法都能用的题，看上去有很多呢，”小智心想，“但是，为什么减法会有这两种思考方式呢？”

于是，小智仔细思考了一下。“现有8颗玻璃弹珠玩具，再加上9颗，就是17颗。也就是8+9=17。从这17颗中，将刚才的9颗‘拿掉’后，剩下了8颗。这就是所谓的‘去掉’吧。“然而，以8颗为主体来思考的话，与17颗‘不一致’的部分就是9颗，因为，加上9才能等于17。“根据所选择的思考方式的不同，计算也可以随之变得简单或者复杂，真是不可思议的世界啊。”03　改变顺序，创造“容易计算的数字”

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第三天，老师给出了3道乘法题。2×2×2×3×5×5　24×25　16×7×25

不愧是优等生春香，立刻就解出了第一题的答案。“因为是纯乘法的算式，所以改变顺序不要紧。将2和5组合起来相乘得到10，存在两组2×5，因此剩下一个2和一个3，2×3得到6。所以，原式也就可以看成是6×10×10，答案是600。”“嗯，答得很不错。”老师说。“用加法计算，72+59+28这样的题目经常会出现，其实在纯加法的算式中，是无所谓计算顺序的。所以，先算出72+28等于100之后，再计算100+59=159，要比按部就班从头算起简单得多。同样，巧妙地改变顺序并创造‘容易计算的数字’，同样适用于纯乘法的算式。”“下道题我很拿手呢。”保志插嘴道。“可以把24写成12×2，再求25的2倍就是50。再把12写成6×2，再求50的2倍就是100。最后将100和6相乘就能得到600了。”“这就跟把24×25=4×6×25中的4和25先进行相乘得到100，然后再将结果乘以6一样呢，”望实接道，“以前学校的老师说过，记住4个25相加等于100。”

老师说：“总之，大家明白了调整顺序后创造容易计算的数字来计算是个好方法。那么最后的问题就是，将16看作4×4，先用一个4乘以25，得到100。剩下的一个4乘以7得28。最后，28×100得到答案2800。”

请在5分钟以内解答以下习题……习题1.（初级）请用心算回答下面的习题。8×7×5×3×52×2×2×7×3×5×575×11×4125×73×86×5×4×3×2×1×52.（中级）请用心算回答下面的习题。1232÷56256÷27×81÷192

保志：“果然，我的乘以2或者除以2的策略是合适的。因为1232的一半是616，56的一半是28。这两个数再一半分别是308和14。又一半就是154和7，154÷7的话，心算就能算出来呢。”

望实嘟哝着说：“2、4、8、16、32、64、128……将这些数牢记到这个程度，5、25、125、625……这种数牢记到这个程度会比较好呢。”04　故意加多了

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奇怪的问题摆在眼前，难住了4人。

第1题：心算997×3。

第2题：某班级有40名学生需要订阅A报纸或者B报纸，订阅了A报纸的有23名，订阅了B报纸的有19名。那么，求两种报纸都订阅了的有几名？2

第3题：右图中，长方形ABCD的面积是100cm，长方形AEFD的22面积是70cm，长方形GBCH的面积是55cm。试求，此时长方形GEFH的面积。

第4题：解答这些题时，所用到的共同的解题思路是什么呢？***

春香想了一会儿后说道：“我知道了。997和容易计算的1000很接近。因此，先用1000乘以3得到3000。但因为997比1000少3，也就是把3多加了3回，即3000比正确的答案多了9，所以从3000里减去9得到答案为2991。“第1题中的9是故意加多的。然后，为了算回正确的数字，再将多加的部分减去。“这样的话，估计第2题也迎刃而解了。“为了算出班级人数，故意先将23人和19人直接相加。这样的话，虽然变成了42人，但因为两种报纸都订阅了的人，即被重叠计算的人是被加了两次的，因此只有这些部分是多加的。“因而，比40多出来的只有这部分。也就是说，被重叠计算的人数是2人，所以答案是2人。“第3题果然还是先故意将70与55直接相加得到125。答案会比100多，是因为阴影部分被‘重复加了两次’。因此，阴影部分的面2积就是，从125中减去100等于25cm 。”

请在5分钟以内解答以下习题……习题1.（初级）请用心算回答下面的问题。996×498×122.（中级）某个班级（40人）中，订阅了A报纸的有29人，订阅了B报纸的有19人，两种报纸都没有订阅的有2人。试求，两种报纸都订阅了的有几人？3.（中级）求出下图中阴影部分的面积。（注意：圆周率值取3.14。本练习册中，之后出现的圆周率值都按取3.14来计算。）

望实对上一页中春香对第2题的解释毫无头绪，去请教老师。于是，得到了下面的回答：“如果第2题不明白的话，那么以线段图的形式来理解的话会容易很多。来看下面这幅图。“a+i是23人，i+u是19人，把a+i、i+u加起来，就是42人，对吧？这比a+i+u的40人多了2人。“那么来思考一下为什么会多了2人呢？是因为多了重叠的i的部分。“因此，i（两种报纸都订阅了的人）就是2个人。”05　减去相同的量

请在20分钟内阅读并完成下面的内容“存在A和B两个大小相同的东西，”老师开口说道，“不过，光是A、B这样的表达可能很难理解。小智和保志现在的体重大概差不多吧。那么，假如小智和保志减肥……”“什么鬼例子。”望实小声嘟哝道。“好了好了，先不要在意那些细节，”老师假装没有听见接着说道，“假设2人都成功减掉了相同的重量。那么，这种情况下谁的体重更大？”“那不是明摆着嘛，”小智接道，“起点‘相同’，又减去了‘相同的质量’，那么结果肯定是相同的。”“确实如此，”老师微笑着说，“但当这个问题变成算术问题的时候，一下子算不出来的人可是有很多呢。”“怎么可能？”春香道。

听到春香这么问，老师给出了题目。大家也来一起试着做一下吧。

实练1：下图中，∠a+∠i与∠u+∠e的度数相同。请说明其中的理由。

实练2：下图是一笔画出的和实练1类似的“图案”，利用这一点，求出阴影部分的角度全部相加后等于多少度。

请在10分钟以内解答以下习题……习题1.（中级）说明下图中∠a和∠i大小相同的理由。（注意：这两个三角形都是正三角形。）2.（中级）下图中，标有黑色标记的角的度数全部相加等于多少度？可用虚线作为辅助线来回答。“我能理解在下图中，将∠a和∠i的度数相加能转换为∠u和∠i相加。但是，将这些角都聚集起来组成四边形的全部内角这种事，就像杂技一样啊。不过，用这种解题方法瞬间得出答案的感觉真好呢。”

听到望实这样说，老师说道：“这种不用画图，而是在看到的瞬间就能立刻（将角度）进行转换的力量正是图形的力量啊。因而，在能做到看到就能立刻反应并做出转换之前，要培养成仔细读图的习惯，这样的话，对于图形的问题也就能得心应手了。”06　所谓一半

请在20分钟内阅读并完成下面的内容“听到‘一半’这个词的时候，在算术中会联想到什么问题呢？”老师问保志。“计算24×15的时候，”保志说道，“可以理解为有15个24。15个又可以分成10个和5个。那么，先算出10个24为240。接下来的24×5，用240的一半来计算比较快。这么说是因为，5个是10个的一半。”“做得不错，”老师点点头然后问道，“那么78的一半和22的一半相加等于多少呢？”“嗯，因为78的一半是39，22的一半是11，”保志说，“39加11，所以答案是50。”“虽然这种思路也没错，但是先算出78+22等于100后，再除以2得到答案50这种算法不是更快？”春香说。“原来如此，”老师说，“某个数的一半，和某个数的一半相加时，从总和的一半的这个角度来思考也是可以的。因为〇〇××的一半就是〇×。能立刻用上这个技巧的题目已经准备好了，大家来试试吧。”

然后老师画了下面的图。“∠B的平分线（将角平分为两半的线）与∠C的平分线相交于D点，求∠a的度数。“由于∠A是50°，〇+〇+×+×的度数就是从三角形的内角和180°里减去50°，即130°。所以，一半是65°。“因此，∠a是从三角形DBC的三角和180°里减去65°所得，即115°。“像这样的题目来试着做几道吧。”

请在20分钟以内解答以下习题……习题1.（初级）右图中∠B与∠C各自的角平分线相交于D点时，求∠a的度数。2.（中级）右图中的四边形ABCD为平行四边形。∠B与∠C各自的角平分线相交于E点时，求角i的度数。3.（中级）右图中，∠B的角平分线与∠ACE的角平分线相交于F点，求角u的度数。07　将连续的整数相加

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仔细观察下列算式。然后，思考这些算式都代表着什么含义。如果必要的话，还可以利用下图。

1+2+3+4+5=3+3+3+3+3

13+15+17=15+15+15

5+6+7+8+9+10+11=8+8+8+8+8+8+8

保志一边看图一边说道：“第2个算式，从17里取掉2借给13。因此所有的数都变成了15。”

听了这句话，望实接道：“最后的算式，是从11里取3借给了5，从10里取2借给了6，从9里取1借给了7。因此所有的数就都变成了8。”

思考了有一阵子的小智插嘴道：“不管什么时候，其他数字都是向最中间的数字靠拢呢。”

实练：参考上面的对话，在空白处填入恰当的数字。

1+2+3+4+5+6+7=□+□+□+□+□+□+□=□

2+5+8+11+14=□+□+□+□+□=□

上面的实练完成之后，把顺序倒过来做做看吧。试着把下面的算式变回多个整数相加的形式。

5+5+5+5+5=

9+9+9=

也来尝试一下稍难的问题吧。把下面的式子，也变回多个整数相加的形式。

7+7+8+8=

理解了之后，来挑战一下下面的习题吧。

请在10分钟以内解答以下习题……习题1.（初级）请用心算回答下面的习题。1+3+5+…这样，9个连续奇数的和等于多少？2.（中级）把40用两个以上的连续整数相加的形式来表示。

保志提出了简单的疑问：“到目前为止的题目，全都是奇数个的数字相加。1+2+3+4+5是5个数相加，13+15+17是3个数相加。那么像1+2+3+4+5+6那样，偶数个的数字相加的时候该怎么办呢？”

于是，老师做出了这样的回答：“用刚才的方法好像无法顺利做出呢。但其实想硬套刚才的方法的话，手段也是有的。“最中间的数就是3.5对吧。这是1和6的平均数。从6里借2.5给1的话两边就都变成了3.5。从5里借1.5给2的话两边就都变成了3.5。从4里借0.5给3的话两边就都变成了3.5。这样做就能巧妙地让所有的数都变成3.5了。“所以，式子就变成了1+2+3+4+5+6=3.5+3.5+3.5+3.5+3.5+3.5。“像这样思考的话（运用小数点）就能顺利解答了。”08　添上相同的东西

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为了求出梯形的面积，需要如下图所示将同样的梯形倒转过来并贴在它的旁边。

这样做的话，求出“由2个梯形组成的”平行四边形的面积后，除以2就可以得到梯形的面积了。（上底a+下底b）×高÷2

实练：运用同样的方法，求出下面的立体图形的体积。左边的是圆柱体被一个平面截去后的形状，右边的是四棱柱被一个平面截去后的形状。（注意：如果有需要的话，可以把下图作为提示来参考。）

仔细观察了上图的春香说道：“大家原本的形状都是很规整的圆柱体或者四棱柱。反之，被通过中心点的直线或者平面一分为二，其中的一部分正好和另一部分处于相反的位置关系，这样的图形到底是什么呢？”

这被称之为“点对称”图形。点对称的图形（例如平行四边形）中，不管什么样的直线只要通过点对称的中心，就能把图形平分为两半。

那么，在上面的空白处填入体积，完成后来试着挑战下一页的习题。

请在10分钟以内解答以下习题……习题1.（中级）把1+2+3+4如左下图所示用〇的个数来表示时，这个由〇组成的图形，像右下图那样倒转并拼贴在一起后，就能看出〇的个数的2倍是4×5。也因此可以得出〇的个数是4×5÷2=10。以此为例，计算1～100的所有数相加之和等于多少。2.（中级）下面的图形是由两个长方形拼贴而成的。现想用一根直线将这个图形的面积平分为两半，但手头只有一把没有刻度的直尺（只能画出直线）。该怎么样做才好呢？试着思考一下。09　求三角数之差

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实练1：下图中有5个图形。通过数数或者计算，求出各图中所包含的点的数量。

实练2：下面写出了有名的数字序列。寻找数字序列的规律时，最基本的做法是，先试着求出两个相邻数字之间的差值。

根据例子，在这个数列下面的空栏中，填入相邻数字之间的差值。

打算计算上面问题的保志，把求相邻数之间的差，错算成了求相邻数之间的和：“哎呀呀，变成了4、9、16、25、36、49……呢。这好像在哪里见过。”“哎呀，这不就是变成了2×2、3×3、4×4……这样吗？”春香说。

对于保志不经意间得出的这一不可思议的结果，两人开始了对其原因的思考。

大家也姑且来思考一下，然后来挑战下面的习题（这里比较难，所以弄不明白也没有关系）。

请在10分钟以内解答以下习题……习题1.（中级）（1）右图中，被涂满颜色的正三角形有多少个？（2）假设最小的正三角形的边长为1cm时，画此图形一共需要多少cm？2.（高级）观察右图，说明上一页的数字序列中，28+36变成64（8×8）的原因。10　求四角数之差

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实练：按顺序数出下图所示排成正方形形状的〇的数量后，会发现什么呢？在空栏中填入适当的数字。

这些数，是像1×1、2×2、3×3、4×4、5×5这样，由同一个数相乘两次而得的。像这样的数，我们称之为四角数或者平方数。

小智想到：“寻找数字序列的规律时，最重要的是试着求出相邻数之间的差，那么把四角数按从小到大的顺序排列后试着求差会发生什么呢？”

于是他决定来做实验试一试。

看样子，这里也出现了不可思议的规律。

望实对思考着到底是为什么的小智说：“试着把它们重叠起来看看不就行了吗？”

随即望实试着把相邻的两个图进行了重叠。大家也来一边看图一边思考，各图中，被涂色的〇的个数代表着什么含义。

试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]

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