非线性单位根检验研究(txt+pdf+epub+mobi电子书下载)

作者：刘田

出版社：成都西南财大出版社有限责任公司

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非线性单位根检验研究试读：

不管是在计量经济学的理论分析还是应用经济学各分支的实证研究中，单位根检验都具有重要意义，在各个领域都有非常广泛的应用，在各种经济学分支的专业文献中，有关单位根检验的资料是非常丰富的。1.1.1 单位根检验的计量学意义

在涉及时间序列的分析中，不管是多变量的回归分析，还是用自回归滑动平衡模型（ARMA模型）来描述和刻画单个时间序列，平稳性要求都是一个基本前提。平稳性是普通最小二乘估计（OLS）的理论前提，而任何ARMA模型都是平稳的，因此它不可能直接对非平稳序列建模。

所谓平稳，就是指随机变量的概率分布不随时间变化，因此它的统计矩（包括均值、方差、协方差等）也不随时间变化，对时间而言是常数。这有时也称为是严平稳的。人们在实证分析中，常常放松这个条件，只要变量的均值、方差和协方差不随时间变化，就可以认为变量是平稳的，有时候称其为宽平稳。对正态分布而言，严平稳与宽平稳是一致的。

对实际经济数据而言，时间序列常常有一个随时间不断增长的确定性趋势，此时序列虽然是非平稳的，但如果去掉确定性趋势项后，剩余项却可能是平稳的。去掉确定性趋势项后的剩余项如果是平稳的，称为趋势平稳；否则，称为差分平稳。后者才是我们真正关心的单位根过程。2

干扰项的平稳性对回归分析要求很高，否则，基本的t、F、χ检验都不能使用；强行使用的话，可能引起谬误回归，得出两个时间变量间的错误关系。事实上，任何两个非平稳的变量都可能计算出很高的相关性，从而建立两个风马牛不相及变量间的回归关系。任何平稳序列都可以用ARMA模型来建模；同时，ARMA模型也要求描述和刻画的对象必须是平稳的。

对非平稳时间序列的建模，我们通常将其转换为平稳序列进行处理。协整和差分就是两种去除非平稳性的基本方法。如果两个变量非平稳，但它们保持同样的变化趋势的话，它们的线性组合却可能是平稳的，这时就说它们具有协整关系。两个变量具有协整关系，就可以将它们当作平稳的，可以进行回归分析。所谓差分，就是将时间序列跟其一阶滞后项相减，有点像连续函数的微分，可以降低函数的阶数，从而将单位根过程变为平稳过程。差分方法在时间序列的分析和处理中应用非常广泛。

在平稳性的检验中，除了判断自相关函数（ACF）的零收敛性以外，单位根检验是一个基本的定量检验方法。前者是一种定性方法，后者则在时间序列分析中具有基础地位。在理论分析中，DF单位根检验法以其简洁性和基础性用得最广；但在实际应用中，因为残差可能存在的相关性，也因为可能存在的时间趋势，需要对DF检验方法进行拓展，这就得到ADF与PP单位根检验法。DF、ADF、PP一起构成最经典的三大单位根检验方法，在大量文献的理论和实证分析中应用得最为广泛。

通过增加线性趋势对DF单位根检验法进行拓展，算是基本解决了存在确定性趋势情况下的单位根检验问题。但如果趋势是非线性的，需要进一步对确定性趋势进行拓展。非线性趋势拓展后如何进行单位根检验，是本书的主要研究目标。1.1.2 单位根检验的经济学意义

很多经济学理论和假设可以直接得出研究对象是平稳或单位根过程的结论，因而需要或者说可以用单位根检验方法进行验证。比如在资本市场有效性的研究中，有效市场假设必然得出证券价格是随机漫步过程的结论，而随机漫步过程必然是单位根过程，因而可以直接通过检验资产历史价格数据来验证其是否满足有效市场假设。再如购买力平价理论中，真实汇率必然是非单位根过程，否则不能满足购买力平价假设。故而可以直接根据实际数据，用单位根检验方法，对理论假设是否符合实际情况进行检验和验证。

在经济学理论的实证分析中，很多变量是带时间趋势的，如一些经济总量数据；也有很多变量是没有趋势的，如利率、物价指数等数据。对这些变量而言，区分趋势平稳与差分平稳（非平稳）是非常重要的。趋势平稳的经济变量长期变化结果是由确定性的时间趋势函数决定的，经济转型、政权更替、制度变化等随机冲击只造成对趋势的暂时偏离，一段时间后，它们会回复到原来的变化趋势，也就是说随机冲击不会改变变量的发展路径。而对单位根过程而言，任何哪怕较小的冲击都会影响其长期动态过程，带来长期永久的影响，从而从根本上改变变量的变化轨迹。对于单位根过程（差分平稳）而言，每个随机冲击都具有长记忆性。对于趋势平稳过程，随机冲击只具有有限记忆能力，由其引起的对趋势的偏离只是暂时的。这从下面的分析中可以很容易看出来。tt-1t

假设去趋势后序列为y=ρy+ε,ρ=1为单位根过程，ρ＜1为平稳过程。我们有，对单位根过程而言，1T因为ρ=1，不管时间间隔（T）多大，y的冲击始终对y保持影响，而不会发生改变；而如果为非单位根过程，因为ρ＜1，随着时间间隔1T（T）的增大，不管y的冲击多大，其对y的影响很快趋于0而消失。

这就证明了单位根过程与平稳过程对随机冲击的反应是完全不同的，也说明区分经济变量是平稳的还是单位根过程具有重要意义。

传统商业周期理论认为，随机冲击只会对宏观经济变量的变化产生暂时的影响，经济变量的长期运动是由确定性的时间趋势函数主导的，不会因随机冲击而改变，在时间序列上表现为趋势平稳过程。而新兴的实际商业周期（Real Business Cycles）理论则认为，技术进步带来的影响是持久性的，实际因素造成的（总供给方面的）随机变化才是宏观经济波动的根源，将产出波动解释为货币扰动可能并不合理，在时间序列上将表现为单位根过程。因此，区分宏观经济数据是趋势平稳的还是单位根过程非常重要，这对于宏观经济政策的制定具有重要的指导意义。这就要求对单位根检验结论的可靠性做进一步研究。1.1.3 常规单位根检验法的局限性

不管在计量经济学或其他经济学领域，区分趋势平稳与差分平稳都是非常重要的。在理论和实证分析中，传统上通常用ADF或者PP检验来判断是否存在单位根，并且通常都假设待检序列是包含确定性线性趋势的。但分析中对是否真的包含趋势，或者趋势是否真的是线性的或非线性的没什么考虑，也没做检验分析，没有考虑到如果设定错误的话可能出现的重大问题。大多数统计软件提供的标准ADF或PP单位根检验方法也都固定地假设是包含线性趋势的。

事实上，线性假设下的ADF与PP单位根检验法对数据生成过程非常敏感，应用于其他非线性趋势情形的检验，可能存在很大的疑问，甚至带来完全错误的结果，倾向于将平稳过程误判为单位根过程。非常经典的例子包括，尼尔森（Nelson）与普罗索（Plosser）在1982年用ADF方法检验14个美国宏观经济数据，发现存在13个单位根过程。但佩龙（Perron）在1989年引入结构变点后，发现真正的单位根过程只有3个。同样的检验数据，检验结果却完全不同。用ADF或者PP检验来认定一个过程存在单位根，需要非常谨慎。

蒙特卡罗实验表明，在样本数不是很小时，ADF检验与PP检验对线性趋势或无趋势平稳过程可以做出很好的检验判断。但对非线性趋势而言，如平方根趋势、二次趋势、对数趋势、分段线性的结构突变趋势等，ADF检验与PP检验趋向于将平稳过程判断为存在单位根，导致得出错误的检验结论。并且这种误判是根本性的误判，并不能通过增加样本数来改善。

但是，真实的经济数据很难令人信服地假设为线性趋势过程，至少不能认为所有趋势都是线性的。事实上，无趋势单位根过程相当于无漂移的随机漫步过程，线性趋势单位根过程相当于固定漂移速度的随机漫步过程，如果漂移速度发生变化，将是非线性趋势的单位根过程。固定漂移速度只是变漂移速度的特殊情况。

大量的实证文献只是机械地使用线性趋势假设下的ADF或PP检验的结果，其结论的可靠性就可能存在很大的疑问。这样就必然要求我们研究非线性趋势下的单位根检验问题。1.1.4 非线性单位根检验研究的意义

检验时间序列平稳性的单位根检验具有非常重要的理论意义和实证价值。它是计量经济学理论分析和实证应用中避免伪回归、检验协整关系以及建立ARMA模型的基础和前提；同时，很多经济学理论和假设（如资本市场有效假设、汇率购买力平价理论、政府跨代预算约束、贸易赤字可持续性等）可以直接得出研究对象为平稳或单位根过程的结论，因而可以直接用单位根检验方法对众多经济理论和假设进行检验和验证。可以说，在大多数经济、金融数据严谨的实证分析中都必然要涉及单位根检验问题，如何尽可能改善和保证单位根检验结果的可靠性就显得非常重要。

理论和实证分析中广泛使用的ADF或PP等单位根检验法以及大多数统计软件包提供的标准检验方法都只适用于不带确定性趋势或者趋势为线性的情形，并且还要求随机波动项也是线性（即ARMA结构）的，而对存在非线性问题的单位根检验就显得力不从心，会扭曲检验水平（Size）或者降低检验功效（Power），从而得到错误的检验结果。但现实世界千差万别，线性问题很难概括所有真实的经济过程，并且受政策变化、外部冲击等因素的干扰，以及经济收缩与扩张周期天然的非对称性，非线性情形更为普遍。固然线性可看作所有非线性的初步近似，但通常的单位根检验方法对数据生成过程都比较敏感，常规单位根检验方法很难对包含非线性问题的经济时间序列数据做出正确的检验，导致错误的检验结论，如常常将非线性趋势平稳过程、干扰项非线性平稳过程等误判为存在单位根的线性非平稳过程。

这样就存在一个问题，对包含任意非线性确定性趋势或随机波动项存在未知非线性结构的单位根检验问题，如何进行可靠的检验？文献中对非线性单位根检验有部分研究和讨论，但远不系统，通常都只针对某种特殊的非线性问题（如结构变化模型、门限自回归模型、平滑转移自回归模型等），对其他非线性情形还是无能为力，并且这还导致不同非线性情形的识别问题，同时其检验稳健性通常都很差。尽管非线性现象在实际问题中是广泛存在的，但在实证分析应用中远没得到应有的重视。1.2 主要研究内容

单位根实证检验中必然涉及样本数据收集、检验回归式设定、检验方法选择、统计量计算及得出统计推断结论等各种步骤。本书对检验中各环节容易出现问题的地方进行了研究，力图尽可能地提高单位根检验的可靠性。本书重点研究了非线性趋势序列（无趋势或线性趋势看作非线性趋势的特殊情形）单位根检验中样本收集时的小样本问题与测量误差问题的影响，以及非线性趋势下单位根检验中存在的问题及解决办法，也研究了扰动项存在非线性时对检验结果的影响及解决办法。

全书主要研究内容如图1.1所示。图1.1 全书主要研究内容

针对数据收集环节，本书首先研究了样本大小的选择问题，由于很多实证研究中样本收集存在困难，小样本问题大量存在；其次研究了测量误差对单位根检验结果的影响，因为实证分析中收集到的样本基本上无法避免测量误差，研究测量误差是否会改变单位根检验的水平与功效就显得很有必要。

本书的研究重点是单位根检验中存在非线性趋势时的检验问题。本书首先研究了传统单位根检验方法在非线性趋势下的检验失败，这就必然涉及研究线性与非线性趋势的检验问题，因为这是传统检验方法正确应用的前提条件。非线性可能有无限多的形式和可能，为了避免非线性趋势的具体设定与检验问题，本书提出了三种对任意趋势序列的单位根检验方法，企图用统一的方法和步骤来解决各种非线性趋势下的单位根检验问题，并得到可靠的检验结果。

本书各章节的主要内容包括：

第二章对单位根检验的文献进行了简略的综述。本章首先介绍了无趋势序列单位根检验的经典方法与各种旨在提高检验功效的新方法，以及带线性趋势序列的各种去除趋势部分的方法，然后介绍了实证分析中经常遇到的含结构突变趋势的单位根检验方法，最后对扰动项存在非线性的单位根检验方法进行了总结。

第三章归纳了大量文献中单位根检验方面可能存在的常见问题，并对其进行了详细分析。常见的问题包括计算错误，小样本陷阱，以偏概全的逻辑错误，忽略检验功效的错误，当然也包括很多设定错误等。

第四章通过蒙特卡罗仿真的方法，研究单位根检验中回归函数的选择问题。结果表明，当样本数很小且ρ较大时，各种方法的检验功效都比较低，主要是小样本问题。如果检验回归式包容数据生成过程，在大样本情况下也可以获得很好的检验结果。在大样本情况下，残差相关性的影响可以忽略。

第五章从理论上推导了单位根检验功效的估算公式，研究了检验功效的影响因素，推导了无趋势、线性与非线性趋势下单位根检验中样本长度最低要求的估算公式。

第六章讨论了加性独立测量误差对单位根检验的影响，推导了在带误差情形下单位根检验统计量的极限分布。分析表明测量误差将导致检验水平的扭曲和检验功效的增加，但当测量误差的方差相对较小时，这种影响可以忽略。

第七章对VR单位根检验法进行了详细研究，推导了统计量在单位根情形与平稳情形时的极限分布，仿真研究了截断长度的选择，并提供了临界值、残差项相关与不相关时的检验水平与功效，同时指出了其存在的缺陷。

第八章提出并研究了负单位根检验法，推导了其极限分布，并仿真了其小样本临界值及检验功效，对传统DF类单位根检验法逻辑上的不完备进行了补充。

第九章通过蒙特卡罗仿真的方法，研究了实证中广泛使用的ADF与PP单位根检验法对各种趋势的单位根检验的有效性问题。结果表明，对无趋势或线性趋势过程，它们可以给出合适的检验结果。但对非线性趋势而言，它们趋向于将平稳过程误判为有单位根。但在一定条件下，各种非线性趋势可以看成准线性的，从而利用常规ADF与PP检验得出正确的结论。

第十章详细研究了单位根检验中趋势的检验问题，提出了有趋势与无趋势的t检验法，以及如果有趋势的话，趋势的线性或非线性的回归系数检验法与等均值检验法，讨论了单位根检验中序列相关性的特性，并提出了去除相关性的几种方法。

第十一章研究用正交多项式逼近非线性趋势，然后对残差进行单位根检验的方法。本章研究了用正交多项式进行趋势逼近的性质，推导了这种单位根检验统计量的极限分布，并提出了正交多项式最高阶数的确定方法，仿真研究了残差相关与不相关时的检验功效。结果表明，检验方法是有效的。

第十二章提出SVD-RMA含趋势单位根检验法，基于奇异值分解将时间序列的趋势项与干扰项分离，然后用递归均值调整法对分离出来的干扰项进行单位根检验。仿真实验表明，SVD-RMA法对线性与非线性趋势甚至包含结构突变过程的检验功效都不错。

第十三章研究用局部多项式回归的方法来去除确定性趋势，不用考虑趋势的具体形式及设定问题，然后对残差进行单位根检验的方法。本章介绍了局部多项式回归的性质，研究了基于VR检验统计量的极限分布，仿真研究了窗宽的选择问题，以及残差相关与不相关时的检验水平与检验功效。结果表明，检验方法是有效的。

第十四章通过理论分析和蒙特卡罗仿真，研究了非线性扰动项平稳性检验时选用的统计量与数据生成过程不一致时，非线性ESTAR、LSTAR与线性DF检验法的伪检验问题。

第十五章提出一种通用非线性单位根检验方法，使用待检序列及其逆序序列的Wald统计量的最小值作为检验统计量，将卡朋特丽斯（Kapetanios）等人提出的受限条件下ESTAR模型非线性单位根检验法推广到非0位置参数的情形，也可应用于一阶、二阶LSTAR，或其他可能的平滑转移自回归模型，还可应用于门限自回归（TAR）模型或传统的线性AR模型的平稳性检验。该检验方法对数据生成过程有广泛的适应性，并且在大多数时候都能获得较其他方法更佳的检验功效。

第十六章综合利用本书提出的各种非线性趋势单位根检验方法，对购买力平价理论、证券市场随机漫步理论、跨代政府预算约束理论进行了实证检验。各种检验方法得到的检验结果是一致的。实证检验结果不支持购买力平价理论，但支持随机漫步理论与跨代政府预算约束理论。检验同时表明，很多时间序列确实存在非线性趋势，此时是不能使用传统单位根检验方法的，否则很可能得到错误的结论。1.3 研究工具与方法

本研究的计算及验证工作主要基于R软件平台编程实现。

研究中主要用到数量经济学的各种方法，包括最小二乘法、最大似然估计、线性与非线性参数估计、非参数估计、局部加权多项式回归拟合以及以单位根检验和ARMA建模为主要内容的时间序列分析方法。

研究中会用到信号处理与滤波理论方面的技术和手段，包括波形估计、奇异值分解等方法。

研究中还会用到蒙特卡罗模拟及数字仿真方法。

研究的手段包括理论推演、仿真实验与实证检验。1.4 主要创新点

全书的主要创新点可以归纳为以下几个方面：

本书从理论上推导了DF单位根检验功效的估算公式，研究了检验功效的影响因素，推导了无趋势、线性与非线性趋势下单位根检验中样本长度最低要求的估算公式；并利用仿真数据，用曲线拟合的方法，推出了实证分析中估算最低样本长度的公式，从而对单位根检验实证分析中的样本大小选择提供了指导依据。

本书推导了加性平稳测量误差下单位根检验中有截距和无截距情形下T（-1）与τ两种统计量的极限分布，并进行了仿真验证。理论分析与仿真结果均表明：只有在测量误差的方差相对较小时，其对单位根检验的影响才可以忽略；通常测量误差将导致统计量分布向左偏移，从而使检验水平扭曲和检验功效增加。左偏程度受测量误差方差及其一阶协方差的相对大小控制，而与测量误差的均值大小和概率分布无关。测量误差方差增大，左偏更严重；正的一阶协方差可以减少和抵消统计量分布的向左偏离，而负的一阶协方差将加剧左偏的程度。

本书研究了单位根检验中确定性趋势的检验问题，提出了检验有趋势与无趋势的t检验法，以及如果有趋势的话，检验趋势的线性或非线性的回归系数检验法与等均值检验法。本书讨论了序列相关性对检验结果的影响，以及去除残差相关性影响的广义差分法与抽样子序列法。

本书研究了三种包含任意确定性趋势序列的单位根检验方法，目的是不需要对是否包含趋势、是线性趋势或者非线性趋势进行事前设定、判断与检验，而用统一的方法和步骤进行单位根检验。三种方法本质上是对任意确定性趋势的估计方法。

第一种确定性趋势估计方法是正交多项式逼近法。该方法介绍了实证分析中归一化正交多项式的生成方法，研究了使用正交多项式进行时间趋势多项式与非多项式逼近的性质，推导了这种方法去趋势后单位根检验统计量的极限分布，提出了正交多项式中最高阶数的确定方法。该方法通过仿真研究，提供了不同最高阶数的检验临界值，以及残差相关与不相关情况下各种线性与非线性趋势下的检验水平与功效。结果表明，检验水平没有扭曲，并得到了不错的检验功效。

第二种确定性趋势估计方法是基于奇异值分解的方法。基于奇异值分解将待检时间序列的趋势项与干扰项分离，然后用递归均值调整对干扰项进行单位根检验。该方法提供了不同显著水平下的检验临界值，以及残差相关与不相关情况下各种线性与非线性趋势下的检验水平与功效。结果表明，该方法对线性与各种非线性趋势甚至结构突变过程的检验功效都不错，并且就算有比较严重的残差负相关，检验水平也没有明显扭曲。

第三种趋势估计方法是局部多项式加权回归估计法。该方法就是使用局部多项式回归拟合来去除确定性趋势，然后对残差进行单位根检验的方法，不用考虑趋势的具体形式及设定问题。该方法介绍了局部多项式回归的性质，研究了基于VR检验统计量的极限分布，仿真研究了窗宽的选择问题，以及残差相关与不相关时的检验水平与检验功效。结果表明，检验方法是有效的。

本书提出一种通用非线性单位根检验方法，使用待检序列及其逆序序列的Wald统计量的最小值作为检验统计量，将Kapetanios等人提出的受限条件下ESTAR模型非线性单位根检验法推广到非0位置参数的情形，也可应用于一阶、二阶LSTAR，或其他可能的平滑转移自回归模型，还可应用于门限自回归（TAR）模型或传统的线性AR模型的平稳性检验。该检验方法对数据生成过程有广泛的适应性，并且在大多数时候都能获得较其他方法更佳的检验功效。2单位根检验文献综述

本章对单位根检验的文献进行了简略的综述。按照单位根检验的演化过程和分析问题的逻辑，本章分别介绍了无趋势序列单位根检验的经典方法，各种旨在提高检验功效的新方法与随着应用领域的扩大而拓展出来的季节、面板等单位根检验方法，以及带线性趋势序列的单位根检验中各种去除趋势部分的方法，并介绍了实证分析中经常遇到的以含结构突变趋势为代表的非线性趋势单位根检验方法以及扰动项存在非线性的平稳性检验方法。

在单位根的检验中，时间序列分为有确定趋势的和无确定趋势的两种情况。有确定趋势的时间序列常常先去除确定趋势项，转换为无趋势残差序列再进行检验。因而无趋势序列的单位根检验是最为基础的。2.1 无趋势时间序列单位根检验

对无趋势时间序列的单位根检验而言，其基本的数据模型为：tt其中y, t=1,2, …, T，为观测值，T为样本数，ρ为未知参数。u为平稳0均值过程，可能为正态的，也可能非正态，可能独立同分布，也可能存在自相关或异方差。如果ρ=1，即为单位根过程，有时也称随机漫步过程；如果|ρ|＜1，即为非单位根的平稳过程。

单位根检验就是通过判断回归系数ρ是否为1来检验时间序列是否为单位根过程。最基本的思路就是用OLS（普通最小二乘）回归估计法或者其他参数、非参数估计方法估计回归系数ρ值及其方差，然后构造t统计量或其他统计量进行统计推断。

但在单位根的原假设下，时间序列并不平稳，破坏了传统OLS统计量统计性质存在的前提条件，统计量分布通常并不是传统的正态、t、F或者平方分布。菲利普斯（Phillips, 1988）的分析表明，当观测值个数T趋近无穷时，单位根假设下传统t统计量或类似统计量的极限分布通常是维纳过程或其泛函。虽然没办法得到其解析解，但通过蒙特卡罗仿真或数字积分，可以得到各百分位点的临界值，并估计检验功效。

各统计量的极限分布在理论上非常重要，求取单位根检验过程中统计量的极限分布的基本思路如下：tt-1t

设数据生成过程为：y=ρy+ε，其中, c∈（-∞, 0]，则：其中rT应该取不超过它的最大整数，省略了取整符号[]。有：其中。c

当c=0时，ρ=1, W（r）退化为标准布朗运动，有,此时对应于单位根过程。

式（2.3）是求统计量极限分布中最基本的分布，将单位根检验量分解为已知分布的变量的函数，然后根据连续映射定理，很容易求出各种统计量的极限分布，并计算出临界值；同时，还可以求出不同回归系数（由c决定）下的极限分布并计算对应的检验功效。2.1.1 经典单位根检验法

最经典的单位根检验方法当然还是DF检验，其他很多单位根检验方法只是其拓展或变形而已。比如为解决残差项存在自相关的问题，分别从参数、非参数估计两个角度拓展出来的ADF与PP检验。DF、ADF与PP检验共同构成三大最经典的单位根检验法。DF是理论分析中经常采用的检验方法，而ADF与PP检验则是在大量文献实证分析t中使用得最多的单位根检验方法。三大检验的原假设都是y含有单位根，备择假设是平稳过程，并且检验统计量有相同的极限分布。（1）DF检验t

当误差项ε为正态独立同分布时，1976年，富勒（Fuller）最早提出使用传统OLS参数估计方法估计出回归系数及其方差，然后构造t统计量来检验是否为单位根过程的方法。

检验统计量为：。

注意回归项中如果已做过差分，统计量就不再减1。

单位根假设下，也有唯一的分布，并且没有标准方差等其他多余参数（Nuisance Parameter），可用它来构造统计量。而在传统的OLS分析中，此统计量有待估计的多余参数，因而并不能作为检验统计量。（2）ADF检验

DF检验对误差项要求太严格，当误差项存在p阶自回归模式的自相关时，回归系数的估计将是无效的。为了改善回归系数的估tt-it-it-i-1计，可以在回归式中增加y的滞后差分项Δy（=y-y），然后用OLS参数估计方法估计回归系数及其方差，从而用DF同样的方法构造检验统计量，来检验是否为1，若是则为单位根过程。其回归估计式为：

统计检验量为：。

因为回归式中被解释变量已经差分过，故检验统计量分子不再减1。（3）PP检验

当扰动项存在序列相关时，标准DF检验统计量的分布将存在多余参数，Phillips与Perron在1988年提出使用非参数方法估计出多余参数，然后修正DF统计量来检验是否为单位根过程。PP检验的统计量为：^ρ0其中τ表示DF统计量，γ表示DF回归检验式中误差项方差的一致估0^ρ计。f表示残差在零频率处的谱密度估计量，也即其长时方差。σ表^u示DF检验式中的标准差。σ表示DF检验式中残差的标准差。统计量修正的目的就是要去除多余参数。（4）经典检验的极限分布t

在DF、ADF、PP三大经典检验中，原假设都是y含有单位根，统计量服从同样的分布，并同属左端检验。

当误差项存在序列相关时，DF统计量的分布中会存在多余参数。为解决这个问题，ADF通过增加被检验序列的差分滞后项，PP检验通过增加修正因子，最终都去除了多余参数，获得跟DF一样的统计量极限分布。三大经典检验的极限分布如下：

上述极限分布为检验回归式中包含常数项的情形，不包含常数项时极限分布将不包括分子、分母减号后的部分。

三大分布具有同样的极限分布，照理应该有相同的临界值。但应该指出，极限分布相同未必意味着小样本情况下的分布也相同，它们趋近于极限分布的速度可能并不一样。所以在小样本情况下，我们可以考虑对各自的情况进行仿真，得到相应的检验临界值。2.1.2 更高效的单位根检验法

在样本数较小时，DF单位根检验的检验功效是很低的，常常将平稳过程误判为存在单位根。ADF与PP的检验功效尽管有所改善，但也并不让人特别满意。为了解决这个问题，从不同的角度，人们提出了各种提高单位根检验功效的检验方法。（1）WS（对称加权）检验

1994年，潘图拉（Pantula）等人提出WS对称加权检验法。该方法用后向延迟和前向延迟两个回归式，通过求两个残差加权平方和的最小值来估计及其方差：t其中权重w=（t - 1）/T。

通过使Q（ρ）最小来估计回归系数及其方差，然后用DF检验同样的方法来构造统计检验量。（2）RMA（递归均值调整）检验

2001年，东万申（Dong Wan Shin）等人提出RMA递归均值调整单位根检验法。其基本设想是用递归平均取代样本平均来估计回归系数及其方差，可应用于DF、ADF或PP等检验中。

通常回归分析中样本平均数的计算公式为：

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