作者：韩红梅
出版社：电子工业出版社
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生活中的运筹学试读：
前言
运筹学是一门比较年轻的学科，但这并不意味着运筹学不重要。在现代社会中，运筹学显得越来越重要，甚至可以说，运筹学理论的不断进步对现代社会的进步具有深刻的影响。运筹学早已不再局限于数学领域，在其他行业也发挥了巨大的作用。例如，计算机的发展就利用了运筹学的理论，人工智能、大数据、图像识别、语音识别等技术都需要用到运筹学的理论。另外，在当今热门的金融行业，运筹学更是重中之重，投资组合优化归根到底就是一个运筹问题。没有运筹学，就不会有层出不穷的金融产品，就不会有令人眼花缭乱的投资选择。
以上讲述的是运筹学在当今社会中的宏观作用，从微观的角度来看，运筹学已然不是那种可学可不学的学科，每个现代人都需要懂一点运筹学，掌握运筹学的基本思想和基本方法。在日常生活中，我们遇到的许多问题都能够从运筹学的思想中得到启发，都需要用运筹规划的方法来解决，例如，在理财时采用什么样的理财方式能让收益最大，在买房时怎样根据自己的条件选择最合适的房子，在做项目时怎样制订计划能够充分利用时间，确保项目高效地完成。此外，我们碰到的许多现象也可以用运筹学的思想来解释，从而让我们看到这些现象背后的本质，例如，商家之间的价格战、婆媳之间的斗争、委托人和代理人之间的关系等。
事实上，有许多人认识到了运筹学的重要性，但是惧怕运筹学这门学科的难度，就不愿去了解这门有用的学科，这无异于因噎废食。其实，绝大多数人学习运筹学，只需要了解运筹学中的基本思想和基本方法，这和那些前沿的运筹学理论是两回事。运筹学的基本思想和基本方法都是实实在在的、看得见的、人类自古以来就不断改进的智慧，现在的运筹学只不过是将这些思想和方法系统化、抽象化，再加以创造得到的新兴学科。古时候，虽然没有运筹学，但是也有许多运筹的典故流传下来，这里面就包含着运筹的思想和方法，如大家所熟知的田忌赛马的故事。既然古时候的人们就已经掌握了运筹的某些方法，这足以证明运筹学的基本思想和基本方法是非常简单且切合实际的，至少比量子力学、计算机科学等学科要容易理解。另外，这也证明了运筹的思想从古至今都在为人们的规划决策提供帮助，能够帮助我们解决一些复杂的，甚至看起来无解的实际问题。
另外，在现实生活中，虽然有些人从来没有学过运筹学，但在他们的规划和决策中都体现了一些运筹思想和方法，这是他们从实际问题中得到的运筹经验。这是因为运筹这门学科是非常符合人性、贴合实际的，它的本质就是探讨如何才能获得最大利益，是每个人每天都在不断思考的基本问题。无论是博弈，还是规划，或者计划，我们的目的都是尽可能地做出最优的决策，让自己获得最大的利益，而如何才能利用现有的条件获得最大的利益，这就是运筹学要研究的，也是运筹学要教会我们的。通过本书，读者就能迅速对那些运筹的基本思想和基本方法有一个系统的理解，而不再局限于现实中缓慢得到的运筹经验。
本书由平顶山学院的韩红梅编写。因受作者水平和成书时间所限，书中难免有疏漏和不当之处，敬请指正。
本书内容及体系结构
本书在结构上分为10章。第1章引导读者进入运筹学的世界，将运筹学和读者的日常生活联系起来，让读者感悟到运筹学的奥妙。从第2章开始，每章都围绕运筹学中的某个方面展开，结合实际问题，详细介绍了运筹学的基本原理和基本方法，又分为两部分：运筹理论部分和运筹案例部分。
在“运筹理论”部分，讲述了基本的运筹学原理和方法，从各个角度进行详细的阐述，同时在合适的地方配有表格和图片，帮助读者充分理解这些原理和方法。
在“运筹案例”部分，每章精选了多达5个典型案例，对每个案例都进行了详细、深入的讲解。这些案例既是运筹学中引发思考的经典问题，又贴近生活实际，能够给我们提供现实的参考价值，帮助我们在现实生活中做出更好的规划和决策。
本书特色
1.理论联系实际，了解运筹思想
本书抛开运筹学中那些深奥的理论知识，只讲述一些生活中能用到、有需要的运筹学基础知识。从每章的理论知识部分就可以发现详略得当，绝不贪多求全，基本的运筹思想和原理讲得多，并且从多个角度进行阐述，讲得非常透彻，保证读者能够完全理解，并从中得到收获。
而那些不常用、学术性过强的运筹学知识就没有出现在本书中，毕竟本书只是一本入门级别的科普类书籍，致力于帮助读者运筹学入门，能够拥有最基本的运筹思想，掌握最基本的运筹规划方法。
2.语言通俗易懂，明白运筹原理
为了减少读者的阅读负担，本书在讲解运筹学知识和方法的时候，尽可能地少引用专业术语，并且分点阐述原理、分步介绍方法，保证读者阅读起来能够非常流畅，脑海中的思路能够非常清晰。
此外，本书的计算量非常少，并且所有的计算都只是普通的加减乘除，保证读者能够无障碍阅读，不需要额外的数学功底。但这并不影响知识的讲解和方法的介绍，反而能够让读者增强信心，轻松地领会运筹学的奥妙。
3.案例精挑细选，锻炼运筹思维
全书根据运筹学的框架结构，分为10章，所有章节的例题或者故事加起来有50个左右，涵盖了各个基本的运筹学原理和方法，都是知识性和实用性并重，在生活中常见的案例。对于每个案例，都用运筹学的方法进行了详细、透彻的分析，保证让读者得到启发。
其中，每章的案例都和该章介绍的运筹学原理息息相关，平均起来一章的案例也就5个左右，数量适中，不求多，只求精，并且都是生活中经常遇到的问题，从而让读者可以在了解运筹学的基本原理之后，通过这些案例来锻炼自己的运筹思维。
本书读者对象
· 想要运筹学入门的读者。
· 想要学习运筹规划方法的读者。
· 想要锻炼数学思维的读者。第1章人人都要懂点运筹学
运筹学是什么？运筹学是帮助我们更好地规划、计划和决策的一门学科。生活中的各种问题都需要经过规划、计划或决策，而运筹学能够帮助我们采取最优的解决方案，能够从中获得最大的收益。1.1 从一个故事谈起
小明在三年内每年年初都有3万元可以用来投资，现在有四种方案供他选择。
方案1：在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是20%，下一年可继续将本息投入获利。
方案2：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，年收益率是50%，下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过2万元。
方案3：在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，年收益率是60%，这种投资最多不超过1.5万元。
方案4：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益率是30%，这种投资最多不超过1万元。
假如你是小明，你会选择怎样的投资组合方案，让投资得到的总收益最大。
上面就是我们在生活中经常会遇到的投资组合问题。现在，我们周边的投资理财产品越来越多，各种各样的投资方案让人眼花缭乱，每个人都可能成为这个案例中的小明，都需要从众多方案中找到一个完美的投资组合方案，从而让有限的资金能够得到最大的收益。这类投资组合问题就是典型的运筹规划问题，可以用运筹学中的方法来解决，帮助我们找到那个最优的投资组合方案。
回到上面的案例，仔细分析便可以发现，投资组合问题并不简单。案例中的小明可以只选择其中某一种方案将所有资金进行投资，如方案1，也可以搭配两种方案进行分散投资，如方案1和方案3，还可以搭配三种方案，甚至四种方案一起进行分散投资。同时，分散投资时每种方案分配多少资金也要进行考虑，不同的资金分配比例会影响最后得到的收益。还有，由于投资带来的利息和累积的本金，每年年初的投资金额可能会发生变化，可能需要采用新的投资组合方案。
现在，这个问题我们还不能通过简单的计算得以解决，但是，在运筹学中有线性规划的方法，可以利用方程和图像帮助我们解决这一类型的问题。线性规划就是用来帮助我们求解某些条件下的最优解决方案的。
除了投资理财问题，还有一个非常接地气的问题，就是如何安排一天的家务活。做过家务的人都知道，家务活虽然每件事情都比较小，但是非常琐碎，各种各样的事情非常多，例如，买菜，煮饭，炒菜，刷碗，洗衣，扫地，拖地，烧水，整理杂物，等等。如果一个从没做过家务活的人，让他体验一下，做一天的家务活，那他很有可能会忙得焦头烂额，时间过去了，但是却不能像老手那样井井有条。例如，菜都炒熟了，但是锅里的米饭还是生的；没有将地面扫干净就开始拖地。
其实，如何安排一天的家务活，这也是一个和运筹学相关的问题。在运筹学中有一些帮助我们协调任务、制订计划的方法，能够让我们充分利用时间，更加高效地完成工作。例如，需要做打扫卫生、煮饭、烧水、用洗衣机洗衣服、炒菜这五件事，各需10、50、15、20和15分钟。如果没有合理计划，只是按照这个顺序逐一完成，则共需要106分钟；而如果经过合理计划，按照煮饭、烧水、用洗衣机洗衣服、打扫卫生和炒菜的顺序，完成全部任务则只需要60分钟，这节省下来的46分钟时间就是合理的计划给我们带来的。
另外，父母和孩子之间的关系中也包含着运筹学的道理。
在很多时候，父母和孩子之间会有意见上的不和。例如，孩子想玩游戏，而父母为了孩子的学习成绩着想，就会不允许孩子玩游戏。这时候，父母和孩子之间就存在一个博弈的过程，这时候会出现四种可能的做法和相应的结果。（1）父母和孩子都不让步。如果父母想让孩子妥协，孩子想让父母同意，那么，双方就会发生冲突，影响双方的关系和各自的心情，这对于父母和孩子来说都是不利的。（2）父母和孩子都让步。如果双方都选择妥协，孩子顺从父母的意见，父母又允许孩子的做法，那么，双方谁的意愿都没有达到。（3）父母让步，孩子不让步。如果父母选择妥协，孩子坚持要玩游戏，那么，父母的意愿没有达到，孩子则得到了想要的结果。（4）父母不让步，孩子让步。如果父母坚持不允许孩子玩游戏，孩子顺从父母的意见，那么，孩子的意愿没有达到，父母则得到了想要的结果。
从运筹学中求最优的角度来看，在上面四种结果中，从整体的角度来看，最好的结果应该是（3）和（4），因为孩子和父母当中至少有一人满意，不像（1）那样，双方会发生冲突，也不像（2）那样，双方都不会满意。另外，对父母来说，最好的结果是（3），因为这时候父母的意愿得到了满足；对于孩子来说，最好的结果是（4），因为这时候孩子的意愿得到了满足。
因此，当父母和孩子发生意见不合的时候，应该选择一方让步，另一方不让步，也就是一方选择向另一方妥协，这时候，对于整体来说，都比相互妥协和都不让步要好，其中，不让步的一方会得到最好的结果。
在日常生活中也处处充满着博弈，如商家之间的价格战、婆媳之间的斗争、情侣之间的小吵小闹、团队内部成员之间的冲突等，都可以看作双方之间的博弈。博弈是运筹学中非常重要的内容，学习这些能够帮助我们在各种博弈之中做出更有利的决策，就好比赛马过程中田忌采用的策略。
这三个案例也告诉了我们运筹学的主要内容是什么。总结起来，运筹学就是研究怎样利用条件做出合理的规划，如投资组合问题；研究怎样安排任务，制订合理计划，如做家务问题；研究怎样做出决策，从博弈中获得最大收益，如父母和孩子意见不合时的博弈。1.2 古时候的运筹学1.2.1 充分利用资源来修复皇宫
北宋真宗年间，首都发生火灾，皇宫被烧为灰烬。丁渭受命主持修复，当时不执行皇命即为抗旨。接旨后他对废墟进行勘察，发现此工程存在三个难题：第一是取土困难；第二是运输困难；第三是清墟排放困难。他找到了主要矛盾后，就征集解决方案。最后他从众多方案中综合出了一个最佳方案，这个方案最终使其成功，提前完成了“皇宫修复工程”。
丁渭的方案是这样的：沿皇宫前门大道至汴水河岸挖道取土，将大道挖成小河道，挖出的土用来烧瓦，解决“取土困难”；挖成河道接通汴水，建筑材料可由小河道直运工地，解决“运输困难”；皇宫修复后，将建筑垃圾填到小河道中，恢复原来的大道，解决“清墟排放困难”。
丁渭修复皇宫的措施很巧妙，当他解决了一个问题时，得到的结果又为下一个问题的解决做好了铺垫，这使他用了很少的时间和经费就修好了皇宫。他充分把握了各个要素之间的相生关系，运用“大道变河道”、“挖土来烧瓦”、“废墟填河道”这三个事件之间的相生关系，使整个工程系统向有序并且理想的方向发展，最终达到修复皇宫按期完成圣旨的效果。在这个过程中，系统的每个环节彼此之间相连，破坏了其中任何一个事件，整个工程系统都会受到影响。
从上述故事中可以看出，对于一些复杂的问题，运筹就是要充分理解事物之间的本质关系，掌握一些客观的条件，在此基础上，才能找到最优的解决方案。对于特别复杂的问题，如果找到了一个最优的解决方案，那么往往会让人惊叹不已。1.2.2 以弱胜强的田忌赛马
战国初期，齐威王决定和自己的大将田忌一起赛马，赛马的规则是：先将各自的马分成上、中、下三等，等到比赛的时候，上马对上马，中马对中马，下马对下马。但是在每一个等级中，齐威王的马都要比田忌的马稍强一些，因此，田忌在比赛还未开始时便落于下风。在正式比赛的时候，田忌用自己的马去和齐威王同等级的马进行比赛，果然，上、中、下三个等级的马在比赛时都输了，这次比赛，田忌以0 : 3完败于齐威王。这时候，在旁边的孙膑看了，便悄悄地给自己的好友田忌出主意：先用自己的下等马去和齐威王的上等马比赛，接下来再用自己的上等马和中等马依次与齐威王的中等马和下等马进行比赛。田忌听完后，在下一次正式比赛的时候采取了孙膑的建议。果然，毫无悬念地输掉了第一局，但是接下来的两局，田忌的上等马和中等马分别胜了齐威王的中等马和下等马，这次比赛，田忌反败为胜，以2 : 1赢了齐威王。
田忌赛马的问题其实是一个决策问题，田忌和齐威王的赛马就是一场典型的博弈。在这场博弈中，田忌的马还是原来的马，但是两场比赛的结果却是千差万别。从0 : 3到2 : 1的改变正体现出，在博弈过程中，通过运筹规划选出最优的策略，能够发挥出自身最大的优势，甚至能够反败为胜。1.2.3 抓住重点的围魏救赵
战国时期，魏将庞涓举全国之兵，以突袭的办法将赵国的都城邯郸包围。赵国抵挡不住，向齐国求援。齐王便封田忌为大将，孙膑为军师，率领齐军主力前往救赵。大军已经召集完毕，田忌便想着直奔邯郸，以便击退包围邯郸的魏军。孙膑则提出应该趁着魏国国内兵力空虚，全军直接进攻魏国的都城大梁，迫使魏军放弃围攻赵国都城邯郸，回撤救援。相反，如果齐军直接去救援邯郸，长途行军会使齐军更疲惫，魏军便能以逸待劳，占据先机。
田忌采纳了孙膑的建议，果然，齐军势如破竹，基本没有遇到什么阻碍，就直接打到了魏国的都城之下。庞涓在得知大梁告急的消息之后，连忙命令围攻邯郸的魏军全部撤退，连夜行军，来救援大梁。齐军事先在魏军必经之路的桂陵占据有利地形，以逸待劳，打败了魏军。这就是历史上有名的“围魏救赵”之战。
从运筹学的角度来看，孙膑对魏军的策略进行了预判，并且根据这个预判结果来选择对自己最有利的策略。其实，围魏救赵之战，就是田忌和孙膑统帅的齐军和庞涓的魏军之间的一场博弈。孙膑分析，如果直接去救邯郸之围，那么魏军一定会以逸待劳，这对齐军很不利；但是，如果选择围攻魏国都城大梁，那么魏军一定会回援，这样赵国的困境自然得以解决，齐军还能以逸待劳，设下埋伏。因此，进攻魏国都城大梁对齐军更有利，并且更能达到想要的目标，当然应该选择这种行军策略了。1.2.4 用博弈的观点来看空城计
看过《三国演义》的人都知道“空城计”的典故，根据罗贯中的描述，话说当时是“马谡拒谏失街亭，武侯弹琴退仲达”。诸葛亮误用马谡，致使街亭失守。诸葛亮自己驻守西城，准备后撤，等到安排停当，忽闻司马懿引大军15万蜂拥而来。这时候，诸葛亮身边别无大将，只有一班文官。身边的5000名军士，已分一半去运粮草，只剩下2500名军士在城中，众官尽皆失色。
接下来的结果想必大家都很熟悉了。诸葛亮没有弃城而逃，而是让士兵打开城门，偃旗息鼓，扮作百姓，洒扫街道，他自己则在城门上焚香操琴。司马懿看到如此景象，心中大疑，便传令退兵，次子司马昭觉得诸葛亮故作此态，司马懿道：“（诸葛）亮平生谨慎，不曾弄险。今大开城门，必有埋伏。我兵若进，中其计也。”遂退兵。
那么，问题来了：在这个脍炙人口的典故中，诸葛亮和司马懿的心理活动是怎样的呢？司马懿真的就这么胆小，带着15万魏兵主力却被吓跑？诸葛亮又为何如此自信，就不怕司马懿分兵来一探虚实，或者派军围城？
这背后的学问大着呢，我们可以用运筹学的思想来仔细分析。其实，整个空城计就好比一场精妙绝伦的博弈，博弈的双方分别是诸葛亮和司马懿。整个博弈的背景就是：诸葛亮当时一出祁山不断地取得胜利，魏国君主对诸葛亮束手无策，几经周折后魏国君主才请出司马懿对付诸葛亮，司马懿也不辱使命，街亭一战大败了蜀军。
我们再来分析双方在这场博弈中的策略。对于诸葛亮来说，他的策略无非是这两种，一种是守城，另一种是弃城。而在双方力量的悬殊对比之下，无论是哪一种策略，他都是逃不了司马懿的15万大军的。因此，很明显，这场博弈的主动权完全掌握在司马懿手中。
对于司马懿来说，他刚受到君主的重用，有了权力，尤其是魏国君主一直都在提防他，怕他有不臣之心。这时候的司马懿心里很清楚，一旦自己活捉了诸葛亮，那么他在魏国的利用价值也就不大了，魏国君主必定削其兵权，自己终会落得个兔死狗烹的下场。
然而，凭借诸葛亮的机智，他料定司马懿会这么想，并且认定司马懿会在这个节骨眼上放自己一马。凭借这一点认识，诸葛亮只要让司马懿有一个退兵的理由，司马懿就一定会退兵。于是，诸葛亮不慌不忙，打开城门，在城上唱了这么一出“空城计”。司马懿也极力配合，在面对次子的疑惑时，只说诸葛亮从不冒险，既没有试探性进攻，也没有围城，而是选择了退兵。1.3 现代生活中的运筹学
前面几个例子已经说明了运筹学在生活中的应用，其实，远远不止这些。运筹学已经成为物流运输的理论基础，并且，在个人的学习方法和工作计划中也需要用到运筹学的基本思想。可以说，生活中的一切事情都可以从运筹的角度来思考，用运筹的方法来进行分析，都可以帮助我们找到最优的解决方案，从而获得最大的收益。接下来，我们从学习、工作和物流这三个方面来看看运筹学在生活中的应用。1.3.1 应聘时，合适比优秀更重要
某所大学的法学院公开招聘两位教授，一位用来教经济法学，另一位用来教民商法学。在经过了笔试和几轮面试之后，最后选拔出甲和乙两位法学教授。现在，学院需要确定在甲和乙两位教授当中，谁去教民商法学，谁又去教经济法学。目前已知的情况是，经济法学教授的工资是每月5000元，民商法学教授的工资是每月4000元。之所以经济法学教授的工资要高，是因为法学院准备重点发展经济法学，所有资源都优先分配给经济法学，因而能够用更高的工资来招揽人才。关于甲和乙这两位法学教授，学院了解到两位教授都具有相同的学历背景，都是经济法学博士，并且两位都有过一线民商法学的相关教学经验，其中，甲的民商法学教学经验比乙更加丰富。
根据上述条件，你觉得甲和乙两位法学教授最后分别得到了什么职位呢？
在这个案例中，从甲和乙的能力来说，甲明显比乙更加优秀，因为在学历相同的基础上，甲具有更加丰富的民商法学教学经验。因此，在给两位法学教授安排职位时，如果按照我们的一般思维，则肯定是越优秀的教授应该占据工资更高的职位，因为我们觉得员工的工资和能力应该相匹配，也就得到：甲最后会得到经济法学教授职位，乙最后会得到民商法学教授职位。
但是事实上，这个案例的结局是：法学院决定给甲安排民商法学教授职位，给乙安排经济法学教授职位，看起来更优秀的法学教授甲得到的却是工资更低、更不被重视的职位。原来，学院的招聘负责人在给甲和乙两位法学教授安排职位之前，特地找了甲和乙进行沟通。甲为了证明自己的能力，将自己在民商法学和经济法学上的成果和教学经验一一展示了出来。而乙早在这次谈话前就已经明确了自己的职位目标就是待遇更好、更受重视的经济法学教授，因此，乙在谈话中有的放矢，故意略去了自己在民商法学教学上的背景和经验，全部谈话都在讲经济学，甚至当负责人问他是否考虑过教民商法学时，乙当场就婉拒了。
招聘负责人经过仔细考虑后，最终将看起来更加优秀的甲安排在各方面条件较差的民商法学教授职位上，而乙则如愿以偿，被安排在各方面条件更好的经济法学教授职位上。
在这个案例中，乙能够用统筹的思维看待问题，有明确的职位目标，并且尽可能地向目标靠拢。为了获得各方面条件更好的经济法学教授职位，乙的全部谈话都在突出自己在经济法学上的能力，从而给招聘负责人留下了乙更适合教经济法学的印象，让自己获得了更大的收益。1.3.2 旅行中，两位游客的索赔困境
话说甲和乙在国外某个旅游景点旅游时，都购买了当地特有的艺术品，都准备带回国。并且，他们在回国的时候，乘坐同一架飞机。不巧的是，等到下飞机后，他们发现各自购买的艺术品都被摔坏了。于是，这两个人都向这家飞机所属的航空公司讨个说法，分别要求航空公司给出合理的赔偿。但是，这两个人彼此之间并不知情。
航空公司的管理人员知道这件事之后，分别向甲和乙两位乘客表示，公司愿意向甲和乙做出补偿。然而，航空公司只知道这件艺术品的价值不超过100元，却不能确定这件艺术品的具体价值，更不知道这两位乘客购买艺术品时的价格如何。如果航空公司只向甲和乙当中的一人询问价格，则很有可能甲或者乙会虚报价格，索取高额赔偿。因此，指望通过他们当中的一人来弄清价格，是不现实的。
那么，航空公司的管理人员想出了什么办法呢？
在处理甲和乙的索赔事项的时候，航空公司的管理人员设置了一套特有的机制，将甲和乙分开来，不让甲和乙商量，分别向甲和乙询问这件艺术品的价格，请每位乘客写下2～100之间的任一整数作为这件工艺品的价格。如果两人写的数目相同，则把该数作为真实的价格，而且支付给他们每个人这一数目。但是，如果两人写的数目不同，那么他将假定，较低的数目是真实的价格，写较高数目的那个人是在骗人。这样，他将向他们支付较低的数目，此外还有奖金与罚金，即写较低数目的那个人将多拿2元作为诚信的奖励，而写较高数目的那个人将少拿2元作为惩罚。比如，如果甲和乙写的都是78元，那么这两人各自都能得到78元的赔偿；如果甲写的是56元，而乙写的是100元，那么甲就能拿到58元，而乙只会得到54元。
甲和乙将会写怎样的数目？如果是你，那你会选择写怎样的数目呢？
上面这个案例是运筹学中的博弈过程，甲和乙无法沟通，但是需要考虑对方可能写什么样的数目，从而确定自己该写哪个数目能够获得更多的赔偿。我们都知道，对于甲和乙两人来说，最好的策略就是都写上100元，但是，每个人从自己的利益出发，都会有自己的小算盘。例如，或许甲有自己的小聪明，甲会想到乙会填最大的数目，100元，因此，甲便会填上99元，这样最后就能收获101元。但是，甲能想到的乙也能想到，如果乙想得更加深入，便会决定填98元，因为乙会想到甲填99元，那么乙填98元就会收获100元······
从这里可以看出航空公司管理人员的机智。如果甲和乙都能够诚实地写出价格，那么这是最好的结果；一旦两人都动了歪心思，那么，两人写的数目也不可能太高，因为谁都会想着写上比对方小1的数目，从而拿到更多的赔偿。可以说，航空公司在这次事件的处理过程中不太可能会做出不合理的赔偿。1.3.3 物流中，疯狂“双11”背后的运筹逻辑
随着电子商务的成熟，越来越多的人喜欢上了网上购物。网上购物，快捷方便，不用出门，轻轻松松浏览电商平台，选中自己喜爱的商品，只需完成支付，就可以静静地等待快递小哥将这些商品送到面前。通过网购，我们可以买到生活中的绝大多数商品，并且等待的时间变得越来越短，最快的甚至可以当天送达。如今，网上购物已经成了人们一种非常平常的生活方式，甚至创造出了“双11”这样疯狂的购物节，一天的销售额就能达到上千亿元。
与网上购物密切相关，在电子商务背后默默付出的就是现代的物流系统。可以说，电子商务的兴起，人们网上购物习惯的养成，都是稳定、快捷的物流系统长期支撑的结果。如今，哪怕是“双11”这天，网购产生的包裹数以亿计，多得仓库都堆不下，物流系统也能承受住这样的冲击，很少出现差错，尽快将包裹送到顾客的手中。
现代物流系统就是以运筹学为理论基础的。运筹学在物流领域的作用是全方位的。
从运输方式上来说，运筹学在物流领域的应用实现了铁路、公路、水运和空运等各种运输方式的合理配置及优化组合，提高了运输效率。
从物资存储上来说，运筹学帮助人们合理地规划物资的存储，从而为生产和生活顺利进行提供稳定可靠的保障，并且能够帮助我们减少资金的占用、减少不必要的周转环节、缩短物资流通周期、加速再生产的过程等。
从路线选择上来说，运筹学能够从两个方面来帮助人们合理地规划运输路线：一方面，运筹学帮助人们找到运输成本最低的路线，从而节省运输开支；另一方面，运筹学帮助人们及时发现交通中可能出现的堵塞现象，选择最流畅的运输路线，确保整个运输过程能够快捷地完成。
此外，在人员分配、商品调动等方面，运筹学也能帮助人们找到最优的解决方案。1.3.4 交通中，为什么新规不许闯黄灯“红灯停，绿灯行”，这几乎是所有人都清楚的交通规则。可是，在黄灯时间内该怎么办呢？很多人对这里面的具体规则感到困惑，尤其是在我国交通新规出台之前。
在交通新规出台前，在黄灯时间内，既有不准通行的一面，又有准许通行的一面。当黄灯亮时，马上就要转变为红灯，应将车停在停止线后面，行人也不得进入人行横道。但是，车辆如因距离过近不便停车而越过停止线时，则可以继续通行。当黄灯亮时，已越过停止线的车辆也可以继续通行；已在人行横道内的行人要视来车情况，或尽快通过，或原地不动，或退回原处。
这个规则看似非常人性化，车辆和行人都有一段可以“见机行事”的缓冲时间。在黄灯时间内发生了不少交通事故。造成这些事故的主要原因就是缺乏必要的交通安全意识，甚至有的司机将黄灯看作加速的预告信号，争抢着越过停止线。抢黄灯也许节省了几秒甚至1秒，但可能就会发生车毁人亡的惨痛事故。其中，车辆之间会有一个博弈的过程。
当两辆车同时面对黄灯的时候，都有停车或者加速这两种策略，那么，简而言之，会出现三种可能的现象。（1）如果自己和对方都选择停车，那么这时候双方都没有危险，并且安心等红灯，但是等红灯需要消耗一定的时间。（2）如果其中一方选择加速行驶，另一方选择停车，那么选择停车的一方就会不仅要等红灯，还会因为对比而让自己心情不爽；而加速的一方则会有点兴奋，因为不用等红灯。（3）如果双方都加速通过黄灯，那么双方都是一样的，都不用等红灯。
因此，从运筹学中博弈的角度来看，这两辆车都会争抢着加速通过黄灯，因为如果看到对方车辆在黄灯前停车，那么这时候选择加速不仅不用等红灯，还会因此带来一种兴奋感，这是最好的策略；如果看到对方车辆加速通过黄灯，这时候不选择加速，而选择停车，那么心情会因为比较而不爽，而且还要等红灯，因此，最好的策略也是加速通过黄灯。总之，在这种情形下，许多车辆很容易加速通过黄灯，这时候更容易发生交通事故。
正是因为如此，交通新规扩大了闯黄灯的判定范围，并且加强了闯黄灯的惩治力度，闯黄灯的惩罚程度已和闯红灯相当。虽然这引起了许多人的争议，交通新规也被称为“史上最严交规”，但是，从交通安全的角度来分析，规定车辆需要减速通过黄灯，严惩闯黄灯的现象，这是防止车辆加速通过黄灯的有力措施。1.4 学习运筹学，到底能得到什么
前面介绍了运筹学在古时候和现代现代生活中的一些应用，其实，运筹学的作用远不止这些。在现代社会，运筹学对于整个社会和现代科技的发展都起到了巨大的作用，并且对其他学科领域有着决定性的影响，如经济学、统计学、计算机科学、物流管理、工商管理等。
要想深刻地体味到运筹学的作用，就不得不提到这一门学科的现代起源。这门讲究优化的学科最早的应用公认是在第二次世界大战中，话说当时德国凭借强大的空军力量，不停地对英国本土进行轰炸。可是，即使英、美在防空系统中引进了新雷达技术，理论上可以用来更高效地监控来袭的德国轰炸机，然而，实际应用的效果却不是很理想。为此，英、美两国决定成立一个专门的研究小组，由各学科的专家组成，用来研究如何优化运用雷达。
这可以说是第一个运筹学小组，这个小组在第二次世界大战中研究的都是优化类的难题，例如，如何让船队的损失达到最小，如何高效地分配军事资源，等等。整个小组在第二次世界大战中的研究取得了令人惊叹的成果，例如，让船只的中弹率由47%下降到29%，让德国潜艇的被摧毁数增加到原来的4倍，等等。正是因为这个小组，展现了运筹学的巨大潜力。运筹学发展迅速，它也应用在越来越多的领域，成为现代社会的一门重要学科。
可以说，没有运筹学，就没有现代的计算机，没有繁荣的金融业，没有现在的科技社会。但是，运筹学毕竟还是一门比较年轻的学科，在不断向各领域渗透的同时，它本身也在不断地向前发展，在未来仍然会对我们的社会产生重要的影响。因此，从宏观的角度来看，学习运筹学是在紧跟时代发展的步伐，不让自己的思维落伍。
如果从微观的角度来看，那么学习运筹学带来的好处就更多了。运筹学的应用十分广泛，凡事都讲究一点运筹，就会让你在做规划、做计划、做决策的过程中游刃有余，其所带来的效果都是可以衡量的，可以是各个方面的好处。
例如，在投资方案的选择中，采用运筹方法进行合理规划，就能带来更高的收益，这是金钱上的效果；在制订计划时，采用运筹方法进行合理
安排，从而节省一部分时间，这是时间上的效益；在博弈过程中，用运筹思想做出最佳的决策，从而战胜对手，这是面子上的收益等。总之，学习运筹学，并且应用到生活中的各个方面，能够给我们带来一些意想不到的效果。第2章线性规划：最简单的运筹方法
线性问题是运筹学中最简单的一类问题，而线性规划也是在我们的实际生活中应用最广泛的运筹知识。可以说，我们每个人都思考过线性问题，都应用过线性规划的方法，只是我们不知道这些问题就是线性问题，自己用的方法就是线性规划的方法。2.1 外行看懂线性规划
线性规划作为最简单的求最优的运筹方法，发展到现在已经成为运筹学中最成熟的一个分支。线性规划能够帮助我们解决生活与工作中的一些最简单的线性规划问题，帮助我们找到最优的解决方案。2.1.1 线性问题往往最简单
对于线性规划，首先要了解什么是“线性”。其实，这并不是运筹学所独创的高深概念。通俗地说，线性就是现实世界中最常见的事物之间成比例的对应关系。如果用图形来表示，那么它们之间的对应关系可以用一条稳定的直线来表示，这正是“线性”这个概念的来源。
对于两个事物之间的对应关系，只考虑最简单的情形，它们之间的对应关系可以是成比例的，比如，汽车以一定的速度匀速行驶，它行驶的路程和花费的时间就是成比例的，也就是每行驶一公里所花的时间是相同的，如图2-1所示；还有较复杂的，两个事物之间的对应关系也可以是不成比例的，比如，从五楼不小心掉下了一个花盘，花盘下落的距离和时间就不是成比例的，显然，花盘从二楼到地面的时间比从五楼到四楼的时间要短得多，如图2-2所示。图2-1 汽车匀速行驶图2-2 花盘高空下落
对于上面这两类问题，汽车以一定速度行驶，它的路程和时间相互成比例，这就是线性问题；而空中掉下的花盘，下落距离和时间相互不成比例，这就是非线性问题。如果要进一步理解线性和非线性的区别，则可以比较银行储蓄计算利息的两种方式。我们将钱存进银行，期限为10年，每年按照年利率结算利息。如果银行给出的利率是单利，也就是利息不纳入本金，那么我们10年后得到的总利息就很容易计算：总利息=本金×年利率×10，这就是简单的线性问题，如图2-3中的直线a；如果银行给出的利率是复利，也就是常说的“利滚利”，将每年的利息纳入本金，那么我们10年后得到的总利息就是：总利息=本金×（1+年利率）10-本金，这就是指数形式增长，比前面的式子复杂，这不是线性的，如图2-3中的曲线b。通过图2-3也可以形象地得到：刚开始的时候，复利得到的利息比单利要少，但是过了一段时间之后，复利带给我们的利息就比单利多得多了。
对于一个线性问题，所表示的直线往往又有所不同，有的是上升的直线，意味着两者中的一个随着另一个的增加而增加；有的则是下降的直线，意味着两者中的一个随着另一个的增加而减小。例如，汽车匀速行驶下，路程和时间之间的关系就应该用上升的直线来表示（见图2-1）；同样，单利储蓄下，总利息和时间之间的关系也应该用上升的直线来表示（见图 2-3）。而对于工作中常见的工作时间和剩余工作量之间的关系，则用下降的直线来表示，因为在一定的效率下，工作时间越长，完成的工作量就越多，剩余的工作量就越少，如图2-4所示。图2-3 单利和复利下的储蓄利息图2-4 剩余工作量和工作时间的线性关系
现在你已经了解了什么是线性问题，你可能会说，生活中还是非线性问题更多，如汽车行驶前的加速过程、股票的变化趋势、人对新事物的学习过程、二手车的价格和行驶里程等。但是，生活中还有许多看似不是线性的问题可以转化成线性问题，从而大大简化解决这类问题的难度。例如，在日常生活中，与企业相关的生产资源利用、人力资源分配、生产设备管理等，与个人相关的时间分配、购物规划等，这些问题本质上就是线性问题，可以运用线性规划的方法来解决。2.1.2 用图像和方程来描述线性问题
那么，怎么解决这些线性问题呢？这需要准确把握两个事物之间的线性关系，其中最形象的做法是用图像来表示这些线性问题，最准确的做法是用一个方程来表示两者之间的线性关系。并且，线性关系中图像和方程也是一一对应的，也就是一种线性关系只能由一个方程和一幅图像来表示。
如何画出两个事物之间的线性关系图像呢？主要可以利用两点确定一条直线的思想来画出两个事物之间的线性关系图像。因此，可以执行以下三个步骤。
第一步：明确两个事物之间是否具有线性关系。只有线性关系的图像才会是直线的，因此不能将非线性关系用这种方法来作图。例如，商品产量和原料之间的关系就是线性关系，可以用这种两点一线的方法来作图。
第二步：找到这种线性关系中的两个点。例如，对于商品产量和原料关系，可以找到两个不同产量下，产量和原料一一对应的两个点A和B。
第三步：将确定的两点连线，但要注意一些边界条件。例如，将上述步骤中确定的两点连线，从而得到一条直线，这条直线就表示商品产量和原料之间的关系，只要知道了原料x，根据这条直线，就能找到与之对应的点C，从而确定相应的产量y，如图2-5所示。特别的，这里的边界条件就是产量和原料不能是负数。图2-5 原料和产量关系图
线性关系同样可以用方程的形式来表示。如果在实际生产应用中，已知图2-5中A点的坐标是（50, 40），B点的坐标是（150, 120），由于产量和原料之间是线性关系，那么产量和原料之间的具体关系可以用一个方程来表示：y=0.8x，其中x表示原料，y表示产量，0.8表示它们之间的系数。图2-5中的直线就可以用这个方程来表示。这个方程是怎样得来的呢？由A和B两点可以得到：=0.8，因此0.8就是它们之间的比例。根据方程，我们可以根据C点的x值得到它的y值，也就是得到在原料为x的情况下的产量。如果x=100，那么y=80，如表2-1所示。表2-1 原料和产量之间的对应关系
上述方程准确地反映了两个事物之间的线性对应关系，这样的方程又叫作线性方程。因此，在实际生活中，我们需要用方程来解决线性问题，在线性规划方法中，也需要用到方程来进行准确的分析，才能得到最后准确的解决方案。总之，图像和方程是整个运筹学中最基础的两个工具，前者用于定性分析，形象生动；后者用于定量分析，准确无误。2.1.3 几个线性关系之间的较量
看了前面的图像和方程，这还只是确保让我们知道用怎样的工具来分析线性规划乃至运筹学的相关问题。那么，到底什么是线性规划、什么问题才需要线性规划呢？
前面我们了解的都是单个的线性问题，但在现实生活中并不总是如此。生活是非常复杂的，往往是各种线性关系交叉在一起，并且受到现实条件的制约，而我们往往需要寻找这些问题中最优的一个或者几个解决方案，这就是线性规划。总之，在线性规划中，“线性”意味着问题中包含的都是线性关系，“规划”则是指寻找问题的最优解决方案。例如：
假设你有一家工厂，在实际生产应用中，不同产品需要不同量的几种原料进行生产，并且产品的生产时间和利润也各不相同，那么，你会如何分配原料、安排生产，以求利润最大化呢？假设你有一家物流公司，你接到一份运输物资的订单，在物资调配过程中，不同的卡车吨位不同，并且每天能够往返的次数也不同，不同卡车的单次运输成本也有差异，那么，你会如何安排你所拥有的卡车进行运输，以最低的成本实现订单的需要呢？还有，个人生活中的任务安排问题、购物规划问题等也需要类似的规划，以达到最大化完成任务或者最小化购物支出的目的。
上述问题都是线性规划问题，我们可以发现，在这些问题中没有哪个只是包含一种线性关系，每个问题中都包含了各种各样的线性关系，它们彼此交叉、相互制约。例如，在生产问题中，每种产品的产量和原料是一种线性关系，其利润和产量又是另一种线性关系，甚至这些关系都是在一定条件下才能成立的，因为每天的生产时间是规定的，并且生产原料也是有限的。从这里面可以看出线性规划问题往往涉及多个线性问题，这是多个线性关系之间的一场较量，最优的解决方案必须是考虑了所有条件、权衡了各方轻重才得到的。注意，如果含有非线性关系，就不能运用线性规划的方法。
在运筹学中，线性规划是研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种基本的数学方法。作为运筹学的一个重要分支，线性规划广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面，从而能够合理地利用有限的人力、物力、财力等资源做出最优决策。2.2 生活中的线性规划
线性规划无非就是对线性问题的最优化处理。在日常生活中，每个人都用过线性规划的思想来处理一些简单的问题。2.2.1 如何选择手机【背景】
俗话说“便宜没好货，好货不便宜”、“一分钱一分货”，这些其实都只是有一定的道理，在现实生活中，并不是没有相对便宜的好货，也不是没有价格偏高的质量一般的商品。那么，到底我们在购物时，特别是在选择数码类商品时，应该怎样做出最科学的购物决策呢？怎样做到物有所值，不被商家忽悠呢？【问题】
例如，现在某人需要买一部新手机，想在国产手机和外国某品牌手机中做出选择。现在已知，在价格上，拿某种国产手机和来自外国的这个品牌的手机进行比较，发现前者的价格在2000元左右，后者的价格则高达5000元，比前者的两倍还要多；在性能上，我们根据某个专业的手机测评软件分别对它们进行“跑分”，也就是进行性能测试，最后得到国产手机的测评分数在14万分左右，而后者的测评分数则在17万分左右。那么，他是该选择国产手机还是外国品牌手机呢？【解析】
首先，分析两种手机各自价格和性能之间的关系。
通常来说，对于同一种商品，价格和性能都是呈线性关系的。在了解两种手机的价格和性能之后，上述问题可以通过运筹学中的线性规划方法来解决，其核心思想就是选择“性价比”更高的商品。我们常说的“性价比”，指的是性能与价格的比例。
其次，根据线性关系，画出相关图像。
有句话说得好，”一分钱一分货”，因此，对于手机的性能和价格之间的关系，我们不妨简化为一般的线性关系。根据这种线性关系，也就意味着，当手机的价格变为0时，它的性能也就为0，并且手机的性能是随着手机价格的上升而上升的。因此，我们可以根据以上信息，画出它们之间的线性图像，如图2-6所示。其中，左边直线表示国产手机的性价比线，右边直线表示外国品牌手机的性价比线，并且国产手机价格和性能用A点表示，外国品牌手机用B点表示。图2-6 两种手机的性价比图像
再次，观察图像，描述相关信息。
通过图2-6可以看出，连接A点的直线可以表示国产手机的性价比，连接B点的直线表示外国品牌手机的性价比。其实我们也可以根据前面的数据得到各自的线性方程和准确的性价比系数，但是，仅仅分析图像就已经能够得到帮助我们进行决策的信息了。可以看出，国产手机的直线比外国品牌手机的直线更陡，也就是上升速度更快，因此，不用计算就可以得出国产手机的性价比比外国品牌手机的性价比要高。从图2-6中的虚线也可以看出，在同样的性能下，国产手机的价格远低于外国品牌手机；在一定的价格内，国产手机的性能也高于外国品牌手机。
最后，得到最优的解决方案。
现在就可以知道了，在预算紧张的情况下，选择国产手机显然比选择外国品牌手机要更加合理。因为这样的选择既可以满足我们对手机性能的基本要求，又能帮助我们节省大量的价格空间，这笔省下来的开支可以去做其他事情。当然，每个人都有自己的选择，如果追求最高的手机性能，那么买外国品牌手机更能满足需要，当然，你得为那高出的一点性能付更多的钱，这里面其实包含了“品牌溢价”。2.2.2 如何科学饮食【背景】
很多人都想通过节食来达到减肥的目的，其实在减肥时科学饮食即可。科学饮食不是不吃，相反，是提倡多吃一些低热量的食品，少吃那些高热量的食品，同时不至于让节食给身体带来不良的影响。人每天所需的能量都是一定的，也就意味着所需的能量不能太多，也不能太少。【问题】
根据中国营养学会的推荐，一个正常人每天需要摄入能量2400kJ。因此，哪怕一个人在减肥，每天也必须吸收这么多的能量以保证自己的健康。由于不同的食物中包含的能量各不相同，那么，一个正常人应该怎样科学饮食，既不会造成肥胖，也不会影响正常的生活呢？【解析】
首先，分析饮食和能量之间的关系。
无论你现在是不是正在减肥，也必须确保每天吸收的能量达到推荐标准；如果你正在减肥，那么摄入的能量最好不要超过这一标准。这时候，有蔬菜和肉类两种食品供你选择。我们都知道，相同质量的蔬菜，它的热量远低于肉类。显然，每种食品的食用量和剩余的能量需求之间是呈线性关系的。
其次，根据线性关系，画出相关图像。
显然，当一个人没吃任何食物时，还需要摄入2400kJ能量；所吃的食物达到一定的摄入量后，所需的能量就会变为0，这时候不适合再吃任何食物。根据这些信息，便可以画出两种食品和剩余的能量需求之间的线性关系图像，如图2-7所示。其中，左边直线可以表示肉类食品的食用量和剩余所需能量之间的关系，右边直线可以表示蔬菜类的食用量和剩余所需能量之间的关系。图2-7 所需能量和摄入量之间的线性关系
再次，观察图像，描述相关信息。
从图2-7中可以看出，摄入量和所需能量之间是一种下降的关系，其中直线a代表肉类和所需能量之间的线性关系，直线b则代表蔬菜和所需能量之间的线性关系。显然，代表肉类的直线a下降的速度比蔬菜要快得多。我们都知道，我们每天都需要足够的食物来填补胃产生的饥饿感，假设每天需要摄入的食物量需要达到图中垂直的虚线才能消除饥饿感。因此，如果我们只吃肉类，那么很快就会达到每日的能量需求标准，这时候就不适合再吃任何食物了，而此时还没有消除饥饿感，很容易让人再摄入食物；而对于蔬菜，则需要吃足够多才能达到每日的能量需求标准，如果只吃蔬菜，则达到虚线的标准就已经消除了饥饿感，但是仍需要进一步摄入食物补充能量，否则对身体不利。
最后，得到最优的解决方案。
综合上面的分析，我们得到的最优的解决方案就是每天吃少量的肉类，吃足量的蔬菜，相互搭配，找到图2-7中那条a和b之间的虚线，让我们在消除饥饿感的同时刚好满足每天的能量需求，就不会造成能量剩余。2.2.3 公司之间的竞争问题【背景】
线性规划的思想也体现在其他各个学科中，如经济学、计算机科学等。在微观经济学中，有一个“比较优势”的概念，说的就是一家公司如何调节生产和市场之间的关系。其实，比较优势非常符合线性规划的思想，不仅适合公司，也适合单独的个人。很多时候，或许一个人各方面的竞争力都落后于别人，但是往往在某个方面仍然拥有比较优势。那么，到底什么是比较优势呢？【问题】
假设现在有甲和乙两家公司，甲公司和乙公司都生产A和B两种商品，甲公司每天能够生产4件A商品，或者8件B商品；乙公司每天能够生产2件A商品，或者6件B商品。现在，甲公司应该如何安排生产呢？乙公司无论哪种产品，在产量上都不占优势，它又会是怎样的处境呢？【解析】
首先，分析两种商品产量之间的关系。
我们可以根据上面的介绍列出表2-2。表2-2 甲、乙两家公司生产能力表
同时，我们可以看出，在资源有限的情况下，甲、乙这两家公司生产A商品和生产B商品之间都呈线性关系，即生产A商品增加一定量后，生产B商品就会减少。
其次，根据线性关系，画出相关图像。
根据两种商品之间的线性关系，甲公司生产A商品4件时就不能生产B商品了，反过来，生产B商品8件时就不能生产A商品了，因此，可以画出它们之间的线性关系图，如图2-8所示。
再次，观察图像，描述相关信息。
从图2-8中可以看出，甲公司完全占据上风，乙公司似乎无法在市场上立足。但市场是自由交换的，这时候奇迹出现了，双方为了追求最大利润，甲公司会选择将全部资源用来生产A商品，而乙公司则将全部资源用来生产B商品。这是因为，从图2-8和表2-2中可以看出，对于甲公司来说，每生产2件B商品，将要少生产1件A商品；而对于乙公司来说，每生产3件B商品，才少生产1件A商品。两相比较之下，显然甲公司生产B商品的消耗要比乙公司多，这就是乙公司在B商品上的比较优势所在。图2-8 甲、乙两家公司生产商品的线性关系
最后，得到最优的解决方案。
从上面的分析中可以看出，甲公司只生产A商品，乙公司只生产B商品，就是线性规划后的最优解决方案。这个方案确保了甲公司的利益最大化，也给乙公司提供了生机。在市场自由的情况下，如果双方需要A商品和B商品，则完全可以在甲公司只生产A商品、乙公司只生产B商品的基础上进行自由交换，从而达到互惠互利的双赢局面。所以，市场贸易的双方是否能够获利，要通过比较优势来计算，而不能通过绝对优势来计算。
延伸总结：通过上面这几个身边的例子，你可能对线性规划有了初步的了解。总之，线性规划就是利用表格、图像来进行直观的分析，涉及数值的时候就需要列出准确的方程了，我们可以通过下面几个更复杂的线性规划问题来进一步熟悉。2.2.4 如何安排生产【背景】
在实际生产过程中，必然需要进行规划，以确保员工在工作时间内有事可做；确保生产设备每天都得到充分利用，不会有闲置；确保生产原料能够充分利用，转化为相应的产品。只要这样，公司才能确保最大利润，保持最高的运转效率。【问题】
某工厂用同一种原料生产甲、乙两种产品。每生产一件甲产品使用3个原料，耗时1小时；每生产一件乙产品使用4个原料，耗时2小时。已知该厂每天从原料厂获得20个原料，按每天工作8小时计算，该厂应该如何安排生产，既能保证工作时间又能确保原料不浪费？【解析】
第一种方式：用方程来描述线性问题。
上面这个线性规划问题需要准确的解决方案，因此需要用到方程的思想。显然，对于同一种产品，每天生产的产品数量和原料的消耗、产品数量和所用时间都是呈线性关系的，因此可以画出它们的线性关系图像。同时，利用方程的思想，假设安排生产x件甲产品、y件乙产品，根据它们消耗的总原料必须小于16，从而可以得到：4x+4y=16；同时，每天工作时间是8小时，要充分利用时间，从而可以得到：x+2y=8。综合可以得到下面的方程组：
解上面这个方程组可以得到x=4, y=2，因此可以得到每天应该安排生产甲产品4件，生产乙产品2件，只有这样才能充分利用原料，同时确保每天8小时的工作时间。
第二种方式：用图像来描述线性问题。
除了用方程来描述线性问题，我们也可以根据上面的方程画出图2-9，根据图像，也能找到线性规划问题的最优解决方案。例如，在图2-9中，就可以确定两条直线的交点正是这个方程组的解。这也说明方程和图像之间的关系非常紧密，方程的解就是所表示的直线的交点。图2-9 甲、乙产品生产图像2.2.5 如何安排运输耗油量最少【背景】
在物流系统中，往往需要不同类型的运输工具配合使用，共同完成某一项运输任务。但是，不同的运输工具各有利弊，有的工具运输量大，但是耗油量较多，有的运输量小，但是耗油量也少，或者有的工具运输速度快，但是运输成本高，有的工具运输速度慢，但是运输成本很低。为了完成运输任务，同时又要尽可能地压缩运输成本，因此也需要用到线性规划。【问题】
现有170t货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5t，小卡车的载重量是2t，大卡车与小卡车每车每次的耗油量分别是10L和5L，如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需要油多少升？【解析】
熟悉了上面的例子后，我们可以按照下面几个步骤来分析一些较复杂的线性规划问题。当然，这个问题较前一个更复杂。
第一步：分析线性关系。在这个例子中，对于一种类型的卡车，它的运输量和运输次数呈线性关系：运输量=运输次数×载重量；同样的，它的耗油量和运输次数也呈线性关系：总耗油量=运输次数×单次耗油量。
第二步：设未知数，确立要优化的目标。要安排两种类型的车辆参与运输，因此，假设安排大卡车x辆、小卡车y辆一起参与这次运输。所要优化的是运输的总耗油量，即10x + 5y。这就是这个线性规划问题的目标。
第三步：列出不等式（方程）。在这个例子中，不像上个问题中要求那么严格，运输的时候可能会出现最后一次运输时卡车没有装满的情况，因此我们根据上述线性关系列出的只能是一个不等式：5x+2y≥170。这就是这个线性规划问题的条件，这样的条件在运筹学中又被称为约束条件。
第四步：考虑边界条件。边界条件其实就是一些客观上的要求，例如，这里的x和y都是指卡车的数目，因此它们不可能是负数，即x, y≥0，这也是这个线性规划问题的条件，同时也是绝大部分日常生活中线性规划问题的条件。通常，这样的条件被称为边界条件。
第五步：画出图像。对于不等式，可以画出方程5x + 2y = 170的图像，不等式就表示这条直线的上方区域，也就是阴影部分。对于要求的目标10x + 5y，可以用一条虚线表示，如图2-10所示。
第六步：移线。我们要尽可能地求得最小的耗油量，因此虚线10x + 5y应该尽可能往下，越往下，求得的值就越小。但是必须满足不等式的要求，因此虚线又不能离开阴影部分。根据这两点就可以得到，当虚线移到A点时，得到的10x + 5y的值应该是最小的。这个A点正是5x + 2y = 170 与x轴的交点（34, 0）。
第七步：取最优结果。上面得到的最优点是A点（34, 0），也就代表了这个线性规划问题的最优解是x = 34, y = 0，这时候目标10x +
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]