作者：张磊
出版社：暨南大学出版社
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初中竞赛数学专题选讲试读：
前言
数学竞赛既是发现人才的有效手段，又是青少年锻炼思维、发展智力的有效途径. 初中数学竞赛以其在学生发展过程中的黄金段位置而为我们所重视，几乎每一所中学、每一位中学生的家长都会把目光聚焦到数学竞赛这一智力角逐的奥林匹克运动中，并期望孩子取得理想的成绩. 但在我们看来，初中数学竞赛绝非只是为那些摘得金牌的学生而设，它应是一种群众性的健身运动，即每一个锻炼者都能从中获得进益和发展，最终铸造良好的学习品质和思维结构. 因此，本书旨在拓宽中学生的知识视野，激发其学习兴趣，培养其思维能力和动手能力，发展其个性特长；同时，也期望能对中学数学教师自身素质的提高、中学数学教学改革的深入开展和中学数学教学质量的提高，起到积极的促进作用.
基于上述思想，同时参照《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》和中国数学会普及工作委员会制定的《初中数学竞赛大纲》，本书的编写力求体现以下特色：（1）导向性和新颖性. 全书内容全面地反映了近几年初中数学竞赛所考查的知识点、解题策略和经典题型，从而可以为我们勾勒出未来初中数学竞赛命题的走向与原则. 全书的例题和习题均是经过精心筛选的近年来国际国内竞赛试题，不仅具有代表性和全面性，而且具有时效性，内容新鲜，题目新颖，讲解精彩有趣.（2）精练性和多解性. 全书所选试题在排列上遵循循序渐进的总原则，由浅入深，从简单到复杂，具体来说力求做到：①精与全相结合. 本书所选试题题型多样，且多是初中数学竞赛中有多解的题目. ②常规解法与非常规解法相结合. 在试题解法上，不仅尽量给出其同类型题目普遍使用的解法，而且尽可能依据该题特点给出处理该题的独特解法. ③重视基础与提高能力相结合. 从本书选题内容上看，不轻视涉及课本及初中数学竞赛的基本内容的题目，也不放弃初中数学竞赛试题中涉及知识面广、内容深的难题和“怪题”，但“难题”有规律，“怪题”不超纲.（3）实用性与反馈性. 本书每章每节后都有针对性和层次性的练习题，并附有详细的解析过程，可供学生进行测试以及在对照答案后得到一定的提升，同时也便于家长和教师开展对学生掌握水平的评价.
本书的编写得到了韩山师范学院教务处、韩山师范学院数学与应用数学系及潮州市金山实验学校相关领导和教师的大力支持，在此，谨表示衷心的感谢！此外，在整个编写过程中，韩山师范学院数学与应用数学系2009级的廖彦淳、朱晓敏、林曼洁和黄晓燕也付出了很多的努力，在此，亦表示衷心的感谢！
由于编者水平有限，编写时间紧迫，错误在所难免，欢迎广大读者批评指正.韩山师范学院 张磊2012年10月
第一章 方程与不等式专题
第一讲 函数与方程、不等式的结合
知识梳理2
1. 任何一个一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0），都可用配方法将其变形为2. 因为a≠0，所以4a＞0.2（1）当Δ=b-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；2（2）当Δ=b-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；2（3）当Δ=b-4ac＜0时，方程没有实数根.2
2. 如果一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根为x、x，则122. 特别地，若x+px+q=0（a≠0）的两根为x、x，则x+x=-1212p，
xx=q. 这是一元二次方程的根与系数的关系，通常称为韦达定12理.
3. 如果两个数的和为m，两个数的积为n，则以这两个数为根的一元二次方程为22
x-mx+n=0. 换言之，这两个数是一元二次方程x-mx+n=0的两个根，这就是构造一元二次方程解题的方法.
4. 不等式的性质：（1）若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d；（2）若a＞b，c＜d，则a-c＞b-d；（3）若a＞b＞0，0＜c＜d，则；（4）若a＞b，ab＞0，则
5. 运用函数思想和方程（不等式）思想解题的基本思路：（1）明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点与性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义或在代数中的重要意义；（2）用已学过的知识正确地将题中用到的图形用代数式或几何图形（及其图像特点）表达出来；（3）根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理解题.
6. 解题中还应注意转化过程要等价，避免定义域扩大或缩小；注意图形的存在合理性，不可“无中生有”；注意仔细观察图像，避免漏掉一些可能的情形.初中代数内容中“方程”、“函数”是核心，同时函数又是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式等都与函数知识有直接的联系. 函数思想和方程（不等式）思想有助于我们用联系与变化的观点更加全面、简洁地解答非函数问题；或由相关方程、不等式也可帮助我们构造函数模型解题. 这也体现了数学中的数形结合与转化的思想. 华罗庚先生曾说过：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微. ”通过“以形助数”或“以数解形”，从而利用数形的辩证统一，使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，起到优化解题途径的目的.
例题精讲【例1】 （2008年“五羊杯”数学竞赛初三试题第3题）若，则x、y、z中，正数的个数为（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】 B.【分析】 要对x、y、z中正数的个数进行讨论，可考虑构造一个含有x、y、z的函数关系式，并巧妙运用已知的关系式进行等价变形.【解析】 ∵，
对于关于m的函数32
y=（m-x）（m-y）（m-z）=m-（x+y+z）m+（xy+yz+zx）m-xyz，32
有y=m-m+xyz（m-1）.
故当m=1时，y=0，即（1-x）（1-y）（1-z）=0，因此x、y、z中必有一个数为1，又x+y+z=1，所以另外两个数之和为零，只能一正一负（显然x、y、z≠0）. 总之，x、y、z中必然有两个为正数，另一个为负数.【点评】 本题的考查重点是方程与函数相互转换的思想，即巧妙构造相应的函数，将方程问题转化为函数问题并运用已知关系式的等价变形进一步解题.【例2】 （2008年全国初中数学联赛第二试第1题）已知22a+b=1，对于满足条件0≤x≤1的一切实数，不等式a（1-x）（1-x-ax）-bx（b-x-bx）≥0①恒成立，当乘积ab取最小值时，求a、b的值.【分析】 本题可用已知等式代入不等式得到关于x的一元二次函数式，进而通过对其函数图像开口方向、顶点坐标、判别式的讨论得到ab的最小值.22【解析】 整理不等式①并将+b=1代入，得2（1+a+b）x-（2a+1）x+a≥0 ②
在不等式②中，令x=0，得a≥0；令x=1，得b≥0.
易知1+a+b＞0，，2
故二次函数y=（1+a+b）x-（2a+1）x+a的图像（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间. 由题设知，不等式②对于满足条件0≤x≤1的一切实数x恒成立，所以它的判别式2
Δ=（2a+1）-4（1+a+b）a≤0，即，
由方程组 ③ 消去b，42
得16a-16a+1=0，所以，
又因为a≥0，所以，
于是方程组③的解为
所以ab的最小值为，此时a、b的值有两组，分别为【点评】 在求不等式最值问题时，有时可根据题目所给的条件，采用函数法解题，即将不等式转化为常见的一元二次函数，通过对其函数图像开口方向、顶点坐标、对称轴及与坐标轴交点等的讨论间接解题.【例3】 （2004年数学竞赛试题）已知a＜0，b≤0，c＞0，且2，求b-4ac的最小值.【分析】 观察已知等式可联想到一元二次函数中的根的判别式，构造与a、b、c相关的一元二次函数，进而根据图像及对称轴的特点进行讨论解题.2【解析】 令y=ax+bx+c，由a＜0，b≤0，c＞0，判别式2Δ=b-4ac＞0，所以这个二次函数的图像是一条开口向下的抛物线，且与x轴有两个不同的交点A（x，0），B（x，0），因为，12
不妨设x＜x，则x＜0＜x，对称轴，1212
于是2
所以，故b-4ac≥4.2
当a=-1，b=0，c=1时，等号成立，所以b-4ac的最小值为4.【点评】 本题以一般的一元二次函数为解题模型，其中渗透着函数图像特点、根与系数关系等知识点，最后巧妙运用放缩法求解出2b-4ac的最值.22【例4】 已知关于x的方程x+2（m+3）x+m-4=0至少有一个正数根，求m的取值范围.【分析1】 本题从已知的正数根入手较难直接求解，可从反面假设方程的两根均是负数或0，再借助数轴求解符合条件的不等式，即可解答.【解析1】 ，设方程的两根均是负数或0，则有
不等式①的解集是；不等式②的解集是m≥-3；不等式③化为2m≥4，即｜m｜≥2，解集是m≥2或m≤-2. 这个不等式组的解集是或m≥2，在数轴上表示见图（a）.
本题所求m的取值范围应是方程有实数根（图中双线范围），但又是上述解集之外的部分，即-2＜m＜2.图（a）【分析2】 考虑到方程与函数之间的关系，本题还可以结合一元二次方程相对应的抛物线的判别式与图像性质，分情况讨论求解.22【解析2】 本题相应的抛物线为y=x+2（m+3）x+m-4，开口向上，满足条件的位置有两种情况：2（1）如图（b）所示，当x=0时，函数值小于0，即m-4＜0 ①（2）如图（c）所示，当x=0时，函数值不小于0，且对称轴在y轴的右侧，图像与x轴有交点，即
不等式①的解集是-2＜m＜2，不等式组②无解，所求m的取值范围应是-2＜m＜2.图（b）图（c）【解析3】 根据题意，方程有实数根，即Δ≥0，，分三种情况分别求解：（1）方程一个根是正数，一个根是负数；（2）方程一个根是正数，一个根是零；（3）方程两个根都是正数，然后求出这些范围的总和，得到本题的答案.【点评】 解析1涉及“至少”的问题，可从问题的反面入手，即“两个根都是负数或0”，继而在解不等式中得到本题的答案，这种解题方法可帮助学生从另一角度简便解题；解析2则体现了函数思想在方程解题中的简便运用，利用相对应的抛物线，通过讨论满足条件的函数图像解题；解析3则运用学生所熟悉的方程的根的情况进行解答，要求学生在分析讨论时做到不重不漏.【例5】 （2008年全国初中数学竞赛浙江赛区复赛试题）设二2次函数y=ax+bx+c（a＞0，c＞1），当x=c时，y=0；当0＜x＜c时，y＞0.（1）试比较ac与1的大小，并说明理由；（2）当x＞0时，求证：.【解析1】 （1）小题要比较ac与1的大小，必须先建立两者间的联系，考虑到二次函数与一元二次方程是对应的这一特点，通过已知条件运用韦达定理即可解答；（2）小题要证明不等式成立，可通过分别讨论各个量的取值来判断不等式的符号.2【解析】 （1）当x=c时，y=0，即ac+bc+c=0，所以c（ac+b+1）=0.
又c＞1，所以ac+b+1=0.2
设一元二次方程ax+bx+c=0的两个实根为x、x（x≤x），1212
由及x=c＞1，得x＞0，x＞0.12
又因为当0＜x＜c时，y＞0，所以x=c，12
于是二次函数ax+bx+c=0的对称轴，即b≤-2ac，
所以b=-ac-1≤-2ac，即ac≤1.（2）因为0＜x=1＜c时，y＞0，所以a+b+c＞0.
由ac≤1及a＞0，c＞1，得0＜a＜1. 因为
而a+b+c＞0，0＜a＜1，c＞1，a-2ac-2+3c=1-a2c-1+c-1＞0，
所以当x＞0时，，
即.【点评】 这类问题通常综合性比较强，要求能综合地运用函数、方程、不等式等性质，解决这类问题通常可从函数的性质入手，利用二次函数、一元二次方程以及一元二次不等式之间的相互关系来找突破口.
全能练习A组
1. 若方程3x+by+c=0与cx-2y+12=0的图形重合，设n为满足上述条件（b，c）的组数，则n等于（ ）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 有限多个，但多于2
2.（2005年全国初中数学联赛E卷试题）若，已知1010α+β是一个正整数，则它的末尾数字是（ ）.
A. 2 B. 4 C. 6 D. 822222
3. 已知a+b=1，a＞0，b＞0，求代数式M=ab+（a+b）-3的取值范围.
4. 化简：，其中a、b、c两两互不相等.22222
5. 已知a+b+c=a+b+c=2，求证：a（1-a）=b（1-b）=c（1-c）2.
6. 设u=ax+2a+1，当-1≤x≤1时，则u的值有正有负，求a的范围.
7. （2006年上海市初中数学竞赛试题）关于x、y、z的方程组，有实数解（x，y，z），求正实数a的最小值.
8. （2007年全国初中数学竞赛B卷试题）实数a、b、c满足a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1. 求最大的实数k，使得不等式｜a+b｜≥kc恒成立.2
9. 已知实系数一元二次方程ax+2bx+c=0有两实根，x、x，设12d=｜x-x｜，求a＞b＞c且a+b+c=0时，d的取值范围.122
10. 实数a、b、c满足（a+c）（a+b+c）＜0，证明（b-c）＞4a（a+b+c）.
11. （2005年全国初中数学联赛决赛试题）已知a、b、c为实2数，ac＜0，且. 证明：一元二次方程ax+bx+c=0有大于而小于1的根.2
12. 当m取何值时，关于x的方程（m-1）x+（3m+2）x+2m-1=0有一个根大于1，另一个根小于1？B组2
1. 记f（x）=x+bx+c，若方程f（x）=x没有实数根，则方程f（f（x））=x2
［注：f（f（x））的意义是用f（x）代替x+bx+c中的x所得到的表达式］（ ）.
A. 有4个实数根 B. 有2个实数根 C. 有1个实数根 D. 没有实数根
2. （2005年四川省初中数学竞赛试题）已知关于x的二次方程22mx+2（3-m）x+1=0的两个实数根的倒数之和为S，求S的取值范围.2
3.（全国初中数学联赛试题）已知b、c为整数，方程5x+bx+c=0的两根都大于-1且小于0，求b和c的值.
4.（2006年全国初中数学竞赛第12题）设a、b、c为互不相等的2222实数，且满足关系式b+c=2a+16a+14，bc=a-4a-5，求a的取值范围.
5. 证明：m取任何非零实数，函数y=mx（x-2）+1的图像总经过两个定点，并求出这两个定点的坐标.
6. 已知直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x，y），B（x，112y）. 求2xy-5xy的值.21221
7. （第六届“希望杯”八年级第二试试题）已知a、b、c都是正2数，且关于x的方程（c+a）x+2bx+（c-a）=0有两个相等的实数根，问：a、b、c可否作为一个三角形的三边的长？如果可以，它是什么形状的三角形？为什么？
8. （2007年全国初中数学联合竞赛试题）设m、n为正整数，且2m≠2，二次函数y=x+（3-mt）x-3mt的图像与x轴的两个交点间的距2离为d，二次函数y=-x+（2t-n）x+2nt的图像与x轴的两个交点间的1距离为d. 如果d≥d对一切实数t恒成立，求m、n的值.2122
9. 设a、b是整数，f（x）=x+ax+b. 证明：若对于所有整数x，都有f（x）＞0，则对于所有实数x，有f（x）≥0.2
10. 已知抛物线y=x与动直线y=（2t-1）x-c有公共点（x，y），11222（x，y），且x+x=t+2t-3. 求实数t的取值范围.22122
11. 已知a、b、c为正实数，关于x的一元二次方程ax+bx+c=0的两实根的绝对值均小于，求a+b+c的最小值.2
12. 关于x的一元二次方程mx-3（m+2）x+2m+2=0（m＞0）.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x、x（其中x＜x），若y是关1212于m的函数，且y=x-2x，求这个函数的解析式；21（3）在（2）的条件下，当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m.
第二讲 分类讨论法
知识梳理
在解题过程中，当所面临的问题包含多种可能情形，难以统一处理时，就需按所有可能出现的情况进行分类讨论，综合得出问题的正确答案，我们把这种解题方法称为分类讨论法. 它体现了数学中化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.
2. 分类讨论法的适用题型：（1）概念型：一般情况下，问题所涉及的数学概念是分类进行定义的；（2）性质型：问题中涉及数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者分类给出；（3）含参型：解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论；（4）其他：包含某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等题型.
3. 分类讨论法的基本方法与步骤：（1）确定讨论对象以及讨论对象的全体范围；（2）确定分类标准，进行合理分类，做到不漏不重；（3）对所分类逐步进行讨论，分级获取阶段结果；（4）进行归纳小结，综合得出结论.
4. 采用分类讨论法解题，一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高学生全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养，训练人的思维条理性和概括性.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，在近几年的初中奥数竞赛中都有考查，题型以选择题和大题为主，体现了其重要的地位. 分类讨论的思想方法不仅具有明显的逻辑性、题型覆盖知识点较多、综合性强等特点，而且还有利于对学生分析能力和分类技巧的考查. 初中阶段分类讨论的思想实质就是根据数学问题中的各种条件的限制及变动而采取的化整为零、各个突破的解题手段. 主要考查的知识点有方程（组）、不等式（组）和含绝对值的方程及不等式等的相关性质，对学生的综合分析能力要求较高，需要学生加以重视并熟悉掌握分类讨论法的解题基本方法和实际应用.
例题精讲【例1】 （2010年全国初中数学联赛第1题）若a、b、c均为整1010数且满足（a-b）+（a-c）=1，则｜a-b｜+｜b-c｜+｜c-a｜=__________.【分析】 题目中由于限定了a、b、c是整数，所以必须讨论a-b，a-c有可能的取值，这时我们应该采用分类讨论的思想，将a-b，a-c所有可能的取值一一进行讨论，再化简题中所要求的含有绝对值的等式.【解析】 因为a、b、c均为整数，所以a-b和a-c均为整数，从而1010由（a-b）+（a-c）=1可得
从而｜a-b｜+｜b-c｜+｜c-a｜=｜a-b｜+｜b-a｜+｜a-a｜=2｜a-b｜=2.
从而｜a-b｜+｜b-c｜+｜c-a｜=｜a-a｜+｜a-c｜+｜c-a｜=2｜a-c｜=2.
因此，｜a-b｜+｜b-c｜+｜c-a｜=2.【点评】 本题考查了含绝对值等式的相关知识，根据学生已有的知识水平，找到本题的突破口并不难，但易在进行分类讨论的时候出现遗漏情况或在等式化简时出错，这需要学生耐心细致地解答.【例2】 （2009年“希望杯”数学邀请赛初二第二试第8题）若不等式组【答案】 C.【分析】 解答本题首先需对两个不等式进行求解，再由解集的限制条件对两个不等式的解进行讨论，取满足条件的m的值.【解析】 解不等式组中的两个不等式：
解-x+4m＜x+10得x＞2m-5，解x+1＞m得x＞m-1，
因为不等式组的解集是x＞4，
所以必须是 成立且其中至少有一个等号成立.
若2m-5=4，则使得m-1≤4成立；
若m-1=4，则m=5，当m=5时，2m-5≤4不成立.
所以m=5不适合原不等式组.
综上可得，当时，原不等式组的解集是x＞4.【点评】 本题考查了不等式组求解的知识，难度不大，学生容易在对两个不等式的解进行讨论时出现错误，这需要学生全面准确地进行解答.【例3】 （“《数学周报》杯”2009年数学竞赛第3题）将一枚六个面编号分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x、y的方程组只有正数解的概率为（ ）.【补充知识点】
1. 由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，从而任何事件的概率在0～1之间，即0≤P（A）≤1.
2. 每次试验中，必然事件一定发生，因此它的频率为1，从而必然事件的概率为1. 如在掷骰子试验中，由于出现的点数最大是6的事件E是必然事件，因此P（E）=1.
3. 每次试验中，不可能事件一定不出现，因此它的频率为0，从而不可能事件的概率为0. 如在掷骰子试验中出现点数为0的事件F为不可能事件，P（F）=0.
4. 当事件A与B互斥时，A∪B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而A∪B的频率F（A∪B）=F（A）+F（B）. 由nnn此得到概率的加法公式：P（A∪B）=P（A）+P（B）.
5. 当事件A与事件B互为对立事件时，则A∪B为必然事件，P（A∪B）=1. 再由加法公式得到P（A）=1-P（B）.
注：古典概型的概率计算公式，其中，n为试验发生的所有基本事件数，m为事件A包含的基本事件数.【答案】 D.【分析】 本题将方程与概率结合起来，需对方程组的各解的情况进行讨论，并应注意a、b的实际意义是指骰子的点数.【解析】 联立方程组解得（2a-b）y=2a-3.
当2a-b=0时，方程组无解.
当2a-b≠0时，方程组有解.
由a、b的实际意义为1、2、3、4、5、6，可得：
有5×2＝10种或，共3种.
又掷两次骰子的基本事件共6×6＝36种，故所求概率为.【点评】 近几年关于概率的奥数试题主要考查概率公式的简单应用以及与方程结合解题的思想方法，考查的是学生分析问题及解决问题的能力. 概率题一般需对可能发生的不同情况进行分类讨论，这需要学生在做题时全面讨论.【例2】 （2007年全国初中数学竞赛试题第12题A）已知a、b都是正整数，试问关于x的方程是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.【分析】 本题属于开放式探究题，解答时一般假设结论成立，从根与系数的关系入手可得出关于方程的两个整数解的代数表达式，进而需要用分类讨论法对两整数解进行讨论，求出并检验正整数a、b的数值.【解析】 不妨设a≤b，且方程的两个整数根为x、x（x≤x），1212
则有，
所以.
4（x-1）（x-1）+（2a-1）（2b-1）=5.12
因为a、b都是正整数，所以x、x均是正整数，于是x-1≥0，121x-1≥0，2a-1≥1，2b-1≥1.2（1）当时，由于a、b都是正整数，且a≤b，
可得a=1，b=3.（2）当时，
可得a=1，b=1.2
此时一元二次方程为x-x+1=0，它无整数解.
综上所述，当且仅当a=1，b=3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为x=1，x=2.12【点评】 本题考查一元二次方程整数解的相关知识，这在近几年的竞赛试题中屡次出现，需要引起学生的注意. 处理相关一元二次方程的整数解的问题时一般结合韦达定理进行解答，常用的方法有因式分解法、判别式法以及变更主元法等. 这类题若作为大题考查，则考查的知识面较广，要求学生具有一定的分析能力，准确分析可能具备的情况.【例5】 （2010年全国初中数学竞赛试题第13题A）实数a、b使得关于x、y的方程组有实数解（x，y）.
求证： 1）｜y｜≥2；22（2）求a+b的最小值.【分析】 （1）小题可直接运用所给的方程①得出x、y的关系式，再对x的取值范围进行分类讨论，可得结论；（2）小题联立两个方程运用代入法得出关于y的一元二次方程，根据方程有实数解对a、b的取值进行讨论.【解析】 （1）由方程①知，x≠0且.
所以当x＞0时，y≥2；当x＜0时，y≤-2；
故｜y｜≥2.222（2）将x=xy-1代入方程②得x（y+ay+b）=0，所以y+ay+b=0.
因为方程组有实数解，2
所以方程y+ay+b=0在y≤-2或y≥2的范围内至少有一个实根.
Ⅰ. 当，即｜a｜＜4时，有，
所以，
即2a≥b+4或2a≤-（b+4）.
若b+4≥0，即b≥-4时，｜2a｜≥b+4，
由此可得.
所以.
当时，上式等号成立，此时；
若b+4＜0，即b＜-4时，对于满足2a≥b+4或2a≤-b+4的任意实数a、b，
均有.
Ⅱ. 当｜a｜＞4时，.22
综上可知，a+b的最小值是.【点评】 此题的关键是构造y的一元二次方程，并以该方程有实数解为切入点，运用分类讨论法对不同情况下的a、b取值进行讨论.【例6】 如下图所示，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴. 如果点P的坐标是（a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是点P，点P关于直线l的对称点是点P，则PP的长是1122__________.【分析】 本题根据点M的坐标及对称图形的性质，不难发现a的取值可分为0＜a≤3和a＞3两种情况，在这两种情况下，所求PP的构2成部分也有所不同.【解析】 分两种情况讨论：
①如果0＜a≤3，见图（a），那么点P在线段OM上，1PP=PP+PP=2OP+2PM=2（OP+PM）=2OM=6；21121111
②如果a＞3，见图（b），那么点P在点M的右侧，1
PP=PP-PP=2OP-2PM=2（OP-PM）=2OM=6，故PP的长211211112是6.图（a）图（b）【解析】 点P关于y轴的对称点P的坐标是（-a，0），设点P关11于直线l（解析
式为x=3）的对称点P（x，0）. 因为点（3，0）是点（a，0），2（x，0）连线的中点，由可得x=6-a，则P（6-a，0），所以PP=22｜6-a-（-a）｜=6.【点评】 求对称长度必须明确对称点在数轴上的坐标，准确地判断在不同a值下PP的等价表达式是解答本题的关键. 解析1利用分2类讨论的思想在a的不同取值范围内讨论对称点的相关位置；解析2则通过对称的中点性质直接求解，更为简洁直接.
全能练习A组
1. 解关于x的方程（m+1）（m-1）x+（m-2）（1-m）=0.
2. 已知的绝对值的差等于1，则13-5x=（ ）.
A. 8 B. -16 C. 33 D. -16或8
3. 不等式3｜x-1｜-2x＞2｜3x+1｜的整数解的个数为__________.2
4. 设二次方程x+2px+2q=0有实根，其中p、q都是奇数，那么，它的根一定是（ ）.
A. 奇数 B. 偶数 C. 分数 D. 无理数
5. （2009年第二十届“希望杯”全国初中数学邀请赛初一第二试第16题）若abc≠0，则的最大值是__________，最小值是__________.
6. 对方程x｜x｜+px+q=0进行讨论，下面的结论中，错误的是（ ）.2
A. 至多有三个实根 B. 至少有一个实根 C. 仅当p-4q≥0时才有实根 D. 当p＜0和q＞0时不可能有三个实根
7. 若关于x的方程只有一个整数根，且a＜30，试求符合条件的整数a的一切值.
8. 当a取何值时，方程的解只有一个？222
9. 设实数a、b满足：3a-10ab+8b+5a-10b=0，求u=9a+72b+2的最小值.
10. （2010年全国初中数学联合竞赛第二试A第一大题）设整数222a、b、c（a≥b≥c）为三角形的三边长，满足a+b+c-ab-ac-bc=13，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.2
11.（2004年河北省初中数学竞赛试题）若关于x的方程（m-1）2x-2（m+2）x+1=0有实数根，求m的取值范围.
12.（2008年四川省初中数学联赛初赛八年级第12题）设实数x满足，求2x-1+x+4的最小值.B组2
1. （2008年上海市初中数学竞赛试题）不等式x+｜2x-6｜≥a对于一切实数x都成立，则实数a的最大值为__________.
2.（第七届“华罗庚杯”少年数学邀请赛试题）a、b为有理数，且｜a｜＞0，方程｜｜x-a｜-b｜=3有三个不相等的解，求b的值.
3.（2006年全国初中数学联赛试题第3题）关于x的方程仅有两个不同的实根，则实数a的取值范围是（ ）.
A. a＞0 B. a≥4 C. 2＜a＜4 D. 0＜a＜4
4.（2007年全国初中数学竞赛试题第1题）方程组的实数解的个数为（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知m是实数，求｜m｜+｜m-1｜+｜m-2｜的最小值.
6. （2004年“我爱数学”初中生夏令营第二试试题）能使关于x的方程，只有一个实数根的所有实数a的值的总和等于__________.
7. k为实数，，对任意三个实数a、b、c，存在一个以f（a）、f（b）、f（c）为边的三角形，求k的取值范围.
8.（1997年全国高中理科班招生考试试题）求使方程｜x-1｜-｜x-2｜+2｜x-3｜=c恰好有两个解的所有实数c.
9.（“迎春杯”竞赛试题）当a取什么整数时，方程只有一个实根，并求此实根.2
10. 已知关于x的方程x-4x-2m+8=0的一个根大于1，另一个根小于1，求m的取值范围.2
11. 已知关于x的方程x+（m+3）x-m=0至少有一个正数根，求m的取值范围.
12. （2009年第二十届“希望杯”全国初中数学邀请赛初二第二试第12题）在分母小于15的最简分数中，求不等于但与最接近的那个分数.
第三讲 换元法与参数法
知识梳理
1. 把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象.
2. 在初中阶段，换元法是解二元一次方程组和分式方程的重要解法之一，同时，换元法在解决等式（不等式）的证明中也有相当重要的作用，运用换元法时要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大.
3. 换元法的一般步骤：（1）设元或构造元；（2）转换求解；（3）回代（等量代换）；（4）检验.
4. 所谓参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题，中学阶段常用的换元法就是引入参数的典型例子，直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证.
5. 参数法解题的基本步骤：（1）设参，即选择适当的参数（参数的个数可取一个或多个）；（2）用参，即建立参数方程或含参数的方程；（3）消参，即通过运算消去参数，使问题得到解决.
其中，第三步根据具体题意有时可以解出参数的值.从近几年的竞赛情况来看，换元法和参数法在方程组的求解以及等式（不等式）的证明中发挥着越来越重要的作用，也成为竞赛考查的重点. 换元法是将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化. 从结构上分，可分为整体换元法和局部换元法. 解题时，学生由于缺乏对题目的了解，不易在把握题目的基础上选取新变量；另外学生也较易在新变量的取值范围选取上犯错. 参数法则体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支. 参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息顺利地解答问题.
例题精讲【例1】 （2003年全国初中数学竞赛试题）满足等式正整数对（x，y）的个数是（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】 B.【分析1】 本题原式项数较多，若注意到相同根式重复出现，可以通过局部换元法化简根式.【解析1】 令，则原式化为：222
ab+ab-ac-bc+abc=c容易得到：（ab-c）（a+b+c）=0.
由题意得，即a+b+c≠0，
则，
而2 003是质数，且x、y是正整数，故（x，y）=（2 003，1）或（x，y）=（1，2 003）.【分析1】 本题也可直接对已知的等式进行因式分解，进而有
xy=2 003成立，分析2 003是质数即可得到所求的整数对.【解析】 已知等式可化为：
而2 003是质数，且x、y是正整数，故（x，y）=（2 003，1）或（x，y）=（1，2 003）.【点评】 解析1运用换元思想化简根式，回代求解大大减少了解题步骤；解析2体现了因式分解是对根式进行恒等变形的重要手段之一，但本题的因式分解有一定的难度，对学生的因式分解的能力要求较高.【例2】 （2009年“希望杯”数学邀请赛初二试题第一试第22题）若【答案】 -5或.【分析】 本题由已知条件可记符号，从而求得c与a之间的关系表达式，代入所求式子即可解答.【解析】 令，
当a+b+c≠0时，，
所以.
当a+b+c=0时，c=-（a+b），
所以.【点评】 本题是参数法一般的解题范例，可将已知的分式等量设为参数，建立起含参数的方程，求解出参数的值，进而解答题目.【例3】 （2009年“希望杯”数学邀请赛初二试题第二试第13题）已知实数x、y、z满足，则x+y+z=_____或_____.【答案】0或-3.【分析】 本题可以用参数t代表题中已知关系式. 在所设字母t的基础上以t分别表示x、y、z，进而运用已知关系式，求解t的取值，即可得答案.【解析】 设，则
即x+y+z=3t，所以，
整理得.
则t=0或.
即t=0或t=-1.
所以x+y+z=0或x+y+z=-3.【点评】 本题与例2有相似之处，但难度有所提高. 同样可将已知的分式等量设为参数，以此为媒介建立起含参数的方程，通过运算求解出参数的值，进而解答题目.【例4】 （2010年全国初中数学联赛江西省初赛第13题）已知a、b、c为正整数，且为有理数，证明：为整数.【分析1】 本题涉及三个未知量，可考虑由已知条件设定参数探索三者之间的关系，进而代入求证.【解析1】 依题意设（q为有理数），则.
即.
若a-bq≠0，则，矛盾，【分析2】 由为有理数，可以先从分式有理化入手，找到a、b、c三者的关系进而证得命题成立.【解析】 .22
因为是有理数，所以b-ac=0，即b=ac. 所以
因为a+c-b为整数，所以为整数.【点评】 解析1运用参数法，以有理数q为媒介推导出三个未知量之间的关系进而证明命题成立；解析2的主要解题技巧在于准确运用根式有理化来进行命题求证，运算量较大.【例5】 （2005年全国初中数学竞赛复赛试题）若实数x、y满足，则x+y=__________.【分析】 本题虽是二元一次方程组的问题，但考虑到用消元法直接求解运算量极大，计算时学生容易出现错误，故考虑将x+y作为一个整体求出.【解析1】 假设x+y=a，则y=a-x，所以33333333（3+6）x+（3+4）（a-x）=（3+6）（3+4），333332333333
即（6-4）x+（3+4）a=（3）+3·4+3·6+4·6 ①33333333
又（5+6）x+（5+4）（a-x）=（5+6）（5+4），333332333333
即（6-4）x+（5+4）a=（5）+5·4+5·6+4·6 ②33323233333
②-①得：（5-3）a=（5）-（3）+（5-3）·4+（5-3）·36，3333
所以a=3+4+5+6=432.332【解析1】 易知3、5是关于t的方程的两根，化简得t-（x333333+y-4-6）t-（6x+4y-4·6）=0.3333
由韦达定理得3+5=x+y-4-6，3333
所以x+y=3+4+5+6=432.【点评】 解析1采用局部换元法，由已知等式的化简，遵循等量代换的原则进行求解，通过将原有问题的变量减少来达到化繁为简的目的，但运算量较大，对学生的运算能力要求较高；解析2则巧妙地33把3、5看成是关于t的方程的两根，通过韦达定理进行求解，解题过程简洁清晰，学生要好好掌握这种解题技巧.
全能练习A组
1. （2008年第九届“希望杯”全国初中数学邀请赛八年级培训题）设x、y是整数，且x≠±1，y≠±1，（x+y）（x+y+2xy）+（xy+1）（xy-1）=0，则由x、y组成的实数对（x，y）的个数是（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 已知，a，a，…，a，a均为正数，又1231 9961 997
M=（a+a+a+…+a）（a+a+…+a），1231 996231 997
N=（a+a+a+…+a）（a+a+…+a），1231 997231 996
则M与N的大小关系是（ ）.
A. M=N B. M＜N C. M＞N D. 不确定
3. （2008年全国初中数学竞赛试题第10题）关于x、y的方程22x+y=208（x-y）的所有正整数解为__________.
4. （2009年“五羊杯”初三数学竞赛第15题）对于实数x、y，22S=x+2xy+3y+2x+6y+4的最小值S=___________.min
5. （2008年全国初中数学联赛江西赛区试题）设
6. （2008年“我爱数学”初中生夏令营第二试第4题）已知a为整数，关于x的方程有实数根，那么a可能是__________.2
7. 因式分解：（a+b-2ab）（a+b-2）+（1-ab）.333
8. 计算（b+c-2a）+（c+a-2b）+（a+b-2c）-3（b+c-2a）（c+a-2b）（a+b-2c）.
9. （2009年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题）求所有四位数m，满足m＜2 006，其存在正整数n，使得m-n为质数，mn是一个完全平方数.
10. 根据下面的方程组，求z-y的值.
11. 已知非零实数a、b、c、x、y、z满足关系式，求的值.
12.（“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题第112题）已知关于x的一元二次方程x+cx+a=0的两个整数根恰好比方程2x+ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c的值.B组
1. （2010年广东省初中数学竞赛试题）设a、b是实数，且，则的值为（ ）.
2.（2008年青少年数学国际城市邀请赛试题第4题）已知x为实数，则的最大值是.
3.（2007年全国初中数学联赛试题第一试第10题）若100a+64和201a+64均为四位数，且均为完全平方数，则整数a的值为___________.
4.（2005年全国初中数学联赛试题），则x=___________.
5.（2009年第二十届“希望杯”全国初中数学邀请赛初一第一试第18题）如果
6.（2009年第二十届“希望杯”全国初中数学邀请赛八年级第二试第22题）若432
7.（海口竞赛试题）分解因式：6x+7x-36x-7x+6.22
8. 已知xy≠0，且3x-2xy-8y=0，求的值.
9. 解关于x、y的方程组
10.（泉州竞赛试题）已知，求的值.333
11. （宁波中考试题）设1 995x=1 996y=1 997z，且的值.xx2
12. 关于x的方程4-3a·2+a+1=0（a是实数）恰有一个实根满足0＜x＜1，求a的所有可能的值.
第四讲 待定系数法与比较系数法
知识梳理
1. 待定系数法，就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式的定义和性质，确定待定系数的值. 待定系数法的本质是模型的思想，同时也体现了化未知为已知的数学思想.
2. 使用待定系数法，可以把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为学生所熟知的方程组来求解.
3. 比较系数法，就是通过比较等式两边相应的系数来求得所设字母的数值.
4. 待定系数法解题的关键是依据题设正确列出等式或方程，解题的基本步骤是：（1）确定所求问题含有待定系数的解析式；（2）根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；（3）解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.
5. 通常用待定系数法或比较系数法解题时应注意以下几个方面：（1）利用对应系数相等列方程；（2）由恒等的概念用数值代入法列方程；（3）利用定义本身的属性列方程；（4）利用几何条件列方程.待定系数法和比较系数法是中学数学教学与奥数竞赛中重点考查的模块，在近几年的奥数竞赛中所占比例越来越重，需要学生引起足够的重视. 待定系数与比较系数法作为最常用的解题方法之一，广泛运用于因式分解、确定方程系数、拆分分式、解决应用题等各种题型，是初中数学因式分解、代数式求值等问题的重要工具. 在解题中，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法进行求解. 待定系数法关键在于设“等式”，对于求解函数解析式，关键是把点的坐标代入，进而利用待定系数法求出各个系数；对于多项式的整除性、多项式的余式的问题，可将多项式展开，根据等式两边多项式对应系数相等则可解题. 因此，学生应较好地掌握待定系数法与比较系数法，这对于我们解题有相当大的帮助.
例题精讲22【例1】 （天津竞赛试题）分解因式：2x+3xy-9y+14x-3y+20.22【分析】 观察式子，易得2x+3xy-9y=（2x-3y）（x+3y），运用待定系数法即可求解.22【解析1】 ∵2x+3xy-9y=（2x-3y）（x+3y），用待定系数法，可
22设2x+3xy-9y+14x-3y+20=（2x-3y+a）（x+3y+b），a、b是待定的系数.比较右边和左边的x和y两项的系数，得22
∴2x+3xy-9y+14x-3y+20=（2x-3y+4）（x+3y+5）.22【解析2】 原式=2x+（3y+14）x-（9y+3y-20），这是关于x的二次三项式.
常数项可分解为-（3y-4）（3y+5），用待定系数法，可设22
2x+（3y+14）x-（9y+3y-20）=［mx-（3y-4）］［nx+（3y+5）］.2
比较左、右两边的x和x项的系数，得m=2，n=1.22
∴2x+3xy-9y+14x-3y+20=（2x-3y+4）（x+3y+5）.【点评】 解析1直接对因式的前半部分进行分解，再通过待定系数法进行求解；解析2则将因式看成关于其中一个变量x的多项式，简化了变量的个数，进而运用待定系数法求解.【例2】 （2006年“五羊杯”数学竞赛初二试题第13题）已知，其中A、B、C为常数，则2A+B+C=__________.【答案】 74.【分析】 观察分式可发现分母有相同因式（x-2），因而采取先通分后比较的方法. 设x-2=y，结合系数参数A、B、C，可得出关于y的一元二次因式，再次比较系数可得A、B、C的值.2【解析】 把原式右边通分，比较两边分子得5x+7x+3=A（x-2）2+B（x-2）+C.22
令x-2=y，则Ay+By+C=5（y+2）+7（y+2）+32
=5y+27y+37.
故A=5，B=27，C=37，
从而2A+B+C=74.【点评】 观察已知式子，可知式子具有某种确定的数学表达式以及含有系数参数A、B、C，这种情况下可考虑用待定系数法求解. 解答本题的关键是正确找出式子的公因式并以此为解题媒介解答题目.【例3】 已知（A、B是常数），求A、B的值.【分析1】 本题求A、B的值，可从已知的分式入手，进行分式有理化，运用比较系数法求出A、B的值.【解析1】 .
由题意得，解这个方程组得.【分析2】 本题也可由特殊值入手，直接求得A、B的值.【解析2】 分别取特殊值x=0，x=-2，可得方程组，
解得.【解析3】 等式两边同时乘以（x+1）（x-4），去分母得
A（x-4）+B（x+1）=x+6. 令x=-1，得A=-1；令x=4，得B=2.【点评】 解析1是运用待定系数法求解含字母系数的分式的一般解题过程，需要同学们好好掌握这种解题方法；解析2通过变量x的特殊值求解A、B的值，简洁直接，但需注意应在x的取值范围内取特殊值求解；解析3通过将已知式子通分并取特殊值代入求解，运算难度不大.【例4】 （2007年“华罗庚杯”少年数学邀请赛试题）已知a、b、c都是整数，当代数式7a+2b+3c的值能被13整除时，那么代数式5a+7b-22c的值是否一定能被13整除，为什么？【分析】 本题要验证5a+7b-22c能否被13整除，可从5a+7b-22c的分解式能否被13整除方面考虑. 比较其分解式与其本身各项的系数，若能找到符合条件的整数系数使得分解式能被13整除，则所问成立.【解析】 设x、y、z、t是整数，并且假设
5a+7b-22c=x（7a+2b+3c）+13（ya+zb+tc），
比较上式a、b、c的系数，应当有
取x=-3可以得到y=2，z=1，t=-1，则有
13（2a+b-c）-3（7a+2b+3c）=5a+7b-22c.
既然3（7a+2b-c）和13（2a+b-c）都能被13整除，则5a+7b-22c就能被13整除.【点评】 本题考查多项式整除的相关知识，就本例而言，判断代数式是否被一个给定整数整除，一般考虑其分解式是否能被其整除. 如果遇到高次数的多项式被某个多项式整除时，可把多项式写成关于某个多项式乘以另外一个多项式，再使得左右两边为0，把相应的值代入即可求解.【例5】 （2006年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛第一试322第1题）如果4x-x-4x+2=（2x+α）（x+β）+γ是恒等式，求常数α、β、γ.【分析】 本题是简单的比较系数法的应用. 分解式子（2x+α）2（x+β）+γ后通过对比系数可得α、β、γ的两组值.322【解析】 注意到4x-x-4x+2=（2x+α）（x+β）+γ.323222
因此4x-x-4x+2=4x+4（α+β）x+（α+4αβ）x+αβ+γ.
经比较得，
解得.【点评】 本题考查了比较系数法在解含字母的高次方程中的应用，在比较系数时，需要注意等式两边各个项所对应的系数之间的相等关系，在解题过程中同学们经常会在这里出现错误，需仔细谨慎并注意运算的准确性.
全能练习A组
1. （2009年第二十届“希望杯”全国初中数学邀请赛初一第二23试）一次二项式x+m与二次式（x-1）的乘积是三次多项式x+ax+b，则a=___________，
b=___________，m=___________.22
2. 分解因式：x+2xy-8y+2x+14y-3.432
3. 分解因式：x-x+6x-x+15.432
4. 若f（x）=x+x+ax+3x-5能被x-2整除，求a的值.2432
5. 已知x-1是x+mx+nx-2x+4的因式，求m、n的值.5432
6. 已知a、b、c、d均为正整数，且a=b，c=d，a-c=65，求b-d的值.32
7. 已知x+bx+cx+d的系数均为整数，bd+cd为奇数，求证：此多项式不能分解为两个整系数的多项式之积.
8. 求整数a，使多项式（x-a）（x-10）+1能写成乘积（x+b）（x+c）的形式，其中b、c也是整数.
9. （2007年“五羊杯”数学竞赛初二试题第17题）已知22328（x+1）（x-7）=a+a（x+2）+a（x+2）+…+a（x+2），0128
则a-a+a-a+a-a+a=__________.1234567222
10. 求证：无论k为任何实数，y+2xy-x+x-2ky+k+1都不能分解为两个一次因式的乘积.B组
1. （2008年第十九届“希望杯”全国初中数学邀请赛初二第一3322试第24题）若代数式x+y+3xy+axy含有因式x-y，则a=___________，在实数范围内将这个代数式分解因式，得3322x+y+3xy+axy=___________.
2.（2009年吉林省“城市杯”初中数学应用能力竞赛初二试题）2432已知x+x-6是多项式2x+x-ax+bx+a+b-1的因式，则a=___________，b=___________.
3.（2009年第二十届“希望杯”全国初中数学邀请赛初一第二试242第15题）若x+2x+5是x+px+q的一个因式，则pq的值是___________.2
4.（2006年“五羊杯”数学竞赛第12题）分解因式：2x-2xy-6y+7x+7y+3.22
5.（上海竞赛试题）当m为何值时，x-y+mx+5y-6能够因式分解，并分解之.
6.（2008年第十九届“希望杯”全国初中数学邀请赛八年级培训试题）如果，求a、b、c的值.4323
7. 若多项式f（x）=x-x+ax+bx+c能被（x-1）整除，求a、b、c的值.22
8. 已知x+7xy+my-5x+43y-24可以分解为关于x、y的两个一次因式，试确定m的值，并完成因式分解.
9. 若代数式x （x+1）（x+2）（x+3）+p恰好能分解为两个二次整式的乘积（其中二次项系数为1，且一次项系数相同），则p的最大值是多少？
10. ÷支铅笔，3块橡皮，2本日记本，需要18元；买9支铅笔，5块橡皮，3本日记本需要28元；则买17支铅笔，9块橡皮，5本日记本需要多少钱？
第五讲 数学模型在应用题中的运用
知识梳理
1. 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们通过深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，这就是数学模型. 而数学建模就是将实际问题数学化，用已经建立的数学模型来解释实际问题. 在初中阶段，常用的数学模型有数式模型、方程模型、不等式模型、函数模型、平面几何模型等.
2. 数学建模属于一门应用数学，要求我们学会如何将实际问题经过分析、简化转化为一个数学问题，然后用适当的数学方法去解决. 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段.
3. 一般而言，数学建模有以下流程：
4. 运用数学模型解应用题的方法步骤：（1）审题：分析题意，将条件和所求结果用正确的数学表达式表示出来；（2）设元：寻求已知量和未知量之间的关系；（3）建模：构建数学模型；（4）解模：将已知条件代入数学模型，求解一个纯数学问题；（5）还原：将所获得的数学解还原到实际问题中，并考虑问题中的限制条件；（6）答案：用文字写出简明的答案.公元前1世纪，中国的《九章算术》已广泛地采用了模型化方法. 在当代，数学建模更是得到极为广泛的应用. 从近几年的奥数竞赛试题来看，运用数学模型解决应用题已成为热门的竞赛话题，着重考查的是学生通过自己已有的生活经验，将实际问题抽象并进行解释和应用的能力，以此提高学生综合运用所学知识和技能解决问题的能力，发展他们的应用意识和实践创新能力. 在实际的应用解题过程中，关键是运用数学知识和技能将应用题用建模的思想抽象成“数学模型”. 通过确定变量和参数，并应用某些“规律”建立起变量、参数间的确定的数学问题（也可称为一个数学模型），求解该数学问题，解释、验证所得到的解，从而确定能否用于解决实际问题的多次循环、不断深化.
例题精讲【例1】 （2010年全国初中数学竞赛第7题）一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶. 在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间. 过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝__________.【答案】 15.【分析】 此题是常见的车辆追赶问题. 可由此构造三种车辆同向行驶的数学模型，以三车间距离的变动列出相关方程，最后要注意所求时间t应是减去若干时间（题意中提及的）后的结果.【解析】 设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为s千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a、b、c（千米/分钟），并设货车经x分钟追上客车，由题意得
由2×②-3×①，得30（b-c）=s，联立③式，所以x=30.
故t=30-10-5=15（分钟）.
答：再过15分钟，货车追上了客车.【点评】 本题通过三种车辆之间的追逐关系设元建立方程组的模型，解题的关键是紧抓住三种车辆随时间的变化而改变的相互距离. 同时，还应注意问题所求的时间与所设的时间变量x之间的关系.【例2】 （2007年全国初中数学竞赛浙江赛区复赛第11题）正六边形轨道ABCDEF的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从A、C两点同时出发，均按A→B→C→D→E→F→A→…方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米/秒，乙的速度为8厘米/秒，那么出发后经过___________秒后，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上.【答案】 秒.【分析】 本题涉及两个独立个体，故可考虑建立不等式（方程）组的模型来进行解答. 从问题入手设元，抓住甲、乙两只机器鼠所走的距离和时间的关系建立一元一次不等式组解答.【解析】 设甲跑完x条边时，甲、乙两只老鼠第一次出现在同一条边上，此时甲走了120x厘米，乙走了厘米，于是
解得. 因为x是整数，所以x=8，即经过（秒）时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上.【点评】 借助不等式（组）为模型解决实际问题时，应抓住问题的呈现形式，结合不等式的知识，尤其是对关键词“不少于”、“不多于”、“超过”、“不到”、“最大”、“最小”等的把握.【例3】 一批树苗按以下方法分给各班：第一班取100棵和余下的，第二班取200棵和余下的……最后树苗全部被取完且各班树苗数都相等，求树苗总数和班级数.【分析】 本题应抓住条件“各班树苗数都相等”并适当运用，根据所要求的取法，借助方程建立分配树苗的数学模型.【解析1】 设树苗总数为x棵，由第一、二两班树苗数相等，列方程
解这个方程，得x=8 100，班级数为（个）.
答：共有树苗8 100棵，9个班级.【解析2】 设有x个班级，则根据题意，最后一个班级取树苗100x棵，倒数第二个班级先取100（x-1）棵，再取“余下的”，即留给最后一个班级的是“余下的”，所以这“余下的”也是最后一个班级所取树苗数的，由最后两班所取树苗数相等，可列方程. 解得x=9.
答：共有树苗8 100棵，9个班级.【解析3】 同解析2设未知数，注意到倒数第二个班级先取的100（x-1）棵比100x棵少100棵，列方程. 解得x=9.【点评】 本题探讨了树苗分配的数学问题，借助方程解题是解决这一类问题的主要方法. 解析1从变量树苗总数入手，解析2和解析3则从变量班级数入手，都是根据连续两个班的树苗数相等这一条件建立变量等式.【例4】 （2009年全国初中数学竞赛第6题）一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5 000千米后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3 000千米后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎. 如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少千米？【分析】 本题根据汽车轮胎的总磨损量一定这一等量关系构造方程组，要求的是总行使量，因而无需分别求出交换轮胎前后的行驶量.【解析】 设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1千米磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为. 又设一对新轮胎交换位置前走了x千米，交换位置后走了y千米. 分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有
两式相加可得：.
则.
答：要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶3 750千米.【例5】 （2006年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛第16题）做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店铺在同一段时间内都能售出A、B两种款式的服装合计30件，并且每售出一件A款式和B款式服装，甲店铺获毛利润分别为30元和40元，乙店铺获毛利润分别为27元和36元. 某日王老板进货A款式服装35件，B款式服装25件. 怎样分配给每个店铺各30件服装，使得在保证乙店铺获毛利润不小于950元的前提下，王老板获取的总毛利润最大？最大的毛利润是多少？【分析】 本题题意比较长，学生在了解题意时应把握好已知量和未知量之间的关系. 由所求问题易设立本题的变元，进而将已知的条件和所求结果用数学表达式表示，由于本题所求的是分配的最值问题，故可考虑建立一次函数的模型来解答.【解析】 设分配给甲店铺A款式服装x件（x取整数，且5≤x≤30），则分配给甲店铺B款式服装（30-x）件，分配给乙店铺A款式服装（35-x）件，分配给乙店铺B款式服装［25-（30-x）］=（x-5）件，总毛利润：
y=30x+40（30-x）+27（35-x）+36（x-5）=-x+1 965.总
乙店铺的毛利润（设为y）应满足y=27（35-x）+36（x-5）≥乙乙950，
得.
对于y=-x+1 965，y随着x的增大而减小，要使y最大，x必须总总总取最小值，又，故取x=21. 即分配给甲店铺A、B两种款式服装分别为21件和9件，分配给乙店铺A、B两种款式服装分别为14件和16件. 此时既保证了乙店铺获毛利润不小于950元，又保证了在此前提下王老板获取的总毛利润最大，其最大的总毛利润y=-21+1 总最大965=1 944（元）.【点评】 此类题一般为决策性应用题，它要求答题者根据提供的相关信息，通过分析、推理、综合等思维活动，建立起一次函数的数学模型求解结果，筛选出满足题意的结论，最后作出判断决策.
全能练习A组
1. （2006年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛第6题）如图所示，一枚棋子放在七边形ABCDEFG的顶点A处，现按顺时针方向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k次依次移动k个顶点. 如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B处，第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D处，依这样的规则，在开始10次移动的过程中，棋子不可能停到的顶点是（ ）.
A. C，E，F B. C，E，G C. C，E D. E，F
2. （2006年全国初中数学竞赛第4题）一张正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）.
A. 2 004 B. 2 005 C. 2 006 D. 2 007
3. （2009年青少年数学国际城市邀请赛第12题）小马在体育场卖饮料，雪碧每瓶4元，汽水每瓶7元. 开始时，他有350瓶汽水，虽然没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2 009元，则他至少卖出了多少瓶汽水？
4. 一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶. 已知船在静水中的速度为每小时8千米，平时逆行与顺行所用时间比为2：1，某天恰逢暴雨，水流速度变为原来的2倍，这条船往返共用了9小时，那么甲、乙两港相距多少千米？
5. 一艘轮船航行于两码头之间，逆水需10小时，顺水需6小时. 已知该船在静水中每小时航行12千米，求水流速度和两码头间的路程.
6. 甲、乙两车分别从相距360千米的两地相向开出，已知甲车速度60千米/小时，乙车速度90千米/小时. 若甲车先开1小时，问乙车开出多少小时后两车相遇？
7.（2007年“五羊杯”数学竞赛初二试题第19题）河水是流动的，在B点流入一个静止的湖中，游泳健将朱泳在河中顺流从A到B，再穿过湖游到C，共用1小时；而由C到B再到A，共用2个小时. 如果湖水也是流动的，从B流向C，速度与河水速度相同，那么朱泳从A到B再到C，共用50分钟，这时，他从C到B再到A，共用多少时间？
8.（2008年全国初中数学竞赛第17题）小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车. 假使每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是多少分钟？
9.（“祖冲之杯”竞赛试题）甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后，剩下不足10元，轮到乙拿去. 为了平均分配，甲应该补给乙多少钱？
10. （吉林中考试题） 有含盐8％的盐水40千克，要配制含盐20％的盐水，需加盐多少千克？B组
1. 某商店有5袋面粉，各袋重量在25～30千克之间，店里有一磅秤，但只有能称50～70千克重量的秤砣，现要确定各袋面粉的重量，至少要称（ ）.
A. 4次 B. 5次 C. 6次 D. 7次
2. （2005年荆州市全国初中数学竞赛选拔赛试题）若干名游客要乘坐汽车，要求每辆汽车坐的人数相等，如果每辆汽车乘坐30人，那么有一人未能上车；如果少一辆汽车，那么所有游客正好能够平均分到各辆汽车上，已知每辆汽车最多容纳40人，则有游客人__________.
3. 甲、乙两车同时由A地出发，当甲车到达C地时，乙车到达B地；当乙车到达C地时，甲车到达D地. 已知甲、乙两车的速度之和是每小时220千米，，求甲车的速度.
4. 某村居民在第一年增加了n人，而在第二年又增加了300人，但也能说是居民人数在第一年增加了300％，而在第二年又增加n％，问：该村现在究竟有多少人？
5. 某学校供学生就餐原有5个大餐厅，2个小餐厅. 每个大、小餐厅可供就餐人数分别相同.暑假期间，原准备开放1个大餐厅，2个小餐厅，可供1 680名学生就餐，但发现不够用.后来改为开放2个大餐厅，1个小餐厅，这时可供2 280名学生就餐，结果够用了. 新学期扩大招生后，学生总数达到6 230名，原有餐厅是否够用？若不够用，应增设同样规模的大、小餐厅多少个？结合实际情况，提出你的方案.
6. 某产品每件生产成本为50元，原定销售价为65元. 经市场预测，从现在开始的第一个季度销售价将下降10％，第二个季度又将回升4％. 若要使半年后的销售利润不变，如果你作为决策者，将采取什么措施？请将本题补充完整并解答.
7. 某公园的学生门票价如下：（1）初一两个班级共104人前往游览，若两班分别购票，则需1 240元；若合起来购票，则能节约多少钱？并求出两班共有多少人？（2）若已知分别购票总额1 240元，而不知道两班学生的总数，你能求出各班人数吗？
8. （2010年全国初中数学竞赛海南赛区初赛第20题）某单位欲购买A、B两种电器，根据预算，共需资金15 750元. 购买一件A种电器和两件B种电器共需资金2 300元；购买两件A种电器和一件B种电器共需资金2 050元.（1）购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别是多少元？（2）若该单位购买A种电器不超过5件，则可购买B种电器至少有多少件？（3）为节省开支，该单位只购买A、B两种电器共6件，并知道获政府补贴资金不少于700元；自己出资金不超过4 000元，其中政府对A、B两种电器补贴资金分别为每件100元和150元. 请你通过计算求出各种购买方案.
9. 家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均4个小时做一把椅子，8小时做一张桌子，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均每2小时漆一把椅子、1小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，试根据以上条件，问怎样安排生产能获得最大的利润？
10. （福建竞赛试题）要做20个矩形钢框，每个由2.2米和1.5米的钢材各两根组成，已知原钢材长4.6米，应如何下料，使用的原钢材最省？
课外园地哥尼斯堡七桥问题
七桥问题（Seven Bridges Problem）是18世纪著名古典数学问题之一，在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来[见图（a）].问是否可能从这四块陆地中任意一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？
1736年，29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，他把问题归结为“一笔画”问题[见图（b）]，证明了上述走法是不可能的. 欧拉把实际的抽象问题简化为平面上的点与线组合，每一座桥视为一条线，桥所连接的地区视为点. 这样若从某点出发后最后再回到这点，则这一点的线数必须是偶数. 在解答问题的同时，欧拉开创了数学的一个新的分支——图论与几何拓扑，也由此开启了数学史上的新进程. 欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关“一笔画”的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理”.图（a）图（b）
欧拉最后给出任意一种河—桥图能否全部走一次的判定法则：如果通奇数座桥的地方不止两个，那么满足要求的路线便不存在了；如果只有两个地方通奇数座桥，则可从其中任何一地出发找到所要求的路线. 若没有一个地方通奇数座桥，则从任何一地出发，所求的路线都能实现，他还说明了怎样快速找到所要求的路线.
七桥问题引发了网络理论之研究，被认为是拓扑学理论基本应用题，对解决最短邮路等问题很有帮助.
第二章 函数专题
第一讲 一次函数及其应用
知识梳理
1. 一次函数的定义：形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数叫作一次函数.
2. 一次函数与正比例函数的关系：（1）对于函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0），当b≠0时，它是一般的一次函数；当b=0时，它是正比例函数.（2）一次函数y=kx+b的图像与正比例函数y=kx的图像之间的位置关系：
当b＞0时，直线y=kx+b由直线y=kx向上平移b个单位长度；
当b＜0时，直线y=kx+b由直线y=kx向下平移b个单位长度.
3. 一次函数的图像与性质：（1）图像：一次函数y=kx+b的图像是一条过定点（0，b）的直线.一次函数y=kx+b的图像，也称为直线y=kx+b.（2）性质：
当k＞0时，直线y=kx+b的图像从左到右上升，即y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线y=kx+b的图像从左到右下降，即y随x的增大而减小.
4. 一次函数确定的方法：（1）由已知函数推导或推证；（2）由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系；（3）用待定系数法求函数解析式.一次函数综合应用广泛并广泛涉足于其他学科，覆盖面广，灵活性强.常融函数思想于几何知识中，在近几年的奥数竞赛中多以开放性题目出现.且一次函数与方程、不等式有深刻的内在联系.方程和不等式分别着眼于数量之间的相等或不等关系，而一次函数则从研究数量的变化规律将两者统一起来，并实现在一定条件下的相互转化.所以要求学生学会综合运用一次函数的解析式、图像、性质解决实际问题，对于复杂问题，学会善于构建函数模型并学会结合方程、不等式等其他数学模型综合解决问题.
例题精讲【例1】 （2008年“希望杯”数学邀请赛初二第一试第10题）一次函数y=kx+b的图像经过点A（0，5）和点B（4，0）.则在该图像和坐标轴围成的三角形内，横坐标和纵坐标都是正整数的点有个___________.【答案】 6.【分析】 本题先用待定系数法求出函数的解析式，然后通过列举法将各个正整数点的坐标求出.【解析】 如右图所示，将点（0，5）和（4，0）坐标分别代入y=kx+b，
解得，所以一次函数解析式为.
当x=1时，，直线x=1在△AOB内有整点3个；
当x=2时，，直线x=2在△AOB内有整点2个；
当x=3时，，直线x=3在△AOB内有整点1个.【点评】 本题解题的关键是利用待定系数法结合已知点正确求解出一次函数的解析式，进而结合图像寻求符合要求的正整数点.【例2】 （2008年“希望杯”数学邀请赛初二第二试第9题）如右图所示，函数y=mx-4m的图像分别交x轴、y轴于点M、N，线段MN上两点A、B在x轴上的垂足分别为A、B，若OA+OB＞4.则△1111OAA的面积S与△OBB的面积S的大小1112关系是______.【答案】 S＞S.12【分析】 本题借助于一次函数解析式解题，可以先设点A、B的坐标，从而求出S、S的面积的表达式，然后对S、S进行作差比1212较.【解析】 设A（x，y），B（x，y），则y=mx-4m，112211y=mx-4m.又22
由题意，知m＜0，x＜x，且x+x＞4，所以S＞S.121212【点评】 本题在比较大小时，学生可以考虑利用作差法或者作商法，以及构造不等式的方法去解题，学生可根据题目中已知的条件选择适当的方法解题.【例3】 （2009年“希望杯”数学邀请赛初二第一试第24题）对于正整数k，记直线与坐标轴所围成的直角三角形的面积为S，则S=___________，S+S+S+S=___________.kk1234【分析】 本题涉及一次函数与坐标轴所围成的三角形，可考虑借助一次函数图像的性质来解题，需求出函数与x轴及y轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式求出各个三角形面积，进而求出三角形面积的和.【解析】 直线与横轴的交点坐标为（，0），与纵轴的交点坐标为（0，），所以该直线与坐标轴所围成的直角三角形的面积是【点评】 本题考查了学生对一次函数图像性质的掌握情况，要求学生会求并且利用一次函数与坐标轴交点的坐标来表示其与坐标轴所围成的三角形的面积.本题只需由函数解析式或者图像的性质求出所需点的坐标，然后根据解题需求利用点的坐标进行求解，同时，对面积求和时还运用了裂项法.【例4】 （2008年全国初中数学竞赛第11题）在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，且使得△OAB的面积值等于｜OA｜+｜OB｜+3.（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值.【分析】 本题中，（1）要用b表示k，首先要建立两者间的关系，利用一次函数与坐标轴的交点的坐标以及所围成的三角形的面积，可构造起两者的等量关系.（2）中要建立完全平方式，当完全平方式等于0时，就可以得到△OAB面积的最小值.【解析】 （1）令x=0，得y=b，b＞0；令y=0，得，k＜0.
所以A、B两点的坐标分别为，B（0，b），于是，△OAB的面积为
由题意，有，
解得，b＞2.（2）由（1）知，
当且仅当时，有，即当，k=-1时，不等式中的等号成立. 所以，△OAB面积的最小值为.【点评】 对于一次函数，要求学生对函数图像以及利用函数解析式求特殊点重点掌握，并且灵活利用代数方法解几何题型.【例5】 （2009年“希望杯”数学邀请赛初二第二试第22题）如下图所示，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B. 以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°，求△ABC的面积.【分析】 首先根据函数解析式求出点A、B的坐标，然后可求Rt△ABC的各边长，题中用到在直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半的定理.【解析】 依题意，函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
当y=0时，x=1；当x=0时，，所以点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（0，），于是. 在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=2.222
设AC=x，则BC=2x，由勾股定理，得x+2=（2x），得，
所以.【点评】 本题是一道一次函数与三角形知识综合应用的题目，考查学生综合素质和能力的热点题型，充分体现了数学解题中的整合思想.
全能练习A组
1.（2006年全国初中数学竞赛海南赛区试题）在平面直角坐标系中，已知A（2，-2），点P是y轴上一点，则使△AOP为等腰三角形的点P有（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. （2006年“信利杯”全国初中数学竞赛广西赛区试题）已知直线l经过（2，0）和（0，4），把直线l沿x轴的反方向平移3个单位，得到直线l′，则直线l′的解析式为___________.
3.（2007年全国初中数学联赛武汉“卡西欧杯”选拔赛试题）已知一次函数y=ax+b的图像经过第一、二、三象限，且与x轴交于点（-2，0），则不等式ax＞b的解集为（ ）.
A. x＞-2 B. x＜-2 C. x＞2 D. x＜2
4.（2006年全国初中数学竞赛浙江赛区复赛试题）设0＜k＜1，关于x的一次函数，当1≤x≤2时，y的最大值是（ ）.
5.（2007年全国初中数学联赛武汉“卡西欧杯”选拔赛试题）如右图所示，直线l：y=x+1与直线l：把平面直角12坐标系分成四个部分，则点在（ ）.
A. 第一部分 B. 第二部分 C. 第三部分 D. 第四部分
6.（2005年宁波市蛟川杯八年级数学竞赛试题）某个游泳池有两个进水口和一个出水口，每个进水口的进水量与时间的关系如图（a）所示，出水口的出水量与时间的关系如图（b）所示，某天早上5点到10点，该游泳池的蓄水量与时间的关系如图（c）所示. 在下面的论断中：
① 5点到6点，打开一个进水口，关闭出水口；
② 6点到8点，同时关闭两个进水口和一个出水口；
③ 8点到9点，关闭两个进水口，打开出水口；
④ 10点到11点，同时打开两个进水口和一个出水口.
可能正确的是___________.图（a）图（b）图（c）
7.（2008年全国初中数学竞赛浙江赛区复赛第6题）有10条不同的直线y=kx+b（n=1，2，3，…，10），其中k=k=k，b=b=b=0，nn3694710则这10条直线的交点个数最多有多少个？
8. 盒中放有足够数量的棋子，甲、乙二人做取棋子游戏，甲有时每次取5枚，有时每次取（5-k）枚，乙有时每次取7枚，有时每次取（7-k）枚（这里0＜k＜5）. 据统计，甲先后共取棋子37次，乙先后共取41次，结果两人所取出的棋子总数恰好相等.求证：盒子中至少有328枚棋子.
9.（2006年四川省数学竞赛八年级初赛试题）平面直角坐标系内有A（2，-1），B（3，3）两点，点P是y轴上一动点，求P到A、B距离之和最小时的坐标.
10.（2006年全国初中数学竞赛海南赛区试题）某房地产开发公司计划建A、B两种户型的经济适用住房共80套，该公司所筹资金不少于2 090万元，但不超过2 096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价见下表：（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？（2）若该公司所建的两种户型住房可全部售出，则采取哪一种建房方案获得利润最大？（3）根据市场调查，每套A型住房的售价不会改变，每套B型住房的售价将会降低a万元（0＜a＜6），且所建的两种户型住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？B组
1. 若，则直线y=kx+k的图像必经过（ ）.
A. 第一、二、三象限 B. 第二、三象限 C. 第二、三、四象限 D. 以上均不正确
2.（2007年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题）直线y=px（p是不等于0的整数）与直线y=x+10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线有（ ）.
A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 无数条
3.（2009年“五羊杯”初三数学竞赛试题）函数y=｜｜x+1｜-｜x+2｜｜+｜x+3｜，则y的最小值等于（ ）.
4.（2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛第9题）若22的最大值为a，最小值为b，则a+b的值为___________.
5.（2009年初二“希望杯”数学邀请赛第一试第16题）由一次函数y=x+2，y=-x+2和x轴围成的三角形与圆心为点（1，1），半径为1的圆构成的图形覆盖的面积等于______.
6. 已知四条直线y=mx-3，y=-1，y=3和x=1所围成的四边形面积是12，那么m=______.
7. 直角坐标系内有点P（-1，-2），Q（4，2），R（1，m），当PR+RQ有最小值时，m的值是___________.
8.（2005年富阳市八年级数学竞赛试题）不论k为何值，解析式（2k-1）x-（k+3）y-（k-11）=0表示的函数的图像经过一定点，则这个定点是__________.
9. 已知直线y=x+3的图像与x、y轴交于A、B两点.直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△ABO的面积分为1：2的两部分. 求直线l的解析式.
10. 在直角坐标系xOy中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C坐标为（1，0），点D在x轴上，且∠BCD=∠ABD. 求图像经过B、D两点的一次函数的解析式.
第二讲 正比例函数和反比例函数及其应用
知识梳理
1. 一般地，正比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）的图像是一条经过原点和点（1，k）的直线，我们称它为直线y=kx. 因此，在画正比例函数的图像时，只要确定点（1，k）（除原点）即可.
2. 正比例函数y=kx中，｜k｜越大，直线y=kx越靠近y轴，即直线与x轴的正半轴的夹角越大；｜k｜越小，直线y=kx越靠近x轴，即直线与x轴的正半轴的夹角越小.
3. 一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数.
4. 反比例函数的图像：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限.它们关于原点对称，反比例函数的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.
5. 反比例函数的性质：（1）当k＞0时，x、y同号，图像在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k＜0时，x、y异号，图像在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大.（2）若点（a，b）在反比例函数的图像上，则点（-a，-b）也在此图像上，故反比例函数的图像关于原点对称.（3）正比例函数与反比例函数的性质比较：（4）反比例函数中k的几何意义：
①过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为｜k｜.
②过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
6. 反比例函数解析式的确定：确定反比例函数解析式最常用的方法是待定系数法. 由于在反比例函数关系式中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图像上点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的解析式.正比例函数和反比例函数在现实世界中是普遍存在的，也是初中阶段数学学习的重要函数，其重点是函数的概念、图像和性质.在应用正比例函数和反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题，并且针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系.列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.如某三角形的面积是2时，底边长y与该底边上的高x之间的关系式是.
例题精讲【例1】 （2009年“希望杯”数学邀请赛初二第一试第2题）如右图所示，点B在反比例函数的图像上，从点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是A、C，若△ABC的面积是4，则反比例函数的解析式是__________.【答案】 .【分析】 本题是借助反比例函数的定义来解题.先设点B的坐标为（x，y），结合反比例函数中的k的几何意义列出△ABC面积公式，进而根据点B所在象限可判断系数k的正负.【解析】 点B（x，y）在第四象限，所以x＞0，y＜0，且满足，
即xy=k＜0，△ABC的面积，
由已知得，，｜xy｜=8，则k=xy=-8，
所以反比例函数的解析式是.【点评】 求反比例函数的解析式只需求解k值即可，一般题型较为简单，但学生应注意题中所给的已知条件，确定该函数图像所在的象限来判断系数k的正负.【例2】 （2007年“希望杯”数学邀请赛初二第一试第24题）直线l交反比例函数的图像于点A，交x轴于点B，点A、B与坐标轴原点O构成等边三角形，则直线l的函数解析式为______或______.【答案】 .【分析】 本题要求直线l的函数解析式，可转换为求直线l的方程表达式，因此考虑用直线的点斜式方程来表示直线AB，所以只要知道直线的斜率以及直线上的一点即可.【补充知识点】
1. 倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角ə叫作直线l的倾斜角.
2. 斜率：一条直线的倾斜角ə的正切值叫作这条直线的斜率（因为倾斜角为90°时，不存在正切值，所以直线垂直于x轴的时候斜率不存在）.
3. 点斜式方程：y-y=k（x-x），其00中，k为直线的斜率，x，y为直线上一00点.因为考虑到斜率k存在与否的情况，点斜式方程不能表示垂直于x轴的直线.【解析】 如下图所示，点A在反比例函数的图像上. 因为三角形AOB是等边三角形，∠AOB=60°，所以点A与原点O的连线的斜率为，即点A在直线上，联立方程组
所以｜OB｜=2，B点坐标为（-2，0），直线AB的函数解析式为.
当时，点A的坐标为（1， ），｜OA｜=2，
所以｜OB｜=2，B点坐标为（-2， 0）， 直线AB的函数解析式为；【点评】 求直线的函数解析式时，学生可通过求得斜率k和直线上任意一点的坐标或者直线上任意两点的坐标即可解答，但要特别注意该直线函数解析式的正确表示方法.【例3】 （2009年“五羊杯”数学竞赛初三第6题，）如右图所示，已知反比例函数（x＞0）上的两点A和B，过点A作AC垂直于x轴于C，过点B作BD垂直x轴于D，AC与OB相交于点E，则S△AOE与S的大小关系是__________.梯形ECDB【答案】 S=S△AOE梯形ECDB【分析】 本题可将梯形ECDB面积看作△BOD和△EOC面积之差，利用反比例函数解析式可推出△AOC的面积和△BOD面积相等，那么用这两个三角形面积减去同一个△EOC的面积，可构造出一个等式.【解析】 设点A（x，y）（x＞0，y＞0），则；1111
同理，，∴S-S=S-S，△AOC△EOC△BOD△EOC
即S=S.△AOE梯形ECDB【点评】 在竞赛题中，等量代换、等量转换都是很重要的解题方法.解答此类题要善于从图像中或已知条件中提取有效信息.【例】 （2007年全国初中数学竞赛第7题）如右图所示，点A、C都在函数（x＞0）的图像上，点B、D都在x轴上，且使得△OAB、△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为___________.【答案】 （，0）.【分析】 本题的解题突破口在于利用函数（x＞0）（可变形为）与两个等边三角形的面积即可联立方程组求出点D的坐标.通过添加辅助线，以及利用勾股定理、等边三角形三线合一等性质即可解答.【解析】 分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F. 设OE＝a，BF＝b，则，所以点A、C的坐标为（a，），（2a＋b，）.【点评】 很多几何图形需要添加辅助线间接得出解题所需的条件，学生在作辅助线的时候应该寻找特殊线段，切不可将解题过程复杂化.【例】 （2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛第8题）如右图所示，点A、B为直线y=x上的两点，过A、B两点分别作y轴的平行线交双曲线（x＞0）于C、D两点.若22BD=2AC，则4OC-OD的值为___________.【答案】 6.【分析】 本题考查正比例函数和反比例函数知识的综合应用.首先要设出C、D点的坐标，根据反比例函数的解析式表示出点C、D的横纵坐标的关系.然后利用点的坐标求解线段长.【解析】 设C点的坐标是（a，b），D点的坐标是（c，d），则点A的坐标为（a，a），点B的坐标是（c，c）. 因为点C、D在双曲线上，所以ab=1，cd=1，由于AC=｜a-b｜，｜BD｜=｜c-d｜，又因为BD=2AC，2222
于是｜c-d｜=2｜a-b｜，c-2cd+d=4（a-2ab+b）222222
所以4（a+b）-（c+d）=8ab-2cd=6，故4OC-OD=6.【点评】 本题要求学生能够灵活运用反比例函数的本质特征和正比例函数图像上点的坐标的特点，并重点掌握用点的坐标求线段长的公式，即两点距离公式.【例6】 （2007年福建福州中考试题）如右图所示，已知直线与双曲线（k＞0）交于A、B两点，且点A的横坐标为4.（1）求k的值；（2）若双曲线（k＞0）上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线（k＞0）于P、Q两点（P点在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标.【分析】 （1）利用正比例函数和反比例函数的公共点的特征进行解题，即公共点符合两函数解析式.（2）要求会作辅助线，并利用反比例函数k值的特性进行解题.（3）类似于动点问题，要对点P的坐标进行分类讨论，最后得出结论.【解析】 （1）∵点A横坐标为4，∴当x=4时，y=2.
∴点A的坐标为（4，2）.
∵点A是直线与双曲线（k＞0）的交点，
∴k=4×2=8.（2）解法1：如图（a）所示，
∵点C在双曲线上，当y=8时，x=1，
∴点C的坐标为（1，8）.
过点A、C分别作x轴、y轴的垂线，
垂足分别为M、N，得矩形DMON.图（a）
∵S=32，S=4，S=9，矩形ONDM△ONC△CDAS=4，△OAM
∴S=S-S-S-S=32-4-9-4=15.△AOC矩形ONDM△ONC△CDA△OAM
解法2：如图（b）所示，
过点C、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点C在双曲线上，当y=8时，x=1.
∴点C的坐标为（1，8）.
∵点C、A都在双曲线上，图（b）
∴S=S=4，△COE△AOF
∴S+S=S+S.△COE梯形CEFA△COA△AOF
∴S=S.梯形CEFA△COA
∵，∴S=15.△COA（3）∵反比例函数图像是关于原点O的中心对称图形，
∴OP=OQ，OA=OB.∴四边形APBQ是平行四边形.图（c）
设点P的横坐标为m（m＞0且m≠4），得.
过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，∴S=S=4.△POE△AOF
若0＜m＜4，如图（c）所示，
∵S+S=S+S，△POE梯形PEFA△POA△AOF
∴S=S=6.梯形PEFA△POA
解得m=2，m=-8（舍去）.图（d）
∴P（2，4）.
若m＞4，如图（d）所示，
∵S+S=S+S，△AOF梯形PEFA△POA△POE
∴S=S=6.梯形PEFA△POA
解得m=8，m=-2（舍去）.∴P（8，1）.
∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）.【点评】 本题是涉及反比例函数和正比例函数综合性的问题，借助于函数的性质便于解题.本题采用函数性质和等量代换进行解题，（2）中的两种解法不同之处就在于构造出不同的图形面积的等量关系，而求面积的思想是一致的.
全能练习A组
1. 已知点（a，）是y=kx与两函数图像的一个交点，则k等于（ ）.
2. 反比例函数的图像是轴对称图像，它的一条对称轴是下列哪个正比例函数的图像（ ）.
3. ，则A、B、C三点的位置（ ）.
A. 在同一条直线上 B. 组成锐角三角形 C. 组成直角三角形 D. 组成钝角三角形
4. 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如下图所示，设小矩形的长和宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图像是（ ）.
5. 如下图所示，直线y=x与双曲线的图像在第一象限内交于点A，过A点的另一直线y=mx+n交双曲线于第三象限内的点B，则不等式的解集是___________.
6. 已知函数y=y+y，其中y是关于x的正比例函数，y是关于x的1212反比例函数，且当x=2时，y=8；当x=4时，y=13，则y关于x的函数表达式是__________.
7.（2007年“希望杯”初二数学邀请赛第一试第19题）已知点（1，2）在反比例函数所确定的曲线上，并且该反比例函数和一次函数y=x+1在x=b时的值相等，则b等于___________.
8.（2009年湖北省荆门市中考数学试题）直线y=ax（a＞0）与双曲线交于A（x，y）、B（x，y）两点，则11224xy-3xy=__________.1221
9.（2009年山东省济南市中考数学试题）已知：如下图所示，正比例函数y=ax的图像与反比例函数的图像交于点A（3，2）.（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图像回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）M（m，n）是反比例函数图像上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D.当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由.
10. 已知Rt△ABC，∠A=90°，∠B=60°，AB=1，将它放在直角坐标系中，使斜边BC在x轴上，直角顶点A在反比例函数的图像上，求点C的坐标.B组
1. （2007年全国数学竞赛浙江赛区初赛第1题）函数图像的大致形状是（ ）.
2.（第十八届“希望杯”全国初中数学邀请赛八年级第8题）The number of intersection point of the graths function and function y=kx（k≠0）is（ ）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 0 or 2
3.（第十八届“希望杯”全国数学邀请赛试题）某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中含药量y连接克）与时间t（小时）之间的函数关系近似满足如右图所示曲线，当每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为（ ）.
4.（2009年浙江省义乌中考试题）已知，点P是反比例函数图像上的一个动点，⊙P的半径为1，当⊙P与坐标轴相交时，点P的横坐标x的取值范围是.
5.（2009年江西中考试题）函数y=x（x≥0），（x＞0）的图1像如右图所示，则以下结论：
①当x=1时，BC=8；
②两函数图像的交点A的坐标为（3，3）；
③当x＞3时，y＞y；21
④当x逐渐增大时，y随着x的增大而增大，y随着x的增大而减12小.
其中正确结论的序号是（ ）.
6. （2008年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题）如右图所示，两个反比例函数和（其中k＞k＞0）在第一12象限内的图像依次是C和C，设点P在C121上，PC⊥x轴于点C，交C于点A，PD⊥2y轴于点D，交C于点B，则四边形PAOB2的面积为___________.
7.（2009年莆田中考试题）如右图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA=AA=AA=AA=AA，过点A、A、A、A、A分别作x轴的11223344512345垂线与反比例函数（x≠0）的图像相交于点P、P、P、P、P，12345得直角三角形OPA、APA、APA、APA、APA，并设其面11122233344455积分别为S、S、S、S、S，则S的值为__________.123455
8.（2008年福建福州中考试题）如右图所示，在反比例函数（x＞0）的图像上，有点P、P、P、P，它们的横1234坐标依次为1、2、3、4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S、S、S，则123S+S+S.123
9. 通过市场调查，一段时间内某地区特种农产品的需求量y（千克）与市场价格x（元/千克）存在下列函数关系式：（0＜x＜100）；又已知该地区农民的这种农产品的生产数量z（千克）与市场价格x（元/千克）成正比例关系：z=400x（0＜x＜100）. 现不计其他因素影响，如果需求数量y等于生产数量z时，即供需平衡，此时市场处于平衡状态.（1）根据以上市场调查，请你分析当市场处于平衡状态时，该地区这种农产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？（2）受国家“三农”政策支持，该地区农民运用高科技改造传统生产方式，减少产量，以大力提高产品质量.此时生产数量z与市场价格x的函数关系发生改变，而需求函数关系未发生变化，当市场再次处于平衡状态时，市场价格已上涨了a（0＜a＜25）元，问在此后的相同时间段内该地区农民的总销售收入是增加了还是减少了？变化多少？
10. 直线经过A（1，0），B（0，1）两点，点P是双曲线（x＞0）上任意一点，PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N. PM与直线交于点E，PN的延长线与直线AB交于点F.（1）求证：AF·BE=1；（2）若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标.
第三讲 二次函数及其应用
知识梳理
1. 基本概念：2222（1）二次函数y=ax，y=a（x-h），y=a（x-h）+k，y=ax+bx+c（各式中，a≠0）的图像形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴见下表：2（2）抛物线y=ax+bx+c（a≠0），若a＞0，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.若a＜0，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.2（3）抛物线y=ax+bx+c的图像与坐标轴的交点：
①图像与y轴一定相交，交点的坐标为0，c；2
②当Δ=b-4ac＞0，图像与x轴交于A（x，0）和B（x，0）两点，12其中x、x是122
一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根，这两点间的距离.
当Δ=0，图像与x轴只有一个交点，交点的坐标是；
当Δ＜0，图像与x轴没有交点.
当a＞0时，图像落在x轴的上方，x为任何实数，都有y＞0；当a＜0时，图像落在x轴的下方，x为任何实数，都有y＜0.
2. 二次函数解析式的确定：
二次函数解析式包括平移型、一般式、顶点式、两根式、翻折型（对称性）.2
已知一个二次函数y=ax+bx+c，要求其图像关于x轴对称（也可以沿着x轴翻折），y轴对称及经过其顶点且平行于x轴的直线对称（也可以说抛物线图像绕顶点旋转180°）的图像的函数解析式，先把2原函数的解析式化成y=a（x-h）+k的形式.（1）关于x轴对称的两个函数的图像的顶点关于x轴对称，两个图像的开口方向相反，即二次项系数互为相反数.（2）关于y轴对称的两个函数的图像的顶点关于y轴对称，两个图像的形状大小不变，即二次项系数相同.（3）关于经过其顶点且平行于x轴的直线对称的两个函数图像的顶点坐标不变，开口方向相反，即二次项系数互为相反数.二次函数是最基本的初等函数之一，也是初中函数的重要内容，它在中学数学中起着承上启下的作用，它与一元二次方程、一元二次不等式的综合运用，是初中代数的重点和难点之一，二次函数及其应用是竞赛考查中的重要内容.另外，二次函数在工程技术、商业、金融以及日常生活中都有着广泛的应用.通过对二次函数的学习，我们能进一步理解函数思想和函数方法，提高分析问题、解决问题的能力.正确掌握二次函数的基本性质是学好二次函数的关键.近年各类考试的考纲要求是：理解二次函数的系数符号与图像之间的关系，通过数形结合，知道二次函数与方程之间的关系；会运用待定系数法灵活选取二次函数的表达式，并能灵活运用二次函数的有关知识解决一些数学问题.
例题精讲【例1】 ［2006年全国初中数学竞赛第一（3）题］Rt△ABC的2三个顶点A、B、C均在抛物线y=x上，并且斜边AB平行于x轴. 若斜边上的高为h，则（ ）.
A. h＜1 B. h=1 C. 1＜h＜2 D. h＞2【答案】 B.【分析1】 本题利用函数的解析式设点A、C的坐标分别为（a，22a），（c，c），再利用勾股定理构造等式关系求解.22【解析1】 设点A的坐标为（a，a），点C的坐标为（c，c）2（｜c｜＜｜a｜），则点B的坐标为（-a，a），由勾股定理，得2222222222AC=（c-a）+（c-a），BC=（c+a）+（c-a），222222222222AC+BC=AB，所以（a-c）=a-c.由于a＞c，所以a-c=1，故22斜边AB上高h=a-c=1. 故选B.【分析2】 本题也可利用二次函数解析式设点A、B、C、D的坐标，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边一半的性质进行求解.【解析2】 由题A、B、C均在抛物2线y=x上，并且斜边AB平行于x轴，
知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D，2
可设 C（a，a），D（0，b），则因斜边上的高为h，2
故h=b-a.
∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，
∴得，2222
∴. 平方得b-a=（b-a），即h=h，
因h＞0，得h=1，是个定值. 故选B.【点评】 本题虽然有两种方法，但共同点都是要利用二次函数的解析式求出所需点的坐标，最后利用直角三角形的相关性质进行求解，相比之下，解析1的解题过程较为简洁.【例2】 （2008年“我爱数学”初中夏令营数学竞赛第二试第32题）如果函数y=b的图像与函数y=x-3｜x-1｜-4x-3的图像恰有三个交点，则b的可能值是___________.【答案】 .【分析】 本题中已知的函数解析式含有绝对值，因而首先考虑分类讨论绝对值中的代数式正负的情况去掉绝对值符号.2【解析】 y=x-3｜x-1｜-4x-3，则
当x=1时，y=-6；当，由图像知，所求b的可能值是-6，.【点评】 本题考查利用分类讨论法去掉绝对值符号，进而通过配方法确定b的可能值. 在解答过程中，学生易在确定定义域处出错，需多加注意.【例3】 ［2009年全国初中数学联赛第二试（A）卷第一题］已2知二次函数y=x+bx+c（c＜0）的图像与x轴的交点分别为A、B，与y轴的交点为C. 设△ABC的外接圆的圆心为P.（1）证明：⊙P与y轴的另一个交点为定点；（2）如果AB恰好为⊙P的直径，且S=2，求b、c的值.△ABC【分析】 本题中需将二次函数转化为对应的一元二次方程，并借助于韦达定理及一元二次函数与x轴交点的距离公式进行求解.【解析】 （1）易求得点C（0，c）.设点A（x，0），B（x，120），则x+x=-b，xx=c. 设⊙P与y轴的另一个交点为D.因为AB、CD1212是⊙P的两条相交弦，它们的交点为O，所以，OA·OB=OC·OD. 故. 又c＜0，则点C在y轴的负半轴上. 从而，点D在y轴的正半轴上.故D为定点，其坐标为（0，1）.（2）因为AB⊥CD.如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称. 所以，【点评】 本题的综合性较强，学生需将函数与几何、代数知识紧密相连来作答.一般情况下，函数的解析式主要被用来求解题所需点的坐标，所以学生可以通过大胆地设所需点的坐标来构造彼此的关系.【例4】 ［2010年全国初中数学竞赛第11（A）题］如右图所2示，抛物线y=ax+bx（a＞0）与双曲线相交于点A、B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.求实数a、b、k的值.【分析】 本题中应先求出反比例函数中k的值，然后通过设B点的坐标来确定直线的函数解析式，并列出直线与y轴围成的三角形面积关系式，进而求出未知数的值，从而求出线段AB所在的直线函数解析式.【解析】 2
整理得2t+3t-2=0，解得t=-2，或（舍去）.所以点B的坐标为2（-2，-2），因为点A、B都在抛物线y=ax+bx（a＞0）上，所以有【点评】 本题重点考查的是用待定系数法求函数的解析式，学生可根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数.【例5】 （2007年全国初中数学联赛第二试A卷第一题）设m、2n为正数，且m≠2.如果对一切实数t，二次函数y=x+（3-mt）x-3mt的图像与x轴的两个交点之间的距离不小于｜2t+n｜，求m、n的值.【分析】 解答这道题的关键在于求出二次函数的图像与x轴的两个交点之间的距离，要求距离就得求出二次函数在x轴上的两个交点，即求出函数所对应的一元二次方程的两个根.2【解析】 因为一元二次方程x+（3-mt）x-3mt=0的两根分别为2mt、-3，所以二次函数y=x+（3-mt）x-3mt的图像与x轴的两个交点2之间的距离为｜mt+3｜.由题意有｜mt+3｜≥｜2t+n｜，即（mt+3）22222≥（2t+n）＝＞（m-4）t+（6m-4n）t+9-n≥0. 又m≠2，所以m-4≠2220. 又（m-4）t+（6m-4n）t+9-n≥0对一切实数t恒成立，则【点评】 本题的考点是两点间的距离公式以及一元二次方程的根的判别式的应用，较为简单，但运算量较大.【例6】 （2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛第13题）如右图所示，点A为y轴正半轴上一点，A、B两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线于P、Q两点.（1）求证：∠ABP=∠ABQ ；（2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60°，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式.【分析1】 （1）本题需过点P、Q作y轴的垂线，垂足分别为C、D，再设直线PQ与抛物线结合建立起x、x的关系，再证线段比PQ例相等得出，由此证得△BCP∽△ADQ.（2）通过（1）的证明得到△ACP∽△ADQ，则对应线段成比例，于是得出，即可将相应数据代入得到直线Q点的坐标.【解析】 （1）如图所示，分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足分别为C、D，设点A的坐标是（0，t），则点B的坐标为（0，-t），设直线PQ的函数解析式为y=kx+t，并设P、Q的坐标分别是（x，y），PP（x，y），QQ
因为∠BCP=∠BDQ=90°，所以△BCP∽△BDQ，故∠ABP=∠ABQ.（2）【解析1】 设PC=a，DQ=b，不妨设a≥b＞0.
由（1）可知∠ABP=∠ABQ=30°，
所以，因为PC∥DQ，所以△ACP∽△ADQ.【分析2】 先设直线的解析式，再由（1）可得到对应角∠ABP=∠ABQ，则可知BQ=2DQ，用点的坐标表示线段的长从而构造出x、Px的关系即可求解.Q【解析】 设直线的解析式为y=kx+t，其中t=1，由（1）得∠ABP=∠ABQ=30°，所以BQ=2DQ，故代入上式，平方并整理得4222
4x-15x+9=0，（4x-3）（x-3）=0. 所以QQQQ【点评】 本题是二次函数与一次函数及几何知识的结合应用. 可联立函数求出交点，同时结合韦达定理.题中还要利用三角形的相似列出对应边的比例关系.题中有两个重要知识点：①若两点关于x轴对称，则纵坐标不变，横坐标互为相反数；②若要证两个角相等，可考虑证两角所在三角形相似或全等.
全能练习A组2
1. 若抛物线y=x-（a-1）x-a+1与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则a的值为（ ）.
A. a=5或3 B. a=5或-3 C. a=-5或3 D. a=-5或-32
2. 若方程x-2ax+4a-3=0的两根均大于1，则实数a的取值范围是（ ）.
A. a≥1 B. 0＜a≤3 C. a≤3 D. a≥32
3. 函数y=-x+px+q的图像与x轴交于（a，0），（b，0）两点，若a＞1＞b，则有（ ）.
A. p+q＞1 B. p+q=1 C. p+q＜1 D. pq＞0
4. （2006年“我爱数学”初中夏令营数学竞赛第二试第8题）设a、b为常数，并且b＜0，抛物线的图像为图中的四个图像之一，则a=__________.2
5. 设实数a、b、c满足，若函数y=ax+bx+c的图像与x轴的交点中有一个定点，那么这个定点的坐标是_____.22
6. 当b≠0时，若抛物线y=x+bx+c与y=-x+cx+b相切，则b、c满足关系式.
7. ［2007年全国初中数学竞赛第11（A）题］已知点M、N的坐标分别为（0，1），（0，-1），点P是抛物线上的一个动点. 判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的位置关系.
8. ［2007年全国初中数学竞赛第11（B）题］已知抛物线C：122y=-x-3x+4和抛物线C：y=x-3x-4相交于A、B两点. 点P在抛物线C21上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线C上，也位于点A和点B之2间.（1）求线段AB的长；（2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值.
9. ［2009年全国初中数学竞赛第12（A）题］在平面直角坐标系xOy中，把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”.求2二次函数y=（x-90）-4 907的图像上所有好点的坐标.
10. （2007年全国初中数学联赛第二试C卷第3题）设a是正整2数，如果二次函数y=2x+（2a+23）x+10-7a和反比例函数的图像有公共整点（横、纵坐标都是整数的点），求a的值和对应的公共整点.B组
1. 已知a、b为抛物线y=（x-c）（x-c-d）-2与x轴交点的横坐标，则｜a-c｜+｜c-b｜的值是（ ）.
A. b-a B. a-b C. b-a或a-b D. b-a、a-b或0
2. 二次函数的图像经过点A（x，0），B（x，0）（x≠x），若1212AB的中点是（p，0），AB的长度是，则二次函数的表达式可以是（ ）.2
3. 如果二次函数y=x+（k+2）x+k+5与x轴的两个不同交点的横坐标都是正的，那么k值应为（ ）.
A. k＞4或k＜-5 B. -5＜k＜-4 C. k≥-4或k≤-5 D. -5≤k≤-42
4. 二次函数y=ax+bx+c，当x取x、x（x≠x）时，函数值相等，1212那么当x取x+x时，函数的值为___________.12
5.（2007年全国初中数学竞赛第8题）已知点A、B的坐标分别为2（1，0），（2，0）.若二次函数y=x+（a-3）x+3的图像与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是__________.2
6. 已知二次函数y=ax+bx+c的图像的顶点是C，它与x轴有两个不相同的交点A和B.2（1）若点C的横坐标是3，A、B两点的距离是8，求方程ax-（6a-b）x+9a-3b+c=0的根；（2）若点C到x轴的距离等于A、B两点的距离的k倍，求证：22b-4ac=16k.2
7. 已知是两位数，二次函数y=x+mx+n的图像与x轴交于不同的两点，这两点间的距离不超过2.2（1）求证：0＜m-4n≤4；（2）求出所有这样的两位数.2
8. 已知抛物线y=ax-（a-1）x+a-1与直线y=1-2x至少有一个交点是格点（在直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点）.试确定整数a的值，并求出这时交点（格点）的坐标.
9. ［2009年全国初中数学竞赛第11（A）题］函数22y=x+（2k-1）x+k的图像与x轴的两个交点是否都在直线x=1的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线x=1的右侧时k的取值范围.
10.［2010年全国初中数学联赛第二试（A）卷第3题］已知二次2函数y=x+bx-c的图像经过两点P（1，a），Q（2，10a）.设二次函数2y=x+bx-c的图像与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C. 如果关于x2的方程x+bx-c=0的两个根都是整数，求△ABC的面积.
第四讲 函数的最值及其应用
知识梳理
1. 一元二次不等式：
2. 自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值的求法.
二次函数.
当a＞0时，抛物线开口向上，此时当时，y随x增大而减小；
当时，y随x增大而增大；当时，y取最小值.
当a＜0时，抛物线开口向下，此时当时，y随x增大而增大；
当时，y随x增大而减小；当时，y取最大值.
3. 自变量的取值范围首先要确定某一范围后求二次函数的最值，并结合图像和增减性来综合考虑.（1）当抛物线的顶点在该范围内时，顶点的纵坐标是函数的最值.（2）当抛物线的顶点不在该范围内时，二次函数的最值在范围内两端点处取得.
4. 实际问题中求二次函数最值的常用方法是通过建立二次函数的数学模型来求解.近年来，函数最值问题是初中数学竞赛中的热点问题，此类问题有着极为丰富的内涵，它涉及的知识面广，综合性强，解法颇具有技巧性.求函数的最值问题一般采用顶点坐标公式、配方法、消元法、数形结合法、均值代换法、参数法、整体设元法等方法.解答这类问题可以根据不同情况的具体特点，采取不同的解题方法，这部分的内容要求学生掌握二次函数与一元二次方程及不等式之间的关系，尤其是会灵活运用函数的最值解决实际问题.
例题精讲【例1】 （2008年“五羊杯”数学竞赛初三第9题）设二次函数2y=ax+bx+c（a≠0）满足：当0≤x≤1时，y≤1.则a+b+c的最大值是__________.【答案】 17.【分析】 本题中所求最大值的条件，就是应在函数可能的取值范围内进行讨论，通过构造满足题设的抛物线的值即可解答.【解析】 如右图所示，由限制条件，二次函数的图像被限制在如右图所示的虚线框里，要想使｜a｜+｜b｜+｜c｜最大，应该尽可能地利用空间，故取过点2（0，1），，（1，1）的抛物线y=8x-8x+1满足题设，且此时｜a｜+｜b｜+｜c｜=17.【点评】 本题的关键是要明确要求最大值的条件，这就要结合函数图像进行解答，因此学生要熟练掌握各种类型的二次函数的图像特点和性质.【例2】 ［2008年全国初中数学联赛第一试第二（3）题］已知2二次函数y=x+ax+b的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为m、n，且｜m｜+｜n｜≤1.设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p、q，则｜p｜+｜q｜=__________.【答案】 .【分析】 本题解答的关键是利用韦达定理表示出m、n的代数关系，并根据根的判别式列出不等式，结合题目中的不等式求解时应注意不等式中等号成立的特殊情况.2【解析】 根据题意，m、n是一元二次方程x+ax+b=0的两根，
∴m+n=-a，mn=b.
∵｜m｜+｜n｜≤1，∴｜m+n｜≤｜m｜+｜n｜≤1，｜m-n｜≤｜m｜+｜n｜≤1.22
∵方程x+ax+b=0的判别式Δ=a-4b≥0，222
∴，4b=4mn=（m+n）-（m-n）≥（m+n）-1≥-1，
故，等号当且仅当时取得，222
4b=4mn=（m+n）-（m-n）≤1-（m-n）≤1，【点评】 本题是考查函数与不等式、方程综合应用的典型例题，也是竞赛题中常出现的试题类型，学生应掌握好三者之间的内在联系，解题过程中，应注意不等式中等号成立的特殊情况.在遇到函数直接求解比较困难时，可考虑整体设元，巧妙结合不等式或一元二次方程根的判别式来解决问题.【例3】 （2009年“五羊杯”数学竞赛初三第19题）a、b都为2有理数，对于函数f（x）=x+2x-1，定义域为［a，b］，（a＜b），值域为［-b，23］，则b=___________.【答案】 2.【分析】 本题根据函数图像可判断出二次函数的单调性，通过数形结合的方法，根据二次函数的对称轴、定义域以及值域对a，b分别从a≤-1≤b，a＜b＜-1，-1＜a＜b这三个方面进行分类讨论.2【解析】 f（x）=x+2x-1的图像如右图所示：（1）当a≤-1≤b时，f（x）在x=-1处取得最小值.所以-b=-2，即b=2. 而f（2）2=2+2×2-1=7＜23，2
所以f（a）=a+2a-1=23，求得a=-6，a=4（舍去）；12（2）当a＜b＜-1时，f（x）在［a，b］上单调递减.
所以
解之可得，但其解为无理数，故舍去.（3）当-1＜a＜b时，f（x）在［a，b］上单调递增，因而2
解之可得：b=-6（舍去），b=4. 所以f（a）=a+2a-1=-4，12
此时Δ=-8＜0，无解. 综上所述，b=2.【点评】 在求函数最值的问题中，学生最好结合相应的函数图像，再根据其所在定义域的单调性来解题.本题中运用到的分类讨论思想也是函数中常见的解题思想，要求学生思考缜密，将各类情况都考虑到位.【例4】 ［2009年全国初中数学竞赛第11（B）题］已知抛物线2y=x与动直线y=（2t-1）x-c有公共点（x，y），（x，y），且1122222x+x=t+2t-3.12（1）求实数t的取值范围；（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.【分析】 本题是将几何问题转化为代数问题来求解，联立函数得到一元二次方程，再根据韦达定理和根的判别式即可构造出不等式.2【解析】 （1）联立y=x与y=（2t-1）x-c，消去y得二次方程2
x-（2t-1）x+c=0， ①
有实数根x、x，则x+x=2t-1，xx=c.121212222
t的取值应满足t+2t-3=x+x≥0， ④12222
且使方程③有实数根，即Δ=（2t-1）-2（3t-6t+4）=-2t+8t-7≥0 ⑤
解不等式④得t≤-3或t≥1.【点评】 在（1）中，主要利用了一元二次方程根的判别式构造含有t的不等式来解答，这也是此题的解题关键.（2）中主要考查了一元二次函数图像在某一确定的范围内来求解函数的最值问题.【例5】 （2000年全国初中数学竞赛第15题）一幢33层的大楼有一部电梯停在第1层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第1层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）【分析】 设电梯停在第x层，在第1层有y个人没有乘电梯而直接上楼，那么首先用x、y表示出不满意总分的函数关系式，再用配方法求取最值.【解析】 由题意易知，这32个人恰好是第2层至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数.事实上，设住s层的人乘电梯，而住在t层的人直接上楼，s＜t，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意的总分减少s＞t.设电梯停在第x层，在第1层有y人没有乘电梯即直接上楼，那么不满意的总分为：
当y=6时，x=（6+102）÷4=27时，s取最小值为316.【点评】 本题通过实际生活中的函数模型问题来求函数最值，解此类题型时需合理设未知数来构建函数，再结合函数的性质进行求解，往往能使问题迎刃而解.
全能练习A组2
1. 对于任意实数x，不等式kx-kx-1＜0恒成立，则（ ）.
A. -4＜k≤0 B. -4≤k＜0 C. -4＜k＜0 D. -4≤k≤022
2. 使关于x的不等式（a-3）x-3x≥a-2a成立的x的最小值是-1，则a的值是（ ）.
A. -1或0 B. -1或1 C. 0或1 D. 0或-1或124422
3. 已知a为自然数，不等式ax-（a+1）x+a＜0的整数解有（ ）个.
A. 2a-2 B. 2a-1 C. 2a D. 2a+12
4. 已知一元二次不等式ax+bx+c＞0的解为，则不等式2cx+bx+a＞0的解为___________.2222
5. 若实数x、y满足条件2x-6x+y=0，则x+y+2x的最大值是（ ）.
A. 14 B. 15 C. 16 D. 无法确定2
6. 已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）中的a、b、c同时满足下列22条件：（1）x-2是方程ax+bx+c=0左边的一个因式；（2）ax+bx+c除2以x+2的余数是-4；（3）ax+bx+c与-6的差能被x+1整除.则二次函数2y=ax+bx+c存在（ ）.222
7.（1）已知实数x、y、z满足xy+yz=10，则x+5y+4z的最小值为________.22（2）若x、y为实数，且，则x-2xy+4y的取值范围是_____.2
8. 方程x+（2m-1）x+（m-6）=0有一根不大于-1，另一根不小于1.（1）求m的取值范围；（2）求方程两根平方和的最大值与最小值.
9. 有2n名男生和n名女生参加象棋比赛，任何两人都要互相比赛一场.全场比赛结束后，发现比赛中没有平局，并且女生赢得的比赛总场数与男生赢得的比赛总场数之比为7：5.请问：共有多少名男生参加比赛？2
10. 已知a、b、c是正整数，且抛物线y=ax+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值.B组
1. （2008年潍坊中考试题）若一次函数y=（m+1）x+m的图像过2第一、三、四象限，则函数y=mx-mx（ ）.
2.（2008年山东省泰安中考试题）函数的图像如右图所示，下列对该函数性质的论断不可能正确的是（ ）.
A. 该函数的图像是中心对称图形 B. 当x＞0时，该函数在x=1时取得最小值2 C. 在每个象限内，y的值随x值的增大而减小 D. y的值不可能为1
3.（2008年浙江台州中考试题）如右图所示，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：米）与小球运动时间t（单位：秒）的函数关系式是h=9. 28t-4.9t，那么小球运动中的最大高度h最=_____米.大
4.（2003年“信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数2y=ax+bx+c（其中a是正整数）的图像经过A（-1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为___________.2
5.（全国初中数学联赛试题江西赛区试题）函数y=x-2（2k-1）x2+3k-2k+6的最小值为m，则当m达到最大时x=___________.
6.（北京市八年级数学竞赛试题）已知a、b均为正数，且a+b=2，的最小值为___________.
7.（2008年四川省泸州中考试题）如2右图所示，已知二次函数y=ax+bx+c的图像经过三点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），它的顶点为M，且正比例函数y=kx的图像与二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点.（1）求该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；（2）已知点E（2，3），且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自变量x的取值范围；（3）0＜k＜2时，求四边形PCMB的面积S的最小值.
［参考公式：已知两点D（x，y），E（x，y），则线段DE的1122中点坐标］2
8.（2008年濮阳中考试题）如图所示，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且x=0和x=4时，y的值相等.直线y=4x-16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M.（1）求这条抛物线的解析式；（2）P为线段OM上一点，过P作PQ⊥x轴与点Q.若点P在线段OM上运动（点P不与点O重合），设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果S有最大值，请求出S的最大值，并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由；（4）随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO=OC？如果存在，请求出t的值.2
9.（太原市竞赛题）已知二次函数y=x-x-2及实数a＞-2，求：（1）函数在-2＜x≤a的最小值；（2）函数在a≤x≤a+2的最小值.
10.（湖北省荆州市初中数学联赛试题）已知二次函数的图像与x轴的交点为A（x，0），B（x，0），其顶点横坐标为，1233设t=x+x .12（1）试用a把t表示出来；（2）问实数a取何值时，t取最小值，最小值是多少？
课外园地
数学与生活、数学与其他科目的联系越来越被人们所重视，充分体现了数学知识的普遍运用和数学思想的重要意义.中考试题中，很多新题型不断涌现，各种考题背景让人目不暇接.其中，以经典故事为背景的试题也随之走进考场.乌鸦喝水与一次函数【例】 （吉林）小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作：
请根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球量筒中水面升高的高度（厘米）；（2）求放入小球后量筒中水面的高度y（厘米）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？【解析】 认真观察图形，充分从图形中获取解题信息.（1）由第二个量筒放入3个球时量筒中的水上升6厘米，因此，放入一个小球筒中水面升高2厘米.（2）设一次函数为y=kx+b，由第一、二两个量筒的数据，当不放小球（x=0）时，量筒高度y=30；当放3个小球（x=3）时，量筒高度y=36，代入y=kx+b可以求出k、b，解得k=2，b=30，从而y=2x+30.（3）量筒有水溢出，即量筒中水升高y大于量筒的容量49，即2x+30＞49，解得x＞9.5，因此至少放入10个小球就有水溢出.【反思】 其一，数学知识在生活中处处可见，应该用浓厚的兴趣投入数学学习.数学是生产和生活中十分重要的学科，它不仅练就了思维，让人聪慧，还是科学研究的基础学科.其二，数学的学习重在理解数学知识的本质，而不是简单的模仿.对于这个背景鲜活、图文并茂、生动有趣的试题，我们不禁反思：数学的学习是生动有趣的，学习中应该发挥主动性，积极思考，理解问题的本质，勇于创新，而不是简单机械地模仿和记忆.其三，解题的关键是如何从题目中获取有用的信息.此题的解题信息和数据完全在“量筒身上”，与平时熟记图像信息、文字信息、表格信息不同，需要理解题意，从题目的实际中获取解题信息.
第三章 多边形专题
第一讲 平面几何中的边角关系
知识梳理
1. 三角形是最简单的几何图形，它是研究其他几何图形的基础，平面几何中的边角关系往往最终归结于三角形的边角关系.而三角形的边角关系主要有：（1）边与边的关系：任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边（推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和）；（2）角与角的关系：三角形的内角和等于180°，任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和［推广到任意多边形：n边形内角和=（n-2）×180°］；（3）边与角的关系：在一个三角形中，等边对等角，等角对等边，大边对大角，大角对大边.
2. 线段的比、积、幂关系的求证方法：（1）比例的基本性质：（2）相似多边形性质：对应线段成比例，面积比等于相似比的平方；（3）直角三角形中成比例线段定理（射影定理），如下图所示：（4）三角形内（外）角平分线性质，如下图所示，在△ABC中，（5）圆中成比例线段定理（即圆幂定理），如下图所示，若A、2B、C、D四点共圆，AB、CD交于P，则PA×PB＝PC×PD＝PT（PT切圆于T）；（6）正弦定理：如下图所示，在△ABC中，各边和它的对角的正弦比相等，即（7）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜222边为c，那么a+b=c；其逆定理：如果三角形的三边长为a、b、c，222满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形；勾股定理及其逆定理的推论：
在△ABC中
3. 线段或角的相等关系的求证方法：（1）利用全等三角形、等腰三角形、平行四边形或相似多边形证明；（2）利用等量代换证明；（3）利用平行线的性质或利用比例关系证明；（4）利用圆中的等量关系等证明.
4. 线段或角的和差倍分关系的求证方法：（1）转化为相等问题，如果要证明线段a=b±c，可以先作出线段p=b±c，再去证明a=p，即所谓“截长补短”，角的问题仿此进行；（2）直接用已知的定理，例如：中位线定理；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角之和；圆周角等于同弧所对圆心角的一半等.
5. 两线平行（三点共线）与垂直的求证方法：（1）利用两线平行与垂直的判定定理；（2）利用平行四边形的性质可证明平行；（3）利用等腰三角形的“三线合一”可证明垂直；（4）利用比例关系可证明平行；（5）利用勾股定理的逆定理可证明垂直等.三角形的边角关系是继续学习其他平面几何图形边角关系的基础，在竞赛中一般是渗透在其他几何图形中考查. 其中，三角形三边关系是求第三边取值范围和证明线段之间的不等关系的基础，一般以选择、填空等题型为主，
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]