作者：任念兵
出版社：华东师范大学出版社
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数学欣赏十五讲试读：
前言
2014年，教育部颁布了《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，其核心是落实好立德树人根本任务，而制定“学生发展核心素养体系”就是其中的关键环节.具体到高中数学教育领域，如何培育学生的数学核心素养就成为当前数学教育理论界和一线教师们讨论的热点话题.
然而，当前的数学教学存在“重术轻道”的倾向.教师在日常教学中，重解题技能技巧的训练，轻普适性思考方法的概括，导致学生机械模仿多、独立思考少，数学思维层次不高；讲逻辑而不讲思想，强调细枝末节多，关注核心知识少，关注明确知识多，强调内容所反映的思想方法少，对学生数学素养的提高不利.
著名数学教育家张奠宙先生近些年来不遗余力地提倡在课堂教学中引导学生进行“数学欣赏”，既注重欣赏数学的人文意境，又突出理解数学的理性精神，最终的目标指向是培育学生的数学素养.笔者学习相关理论，探索注重内容联系、突出核心素养的高中“数学欣赏”校本课程的开发与实践，取得了一定的教学实效.
一、“数学欣赏”校本课程的理论探索
张奠宙先生认为数学欣赏的教学设计，应从真、善、美这三个层面加以展开.数学的“真”，是和数学所使用的逻辑演绎方法密切相关的，需要教师有意识地启发、点拨、解释，才能使学生领悟形式化表达的背后掩盖着的思想方法和文化底蕴，既讲推理又讲道理.数学以独特的方式为人类文明的发展服务，这是数学“善”的表现，需要在教学中通过建立数学模型来体现数学的应用，揭示数学概念的内在本质、数学定理（公式）的应用价值以及数学思想体系的深远意义.“美”，包括外在美和内涵美，体现数学思维内在之和谐，欣赏数学的美需要数学思想的揭示和数学意境的营造.
高中数学课标修订组组长史宁中教授认为，数学教育研究的基本研究单位是知识团，即具有明确逻辑关系的知识点的集合.对于数学的内容，很难通过一节课或一个知识点就把数学的本质表述清楚，只有把一些具有逻辑联系的知识点放在一起进行整体设计，才能在关注知识技能的同时，认真思考数学的本质、体现的数学思想，培养学生的数学核心素养.
人民教育出版社“主要国家高中数学教材核心概念、技能及重要思想方法的比较研究”课题研究指出，国内外的高中数学教材都是围绕着核心概念展开的.在一个概念体系中，有些概念处于核心位置，其他概念或由它生成，或与它有密切的联系，我们称这些概念为核心概念.把握住数学的核心概念（包括重要的子概念），就抓住了数学知识的根本，掌握了知识增长的源泉.课堂教学应紧紧围绕某些核心概念（或重要子概念），数学欣赏的关键就是欣赏数学核心概念.
在上述理论观点的指导下，笔者确定了基于数学核心概念开发“数学欣赏”校本课程的基本思路.
1.以若干专题的形式来编写教材
以若干专题构成教材，不苛求知识的系统性，以点带面地引导学生欣赏数学的“真、善、美”.由于数学学科独特的结构性、某一知识的单薄性就决定了不可能就某一个知识点开发出揭示数学“真、善、美”的丰富的数学欣赏的素材来，而是要统整高中数学学科的知识内容，将零散的学习内容集中起来进行专题开发，放大某个数学本质，凸显某种数学价值.而鉴于“核心概念”在教材体系中的重要性，每个专题都应紧紧围绕着某个核心概念（或重要子概念）.
2.按照结构化原则组织内容
张奠宙先生倡导的数学欣赏，都是把学习过的教学素材按照研究的主题（核心概念）集中在一起让学生重新欣赏，为了在这种复习中提升对相关主题的认识层次，避免简单地炒冷饭，就需要对选择的教学素材进行适当的组织.按照结构化原则编写教材，关键是要加强概念之间的联系.具体地说，每节课都围绕一个中心论题（核心概念或重要子概念）展开教学，将概念组织为具有层次性、立体化的结构体系，精心组织相关的数学素材，使相应的核心概念（及其反映的重要思想）成为一个有机整体，使学生形成逻辑关系清晰、联系紧密的概念序列，从而形成功能强大的数学认知结构，切实发展数学能力，提高数学素养.
比如，在欣赏“角”时，通过对空间中“线面角”“面面角”的两种理解（可以看成是“线线角”的最值、通过平面的法线可以转化为“线线角”）来阐述角概念的内涵，通过“有向角”来说明角概念的外延，通过直线的倾斜角与斜率的关系来认识角概念的多元表征.
3.揭示概念背后的理性精神
关于“数学的理性精神”没有严格的定义，常见的叙述有： 数学理性是一种对周围的事物客观的、定量的看法，一种有理有据地推理、论证的思维，一种不迷信权威、坚持真理的精神.言必有据，永远不把所谓不言自明的定律视为必然，是理性精神的最自然而本质的体现.欣赏数学的理性精神，可以从提炼数学的思想方法的过程中去领悟、体会.
在教学中再现数学概念发生发展过程中的火热思考，可以运算、函数、距离、角、向量等核心概念为贯穿数学教学过程的“灵魂”，通过数学欣赏，将数学的学术形态（形式化的演绎体系）转换为学生易于接受的教育形态，揭示贯穿数学知识体系中的数学思想方法.具体的形式有： 深入挖掘，直接揭示；内容展示，归纳提炼；回顾总结，自我感悟.
比如，在欣赏“方程”时，提出“二分法求根”中蕴藏着存在性和逐步逼近的思想；在欣赏“有向度量”时，归纳各种有向性概念的表征，可以发现“有向”实际上体现的是概念抽象统一的价值；在欣赏“无限”时，通过全方位梳理教材中的无限（无穷）的概念、现象等，感悟有限与无限的思想.
二、“数学欣赏”校本教材的内容开发
数学欣赏素材的收集和欣赏专题的开发是设计数学欣赏的根本.笔者梳理了上海高中数学教材中的所有内容（主要是代数和几何，部分内容涉及导数知识），选取了背后蕴藏着丰富的数学思想方法和数学欣赏素材的若干概念，依次开发了数学欣赏十五讲.
1.数学欣赏专题的确定
本课程开发的数学欣赏专题中，除第1讲是总论外，另外14个专题分别为： 对数、方程、向量、周期性、单调性、最值、距离、角、对称、有向度量、二项式、运算、不变量与不变性、无限.选取这些概念作为专题，主要由于这些概念具有很强的生长性，是贯穿某些知识模块的逻辑主线，深入理解这些概念对提升学生的数学素养具有重要价值.
从选取的概念在概念体系中的地位来看，向量、距离、角、运算等在高中阶段充当着核心概念的角色；二项式定理是重要的代数恒等式，周期性、单调性、最值是函数（数列）的重要性质，方程反映着代数的原始意义，对数与运算、函数两大核心概念相联系，所以它们都是重要的子概念；而无限、不变量与不变性、对称、有向度量等在初等数学和高等数学中都是极为重要的概念.
从选取的概念在高中数学教材中出现的位置和频数来看，这14个专题可以分为三个层次： 围绕比较单一的概念，比如对数、方程、向量、二项式、周期性、单调性、最值；涉及某个知识团或者模块的概念，比如无限、距离、角；贯穿整个高中数学的概念，比如对称、有向度量、运算、不变量与不变性.数学欣赏的重要维度是联系，上述三个层次将欣赏从“孤立地欣赏某个概念、某个定理”的较低层次，逐步推广到“结构化和系统化的层次”.
2.数学欣赏素材的选择
围绕着某个核心概念，本课程主要从本源性问题驱动、数学内在逻辑建构两个视角切入来选择素材，除此之外，还注重促进西方数学与中华文化的交流与整合.
首先，对于构造性强、思维跨度大、方法创新程度高的教学内容，可以让学生欣赏数学的探索发现的过程，通过概念发生发展历史中的关键节点，了解数学概念经历的由“火热的思考”到“冰冷的美丽”的演变过程，促进学生的数学理解，发展数学能力.比如，在欣赏“对数”时可以介绍对数发展史的关键节点.
其次，数学欣赏要引导学生学会数学地思考问题，充分挖掘数学的内在力量.一方面是对选取的概念进行系统的剖析（内涵、外延、各种表征），一方面是选取与概念对应的“好题”，通过解题帮助领悟核心概念所蕴含的数学思想方法.
最后，如何看待中国传统文化的现实意义，是当前的一个理论热点.我国当前基础教育阶段的数学课程，并非中国古代数学的延伸，而是全盘从西方引入的.因此，将西方数学与中华文明进行适度整合，从中华文化的角度来诠释西方数学，是一项值得思考的课题.比如，在欣赏“无限”时，笔者列举了与数学中研究“无限”的方法有意境相通之处的若干名句.
需要特别强调的是，校本教材中各专题紧紧围绕高中数学教材中的核心内容，大部分素材都取自教材、高考题（竞赛题）等，只在数学发展史、人文意境等方面适当补充其他材料.
3.数学欣赏案例的设计
在数学欣赏各专题的案例设计中，问题要有挑战性.在信息时代仅靠一些小故事难以吸引学生，学生们通过网络都能知道，而且不同层次的学生对素材的敏感度也不同.因此，在具体问题的设计上，可以从数学发现的历程、数学研究的脉络、数学问题的延拓等方面设计问题，整合素材.比如，欣赏“最值”时可以对比数学、物理两种思路在处理最值问题中的差异，激发学生探究、欣赏的欲望.
另外，在欣赏概念的人文意境时，需要加强数学与文学、历史的沟通，成语、谚语、古代经典著作中的名句等都是数学欣赏可资借鉴的材料.比如，在欣赏“周期性”时可以介绍明朝皇族姓名中的周期性现象，增加学习的趣味性.
三、“数学欣赏”选修课的实践与反馈
近三年来，笔者一边搜集素材、开发欣赏专题，一边尝试开设校本选修课.学校对每门选修课的选课人数设置了上限，每学期选数学欣赏课程的学生数都达到了上限，说明此类课程颇受学生欢迎.
每学期课程结束时，笔者都向学生发放调查问卷，收集有关校本选修课教学内容、学习评价方式等方面的反馈信息，并根据学生反馈对课程做相应调整.
1.课程开设时机
许多数学概念和数学思想，刚开始接触时没有办法说透，真正的欣赏是在基本的理解和掌握的基础上才会产生的.从这个意义上说，数学欣赏，是在基本理解的基础上做进一步的深入理解.所以，数学欣赏选修课应在大部分高中数学内容已经学完的条件下开设，考虑到一线教学的实际，高二第二学期最为适宜.在校本教材编写时，涉及高二第二学期知识点的内容尽量放在课程的后面几讲，大致配合必修课教学的进度，这也是校本教材中专题顺序的编排依据.
2.课程教学内容
在本课程开发的过程中，笔者根据学生的反馈不断调整校本教材的整体框架和专题内容.在第一期教学中，笔者曾想覆盖高中数学的所有主干知识模块，但根据某些模块开发的专题不够吸引学生，比如“欣赏三角”可以与物理中的波、高等数学的傅里叶级数联系起来，但是不适合高中生，能够融合进该专题的素材不是很多，学生反馈这些素材中只有一些感性的评价、缺乏有深度的相关问题.这些被学生评价所“否定”的数学欣赏专题最终都被舍弃.
在近三年的教学实践中，根据学生的各种反馈，笔者最终确定了教材编写的基本框架，即围绕某些核心概念（或重要子概念）开发数学欣赏专题，以点带面地引导学生进行数学欣赏；确定了内容开发的基本思路，即按照一定视角选择素材、设计有思维挑战性的案例，通过适当地取舍，最终形成了现在的校本教材《高中数学欣赏十五讲》.
3.学生学习评价
数学欣赏可以在数学学习的任何层次上开展，而不同的知识层次和观赏力会产生不同的欣赏体验和效果.解读数学的人文意境，可以从情感上给予“重文轻理”的学生一些正能量，让数学变得更容易亲近一些.而欣赏数学思想方法和内在逻辑，可以通过回味、反思使得数学思维得到理性的升华，是数学优秀生的“饕餮大餐”.
因为不同的学生处于不同的欣赏层次，所以需要对学生在数学欣赏选修课上的学习进行开放的评价，这种开放性重点体现在考核方式上.笔者要求学生在学期末交一份作业（任选一种体裁）： 写一篇数学欣赏的小文（可以是读书笔记、上课感受等）、编一道值得欣赏的数学题（可以是改编做过的一道好题）、做一个数学小课题（可以是通过数学建模解决实际问题）.学生反馈中最认可的考核形式是写篇数学欣赏小文.
4.教学实践效果
立足于高中数学教材内容的数学欣赏校本课程，对于“教”与“学”都是较大的挑战，其主要影响体现在提升学生数学素养、促进教师专业发展两大方面.
数学欣赏校本课程受到了学生的欢迎，从每学期课程结束后的访谈中，笔者感受到： 数学欣赏教学立足于核心概念（或重要子概念），通过结构化教学，整合体现数学思想方法的素材，能够帮助学生对数学知识和技能进行系统化、概括化，系统化、概括化的结果就成为数学能力，而数学能力是数学素养在数学活动中的外化形式.所以，数学欣赏除了激发学生学习兴趣，改进学习方法外，还可以在一定条件下提高学生的数学素养.多位选修“数学欣赏”校本课程的同学，在笔者指导下做了数学小课题研究.2018届徐毓阳、唐泽辉等同学的小课题分别获得了“上海市青少年科技创新大赛”一、二等奖；2017届顾臻、杨悦然等多位同学撰写的数学欣赏小论文发表于《新高考》等省级刊物.
数学欣赏的案例，没有现成的设计，需要课程开发者通过学习和钻研，自己去发现和提炼，这对教师的专业素养提出了较高的要求.除了具有丰富的数学教学经验和扎实的数学功底外，还应具备一定的文史功底（包括数学史）.笔者在近三年的课程开发过程中，不断阅读和思考、开发数学欣赏的案例，专业素养得到较大的提升，已经在《数学通报》（核心期刊）、《中学数学教学参考》、《教育研究与评论》等刊物上共发表“数学欣赏”教学研究论文10篇，其中2篇被人大复印资料《高中数学教与学》全文转载.笔者主持的上海市青年教师教育教学研究课题《高中数学欣赏校本课程的开发研究》获上海市教委教研室组织的课题评选二等奖.
在本课程开发和校本教材编写过程中，张奠宙、章建跃等先生通过面谈、邮件和微信等形式给予诸多指导，让我明确了课程开发的宏观框架和逻辑主线.在课题研究方面，浦东教育发展研究院的周宁医、胡少舜老师提供了很多方便和建议.在论文撰写方面，《教育研究与评论》编辑部的顾俊老师、《中学数学教学参考》编辑部的周倩老师不厌其烦地修改我的稿件，提升了我对某些相关问题的认识层次，在此向他们致谢！
在教材编写过程中，我参考了不少前辈和同行的已有研究成果和心得，重要的相关文献都列在“参考文献”中，在此一并向各位原作者致谢！
由于水平有限，再加上时间仓促，虽然已经在极力避免，但书中不免仍有不少疏漏和错误，欢迎读者朋友批评指正.联系邮箱： rennianbing@hsefz.cn.任念兵2018年6月于上海张江
第1讲 数学欣赏略论
所谓“欣赏”，《辞海》的解释是“领略玩赏”，《现代汉语词典》的解释是“享受美好的事物，领略其中的趣味”.数学欣赏，是一种高级的思维活动和特殊的实践活动，以一定深度的数学理解、数学习得和数学认知为前提，并依托于欣赏者的科学素养、文化修养等，能够增进对数学概念、知识和思想的理解.
数学欣赏，欣赏什么？
数学欣赏的前提是对数学知识必须有一个真正的认识，融会贯通之后，才能在一定层次上进行欣赏.许多数学概念和数学思想，刚开始接触时没有办法说透，真正的欣赏是在基本的理解和掌握的基础上才会产生的.从这个意义上说，数学欣赏，是在基本理解的基础上做进一步的深入理解；高中数学欣赏，是按照某种视角对高中数学内容的一次重新梳理和复习.
具体说来，数学欣赏的视角包括：对比分析，体察古今中外的数学理性精神；提出问题，揭示冰冷形式后面的数学本质；梳理思想，领略抽象数学模型的智慧结晶；构作意境，沟通数学思考背后的人文情景.换句话说，数学史、数学问题、数学应用、数学的人文意境是数学欣赏素材选择的基本内容.
数学欣赏，如何欣赏？
李邦河院士指出，“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也”，数学欣赏自然应该立足于数学概念的欣赏.在一个概念体系中，有些概念处于核心位置，其他概念或由它生成，或与它有密切的联系，我们称这些概念为核心概念.由核心概念生长出来的概念称为子概念.把握住数学的核心概念（包括重要的子概念），就抓住了数学知识的根本，掌握了知识增长的源泉.鉴于数学核心概念在增长数学知识、发展数学能力上的中心地位，数学欣赏的每个专题都将紧紧围绕某个核心概念（或重要的子概念）.
现代学习理论研究表明，理解性学习的关键在于建构知识之间的联系，而理解的程度则由联系的数目和强度决定.从这个角度来看，数学理解的本质就是数学知识的结构化、网络化和丰富联系．
基于此，校本课程“高中数学欣赏”，将围绕高中数学核心概念（或重要子概念），精心组织相关的素材，使相应的核心概念及其反映的重要思想成为一个有机整体；以专题的形式展开教学，让同学们经历“从表面到本质——理解概念的内涵与外延”“从抽象到具体——把握概念的不同表现形式”“从孤立到系统——认识概念之间的关系、联系，将概念组织为具有层次性、立体化的结构体系”的过程，形成逻辑关系清晰、联系紧密的概念序列.
简单地说，校本课程“高中数学欣赏”区别于基础课程的基本特征是，注重概念之间的联系，寻求知识和方法的内在统一，实现教学内容的跨学科整合，希望能站在系统的高度，给同学们带来心灵的震撼，让大家受到数学理性思维和精神的熏陶和洗礼，从而提升数学理解水平和数学素养.
本讲将从学科整合的角度，谈谈如何建立数学内部和外部的广泛联系，实现“从具体的解题方法走向数学的系统价值”.
1.谋求数学概念的本质统一
在数学学习的每个新阶段，为什么要引入某个数学概念，应按照怎样的逻辑思路对研究对象展开研究？“高中数学欣赏”课程从本源性问题驱动、数学内在逻辑建构两个视角切入来选择素材，深度挖掘教材中各种数学概念、结论等背后的隐性知识，围绕核心概念谋求各种相关概念的本质统一.比如，对数概念产生的本源性问题决定了其本质在于“化乘、除运算为加、减运算”；方程知识网络的逻辑主线反映了其本质在于“在还原与对消中寻找不变量”.
再举一例.“坐标”是高中数学的重要概念，坐标系不仅仅可以“确定位置”，其本质在于表述数学对象（坐标表示点、方程表示曲线），为研究函数（曲线）服务.我们知道，平面直角坐标系中点与坐标一一对应，平面极坐标系中一个点对应着多个坐标.从逻辑的角度我们很自然地提出问题：在什么样的坐标系中多个点对应着一个坐标？下面的例子便可以回答这个问题，进而实现坐标概念的本质统一.
例1：（2006年高考上海卷）如图1-1，平面中两条直线l和l相交12于点O.对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线l和l的距离，12则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”.已知常数p≥0，q≥0，给出下列三个命题：图1-1
① 若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；
② 若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2个；
③ 若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个.
上述命题中，正确命题的个数是（ ）（A）0 （B）1（C）2 （D）3
解：这里，“距离坐标”为（0，0）的点只能是两条已知直线的交点，故①正确；
若pq=0且p+q≠0，则“距离坐标”为（0，q）的点有2个（与直线l的距离为q的两条平行直线与直线l的交点），“距离坐标”21为（p，0）的点也有2个，故②正确；
若pq≠0，“距离坐标”为（p，q）的点是两组平行直线的交点，有4个，故③正确.故选D.
2.挖掘数理方法的内在联系
物理与数学如同一对孪生兄弟，无论从产生历史还是发展现状来看，两者都联系紧密、不可分割.物理中的许多问题需要数学模型、数学方法去处理；同时，物理原理也为某些数学问题的研究提供了新的思想和方向.在“高中数学欣赏”课程中，注重数学与物理（包括化学等理科）的相互渗透，沟通学科间知识和思想方法的内在联系，对提升同学们的科学素养和综合运用能力都具有积极作用，同时也符合高考命题“综合化”的改革趋势.
物理、化学的某些原理和数学知识之间具有某种“相似性”.最典型的例子就是物理中的楞次定律、化学中的勒夏特列原理和数学中的图形变换三者之间的内在联系.物理中的楞次定律说的是“感应电流具有这样的方向，即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量变化”．勒夏特列原理说的是“如果改变影响平衡的一个条件，平衡就向能够减弱这种改变的方向移动”.在数学中有类似的现象：若方程F（x，y）=0在x（或y）上加或减，则方程对应的图形就沿x轴（或y轴）向能够减弱这种改变的方向平移.比如，由到，图形（双曲线）沿着x轴向负方向（向左）平移2个单位，沿着y轴向正方向（向上）平移3个单位.
在解物理题时，常常会利用一些数学公式；其实，有些数学问题也可以利用物理知识加以解决，这也从一个侧面展示了数学与物理的联系与和谐.
例2：体积相等的正方体、球、等边圆柱（即底面直径与高相等的圆柱）的表面积分别为S，S，S，则它们的大小关系是（ ）123（A）S＜S＜S （B）S＜S＜S （C）S＜S＜S 123132231（D）S＜S＜S321
解：（联想物理模型）落在荷叶上的水珠由于液体表面张力的作用，最终总是接近为球形（如果处于失重状态，将严格的为球形）.液体表面张力使液体表面尽量收缩为最小的表面积（球形），所以在等体积的正方体、球、等边圆柱中，球的表面积S最小；而正方体2接近于球的程度最差，表面积S最大；等边圆柱居中，于是S＜S123＜S，故选C.1
例2的数学解法是：首先分别设正方体的棱长为a、球的半径为R、圆柱的高为h和底面半径为r，根据三者的体积相等，得到a，R，h，r满足的关系式，然后再比较三者的表面积，计算过程较为繁琐，而且这样的数学计算难以洞察该问题的本质，不如物理模型的解释来得简捷、深刻.
极值问题是实现数理结合的最有效载体，很多涉及极值的问题，往往都有物理和数学两种解决方案.其中，物理方法强调最终结果和状态，重点研究临界值，解答过程较为简洁，且有明确的实际意义；而数学方法的解答过程较为繁琐，但更能够反映事物变化的整个过程.体会物理方法与数学方法的异同，对多种解法进行比较，可以开拓思维视野、明确问题的本质.
例3：如图1-2，由A城运货到B城，先走一段水路AD，再走一段公路DB，已知水路运费是公路运费的一半，AC=40km，BC=30km，问码头D应建在何处才能使运费最省?图1-2
解：（数学方法）设变量，建立目标函数，求函数最值.
方法①：设AD=x，则易知DB=，接着利用导数知识求的最值，下略.
方法②：设∠BDC=α，则，接着可以利用辅助角公式求的最值，下略.（物理方法）利用物理学中光的全反射知识.
设上方折射率（水路运费）为n，下方折射率（陆路运费）为1n，设光从B入射到D的入射角为θ时，对应的折射角为90°（先走一2段水路AD，再走一段公路DB）.由费马原理知，此时光传播的路程最短（运费最省）.由光的全反射条件得，解得θ=30°.如图1-2，CD=BCtan30°，代值计算得.
因此，把码头D建在距A城约22.68km的地方运费最省.
由例3不难发现，数学方法的关键是建立目标函数，反映出了由于变量变化而导致函数值变化的整个过程和趋势；而物理方法只研究临界状态（全反射条件），计算简洁明快.
3.注重文史内容的数学解读
数学与理科的内在联系很多，与文史学科的相通之处也不少.比如，《诗经》中的“赋比兴”修辞手法与数学中的“类比”思想方法相通，诗词中的“对仗”与数学中的“对称”都体现了一种“变化中的不变性”.在“高中数学欣赏”教学中，注重人文意境的数学解读或者用数学素材创作文学作品，都可以帮助同学们（尤其是擅长文史学科的同学）在文理交融中提升对数学的兴趣，增进对数学的理解.诗歌作为短小灵活、审美价值较高的文学体裁，可以作为文理沟通的主要载体.
一方面，我们可以对诗歌（尤其是古典诗词）进行数学解读.比如，南唐后主李煜的《浪淘沙·怀旧》中有句“别时容易见时难”，与之相对应的数学解读是：代数式的展开容易，但是因式分解往往比较困难，密码构造的基本原理就是利用质因数分解的困难.唐朝诗人白居易的《卖炭翁》中有句“可怜身上衣正单，心忧炭贱愿天寒”，与之相对应的数学解读是：在矛盾中（一定条件下）寻求最优解（所谓的“优化”）.耳熟能详的诗句和数学模型看起来毫不相干，但是用数学的眼光去欣赏诗词的精美，用数学的“实”和诗歌的“虚”在意境上相连，则别有一番情趣．
例4：唐朝诗人王之涣在《登鹳雀楼》中有诗句“欲穷千里目，更上一层楼”，从数学角度解读，可以通过建立数学模型分析“欲能看到千里远，到底需登几层楼”.图1-3
如图1-3，将地球看成球体，半径R=OA=6370km.视线PA与大圆O相切，有OA⊥PA，PA=1000里=500km．设楼高PB=xkm，在Rt△222AOP中由勾股定理得（x+6370）=6370+500，得x=19.59（km）．若每层楼按3.3m计算，则楼的层数为19593÷3.3=5937层，所以“欲穷千里目，更上5937层楼”才行.
另一方面，以数学概念及其内涵作为诗歌的素材，形成的所谓“数学诗歌”，也是数学与文学交汇的一种形式，可以增加学习内容的趣味性.
比如，英国著名形而上学诗人安德鲁·马佛尔（Andrew Marvell，1621～1678）善于通过圆规、欧氏几何中的平行线之类的数学概念来类比爱情.他在一首经典的数学诗歌《爱的定义》中写道：“象直线一样，爱也是倾斜的/它们自己能够相交在每个角度/但我们的爱确实是平行的/尽管无限，却永不相遇”.
又如，台湾理想和反抗诗人曹开（1929—1997，自号“小数点”）善于将数学元素注入诗中，起到用日常词汇难以表达的效果.他在数学诗《不同的运算》中写道：
你们选择了“无穷大”/我挑选了“小数点”/
你们顽守虚根/我拥护真数/
你们争相“加减乘除”/不休止地互套括弧/
而我按公理整合矛盾方程式/冷静地自我因式分解
这首诗中的数学元素，非但没有破坏诗的意境，反而更好地表达了诗人关于渺小的存在感叹.
拓展阅读与练习
1.数学歌词欣赏.悲伤的双曲线
如果我是双曲线 / 你就是那渐近线 /
如果我是反比例函数 / 你就是那坐标轴 /
虽然我们有缘 / 能够生在同一个平面 /
然而我们又无缘 / 慢慢长路无交点 /
为何看不见 / 等式成立要条件 /
难到正如书上说的 / 无限接近不能达到 / 为何看不见 /
明月也有阴晴圆缺 / 此事古难全 / 但愿千里共婵娟 /
这首《悲伤的双曲线》，是2006年大学校园流行歌曲.歌词作者王渊超毕业于上海外国语大学，他掌握的数学知识并不多，却能匠心独具，准确地把握双曲线的特殊的位置关系，巧妙地运用诗的表现手法，创作出了风靡一时的流行歌曲.
2.数学在生物中的应用举例.
人类的白化病是常染色体上隐性基因（a）致病，下面（图1-4）是两个家系的遗传图谱：（方块、圆圈分别表示男、女；涂黑表示白化病患者，即其基因型为aa.）图1-4
如果Ⅱ和Ⅱ婚配，求生两个孩子表现型都正常的概率.23
解：由于Ⅱ的基因型为aa，故Ⅰ、Ⅰ都带有基因a，而他们表112现型正常，故Ⅰ、Ⅰ的基因型均为Aa.同理，Ⅰ的基因型为aa，故123Ⅱ带有基因a，而其表现型正常，故Ⅱ的基因型为Aa.33
Ⅱ的基因型可能是AA或Aa，记A为事件“两个孩子表现型都正2常”，B为事件“Ⅱ的基因型是AA”，B为事件“Ⅱ的基因型是1222Aa”，则P（B）=，P（B）=.在Ⅱ的基因型确定的情况下，第二122个孩子表现型正常与第一个孩子表现型正常是相互独立的，因此有，根据全概率公式得
所以，生两个孩子表现型都正常的概率为.
第2讲 对数：延长寿命的数学
16、17世纪之交，自然科学（特别是天文学）的研究中经常遇到大量精密而庞大的数值计算，改进数字计算方法成为当务之急.对数的发明“以缩短计算时间的方式延长了天文学家的寿命”（法国数学家拉普拉斯语），因而成了“17世纪数学的三大成就”（恩格斯语）之一（另两项分别为解析几何的发明和微积分的发明）.对数概念的产生和发展的过程，体现了数学抽象的层次性，而数学抽象使得数学概念具有了一般性，更易于表达研究对象的内在关系和规律.
欣赏对数，可以从历史活动的视角认识对数概念如何产生和发展，从逻辑体系的视角围绕对数概念构建相关的知识网络，从实际应用的视角介绍对数概念所体现的工具理性.紧紧围绕对数概念，统整相关的数学素材，挖掘本源性问题，经历完整的数学思考过程，挖掘隐藏在核心概念背后的思想方法.
1.对数概念的产生和发展
对数概念的原创思想主要归功于纳皮尔.苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550—1617）在天文学研究中，为了寻求球面三角计算的简便方法，利用与质点运动有关的几何方法构造出对数.其核心思想表现为算术数列与几何数列（即等差数列与等比数列）之间的对应，由于该几何方法具有较强的技巧性，此处略去具体内容.
现在我们已经无法知道纳皮尔开始时是如何想到这一发明的，一种普遍的猜测是：由于他精通三角学，对积化和差公式非常熟悉.两个三角函数的乘积用其他三角函数的和、差表示出来，而加减运算比乘除运算简单得多，这种积化和差公式提供了原始的运算优化方法，或许就是这种三角恒等式激发了纳皮尔的灵感.
1614年，纳皮尔在《论述对数的奇迹》中阐述了对数原理，后人将其称为纳皮尔对数，记为Nap.log x，它与我们现在熟知的自然对数的关系为
对数概念的完善主要归功于布里格斯.英国数学家布里格斯（H.Briggs，1561—1631）感到纳皮尔对数使用起来不方便，于是与纳皮尔商定，使1的对数为0，10的对数为1，这样就得到了我们现在熟知的常用对数，它在十进制的数值计算上具有极大的优越性.1624年，布里格斯出版了《对数算术》，公布了以10为底、包含1～20000及90000～100000的14位常用对数表.
17世纪的国际贸易空前发展，这就涉及大量的资金结算，典型的问题就是计算复利.比如本金P、年利率为r、一年结算n次（可以分别按1年、半年、1月、1周、1日结算一次），则1年后的本利和（按照复利计算）为.为了简便起见，取P=1，r=1，则需要计算的值.随着n的增加，的值在增加，但是对结果的影响越来越小，记.现在已经无法知道，第一次使用e来表示的确切时间，最迟在1618年英国数学家爱德华·赖特（Edward Wright，1560—1615）在纳皮尔的《论述对数的奇迹》翻译版中就已经出现了.
自然对数的发现则跟圆锥曲线的求面积问题相关，虽然在古希腊时期阿基米德等人就已经会计算抛物线弓形的面积，但直到17世纪费马的时代，才有了圆锥曲线求面积问题一般公式，只有双曲线除外.考虑与直线x=a、x=b（a＜b）、x轴所围成的图形的面积，乔治·圣·文森特（Gregoire de Saint-Vincent，1584—1667）发现该图形的面积与水平距离b-a的对数成比例，这是人们第一次运用对数函数.后来人们才发现这个对数的底数正是上面提到的e≈2.71828.
现行高中数学教材是以指数的逆运算来定义对数的.事实上，纳皮尔讨论对数概念时尚无分数、无理数指数幂的概念，直到1637年n笛卡尔才开始用符号a表述正整数指数幂，直到18世纪初牛顿才将幂xa中的指数x推广到任意实数.后来，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并用指数的逆运算来定义对数，由于从逻辑上说指数概念更容易为人们所理解，因而欧拉关于对数的这种见解很快被人们所接受并流传至今.
从产生和发展的历史来看，很多数学概念都经历了漫长的由“火热的思考”到“冰冷的美丽”的演变过程.对数概念的萌芽（纳皮尔对数）、完善（常用对数、自然对数）、统一（指数的逆运算）正是数学概念由技巧到通法、从特殊到一般不断抽象的完整过程.而教材中呈现的对数概念则是数学抽象的最终形态，是用严格形式化代替非形式化、用逻辑整理历史的结果.欣赏对数概念，自然要欣赏其“前世”和“今生”.
2.对数概念的基本思想
对数发明时的原始思想是受等差数列与等比数列的对应关系的启发，试图将乘、除运算简化为加、减运算.在这个基本思想的指引下，对数与指数这对互逆运算将数列、方程、不等式等不同知识点在运算的视角下串联成具有内在逻辑联系的整体.在运用指数和对数的运算律进行运算的过程中，既能体会对数概念的基本思想，也能提升数学运算能力，从而感悟数学“推理与运算”使得数学结论具有了严谨性，更加可靠、精确.
指数和对数运算不仅是高中数学学习的基本任务，而且是串联高中代数内容的一条逻辑暗线.对数在等差数列与等比数列的类比、乘（除）法不等式向加（减）法不等式的转化等问题中体现了其独特的方法论价值.
例1：若{a}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有正n确的结论：（m-n）a+（n-p）a+（p-m）a=0，类比上述性质，相pmn应地，若{b}是等比数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有正确n的结论：______________．
从概念的名称可知，研究数列的基本手段是运算：由减（除）法运算发现“差（比）相等”，于是有“等差（比）数列”．研究了等差（比）数列之后，可以从运算的角度类比研究等比（差）数列：若{b}为等差数列，则（常数a＞0）为等比数列；若正项数列{b}为nn等比数列，则{logb}（常数a＞0且a≠1）为等差数列.an
方法1：设a=logb，则{a}是等差数列，则nann（m-n）a+（n-p）a+（p-m）a=0，代换得pmn（m-n）logb+（n-p）logb+（p-m）logb=0，由对数运算律apaman得
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