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作者：郜舒竹

出版社：华东师范大学出版社

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小学数学这样教试读：

前言

小学数学“怎样教”其实是一个很难回答的问题，与之相关的一个基本问题是如何理解“数学教学”。关于数学教学至少可以给出三种理解方式：第一种是把数学教学理解为“教学生数学知识”，教学目标指向的是掌握知识和方法；第二种是把数学教学理解为“教学生学习数学”，其目标指向是对数学学习过程的经历和体验；第三种理解是“利用数学教学生”，把数学课程内容作为载体，注重的是学生作为人的全面发展。本书内容并不纠结这些观点的是与非，试图从数学课程内容的理解、学生数学学习的规律以及数学教学方法的有效三个方面，为小学数学教师的培训以及教学研究提供参考。

关于数学课程内容的理解，力图从数学、历史和人类活动三个方面揭示本质、渗透文化、实现关联，实现其工具性与人文性相统一的理解。全书涉及的课程内容不求全面，主要针对小学数学教学中普遍困惑的问题和误解给出作者的研究和解释。

关于学生的学习规律，书中结合实际的案例分析，给出了辨别数学错误的标准和方法，揭示了一些具有普遍性的学习规律，同时也涉及了将学生数学错误作为教学资源的方法。特别强调学生在学习数学的过程中，出现错误的必然性、规律性、价值性，提出教师教学中应当“宽容错误、善待错误、研究错误、利用错误”的观点。

在数学教学方法方面，本书提出了“变教为学”的教学方式，倡导将“以教师教的活动为主的课堂教学”转变为“以学生学习活动为主的课堂教学”，教师的角色从讲解者和示范者转变为导学者、诊学者、助学者。本书中也用实例阐述了实现“变教为学”教学改革的策略和方法。

全书内容与行文遵循“立足本土”与“实事求是”的原则，所有案例均源于作者近十年深入小学数学教学实践的亲身经历。在问题的研究中，参考了大量古今中外的文献，所有参考文献均以脚注的形式注明。这些文献也可以成为读者进一步研究的参考。

数学教学的复杂性使得本书不可能涵盖所有方面，难免存在疏漏、不当甚至错误之处，希望读者予以指正。郜舒竹2015年5月1日于北京

第一章 数学课程内容的知识属性

第一节 知识属性与正误辨别

小学低年级学生在解决问题时常常出现一种“欲加却减，欲减又加”的现象。比如，例题1-1表达的是一道看图列式的问题：例题1-1

这一问题的原意是已知总量为7，其中一个部分量为3，求另一个部分量是多少。期望学生用减法计算，列式为：“7-3=4”，而学生往往列出的算式为：“4+3=7”，把减法算式写成了加法算式。

再看一道文字题（例题1-2）：例题1-2

湖面上有一些天鹅，飞走了5只，还剩8只，问湖面上原来有多少只天鹅？

本题的意思是知道了“飞走”和“还剩”这两个部分量，求总量是多少。期望学生用加法“5+8=13”计算，可许多学生又偏偏列出减法算式“13-5=8”。当问及学生本题答案时，他们往往能够说出正确答案。

这种“欲减却加，欲加又减”的现象在小学低年级学生中普遍存在，究竟是什么原因导致这种现象的发生呢？这个现象的背后一定隐藏着儿童的某种认知规律。另外，许多教师在判断学生这样做的正误时也出现困惑，当学生这样列式计算时，到底应当判错还是判对呢？辨别对错的标准究竟应当是什么？一、儿童的认识规律

学生的认知过程大致可以概括为三个阶段：第一是感知，就是利用诸如眼睛、耳朵等感觉器官获取信息；第二是对感知到的信息进行加工，这一阶段是在头脑中进行的；第三是作为感知和加工结果的输出，通常表现为书面或口头语言的表达。输出既然是感知和加工的结果，那么其中出现的问题一定与感知和加工这两个阶段有关。

例题1-1和例题1-2有一个共同特点，就是学生写出来的算式中数的顺序与题目中阅读到信息的顺序是一致的。在第一个问题中，学生感知到的信息首先是“空篮子”，第二是“3”，第三是“7”，它们之间的关系是前二者的和等于第三者。也就是说，通过感知，学生在头脑中形成的问题结构是“□+3=7”。由于数字相对简单，学生可以轻易算出“□”中是“4”，因此头脑中就不再进行其他加工活动了，按照这个顺序直接就写出算式“4+3=7”。第二个问题也是类似：学生按照阅读顺序感知到信息的顺序是“原有、飞走、还剩”，它们之间的关系是第一个减去第二个等于第三个，相应的问题结构是“原有-飞走=还剩”，也就是“□-5=8”，按照这种顺序直接列出算式就是“13-5=8”。

人的阅读顺序通常是“从左向右，从上向下”，因此输入到头脑中的信息也是有顺序的。这些信息和相应的顺序就在头脑中形成了一个自然的结构。头脑对信息的加工是一个复杂的过程，其中一个重要内容就是根据需要对这样的结构进行调整。对于低龄儿童来说，头脑加工能力相对较弱，因此感知到的这种自然结构就会对输出产生更大的影响。根据这样的分析，前面案例中学生所列算式也就不足为奇了。

我们把学生感知到的“□+3=7”和“□-5=8”叫做问题的自然结构，教师所期望的“7-3=□”和“5+8=□”叫做问题的加工结构。可以得到的一点启示就是，在解决问题的教学中应当注意两种结构转换的启发和引导。而能够做到这一点的前提是，教师不仅要了解问题的加工结构，更应当了解学生可能感知到的自然结构。二、是“对”还是“错”

明白了学生这样做的道理，还需要分析这样做到底对不对。对此存在不同见解，认为“对”的主要理由是：“这样列式的学生通常都能说出问题的正确答案，说明学生是明白这道题的数量关系，并且能够正确计算的”；认为“错”的主要理由是：“学生没有分清题目中的已知和未知，应当把已知数写在等号左侧，把计算结果写在等号右侧。”

事实上，一个问题中的“已知数”和“未知数”虽然是不同的，但在思考的过程中往往需要把二者统一起来。比如在学习“方程”的时候，就是用字母代替未知数，把它看成和已知数同样的数参与到运算之中。如果利用方程的知识解决前面两个问题，就是用字母x表示未知数，根据题目叙述的顺序列出方程“x+3=7”和“x-5=8”。这实质上与学生所列算式是一样的。另外，这种已知与未知的统一关系还经常体现于数学结论的推广方面。比如用任何具体的已知数都无法表示一般意义的长方形面积公式，一旦将具体的已知数用“未知”的字母来代替，更具普遍性的长方形面积公式“S=a×b”就出现了。因此从更广泛的意义上说，研究一个问题的着力点应当放在数量关系方面，这样的数量关系可以有不同的表达方式，无论什么样的表达方式，“已知”和“未知”往往处于同等地位，放在什么位置上并不是最重要的事情。例题1-1和例题1-2中学生的列式实际上已经表达出了问题的数量关系，所以应当认为是正确的。

至于“已知数应当写在等号左侧，计算结果应当写在等号右侧”，实际上是对等号的一种误解。为了说明这一点，先来介绍数学中的“等价关系”。所谓等价关系，可以说是一种很“亲密”的关系。不妨用熟知的“亲兄弟”关系来理解。凡亲兄弟关系一定会符合下面的条件：如果甲和乙是亲兄弟，那么乙和甲也一定是亲兄弟；另外，如果甲和乙是亲兄弟，同时乙和丙也是亲兄弟，那么甲和丙也一定是亲兄弟。稍微“疏远”一些的“朋友”关系就不符合后面的条件。

等号在数学中表示与亲兄弟类似的“亲密”关系，用符号可以表示成下面三个条件：

1.自身性，即：A=A；

2.交换性，即：如果A=B，那么一定有B=A；

3.传递性，即：如果A=B，B=C，那么一定有A=C。

在数学中，凡符合上述三个条件的关系就叫做等价关系，“相等关系”自然也是一种等价关系。其中的交换性表明等号两侧是可以互换位置的，因此所谓的“已知数应当写在等号左侧，计算结果应当写在等号右侧”的说法是不成立的，至多可以认为是约定俗成的一种习惯。从这个意义上说，也应当承认前面例题中学生的做法是正确的。三、辨别正、误的标准

课程改革倡导学生的学习应当是自主探索的过程，当学生探索的积极性和主动性充分调动起来的时候，自然会出现各种各样的探索结果，这个时候就给教师带来了一个挑战：如何辨别学生探索结果的对错？《现代汉语词典》对“错误”的解释为：“不正确；与客观实际不符合。”如果以此作为辨别错误的标准，就需要进一步理解数学中“客观实际”的含义。小学生学习的数学内容依据其作用可以分为三类，分别叫做规律性知识、规则性知识和规定性知识。

所谓规律性知识，是对数学中某种客观规律的描述。比如加法交换律（a+b=b+a），它描述的是两种“加”的过程间的内在联系，是加法运算的自然规律。只要有加法的存在，这种规律就随之存在，不以人的意志为转移。再如，“平面上三角形内角和等于180度”，反映的是平面上三角形三个内角之间的内在联系，是平面上三角形的自然属性，只要是平面上的三角形都具有这种属性。

规则性知识是依据数学自身逻辑发展的需要人为规定的内容。比如在除法运算中要求“除数不能为零”；在有余数除法中规定“余数要比除数小”；在对自然数进行分类时规定“1既不是质数也不是合数”等等。诸如此类的要求并不是对某种客观规律的描述，而是为了保证数学运算或逻辑推理的确定性所制定的规则。这种规则性的内容是人为的，是为了数学自身逻辑发展的需要。

规定性知识是依据人的某种需要或者习惯人为规定、约定俗成的内容。比如计算方法中的竖式，在没有电子计算机（器）的时代，为了减轻计算的思维负担，需要借助纸笔作为计算的工具。在此基础上，人们发明了多种多样的计算方法，经过长时间的使用与对比，把为多数人所接受的算法承传下来，作为后人学习的标准算法。虽然这些标准算法是依据数学中的规律形成的，但其更主要的特征是人为规定，目的在于简便。图1-1 除法竖式示意图

比如，除法竖式起初就不是现在的样子，而是把商写在被除数的右侧（见图1-1）。

再如，概念的命名，把具有相同属性的一类对象冠以名称，这种名称也是人为规定的内容。命名的依据是使得词义尽可能反映概念的内涵和外延。比如“质数”这一概念，最初的命名叫做“数根”，后来演变为质数或者素数。前面所说的“已知数应当写在等号左侧，计算结果应当写在等号右侧”，仅仅是一种符合人们习惯的说法而已。

诸如此类的规定性知识还有：圆周角规定为“360度”；圆周率规定用符号“π”表示；在平面上确定位置时规定“横为行，竖为列”；在地图中确定方向时规定“上北下南，左西右东”；在四则混合运算时规定“先乘除，后加减”等等。

上述三类知识依据其主、客定位可以分别概括其特征为：规律性知识具有较强的客观性；规则性知识可以视为是主、客观兼容的一类知识，简单说就是规则是为了适应某种规律而制定的；规定性知识具有明显的主观特征，是为了人的某种需要而作出的规定，具有可变性和多样性。将辨别学生错误的标准局限于人的主观方面，显然是不恰当的。应当把这个标准定位于数学中的“客观实际”，也就是前面所说的“规律性”。

前面案例中呈现的客观规律是“局部与整体”的数量关系，而如何表达这种数量关系就带有明显的主观性了，属于规定性知识。学生的列式应当说并没有违背客观的数量关系，而仅仅与小学算术中习惯的“已知数写在等号左侧，计算结果写在等号右侧”的表达方式不同。“欲减却加，欲加又减”的现象说明低龄儿童头脑中较少有约定俗成的条条框框，这或许恰恰是儿童创造性思维的基础，是需要我们积极保护、鼓励和引导的。

第二节 知识属性与学习活动

把以教师“教”的活动为主的课堂教学，改变为以学生“学”的活动为主的课堂教学，首先需要改变的是教师备课的思维方式。所谓“备课”不等同于“写教案”，备课的过程更多的是学习和思考的过程，更应当包括教师个体具有创造性的思考。这样的思考应当聚焦于学生应当“学什么”，以及学生可以“怎样学”这样两个基本问题上，即思考“知识属性”和针对不同的属性设计学习活动。

对“学什么”这一问题的思考，实际就是对学生“学习目标（objective）”的确定过程。如果把学生视为学习的主体，那么这样的学习目标相对于学生来说就具有客观性，是课程编制者或者教师对学生应当“学什么”的期望（expectation）。对“怎样学”的思考首先是将学习目标转变为学生所应当执行并完成的学习任务（task），之后是思考学生为完成任务所需要经历的学习活动（activity）。“学什么”和“怎样学”两个问题的思考并不是截然分开的，二者的思考应当是融合在一起，并且都要基于对所学知识本质属性的认识。一、思考“知识属性”

比如“平行四边形的面积”，这一知识点反映的是一个平行四边形面积的大小与这个平行四边形内部元素（底边长度和高的长度）之间相互依赖与制约的关系，其本质属性是对客观规律的描述，此类知识的特点是相对于学习者来说具有“确定性”，不依人的意志为转移。认识这种知识的基本方法是“发现（discover）”，也就是通过观察并比较诸多不同对象，从中发现共性，这样的共性就成为了具有一定普遍意义的规律。

数学课程中另外一类知识其本质属性是人的“发明（invention）”，这一类知识通常是依赖于人的主观“需求（need）”而出现的。以分数为例，这种“需求”至少表现在三个方面。从语言的视角看，当表达数量关系的时候，同一种数量关系通常会有两种说法，这两种说法往往是“双向同义”的。如果说“甲的收入比乙的收入多100元”，就会有反过来并且意义相同的说法，即“乙的收入比甲的收入少100元”。如果说“甲的收入是乙的3倍”，就需要反过来并且意义相同的说法，如果没有分数，这样的说法就难以实现。有了分数，就可以说“乙的收入是甲收入的三分之一”，从而实现了“双向同义”的语言描述。

历史上人们对分数的“需求”还表现在“量（magnitude）”的测量方面。在没有度量单位的时候，人对量与量之间的比较通常都是“用小量大”，当出现“量不尽”的情况时，就“用余量小”，如此反复，量尽为止。比如图1-2两条线段分别表示量A和量B，其中A是较大的量：图1-2 量的比较示意图图1-3 “量不尽”示意图

如果需要了解并且表达两个量之间关系的时候，人们首先就会用较小的量B去与较大的量A重叠测量，目的是为了知道几次量尽，从而就可以知道量A中包含了几个量B。但是测量过程中经常出现量不尽的情况，也就是有剩余的情况出现（见图1-3）。

图1-3中用量B测量量A重叠2次后，出现了小于量B的剩余量C，这时候人们通常会用剩余的量C反过来去与量B重叠测量，如果仍然量不尽，就继续重复这一“用余量小”的过程。图1-3用C量B的结果恰好三次量尽。这时候就需要用数来描述量A与量B之间的关系，此时仅有整数就不够了，有了分数就可以说“A是B的（或者）”；也可以说“B是A的”。用“比”的语言说就是A与B的比是7：3，或者B与A的比是3：7。

数学家对分数的“需求”还表现为对除法运算“封闭”的愿望。在整数范围内，两个整数相除，可能得不到整数的结果，这种情况就叫做“整数集合对除法运算不封闭”，也就是整数集合内两个元素的运算结果跑到了整数集合的外面了。因此需要扩大整数集合的范围，把分数合并到整数集合中来，由此形成了数学中的有理数集合，在这个集合中除法运算就能保证封闭了，即任何两个有理数相除的结果一定还是有理数。二、针对“知识属性”设计学习活动“发现”的知识与“发明”的知识属性不同，当然学习的方式也就有了差异。发现的过程核心环节是“观察与比较”，发明的过程重在“需求与创造”。针对不同属性的知识，备课中就要思考如何为学生设计学习任务和学习活动。（一）“发现”的过程

对客观规律的认识至少应当包括两个方面。首先应当是定性的认识，比如对于“平行四边形面积”来说，应当认识无论什么样的平行四边形，其面积的大小都受制于底边长度和高的长度；在定性认识的基础上，就可以有定量的认识，即面积的大小等于底边长度与高的长度的乘积。针对定性的认识，需要观察并且比较不同的平行四边形，在不同中发现共性，也就是所有平行四边形面积的大小都受制于底边长度和高的长度；而对于定量的认识，也就是平行四边形的面积等于底边长度与高的长度的乘积，则需要观察平行四边形与面积相等的长方形之间的关系而得到。如果把长方形视为特殊的平行四边形，那么就可以将定性的认识与定量的认识合为一体，把学习目标确定为“发现平行四边形面积的大小与底边长度和高的长度的关系”。

既然这一学习目标的实现依赖于观察与比较的活动，备课中需要思考的重要问题就是如何设计能够沟通学习目标及观察与比较活动之间联系的学习任务。这种任务的设计是否有效取决于两个前提，第一是观察者为什么需要观察，也就是要为学生提供观察的理由，这种理由可以使得学生具有观察的动机；第二是观察什么，也就是需要为学生提供观察对象以及思考方向。学习任务的叙述可以是以问题的形式出现的，不妨称之为“问题型”任务。比如针对学习目标“发现平行四边形面积的大小与底边长度和高的长度的关系”，可以设计如下的问题型任务：例题1-3

下面是三组平行四边形，每一组中两个平行四边形面积是否相等？你是怎么得到结论的？图1-4 平行四边形面积比较图

例题1-3中第一组中两个平行四边形是底边长度不相等，但是高的长度相等；第二组中两个平行四边形是底边长度相等，但是高的长度不相等；第三组中两个平行四边形的底边长度相等，同时高的长度也相等。为了回答这样两个问题，学生可能的学习活动有用眼睛“看”，看不出来还可以用尺子“量”，当然也可以用剪刀把两个平行四边形“剪”下来重叠在一起“看”。所有的活动都是针对“是否相等”以及“为什么”这样两个问题，因此活动就不是盲目的，而是有目的的，活动的目的性使得学生具有了参与活动的动机。同时，教师为学生提供的三组图形相当于为学生的观察提供了对象。通过活动最终期望学生发现平行四边形面积的大小与底边长度以及高的长度有关。

学习任务的叙述还可以是“指令性”的，就是指明要求学生做什么。比如在例题1-3已经完成的基础上，为了能够发现平行四边形面积公式，可以给学生布置如下任务：

在方格纸上画出一个长方形，再画出一个与长方形面积相等的平行四边形，和你的同伴说说你的画法。

学生依据前面观察的经验，在画图过程中自然而然地就会把平行四边形的底和高与长方形的长和宽建立起联系。

在以上学习活动的基础上，最后可以通过布置指令性任务：

请自己总结出计算平行四边形的面积公式，将你的结论写出来。

通过以上三项任务，学生经历一系列以观察与比较为核心的学习活动，就应当可以达成“发现平行四边形面积的大小与底边长度和高的长度的关系”这一学习目标。（二）“发明”的过程

对于“发明”的知识，认识的核心环节是感受需求，并且经历自主发明的过程。以分数为例，分数的学习包括分数概念的形成与语言表述、分数之间的相等与不等关系、分数的运算以及分数与除法和比的关系等内容，这些内容需要一个螺旋上升的学习过程。如果把分数的本质属性定位于语言，那么其学习过程就应当遵循语言学习的规律。语言通常是按照“先听说，后读写”的顺序进行学习的。通过“听说”可以感受到分数的存在以及分数概念的含义，通过“读写”让学生经历“发明”的过程，感受数学中文字语言、图形语言以及符号语言之间的相互关系。学习分数之初，首先应当让学生感受到对分数的“需求”，体现“让知识因需要而产生”的教学原则。因此小学三年级“分数初步认识”的学习目标可以确定为如下三条：

1.感受分数在语言中的存在及其必要性；

2.经历分数符号从“多样”到“统一”的发明过程；

3.了解分数的含义。

针对第一条学习目标，可以设计如下的学习任务：例题1-4

钟表上表示的时间是“7点半”，思考其中的“半”是什么意思？与同伴交流自己的想法。（见图1-5）。图1-5 钟表示意图

学生在执行并完成这一任务的过程中，自然要思考和交流分针转动一圈与半圈的关系，或者时针转动一格与半格之间的关系。这种思考与交流一方面感受到二分之一的现实存在，同时也能初步感受到分数用于描述局部与整体关系的含义。类似的任务还可以设计为如下的形式：

●将一张长方形纸对折，折痕将整张纸平均分成了两部分。这两部分的大小是什么关系？用尽可能多的语言说说其中一部分的大小与整张纸之间的关系。

●用尽可能多的语言说说“10元钱”与“2元钱”之间的关系。

这样的任务可以启发学生在思考和交流的过程中，沟通描述数量关系的多种语言之间的联系。比如关于“10元钱”与“2元钱”之间的关系，学生可能利用先前熟悉的描述加减关系的语言，说出：“10元比2元多8元”和“2元比10元少8元”。学生还可能利用二年级学习过的“倍的认识”说：“5个2元等于10元”或者“10元是2元的5倍”，此时恰好说明需要一种与之相反的说法：“2元是10元的五分之一”，“五分之一”自然而然地因需要而产生了。

通过“听说”初步感受到分数的含义后，就需要符号来表示分数。符号作为一种数学中的语言，具有“人造（artificial）”的特点，其发生与发展必然是从“多样”走向“统一”的过程。如果把分数的符号表示方法直接告知学生，表面看省时省力，但失去的是学生经历发明符号的思考过程。

为了让学生经历这种“发明”的思考过程，针对第二条学习目标，可以设计这样的学习任务：例题1-5

你认为应当用什么样的符号表示二分之一？向同伴介绍你的发明。图1-6 学生分数符号表达

在课堂教学实践中，发现学生依据这个任务开展活动后，的确出现了“多样”的符号表达（见图1-6）。这些符号表达中，学生运用斜线、横线、逗号等多种方式表达“分”的含义。而且还发现许多学生在写“二分之一”的符号时，喜欢将“2”写在左侧或者上面。这实际上反映出平时习惯的阅读和书写顺序（从左向右，自上而下）对学生认识分数的符号是有影响的。分数“二分之一”的读法是“先2后1”，因此学生书写也是这样的顺序。

在学生“多样”的发明充分交流和展示之后，教师可以补充一个学习任务：例题1-6

同一个二分之一出现了这么多不同的符号，行吗？应当怎么办呢？

这一任务的目的在于引发学生思考，分数符号作为一种数学中的语言，其重要作用是用于交流，多样化会带来交流的困难。因此需要统一，统一的目的是让所有人看到后都能够知道其确定的含义。

这两个任务之后，为了进一步沟通不同语言之间的联系，深化对分数含义的理解，可以再为学生布置一个任务：例题1-7

举个例子说明的意思。在小组内交流不同的想法。

学生可以通过画图、折纸、讲故事等多样化的活动完成这个任务，过程中自然会加深对分数含义的理解。

如果时间允许，还可以设计数学与其他学科沟通联系的学习任务。比如中国传统文化中成语和诗词的学习通常是语文课程中的内容，如果引入到数学课程与教学中，一方面可以沟通不同学科知识之间的联系，同时也能够激发学生学习数学的兴趣，感受到数学学习的现实意义。在前面已经初步认识分数之后，可以利用成语“半斤八两”设计如下的学习任务：例题1-8

中国古代用“斤”和“两”作为重量单位，16两为1斤。古代成语中有“半斤八两”的说法，请你用今天学习的知识描述这个成语的意思。

这个任务的思考讨论实际上已经渗透了六年级将要学习的“正比例”的知识。如果把“斤”和“两”看作两类不同的量，那么其相互依赖的关系可以从表1-1中明显看出。类似的成语还有“事半功倍”与“事倍功半”等。表1-1 “半斤八两”关系表

中国古代诗词中也有蕴含着分数含义的。比如明代诗人杜庠的题为“岳阳楼”的诗：“茫茫雪浪带烟芜，天与西湖作画图。楼外十分风景好，一分山色九分湖。”洞庭湖是湖南省和湖北省的分界，岳阳楼位于洞庭湖畔湖南省一侧，在楼中能够远眺君山。“楼外十分风景好，一分山色九分湖”可以用分数的语言描述为：把楼外的风景看作整体，那么山景占了其中的，水景占了，描绘出了近大远小的视觉效果。

课堂教学期望的是学生“自由、自主、自信”地开展学习活动，为此就需要教师在备课中准确把握知识的本质属性，合理设置学习目标。在此基础上，“把目标变成任务、把知识变成问题、把方法变成活动”，让学生在课堂的学习活动中“爱做、能做、善做”。所谓“爱做”就是学生对于执行学习任务具有积极性和主动性，也就是所谓内在的动机（motivation），让学习活动成为学生“自觉自愿”的主动活动，而不是“被逼无奈”的被动活动；所谓“能做”是期望每位学生都能够明白自己应当做什么和怎样做，而不是“部分人做，其他人陪”；所谓“善做”指的是每位学生都有做好的愿望，活动过程中有机会向同伴学习，也有机会与同伴分享自己的想法，真正做到“每位学生都有活动，每位学生都有机会”。

第三节 数学中的“人为规定”

在一份五年级单元测验试卷上发现这样一道判断题（例题1-9）：例题1-9

长方体的六个面都是长方形。

翻看标准答案发现豁然是一个“错”字。与几位熟识的小学数学教师谈起此事，得到如下几种解释：

●这道题所考查的知识点是“长方体的六个面中允许相对的两个面是正方形”，如果学生答“对”，说明他没有认识到这一点，所以本题应该答“错”。

●正方形是特殊的长方形，但不是真的长方形，如果答“对”，不就没有包括正方形的情况了吗？所以本题应该答“错”。

●“正方形是特殊的长方形”这句话在平面图形中是对的，但在立体图形中是不对的。所以本题应该答“错”。

这些模棱两可、似是而非的解释令人困惑，如果学生听了这样的讲解，岂不是越听越糊涂。看来矛盾的焦点在于如何理解“正方形”与“长方形”这两个概念之间的关系。

概念之间的关系大致来说有两种，一种是相容关系，另一种是相斥关系。如果两个概念所包括的对象（外延）有共同的部分，那么这两个概念之间的关系就是相容关系。如果两个概念所包括的对象（外延）没有共同的部分，这两个概念之间的关系就是相斥关系。

比如“质数”和“偶数”这两个概念，由于2既是质数又是偶数，这两个概念所指的对象有公共部分，所以“质数”和“偶数”这两个概念符合相容关系。再如“奇数”和“偶数”这两个概念，由于奇数中没有偶数，偶数中也没有奇数，所以这两个概念属于相斥关系。

相容关系中有一种特殊的情况，如果甲概念具有乙概念的全部属性，就意味着甲概念所包括的全部对象（外延）包含在乙概念所指对象（外延）中，这时称这两个概念之间的关系为属种关系，其中甲概念就是相对于乙概念的种概念（species），乙概念就是相对于甲概念[1]的属概念（genus）。

按照这样的理解来分析长方形和正方形这两个概念之间的关系。首先将长方形所具有的属性列举出来：

●是四边形；

●对边互相平行且长度相等；

●四个角都是直角；

●两条对角线长度相等且互相平分；

●面积等于相邻两边长度的乘积。图1-7 长方形与正方形两者关系图

不难发现诸如此类的所有属性正方形都是具备的，就是说长方形所包含的对象（外延）中应该含有正方形，所以长方形是相对于正方形的属概念，正方形是相对于长方形的种概念。二者外延之间的关系可以从图1-7中明显地看出来：

正是由于正方形具备了长方形的所有属性，所以说“正方形是长方形”这个命题就是正确的。其实这里蕴含的意思是长方形按照相邻边的相等与不等可以分为两类：

无论是哪一类，都属于长方形这一大类中。类似于此符合种属关系的概念还有：长方形与平行四边形、梯形与平行四边形、四边形与梯形、长方体与正方体、偶数与4的倍数、数与分数等等。

翻阅一下小学数学课本，发现其中对此问题的叙述也有欠妥之处，这也许是出现误解的原因之一。在《九年义务教育六年制小学试用课本（第十册）》第5页上，对长方体的面的特征是这样叙述的：“长方体有6个面，一般都是长方形（也可能有相对的两个面是正方形）。”

其中“一般”和“也可能”的用词搭配，给人一种感觉，就是这里的长方形指的是长和宽不相等的那一类长方形，无意之中偷换了概念，把叙述中的“长方形”和“正方形”之间的关系变成了相斥关系，完全违背了两个概念之间的属种（相容）关系。如果把这句话换成下面的叙述也许会好一些：“长方体有6个面，每个面都是长方形（包括两个相对的面是正方形的情况）。”

应当承认，数学中概念的定义与命名具有人为的规定性。规定的目的在于保证其含义的确定性，也就是人们对研究对象的理解上不能出现歧义，这样才能保证判断与推理的一致性。如果对同一个概念出现了不同的理解，就会导致“是非不分”的现象。既然在学习长方体之前已经规定了“正方形是特殊的长方形”，就意味着明确了长方形的外延是包括正方形的。所谓概念的确定性就是，这样的含义在任何时候以及对任何人都不能再变化了。

数学知识体系基本上是由概念、判断和推理构成的。概念教学首要的任务就是保证概念理解上的确定性，实现这一目的可以有两个途径，第一是揭示每一个概念的内涵和外延，第二是让学生了解概念之间的关系。这对逻辑思维正在形成过程中的小学生来说尤为重要。课程与教学中切不可模棱两可、似是而非，更不能自相矛盾。

第四节 数学中的“规则”

数学中有一些知识是对客观规律的描述。比如，“平面上三角形的三个内角和等于180度”。这类知识的特点是具有较强的客观性，不依人的意志为转移。还有一类主观性较强的知识，是长期以来由于某种原因而人为规定或者约定俗成的。这类主观性较强的知识的背后往往蕴含着深刻的道理，比如关于“长方形”的定义就是人为规定的，其中蕴含着人们对于概念进行种属分类的思想。有些人为规定的道理随着时间的久远而渐渐被遗忘；也有一些由于缺乏研究而没有显现出来。比如，在小学数学中，有三条熟知的结论：

1.在除法运算中，“0”不能做除数，也不能是分数的分母；

2.在有余数的除法中，余数要比除数小；

3.在对自然数进行质数、合数的分类中，“1”既不是质数，也不是合数。

当学生学习此类知识的时候，自然的疑惑是“为什么呢”，此时教师通常的回答是“这是规定”。事实上，这样的回答并没有给出问题的答案，因为学生想知道的是“规定的道理”，而这些道理恰恰是课程内容和教师知识结构中缺失的内容。一、为什么“0”不能做除数？

小学数学中数字“0”不能做除数，也不能做分数的分母。究竟是什么原因需要做出这样的规定？可以从对除法运算的四种理解分别进行解释。

对除法运算的第一种理解是“逐次相减”，就是用被除数反复减去除数，直到最后的差小于除数为止。比如，6÷2可以理解为下面的过程：6-2=44-2=22-2=0

逐次相减的次数就是除法运算的结果商，上面过程中减去2的次数是3，所以6÷2的商就是3。按照这样的理解，如果除数为0，那么被除数每次减去除数0结果都不变。无论减去多少次都得到同样的结果，说明这个除法运算没有确定的商。

除法运算的第二种理解是“等分除”，把被除数看作被平均分的总量，把除数看作平均分的份数，除法的结果就是每份中分得的数量。如果除数为0，就意味着“份”不存在，也就是“分”的活动不存在。这与除数为1的情况不同，如果除数为1，可以理解为是“分”的特例，即分为1份。什么情况才会出现“分”的活动不存在呢，就是总量不存在，也就是总量为0。没有总量也没有分得的份数，“分”的活动就是虚无的，自然也就没有确定的结果。

对除法运算的第三种理解是“包含除”，把被除数理解为总量，把除数理解为平均分后每份的数量。除法的结果就是总量包含的份数。如果除数为0，说明每一份的数量为0，也就是“份”是不存在的。与前面类似，总量也就为0，自然“分”的活动就是不存在的了。

以上解释或多或少有些牵强，在数学中并不具有说服力。数学中是把除法看作乘法的逆运算，也就是说“a÷0=b”应当来源于“a=0×b”。按照这样的理解，采用“归谬”的方法做一个简单的推理，看看如果“0”做除数的时候会发生什么。不妨用字母a表示被除数，字母b表示a除以0的商，即：a÷0=b

根据乘法与除法的互逆关系，这个等式等价于下面的乘法关系式：a=0×b

由于零乘以任何数的结果都是零，所以可以得到a=0。上面的等式因此就成为了0=0×b

由于0乘以任何数都等于0，此时除法的商b无论取什么样的数值，这个等式都是成立的。这就表明如果在一个除法运算中除数为0，那么这个除法运算的结果就是不确定的，这在数学的推理中是不允许的。数学中对于运算通常有两个要求，第一是运算结果要存在，第二是运算结果要唯一确定。这主要是由于下面形式的数学推理的需要：

如果a÷b=c，a÷b=c111222

并且a=a，b=b1212

那么c=c12

这个推理形式实际上就是“同样的原因应当有同样的结果”。其成立的前提就是运算结果的存在性和确定性。所以，“0不能作除数”这一规定最主要的原因是为了保证运算结果的唯一确定。二、为什么余数要比除数小

在小学“有余数的除法”这一课程内容中，特别强调“余数要比除数小”。这一命题并不是除法运算自然拥有的规律，而是一种人为的规定。为什么要做出这样的规定？一种源于实际的解释是：如果余数不小于除数，说明没有分完，还可以继续分。比如，7个苹果平均分给2个小朋友，每人分1个，还剩5个；还可以分，就应当继续分完。这个解释易于理解，也有一定的合理性，但并不具备逻辑意义上的说服力。

除法作为乘法的逆运算，“a÷b=q……r”正确与否，应当由“a=b×q+r”是否成立来判断。比如对于7÷2，下面两个算式应当同时成立：7÷2=3……1，7=2×3+1

如果没有“余数要比除数小”的规定，7÷2在整数范围内就会出现四种形式上不同的结果，依据对应的乘法算式检验都是正确的，见下表1-2：表1-2

被除数和除数分别相等的除法运算，却得到不同的运算结果，像这样运算结果不确定的情况就会给以此为基础的数学推理带来麻烦，比如，如果没有“余数小于除数”这一条件，下面的推理就不能成立：

如果a÷b=q……r，a÷b=q……r11112222

并且a=a，b=b1212

那么q=q，r=r1212

为了保证运算结果的确定性，不得已做出“余数要比除数小”的规定。不难看出，“余数要比除数小”的道理与“0不能作除数”的道理实质上是一样的，都是为了保证运算结果的唯一确定。三、为什么“1”既不是质数，也不是合数

在“质数与合数”的教学中，经常有学生出现这样的疑问，就是“为什么不能把‘1’归为质数？”通常的解释是利用质数的定义。定义质数一般有两种方式：第一种是“除了1和它本身没有其他因数的数是质数”；第二种是“恰有两个因数的数是质数”。无论哪一种方式其实都很难解释为什么“1”不能是质数。“1”的因数和它本身虽然是相同的，但是也可以把它们理解为是意义不同的两个数，一个是“因数”的意义，另一个是“本身”的意义。这样的话，“1”也是符合质数定义的。由此看来，“1”不能成为质数还应当有其他原因。

质数与合数的概念可以说是历史悠久。古代希腊人有一种认识世界的“原子论”观点，认为所有事物都被一些最微小的、不能再小的东西制约着。所以，认识世界的一个办法就是“分”，分到不能再分，这时就会找到这些最微小的东西，掌握了这些最微小的东西就意味着掌握了事物的全部。

这种观点用于数的认识，就出现了把一个数分解为更小数的乘积的做法。比如，“100可以分为25×4”，这时出现的“25”和“4”就被认为是导致“100”出现的原因，所以叫做“100”的“因数”。继续分下去，直到不能再分，就变成了“5×5×2×2”，这时出现的“2”和“5”，由于不能再分，就被认为是制约“100”的最微小元素，诸如此类的微小元素就被认为是制约全体自然数最本质的原因，命名为“起始的数（prime number）”。清代学者李善兰翻译为“数根”，后来改为“素数”或“质数”。

因此可以说，人们最初的想法是把全体自然数分为两类，一类是不能再分的数，叫做“质数”；另一类是可以再分的数，叫做“合数”。起初人们认为数字“1”也是不能再分的数，属于质数。后来为什么把数字“1”从质数中提出来，成为既不是质数，也不是合数的数了呢？

随着数论研究的发展，人们发现将任何一个自然数分解为质数乘积的形式是许多推理的基础，这个分解的过程在小学叫做“分解质因数”。作为推理的基础，就要求这个分解的形式是唯一确定的。比如，给定自然数“100”，将其分解质因数的形式为：22100=2×5

对于给定的任何一个自然数N，将其分解质因数的形式可以写成如下形式：，其中p（i=1，2，…，n）表示质数，r（i=1，ii2，…，n）表示质因数p（i=1，2，…，n）的个数。i

这就显示出，将一个自然数N分解质因数后，其表达式中出现了质数p（i=1，2，…，n）、相同质数的个数r（i=1，2，…，n）以及ii不同质数的个数n。所谓分解质因数的形式是确定的，就是要求如果自然数N确定了，那么分解质因数后相应的p（i=1，2，…，n）、ir（i=1，2，…，n）和n也要随之确定。1

如果数字“1”是质数，这种确定性就无法满足，比如自然数223“100”还可以分解为如下的形式：100=2×5×1，等等。

数学家们经过证明发现，如果数字“1”不作为质数，这个确定性的要求就可以满足了。这就是把数字“1”不能归为质数的根本原因。由于数字“1”也不能满足合数“除了1和它本身外，还有其他因数”的要求，所以“1”就成为了“既不是质数，也不是合数”的数了。其中的道理与前面仍然是一样的。四、函数的确定性思想

以上问题的解释都可以归结为数学中函数的确定性思想。张景中院士在“感受小学数学思想的力量——写给小学数学教师们”一文[2]中指出：“在数学里，数量之间的确定性关系叫做函数关系。”如何理解这里的确定性？举个简单的例子，小学生学习加法运算的时候，通常是按照自然数的位数由少到多，而后逐步扩展到小数、分数。在这个过程中，无论加数是什么样的数，通过运算都会得到一个“和”，这个和是随着加数的确定而唯一确定的。换言之，数学中不允许出现相同的加数计算出不同的和的情况。

如果用z=x+y表示加法法则决定的函数关系，那么其中的加数x和y叫做这个函数关系的自变量，其中的和z叫做这个函数关系的因变量。函数的确定性其实是为了保证下面这种形式的推理是可行的：

如果z=x+y，z=x+y，111222

并且x=x，y=y，1212

那么，z=z。12

简单说，函数的确定性就是随着自变量的确定，使得这个函数的因变量也随之确定。用一般的函数表达式y=f（x）来表达，就是要求如果x=x，要有f（x）=f（x）成立。1212

在前面论及的除法运算中，可以把被除数和除数看作函数关系中的自变量，商和余数看作因变量，那么“0不能作除数”和“余数要比除数小”的规定都体现的是函数的确定性思想。在分解质因数的过程中，如果把分解前的数看作自变量，分解后的表达形式看作因变量，那么规定“1既不是质数，也不是合数”，也体现了函数的确定性思想。

总之，函数确定性的意义一方面在于描述自然的规律。比如在描述物体运动时，经常需要研究“时间”和“速度”的关系。把时间作为自变量，对应的速度作为因变量的函数关系，体现的是“时间”一旦确定，对应时刻的速度就随之确定。换言之，对同一物体来说，“相同时刻，不同速度”的现象是不可能出现的。函数确定性的另一个意义在于数学自身逻辑发展的需要。前面的例子表明，如果没有这种确定性，就会使得最基本的推理形式无法进行。也表明了数学中的逻辑是以自然规律为基础的。

数学教学应当明理，也就是不仅要“知其然”，还要“知其所以然”。当今数学教学倡导自主、合作、探究、生活。此时应当清醒地认识到，“所以然”的知识往往具有历史性、贯通性、综合性和人文性，是前人大师长期以来的结晶，是学生难以利用生活经验通过自主或合作的方式探究出来的，是需要教师通过努力学习和研究并潜移默化地传输给学生的。因此，数学教育研究仅限于“如何教”和“如何学”这样的问题是不够的，还应重视“教什么”和“学什么”的研究，特别是“所以然”知识的研究。[1] 注：关于如何翻译“species”和“genus”这两个词汇，曾经有过不同意见。古希腊时期人们运用类比（analogy）研究事物分类时，通常是通过提取个别的、特殊的species的属性进行对比，把相同属性保留下来，就形成了一类“species”，把这样的类叫做“genus”。按照这样的思路，把“species”翻译成“种”，把“genus”翻译成“属”是合理的。在数学中，概念的形成往往是反过来的，比如是先定义“长方形”，而后定义“正方形”，也就是说正方形是在长方形的基础上增加了属性后得到的。所以长方形相对于正方形具有“种”的特征，而正方形相对于长方形具有属的特征。因此“species”和“genus”的翻译就应当反过来。这里采用的是第一种翻译，也就是把属理解为是包含种的大类。[2] 张景中.感受小学数学思想的力量——写给小学数学教师们[J].人民教育，2007（18）.

第二章 发现与发明

第一节 数学中的规律

为了理解这里所说“规律”的含义，先来分析“课标（2011年版）”中给出的例题。针对“探索规律”这一课程内容，“课标（2011年版）”中一共出现了4道例题，其中第一学段中共有2道（在“课标（2011年版）”中为例9和例10），见例题2-1和例题2-2。例题2-1

在下列横线上填上合适的数字、字母或图形，并说明理由。

1，1，2；1，1，2；______，______，______；

A，A，B；A，A，B；______，______，______；，，；，，；______，______，______；例题2-2

在图2-1中，描出横排和竖排上两个数相加等于10的格子，再分别描出相加等于6，9的格子，你能发现什么规律？图2-1

例题2-1所给出情境的特点是多个对象（数字，字母，图形）有序排列，并且按照确定的个数3重复出现，构成循环，学生发现这样的规律后就可以预见后面相应位置的情况了。例题2-2的特点是相加为10的格子涂色后，恰好构成了自左上到右下的“对角线”图案（图2-1中字母A处）。“课标（2011年版）”第二学段课程内容中关于“探索规律”的2道例题分别是例30和例31，本书此处见例题2-3和2-4。例题2-3

联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室。你知道第16个气球是什么颜色吗？例题2-4

一个房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数共60条，那么有几个椅子和几个凳子？

例题2-3所描述情境的特点与前面例2-1是类似的，仍然是多个对象有序排列，并且按照固定个数重复出现，体现的是循环的规律。例题2-4从表面看不具备前面例题中“有序排列”和“图案”的特征，但可以用下面的表格（表2-1）将问题情境改造为“有序排列”的表述方式：表2-1 情境改造表

表2-1第一行表达出椅子个数依次递增的有序排列，第二行表示凳子个数依次递减的有序排列，第三行则显现出总腿数“每个数比前一个数多1”的排列规律。

从上面4道例题可以发现，这里所说的规律指的是运动或变化过程中的不变因素，这样的不变因素将不同对象或同一对象的不同运动状态联系起来，进而使得这种运动或变化状态和趋势可以把握。简单说，所谓规律就是“变中的不变”，比如前面的例题2-3的表2-1中，随着椅子和凳子个数的不断变化，总腿数从48开始也在不断变化，在这个变化过程中，对应的椅子个数和凳子个数的和（16）是确定不变的，进而导致总腿数每次增加1也是不变的，正是这样的规律使得椅子个数、凳子个数以及总腿数之间建立了联系，进而使得它们的变化状态和趋势可以把握了。

与这一含义较为接近的英文单词应该是“pattern”，这一单词在英汉词典中通常译为“模式”。《麦克米伦高阶英语词典》针对“pattern”的第一条释义为：“一系列行为或事件，共同展示了事物是如何规范地发生与发展的。”与这里所说的“规律”的含义基本一致。因此，所谓探索规律的一个重要内容就是在运动与变化过程中寻找不变因素，在国外许多教科书中把这样的内容叫做“发现规律（finding pattern）”，就是我们通常所说的“探索规律”。二、怎样发现规律“发现”作为人类的认识活动，要基于客观存在和主观意愿的共同作用。这种主观意愿主要包括两方面，第一是相信规律的存在，第二是有把握事物及其变化的意愿或动机。在此基础上，通过对个别、具体对象及其关系的观察和比较，找到能够制约这些对象及其关系的确定性因素，进而通过归纳和解释确定具有普遍性的规律，之后根据情况对这样的规律进行推广和应用。

如果把“发现规律”看作是学生的学习活动，那么这样的学习活动一般来说起码应当包括六个环节。一是建立“目标和动机”，这一环节的目的是让学习者明确“我想要做什么”或者“我需要做什么”，为后面的活动明确目标，形成动机。二是明确“情境与对象”，这个环节具有承上启下的作用，一方面可以帮助学生回忆已有的相关知识和经验，另一方面建立后面活动的观察对象。三是针对相关情境或研究对象的“观察与比较”，这是发现规律的核心环节，不仅需要观察对象本身，更需要把注意力放在对象之间的关系方面；四是对初步结论的“归纳与解释”，通过观察与比较，可能会得到一些相对零散的结论或者猜想，这时就需要找到他们的共性，归纳出具有一定普遍性的结论或者猜想，而后对这样的结论或者猜想的正确性进行解释和验证。五是对所得结论的“推广或应用”，任何一个规律往往会孕育着更具普遍性的规律，同时发现了规律往往意味着很多相关问题可以得到解释，因此这个环节的目的在于培养学生推广与应用的意识。六是对发现过程和结论的“反思和总结”，发现规律的过程中会生成很多想法，把这些想法及时总结并固化为文字，这样的过程可以培养学生及时反思和总结的习惯，同时逐步培养学生用语言表达自己想法的能力。下面用一个实际例子说明这样的过程。例题2-5

20世纪末期曾经出现了一个世界范围的困惑与争论：即将来临[1]的21世纪的第一年应当是2000年，还是2001年？

要想回答这个问题，自然应当把公元纪年的规律搞清楚。首先需要明确两个前提。第一，公元纪年起始年为公元1年或元年，也就是没有公元0年；第二，一个世纪规定为100年。为了便于观察和比较，可以把从公元元年开始的纪年方式有序地排列出来：图2-2 公元纪年图示

观察图2-2，纵向看公元1世纪最后一年是公元100年，公元2世纪最后一年是公元200年，依此类推可以得到初步结论：“公元n世纪最后一年的年数是n×100。”据此就可以初步得到结论，21世纪最后一年是2100年，因此倒推100年得到21世纪第一年是2001年。

横向看相邻两个世纪对应年数相差100，比如公元3世纪第一年201比公元2世纪第一年101多100。由此推断出21世纪第一年应当比1多20个100，因此21世纪第一年应当是2001年。也可以先求出20世纪最后一年是2000年，进而得到21世纪第一年是2001年，这样就进一步验证了结论的正确。运用同样的规律可以知道公元22世纪的第一年是2101年等等。如果把以上内容设计成一节课的教学方案（简称“教案”），则可以用如下表格（表2-2）的方式呈现。表2-2 例题2-5的教案

以上学习过程的核心环节是“观察”，观察的重点特别要关注对象之间的关系，这种关系往往体现为“变化过程中的不变因素”。这样的学习活动设计应当说突出了规律的本质。除此之外，学习活动的设计中还应当重视渗透文化和关联思考。比如表2-2中关于牛顿生卒时间的问题以及直尺刻度的问题设计，都是出于这种考虑。

试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]

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