作者：乔治·伽莫夫
出版社：文化发展出版公司
格式: AZW3, DOCX, EPUB, MOBI, PDF, TXT
从一到无穷大(精装版)试读：
图书在版编目（CIP）数据
从一到无穷大／（美）乔治·伽莫夫著；刘小君，岳夏译．—北京：文化发展出版社有限公司，2019.8
ISBN 978-7-5142-2737-6
Ⅰ．①从… Ⅱ．①乔…②刘…③岳… Ⅲ．①自然科学－普及读物 Ⅳ．①N49
中国版本图书馆CIP数据核字（2019）第146753号从一到无穷大著 者：［美］乔治·伽莫夫译 者：刘小君 岳 夏责任编辑：岳智勇总策划：白 丁产品经理：李 雪出版发行：文化发展出版社有限公司（北京市翠微路2号）网 址：www.wenhuafazhan.com经 销：各地新华书店印 刷：天津旭丰源印刷有限公司开 本：787mm×1092mm 1/16字 数：255千字印 张：18版 次：2019年9月第1版 2019年9月第1次印刷ISBN：978-7-5142-2737-6定 价：58.00元本书若有质量问题，请拨打电话：010-82069336第一版作者序言
我们要聊一聊原子、恒星和星云，聊聊熵和基因，以及人类能不能使空间弯曲；还有，为什么火箭会缩短。没错，我们将在本书中讨论所有这些话题，以及很多其他同样有趣的问题。
这本书最初是为了搜集现代科学中最有趣的事实和理论而出版的，目的是让读者对如今科学家眼中的宇宙的微观和宏观表现形式有一个大致的了解。在执行这一粗略的计划时，我不想把所有的事情从头到尾讲一遍，因为我知道，这样写出来的只会是一部分为多卷的百科全书。但同时，我所选择的讨论话题也能简要地概述基础科学知识的整个领域，没有未涉及的死角。
本书根据重要性和关注度而不是简易程度选择主题，因此在难易程度上有一定的不均匀性。有一些章节简单到连儿童也能理解，而有一些则需要集中精力，认真研究才能被完全理解。但是，我希望外行读者在阅读这本书时也不会遇到太大的困难。
值得注意的是，这本书的最后一部分讨论了“宏观世界”，比“微观世界”部分要短得多。这主要是因为我已经在《太阳的诞生和(1)死亡》和《地球传》中详细地讨论过了关于宏观世界的很多问题，此处再进行讨论也无非是乏味的重复。所以，在这一部分中，我仅会对涉及行星、恒星和星云世界中的物理事实和事件以及它们的规律做一般描述，只有在讨论过去几年科学知识的进步所揭示的新问题时，才更详细地论述这些问题的内容和规律。根据这一原则，我特别关注最近的观点，一个是被称为“超新星”的巨大恒星的爆炸是由物理学中已知的最小粒子“中微子”引起的；还有一个是新行星理论，其废除了目前公认的行星起源于太阳与其他恒星碰撞的观点，并重新确立了几乎被遗忘的康德和拉普拉斯的旧观点。
我要向众多艺术家和插图画家表示感谢，他们的作品经过拓扑学转化后（参见第三章第二节）成为本书的许多插图的基础。最重要的是，我的年轻朋友玛丽娜·冯·诺依曼（Marina von Neumann），她声称她比她著名的父亲还要博学，当然，除了数学，在数学上他们一样博学。她阅读了本书的一些章节后，告诉我其中有许多无法理解的章节，我才认识到本书并不像我本来打算的那样适合儿童阅读。乔治·伽莫夫1946年12月1日(1) 这两本书分别于1940年和1941年由纽约的维京出版社出版。1961年版作者序言
所有关于科学的书籍在出版几年后就很容易过时，尤其是那些正在迅速发展的科学分支。从这个意义上说，我这本13年前首次出版的书—《从一到无穷大》是很幸运的。这本书刚好著于一些重要的科学进展之后，并把这些进展都囊括于文中，因此只需轻微地改动和添补就可以使其切合目前的情况。
其中一项重要进展是通过氢弹爆炸的热核反应成功释放原子能，另一项缓慢但稳定的进展是通过热核过程控制能量释放。由于热核反应的原理及其在天体物理学中的应用在本书第一版的第十一章中有所描述，所以关于人类在实现同一目标方面的进展，只需在第七章末尾增添一些新资料就可以了。
其他的变化还包括将我们宇宙的预计年龄从20亿到30亿年增加到50亿或更多年，以及利用加利福尼亚帕洛玛山上新的200英寸海尔望远镜进行探索后得出的经过修正的宇宙尺度。
生物化学方面也有最新进展，因而有必要重新绘制相关图片并修改与之相关的文本，在第九章末尾也需要添加有关简单生物合成的新资料。
在第一版中我曾写道：“是的，在生命和非生命物质之间确实有一个过渡的阶段，也许在不远的将来，某位有才华的生物化学家能够用普通的化学元素合成病毒分子，那他大可公告天下：‘我刚刚赋予了一片无生命物质以生命！’”没错，几年前，这项工作已经在加利福尼亚被完成了，或者说快完成了，读者可以在第九章的末尾找到相关的简短介绍。
还有一个变化，本书的第一版是献给“我的儿子伊戈尔，他想成为一个牛仔”。我的许多读者写信给我，问我他是否真的成了一个牛仔。答案是否定的，他主修生物学，将于今年夏天毕业，并计划从事遗传学方面的工作。科罗拉多大学乔治·伽莫夫1960年11月第一章 大数字1．你最大能数到多少？
有这样一则故事，两个匈牙利贵族决定玩一个游戏，每人各说一个数字，说出最大数字者赢。“来吧，”其中一个人说，“你先说你的数字。”
经过好一番的冥思苦想，另一个人终于说出了他所能想到的最大的数字。“3。”他说。
现在轮到第一个人绞尽脑汁了，但是，他最终还是认输了。“你赢了。”他承认道。
这两个匈牙利人的知识水平确实不高，并且这个故事也可能只是一种恶意诋毁，并不可信，但是如果将故事的主人公换成两个霍屯督人（Hottentots，非洲部落），那么以上的对话就完全会真实发生。据很多非洲探险家所说，在很多霍屯督部落中，并没有用来表示比3大的数字的词汇。若去问一个土著他有多少个儿子或曾手刃过多少敌人，如果该数字大于3，那么他就会回答“很多”。因此，在数数方面，再凶猛的霍屯督战士也会被已经能够数到10的美国幼稚园儿童打败。
现在，大家已经习惯性地认为，我们想写多大的数字就能写多大—无论是以美分来计算军费，还是以英寸丈量星球间的距离—只要在某个数字右边加上足够多的0就可以了。你可以不断地加0，直到(1)手都酸了，这样不知不觉中就可以写出一个比宇宙中所有原子数量还大的数字，顺便一提，该数量是：
300 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 00074
或者你也可以写成这种简略形式：3×10。
其中，位于10右上角的74表示数字3后面有74个0，换句话说，这个数字是用3乘上74次10。
但是，古人们并不知道这种“简明算术”系统。实际上，这种由某不具名的印度数学家发明的表示方法存在了还不到两千年。在他的伟大发明之前—虽然通常我们并没有意识到这一点，但这的确是一项伟大的发明—人们用十进制来计数，每位数都用一个特殊符号来表示，该位数上是几，就将其代表符号重复几遍。例如，古代埃及人是这样记录8732的：
而恺撒政府里的书记官则会以这种形式来表示：MMMMMMMMDCXXXII
后面的记号对大家来说应该很熟悉，因为罗马数字至今还不时地能派上用场—或者用于表示书籍的册数或章节数，或者用在宏伟的纪念碑上以表示某一历史事件的日期。然而，由于古人对于计数的需求不会超过几千，因此也没有用来表示更高位数的符号，所以，如果一个古罗马人被要求写出“一百万”，哪怕受到过最好的算术训练，他也会感到十分为难。为了达到这个要求，他所能想到的最好方法就是一连写上1000个M，这可够他忙碌几个小时的了。
对于古人来说，天上有多少星星、海里有多少条游鱼和沙滩上有多少颗沙粒这样巨大的数字都是“不可计算的”，就像对霍屯督人来说5也是“不可计算的”，因而只能用“很多”来表示一样。(2)
公元前3世纪，著名的科学家阿基米德曾开动脑筋，想出了记录非常大的数字的办法，他在专著《数沙者》（The Psammites，或叫Sand Reckoner）中这样写道：“有人认为沙粒的数量是无限的。我这里所说的沙粒可不单单指(3)叙拉古或者西西里岛（Sicily）的其他地方，而是指地球上所有的沙粒，无论是人类居住区还是无人区。也有一些人相信沙粒的数量并不是无穷的，但是他们也认为我们无法说出一个比所有的沙粒的数量还大的数字。如果让持有此观点的人想象有一个大如地球的沙堆，其中的山谷和海洋都被沙子填满，直到如最高的山峰一样高，他们就会更加确定，比以上提到的所有沙粒的数量还大的数字是不可能被表达出来的。但是我现在不仅可以说出比用上述方法在地球上所堆积出来的沙粒的数量还大的数字，还可以说出比以同样的方法将堆满整个宇宙的沙粒的数量也大的数字。”
阿基米德在这一著作中所提出来的记录大数的方法颇类似于现代科学计数方法。他从古希腊算术中最大的数字单位万（myriad）开始，引进了一个新的数字“万万”（octade），也就是“亿”作为第二级单位，然后是“亿亿”（octade octade）作为第三级单位，“亿亿亿”（octade octade octade）作为第四级单位，以此类推。
专门用几页的篇幅来介绍大数字的书写方法看起来似乎有些小题大做，但在阿基米德时代，找到书写大数字的方法不仅是一项伟大的发现，还促使数学向前迈出了重要的一步。
为了计算填满整个宇宙所需要的沙粒数量，阿基米德首先要知道宇宙的大小。在当时，人们认为宇宙封闭在一个镶嵌着群星的水晶球(4)里，与他同时代的著名天文学家萨摩斯的阿里斯塔克斯估测，从地(5)面到水晶球边缘的距离约为10 000 000 000希腊里（Stadia），相当于1 000 000 000英里。
阿基米德将水晶球与沙粒的大小进行对比，完成了一系列能将高中生吓到做噩梦的计算，最终得到了以下结论：“毫无疑问，阿里斯塔克斯所预测的水晶球大小的空间里所能容(6)纳的沙粒的数量不会超过一千万个第八级单位。”
这里大家可能注意到，阿基米德所预测的宇宙半径远远小于现代科学家的预测。10亿英里的距离刚刚超过土星到太阳的距离。要知道，望远镜所能探测到的宇宙距离现在已达到5 000 000 000 000 000 000 000英里，所以要填满目前可见的宇宙，所需要的沙粒数量应当100超过10（1后面跟100个0）。74
这个数字当然比前面提到的宇宙中所有原子的数目3×10大得多，但是别忘了，我们的宇宙并不是装满了原子的，实际上，宇宙中每立方米的空间里平均只有一个原子。
但是为了得到大数字而大动干戈，将整个宇宙填满沙子是完全没有必要的。事实上，在一些乍一看非常简单，那些你可能本来以为不会遇到超过几千的数字的问题上，却常常会遇到意想不到的大数字。
印度舍罕王（King Shirham of India）就曾吃过大数字的亏。传说，大宰相西萨·本·达依尔（Sissa Ben Dahir）发明了象棋并将其呈送给国王，因此舍罕王想要奖赏他。这位聪明的宰相的要求似乎并不过分，“陛下，”他跪拜在国王面前说，“请将一个麦粒放在棋盘的第一格，将两个麦粒放在棋盘的第二格，将四个麦粒放在第三格，八个麦粒放在第四格……按照这个方法，使得每一格的麦粒的数量都是前一格的两倍。陛下，请赏赐我能填满整个棋盘上64格的所有麦粒吧。”“噢，我忠实的仆人，你的要求倒是不高，”国王感叹道，心里窃喜他给这项神奇的游戏的发明者的慷慨许诺不会耗费他多少财宝，“你必将如愿以偿。”然后他命人搬一袋麦子到王座前。
当计数开始，一粒麦子被放到第一格，两粒被放到第二格，四粒被放到第三格，一直这样往下放，但是还没等放到第二十格，一袋麦子已经用完了。更多的麦子被送到国王面前，但是每往下数一格，所需要的麦粒数量迅速增长，以至于大家很快就明白，哪怕倾尽印度所有的麦子，国王也无法实现他对宰相的承诺，因为那可是18 446 744 (7)073 709 551 615粒麦子！
这个数字并不像宇宙中所有原子的数量那样大，但也是一个相当大的数字了。假设1蒲式耳小麦大概有5 000 000粒，那么要满足西萨的要求就需要约40 000亿蒲式耳小麦。全球小麦年均产量大约为2 000 000 000蒲式耳，而大宰相要求的数量相当于全球2000年小麦的产量。
于是，国王发现自己已债台高筑，他要么以后不断地还债，实现对宰相的承诺；要么干脆砍了宰相的头。我们猜他应该是选择了后者。
另一个以大数字为主角的故事也发生在印度，讨论的是关于“世(8)(9)界末日”的问题。数学猜想历史学家鲍尔讲述了这样一个故事：(10)在世界的中心贝拉那斯宏伟的神殿中，安放着一块铜板，
铜板上有三根金刚石针，每根有1肘尺长（1肘尺约为20英寸），
如蜂针一样细。在创世之时，主神梵天将64个纯金圆片放在了
其中一根针上，最大的金片放在最下面紧贴着铜板，越往上金片
越小。这就是婆罗门之塔。夜以继日，当班的僧侣必须将这些金
片从一根针上移到另一根针上，根据梵天给出的固定法则，僧侣
每次只能移动一个金片，并且金片必须被放在某个针上，以确保
大的金片不会被放在小金片的上面。当64个金片都被从天神已
穿好的针上移动到另一根上时，梵塔、寺庙及众生都将化为灰尘，
伴随着一声霹雳，整个世界都会消失。
你可以自己动手做一个这样的解谜玩具，用硬纸板代替金片，用长铁钉代替印度神话中的金刚石针。要发现移动金片的总体规律并不难，你很快就可以看出，每成功转移一个金片所需要的移动步数都是前一个的两倍。第一个金片只需移动一下，但随后移动的金片所需的步数呈几何级数增长，所以到第64个金片时，总共所需要的移动步(11)数与西萨要求的麦粒的数量一样多。
将婆罗门之塔上的64个金片从一根针上全部转移到另一根上面需要花费多长时间呢？假设僧侣们全年无休，夜以继日地工作，每秒可以移动一步，而一年大约有31 558 000秒，因此大约需要超过5800亿年的时间才能完成这项工作。
将这个纯粹传说中的宇宙周期的预言与现代科学的预测略做对比倒是挺有趣的。根据现代宇宙进化理论，恒星、太阳和行星，也包括我们的地球，都是由一些无定形的物质于大约30亿年前形成的。我们也知道，给恒星，尤其是太阳提供能量的“核燃料”还能再维持(12)100亿到150亿年。因此，我们的宇宙的总寿命绝对不会超过200亿年，更不要提印度神话中预测的5800亿年了。不过，传说毕竟只是传说！
文字记载中所提及的最大的数字可能就是来自著名的“印刷行问题”了。假设我们制造出一台打印机，这台机器可以打印出一行又一行的文字，并且打印每一行时都会自动选择一种不同的字母与印刷符号组合，该机器由很多单个的边缘刻有字母和数字的圆盘组合在一起，圆盘之间像汽车的里程表那样连接，这样每当一个圆盘转动完一周，就会带动下一个圆盘向前转一个符号，每转动一下，随着滚筒转动带动纸张前移，一行文字就被打印上去了。要做这样一台自动打印机并不难。
现在我们让这台机器运行，并看一看它打印出来的不计其数又各不相同的字符行，其中大部分都没有什么意义，它们看起来是这样的：“aaaaaaaaaaa...”
或者是：“boobooboobooboo...”
又或者是：“zawkporpkossscilm...”
但是既然这台机器打印出了所有的字母与符号组合，所以在这堆毫无意义的垃圾中我们会发现一些有意义的句子，当然其中有很多都是胡言乱语。
例如：“horse has six legs and...”（马有六条腿和……）
或者是：“I like apples cooked in terpentin...”（我喜欢松节油做的苹果……）
但是仔细找找，其中一定也包括了莎士比亚所写的每一行文字，甚至包括那些被他扔进废纸篓里的草稿纸上的句子。
事实上，这台打印机可以打印出人类自学会书写以来所写出的所有语句：每一行散文，每一句诗，报纸上的每一篇社论和每一则广告，每一篇冗长的科学论文，每一封情书，每一份给送奶工的留言……
不仅如此，这台机器还能打印出未来将要被印出的文字。我们在那张滚筒下的纸上可以找到30世纪的诗歌、未来的科学发现、将会在第500届美国国会上发表的演讲，以及2344年星际交通意外的统计数量。还会有一篇又一篇尚未被创作出来的短篇故事和长篇小说。如果出版商们的地下室里有这样一台机器，他们要做的只是从垃圾堆中挑选出好的片段加以编辑就好了—反正他们现在差不多也在做这样的事情！
为什么不能这么做呢？
让我们统计一下要将所有的字母与印刷符号的组合全部写下来需要多少行。
英语中有26个字母、10个数字（0，1，2，3，4，5，6，7，8，9）和14个常用符号（空格、句号、逗号、冒号、分号、问号、感叹号、破折号、连字符、引号、省略号、方括号、圆括号、大括号），一共50个符号。让我们假设这台机器上有65个轮盘，与每一行平均有65个位置一一对应。一行中的第一个字符可能是以上50个字符中的任意一个，也就是有50种可能性，每一种可能性中跟着的第二个字符也可能是以上50个字符中的任意一个，这又是50种可能性，到此，总共有50×50=2500种可能性。而对于这前两个字符的每一种可能性，第三个字符也仍有50种可能性，以此类推。所有可能的组合的行数可以用以下算式表达：
50乘上65次
50×50×50×…×50
或者是：6550110
也等于：10
为了更直观感受一下这个数字的浩大，我们可以假设宇宙中的每74一个原子都是一台打印机，这样我们就有3×10台打印机同时工作。进一步假设所有这些打印机自宇宙形成以来就一直在不间断地工作，17到现在已有30亿年，也就是10秒，其打印效率相当于原子的振动频157417率，相当于每秒打印10行。到现在应该已经打印出3×10×10×1510610=3×10行字—而这些也仅仅是总数的三千分之一。
看来，要从这些自动打印出的材料中选出点什么确实要花相当长一段时间了。2．如何计算无穷数
在上一部分我们讨论了数字，其中很多是相当大的数字。如西萨所要求的麦粒的数目，这些数字巨人虽然都大得不可思议，但它们都是有限度的，只要时间充分，我们就可以将其精确地记录到最后一位小数。
但是有一些数字是无穷大的，比无论我们花费多长时间所写下来的数字都大。“所有数字的数量”显然是无穷的，“一条线上几何点的数量”也是无穷的，除了它们都是无穷的，还有别的方法可以描述这些数字吗？例如，可以比较两个无穷数哪一个更大吗？“所有数字的数量更大还是一条线上点的数量更大？”这样的问话有意义吗？这些乍一看很有趣的问题是由著名数学家格奥尔格·康
(13)托尔首次提出来的，他也是名副其实的“无穷数算术”之父。
要讨论无穷数的大小，我们首先要面临一个问题，即对我们所说出的或写下的两个数进行比较，某种程度上类似于霍屯督人查看宝箱，想要知道自己拥有多少玻璃珠或铜币。但是，你应该还记得，霍屯督人最多只能数到3。那么既然他不会数到更多，他应该放弃比较玻璃珠的数量和铜币数量吗？当然不是，如果他足够机智，他完全可以将珠子与铜币一个一个地比较后得出答案。他将一个珠子与一枚硬币放在一起，第二个珠子与第二枚硬币放在一起，以此类推，如果最后珠子用完了而硬币还有剩余，那么他就可知自己拥有的铜币的数量多于玻璃珠；反之，则他拥有的玻璃珠数量更多；如果两者同时用完，那么他所拥有的两种东西数量就一样多。
康托尔提出来的比较两个无穷数的大小的方法与此一模一样：如果我们将两个无穷数所代表的对象集合进行配对，这样一个无限集合中的每一个对象都与另一个无限集合中的一个对象配成一对，到最后两个集合中都没有多余的对象，那么代表这两个集合的无穷数就是相等的。但是，如果其中一个集合有剩余，那么我们就可以说代表这个集合的无穷数比代表另一个集合的无穷数更大，或者说更强。
这明显是最合理的，也是唯一实际可行的用来比较无穷数量的办法，但是当我们真正运用这个方法时，可能会产生意想不到的结果。以所有的奇数和所有的偶数两个无穷数列为例，你肯定会直觉地认为奇数的数量和偶数的数量是一样的，运用上述的方法也是完全合理的，因为它们直接可以建立一一对应的关系：
在这个表上，每一个奇数都有一个偶数与之对应，反之亦然。因此，奇数的数量与偶数的数量是相等的，看起来相当简单！
但是，且等一下，所有数字，包括奇数和偶数的数量和仅仅所有偶数的数量相比，你认为哪一个更大呢？你当然会认为所有数字的数量更大，因为它不仅仅包含了所有偶数的数量，还包含了所有奇数的数量。但这只是你个人的判断，为了得到确切的答案，你必须用上述方法将两个无穷数进行比较。而如果你用了该法则，你会惊讶地发现你的判断是错误的。实际上，所有的数字与所有的偶数也可以建立一一对应的关系，正如下表所示：
根据我们的无穷数比较法则，我们必须承认所有偶数的数量与所有数字的数量是相等的。当然，这听起来有些荒谬，因为偶数只是所有数字的一部分，但是，别忘了我们这里所处理的是无穷数，所以必须对遇到的不同的特性有所准备。
实际上，在无穷数的世界里，“部分可能等于整体”！关于著名的(14)德国数学家大卫·希尔伯特的一个故事可以很好地阐释这一点。据说他曾在关于无穷数的讲座中用下面的话来说明无穷数自相矛盾的特(15)性：“让我们想象有一家旅舍，里面房间数是有限的，并假设所
有房间都已客满。这时来了一个新客人想要订一间房，‘很抱
歉，’老板会说，‘但是已经客满了。’现在让我们想象一个有无
数房间的旅舍，并且所有的房间也已客满，而这时也来了一个新
客人想要订一间房。“‘当然可以！’老板喊道，然后他将占据了1号房间的人移
到2号房间，将2号房间的人移到3号房间，将3号房间的人移到4
号房间，以此类推。然后，经过这一番转移，1号房间空了出来，
新房客就住到了里面。“让我们想象一个有无数房间的旅舍，所有房间已客满。这
时来了无限数目的新客人想订房。“‘好的，先生们，’老板说，‘少安毋躁。’“他将1号房间的客人移到2号房间，将2号房间的客人移到4
号房间，将3号房间的客人移到6号房间，如此等等。“现在所有编号为奇数的房间都空了出来，可以轻松地将无
限多的新客人安置其中。”
因为当时正处于战争时期，即使在华盛顿，希尔伯特所描述的状况也很难被人理解，但是这个例子生动形象地描述出无穷数的特性与我们平时算术中所遇到的状况截然不同。
按照康托尔比较两个无穷数的法则，我们现在可以证实，所有的如或这样的分数的数量与所有的整数的数量是相等的。事实上，我们可以将所有的普通分数按照以下规则排成一列：先写下所有分子与分母之和为2的分数，这样的分数只有一个，即；然后写下所有分子与分母之和为3的分数：和；接着是分子与分母之和为4的分数：，，。以此类推。在这个过程中我们应该会得到一个无穷的分数序列，其中包含了所有的分数。现在，在这个分数序列上面写下整数序列，这样你就可以得到分数序列与整数序列之间的一一对应关系，因此它们的数量是相等的！“好吧，这些都很有意思，”你可能会说，“但是这是不是意味着所有的无穷数都是相等的呢？如果是的话，它们之间还有什么好比较的呢？”
不，并不是这样的。我们可以轻松找出一个比所有的整数的数量和所有的分数的数量都大的无穷数。
实际上，如果我们将本章前面所提到的一条线上所有点的数量问题与所有整数的数量进行对比并加以研究，我们会发现这两个无穷数是不相等的，一条线上点的数量要多于所有整数的数量或分数的数量。为了证实这一结论，让我们试着将一条长度为1英寸的线段上的所有的点与整数序列建立一一对应关系，每一个点都可以用它到线段的一个端点之间的距离来表示，而这个距离可以被写成无穷小数的形(16)式，例如，0.735 062 478 005 6…或者是0.382 503 756 32…因此我们要比较的就是所有整数的数量与所有无穷小数的数量。那么以上给出的无穷小数与和这样的普通分数有什么区别呢？
你一定还记得算术课上学的所有的普通分数都可以转换成一个无限循环小数，如，。我们已经证实所有的普通分数的数量与所有的整数的数量是相等的，所以，所有循环小数的数量与所有整数的数量也是相等的。但是一条线上的点并不一定由一个循环小数来表示，其中大部分反而是由非循环无限小数来表示的。由此可见，在上述情况下，我们是无法建立一一对应关系的。
假设有人声称他已经建立好这样的关系，如下表所示：
当然，要将所有的整数和所有的小数挨个写下来是不可能的，所以能做出上述声明意味着作者要遵循某种规律（类似于我们写出所有普通分数的规律）来构建上述表格，并且这个规律必须保证所有的小数早晚都会出现在这张表格上。
但是，我们总是可以写出一个不在上述表格中的无穷小数，所以可以轻而易举地证明任何一个这样的声明都是站不住脚的。那么要怎么写呢？噢，很简单！只要在第一个小数位写上与表中1号小数的第一位数不同的数，第二小数位上写上与2号小数的第二位数字不同的数，并以此类推。你写下来的数字可能是这样的：
并且无论你怎么找，这个数字都不在上面的表格里。如果表的作者告诉你，你写的这个数字在他的表格中位列137号（或任何其他号），你可以立刻回答：“不是的，你表格中的137号小数的第一百三十七位数与我的小数的第一百三十七位数不一样。”
因此，线段上的点与所有的整数之间是无法建立一一对应关系的，这也表明“代表一条线上所有的点的无穷数要大于，或者说强于代表所有整数或分数数量的无穷数”。
一直以来，我们讨论的都是长度为1英寸的线段上的点数，但是，根据我们的“无穷数算术”法则，我们很容易证明任何长度的线都是一样的。事实上，“无论一条线长1英寸、1英尺还是1英里，上面的点的数量都是一样的”。图1可以证明这一点，图中将两条不同长度的线段AB和AC上的点的数量进行比较。为了建立两条线之间的一一对应关系，我们过AB上的每一个点作BC的平行线，将平行线与AB和AC的交点进行两两配对，例如，点D和D′，点E和E′，点F和F′，等等。AB上的每一个点，在AC上都有一个与之对应的点，反之亦然。这样根据我们的法则，代表这两条线段上的点的无穷数是相等的。
通过对无穷数的分析，还可以得到一个更难以置信的结论：“一个平面上所有的点的数量与一条线上所有的点的数量是相等的。”为了证明这个结论，让我们来看一下一条长度为1英寸的线段AB上的点和边长为1英寸的正方形CDEF上的点（图2）。图1图2
假设用一个数字，如0.75 120 386…来表示线段AB上某个点的位置，我们可以将这个小数上的奇分位和偶分位上的数字分别选出来组成两个新的小数，得到了0.710 8…和0.523 6…。
在正方形CDEF中测量出这两个数字所代表的水平距离和垂直距离，从而得到一个点，我们称之为原来线段上的点的“对偶点”；反过来，我们取正方形内一点，假设其以0.483 5…和0.990 7…表示，如果我们将这两个数字合并，就可以得到该点在线段上相应的“对偶点”0.498 930 57…。
显然，两组点在这一过程中建立了一一对应的关系。线段上的每一个点都在平面上有一个对应点，平面上的每一个点也都在线段上有一个对应点，一个多余的点也没有。根据康托尔准则，代表一个平面上所有点数的无穷数与代表一条线上所有点数的无穷数是相等的。
用类似的方法就不难证明代表一个立方体里所有点的数量的无穷数与代表一个平面或一条线段上的所有点的数量的无穷数也是相等(17)的。要做到这一点，我们只需要将最开始的小数分成三个部分，然后用这样得到的三个小数来定位立方体内的“对偶点”。并且，正如两条不同长度的线段拥有同样数量的点一样，无论多大尺寸，正方形或者立方体中的点数也都是一样的。
虽然几何点的数量比所有整数或分数的数量大，但它还不是数学家们所了解的最大数字。事实上，人们已经发现，所有的曲线的样式总数比所有几何点的数量还要多，因此被描述为第三级无穷序列。
作为“无穷数算术”的创造者，康托尔认为可以希伯来字母ℵ（aleph，读作阿列夫）来表示无穷数，ℵ右下角的数字则用来表示这个无穷数的等级。这样，所有的数（包括无穷数）就排列为：1，2，3，4，5，…，ℵ，ℵ，ℵ，…123
而且我们就可以像说“世界上有七大洲”或“一副扑克牌有54张”一样来陈述“一条线上有ℵ个点”或者“曲线的样式有ℵ种”12了。
总结一下我们关于无穷数的讨论，我们指出只需几个等级就可以容纳我们所能想到的所有无穷数。我们认为ℵ代表所有整数和分数的0数量，ℵ代表所有几何点的数量，ℵ代表所有曲线样式的数量，但迄12今为止，还没人能说出需要用到ℵ的无穷数（图3）。3图3 最初的三个无穷数
似乎这三个无穷数已足以数完所有我们能想到的数，这正好与我们的老朋友—有很多数要数却只能数到3的霍屯督人的情况完全相反。(1) 以目前最大的望远镜所能达到的范围来计算。(2) 译者注：Archimedes，古希腊哲学家、数学家、物理学家。(3) 译者注：Syracuse，西西里岛上的一座城市，阿基米德的出生地。(4) 译者注：Aristarchus of Samos，古希腊第一个著名天文学家，最早提出日心说的人。(5) Stadia：希腊长度单位，1希腊里相当于606英尺6英寸，即188米。(6) 一千万（10 000 000）×第二级（100 000 000）×第三级（100 000 000）×第四级（100 000 000）×第五级（100 000 000）×第六级（100 000 000）×第七级（100 000 000）×第八级（100 000 000）63或者简单地记为10（1后面有63个0）。(7) 这位聪明的宰相所要求的麦粒的数量可以用以下式子表达：23462631+2+2+2+2+…+2+2在算术中，一个数列中的每一项都等于前一项乘上一个常数（在这个例子中是2倍），那这就是一个等比数列。在等比数列中，所有项之和可以用该常数（本例为2）的项数（本例为64）次幂减去第一项（本例为1）然后除以上述常数与1的差，在本例中可以这样表示：直接写出来就是18 446 744 073 709 551 615。(8) 译者注：Walter William Rouse Ball，通常被称作W. W. R. Ball，英国数学家。(9) 引自：鲍尔（W. W. R. Ball）《数学游戏与欣赏》（Mathematical Recreations and Essays，The Macmillan Co.，纽约，1939）。(10) 译者注：Benares，印度北部城市，著名的印度教圣地。(11) 如果我们只有7个圆盘，则需要的步数是：71+21+22+23+…，或者2-1=2×2×2×2×2×2×2-1=127如果你非常迅速且无误地移动圆盘，大概需要一个小时才能完成这项任务。如果有64个圆盘，那么需要移动的总步数就是：642-1=18 446 744 073 709 551 615这正好是西萨所要求的麦粒的数目。(12) 见本书第十一章“初创之日”。(13) 译者注：Georg Cantor，1845—1918，德国数学家，主要贡献是集合论和超穷数理论。(14) 译者注：David Hilbert，1862—1943，德国著名数学家，被称为“数学界的无冕之王”。(15) 选自R.柯朗（译者注：Richard Courant，1888—1972，美籍德国数学家）从未发表过甚至从未见诸文字但是广泛流传的《希尔伯特故事全集》（The Complete Collection of Hilbert Stories）。(16) 我们假设线段长度为1，所以这里所有分数都应小于1。(17) 比如从0.735 106 822 548 312…我们可以得到：0.718 53…0.302 41…0.562 82…第二章 自然数和人工数1．最纯粹的数学
数学通常被人们，尤其是数学家们，看作是科学中的女王，而作为女王，她自然要尽量避免屈就于其他学科。举例来说，希尔伯特在参加一次“纯数学与应用数学联合大会”时，受邀发表一次公开演讲，以打破这两派数学家之间的敌对状态，他是这样说的：“经常有人说纯数学和应用数学是彼此相对的。这句话不对，
纯数学和应用数学并不是互相对立的，这两者之前没有互相对立
过，以后也不会互相对立，这是因为纯数学和应用数学之间没有
任何共同点，根本没有可比性。”
虽然数学家们希望保持数学的纯粹性，对其他学科敬谢不敏，但是其他学科，尤其是物理学却颇为青睐数学，竭力与其建立“友好关系”。事实上，现在纯数学的每一个分支几乎都被用来解释物理宇宙中的这个或那个特性。其中包括抽象群理论、非交换代数、非欧几何这种一直被认为是绝对纯粹，不会有任何实用性的科目。
然而，迄今为止，数学中还有一大体系除了可以训练思维外没有任何实际应用，简直可以被光荣地授予“纯粹皇冠”了。这就是所谓的“数论”（这里指整数），数学中最古老的分支之一，也是纯数学思维最错综复杂的产物之一。
不可思议的是，作为数学中最纯粹的一部分，数论从某个方面来说却可以被称为一门经验科学甚至是一门实验科学。事实上，数论中的大部分定理都是人们在处理不同的数字问题时构思出来的，正如物理学中的定律是人们处理与实物相关的问题得到的成果。而且也像物理学一样，数论中的一些定理已经“从数学的角度”得到了证实，还有一些却仍停留在纯经验阶段，挑战着最优秀的数学家的大脑。
以质数问题为例，所谓质数，就是不能用两个或两个以上比其更小的数字的乘积来表达的数字。像1，2，3，5，7等这样的数就是质(1)数，而12就不是质数，因为12可以被写成2×2×3。
质数的数量是无限的，还是存在一个最大质数，所有比之大的数(2)都可以用我们已知的几个质数的乘积来表示？这个问题是欧几里得最早提出并研究的，他给出了一个简洁明了的论证方法，证明了质数的数量是无穷的，因此并不存在所谓的“最大质数”。
为了验证这个问题，我们假设所有已知质数的数量是有限的，并用字母N来表示已知的最大质数，现在让我们计算所有已知质数的乘积并加1，用以下算式表示：（1×2×3×5×7×11×13×…×N）+1
这个数当然比我们所提出的最大质数N要大得多，但是，这个数显然不可能被我们已知的任何质数（最大到N，也包括N）整除，因为从它的结构来看，用其他任何质数来除这个数都会留下余数1。
因此，这个数字要么本身就是个质数，要么就必须能被比N还大的质数整除，但这两种情况都与我们最开始的假设“N为已知的最大质数”相矛盾。
这种检验方法叫作归谬法，也叫反证法，是数学家们最喜欢用的方法之一。
既然我们已经知道质数的数目是无穷的，我们就要自问，是否有什么简便方法能把所有的质数一个不落地挨个写下来呢？古希腊哲学(3)家兼数学家埃拉托斯特尼最早提出了能做到这一点的方法，被称为“埃拉托斯特尼筛法”。你需要做的就是写下完整的整数序列，1，2，3，4等，然后删掉其中所有的2的倍数，再删掉所有3的倍数、5的倍数，等等。通过埃拉托斯特尼筛法筛选前100个整数，其中有26个质数。通过用这种简单的筛选法，我们已经得到了10亿以内的所有质数。
但是，如果能提炼出一个只能演算出质数的公式，并且能快速且自动地演算出所有的质数，那就更加简便了。然而经过了多少世纪的努力，人们还是没有得到一个这样的公式。1640年，著名的法国数(4)学家费马曾以为他推导出了只能算出质数的公式。2n
在他的公式2+1中，n指代1，2，3，4，…这样的连续自然数。
用这个公式，我们发现：
以上每一个数都是质数。但是自费马的结论公布了一个世纪以后，(5)25德国数学家欧拉发现费马公式的第5个算式2+1的结果4 294 967 297不是一个质数，而是6 700 417和641的乘积。因此，费马的推算质数的经验公式被证明是错误的。2
还有一个可以推算出很多质数的公式也值得一提：n-n+41。
其中，n也是指1，2，3等这样的数。人们已经证实，当n在取1到40之间的数时，以上公式的结果都是质数，然而不幸的是，当n取41时，这个公式就失效了：22
事实上，（41）-41+41=（41）=41×41，这是一个平方数，而不是质数。
还有一个失败的公式是：2n-79n+1601
当n取79及以下数值时得到的都是质数，但n取80时就无效了。
因此，找到一个能只推算出质数的通用公式的问题仍然是一个未解之谜。
数论中还有一个有趣的理论至今既没有被证实也没有被推翻，这就是哥德巴赫1742年提出的“哥德巴赫猜想”（Goldbach conjecture），其声称：“任何一个偶数都可以表示成两个质数之和。”以一些简单的数字为例，你不难发现这句话是对的，如12=7+5，24=17+7，32=29+3。虽然数学家们在这个问题上做了大量工作，但还是没能给出一个决定性的证据证明这一陈述是绝对无误的，也没能(6)找出一个反例证明其是错的。就在1931年，苏联数学家施尼勒尔曼朝着决定性证据迈出了关键性的一步。他成功地证明了“任何一个偶数都可以表示成不超过300 000个质数之和”。再往后，“300 000个质数之和”与“两个质数之和”之间的差距被另一个人维诺格拉托夫（Vinogradoff）大大地缩小了，他将前者减少到了“4个质数之和”。然而从维诺格拉托夫的4个到哥德巴赫的两个质数之间的最后两步看来是最为艰难的，谁也不能肯定还要多少年或者几个世纪才能证实或推翻这一难解的命题。
好吧，看来想要导出一个能自动计算出所有的以及任意大的质数的公式，我们还任重而道远，更何况我们还不能保证这样的公式一定存在呢。
我们可以问一个稍微简单点的问题—关于在给定的数值区间内质数所占的比例的问题。随着数字变大，这个比例是否会一直保持不变呢？如果变的话，是会增大还是减小呢？我们可以通过统计在不同区间内的质数的个数，从经验主义的角度试着来解决这个问题。我们发现，取值在100以内有26个质数、1000以内有168个质数、1 000 000以内有78 498个质数、1 000 000 000以内有50 847 478个质数，用这些质数的数量除以与其对应的数值区间里整数的数量，我们得到(7)以下表格：
首先，从这个表中可以看出，随着数值区间变大，质数所占的比例减少了，但并不存在一个质数的终止点。
数学上有没有一种简单的方法来描述这一随着数值增大而减小的比例呢？不仅有，而且质数平均分布的规律是整个数学领域最了不起的发现之一。简单来说，就是“从1到任何大于1的数字n之间质数所(8)占的比例约等于n的自然对数”，并且n越大，这两个值越接近。
上表中第四列就是n的自然对数。如果你将其与第三列的数值对比一下，就会发现这两列的值很接近，并且n越大，就越接近。
正如数论中的很多其他理论一样，上述质数理论最开始是从经验主义的角度提出的，在其后很长一段时间里都无法用严格的数学方法(9)加以证实。直到19世纪末，法国数学家阿达马和比利时数学家德拉(10)瓦莱普森才终于用一种极其复杂的方法将其证实，三言两语难以说清，此处不赘述。
既然讨论到整数，就不得不提一提著名的“费马大定理”（Great Theorem of Fermat），这可以作为讨论与质数特性无关的问题的一个例子。这个问题的根源要追溯到古埃及，当时所有优秀的木匠都知道，一个边长之比为3∶4∶5的三角形一定有一个直角。他们就(11)用这样的三角形，现在被称为埃及三角形，作为自己的角尺。(12)
3世纪时，丢番图开始琢磨，除了3和4以外，是否还有其他两个整数的平方和等于第三个数的平方。他也确实发现了一些（实际上有无数个）具有这种性质的数字三元组，并且给出了找出这些数的基本规则。这种三条边长均为整数的直角三角形现在被称作“毕达哥拉斯三角形”（Pythagorean triangles），埃及三角形就是其中的一个典型。毕达哥拉斯三角形的构建问题可以被简单地视为一个方程等式，(13)222其中x、y、z都必须是整数：x+y=z。
1621年，费马在巴黎买了一本丢番图的著作《算术》的新法语译本，书中就讨论了毕达哥拉斯三角形。他阅读时在旁边做了一处简222短的笔记，其大意是，虽然等式x+y=z有无数个整数解，但与其形nnn似的等式x+y=z，当n大于2时，则是永远无解的。“我已经找到了一个绝妙的证明方法，”费马写道，“但是这里太窄了，写不下。”
费马逝世后，人们在他的资料室里发现了这本丢番图的著作，留白处的笔记内容才得以问世。那是三个世纪以前的事了，自那时开始，全世界最卓越的数学家们都曾试着重现费马在笔记中提到的他所想到的证明方法，但至今仍没有定论。但毋庸置疑，朝着这个最终目标，人们已经取得了巨大的进步，同时，在试图证明费马理论的过程中，还诞生了一门被称为“理想数理论”的全新数学分支。欧拉证明了方333444(14)程x+y=z和x+y=z不可能有整数解，狄利克雷证明了方程555x+y=z也无整数解，其后，经过几位数学家的共同努力，我们已经可以证明，当n小于269时，费马方程都是无解的。但是至今仍然没有找到能证明指数n取任何值时该结论都成立的总结性论证方法，越来越多的人怀疑，要么费马自己也没有证明方法，要么就是他哪里弄错了。后来有人悬赏10万马克寻找答案，这个问题更是成了热门话题，当然那些只为求财的业余人士并没有取得任何进展。
当然，这个理论仍然有可能是错误的，只要找出一个例子，其中两个整数的n次幂之和等于第三个整数的n次幂就可以了。但是要找到一个指数n必须是大于269的数字这样的研究可不简单。2．神秘的
现在让我们来做一点高级算术题。二二得四，三三得九，四四十六，五五二十五，因此，四的算术平方根是二，九的算术平方根是三，(15)十六的算术平方根是四，二十五的算术平方根是五。
但是一个负数的平方根应该是多少呢？像和这样的式子有意义吗？
如果你理性地分析一下，就会毫不犹豫地断言以上式子没有任何意义。引用12世纪数学家布哈斯克拉的话说就是：“正数的平方是正数，负数的平方也是正数，因此，一个正数的平方根有两个，一个正的，一个负的。因此负数没有平方根，因为负数不是二次幂。”
但是数学家们都很执着，如果一个看起来毫无意义的东西不停地在他们的公式中出现，他们就会竭尽所能赋予其某些含义。负数的平方根就不停地出现在各个地方，不论是过去的数学家所面对的简单算术问题还是20世纪相对论框架下的时空统一问题都可见其身影。
第一个将明显毫无意义的负数的平方根写进公式里记下来的勇士(16)是16世纪的意大利数学家卡尔达诺。在讨论是否能将数字10分成乘积为40的两部分的问题时，他指出，虽然这个问题没有任何合理的解，但是如果将答案写成两个不可能存在的数学表达式5+和5-(17)，这个问题就有解了。
在写上面的式子时，卡尔达诺明知道它们毫无意义，是虚构的，不存在的，但他还是写下来了。
而既然有人敢把负数的平方根写下来，即便是虚构的，将10分为乘积为40的两部分的问题也就有解了。一旦僵局被打破，即使还有所保留并给出正当理由，数学家们还是越来越频繁地使用负数的平方根，或者叫卡尔达诺后来命名的“虚数”。
在德国数学家欧拉于1770年发表的代数学著作上，我们发现了大量的虚数的应用。但是他又解释：“所有像和这样的表达式都是不存在的，虚构的数字，因为它们表示的是负数的平方根，对于这样的数字，我们可以断言，它们本身什么都不是，既不会比任何数大，也不会比任何数小，由此可证，它们是虚构的，不存在的。”
即使得到了这样的非难和评判，很快，虚数还是像分数和根数一样成了数学中不可避免的一部分。倘若不用它，那简直是寸步难行了。
可以说，虚数是普通数或实数的虚构镜像，而且，就像我们可以由基数1得到所有的实数一样，我们也可以由基本虚数单位得出所有的虚数，通常用符号i来表示。
显而易见，=×=3i、=×=2.646…i这样每一个普通实数都有一个对应的虚数。我们也可以将实数和虚数结合起来形成一个单一的表达式，正如卡尔达诺最开始写的5+=5+i那样。这种混合形式通常被称作复数。
虚数自闯入数学领域两个多世纪以来，一直笼罩着一层神秘的面纱，直到最后两位业余数学家为其做出了简单的几何解释。这两个人就是挪威测量师韦塞尔（Wessel）和巴黎会计师阿尔冈。
根据他们的解释，一个复数，例如3+4i，可以像图4那样表示出来，其中，3对应着水平距离，即横坐标；4对应着垂直距离，即纵
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]