作者：[美]爱德华·弗伦克尔,胡小锐译
出版社：中信出版社
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爱与数学试读：
序言
在我们身边，有一个存在于平行时空中的秘密世界。她风姿绰约、精致典雅，与我们生活的这个世界有着千丝万缕的联系。这个秘密世界，就是我们大多数人都无法看见的数学世界。本书意在邀请广大读者一起发现、探索这个世界。
我们经常会遇到这样一个悖论。一方面，数学与我们日常生活的方方面面紧密地交织在一起。只要我们上网购物，发送一条文本信息，在互联网上搜索信息，或者使用GPS（全球定位系统）设备，我们就会用到数学公式和运算法则。另一方面，大多数人在学习数学时却感到头疼不已。用诗人汉斯·马格努斯·恩岑斯贝格尔（Hans Magnus Enzensberger）的话说，数学已经成为“我们文化中的一个盲点，是一片陌生的领土，只有为数不多的精英在名师的指点下才能占据制高点”。他曾说，在我们认识的人中，几乎没有人“会气急败坏地抱怨：只要在他们面前提起读小说、看照片或者观看电影这些事，他们就会心惊肉跳，甚至痛不欲生”。但是，即使是“受过良好教育的聪明人”也常常以“一种不屑一顾与自以为是的口吻”说着数学“纯粹是折磨人”，是“一场噩梦”之类的话。因此，他们“不喜欢数学”。
为什么会有这种反常现象呢？我认为主要有两个原因。首先，数学比其他学科更抽象，因此令人难以理解。其次，我们在学校学到的只不过是数学知识的冰山一角，而且这些课本内容大多还是很久以前的陈芝麻烂谷子。多年以来，数学已经取得了长足的发展。然而，虽然现代数学的宝库中珍藏着琳琅满目的瑰宝，但我们一直不得其门而入。
如果学校在我们必修的“美术课”上只教给我们粉刷篱笆的方法，却从来不向我们展示达·芬奇（Leonardo da Vinci）与毕加索（Picasso）的作品，那么大家会有什么样的感觉呢？这样做能提高艺术鉴赏力吗？你还会有继续学习的欲望吗？我想答案是否定的。你可能会说：“在学校里学习绘画就是浪费时间。如果非要粉刷篱笆不可，我完全可以雇人去做啊。”当然，这样的教学太荒谬了。但是，学校就是这样教授数学的。因此，在大多数人眼中，学习数学毫无意义，就像在篱笆旁边坐等油漆干透。想要看到美术大师们的画作并不那么困难，但是数学大师们的研究成果却通常被束之高阁。
不过，数学之所以如此迷人，并不仅仅是因为它能给人以美的享受。伽利略（Galileo Galilei）说得非常好：“自然界的法则是用数学语言写就的。”数学是一种描述现实、揭示世界运行规律的语言，这种普适性语言已经成为检验真理的黄金标准。在我们生活的这个世界里，数学在科技的驱动之下，已经成为人类力量、财富与进步的源泉，并且在不断巩固其地位。因此，能熟练掌握这门“新”语言的人必将站在社会发展的最前沿。
人们通常对数学有所误解，以为数学不过是一个“工具包”。比如，生物学研究人员在完成实地调查并收集好数据之后，往往会专门为这些数据建立一个数学模型（有时，他们还会向数学领域的专业人士求助）。尽管这种研究模式也非常重要，但是数学的作用远不止于此。数学可以帮助我们实现利用其他知识无法做到的创新性、颠覆性飞跃。例如，当爱因斯坦（Albert Einstein）发现万有引力会导致我们所处的空间弯曲时，他并没有尝试把所涉及的任何数据归纳成方程式。事实上，他甚至没有任何数据可以证明他的这个发现。当时，人们根本无法想象自己所处的空间竟然是弯曲的，大家都“觉得”这个世界是平的。但是，爱因斯坦知道，要想成功地把狭义相对论与他得出的一个深刻认识（即万有引力与加速度会产生相同的效果）一起推广至非惯性系统，建立方程式是唯一可行的方法。用方程式来表现数据的规律，即便在数学领域也属于层次较高的学术活动。50年前，爱因斯坦借助数学家伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）的研究成果才完成了这项工作。人类大脑的构造决定了我们无法想象维数大于二的弯曲空间，我们只能借助数学才能理解复杂的空间。爱因斯坦的观点是正确的：我们这个宇宙的确是弯曲的空间，而且它还在不断膨胀。这个例子充分说明了数学的重要作用。
这样的例子俯拾即是，不仅在物理学中存在，在其他科学领域也不少（下文将讨论其中一些例子）。历史事实表明，数学思想正在促使科学和技术发生日新月异的变化。即使是那些一开始时被人们视为深奥难懂的纯理论性数学知识，后来也会在实际生活中发挥不可或缺的作用。查尔斯·达尔文（Charles Darwin）最初的研究并不依赖于数学，但是他后来在自传中说：“我为自己不能对数学中的重要原理有所领悟而深感遗憾，因为这些原理能增强人的理性思维能力。”我觉得他的这番话就是一个颇有预见性的建议，告诫后人必须充分发掘数学的巨大潜能。
小时候，我并不知道身边还有数学这个秘密世界。同大多数人一样，我也以为数学是一门枯燥无味的学科。不过，我比较幸运，在中学阶段的最后一个学年，一位专业素养极高的数学专业人士帮我打开了数学这一神秘世界的大门。我这才知道，数学不仅典雅美好，而且它还像诗歌、艺术和音乐一样，充满了无限可能。于是，我深深地迷上了数学。
亲爱的读者，我撰写本书就是为了把老师们对我的言传身教传递给你们，向你们展示数学的力量和美，帮助你们进入这个神奇的世界，即便你们从来没想过“数学”与“爱”这两个词竟然可以并列在一起。你们将会和我一样，发现数学可以触及我们的灵魂，使我们的世界观发生天翻地覆的变化。
* * *
数学知识与其他学科知识都有所不同，它极为特殊。我们对物理世界的认知很容易失真，但对数学真理的认知却一成不变。数学真理是经久不变、客观且必然的存在。对所有人而言，无论他们的性别、宗教信仰或者肤色有何不同，无论他们身处何地，同一个数学公式或者定理的含义都不会有任何不同，即便经历上千年也不会发生变化。同时，数学公式和定理是我们所有人的共有财产，任何人都不可以对它们申请专利。在这个世界上，如此深奥、精致，而且所有人都可以随时取用的东西，非数学知识莫属。这样一个知识宝库的存在令人难以置信，它具有非凡的价值。而且，它并非那些“受过良好教育的少数人”的专利，而是人类的共同财产。
数学的一个主要作用是对信息进行排序，信息的排序分类是梵高的画作区别于随意涂鸦的根本原因。随着3D打印技术的出现，我们习以为常的现实正在发生着根本性的改变。一切事物都不再属于物理对象的范畴，而是隶属于信息与数据的范畴。我们随时可以把PDF（便携式文档格式）文档转变成书本，把MP3（一种能播放音乐文件的播放器）文件转换成一段乐曲，同样，在不久的将来，我们还可以根据需要，利用3D打印机，方便地把信息转变成实物。在这个新世界中，数学将大有可为，发挥更加重要的作用。我们可以利用数学知识对信息进行整理、排序，也可以将信息转变成物理现实。
在本书中，我将向大家介绍数学界近50年来的一个重要思想：“朗兰兹纲领”（Langlands Program）。很多人认为朗兰兹纲领是数学中的“大统一理论”（the Grand Unified Theory）。代数、几何、数论、分析与量子物理等领域的研究内容乍一看似乎相去甚远，但是朗兰兹纲领却在这些不同的数学分支之间建立起千丝万缕的联系。如果我们把这些分支看成数学这个秘密世界中的一块块大陆，朗兰兹纲领就是功能强大的运输工具，可以让我们在各个大陆之间瞬时往返。
朗兰兹纲领是数学家罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）于20世纪60年代后期提出的一个数学理论（朗兰兹现在在普林斯顿高等研究院工作，他使用的办公室就是当年爱因斯坦用过的），它本质上是一个关于对称的开创性数学理论，而对称理论的雏形则要追溯至200年前，那是一个年仅20岁的法国天才在死亡决斗前夜完成的研究成果。随后，一个令人瞠目结舌的发现丰富了这位天才的研究成果，它不仅帮助人们完成了“费马大定理”（Fermat’s Last Theorem）的证明，而且颠覆了人们对数字与方程式的认知。接着，人们又有了一个极为精辟的洞见，即数学有自己的“罗塞塔石碑”（Rosetta Stone）——在数学领域里充满了各种神秘的类比与隐喻。这些类比仿佛是数学这片魔幻土地上的一条条小溪，将朗兰兹纲领分成几何与量子物理两大领域，使原先杂乱无章的世界呈现出井然有序与和谐统一的特点。
我告诉大家这些内容，意在展示数学鲜为人知的其他方面，包括灵感、深刻的思想和惊人的发现。数学打开了一扇门，让我们了解如何打破传统的壁垒，如何在追求真理的过程中充分发挥想象力。无穷理论的创立人格奥尔格·康托尔（George Cantor）说：“数学的精义在于蕴藏其中的自由。”数学教我们大胆分析现实，研究事实，并以事实为指引义无反顾地朝前迈进。数学把我们从教条与偏见中解放出来，并帮助我们培养创新突破的能力。正因为这些，数学才得以代代相传，延续至今。
由于数学中的这些工具既可以产生积极向上的结果，也可能被用于行凶作恶，因此，我们必须认真考虑数学对现实世界的影响。例如，全球经济危机之所以爆发并造成严重危害，在很大程度上是由于在全球金融市场中普遍存在对数学模型使用不当的问题。很多决策者，由于其数学知识的贫乏，并不能真正理解这些数学模型，但是，在贪欲的驱使之下，他们仍然冒险使用了这些数学模型，最终导致整个金融体系受到重创。他们肆意利用信息的不对称性，丝毫不担心自己的谎言会被戳穿，因为人们一般也不会去了解这些数学模型的作用原理。因此，如果有更多的人能了解这些数学模型与金融体系的运作机制，也许我们就不会被愚弄那么长时间了。
我再举一例。1996年，美国政府组织任命的一个委员会举行了一次秘密碰头会，修改了消费者物价指数（CPI）中的一个公式。消费者物价指数通过测算通胀率来确定税级、社会保障、医疗保健及其他与公民生活指数挂钩的款项。因为这个公式被修改，成千上万的美国公民都受到了影响，但是公众却几乎没有讨论过这个新公式及其造成的后果。最近，又有人试图把这个神秘公式当作美国经济的后门加以利用。
如果每个人都能熟练掌握一定的数学知识，那么这类幕后交易将会少得多。数学就等于严谨加上学术诚信再乘以事实准绳。我们必须通过数学来不断推动社会进步，促使更多的人掌握数学知识与数学工具，以保护自身的权益免受少数当权者的肆意践踏。没有数学，就没有自由。
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数学与艺术、文学和音乐一样，是我们文化遗产的一部分。人类总是渴求发现新事物，掌握它们的新意义，以便更好地了解宇宙以及我们在其中所处的位置。我们无法像哥伦布（Christopher Columbus）那样再发现一块新大陆，也不可能成为第一个踏上月球的人，这的确令人遗憾。但是，如果我告诉你，我们不必越洋远航，也不必飞越太空，就能发现世界奇观，你相信吗？世界奇观就在我们身边，与现实交织在一起，从某种意义上讲，它就埋藏在我们内心深处。数学指引着宇宙的运行，隐藏在各种形状与曲线背后，掌控着小到原子、大到一颗颗恒星的世间万物。
本书意在鼓励读者探索内涵丰富、五彩斑斓的数学世界，特别是那些没接受过专业数学教育的读者。如果你觉得数学太难，无法理解；或者如果你害怕数学，同时又希望了解数学是否值得你为之努力，那么，本书非常适合你。
人们常常以为，只有经过多年苦苦钻研，才能认识到数学的全部价值。这显然是错误的。有些人甚至认为，大多数人天生就学不会数学。我并不赞成这个观点。我们中的大多数人即使没有学过物理学和生物学的相关课程，却也听说过太阳系、原子及基本粒子、DNA（脱氧核糖核酸）双螺旋结构等概念，甚至还对这些概念的含义有初步的了解。人们很自然地认为这些复杂的概念是我们文化的一部分，也就是我们集体意识的一部分。同样，如果对数学中的重要概念与思想解释得当，那么，大家无须耗费几年的时间辛苦学习数学，也能顺利掌握这些概念与思想。在很多情况下，我们可以略过烦琐的中间步骤，直奔主题。
问题在于，几乎每个人都在谈论星球、原子和DNA等内容，但可能没有人会告诉你现代数学中的某些概念有多么引人入胜。比如，现代数学中有对称群，也有告诉你2加2不一定等于4的新型数字系统，还有“黎曼曲面”（Riemann Surface）等美丽动人的几何图形。人们在介绍数学的时候，就像指着一只小猫对你说老虎就是这个样子的。但是，老虎与猫根本不是一回事儿。我要在书中向大家展现数学美妙[1]绝伦的一面，用威廉·布莱克的话说，就是要让大家领略到“对称中令人震撼的美”。
大家不要误解，我并不是说阅读本书就能让你成为一名专业的数学研究人员。而且，我也不提倡全民学数学。我们可以这样想：在学会一两个和弦之后，我们就可以用吉他弹奏好几首歌了。你不会因此成为世界上最优秀的吉他手，但你的生活却变得更加丰富多彩了。我在本书中教给大家的就是现代数学中的“和弦”。我保证，当你学会这些你以前没有接触过的“和弦”之后，你的生活肯定会变得更加丰富多彩。
我的一位老师伊斯雷尔·盖尔范德（Israel Gelfand）经常说：“人们觉得他们无法理解数学，其实关键在于你是怎么向他们解释数学知识的。如果你问一位醉汉：2/3和3/5哪个大？他肯定答不上来。但是，如果你换一种问法：三个人分两瓶伏特加，和五个人分三瓶伏特加，哪一种方案更好？他会毫不犹豫地告诉你：当然是三个人分两瓶伏特加更好。”
我的目标就是用大家易于理解的语言向大家解释数学这门学科。
我还会穿插介绍我在苏联的成长经历。由于苏联特殊的政治政策，我无法进入莫斯科大学学习，数学研究的大门在我面前“砰”的一声关上了。但是，我没有因此放弃学习数学。我偷偷溜进莫斯科大学听课，我还找了一些数学方面的书籍阅读，有时甚至会读到深夜。只要有爱，还有什么可以阻止你呢？
随后，两位杰出的数学家接纳了我，他们成为我的导师。在他们的指引下，我开始了数学研究工作。当时，我还是一名大学生，但是我已经在不懈地探索未知领域了。这是我一生中最难忘的一段时光，尽管当时的政策不允许我在毕业后继续从事数学研究工作。
然而，奇迹出现了。我将自己完成的几篇数学论文偷偷地寄到了国外，结果引起了学术圈的关注，我在21岁时收到了赴哈佛大学担任客座教授的邀请。因此，我变成了一个没有博士学位的哈佛教授。随后，我继续在学术征程上前进，开始研究朗兰兹纲领。在过去20年里，我参与的一些朗兰兹纲领的研究活动取得了重大突破。在本书中，我将描述杰出数学家们的显著成果以及一些逸事。
* * *
本书的另一个主题是爱。有一次，我发挥了数学家的想象力，发现了“爱的公式”。后来我受到这个爱的公式的启发，拍摄了一部电影——《爱与数学之祭》（Rites of Love and Math，我将在本书的后续章节中做详细介绍）。每次我播放这部电影时，总有人问我：“真的有爱的公式吗？”
我回答道：“我们发现的所有公式都是爱的公式。”数学不断为我们贡献永恒而深奥的知识，直接触及所有事物的本质，跨越文化、大陆与历史的障碍，将我们所有人联系在一起。我的梦想是让所有人都能看到这些数学思想、公式和方程式中蕴含的美，都能体会其价值，并为之惊叹不已。这样，我们对世界的爱、我们彼此之间的爱，都将更加丰富、更有内涵。
[1] 威廉·布莱克（William Blake），英国第一位重要的浪漫主义诗人、版画家，英国文学史上最重要的伟大诗人之一，虔诚的基督教徒。主要诗作有诗集《纯真之歌》《经验之歌》等。早期作品简洁明快，中后期作品趋向玄妙深沉，充满神秘色彩。
导言
在撰写本书时，我尽量使用最基本、最直观的方式来解释每一个数学概念。不过，我发现本书的某些章节涉及的数学知识比较深奥（尤其是第8章、第14章、第15章和第17章的部分内容）。如果大家在第一次阅读时觉得本书的某些内容难以理解或者十分烦琐，完全可以跳过这些内容（我也经常以这样的方式阅读）。在读完第一遍、掌握了一些新知识之后，再回过头来阅读这些部分，你可能会觉得理解起来要容易一些。而且，跳过这些部分并不影响你对后续内容的理解。
也许我更应该提醒大家的是，某些内容一时看不懂其实无伤大雅。我在从事数学研究时，有90%的时间会有不甚明白的感觉，所以，不必紧张，欢迎来到我的世界。困惑（有时甚至是挫败感）是数学研究的一个必不可少的组成部分。不过，我们要看到积极的一面：如果生活中的一切都无须费力便可理解，那样的生活将会多么无聊！数学研究之所以如此令人兴奋，其原因就在于我们渴望解开这种困惑。我们希望理解自己所研究的内容，希望能够揭开数学神秘的面纱。在真正理解之后，我们内心深处会充满成功的喜悦，此时，你会觉得你所付出的一切都很值得。
在本书当中，我关注的是广阔的图景和不同概念及不同数学分支之间的逻辑关系，而不是技术细节。
我尽量减少使用公式，只要有可能，我都选择用语言来解释。关于书中出现的那几个公式，大家在阅读时也可以跳过不读。
关于数学术语，我需要提醒大家注意一个问题。在撰写本书时，我惊讶地发现，在数学学科中使用的某些特定表达，若在其他情况下使用，有可能意思完全不同。例如，数学中使用的“对应”（corresponding）、“表示”（representation）、“结合”（composition）、“圈”（loop）、“流形”（manifold）、“理论”（theory）等术语就与其在日常语境中的意义不同。只要有这种情况出现，我都会做出解释。此外，只要有可能，我都会用意义明晰的数学术语来替代意义模糊的术语，例如，我用“朗兰兹关系”代替了“朗兰兹对应”。
大家可以登录我的个人网页http://edwardfrenkel.com，查阅我更新的信息及上传的阅读辅助材料。第1章神秘的怪兽
怎样才能成为一个数学研究者呢？我觉得方法多种多样，下面我就与大家分享一下我的经历。
其实，在上学时我讨厌数学，这个情况可能出乎你的意料。“讨厌”这个说法也许有点儿夸张，但至少当时我不喜欢数学。在我看来，数学太枯燥了，虽然学数学对我而言并不难，不过我真的不明白为什么要学数学。在课堂上学习的那些东西似乎毫无意义，也看不出有什么实际用途。而且，我还以为学校教给我们的这些就是数学的全部内容了。我真正感兴趣的学科是物理，特别是量子物理。只要有机会，我就会如饥似渴地阅读物理方面的科普读物。我是在俄罗斯长大的，在俄罗斯找到这类书并不太难。
量子世界真是让我心旷神怡！自古以来，科学家和哲学家就有一个梦想，希望能描述宇宙的本质。有人甚至还提出假说，猜测所有物质都是由一种叫作原子的微小成分构成的。20世纪初，人们证明原子确实存在。但几乎在同一时间，科学家发现，每个原子还可以再分解。原来，原子都是由位于其中心的原子核和围绕原子核旋转的电子构成的，而原子核又是由质子和中子构成的。这种结构可以用下面这幅图来表示：
那么，质子、中子和电子又是由什么构成的？结果，我在那些科普读物中找到了答案：它们都是由“夸克”（quark）这种基本粒子构成的。
我非常喜欢“夸克”这个名字，特别是这个名字的由来。首先提出这个概念的物理学家默里·盖尔曼（Murray Gell-Mann）是从詹姆斯·乔伊斯（James Joyce）的小说《芬尼根的守灵夜》（Finnegans Wake）中借用了这个名字。在那部小说里，有这样一首模仿诗：冲马克先生叫三声夸克！他肯定没有从叫喊声中听到什么，因为他听到的都是毫不相干的内容。
一位物理学家在考虑为一种粒子命名时，竟然从小说中寻找灵感，而且还是《芬尼根的守灵夜》这样一部异常复杂的巨著。我觉得这实在是太特别了。当时，我大约13岁。在我看来，科学家都是不谙世事的怪物。他们离群索居，埋头钻研，对诸如人文艺术等生活的其他方面没有丝毫兴趣。而我的生活却不是这样。我有很多朋友，我喜欢阅读，我不仅对自然科学感兴趣，还有很多其他爱好。我爱踢足球，经常跟朋友们在球场上纵情奔跑，一踢就是好几个小时。在我为“夸克”着迷的同时，我还第一次感受到了印象派绘画的魅力（父亲的藏书中有一本介绍印象派的大部头，它为我打开了这扇迷人的窗户），甚至还拿起画笔亲自尝试了一番。正是因为我的爱好很多，所以此前我一直怀疑自己可能并不适合成为一名科学家。然而，当看到盖尔曼这位伟大的物理学家、诺贝尔奖得主，竟然也兴趣广泛（不仅对文学，还对语言学、建筑等领域感兴趣），我非常开心。
盖尔曼认为，夸克有两种不同类型，即“上夸克”（up，下图中表示为u）和“下夸克”（down，下图中表示为d）。如果两种类型的夸克以不同的比例混合在一起，其构成的中子和质子就具有不同的特性。如下图所示，中子由两个下夸克和一个上夸克构成，而质子则由两个上夸克和一个下夸克构成。
这个理论猜测质子与中子并非一个个不可见的粒子，而是由更小的块状结构堆砌而成的。理论本身虽然没有一点儿含糊之处，但是物理学家是如何促使这一理论形成的，人们却并不清楚。
事情的缘起要追溯到20世纪50年代末。当时，人们发现了大量明显是基础粒子的强子。中子与质子都是强子，它们作为构成物质的“砖石”，在日常生活中自然起到了非常重要的作用。至于其他强子，却没有人清楚其存在的意义。（一位研究人员说：“是谁为这些强子分类排序的呢？”）强子的种类非常多，就连沃尔夫冈·泡利（Wolfgang Pauli）这位颇具影响力的物理学家也开玩笑说，物理学都要变成植物学了。为了探寻强子发生变化的基本原理，解释强子疯狂裂变的根本原因，物理学家们迫切地需要掌控住这些强子。
盖尔曼与尤瓦勒·内埃曼（Yuval Na’eman）各自提出了一种新颖的分类方案。在他们的方案中，他们都认为强子可以自然地分裂成更小的族系，每个族系由8个或10个粒子构成，分别称作“八重态”和“十重态”。在这些族系中，所有的粒子都具有相似的属性。
在我当时阅读的那些科普读物中，著者用下图来表示八重态的结构：
在这幅图中，质子被记作p，中子被记作n，另外还有6个粒子，它们各有一个奇怪的名字，都用希腊字母表示。
为什么每个族系中的粒子数目都是8个或10个，而不是7个或11个呢？我在那些书里没有找到统一的合乎逻辑的解释。虽然书中都提到一个由盖尔曼提出的神秘理论，名为“八重道”（暗指佛教中的“八正道”），但却根本没有解释该理论到底讲的是什么。
由于缺少解释，我反而被激起了更强的好奇心。该理论的关键部分到底是什么不得而知，因此，我希望解开这个谜，但却无从下手。
幸运的是，我家人的一位朋友伸出了援助之手。我是在一个名叫科诺姆纳的工业小镇长大的。小镇有15万人口，离莫斯科大约70英里（约为112.654公里），乘火车大约需要两个小时。我的父母是工程师，在一家制造重型机械的大企业工作。科诺姆纳位于两条河流的交汇处，是一座古老的小镇，建于1177年，比莫斯科的建成仅晚了30年。科诺姆纳现在仍有几座保存完好的教堂，与旧城墙一起，见证了小镇的历史。但是，这个小镇谈不上教育与学术中心，只有一所规模不大的大学，为当地学校培养老师。但是，这所大学里有一位名叫叶夫根尼·叶夫根尼耶维奇·彼得罗夫（Evgeny Evgenievich Petrov）的教授，他是我父母的好朋友。一天，我母亲在街上遇到了这位教授。因为很长时间没见面，他们就交谈起来。母亲喜欢与她的朋友谈论我的事情，当叶夫根尼·叶夫根尼耶维奇听说我对科学感兴趣时，他说：“我得见见他，我想让他把兴趣转到数学上来。”“哦，不行啊，”母亲说，“他觉得数学很枯燥，所以不喜欢数学。他希望学习量子物理。”“不用着急，”教授说，“我有办法让他改变主意。”
于是，他们就安排了我们的见面。虽然我对这次见面并不是非常热心，但我还是去了他的办公室，见到了叶夫根尼·叶夫根尼耶维奇。
那时候，我快满15岁了，正在读九年级，即将升入高中。（我跳过一级，比同班同学小一岁。）叶夫根尼·叶夫根尼耶维奇当时40岁出头，非常友好，也没什么架子。他戴着一副眼镜，满脸胡茬儿，与我心中的数学家形象没什么两样。但是，他的眼睛很大，看人时目光锐利，仿佛他对周围所有的事物都充满了好奇心，这让我觉得他颇有几分魅力。
事后看来，叶夫根尼·叶夫根尼耶维奇确实有好办法，可以让我把兴趣转移到数学上。我一进他的办公室，他就问我：“我听说你喜欢量子物理，对吗？那你听说过盖尔曼的八重道与夸克模型吗？”“是的，我在几本科普读物中读到过。”“但是你知道他建立这个模型的基础是什么吗？盖尔曼又是怎么想到这些的呢？”“这个……”“你听说过SU(3)群吗？”“SU……什么？”“如果你不知道SU(3)群，怎么可能理解夸克模型呢？”
彼得罗夫教授从书架上取下几本书，打开后，让我浏览了几页。上面满是各种各样的公式，我看到了熟悉的八重态图，就像前文提到的那幅图一样。但是，这些图中并不只有一个个漂亮的图形，旁边似乎还有合乎逻辑的详细解释。
虽然这些公式让我有点儿摸不着头脑，但是我立刻明白过来，这些公式不就是我一直在苦苦寻找的答案吗？这一刻，我看着这些公式，听着教授的话，仿佛被催眠了一样。我的心中突然产生了一种前所未有的悸动。这种感觉无法用语言形容，但是我能感觉到那股冲击力，就像听到一段让人无法忘却的美妙音乐、看到一幅空前绝后的画作时那样激动。我彻底被征服了，心里不禁惊叹一声：哇！“你可能以为学校教的那些东西就是数学吧？”叶夫根尼耶维奇摇了摇头，他指着书中的公式说，“你错了，这些才是数学。如果你真的想要了解量子物理，就应该从这里开始。盖尔曼用美妙的数学理论证明了夸克的存在，事实上它应当是数学领域的一个发现。”“但是我怎么才能学会这些东西呢？”
这些公式之类的东西看上去深奥得吓人。“别着急，你首先要学习‘对称群’的概念。对称群非常重要，理论物理与数学的大部分内容都建立在对称群的基础之上。我希望你能读一读这几本书，你现在就可以开始阅读，遇到不懂的地方，做个标记。我们每周在这里见面，讨论你读过的内容。”
他递给我几本书。其中一本介绍了对称群，另外几本涉及不同的内容，包括p进数（与我们习惯的数字体系截然不同的一套数字）与拓扑学（几何图形最基本特征的研究）。叶夫根尼耶维奇的眼光极为精准，他挑选的这几本书，可以帮助我从不同侧面去了解数学这头神秘的怪兽，并对它产生浓厚的兴趣。
我们在学校学过二次方程式，也学过一点儿微积分知识，还学过欧几里得几何学的基础知识和三角学。我一直以为，数学的核心内容无非就是这些，可能有一些更加复杂的难题，但都不会跳出我熟悉的这个总体框架。但是，叶夫根尼耶维奇给我的这几本书，却让我窥探到一个截然不同的数学世界，一个完全超乎我想象的数学世界。
我的兴趣几乎瞬间就被转移到数学上了。第2章对称的奥秘
大多数人认为，数学研究的就是数字，从事数学研究的人整天都在处理一些大数字，甚至是一些超级大的数字，而且所有数字都会有稀奇古怪的名称。至少在叶夫根尼耶维奇向我介绍现代数学的那些概念和想法之前，我也是这样以为的。事实上，在那些概念与想法中，就藏有一把帮助人们打开夸克理论大门的钥匙——对称（symmetry）概念。图片来源：K·G·利布雷希特（K. G. Libbrecht）
对称是什么？我们每个人对这个概念都有一个直观的理解，看到某个图形就可以知道它是否对称。当我要求人们给出一个对称物体的例子时，他们总以蝴蝶、雪花为例，或者认为人体就是对称的。
但是，当我问他们在什么情况下我们会说一个物体是对称的时候，他们却语焉不详。
对于这个问题，叶夫根尼耶维奇是这样给我解释的。“让我们来看看这张圆桌，还有这张方桌，”他指着办公室里的两张桌子问道，“哪张桌子更加对称呢？”“当然是圆桌，这不是显而易见的吗？”“为什么？数学研究可不能因为答案‘显而易见’就视其为正确答案啊，你必须使用推理的方法。通过推理，你常常会惊讶地发现，最显而易见的答案竟然是错误的。”
看到我一脸迷惑的样子，叶夫根尼耶维奇给了我一点儿提示：“如果说圆桌更加对称，那是因为圆桌具有哪些属性呢？”
我思索了一会儿，然后回答道：“对称的物体，即使我们转动它，它的形状和位置也会保持不变。我想对称性应该与这个特点有关系。”
叶夫根尼耶维奇点了点头。“的确如此。我们来研究一下，在发生哪些转动时，这两张桌子会保持形状与位置不变。”他说，“对于圆桌而言……”
我打断了他的话，说道：“围绕中心点，无论怎么旋转，桌子都会处于其先前所在的位置。但是，如果我们随意旋转方桌，一般都会改变桌子的位置。只有当方桌旋转90度或者90度的倍数时，其位置才不会变。”“说得对极了！如果你离开我的办公室一会儿，我转动圆桌，无论我怎么转，你回来后都不会发现它有什么异样。但如果转动了方桌，你就会发现它有变化，除非我让方桌转动90度、180度或者270度。”圆桌转动任意角度，其位置都不会发生改变，但是转动方桌时，如果转动的角度不是90度的倍数，方桌的位置就会发生变化（本图是表现两张桌子转动情况的俯视图）
他接着说道：“这样的变化叫作对称操作。方桌只有4种对称操作，而圆桌的对称操作数量却要多得多——事实上，圆桌有无数种对称操作。因此，我们会说圆桌更加对称。”
这样的解释很有道理。“这些都是非常直接的观察，”叶夫根尼耶维奇接着说，“即使你从事的工作不是数学研究，你也会知道这些。但是，如果你是从事数学研究的专业人士，你就会问另一个问题：对于给定物体的对称操作都有哪些？”
我们来看看方桌的情况。方桌的对称操作有4种：围绕桌子的中心点，按逆时针方向旋转90度、180度、270度或360度。数学研究者认为，方桌的对称集合中包含4个元素，分别对应90度、180度、270度和360度的角。我们把它们标记为桌子的四角，每次旋转都会把一个固定的桌角（下页图中带有球形标记的桌角）转动到另一个桌角所在的位置。
在这4种旋转操作中，有一种比较特别。把方桌旋转360度与旋转0度的效果一样，也就是说，旋转360度跟没有旋转一样。的确，桌子上的每一个点的位置，都与其旋转之前的位置相同。这样的旋转是一种特殊的对称操作，对物体本身没有促成任何实质性的变化，我们把它称作“恒等对称”（identical symmetry）或“恒等元”（identity）。
注意，当物体旋转角度超过360度时，其效果会与旋转角度为0度至360度之间的某次操作效果相同。例如，旋转450度的效果与旋转90度的效果相同，因为450=360+90。因此，我们只考虑0度至360度之间的旋转操作。
下面的观察非常重要：如果我们依次完成{90度，180度，270度，360度}集合中的两种旋转操作，其效果与该集合中的另外一种旋转的效果相同。我们把后一种对称操作称作前两种对称操作的结合。
显而易见的是，这两种对称都能保证桌子位置不发生变化。因此，它们结合后也会保证桌子位置不发生变化，所以，这构成了一种对称操作。例如，如果我们把桌子旋转90度，再旋转180度，最终结果则是旋转270度。
我们看看桌子经过这些对称操作后会产生什么结果。按逆时针方向旋转90度之后，右侧桌角（第16页图中有球形标记的桌角）会移动到上方桌角的位置。
接下来，我们再把桌子转动180度，上方桌角就会移动到下方桌角所在的位置。最终结果是，最初的右侧桌角移动到下方桌角所在的位置，这与将桌子逆时针旋转270度产生的结果一样。
再举一例：
90度+270度=0度
先旋转90度，再同方向旋转270度，则一共旋转了360度。上文讨论过，旋转360度的结果与旋转0度的结果一样，这就叫作“恒等对称操作”。
换句话说，第二次的270度旋转消除了第一次的90度旋转的结果。这其实是一种重要特性：所有对称操作的结果都可以被消除。也就是说，对于任意对称操作S，总是存在另一个对称操作S'，两者组合后形成恒等对称操作。因此，S'被称作S的“反演对称”。我们发现，270度旋转是90度旋转的反演。同理，180度旋转的反演操作是其本身。
现在，我们可以看出，看似非常简单的方桌对称操作集合——{90度，180度，270度，360度}，其内部结构特点，即集合中各元素相互作用的规则，实际上比较复杂。
首先，我们可以将任意两种对称操作结合（即依次完成这两种操作）。
其次，存在一种特殊的对称操作，即恒等对称操作。在我们这个例子中，0度旋转就是恒等对称操作。如果我们把0度旋转与任意对称操作相结合，得到的仍然是该对称操作。例如：
90度+ 0度=90度，180度+ 0度=180度，…
第三，对于任意对称S，总是存在反演对称S'，两者结合形成恒等对称操作。
现在，好戏就要上演了！具备上述三个结构特点的对称操作集合，构成了一个被数学研究人员称为“群”的例子。
任意物体的对称操作都可以构成群，而且一般由更多的元素（甚至可能由无数个元素）构成。
下面我们结合圆桌来讨论这个问题。现在我们已经有了一些经验，可以清楚地知道圆桌的所有对称操作构成的集合，就是所有可能的角度（而不仅仅是90度的倍数）旋转构成的集合，我们以圆上所有点构成的集合来形象地表示该集合。
圆上每个点都分别对应0度至360度之间的一个角度，圆上还有一个对应0度旋转的点，它比较特殊，需要引起注意。下图中，代表30度旋转的点与代表0度旋转的点一起构成了一个30度的角。
不过，我们不能把该圆上的各点看成圆桌上的点。圆上的点表示的是圆桌特定的一种旋转操作。注意：我们可以在这个圆上先选定一个点，即与0度旋转对应的点，而圆桌上并不存在这样的点。
接下来，我们来证明圆上各点是否符合上述三个结构特点。
首先，φ1度与φ2度旋转的结合等同于（φ1+φ2）度旋转。如果φ1+φ2的值大于360度，从其和中减去360度即可。在数学上，这种算法被称作“模360度加法”（addition modulo 360）。例如，如果φ1=195度，φ2250度，那么两个度数之和为445度，而且445度旋转的结果与85度旋转的结果相同。因此，在圆桌旋转群中，我们有
195度+250度=85度
其次，圆上有一个特殊的点，对应0度旋转。该点是该群的恒等元。
最后，φ度逆时针旋转的反演操作就是逆时针（360–φ）度旋转或φ度顺时针旋转（见下图）。
至此，我们已经描述了圆桌旋转群的情况，我们把它称为“循环群”。与包含4个元素的方桌对称群不同，圆桌循环群包含无数个元素，因为在0度和360度之间有无数种角度。
以上是我们从纯理论角度对对称的直观理解，也就是说，他们把对称转化成了一个数学概念。首先，我们假设对物体的对称操作就是保持物体本身及其属性不变的一个变化过程，然后我们又完成了一个非常关键的步骤：把研究的重点从物体本身转移到所有由对称操作构成的集合上。对于方桌而言，该集合包含4个元素（90度倍数的旋转操作）；而对于圆桌而言，该集合是无穷集合（包含圆上所有的点）。最后，我们描述了该对称操作集合始终具备的三个结构特点：任意两种对称操作可以结合成为另一种对称操作；存在恒等对称操作；对于每一种对称操作，都存在反演操作。通过以上步骤，我们得到了“群”这个数学概念。
对称操作群是一个抽象概念，它与我们开始时介绍的具体对象（比如方桌、圆桌）差异甚大。我们无法触碰也无法抬起桌子的对称操作集合，但我们却可以触碰也可以抬起桌子。我们可以通过思考这个抽象概念，推断出其包含的元素，并开展研究与讨论活动。这个抽象集合中的所有元素都有具体含义：代表某个具体对象的某种变化，即对称操作。数学研究的对象就是诸如此类的抽象对象与概念
经验告诉我们，对称是大自然运转的基本法则。例如，雪花总是呈现为完美的六边形，这是因为六边形是最低能态，水分子在结晶时一定会形成六边形。雪花的对称操作群由60度倍数的旋转操作组成，即60度、120度、180度、240度、300度和360度（与0度旋转效果相同）的旋转。此外，我们还可以沿着与雪花任意顶角对应的轴“翻转”雪花。这样的旋转与翻转都不会改变雪花的形状与位置，因[1]此它们都是雪花的对称操作。
再比如蝴蝶。上下翻转蝴蝶，会使蝴蝶的头部朝下。而且，由于蝴蝶只有身体的一侧有腿，因此，严格地说，翻转不构成蝴蝶的对称操作。我们在把蝴蝶的形状当作对称图形考虑时，是将其假设成理想化的形状，把蝴蝶身体的前后部位看成完全相同的形状（真实情况并非如此）。在这种状态下翻转蝴蝶，使蝴蝶左、右翅膀位置对调，就会构成对称操作。（或者，我们也可以想象在不把蝴蝶前后翻转的情况下对调其身体两侧的翅膀，结果相同。）
这就引出了一个很重要的问题：自然界中有很多物体只是近似“对称”的。在真实世界中，桌子并非标准的圆形或方形，蝴蝶身体的前后部位不对称，人体也不是完全对称的。但是，即便如此，我们也可以对这些物体进行抽象思考，将其假设成理想化的形状，即模型——把桌子看成规整的圆形，或者把蝴蝶看成身体前后部位没有区别的图形。事实证明，这样处理的效果非常好。我们可以通过研究模型的对称，并根据真实物体与模型之间的差异，对分析得出的所有推断加以调整。
我们研究对象的对称性，并不意味着我们不重视非对称性。事实上，我们经常能感受到非对称当中蕴藏的美。但是，对称数学理论的研究重点不是美学，而是在最具普遍性意义也最抽象的条件下建立对称概念，从而使得这个概念能普遍地适用于所有不同领域，包括几何学、数论、拓扑学、物理、化学、生物学等。一旦我们发展出这样的理论，我们就可以用它来讨论破坏对称性的机制——如果你愿意，可以把非对称看成一种必然现象。例如，基本粒子遵从所谓的“规范性对称”（gauge symmetry），一旦在“希格斯玻色子”（Higgs boson）的帮助下打破这种对称，基本粒子就能获得质量。希格斯玻色子是一种难以辨识的粒子，近几年人们在日内瓦大型强子对撞机中发现了这种粒子。事实证明，研究对称性的破坏机制，可以帮助人们深入了解自然界基本构成单位的作用机制，这具有不可估量的意义。
* * *
对称理论有助于揭示数学的重要意义，因此，我要对这个抽象理论的基本特点进行如下说明。
对称理论的第一个特点是“普适性”（universality）。循环群不仅指圆桌对称群，还包括玻璃杯、瓶子、圆柱等所有包含圆形元素的物体的对称群。事实上，我们说这些物体是圆形，或者说这些物体的对称群是循环群，这两种说法的意思是一样的。这也就意味着，我们可以通过描述对象的对称群（圆）来描述该对象的一个重要特性（“是圆形的”）。同样，“是方形的”这个描述意味着该对象的对称群是上文讨论过的由4个元素构成的群。换句话说，数学中的同一个抽象对象（如循环群）可用于研究多种具体对象，指向这些对象普遍具有的共同特性（如圆形）。
对称理论的第二个特点是“客观性”（objectivity）。比如，群的概念不因我们的理解而发生改变。无论是谁学习群的概念，它的内容都不会有任何变化。当然，要真正理解一个概念，我们必须了解描述这一概念所使用的语言——数学语言，所有人都可以掌握数学语言。同样，如果我们希望读懂笛卡儿（René Descartes）说的“Je pense，donc je suis”，就必须学习法语（至少要学会这句话里的这些单词），而我们都能通过学习达到这个要求。不过，人们在读了笛卡儿的这句话之后，可能会有不同的理解。同样，对于这句话的某种理解，有人认为它是对的，有人则认为它是错的。与笛卡儿的话不同，逻辑严谨的数学语言所表达的意思不存在多种理解的问题，其真实性也是客观的。（一般说来，某个数学命题的真实性可能取决于其所在的公理体系。不过，它仍然具有客观性。）例如，“圆桌的对称群是一个圆”这句数学语言，在任何地点、任何时间以及任何人看来，都是一个真命题。一言以蔽之，数学上的真实性具有客观必然性。关于这个特点，我们将在第8章进行详细讨论。
对称理论的第三个特点是“持久性”（endurance）。这一点与第二个特点的关系极为密切。毋庸置疑，无论对古希腊人还是现代人而言，勾股定理所表述的内容都毫无二致，而且我们有足够的理由相信，它的内容在未来也不会发生任何变化。同样，本书中讨论的所有为真的数学命题也将永远为真。
世界上存在这种客观真实、持久不变的知识（而且为我们全人类所掌握）也的确是个奇迹。这说明，数学概念存在于物理世界和精神世界以外的一个世界——有时被称作柏拉图式的数学世界（我们将在全书的最后一章做详细讨论）。我们仍然不清楚数学世界的真面目，也不了解促使人们探索数学世界的因素。但是，毋庸置疑，这个披着神秘面纱的实体将在我们的生活中发挥越来越重要的作用，尤其是在先进的计算机新技术与3D打印技术问世之后，其重要性还将进一步提升。
对称理论的第四个特点是数学与物理世界的“相关性”。例如，近50年来，人们在研究基本粒子及其相互作用时应用了对称概念，从而得以在量子物理学领域取得很多成就。从对称的角度来看，电子或夸克等粒子就像一张圆桌或者一片雪花，其特性在很大程度上是由其对称操作决定的。（在这些对称操作中，有的极为精准，有的只是近似对称。）
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夸克的发现就是一个很好的例子，它充分说明了数学理论在物理学研究中发挥的重要作用。通过阅读叶夫根尼·叶夫根尼耶维奇介绍的那些书，我发现我们在第1章中讨论的盖尔曼–内埃曼强子分类法的核心就是一个对称群。之前，已经有数学家研究过这种群，但是他们根本没有想到该群与次原子粒子有相关性。该群的数学名称是SU(3)群，其中S和U代表“特殊酉群”（special unitary）。SU(3)群的特点与球面对称群（我们将在第10章做详细讨论）非常相似。
之前，数学家们已经描述过SU(3)群的各种“表示”，也就是将SU(3)群转变为对称群的方法。盖尔曼和内埃曼在发现强子具有某些固定模式之后，注意到这些模式与SU(3)群的各种表示之间有相似之处，他们就利用这种相似性对强子进行了分类。“表示”（representation）一词在数学上的用法比较特别，与其在日常语境下的用法大不相同。这里，我先对这个词在上段文字中的含义做一下说明。举一个例子可能更便于大家理解。我们先来回想一下前文讨论过的圆桌旋转群，接着，我们可以想象桌面沿各个方向无限延伸，这样，我们就得到一个抽象的数学对象：平面。此时，桌面绕中心点的每次旋转都会导致该平面绕同一个点旋转。随后，我们得到一个规则，可以将该平面的一个对称操作（旋转）赋值给循环群的各个元素。换言之，循环群的每个元素都可以用该平面的一个对称操作来表示，数学家将其称作“旋转群的表示”。
由于平面有两个坐标轴，每个点有两个坐标，因此我们知道平面是二维的。
在此基础上我们可以说已经构建出旋转群的一种“二维表示”。
某些空间的维数大于二，例如，我们生活的世界是一个三维空间。也就是说，三维空间有三个坐标轴，因此，为了确定一个点的位置，我们需要规定该点的三个坐标，即（x，y，z）。
我们无法想象四维空间的情况，但是数学提供了一种普适性语言，使我们可以讨论任意维数的空间。也就是说，在讨论三维空间时，我们用三个一组的数字（x，y，z）来表示各个点，同样，我们也可以用四个一组的数字（x，y，z，t）来表示四维空间中的点。依此类推，对于任意自然数n，我们都可以用n个一组的数字来表示n维空间中的点。如果你使用过电子数据表程序，就会遇到这种数字：它们在数据表中表现为n行，这n个数字中的每一个都对应表中所储存数据的某种属性。因此，表中各行分别对应n维空间中的一个点。（我们会在第10章详细讨论各种维数的空间。）
如果某个群的各个元素都可以通过某种一致的方式表现为某个n维空间的一种对称操作，我们就说该群有一种“n维表示”。
研究证明，给定群可能有不同维数的“表示”。基本粒子之所以是包含8个或10个粒子的族系，其原因在于，人们发现SU(3)群具有8维或10维表示。盖尔曼和内埃曼构建的每个八重态中包含8个粒子，与一个8维空间的8个坐标轴构成一一对应关系，而该8维空间又是SU(3)群的一种表示。十重态中的粒子也具有同样的特点。（但是，数学家已经证明，SU(3)群没有7维或11维表示，因此，这些基本粒子不能包含7个或11个。）
人们按照粒子的相似属性为其分组，起初的原因是这样分组比较方便，但是随后，盖尔曼在此基础上迈进了一步，他假设在这种分类方案背后还有深层次的原因。盖尔曼曾说过这样的话，大意是：这种分组方案的效果很好，是因为强子包含了更小的粒子，即夸克；有时包含两个，有时包含三个。物理学家乔治·茨威格（George Zweig）也独立提出了一个类似的概念[茨威格把这种粒子称作“艾斯”（ace）]。
这个新概念的确惊世骇俗。当时，人们普遍认为质子、中子及其他强子是不可再分的基本粒子。夸克的概念明显与这一信条相悖，同时，它的提出预示着新粒子的存在，而且人们从未见过的这些新粒子还具有奇怪的属性。例如，根据预测，这些粒子带有电荷，电量则是电子所带电量的一部分。这个预测令人震惊，因为还没有人观察到这些粒子。结果出乎所有人的预料：科学家们很快就在实验中发现了夸克，而且夸克真的带有一部分电量！
盖尔曼与茨威格是如何得出这个结论的呢？他们做出这样的推断，是基于SU(3)群的表示。SU(3)群有两种表示，而且都是三维表示。（群的名称中包含的数字3指的就是这个意思。）因此，盖尔曼提出，这两种表示应该可以描述基本粒子的两个族系：分别包含三种夸克和三种反夸克。研究表明，可以根据SU(3)群的两个三维表示构建8维和10维表示。这个发现为我们利用夸克构建强子（就像搭建乐高积木玩具一样）绘制了一幅精准的蓝图。
盖尔曼把这三种夸克分别称作“上夸克”“下夸克”“奇夸克”。我们从前文的图示中可以看出，质子由两个上夸克和一个下夸克构成，中子则包含两个下夸克和一个上夸克。质子和中子这两种粒子都属于八重态，而八重态中的其他粒子不仅包含上夸克和下夸克，还包含奇夸克。还有另一些八重态，其中的粒子由一个夸克和一个反夸克构成。
夸克的发现充分说明数学在自然科学中所起到的重要作用，我们在序言中也讨论过。人们预测这些粒子存在的依据不是经验性数据，而是数学的对称模式，是人们在SU(3)群数学表示理论这个复杂的框架下完成的纯理论性预测。物理学家用了多年的时间才掌握了该理论（事实上，有些物理学家最初是抵制这个理论的），现在，这套理论已经变成了基本粒子物理的基础内容了，它不仅帮助我们完成了对强子的分类，还带来了夸克的发现，进而彻底改变了人们对物理现实的理解。
* * *
不妨设想一下：一套看似高深莫测的数学理论，却能帮助我们深入探索构建自然界的“基本元素”，这多么神奇！这些微粒构建了一个深具魔幻色彩的和谐家园，我们怎么能不为之心醉神迷呢？数学这个强大的工具，帮助我们窥探到深藏于宇宙内部的奥秘，我们又怎么能不为之惊叹不已呢？
有一个故事广为流传：威尔逊山天文台需要一架望远镜，借此来勾勒人们所处的时空。爱因斯坦的妻子艾尔莎听说这件事之后，说：“哦，我丈夫在旧信封的背面就可以完成这项工作。”
科学家确实需要日内瓦大型强子对撞机这样造价昂贵、结构复杂的机器，但是像爱因斯坦、盖尔曼这样的科学家，仅仅利用最为抽象而且几乎是纯理论性的数学知识，就揭开了我们这个世界埋藏得最深的秘密。这的确令人叹为观止。
我们所有人，无论信仰什么，都可以拥有这种知识。它把我们凝聚在一起，为我们孜孜不倦探索宇宙的热情赋予了新的含义。
[1] 注意：桌子的翻转不构成对称操作：桌子会四脚朝天——别忘了，桌子有四条桌腿。如果我们考虑正方形或者圆形（不考虑有桌腿的情况），那么翻转也是标准的对称操作，因此也会被纳入对称群。第3章第五道题
叶夫根尼·叶夫根尼耶维奇的办法奏效了，我“弃暗投明”，把兴趣转移到了数学上，并很快取得了进展。就像坠入爱河的人一样，我越是深入地研究数学知识，便越是深陷其中不能自拔，总是希望能继续探索下去。只要有爱，就会有这样的表现。
我与叶夫根尼·叶夫根尼耶维奇的见面成了一种惯例。他不断为我推荐书目，而我则每周都要去他任教的教育学院，与他讨论我的读书心得。叶夫根尼·叶夫根尼耶维奇经常踢足球、打冰球和排球。他的烟瘾也很大，经常一支接一支地抽。因此，在那段岁月之后相当长的一段时间里，香烟味与数学题总在我的脑海里缠绕在一起，挥之不去。
有时，我们讨论得十分热烈，直至深夜。有一次，我们甚至被锁在了学校的礼堂里。管理员根本想不到，那么晚了礼堂里竟然还有人。而我们因为讨论得十分投入，连管理员锁门的声音也没听到。好在礼堂在一楼，我们俩最后翻窗户离开了。
那是1984年，当时我正上高三，面临着报考哪所大学的问题。莫斯科有很多大学，但只有一所大学设有纯理论数学专业，那就是莫斯科国立大学。这所大学的俄语名称是“Moskovskiy Gosudarstvenny Universitet”，缩写为“MGU”，它的力学与数学系实力非常强，在苏联首屈一指。
俄罗斯的大学入学考试与美国学生参加的学术能力评估测试（SAT）不同。报考力学与数学系要参加4门考试：数学笔试、数学口试、论文写作和物理口试。像我这样获得最高荣誉（苏联时期的最高荣誉是“金奖”）的高中毕业生，只要第一门考试取得最高分5分，就会被录取。
当时，我在数学方面的学习内容已经远远超出高中范围，因此，我觉得莫斯科大学的入学考试对于我来说应该如探囊取物。
事实证明，我过于乐观了。我收到的第一个预警信号是一封信，是我就读的一所函授学校寄给我的。这所学校是由苏联著名数学家伊斯雷尔·盖尔范德（后文中我们还会详细介绍这位数学家）等人于多年前创办的，旨在帮助像我这样家不在大城市、无法就读数学专科学校的学生。这所学校每个月都会给我们寄一份小册子，介绍数学专科学校的学习内容，并稍微涉及一些超出正常难度的学习内容。小册子中还有一些数学题，其难度超过高中生在学校里的学习内容，要求我们完成题目后寄回。负责评分的人（通常是莫斯科大学的在校学生）看完我们的解答后，给出分数，然后再寄回给我们。我已经在这个学校学习了三年时间，同时，我还读了另一所侧重物理教学的学校。对我来说，虽然这些学习内容与在普通学校里学到的非常接近（不过，难度与我私下里跟叶夫根尼·叶夫根尼耶维奇学习的内容根本不可同日而语），但我觉得自己还是有所收获。
这封信并不长：“如果你想报考莫斯科大学，请来我校办公室面谈，我们很乐意为你提供咨询。”信中还给出了申请者可去莫斯科大学校园里拜访的具体地址和访问时间。收到这封信后不久，我就乘了两个小时的火车，来到莫斯科。学校的办公室很大，里面摆着一长排课桌，还有几个人正在忙活着——有的在打字，有的在批阅试卷。我做了自我介绍，并拿出了那封信，随后有人把我带到一位娇小的、
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