作者：张顺燕
出版社：北京大学出版社
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数学的思想、方法和应用(第3版)(普通高等教育“十一五”国家级规划教材)试读：
前言
本书1997年出版后，受到广大读者和许多老师的热情关怀和支持，并提出很多宝贵意见。这期间作者本人又有几次实践机会，积累了一些经验，因而对本书作适当修改，就是必然的了。为此作如下说明。（1）本书的目的在于：
给你一双数学家的眼睛，丰富你观察世界的方式；
给你一颗好奇的心，点燃你胸中的求知欲望；
给你一个睿智的头脑，帮助你进行理性思维；
给你一套研究模式，使它成为你探索世界奥秘的望远镜和显微镜；
给你提供新的机会，让你在交叉学科中寻求乐土，利用你的勤奋和智慧去作出发明和创造。（2）本书着重于数学精神的培养。日本的米山国藏说：“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中接受的数学知识因毕业了进入社会后，几乎没有什么机会应用这些作为知识的数学，所以通常是出校门不到一、两年就很快忘掉了。然而，不管他们从事什么业务工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学精神，数学的思维方法，研究方法和着眼点等，都随时随地发生作用，使他们受益终生。”这些话也反映了作者的期望。（3）培养学生对数学的兴趣。目前中学数学教育存在一些弊病。例如，重技巧轻思想，重枝节轻整体，给学生一大堆模式去记。这主要是应试教育造成的，使得数学像尘土一样无趣，从而挫伤了他们的积极性。有些学生是因为害怕数学才转入文科的。老师应注意到这一点，有意识地，并逐步地消除学生的误解。要通过实例告诉学生，当今已进入信息时代，数学对人文科学的重要性已不可忽视。（4）修订版删去了部分内容，并对全书的内容、结构、编排作了修订和调整，删去了“不定方程”、“双曲几何的庞加莱模型”等内容，增加了“数学的地位和作用”等有关数学素质教育的内容。
2001年，本书修订版被列为北京市高等教育精品教材立项项目，作者深感荣幸。书中还有许多缺点和可争论之处。欢迎老师和同学们提出批评。
北京大学数学学院的陈维桓教授对本教材提出许多中肯的意见，北京大学出版社刘勇同志始终关心本书的出版，并给出许多有益的建议，借此机会向他们表示衷心的感谢。张顺燕于北京大学燕北园2003年2月2日序
北京大学数学科学学院张顺燕同志编著的“文史哲类高等数学”正式出版，我很高兴。为文史哲类的文科学生编写高等数学教材在我校还是一次尝试。这本书很有特色，是一次有意义的探索。
数学是人类文化中影响全局的一个部分。二次大战以后，应用数学获得蓬勃发展，使得社会对数学的依赖日益加深。特别是当今计算机的迅猛发展与应用相配合，已使数学深入到社会的各个领域。人们说，21世纪是信息时代，而信息时代就是数学时代。这就要求数学教育必须不断改进以适应社会发展的新要求，使数学教育对自然科学，同时也对社会科学作出新贡献。
这本教材没有走删繁就简的老路，而是另辟新路以适应文史哲类文科学生的要求。我赞成这种写法，并希望由此引出一套成熟的教材。
现在是20世纪末，为了迎接21世纪，我们要勇于革新，勇于实践，为祖国的教育事业作出新成就。中国科学院院士1997年2月于北京大学朗润园前言
数学是科学的大门和钥匙。Rogen Bacon
数学是我们时代有势力的科学，它不声不响地扩大它所征服的领域；那种不用数学为自己服务的人将会发现数学被别人用来反对他自己。J．F．Herbart
作为加强大学生文化素质的一项措施，高等数学已被列入文科的教学计划之内。从1994年起，北京大学第一次为文科实验班，文、史、国际政治以及外语等专业开设了高等数学。本书就是在这一背景下，为这些专业编写的教材。
数学与自然科学的关系是众所周知的，最早是力学，接着是物理学、天文学，而后是化学，大量地应用于生物学已经是20世纪的事情了。在20世纪，数学与自然科学越来越紧密地互相结合，越来越深刻地互相影响着和互相渗透着，产生了许多交叉学科，形成了一个庞大的数理科学系统。
数学与社会科学的联系也日益加深；这一点恐为多数人所不了解，需要多说几句。
语言学。用数学方法研究语言现象给语言以定量化与形式化的描述，称为数理语言学。它既研究自然语言，也研究各种人工语言，例如计算机语言。数理语言学包含三个主要分支：（1）统计语言学。它用统计方法处理语言资料；衡量各种语言的相关程度；比较作者的文体风格；确定不同时期的语言发展特征，等等。（2）代数语言学。借助数学与逻辑方法提出精确的数学模型，并把语言改造为现代科学的演绎系统，以便适用于计算机处理。（3）算法语言。借助图论的方法研究语言的各种层次，挖掘语言的潜在本质，解决语言学中的难题。
文学。《红楼梦》研究是一个很好的例子。1980年6月，在美国威斯康星大学召开的首届国际《红楼梦》研讨会上，华裔学者陈炳藻宣读了《从词汇的统计论〈红楼梦〉的作者问题》。此后，他又发表多篇用电脑研究文学的论文。1985年以来，东南大学与深圳大学相继开展了《红楼梦》作品研究的计算机数据库。1987年复旦大学数学系李贤平教授在美国威斯康星大学对《红楼梦》进行了统计分析与风格分析，提出了震惊红学界的《红楼梦》成书过程的新观点。
数学物理中的谱分析概念与快速傅里叶变换密切相关。令人吃惊的是，这一方法已被成功地运用于文学研究。文学作品中的微量元素，即文学的“指纹”，就是文章的句型风格，其判断的主要方法是频谱分析。日本有两位著名学者多正久和安本美典大量应用频谱分析来研究各种文学作品。最后研究到这样的程度：随便拿一段文字来，不讲明作者，也可以知道作者是谁，这就像法医根据手印抓犯罪嫌疑人一样，准确无误。
史学。数学方法的运用为历史研究开辟了许多过去不为人重视，或不曾很好利用的历史资料的新领域，并且极大地影响着历史学家运用文献资料的方法，影响着他们对原始资料的收集和整理，以及分析这些资料的方向、内容和着眼点。另外，数学方法正在影响着历史学家观察问题的角度和思考问题的方式，从而有可能解决使用习惯的、传统的历史研究方法所无法解决的某些难题。数学方法的运用使历史学趋于严谨和精确，而且对于研究结果的检验也有重要意义。
1986年谈祥柏教授对上海陆家嘴发现的元朝玉挂进行了仔细研究。他发现过去在《考古学报》上多次登过关于这个玉挂研究的文章，但都因为作者不懂得数学而把最宝贵的信息漏掉了。原来在这个玉挂中含有一个魔方，这个魔方虽然只有四阶，却远远超过了西安的安西王府的六阶魔方。过去世界上认为只有印度才有这种“完全魔方”，而现在这块玉挂证实，中国也有。据此，世界数学史应作修改。
哲学。数学对哲学始终起着重大作用，并且经受哲学的影响。例如，数学的无限、连续概念，一出现便成了哲学研究的对象；芝诺的悖论、17世纪无限小争论等都与它们有联系。自古希腊起，唯物主义与唯心主义的斗争就贯穿数学的全部历史，并且数学对逻辑的发展起着明显的作用。从19世纪中叶起，这个作用特别有所加强，并对逻辑自身的改造产生巨大影响。20世纪的分析哲学、结构主义以及系统哲学都与数学的发展息息相关。
数学家B．Demollins说得好：“没有数学，我们无法看透哲学的深度；没有哲学，人们也无法看透数学的深度；而若没有两者，人们就什么也看不透。”
社会学。以定量研究为主要标志的实证社会学一直是西方社会学发展的主流，并奠定了社会学的学科基础。定量社会学发展到今天，已经形成了以高度数学化、高度统计化的一套逻辑严密的研究范式，而国内仅仅是起步，刚刚处在发放问卷，列出几个百分比、几个频率表格的极原始的阶段。
C. B. Allendoerfer说：“当前最令人兴奋的发展是在社会科学和生物科学中数学模型的构造。”
著名数学家A. Kaplan指出：“由于最近二十年的进步，社会科学的许多重要领域已经发展到不懂数学的人望尘莫及的阶段……我们向读者提出，在社会科学中不断扩大的数学语言的应用是具有重要意义的。”
A. N. Rao指出：“一个国家的科学的进步可以用它消耗的数学来度量。”
这些都说明，数学与现代社会的联系正在日益加深，也正在深刻地影响着社会科学的研究与发展。
正是在这种背景下，1992年联合国教科文组织在里约热内卢宣布“2000年是世界数学年”，其目的在于加强数学与社会的联系。里约热内卢宣言指出：“纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥匙。”
世界需要这把钥匙，生活在现代社会的每个人都需要这把钥匙。
因而在文科，尤其是在还没有开设过数学课的文、史、哲、语言、政治等专业开设数学课已经是一种时代的要求，势在必行了。
困难在于，这些专业从来没有开设过数学课，需要做些探索性的尝试。作者以为作为文科数学的指导思想应包含以下三个方面：（1）数学理论及其应用；（2）逻辑推理的训练；（3）数学史的有关知识，其中包含一些重要数学思想的发展及其演变，和某些著名的数学成果。
文科数学的主体自然是讲授重要的数学基础理论，这就是指导思想的第一条，并以它为主线，其他两条则贯穿于课程之中，穿插进行，并安排有计划有层次的重点讲授。
在理科各系，高等数学是以微积分为主体的，这是理所当然的，因为微积分是人类二千年来智力奋斗的结晶，有着广泛而深刻的应用，又是其他课程的基础。自然地，文科数学也将以微积分为其重要组成部分。但是，由于时间有限，且训练方向不同，应当对它进行适当改造：减少细节，突出思想。我们两年来的具体实践是这样的：在极限部分，将大量的极限计算删去，也删去了用洛必达法则计算极限；不定积分与定积分部分，只讲一些简单性质，删去大量的积分技巧的训练，把讲授的重点放在讲授微分、积分的基本思想及其应用上；其实这种方案在理科未尝不可实践。
阐述数学科学对人类文明的贡献，应当是文科数学的重要任务之一，因而只限于阐述微积分的思想显然是不够的，应该有更为丰富的内容，因而课程内容增加了行列式与线性方程组的内容，又加上概率论初步。1995年的第二次实践，由于听课学生中增加了艺术教研室广告学专业的学生，他们希望通过数学课培养空间想像能力，因而又增加了空间解析几何。
其实社会科学各专业早就与数学有不解之缘。已故著名语言学家王力教授曾专门著文，指出学古代汉语不能不懂天文。历史、哲学也同样需要有天文知识。为此，我们增加一章连分数及其在天文学上的应用。通过对连分数的简单计算，立刻就可明白为何四年一闰，而百年少一闰；农历的大月、小月是怎么回事，并且由此知道，我国古代何以历法经常变动的原因。
几千年来数学思想经历了多次重大演变，数学思想的每次演变都对人类文明作出重大贡献。在课程的进行过程中，我们有选择地介绍了一些数学思想的演变史。在绪论部分，除了介绍数学的特点与用处之外，讲述了数学简史。第六章介绍了欧几里得第五公设及非欧几何的诞生。非欧几何的诞生是人类发展史上一个重大事件。对欧几里得第五公设的研究导致了非欧几何的发现，非欧几何的发现促成了爱因斯坦广义相对论的建立。请看，这对人类生活带来何等重大的影响啊！
原来计划讲到非欧几何诞生为止，但是学生们有一种热切的愿望，希望知道非欧几何的模型到底是什么样的。为此，我们又增加了一章“双曲几何的庞加莱模型”作为第七章，以尽量初等的方式简要地介绍了罗巴切夫斯基几何。
本课程的另一指导思想是，有意识地进行逻辑推理的训练。逻辑推理自然是每堂课都不可少的，但作者以为单有日常的训练还不够。教师不作系统的讲述与总结，多数学生不能提高到理性的高度，特别是文科学生没有理科学生那么多时间和机会去摸索与实践。因此，我们拿出一些时间作了相对集中的处理。在第一章结合无理数的发现，系统讲了反证法。大约在课程进行了三分之一的时候，又讲了“数学命题与证明方法”。
我们知道，世界上有两种推理：一种是论证推理，一种是合情推理。数学的证明是论证推理；物理学家的归纳推理，经济学家的统计论证，律师的案情论证，史学家的史料论证都属于合情推理。这两种推理相辅相成推动了人类文明的发展。但是文科学生缺少论证推理的训练，数学提供了学习论证推理的极好机会。作者希望尽量利用这个机会给文科同学以必要的训练。
教材的内容是按一个学期，周学时为4安排的。在教学过程中可根据具体情况做必要的删减或增补。
本书的成书过程中受到各方面朋友们的热诚而有力的支持与帮助。首先提到的是北京大学出版社的邱淑清编审。当她一获悉作者有写这样一本书的意向时，立刻表示支持与鼓励，促使作者下决心去写这本书。作者衷心感谢北京大学出版社与邱淑清编审的有力支持。从作者酝酿初稿，一直到成书，北京大学力学系的武际可教授给以自始至终的关心与支持；讨论思想，提供语录，指出不足，作者深感受益匪浅。北京大学信息管理系的刘苏雅老师组织学生在北京市的范围内到各大学有关文科各系及各校图书馆对本书的内容及可用性作了深入广泛的调查，并写出调查报告。这对作者很有助益。
数学科学学院的潘承彪教授仔细审阅了本书，提出许多宝贵的修改意见，使本书增色不少。作者在序言中提到的数学在社会科学中的应用情况，许多都来自北京师范大学刘洁民先生的手稿，作者对他的无私帮助表示衷心的感谢。本书还得到北大教务处的坚强支持，特别是杨承运教授，从教材建设的高度给以自始至终的关怀，并慨然拨款，支持作者先胶印出来，送到国内各高校征求意见。
最后，作者衷心感谢程民德院士在百忙中为本书作序。他以80岁的高龄，甚至在住院期间还十分关心本书的出版，作者深为感激，并祝他健康长寿。作 者于北京大学燕北园1997年4月数学新论
文科同学要学数学，这是时代的要求。但多数人对此尚有疑虑，需要给以适当说明。且教学内容也应有相应的改革，在数学的思想、方法和应用等三个方面都应展现出新的面貌，以使学生对数学有新的理解。
任何一个学过一些数学，并将进一步学习数学的文科同学都面临这样的问题：（1）什么是数学？从数学中，我们学到了什么？（2）为什么学数学？难道数学也与社会科学息息相关吗？（3）如何学数学？是没完没了地做题吗？
绪论与第一章至第四章、第十四章，这五章一起从不同侧面回答了这些问题。讲授的主导思想是：一曰综观，二曰明变；三曰方法与应用。综观者，综合考察数学文化的源流，展现数学文化的整体面貌；明变者，重理数学发展的脉络，探索数学发展的过程，突出数学史上的重大思想演变；方法与应用者，指出数学对自然科学与人文科学的广阔应用，并讲授数学方法的特点。
概而言之，绪论讲数学发展史，第十四章讲数学与人类文明。这两部分从概括的角度回答数学是什么，它有什么用。第四章讲欧氏几何学的地位与非欧几何学的诞生，这是科学史上划时代的重大事件。数学由此进入新的时期。第一章讲对数的认识，并引出反证法。第三章讲数学的证明方法，对中学学过的数学证明给以总结。第二章讲数学与天文，在初等数学的基础上，给出一个具体的重要应用——如何确定我们每天使用的日历。绪论
在未来的十年中领导世界的国家将是在科学的知识、解释和运用方面起领导作用的国家。整个科学的基础又是一个不断增长的数学知识总体。我们越来越多地用数学模型指导我们探索未知的工作。H. F. Fehr
数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门学科。由于实际的需要，数学在古代就产生了，现在发展成为一个分支众多的庞大系统。数学和其他科学一样，反映了客观世界的规律，并成为理解自然，改造自然的有力武器。
对任何一门科学的理解，单有这门学科的具体知识是不足的，那怕你对这门学科的知识掌握得足够丰富，还需要对这门学科的整体有正确的观点，需要了解这门学科的本质。本章的目的就是给出关于数学本质的一般概念。§1 概论1.1 数学的内容
大致说来，数学分为初等数学与高等数学两大部分。
初等数学中主要包含两部分：几何学与代数学。几何学是研究空间形式的学科，而代数学则是研究数量关系的学科。
初等数学基本上是常量的数学。
高等数学含有非常丰富的内容，以大学本科所学为限，它主要包含：
解析几何：用代数方法研究几何，其中平面解析几何的部分内容已下放到中学。
线性代数：研究如何解线性方程组及有关的问题。
高等代数：研究方程式的求根问题。
微积分：研究变速运动及曲边形的求积问题。作为微积分的延伸，物理类各系还要讲授常微分方程与偏微分方程。
概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行推理。
所有这些学科构成高等数学的基础部分，在此基础上建立了高等数学的宏伟大厦。1.2 数学的特点
数学区分于其他学科的明显特点有三个：第一是它的抽象性，第二是它的精确性，第三是它的应用具有极其广泛性。
从中学数学的学习过程中读者已经体会到数学的抽象性了。数本身就是一个抽象概念，几何中的直线也是一个抽象概念，全部数学的概念都具有这一特征。整数的概念，几何图形的概念都属于最原始的数学概念。在原始概念的基础上又形成有理数、无理数、复数、函数、微分、积分、n维空间以至无穷维空间这样一些抽象程度更高的概念。但是需要指出，所有这些抽象度更高的概念，都有非常现实的背景。
不过，抽象不是数学独有的特性，任何一门科学都具有这一特性。因此，单是数学概念的抽象性还不足以说尽数学抽象的特点。数学抽象的特点在于：第一，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切；第二，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其他学科中的一般抽象；第三，数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中。如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验，那么数学家证明定理只需用推理和计算。这就是说，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的、思辨的。
数学的精确性表现在数学推理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑和无可争辩性。这点读者从中学数学就已很好地懂得了。当然，数学的严格性不是绝对的、一成不变的，而是相对的、发展着的，这正体现了人类认识逐渐深化的过程。
数学应用的极其广泛性也是它的特点之一。正像已故著名数学家华罗庚教授曾指出的，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是出现“量”的地方就少不了用数学，研究量的关系，量的变化，量的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了数学。数学之为用贯穿到一切科学部门的深处，而成为它们的得力助手与工具，缺少了它就不能准确地刻画出客观事物的变化，更不能由已知数据推出其他数据，因而就减少了科学预见的可能性，或减弱了科学预见的精确度。1.3 数学的结构
数学是一个演绎体系，它的特点是结构简单。演绎结构的叙述可以归结为：
1）基本概念的列举；
2）定义的叙述；
3）公理的叙述；
4）定理的叙述；
5）定理的证明。
在建立定义的时候，我们常用一个概念去定义另一个概念。显然，这种建立定义的方法不能无止境地追究下去。我们总得从某些东西开始，所以，每个演绎体系必须以一些基本概念为基础，这些基本概念本身不给任何定义，而通过它们去定义所有其余的概念。
再说公理和定理。它们与定义有别，定义仅仅解释所使用的概念的意义，而公理和定理则是一些断言。一切断言的特性是，我们可以对它们提出正确与不正确的问题。不过它们在演绎体系里占有不同的地位。它们的区别是：一切定理都是从公理中引申出来的，公理则是不加证明的断言。1.4 证明的作用
证明在任何一个数学理论中都占有中心的地位。通过证明，数学才被组织成一个完美的体系，因而正确地理解和使用证明是学好数学的关键因素之一。学习定理的证明可以使人对定理的含义有更明确的认识。如何学好定理？著名数学家G．波利亚说：“如果你必须证明一个定理，不要仓促行动。首先应该完全了解定理的内容，设法看清楚它是什么意思。然后检验定理，看它是否有错误。检验它的结果，为了使你认识它的正确性，用尽可能多的特例加以验证”。但是过分强调证明的作用也会带来一些负面影响，它使我们忘记定理的历史起源，使我们只看到问题应该怎样回答，而不再理会问题是如何提出来的与为何而提出。§2 数学发展简史
数学的发展史大致可以分为四个基本上质不同的阶段。
第一个时期——数学形成时期。这是人类建立最基本的数学概念的时期。人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念，简单的计算法，并认识了最简单的几何形式，逐步地形成了理论与证明之间的逻辑关系的“纯粹”数学。算术与几何还没有分开，彼此紧密地交错着。
第二个时期称为初等数学，即常数数学的时期。这个时期的基本的、最简单的成果构成现在中学数学的主要内容。这个时期从公元前5世纪开始，也许更早一些，直到17世纪，大约持续了两千年。在这个时期逐渐形成了初等数学的主要分支：算术、几何、代数、三角。
按照历史条件不同，可以把初等数学史分为三个不同时期：希腊的、东方的和欧洲文艺复兴时代的时期。
希腊时期正好与希腊文化普遍繁荣的时代一致。到公元前3世纪，在最伟大的古代几何学家欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯的时代达到了顶峰，而终止于公元6世纪，当时最光辉的著作是欧几里得的《几何原本》。尽管这部书是两千多年以前写成的，但是它的一般内容和叙述的特征，却与我们现在通用的几何教科书非常相近。
希腊人不仅发展了初等几何，并把它导向完整的体系，还得到许多非常重要的结果。例如，他们研究了圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线；证明了某些属于射影几何的定理，以天文学的需要为指南建立了球面几何，以及三角学的原理，并计算出最初的正弦表，确定了许多复杂图形的面积和体积。
在算术与代数方面，希腊人也做了不少工作。他们奠定了数论的基础，并研究丢番图方程，他们发现了无理数，找到了求平方根、立方根的方法，知道算术级数与几何级数的性质。
在几何方面希腊人已接近“高等数学”。阿基米德在计算面积与体积时已接近积分运算，阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线的研究接近于解析几何。
应该指出，远在这以前好几个世纪，我国的算术和代数已达到很高的水平。在公元前2世纪到1世纪已有了三元一次联立方程组的解法。同时在历史上第一次利用负数，并且叙述了对负数进行运算的规则，也找到了求平方根与立方根的方法。
随着希腊科学的终结，在欧洲出现了科学萧条，数学发展的中心移到了印度、中亚细亚和阿拉伯国家。在这些地方从5世纪到15世纪的一千年中间，数学主要由于计算的需要，特别是由于天文学的需要而得到发展。印度人发明了现代记数法，引进了负数，并把正数与负数的对立和财产与债务的对立及直线上两个方向的对立联系了起来。他们开始像运用有理数一样运用无理数，他们给出了表示各种代数运算包括求根运算的符号。由于他们没有对无理数与有理数的区别感到困惑，从而为代数打开了真正的发展道路。“代数”这个词本身起源于9世纪波斯北部的花拉子模的数学家和天文学家穆罕默德·伊本·穆萨·阿里·花拉子米。花拉子米的著作基本上建立了解方程的方法。从这时起，求方程的解作为代数的基本特征被长期保持了下来。他的代数著作在数学史上起了重大作用，因为这部作品后来被翻译成拉丁语，曾长期作为欧洲主要的教科书。
中亚细亚的数学家们找到了求根和一系列方程的近似解的方法，找到了“牛顿二项式定理”的普遍公式，他们有力地推进了三角学，把它建成一个系统，并造出非常准确的正弦表。这时中国科学的成就开始传入邻国。约在公元6世纪我国已经会解简单的不定方程，知道几何中的近似计算以及三次方程的近似解法。
到16世纪，所缺少的主要是对数及虚数，还缺乏字母符号系统。正像在远古时代，为了运用整数，应该制定表示它们的符号一样，现在为了运用任意数并对它们给出一般规则，就应该制定相似的符号。这个任务从希腊时代就开始而直到17世纪才完成，在笛卡儿和其他人的工作中最后形成了现代符号系统。
在科学复兴时期，欧洲人向阿拉伯学习，并且根据阿拉伯文的翻译熟识了希腊科学。从阿拉伯沿袭过来的印度计数法逐渐地在欧洲确定了下来。
只是到了16世纪，欧洲科学终于越过了先人的成就。例如意大利人塔尔塔利亚和费拉里在一般形式上先解了三次方程，然后四次方程。在这个时期第一次开始运用虚数。现代的代数符号也制造出来了，其中不仅出现了表示未知数的字母符号，也出现了表示已知数的字母符号；这是韦达在1591年作出的。
最后，英国的纳皮尔发明了供天文作参考的对数，并在1614年发表。布里格斯算出第一批十进对数表是在1624年。
当时在欧洲也出现了“组合论”和“牛顿二项式定理”的普遍公式；级数知道得更早，所以初等代数的建立是完成了，以后则是向高等数学，即变量数学的过渡。
但是初等数学仍在发展，仍有很多新结果出现。
第三个时期是变量数学的时期。
到16世纪，封建制度开始消亡，资本主义开始发展并兴盛起来。在这一时期中，家庭手工业、手工业作坊逐渐地改革为工场手工业生产，并进而转化为以使用机器为主的大工业。因此，对数学提出了新的要求。这时，对运动的研究变成了自然科学的中心问题。实践的需要和各门科学本身的发展使自然科学转向对运动的研究，对各种变化过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究。
作为变化着的量的一般性质和它们之间依赖关系的反映，在数学中产生了变量和函数的概念。数学对象的这种根本扩展决定了数学向新的阶段，即向变量数学时期的过渡。
数学中专门研究函数的领域叫做数学分析，或者叫无穷小分析。这后一名词的来源是，因为无穷小量概念是研究函数的重要工具。
所以，从17世纪开始的数学的新时期——变量数学时期可以定义为数学分析出现与发展的时期。
变量数学建立的第一个决定性步骤出现在1637年笛卡儿的著作《几何学》。这本书奠定了解析几何的基础，它一出现，变量就进入了数学，从而运动进入了数学。恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了……”（恩格斯《自然辩证法》，人民出版社1971年版第236页）。在这转折以前，数学中占统治地位的是常量，而这之后，数学转向研究变量了。
在《几何学》里，笛卡儿给出了字母符号的代数和解析几何原理，这就是引进坐标系和利用坐标方法把具有两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线。解析几何给出了回答如下问题的可能：（1）通过计算来解决作图问题；（2）求由某种几何性质给定的曲线的方程；（3）利用代数方法证明新的定理；（4）反过来，从几何方面来看代数方程。
因此，解析几何是这样一个数学部门，即在采用坐标法的同时，用代数方法研究几何对象。
在笛卡儿之前，从古代起在数学中起优势作用的是几何学。笛卡儿把数学引向另一途径，这就是使代数获得更重大的意义。
变量数学发展的第二个决定性步骤是牛顿和莱布尼兹在17世纪后半叶建立了微积分。事实上牛顿和莱布尼兹只是把许多数学家都参加过的巨大准备工作完成了，它的原理却要溯源于古代希腊人所创造的求面积和体积的方法。
微积分的起源主要来自两方面的问题：一是力学的一些新问题，已知路程对时间的关系求速度，及已知速度对时间的关系求路程；一是几何学的一些相当老的问题，作曲线的切线和确定面积和体积等问题。这些问题在古代就研究过，在17世纪初期开普勒、卡瓦列里和许多其他数学家也研究过，但是这两类问题之间的显著关系的发现，解决这些问题的一般方法的形成，要归功于牛顿和莱布尼兹。微积分的发现在科学史上具有决定性的意义。
除了变量与函数概念以外，以后形成的极限概念也是微积分以及进一步发展的整个分析的基础。
同微积分一道，还产生了分析的另外一部分：级数理论、微分方程论、微分几何。所有这些理论都是因为力学、物理学和技术问题的需要而产生并向前发展的。
微分方程论是研究这样一种方程，方程中的未知项不是数，而是函数。微分几何是关于曲线和曲面的一般理论。在19世纪还产生了另一个重要分支，即复变函数论，它使分析的内容更加充实。复变函数是将实分析的方法推广到复数域中去了。
分析蓬勃地发展着，它不仅成为数学的中心和主要部分，而且还渗入到数学较古老的分支，如代数、几何与数论。
通过分析及其变量、函数和极限等概念，运动、变化等思想，使辩证法渗入了全部数学。同样地，基本上通过分析，数学才在自然科学和技术的发展中成为精确地表述它们的规律和解决它们问题的得力工具。
在希腊人那里，数学基本上就是几何；在牛顿以后，数学基本上就是分析了。
当然，分析不能包括数学全部；在几何、代数和数论中都保留着它们特有的问题和方法。比如，在17世纪，与解析几何同时还产生了射影几何，而纯粹几何方法在射影几何中占统治地位。
这时还产生了另一个重要的数学部门——概率论。它研究大量“随机”现象的规律问题，给出了研究出现于偶然性中的必然性的数学方法。
在希腊几何的历史上，欧几里得所做的严格和系统的叙述结束了以前发展的漫长道路。和这种情况相似，随着分析的发展必然引起更好地论证理论，使理论系统化，批判地审查理论的基础等这样一些任务，这些任务是19世纪中叶到来的。这项重要而困难的工作由于许多杰出学者的努力而胜利完成了，特别是获得了实数、变量、函数、极限、连续等基本概念的严格定义。
理论原则的建立是其发展的总结，但不是它的终结，相反地，正是新理论的起点。分析的情形也是这样，由于它的基础的准确化产生了新的数学理论，这就是19世纪70年代德国数学家康托尔所建立的集合论。在此基础上又产生了分析的一个新部门——实变函数论。同时集合论的一般思想渗入到数学的所有部门。这种“集合论观点”与数学发展的新阶段不可分割地联系在一起，进入数学发展的新阶段。
第四个时期为现代数学时期。
数学发展的第一时期与第二时期所获得的主要成果，即初等数学中的主要成果已经成为中小学教育的内容。
第三个时期的基本结果，如解析几何（已部分地放入中学）、微积分、微分方程，高等代数、概率论等已成为高等学校理科教育的主要内容。这个时期的数学的基本思想和结论已广泛地为大众所知道，几乎所有的工程师和自然科学工作者都或多或少地运用着这些结果。近几十年来，数学应用的状况发生着深刻的变化。这些成果逐渐渗透到社会科学研究的各个领域。因而这些内容的一部分已进入文科各系的教学内容。
与此相反，数学发展的最近阶段，即现代阶段的思想和结果基本上还只是为在数学、力学、物理学及一些新技术领域中工作的科学工作者所使用。
现在在转向叙述数学发展最新阶段的一般特征时，我们只试图简略地给出数学的这些新分支的最一般的特征。
数学发展的现代阶段的开端，以其所有基础部门——代数、几何、分析——中的深刻变化为特征。
还在19世纪上半叶，罗巴切夫斯基和波尔约就已经建立了新的非欧几何学，它的思想是别开生面的和出乎意外的。正是从这个时候起，开始了几何学的原则上的新发展，改变了几何学是什么的本来理解。它的研究对象与使用范围迅速扩大。1854年著名的德国的数学家黎曼继罗巴切夫斯基之后在这个方向上完成了最重要的步骤。他提出了几何学家能够研究的“空间”的种类有无限多的一般思想，并指出这种空间的可能的现实意义。如果说，以前几何学只研究物质世界的空间形式，那么现在，现实世界的某些其他形式，由于它们与空间形式类似，也成了几何学的研究对象，可采用几何学的各种方法对它们进行研究。因此，“空间”这一术语在数学中获得了新的更广泛的，也是更专门的意义，同时几何学方法本身也大大地丰富和多样化了。欧几里得几何本身也发生了很大的变化。现在可研究复杂得多的图形，乃至任意点集的性质。同样地出现了研究图形本身的崭新的方法，在这些研究的基础上，产生了各种新而又新的“空间”和它们的“几何”：罗巴切夫斯基空间，射影空间，各种不同维数的欧氏空间、黎曼空间、拓扑空间等，所有这些概念都找到了自己的应用。
在19世纪，代数也出现了质的变化。以往的代数是关于数字的算术运算的学说。这种算术运算是脱离了给定的具体数字在一般形态上形式地加以考察的。也就是说，在代数中，凡量都以字母来表示，按照一定的法则对这些字母进行运算。
现代代数在保持这种基础的同时，又把它大大地推广了。现代代数中还考察比数具有更普遍得多的性质的“量”，并且研究对这些量的运算，这些运算在某种程度上按其形式的性质来说与加、减、乘、除等普通算术运算是类似的。向量是最简单的例子，我们知道，向量按照平行四边形法则相加。在现代代数中进行的推广达到这样的程度，以致“量”这个术语本身也常常失去意义，而一般地是讨论“对象”了，对这种“对象”可以进行像普通代数运算相似的运算。例如，两个相继进行的运动相当于某一个总的运动，一个公式的两种代数变换相当于一个总的变换等等。与此相应就可讨论运动与变换所特有的“加法”。现代代数在一般抽象形式上研究所有这种类似的运算。
现代代数理论是19世纪前半叶从许多数学家的研究中形成的，其中尤以法国数学家伽罗瓦著称。现代代数的概念、方法和结果在分析，几何、物理以及结晶学中都有重大应用。群论与线性代数是现代代数中内容丰富的两个分支，并在自己的发展中得到很广的应用。
分析也发生了深刻的变化。首先，它的基础得到了精确化，特别是得到了它的基本概念：函数、极限、积分，最后是变量概念本身的精确和普遍定义，实数的严格定义也给出了。这些工作是由一批杰出的数学家完成的，其中有捷克数学家波尔查诺，法国数学家柯西，德国数学家外尔斯特拉斯、戴德金等。我们还必须提到德国数学家康托尔的集合论。它促进了数学的其他许多新分支的发展，对数学发展的一般进程产生了深刻的影响。
在分析中发展出一系列新的分支，如实变函数论，函数逼近论，微分方程定性理论，积分方程论，泛函分析等。在分析和数学物理发展的基础上同几何与代数新思想相结合产生的泛函分析在现代数学中起着特殊重要的作用。
集合论还导致了数学领域的另一分支——数理逻辑的发展。一方面，数理逻辑溯源于数学的起源和基础，另一方面它又和计算技术的最新课题紧密相连。数理逻辑得到了许多深刻的结果。这些结果从一般认识论的观点看来也是十分重要的。第一章 数系与第一次数学危机
哪里有数，哪里就有美。Proclus
如果不知道远溯古希腊各代所建立和发展的概念、方法和结果，我们就不可能理解近五十年来数学的目标，也不可能理解它的成就。Hermann Weyl
本章从自然数系入手，叙述古希腊人对数的认识，介绍无理数的诞生，最后引出数学中经常使用的反证法。§1 数系1.1 自然数与整数
人类历史上最先发明的数是正整数，或者叫做自然数。它们是
1，2，3，4，…
两个自然数之和仍是自然数，例如5与7的和是12。但是两个自然数的差，就不一定是自然数了，例如5减7就不再是自然数。为了使减法永远可能，我们需要扩大自然数的集合：每个自然数与负号“－”结合在一起，产生一个负整数，再补充一个新符号“0”，读作“零”。这样我们得到整数的集合：
…，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，…。
在整数集合中，加与减的运算总是畅行无阻的。
两个整数相乘仍是整数，因而在整数集合中乘法也畅行无阻。但是两个整数相除就可能不再是整数，这就引出了有理数的概念。1.2 有理数与无理数
所有形如m/n的数的集合称为有理数集，其中m，n都是整数，且n≠0。有理数集中含有全体整数与通常的分数。
每个有理数有无穷多个表示法，例如，1可表示为1/1，2/2，3/3，…，再如2/3可表示为4/6，6/9，8/12，…。分数m/n称为最简表示，若m与n没有公共素因子。
在全体有理数的集合中，加、减、乘、除都可畅行无阻（当然，0不能作除数），因而有理数集对四则运算是封闭的。
但是有理数的开方，可能不再是有理数，这就引出了无理数的概念，例如，等都是无理数。下一节我们将给出无理数存在性的证明。
有理数都可表示为一个整数加上一个有限小数，或一个整数加上一个无限循环小数。例如
凡是小数部分是无限不循环小数的实数都叫无理数。例如1.3 实数
有理数集与无理数集合在一起构成实数集。实数集是一个有序集合，即任何两个实数可以比较大小。例如，等等。
实数集合可以和一条直线上的点的集合建立一一对应。为了做到这一点，我们需要引进数轴的概念。
任取一条水平直线，在这条直线上任取一点O，称为原点，并让它与实数0相对应。从点O出发沿直线前进有两个方向，取从点O向右的方向为正方向，从点O向左的方向为负方向。再规定一个单位尺度进行测量。任取一实数p，若p＞0，则从点。向右测量，找到一点P，它到点0的距离是p，我们就使这个点P对应于实数p，并称实数p是点P的坐标。若另有一实数q＜0，则从点O向左进行测量，找到一点Q，它到点O的距离是|q|，我们就使这个点Q对应于实数q。这样一来，每个实数都有直线上的一个点与它对应。反过来也不难看出，直线上的每个点到原点O都有一个距离，因而每个点都有一个实数与它对应。点O右边的点对应正数，点O左边的点对应负数。这样，直线上的全体点与全体实数建立了一一对应，这样的一条直线就称为数轴（图1-1）。图1-1§2 毕达哥拉斯学派关于数的认识
毕达哥拉斯是古希腊哲学家、数学家、天文学家，出生在靠近爱奥尼亚沿海的萨摩斯（Samos）岛上。关于他本人有许多传说，但很难判断哪些是符合实际的，哪些是虚构的。我们连他的准确的出生与去世日期都无从知道。根据有些资料，毕达哥拉斯约生于公元前572年，死于公元前500年。
毕达哥拉斯青年时代游历了许多地方，能够很好地学习和了解埃及和远古时代祭司保存下来的数学知识。他在埃及居住了差不多22年，大约在公元前530年从埃及回国。此后他在祖国建立了自己的学派，它是以贵族式的观念作为基础的，与当时萨摩斯岛的古希腊民主制的观念有着尖锐的对立。因此这个学派引起了萨摩斯公民的不满情绪，毕达哥拉斯不得不离开祖国。他前往希腊的移民区阿佩宁半岛，并定居在克罗托（Croton）城，在那里重新建立起他的学派。
关于数的神秘学说奠定了毕达哥拉斯学派的哲学基础。毕达哥拉斯学派认为，数是现实的基础，是严密性与次序的依据，是在宇宙体系里控制着自然的永恒关系。数，是世界的法则和关系，是主宰生死的力量，是决定一切事物的条件。事物的实质是仿效着数做出来的。
毕达哥拉斯学派对数如此崇拜，说明他们对周围的生活现象进行了认真而周密的观察，并且借用了近东一些国家的数学知识。
例如，在悦耳的音乐中毕达哥拉斯学派觉察到了和声的谐音，并注意到在用三根弦发音时，这三根弦的长度之比为3：4：6时，就得到和声的谐音。他们在其他场合也发现了同样的比例。例如立方体的面数、顶点数、棱数的比等于6：8：12。在研究同名正多边形覆盖平面的问题时，毕达哥拉斯学派找到了这种覆盖只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地放6个正三角形，或者4个正方形，或者3个正六边形，见图1-2。图1-2
如果注意到这三种情况下正多边形的个数，那么我们可以看到，多边形个数的比为6：4：3。如果我们取这些多边形边数的比，那么它们等于3：4：6。
毕达哥拉斯学派根据类似的观察更加确信，整个宇宙的现象依附于某种数值的相互关系，也就是存在着“宇宙的和谐”。
由于毕达哥拉斯学派赋予数这样巨大的意义，所以他的学派对数进行了广泛深入地研究，并将数与形结合起来进行研究，这种具体研究我们不再介绍了。
毕达哥拉斯学派最著名的结果是毕达哥拉斯定理，就是大家所熟悉的商高定理，我国古时称为勾股定理。这是欧几里得几何的一个关键定理。
毕达哥拉斯学派对于改进求解数学问题的科学方法发挥了很大作用。毕达哥拉斯学派确立了论证数学方法的最重要方面之一，也就是，规定在数学中必须坚持严格证明。这就为数学增添了特殊的意义。§3 第一次数学危机
在古代的数学家看来，有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在当时人们的心理上引起了极大的震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。这是数学史上的一个里程碑。图1-3
毕达哥拉斯学派发现，没有任何有理数与数轴上的这样一点相对应（图1-3）：距离OP的长度，它等于边长为1的正方形的对角线长。后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点相对应；因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。根据商高定理，边长为1的正方形的对角线其长度为，为了证明点P不能由一个有理数表示，只须证明是无理数即可。
定理 是无理数。
在证明定理之前，我们首先指出这样一个简单事实：偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数。事实上，设p是一个偶数，则
仍是奇数，即不能被2除尽。这样一来，若p2是偶数，则p一定是偶数。
定理的证明 今用反证法证明，即假定定理的结论不成立，从而引出一个矛盾。
无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三个线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。现在我们取一个正方形，设它的边长为s，对角线长为d，并知道。取定这两个线段；如果存在第三个线段t，使得s和d都包含t的整数倍，我们就有s＝qt，d＝pt，这里p，q是整数。由，从而有p＝，这是一个有理数，与定理1相矛盾。这说明存在不可公度的线段，即不具有共同度量的线段。§4 第一次数学危机的消除
无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像这样的无理数不能写成两个整数之比，那么它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直观上总是认为任何两个线段都是可公度的。而毕达哥拉斯学派的比例和相似形的全部理论都是建立在这一假设之上的，突然之间基础坍塌了，已经确立的几何学的大部分内容必须抛弃，因为它们的证明失效了。数学基础的严重危机爆发了。这个“逻辑上的丑闻”是如此可怕，以致毕达哥拉斯学派对此严守秘密。据说米太旁登的希帕苏斯把这个秘密泄露了出去，结果被抛进大海。还有一种说法是，将他逐出学派，并为他立了一个墓碑，说他已经死了。
这个“逻辑上的丑闻”是数学基础的第一次危机，既不容易，也不能很快地被消除。大约在公元前370年，才华横溢的希腊数学家欧多克索斯以及毕达哥拉斯的学生阿尔希塔斯（Archytas，约公元前400—前350）给出两个比相等的定义，从而巧妙地消除了这一“丑闻”。他们给出的定义与所涉及的量是否可公度无关。当然从理论上彻底克服这一危机还有待于现代实数理论的建立。在实数理论中，无理数可以定义为有理数的极限，这样又恢复了毕达哥拉斯的“万物皆依赖于整数”的思想。§5 反证法
在证明是无理数的时候我们用了反证法。反证法是数学中经常使用的一种方法，需要给出进一步的说明，以帮助读者逐渐掌握这一证明方法。
我们知道，一个定理，或者一个命题，可能是正确的，也可能是错误的。因此，要想知道一个命题正确与否就需要加以证明。
但是，有些数学命题给出直接证明是很困难的，甚至是不可能的，而用反证法证明要简捷或容易得多。我们先举一个使用反证法的简单实例。
例如，有科技书、外文书、文艺书共十本。证明：在这三种书籍中，至少有一种书籍至少有四本。
假如我们采用直接证法，就要把这三种共十本书籍中每种书出现的各种可能都毫无遗漏地考虑到。我们把各种情况列成下表：
这样就需要列出一个具有66种可能情况4的表。从这个表中可以看出，不管出现哪种情况，这十本书中至少有一种书不少于四本，这样就证明了这个命题。
但是，这种直接证明的方法是多么费事啊！幸亏是十本书，三大类。如果是一百本书九大类，甚至更多的书，更多的类，岂不是更复杂吗？
所以这种命题就不适宜用直接证法。我们用反证法来证明。假定命题的结论错，即每种书籍至多有三本，那么这些书籍的总和将最多是九本。这与已给条件矛盾，命题就这样被证明了。
应用反证法证明一个命题时，一般往往采用如下的步骤：（1）假定命题的结论不成立。（2）进行一系列的推理。（3）在推理过程中出现了下列情况中的一种：
1）与已知条件矛盾；
2）与公理矛盾；
3）与已知定理矛盾。（4）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的。（5）肯定原来命题的结论是正确的。
总之，用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出现毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，或者与公理、定理矛盾，或者与临时假定矛盾，或者自相矛盾的方式暴露出来的。这个毛病是怎么造成的呢？我们的推理没有错误，已知条件，已知公理、定理没有错误，这样，唯一有错误的地方就是一开始假定的“结论不成立”有错误。“结论不成立”与“结论成立”必然有一个正确，既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了。
反证法也称为归谬法。著名的英国数学家G. H。哈代（G. H. Hardy，1877—1947）对于这种证明方法作过一个令人满意的评论。在棋类比赛中，经常采用一种策略是“弃子取势”——牺牲一些棋子以换取优势。哈代指出，归谬法是远比任何棋术更为高超的一种策略；棋手可以牺牲的是几个棋子，而数学家可以牺牲的却是整个一盘棋。归谬法就是作为一种可以想像的最了不起的策略而产生的。习题
1．求证是无理数。
2．若p，q是奇数，则方程（1）不可能有等根；（2）不可能有整数根。
3．证明素数的个数是无限的。第二章 连分数及其在天文学上的应用
智亦大矣！天之高也，星辰之远也，苟求其故，千岁之日至，可坐而致也。孟子《离娄下》
三代以上，人人皆知天文。“七月流火”，农夫之词也；“三星在天”，妇人之语也；“月离于毕”，戍卒之作也；“龙尾伏辰”，儿童之谣也。后世文人学士，有问之而茫然不知者矣。顾炎武
本章讲述连分数的初步概念，并给出它的一个重要而有趣的应用——在天文学上的应用。计算是初等的，结果是深刻而意义重大的。§1 辗转相除法
读者或许从小学数学中就已经熟悉了求两个正整数的最大公约数的辗转相除法了。由于这一方法对本章内容的基本性与重要性，我们需要在这里作一回顾。
以下将两个正整数a，b的最大公约数记为（a，b）。
给定两个正整数a和b，并设a≥b。用b除a得商a0，余数r，写成式子
这是最基本的式子。若r＝0，则b可除尽a，a与b的最大公约数就是b。
若r≠0，再用r除b，得商a1，余数r1，即
如果r1＝0，那么r除尽b，由（2，1）也除尽a。又任何一个除尽
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]