作者：刘亚平,裴铎,巴一
出版社：中国铁道出版社有限公司
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医用高等数学试读：
前言
FOREWORD在科学技术迅猛发展的今天，生命科学表现出以计算机为手段，以数学方法为基础进行定量分析的特征，因此形成了数量遗传学、药物动力学、计量诊断学及计量治疗学等学科，同时数学不仅是一个解决问题的工具，而且已成为时代文化的一个重要组成部分。
本书根据高等学校非数学类专业数学基础课程教学指导委员会制定的医科数学教学基本要求，注重培养医学、药学类专业的学生抽象思维和逻辑推理能力及定量分析技能，加强理科素质教育，且为后续课程的学习奠定必要的数学基础。
全书分两篇，第1篇共9章，包括函数、极限与连续，导数与微分，导数的应用，不定积分，定积分，常微分方程，多元函数微分学，多元函数积分学，线性代数（其中带* 的章节为选修内容）；第2篇是与第1篇各章对应的教学基本要求和习题详解。本书结合医学院校的实际和我们多年的教学经验，力求兼顾数学内容的系统性和完整性，联系医药实际，深入浅出，重点突出，注重介绍基本概念、基本原理、基本方法及医学应用。
本书由刘亚平、裴铎、巴一任主编，年立群、周子亮任副主编。其中，第1篇第1、6章由刘亚平编写，第2、3、7、8章由裴铎、巴一、年立群共同编写完成，第4、5章由巴一编写，第9章由周子亮编写，第2篇由编写人员共同完成。本书在编写过程中，李立、唐海锋、李玉红、张琪、张江梅、王丹妹、李泊宁等老师也做了一些工作，在此向这些老师深表感谢。
本书可作为高等医药类院校各专业本科教材，也可作为研究生及医药学工作者的自学参考书。
由于我们水平有限，编写时间仓促，书中难免存在不足之处，敬请广大读者批评指正。编者2017年4月第1篇理论部分第1章函数、极限与连续
函数是高等数学主要研究对象之一，是表达变量之间复杂关系的基本数学形式；极限是研究函数的重要方法，它动态地刻画了变量的运动和演进的变化趋势；连续是函数的重要性态之一.函数与极限的初步知识在中学里已经介绍过，本章仅作必要的复习和补充，进而引入连续的概念和性质，为今后的学习奠定重要的基础.1.1函数1.1.1 函数的概念
在观察各种自然现象或实验过程中，常常会遇到各种不同的量，在过程中不断运动和变化的量称为变量（variable）.而这种运动和变化往往都是相互联系、彼此制约的.反映在数量上，就是变量与变量之间的依赖关系，即函数关系.
定义1 设x与y是某个变化过程中的两个变量，若变量x在它可能取值范围内所取的每一个值，变量y依照一定的对应规律f，都有唯一确定的值与其对应，则称变量y为变量x的 函数 ，记为y=f（x） （1.1）式中：x称为 自变量 （independent variable），y称为 因变量 （dependent variable），对应规律f称为 函数关系 （functional relation）.
例1 外界环境温度对人体代谢率的影响可表达如下：其中每一对数值可以在直角坐标系中找到相应的点，于是便得到A、B、C、D、E五点，见图1-1.医学中常用折线把它们连接起来，这时环境温度和代谢率两个变量之间的相互影响关系从图中便一目了然.环境温度太低或太高对代谢率的影响较大，只有温度在20℃左右，代谢率最低且比较稳定.故临床做“基础代谢率”时，就要保持室温在20℃左右的条件下进行.图 1-1
例2 对某糖尿病患者作葡萄糖耐糖试验，每千克体重口服葡萄糖1.75g后，测定血糖结果如下：
例3 设d是某药物的成人剂量，c是该药物的未成年人剂量，a是未成年人的年龄，则有下面两个计算公式：两个公式分别适用于不同的场合.对给定的药物和不同年龄的未成年人，d是常量，a和c是变量.
上述三例说明，参与同一过程的两个变量之间都存在着某种确定的对应关系.在这种关系下，第一个变量取定了某一个数值，第二个变量也相应地取定某一个数值，抛开变量的具体意义，就可以抽象出函数的概念.
函数常用的表示方法有： 解析法 （或公式法） 、列表法、图像法.0
如果当自变量x取某一值x 时，函数具有唯一确定的对应值，则0称函数在x 处有定义.使函数有定义的自变量的取值范围称为函数的 0定义域 （domain of definition）.把以x 为中心，长度为2δ的开区间0000（x -δ，x +δ）称为点x 的δ 邻域 （neighborhood），记为x -0000δ 一般地，函数的定义域应由问题的实际意义来确定.例如，物体自由落体的运动方程的定义域为（其中h为落体距地面的高度）；1～6个月的婴儿体重方程y=3+0.6x的定义域为[1，6].当函数用纯粹的解析式给出时，其定义域就是使该解析式有意义的自变量的取值范围.0 对于函数y=f（x），当自变量x在定义域中取定值x 时，f（x）的0对应值称做函数当x=x 时的 函数值 （value of function），记为f（x 0 ）或 函数值的全体称为函数的 值域 （range）.1.1.2 函数的特性 1.有界性 设函数f（x）在区间（a，b）内有定义，如果存在一个正数M，使对所有的x∈（a，b），恒有｜f（x）｜≤M，则称函数f（x）在；（a，b）内是有界的.如果不存在这样的正数M，则称（x）在（a，b）内是无界的. 例如：sin x在（-∞，+∞）内是有界的在[2，+∞）内是有界的，但在（0，2）内是无界的. 2.单调性12 设x 、x 是函数f（x）的定义区间（a，b）内的任意两点，且1212x 3.奇偶性 如果对于函数f（x）定义域内的任意点x，恒有f（-x）=f（x），则称f（x）是偶函数；如果对于函数f（x）定义域内的任意点，恒有f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数.偶函数的图像是关于y轴对称的，而奇函数的图像是关于坐标原点对称的. 4.周期性 对于函数f（x），如果存在正的常数T，使得f（x）=f（x+T）恒成立，则称f（x）为周期函数，满足这个等式的最小正数T，称为函数的周期.1.1.3 反函数 定义2 设函数y=f（x）的定义域是D，值域是f（D），如果对于值域f（D）中的每一个y，在定义域D中有且只有一个x，使得f（x）=y，则按此对应法则得到了一个定义在f（D）上的函数，并把该函数-1称为函数y=f（x）的反函数（inverse function），记作x=f （y），y∈f（D）. 由反函数的定义可知，函数f的定义域D和值域f（D）恰好是反函-1-1-1数f 的值域和定义域，并且f 的反函数是f，也就是说，函数f和f 互为反函数，即-1f （f（x））≡x，x∈D-1f（f （y））≡y，y∈f（D） 习惯上，我们用x表示自变量，用y表示因变量，于是函数y=f（x）-1-1的反函数通常写成y=f （x），x∈f（D）；相对于函数y=f （x）来说，原来的函数y=f（x）称为直接函数（或原函数）.x 例如，按习惯记法，函数y=ax+b（a≠0）与y=a （a>0，a≠1）a的反函数是，y=log x.-1-1 注意：反函数的两种表现形式x=f （y）和y=f （x）表示同一个函数.-1 性质1 y=f（x）单调递增（减）其反函数y=f （x）存在，且也单调递增（减）.-1 性质2 y=f（x）和其反函数y=f （x）的图像关于直线y=x对称.x 例如，指数函数y=e ，x∈（-∞，+∞）和对数函数y=ln x，x∈（0，+∞）互为反函数，它们都单调递增，其图像关于y=x对称.1.1.4 分段函数 在实际问题的研究中，一个函数关系有时需要用几个式子来表示. 定义3 在定义域内的不同范围上，对应规律用不同的解析式来表示的函数，称为 分段函数 （piecewise function）. 例如，绝对值函数 及 均为分段函数. 在求分段函数的函数值时，应将不同范围的自变量的值代入相应的函数表达式. 例如，符号函数，所以x=-2，2，0时对应的函数值分别为sgn（-2）=-1，sgn（2）=1，sgn（0）=0. 又如，在生理学研究中，有人根据测得血液中胰岛素浓度c（t）随时间t（min）的变化数据，建立了如下经验公式其中，显然浓度c（t）是时间t的分段函数，其定义域为[0，+∞），且t=2，10对应的函数值为c（2）=2（10-2）=16，c（10）-k（10-5）-5k=25e =25e .1.1.5 基本初等函数与初等函数 1.基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数（fundamental elementary function）.μ 幂函数：y=x （μ是常数）；x 指数函数：y=a （a是常数，a>0，a≠1）；a 对数函数：y=log x（a是常数，a>0，a≠1）； 三角函数：正弦函数y=sin x；余弦函数：y=cos x； 正切函数：y=tan x；余切函数：y=cotx； 正割函数：；余割函数：. 反三角函数：用“arc+函数名”的形式表示反三角函数，而不是-1f （x），其函数值表示一个角，常用的反三角函数有： 反正弦函数：y=arcsin x；余弦函数：y=arccos x； 反正切函数：y=arctan x；反余切函数：y=arccotx. 注意：三角函数不满足一个自变量对应一个函数值的要求，因此其反函数一定在某个一一对应的区间内取得. 基本初等函数的图像及主要性质见附录A. 2.复合函数 定义4 若y是u的函数y=f（u），而u又是x的函数u=φ（x），且φ（x）的值域全部或部分在f（u）的定义域内，则称y是x的 复合函数 （compound function），记为y=f（φ（x）） （1.2）其中u称为中间变量. 例如，y=sinu，经复合可以得到y关于x的复合函数. 以上是两个函数的“嵌套”关系构成的复合函数，不难将其推广到有限个函数的多层“嵌套”关系构成的复合函数.例如，由v2y=tanu，u=e ，v=x 可以复合成y关于x的复合函数. 但需注意，不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数.例22如，y=arcsinu及u=x +2就不能复合成一个复合函数.因为函数u=x +2的值域为[2，+∞），在此区间上y=arcsinu没有意义. 我们不仅要学会把若干个函数“复合”成一个复合函数，而且要善于把一个复合函数“分解”成若干个简单的函数.例如可以看成是由，u=arctanv，v=lg w，2uw=x -1复合而成的；而可以看成是由y=2 ，2u=v ，v=sin w，w=x+1复合而成的.注意：要从外到里层层分解，分解到简单函数为止， 简单函数 （simple function）是指基本初等函数或者是常数与基本初等函数经过四则运算后得出的函数.这种分解在微分运算中经常用到. 3.初等函数 定义5 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合所构成的由一个解析式表达的函数，称为 初等函数 （elementary function）.nn-101n-1n 例如，多项式函数y=a x +a x +…+a x+a ，，以及有理分式函数，等都是初等函数.但需注意，分段函数虽然不是初等函数，可它在每一段上均为初等函数.本书所讨论的函数绝大多数都是初等函数.1.2函数极限的概念1.2.1 数列的极限 函数的极限是描述在自变量的某个变化过程中，对应的函数值的n变化趋势的一个重要概念.由于数列{x }可以看作自然数n的函数，即nx =f（n），所以可类比数列极限来描述函数极限的概念.对于数列{x nn }只需研究当自变量n无限增大（即n→∞）时，因变量x 的变化趋势.n 定义1 对于数列{x }，如果存在一个常数A，当n无限增大时，nnn数列{x }中的项x 无限趋近于A，则称常数A为数列{x }当n→∞时的 极限 （limit），记为 例如，考察以下几个数列的变化趋势：n 直观地可以看到，当n无限增大时，（1）中的x 从大于1的方向n无限趋近于1；（2）中的x 从小于1的方向无限趋近于1，（3）中的x n 从1的两侧跳跃着无限趋近于1，三个数列都是以1为极限，即随着nnn的无限增大，｜x -1｜趋近于零；而（4）中的x ，不断地取0与1两个值，不趋近于某一定常数A，因此无极限. 对于一般的函数y=f（x），自变量x的取值是连续的，其变化趋势主要有以下两种：一种是自变量的绝对值｜x｜无限增大，记为x→∞；00另一种是自变量趋向于某个定数x ，记为x→x .下面就这两种情况给出函数极限的定义.1.2.2 x→∞函数的极限
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]