会速算的人,人生都不会太差(txt+pdf+epub+mobi电子书下载)

作者：（美） 托马斯·奥康纳·斯隆

出版社：北方文艺出版社

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会速算的人,人生都不会太差试读：

会速算的人，人生都不会太差

序言

算术包含很多内容，但是在教科书中，很少涉及快速运算。如果能给出一种速算的方法就好了。出于某种原因，乘法表仅限于9×9以内，而将之继续拓展下去并不困难。另外一个有意思的现象是，许多大学生并不理解分式指数的含义，这样说并不过分，因为很少有人能说清为什么数字不论大或小，其0次幂都等于1，而看起来它应该等于0。

本书到了读者手中，可以变成一项有趣的工作。这里有大量的信息资源和权威的观点，一些例子很少有人知道。出现在这里的问题，是对他人遗留问题的一种搜集和拾取。

我们可以从目录上看到，序言所述仅仅是本书探寻内容的一小部分。从某种意义上说，本书可以作为普通算术教科书的补充，但又不止于此，字里行间所提到的计算方法，可以应用于实际工作，还可以在快速得出计算结果的同时，领会到精彩的运算方法。

在本书中，以轻松和消遣的方式来探究数字科学，是一件很有意思的事情。

编者希望将有用的知识以轻松的语言呈现出来，以使读者受益。

第一章 符号和记号入门

阿拉伯符号

阿拉伯符号具有优秀的特性，广泛用于整个文明世界, 它已经成为数字的固定使用符号。对于任何整数，形象点说，

小数点

所有这些，看似简单但的确是最基本的。假如没有固定的数位值，那么我们就会像古代罗马人一样，因笨拙的文字符号而着急。要想表达数字888，如果没有如今的数位体系，我们不得不写成800，80，8，哪里比得上写成888简单。

现在我们可以将罗马符号和阿拉伯符号的特点通过这个例子做一比较了。上例用罗马数字写成：DCCCLXXXVIII，一共用了12个字符，远不如888只用了3个字符这样简便。小数点

小数点左边的数表示整数位，小数点右边的数表示十进制分数，是10或10的倍数，也就是分母。如0.8表示十分之八，0.88表示百分之八十八，以此类推。

一个数如果放在了小数点右边，就表示十分之几；如果两位数放在了小数点右边，就表示百分之几；如果三位数放在了小数点右边，就表示千分之几，如此延伸下去。

如果某位数已给定，它的右边没有小数点，则表示整数。如果单个数想表达成十位、百位或其他10的倍数位，小数点用来指示其位置，如果单个数用来表示分数，小数点放在它左面，仍然可以起指示作用。

小数点左面是整数的个位，小数点的右面是分数的十分位，这看起来不协调，可能有人会觉得，小数点左右的位值应该相等，要么都是个位，要么都是十位，这样才一致。不过，那样并不实际，逻辑最终要向实践性让步。

数字1

1是任何符号系统的基础，它的性质是：

无论任何数，其0次幂总是1。23

对于一个数，其任何次幂总等于该数，那只有1能做到。1，1以及1的任何次幂，总等于1。22

一个数，只要大于1，它的乘方总要比该数大，如2=4，3=9，乘方的值总大于数本身。2

一个数，只是小于1，它的乘方总要比该数小，如（1/2）=，3（1/3）=。

几个数相乘，只要都比1大，所得的积比这几个数中的任何一个数都大；几个数相乘，只要都比1小，所得的积比这几个数中的任何一个数都小。

数字1是一个分界点，大于和小于它的数的运算特点是截然不同的。

算术运算符号

运算符号是算术中用来表示数字或数量运算的一种速记手段，在算术中，数字和数量被视为具有相同含义。

运算符号的意义在英语和拉丁语中有描述，下面给出简要说明。

加法符号是一个90度相交的十字，即由水平线和竖直线组成，介于相加的数之间。它几乎总在表示“加”，拉丁文词义“更多”；把它渲染为“和”看来无可挑剔。如果有两个以上的数相加，不要紧，只要把加法符号放在它们之间就可以了。2＋2表示2和2相加以求和；2＋2＋3＋4表示2，2，3和4相加以求和；第一个式子的得数是4，第二个式子的得数是11。

完整加法的结果是数字或数量之和，把加法称为和运算并不正确。

减法符号是一段水平线，它放在两数之间，它后面的数是减数。它总是被描述为“减少”，拉丁词义“少于”，我们可以正确地表述为“减去”。减号应用很广。5－4读成5减去4，也就是说5要被减去4。人们可能已经注意到，在减法运算中，大的数总是放在第一位，如5－4或6－3。

在减法中，被减去的那个数称为被减数，词义源于拉丁文，意思是“要被减去”；需减掉的数称为减数，词义源于拉丁文，意思是“要减去”；减法运算的结果称为余或差。

至于在减法算式中大数要放在第一位的说法，指的是在算术中而不是代数中。

乘法符号用对角交叉线来表示，放在两数之间；4×5表示4乘以5，在接下来的乘法算式中，乘法符号必须要放在每两个相乘数的中间；4×5×6表示4乘以5再乘以6，积是120。

有时，句号（英文中的句号）被用于表示乘号，容易与

小数

在乘法的完整表示中，上一级的数称为被乘数，词义源于拉丁文，意思是“被乘”，下一级的数称为乘数，乘法完成后的结果称为积。被乘数和乘数更换位置不影响运算结果。

除法的表示有几种方法，一是用一段水平线或为了节约空间用对角线表示。除号之上的是被除数，词义源于拉丁文，意思是“要被除”；放在除号下面的数是除数。如，或者是6/3，意思一样，都表示6除以3。除法运算的结果称为商。

除号的另一种表示方法是一段水平线及两个圆点，这两个圆点分别在水平线的上下。6÷3表示6除以3。

∶是一个比值的符号，也是除号的一种，除了特殊场合外，不作为除号使用。

水平线或斜线并不总是被允许作为除号使用；有时，2÷4和两种表示还是有区别的。后面的式子只用于表示分数。但如果我们写成a/b，除了可以说成“a除以b”之外，很难有其他表述。如果用分数的术语来表示，可以说成“四分之二”。

数字的乘方符号用一个在该数右上角放置的小数字来表示，称为23指数；4指的是4的平方，得数是16；5指的是5的三次方或立方，得数是125。数字2和3，就是指数，在上例中分别作为4和5的指数。

术语“平方”是二次方的缩略，术语“立方”是三次方的缩略；其他次数的乘方就没有缩略语了。

根号表示数的根。其本身表示平方根；如果要表示其他次方根，还需要在它的左上角写上指数。表示16的平方根，结果是4；表示16的4次方根，结果是2。

当有几个数字需要表示成一个组合时，则被称为“表达式”。2+3和3+5都是表达式。

等号用相互平行的两段水平线来表示，读作“等”或“等于”。那么想表示两个数的和，如2和3相加，我们可以写成2＋3＝5，读作2加3等于5。

根据上面的叙述，可以证实两个表达式相等，则被称为等式。

不等式可以由V型的符号放在数字边上来表示，V型尖点右边的数字较小。7＞2表示7大于2，或2小于7，两种说法都是一个意思。这个符号还可以转换方向，2＜7指的是2比7小。

比号即比例中心符号，放在此式与其他式之间，读作“同”，在相同的比例式中如果有单个“：”，读作“比”；那么2∶4∶∶4∶8可以读作，2比4同4比8。有时，等号＝也用来表示比例中心符号。如果在上述比例式中引入等号，那么式子变成：2∶4＝4∶8。

如果把冒号看作除号，上面的比例式可以读作2除以4等于4除以8，这样表述很对，可以表示出比例式成员间的关系。双比号永远不会被视为等号，尽管它有相等的含义。

括号内的数字可看作一个组并且可按单个数或个体来对待。7－（2＋3）表示7减去2加3的和，余数是2。如果还是这几个数，没有括号，7－2＋3表示7先减去2，再加上3，结果是8。因为有括号的存在，数虽不变，结果却不同。

乘号和除号优先于加号和减号；乘号和除号可以使它们旁边的数字先运算，和括号的作用相同。那么12－10÷2表示10除以2，所得的商被12减去，结果是7。4＋6×3表示6乘以3然后与4相加，得数是22；先做6×3的运算就好比它们是在括号中一样。小数

小数，从广义上说是分数，但分母为10的乘方值；1/10，1/100和1/1000就是这样的值。一般来说，小数点之后的部分是指同级分数的分号线以上部分。

小数点右面的数字可以写成分数的分子，因为有分子和小数点的对应关系，分母往往被略掉，它们之间的关系由0或者有时是分子来决定。那么，如果仅靠分子上的数字不能给出正确的位置，也就是说，数字离小数点有多远不能确定的时候，可以把0放在小数点与分子数字之间。

对于一个普通分数，分数变成小数时，分子数在小数点后的位置（0的数量）等于分母的数字位数减1，1/10可以写成0.1，因为分母有两位数字，3/100可以写成0.03，因为分母有3位数。

算术补数

补数的意思是用来把某个数补充完整的数。某个数和相邻的而且大于它的10的倍数之间的差值就是补数。按照这个定义，2是18的补数，因为10的倍数中，大于18的只能是20。

通常情况下，某个数的补数以大于该数，且是10的下一乘方值为参照。

基于此，18的补数是82，在18之上，10的下一乘方是100。

小数的算术补数是指该数和1或整数的差值。

因此，0.55的算术补数是0.45。这个补数在三角计算中经常用到。右手位用10去减，其他位用9去减而轻松得到。假设我们想求出0.4658的算术补数，接下来这样做：10－8＝2，这是补数的右手位数字；然后接着从9开始减，分别是9－5，9－6和9－4；结果是0.5342。小数和其补数之和是整数或1。

数字和记号组合

把某个数字或符号放在另一个数字前或左边称为前缀，放在数字之后或右边称为后缀。

如果小数点放在55之前，那么55变成0.55。如果把5放在55后面，就得到555。区别后缀和加法很重要。

在某个数字之前添加一个符号能对其产生影响。如我们写－6，读作负6，数字6受负号影响变成了负数。

正号一般不单独写在某个数前面，我们可以理解成每个正数也受了正号影响。

某个数以负号为前缀或受负号影响，也就是一个负数。如果一个数前面没有符号，可以看成是正数。

在代数范围内使用正号和负号。某个数有指数项，那么它受指数值影响。对于数字2和5有指数项，即23，54，可以说，它们的值与指数3和4有关。

正号和负号的引入归功于德国数学家迈克尔•斯迪菲尔，始于1544年。他也是根号的引入者。

等号“＝”的最早使用者是英国数学家罗伯特•雷科德，他第一次使用等号是在1557年。

乘号“×”由英国数学家威廉•奥特雷德开创，出现在他的著作《数学之钥》一书中。

除号“÷”要归功于英国数学家约翰•佩尔博士。

起初加号用拉丁文词汇plus或意大利语词汇piu，或字母p来表示；减号用minus、mene或字母m来表示；根号在大写字母R之后，表示一个数的根。

不等号“＞”和“＜”，最早出现在英国数学家托马斯•哈里奥特去世后才出版的著作中，他与奥特雷德处于同一时代。

小数点是在17世纪初，由苏格兰数学家约翰•纳皮耶引入。

在10世纪，十进制数体系引入欧洲。

第二章 加法

加法及其理论的说明

每个人可能都知道乘法表；也就是说，在乘法表中常用的数字范围内，人们能很快说出它们的积，做这些题时都不用停下来去想。除此之外，如果我们提到“和1相乘”时，有144种不同的乘法。某些相乘是相逆的，如3乘9和9乘3。对于乘法，记住132个乘积的数就可以了。因为可逆的相乘，得到的乘积是一样的。

加法是传授给孩子们的第一个算法运算规则，记数法很难称作运算。在加、减、乘、除四种基本算术运算中，加法最难对付，也最容易犯错，但在四种运算中最常用。如果各个银行都有一台或多台加法机，相比较而言就不用添置那么多乘法机了。采用正确的方法，分析其组合，加法的过程可能在极大程度上被优化，就会收到令人满意的效果。有几种不同的方法可用于加法运算，对于我们每个人来说，这些方法有助于开启思路，从而创造出更多的方法。

加法表

在乘法表中，共有144个乘式需要记住，相应地，加法表里只有45个式子要记住。老实说，加法表不如乘法表那样为人熟知。

9个数字的相互运算要强调一下，在这里是一个数字同9个数字中的某一个相加。

数字1到9相加等于45。

在这些两个数的加法中：

得数是1位数的加式有20个，比如2＋4＝6，3＋5＝8。

得数是2位数的加式有25个，比如5＋6＝11，7＋9＝16。

两个数相加，最大的得数是18，即9＋9＝18；得数中左边的1是加法中的进位。因此，1到9中的一个数同另一个数相加，如果有进位，那只能是1。

下面予以解释，假设6，7，8，9相加，6＋7＝13，进位是1。然后是3＋8，这样有了两个

进位1

上例中的第一次进位，只能是1，再次进位时，是3个数相加，进位总共是2，第一次进位后，第二进位仍然是1。当加上第4个数时，再次进位1，最后，得数的十位是3。

由此得出结论：当一列1位数相加时，如有进位，单次进位只能是1，后续相加产生的进位也是这样。

下面是几列不同的加法运算，每列数的右边部分是运算得数：

列a的数字相加有如下特点，即每次相加总有单次进位1，这一列进位最多，我们可以看到，每次进位只能是1，所以得数的十位部分依次变为1，2，3，4，5。进位1

现在说说有哪些没有给出的条件和在什么地方“进位1”，两种方法已在下式给出：

有20种情况下没有“进位1”，接下来是25种情况都有“进位1”。

怎样加

在当今的阅读教学中，先教孩子们认单词，而不去管怎样拼读。加法运算也是这样，不用去管它如何命名；在做前面a列数字加法时，你应该对自己说必须快速连续地把9，17，24，33，41相加，而不要对自己说9和8相加等于17，再和7相加得到24等。

测验快速相加的表用起来很有意思，如果不能毫不犹豫地做加法，那么快速相加以及更精确相加就有点难了。

各种加的方法

列与列间，每次有一个数相加，这可能是最常用的方法了；这也是最明白、最简单，或许也是最慢的方法。有两种方式，从上向下加或从下往上加。为了验证运算是否准确，最好的办法是两种方式各做一次。

会计的加法

分别写出每列数字之和，一个和在另一个和之下，每个“后继”之和各向左空出一位数字来；接下来最后附带的和就会给出总和。如下式所列：

左边的和是用常规方法得出的，右边的和是用刚才描述的方法得出的。

一组数字的加法

两位数相加，只有17个不同的结果，这容易知道。它们的相加还有另一种方式，接下来就是一组数字相加的第一步。

这种方法由两个或多个数相加构成，并且是竖列中的两个或多个数一次完成相加。

在上式中，8与7的和15，在9与3的和12之下；12和15相加得到27。这样可以或不涉及彼此双数相加，因为两个相加之和的十位数不可能大于1，所以即使运算过半，仍然如此，这种加法很简单。

当几列数成组相加时，一般有一个数要进位，这也许会被加到第一组的下一列，在后面的文章中会讲到。

下面是速算法：在最后的例子中，15加上10得出25；接着25加上被错过的数字2（12的2），即等于27。这个系统使运算像普通加法那样简单。组加法的每一种方法同单直列加法相比更容易。

指数式相加

下面给出的两种类似的加法有几个值，看起来如此简单。一列数字的各种不同的加法，如果没有别的值，则用来检验运算是否精确。或像平时表述的那样，去“证明它”。

参考左手列，加的规律是从底部数字开始向上相加，直到接近20，接下来上面的下一个数字的相加会给出20或超过20的和。基于此，和的最后一位数字写在列边上。另一个新的加法是，相加的两者之间没有参考。开始运算直至又一次接近20；最终的数字写下来，一直重复，直至顶部。如果顶部加法在十位上没有数字，就把所有边上的数字相加；如果有顶部数字或上面的关键数字，这些就要加在一起。和之前要写下一个数字，即十位的位置等于刚才写在边上的关键数字，关键数字相加，进位也增加。

假设现在列顶部没有8，在最后的关键数字之后9已经写在了左手边；接下来，只剩下关键数字3，5，5和8，相加得18。这样已经加上了剩下的数字9，谁又会是顶部数字呢？这里给出27；然后只有2可以运算，进入十位有关键数字3；我们会得到总数57，它是这列数的总和，没有顶部数字8。

阶段式相加

下一种方法有些类似，这次从右下部向上连续相加，除了前例中接近20的点被放在了边上，忽略十位，加法继续。那么从下往上数第三个数我们加上点，再继续以5做起点。有5＋7，得数12，下一个得数是8，用点标记，接下来以2为起点与其上数8，6，2相加，总数是18，用点标记；接着8与其上的3和7相加，最后一个数用点标记。我们得到17，将7与顶部数字运算得到7＋8＝15。这是最后一个点，个位5被写下来。因为共有6个点，所以十位数是6，最后的得数是65。

如前所述，如果在最后相加中没有数超过10，这个数字只需简单加在个位就可以了。在前二例中，有1进位到顶部。

8●

9●

7●

3

2●

6 8

7●

6●

3 6

——

65

组合式相加

我们应该记住得数是10的数字的加法。比如3，3，4；1，3，6；2，3，5等。两个数字合并，假定人人尽知，任何人都可以写出不同的组合。推荐学习更多数的组合，如有8个4个数字的组合，得数是20。有9个4个数字的组合，得数是30。再高些的组合并不常用，涉及更多数字的组合很少见。2到3个数字的组合最常用。

组合式相加不应该局限于两个数为一组。所有的方法都有助于组合式相加。熟练的人一定有自己的独特方法来应对成组相加。

平均值相乘的加法

取一些数的平均值，用它乘以这些数的数量就是这些数的和。假设5，4，3相加，4是三个数的平均值，所以4×3＝12，就可以得到数的和。

乘法式相加

以下是一列单位数相加的另一种方法。通过加上或减去一个数，化为相同的值，由一个简单乘法给出加法值，与我们或加或减后的值相同。举例如下：

这个方法是简单乘法用于加法的例子。在第二个例子中，8被加，3被减，净值是加后为5，它被35减去后可得出答案。

十进制加法

下面的方法也许可以称作十进制加法。所有的数都要加上一定值，使它们等于10或100。从最后一个原始数减去增量之和，通过一个简化的加法给出要求的和。

在第一个例子中，增量是1和3，它们的和是4，它们被最后一个原始数4减去，得到0。右列中给出了原始数的和。在第二个例子中，14是增量之和，被49减去，得到35，右列中给出了原始数的和。

两列及三列数相加

两位数的组合有90种之多，10，11，12，一直到99。如果一看到任两组这样的数就能马上给出答案，那么你可以同时做两列数的加法了。这意味着速度加快了一倍，就像许多计算机做到的那样。有的还能同时做三列数的加法。

两列数同时相加可按下述方法进行：

可以从列顶或列底开始计算，先用第一个数与第二个数的十位相加，再加上第二个数的个位；接着再与第三个数的十位相加，再加上第三个数的个位，如此类推，直至结束。

为了验证这一方法，请看下例：

第二章 加法

每个人可能都知道乘法表；也就是说，在乘法表中常用的数字范围内，人们能很快说出它们的积，做这些题时都不用停下来去想。除此之外，如果我们提到“和1相乘”时，有144种不同的乘法。某些相乘是相逆的，如3乘9和9乘3。对于乘法，记住132个乘积的数就可以了。因为可逆的相乘，得到的乘积是一样的。

加法是传授给孩子们的第一个算法运算规则，记数法很难称作运算。在加、减、乘、除四种基本算术运算中，加法最难对付，也最容易犯错，但在四种运算中最常用。如果各个银行都有一台或多台加法机，相比较而言就不用添置那么多乘法机了。采用正确的方法，分析其组合，加法的过程可能在极大程度上被优化，就会收到令人满意的效果。有几种不同的方法可用于加法运算，对于我们每个人来说，这些方法有助于开启思路，从而创造出更多的方法。加法表

在乘法表中，共有144个乘式需要记住，相应地，加法表里只有45个式子要记住。老实说，加法表不如乘法表那样为人熟知。

9个数字的相互运算要强调一下，在这里是一个数字同9个数字中的某一个相加。

数字1到9相加等于45。

在这些两个数的加法中：

得数是1位数的加式有20个，比如2＋4＝6，3＋5＝8。

得数是2位数的加式有25个，比如5＋6＝11，7＋9＝16。

两个数相加，最大的得数是18，即9＋9＝18；得数中左边的1是加法中的进位。因此，1到9中的一个数同另一个数相加，如果有进位，那只能是1。

下面予以解释，假设6，7，8，9相加，6＋7＝13，进位是1。然后是3＋8，这样有了两个进位1，得数是21，可进位2。1再与9相加，加上先前的2个进位，可以得出4个数的和是30。

上例中的第一次进位，只能是1，再次进位时，是3个数相加，进位总共是2，第一次进位后，第二进位仍然是1。当加上第4个数时，再次进位1，最后，得数的十位是3。

由此得出结论：当一列1位数相加时，如有进位，单次进位只能是1，后续相加产生的进位也是这样。

下面是几列不同的加法运算，每列数的右边部分是运算得数：

列a的数字相加有如下特点，即每次相加总有单次进位1，这一列进位最多，我们可以看到，每次进位只能是1，所以得数的十位部分依次变为1，2，3，4，5。进位1

现在说说有哪些没有给出的条件和在什么地方“进位1”，两种方法已在下式给出：

有20种情况下没有“进位1”，接下来是25种情况都有“进位1”。怎样加

在当今的阅读教学中，先教孩子们认单词，而不去管怎样拼读。加法运算也是这样，不用去管它如何命名；在做前面a列数字加法时，你应该对自己说必须快速连续地把9，17，24，33，41相加，而不要对自己说9和8相加等于17，再和7相加得到24等。

测验快速相加的表用起来很有意思，如果不能毫不犹豫地做加法，那么快速相加以及更精确相加就有点难了。各种加的方法

列与列间，每次有一个数相加，这可能是最常用的方法了；这也是最明白、最简单，或许也是最慢的方法。有两种方式，从上向下加或从下往上加。为了验证运算是否准确，最好的办法是两种方式各做一次。会计的加法

分别写出每列数字之和，一个和在另一个和之下，每个“后继”之和各向左空出一位数字来；接下来最后附带的和就会给出总和。如下式所列：

左边的和是用常规方法得出的，右边的和是用刚才描述的方法得出的。一组数字的加法

两位数相加，只有17个不同的结果，这容易知道。它们的相加还有另一种方式，接下来就是一组数字相加的第一步。

这种方法由两个或多个数相加构成，并且是竖列中的两个或多个数一次完成相加。

在上式中，8与7的和15，在9与3的和12之下；12和15相加得到27。这样可以或不涉及彼此双数相加，因为两个相加之和的十位数不可能大于1，所以即使运算过半，仍然如此，这种加法很简单。

当几列数成组相加时，一般有一个数要进位，这也许会被加到第一组的下一列，在后面的文章中会讲到。

下面是速算法：在最后的例子中，15加上10得出25；接着25加上被错过的数字2（12的2），即等于27。这个系统使运算像普通加法那样简单。组加法的每一种方法同单直列加法相比更容易。指数式相加

下面给出的两种类似的加法有几个值，看起来如此简单。一列数字的各种不同的加法，如果没有别的值，则用来检验运算是否精确。或像平时表述的那样，去“证明它”。

参考左手列，加的规律是从底部数字开始向上相加，直到接近20，接下来上面的下一个数字的相加会给出20或超过20的和。基于此，和的最后一位数字写在列边上。另一个新的加法是，相加的两者之间没有参考。开始运算直至又一次接近20；最终的数字写下来，一直重复，直至顶部。如果顶部加法在十位上没有数字，就把所有边上的数字相加；如果有顶部数字或上面的关键数字，这些就要加在一起。和之前要写下一个数字，即十位的位置等于刚才写在边上的关键数字，关键数字相加，进位也增加。

假设现在列顶部没有8，在最后的关键数字之后9已经写在了左手边；接下来，只剩下关键数字3，5，5和8，相加得18。这样已经加上了剩下的数字9，谁又会是顶部数字呢？这里给出27；然后只有2可以运算，进入十位有关键数字3；我们会得到总数57，它是这列数的总和，没有顶部数字8。阶段式相加

下一种方法有些类似，这次从右下部向上连续相加，除了前例中接近20的点被放在了边上，忽略十位，加法继续。那么从下往上数第三个数我们加上点，再继续以5做起点。有5＋7，得数12，下一个得数是8，用点标记，接下来以2为起点与其上数8，6，2相加，总数是18，用点标记；接着8与其上的3和7相加，最后一个数用点标记。我们得到17，将7与顶部数字运算得到7＋8＝15。这是最后一个点，个位5被写下来。因为共有6个点，所以十位数是6，最后的得数是65。

如前所述，如果在最后相加中没有数超过10，这个数字只需简单加在个位就可以了。在前二例中，有1进位到顶部。

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65组合式相加

我们应该记住得数是10的数字的加法。比如3，3，4；1，3，6；2，3，5等。两个数字合并，假定人人尽知，任何人都可以写出不同的组合。推荐学习更多数的组合，如有8个4个数字的组合，得数是20。有9个4个数字的组合，得数是30。再高些的组合并不常用，涉及更多数字的组合很少见。2到3个数字的组合最常用。

组合式相加不应该局限于两个数为一组。所有的方法都有助于组合式相加。熟练的人一定有自己的独特方法来应对成组相加。平均值相乘的加法

取一些数的平均值，用它乘以这些数的数量就是这些数的和。假设5，4，3相加，4是三个数的平均值，所以4×3＝12，就可以得到数的和。乘法式相加

以下是一列单位数相加的另一种方法。通过加上或减去一个数，化为相同的值，由一个简单乘法给出加法值，与我们或加或减后的值相同。举例如下：

这个方法是简单乘法用于加法的例子。在第二个例子中，8被加，3被减，净值是加后为5，它被35减去后可得出答案。十进制加法

下面的方法也许可以称作十进制加法。所有的数都要加上一定值，使它们等于10或100。从最后一个原始数减去增量之和，通过一个简化的加法给出要求的和。

在第一个例子中，增量是1和3，它们的和是4，它们被最后一个原始数4减去，得到0。右列中给出了原始数的和。在第二个例子中，14是增量之和，被49减去，得到35，右列中给出了原始数的和。两列及三列数相加

两位数的组合有90种之多，10，11，12，一直到99。如果一看到任两组这样的数就能马上给出答案，那么你可以同时做两列数的加法了。这意味着速度加快了一倍，就像许多计算机做到的那样。有的还能同时做三列数的加法。

两列数同时相加可按下述方法进行：

可以从列顶或列底开始计算，先用第一个数与第二个数的十位相加，再加上第二个数的个位；接着再与第三个数的十位相加，再加上第三个数的个位，如此类推，直至结束。

为了验证这一方法，请看下例：

70加88，得数158。158加71的个位1，得数159。159加上30，得数189，再加上34的个位4，得到193。193加20，得数213，再加上29的个位9，总数是222。

有点变化较为实用，在十位数相加前也可以先做个数位的加法，88＋1＝89。1取自于71的个位。接着加70，得到159。159＋4＝163，163加上34的十位数30得到193。然后193＋9＝202，202＋20＝222，计算结果同上。

三列数相加的方法可由上例推而广之。那么957和875相加，如果从百位开始，则有957＋800＝1757；1757＋70＝1827；1827＋5＝1832。

三列数相加的方法有时被认为有数的范围的限制，但它有很强的实践性。适用于多行数相加。如下例：

上式是从列底数开始相加的，至列顶结束。

左手加法

当几列数相加，可以自下向上，从左开始以列为单位把数相加。当第一列数相加后不急于写出来，而是与第二列数依次相加，把得数写在线下，然后相邻的后两列也重复这样的计算。如果每两列计算所得的和只有两位，所得数可以另起一行，在前一得数的右边位开始写；如果得数为三位或更多，那么需另起一行，从上一得数的个数位位置开始写。最后把几次计算所得和相加，该进位则进位，数的列数多也不要紧，只需重复上述过程即可。有一点需注意的是，每次计算所得和不能简单相加，而是放置在不同位置，做有关运算后得出最终的结果。

在上例中，假定我们自下向上相加，左手边第一列相加得25。25与右列中上面第一个数7相加，接着向下与这一列中的其他数相加，分别得到257，264，273，281。最后一个得数281就是第一列与第二列数相加之和，写在线下。下两列也这样计算，下一列数之和是32，分别与第四列的各个数相加得到328，336，343，352。352需另起一行写在281之后，281的1下面对应的是352的3。

将上例变化一下，更有意思。

按上面的做法，从左至右，从下至上计算。第一列数相加得25。然后把25和第二列的各个数分别相加，我们得到281。接下来就不一样了，我们只写下28，把1留给下面的计算，得到19，接着与第三列中的另外三个数相加，得到42。与第四列数相加，从8开始，得到428，436，443，452。452可以另起一行，直接放在28后面。这种方法没有另外需要添加的加法，两次计算所得数在放置时无重叠位。（见例a）

对于多于4列的列数，我们先把28写下来；接着完成下面两列的相加得数45，另起一行写下来，2将进位，添在下一列。（见例b）

实际计算时，上两例中的加法得数可以写在一起；这里分两行来写是为了对这种方法做说明和解释。

列与列间无进位加法

下面引入一种几列数相加的便捷方法。右手位的第一列数相加后，和写在下面，如果得数有两位，则十位数放在第二列下，个位数放在第一列下。如果得数是三位数，则百位数放在第三列下面，其余位的放置如前述。接下来第三列数相加，得数的百位数放在第三列下，得数的十位数放在第四列下，等等，以此类推。假定有四列相加，然后把第二列数相加，得数按上述规律放在已经形成的两行得数的相应位置。最后把第四列相加，得数也做相应放置。两行数相加后得到想要的结果。

在例中，第一数中的16是第一列数之和，即16＝4＋5＋7；下一数为第三列数相加之和，22＝9＋4＋9。在下一行中，12是第二列数之和12＝8＋3＋1，25是第四列数之和25＝8＋8＋9。

如果得数中有三位数，放置位置按上述内容，唯一不同之处在于，需要再增加一行，三位得数只发生于列中12位数相加时。假设四列数中的第一列数相加得116，第三列数相加得322，第二列数相加得312，第四列数相加得125，其排列如下：

在这个例子中，按正常的次序放置各个和应该更好。此方法只适用于当每个实际得数都小于100时，且每个和少于三位数字。

自左列开始，相加得15，写在下面。下一列数的和是24，这次把2放在5下面，4在5右边。其他列数的和也按照这个方法放置，它们的和是17，17，18和21。所有得数都倾斜放置在两行中，最终的结果是由所有得数和而得到。

凑整相加

两个小一些的数相加的捷径是将其中一个数通过加或减而凑整计算。另一个数则做完全相反的运算，最后把两个数相加。如97加86的计算：100－3＝97，那么要保持值不变，86要减掉3，86－3＝83，那么我们可以很直观地得出97＋86＝100＋83＝183。如果我们只把第一个数取整，而保持第二个数不变，那么因取整而加上或减掉的数要在总的得数中做相应减或加运算。

进一步执行相同的方法，引出了下面的加法。加上或减去某个数，将每个数凑整；加上凑整数，加上或减去增量，加上你减掉的数，减去你加上的数。如341，896和302相加。将59加至第一个数，将4加至第二个数，把第三个数减去2。结果可以给出了，需要加上或减掉的数如下所示：

试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]

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