作者：谢龙汉,耿煜,邱婉
出版社：电子工业出版社
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ANSYS电磁场分析试读：
前言
ANSYS由世界上最大的有限元分析软件公司之一——美国ANSYS 开发，它能与多数计算机辅助设计（CAD，Computer Aided Design）软件接口，实现数据的共享和交换，如Pro/Engineer、NASTRAN、AutoCAD 等，是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。
ANSYS具有强大的功能，主要包括三个部分：前处理模块、分析计算模块和后处理模块。在整个分析过程中，集成了建模、划分网格、求解和结果查看的整个过程。
最新版本的工程仿真软件 ANSYS 13.0引入新的工具和技术，帮助用户更高效地完成工作，有效推动基于仿真的设计进入更广泛的应用领域。它节约时间，提高效率，为工作提供强有力的竞争优势。
本书是结合作者多年工作经验编写的，在编写过程中，突出了以下特点：（1）直观性。全书以图解实例的形式介绍ANSYS的GUI操作，所有的操作流程尽可能集中在图片上，直观易懂，使读者能够更容易地获得知识。（2）先进性。以最新的ANSYS 13.0为蓝本进行讲解，并参阅了国内外大量的成功教材，一切从满足中国用户的需求出发。（3）实用性。全书采用基础知识和实例操作相结合的方法，互相补充，同时在内容关键处给予了有益的提示，使读者在学完本书后能够快速地将知识应用于自己的工作。（4）循序渐进。全书采用由简到繁、循序渐进的方法，结合实例，一步一步地提高用户的软件操作水平，而且做到重要知识点均有实例示范，并适当回顾复习，使读者在学习繁杂的ANSYS时不至于手足无措。（5）多媒体示范。本书的配套光盘中提供了所有实例的视频操作，可以在观看录像时增强对知识点的理解。
本书分为8章
第1章 ANSYS概述。首先介绍ANSYS的发展历史及ANSYS 13.0的主要特点，然后介绍ANSYS的安装方法和它对系统的配置要求，ANSYS的基本架构和工作界面等，向读者推荐一些ANSYS的使用习惯和学习方法。最后通过一个入门引例，使读者初步了解用ANSYS 进行电磁耦合分析的步骤。
第2章 结构场分析。介绍 ANSYS 结构场分析的典型步骤，同时让读者初步了解ANSYS有限元分析的通用步骤和方法。首先讲解如何建立有限元模型，划分网格的基本方法，然后加载负载，使用ANSYS 仿真结果，最后介绍分析报告的基本写法。通过本章学习，读者可以熟悉有限元分析的通用步骤，一些常用的命令和菜单操作，为以后学习复杂的电磁耦合分析打下良好的基础。
第3章 建立电磁场有限元模型。首先介绍ANSYS中的坐标系，然后进一步介绍节点和单元操作，以降低有限元模型建立的工作量，最后介绍如何给磁场和电场施加负载，求解后如何查看分析结果。本章通过大量实例使读者初步对使用ANSYS分析电磁场有所了解。
第4章 电磁场实体建模。本章介绍实体建模的方法，使读者学会使用ANSYS 建立点、线、面、体等，然后介绍一些布尔操作，方便模型建立，并配有实例。
第5章 网格化有限元模型的建立。本章介绍网格化有限元模型的建立方法，并配有实例，使读者学会如何设定网格大小、形状等属性，掌握划分网格的方法。
第6章 求解和结果查看。本章介绍ANSYS求解方法和结果查看方法。ANSYS程序有多种解方程的方法：直接解法、稀疏矩阵直接解法、雅可比共轭梯度法（JCG），不完全分解共轭梯度法（ICCG）、预条件共轭梯度法（PCG）、自动迭代法（ITER）及分解块法（DDS）等。求解之后，想要查看结果，ANSYS 后处理器可以完成此功能。这一步可能是整个分析过程中最重要的一步，因为用户想要知道施加的负载怎样影响到自己的设计，自己划分的网格好用与否等。
第7章 耦合场分析。耦合场分析是多种工程领域的综合分析，可以解决全局的工程问题，所以用户经常需要使用耦合场分析。当一个场分析的输入决定于另一个场分析的数据时，此分析就是耦合的。
第8章 综合工程实例。本章应用所学知识，给出五个综合工程实例。
本书主要由谢龙汉、耿煜、邱婉完成，参加本书编写和光盘开发的还有林伟、魏艳光、林木议、王悦阳、林伟洁、林树财、郑晓、吴苗、李翔、莫衍、朱小远、唐培培、尚涛、邓奕、张桂东、鲁力、刘文超、刘新东等，同时也非常感谢拓技工作室其他成员的帮助和支持。
由于时间仓促，书中难免有疏漏之处，请读者谅解。读者可通过电子邮件reader.toptech@gmail.com或者mr.gengyu@gmail.com 与我们交流。编著者第1章ANSYS概述
本章首先介绍ANSYS的发展历史及ANSYS 13.0的主要特点，然后介绍ANSYS的安装方法和它对系统的配置要求，ANSYS的基本架构和工作界面等，向读者推荐一些ANSYS的使用习惯和学习方法。最后通过一个入门引例，使读者初步了解用ANSYS 进行电磁耦合分析的步骤。
本章内容ANSYS历史ANSYS安装有限元分析简介ANSYS工作界面ANSYS基本架构ANSYS文件ANSYS与CAD软件接口学习ANSYS建议
本章案例两端固定杆件受力分析正方形电流环分析头1.1 ANSYS概况及发展历史
本节介绍ANSYS的基本特点和应用领域，以及其发展历史。1.1.1 ANSYS概况
ANSYS软件是融合结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。因此，它可应用于以下工业领域：航空航天、汽车工业、生物医学、桥梁、建筑、电子产品、重型机械、微机电系统、运动器械等。该软件提供了100 种以上的单元类型，用来模拟工程中的各种结构和材料。该软件有多种不同版本，可以运行在从个人机到大型机的多种计算机设备上，如PC，SGI，HP，SUN，DEC，IBM，CRAY等。
它由世界上最大的有限元分析软件公司之一——美国ANSYS 开发，它能与多数CAD软件接口，实现数据的共享和交换，如Pro/Engineer，NASTRAN，AutoCAD等。
计算机辅助工程（CAE，Computer Aided Engineering）的技术种类有很多，其中包括有限元法（FEM，Finite Element Method）、边界元法（BEM，Boundary Element Method）、有限差法（FDM，Finite Difference Element Method）等。每一种方法各有其应用的领域，而其中有限元法应用的领域越来越广，现已应用于结构力学、结构动力学、热力学、流体力学、电路学、电磁学等。ANSYS就是一款优秀的CAE软件。1.1.2 ANSYS分析类型
1．结构静力分析
结构静力学析用来求解外载荷引起的位移、应力和力。静力分析很适合求解惯性和阻尼对结构的影响并不显著的问题。ANSYS程序中的静力分析不仅可以进行线性分析，而且可以进行非线性分析，如塑性、蠕变、膨胀、大变形、大应变及接触分析。
2．结构动力学分析
结构动力学分析用来求解随时间变化的载荷对结构或部件的影响。与静力分析不同，动力分析要考虑随时间变化的力载荷及它对阻尼和惯性的影响。ANSYS 可进行的结构动力学分析类型包括：瞬态动力学分析、模态分析、谐波响应分析及随机振动响应分析。
3．结构非线性分析
结构非线性导致结构或部件的响应随外载荷不成比例的变化。ANSYS程序可求解静态和瞬态非线性问题，包括材料非线性、几何非线性和单元非线性三种。
4．动力学分析
ANSYS程序可以分析大型三维柔体运动。当运动的积累影响起主要作用时，可使用这些功能分析复杂结构在空间中的运动特性，并确定结构中由此产生的应力、应变和变形。
5．热分析
程序可处理热传递的三种基本类型：传导、对流和辐射。热传递的三种类型均可进行稳态和瞬态、线性和非线性分析。热分析还具有可以模拟材料固化和熔解过程的相变分析能力，以及模拟热与结构应力之间的热—结构耦合分析能力。
6．电磁场分析
电磁场分析主要用于电磁场问题的分析，如电感、电容、磁通量密度、涡流、电场分布、磁力线分布、力、运动效应、电路和能量损失等。还可用于螺线管、调节器、发电机、变换器、磁体、加速器、电解槽及无损检测装置等的设计和分析领域。
7．流体动力学分析
ANSYS流体单元能进行流体动力学分析，分析类型可以分为瞬态或稳态。分析结果可以是每个节点的压力和通过每个单元的流率。并且可以利用后处理功能产生压力、流率和温度分布的图形显示。另外，还可以使用三维表面效应单元和热—流管单元模拟结构的流体绕流并包括对流换热效应。
8．声场分析
程序的声学功能用来研究在含有流体的介质中声波的传播，或分析浸在流体中的固体结构的动态特性。这些功能可用来确定音响话筒的频率响应，研究音乐大厅的声场强度分布，或预测水对振动船体的阻尼效应。
9．压电分析
压电分析用于分析二维或三维结构对AC（交流）、DC（直流）或任意随时间变化的电流或机械载荷的响应。这种分析类型可用于换热器、振荡器、谐振器、麦克风等部件及其他电子设备的结构动态性能分析。可进行四种类型的分析：静态分析、模态分析、谐波响应分析、瞬态响应分析。1.1.3 软件组成
软件主要包括三个部分：前处理模块、分析计算模块和后处理模块。
前处理模块提供了一个强大的实体建模及网格划分工具，用户可以方便地构造有限元模型。
1．前处理模块
ANSYS的前处理模块主要有两部分内容：实体建模和网格划分。（1）实体建模
ANSYS程序提供了两种实体建模方法：自顶向下与自底向上。自顶向下进行实体建模时，用户定义一个模型的最高级图元，如球、棱柱，称为基元，程序则自动定义相关的面、线及关键点。用户利用这些高级图元直接构造几何模型，如二维的圆和矩形及三维的块、球、锥和柱。无论使用自顶向下还是自底向上方法建模，用户均能使用布尔运算来组合数据集，从而“雕塑出”一个实体模型。ANSYS程序提供了完整的布尔运算，如相加、相减、相交、分割、黏合结和重叠。在创建复杂实体模型时，对线、面、体、基元的布尔操作能减少相当可观的建模工作量。ANSYS程序还提供了拖拉、延伸、旋转、移动、延伸和复制实体模型图元的功能。附加的功能还包括圆弧构造、切线构造、通过拖拉与旋转生成面和体、线与面的自动相交运算、自动倒角生成、用于网格划分的关键点的建立、移动、复制和删除。自底向上进行实体建模时，用户从最低级的图元向上构造模型，即用户首先定义关键点，然后依次是相关的线、面、体。（2）网格划分
ANSYS程序提供了使用便捷、高质量的对CAD模型进行网格划分的功能。包括四种网格划分方法：延伸划分、映像划分、自由划分和自适应划分。延伸网格划分可将一个二维网格延伸成一个三维网格。映像网格划分允许用户将几何模型分解成简单的几部分，然后选择合适的单元属性和网格控制，生成映像网格。ANSYS程序的自由网格划分器功能是十分强大的，可对复杂模型直接划分，避免了用户对各个部分分别划分然后进行组装时，各部分网格不匹配带来的麻烦。自适应网格划分是在生成了具有边界条件的实体模型以后，用户指示程序自动地生成有限元网格，分析、估计网格的离散误差，然后重新定义网格大小，再次分析计算、估计网格的离散误差，直至误差低于用户定义的值或达到用户定义的求解次数。
2．分析计算模块
分析计算模块包括结构分析（可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析）、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力。
3．后处理模块
后处理模块可将计算结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示（可看到结构内部）等图形方式显示出来，也可将计算结果以图表、曲线形式显示或输出。1.1.4 ANSYS历史介绍
1．早先版本
1963年，ANSYS的创办人John Swanson博士任职于美国宾州匹兹堡西屋公司的太空核子实验室。当时他的工作之一是为某个核子反应火箭作应力分析。为了工作上的需要，Swanson博士写了一些程序来计算加载温度和压力的结构应力和变位。几年下来，建立在Wilson博士原有的有限元素法热传导程序上，扩充了不少三维分析的程序，包括板壳、非线性、塑性、潜变、动态全程等。此程序当时命名为STASYS（Structural Analysis System）。
为了取代复杂的手算，Swanson博士设想利用有限元法程序。Swanson博士于1969年在临近匹兹堡的家中车库创立了他自己的公司Swanson Analysis Systems Inc（SASI）。在这里他用打洞器在计算机输入卡上打洞写程序，并租用美国钢铁公司的大型计算机。20世纪70年代结束之前，商用软件ANSYS宣告诞生，而西屋也成为他的第一个顾客。
1984年，ANSYS 4.0开始支持个人计算机。当时使用的芯片是Intel 286，使用指令互动的模式，可以在屏幕上绘出简单的节点和元素。不过这时还没有Motif规格的图型界面。ANSYS在PC上的第1版，前置处理、后置处理及求解都在不同的程序上执行。
1989年，ANSYS 收购Compuflo，使ANSYS 5.0版和FLOTRAN 2.1A版合并。
1996年，ANSYS推出5.3版。此版是ANSYS第一次支持LS-DYNA。此时，ANSYS/LSDYNA仍是起步阶段。
1997～1998，ANSYS开始向美国许多著名教授和大学实验室发送教育版，期望能在学生及学校扎根推广ANSYS。
2001年12月，ANSYS 6.0版开始发售。此版的离散（Sparse）求解模块有显著的改进，不但速度增快，而且内存空间需求大为减小。在此版之前，ANSYS多半建议用户使用PCG模块解决大型的模型。
2002年10月，ANSYS 推出7.0版。此版的离散求解模块有更进一步的改进，一般而言，效率比6.0版提高20％～30％。在接触分析方面亦有一些重大的改进和加强。
2．ANSYS 10.0
2005年7月，ANSYS 推出10.0版本。此版本在性能、易用性、协同工作及耦合技术，如流固耦合等方面有很大提高。10.0版本是在9.0软件的基础上研发的，与其有很好的兼容性。
延续了ANSYS一贯强大的耦合场技术，10.0版本为复杂的流固耦合（FSI）问题提供了更完善的解决方案。该版本整合了世界一流的应力分析和流体分析技术，形成了一套完整的FSI解决方案。通过适合于特定场要求的网格划分，一个单一的几何体可以应用于两种场。该版本提供了有效地解决FSI动力学分析的信息交换功能。目前，市场上没有任何其他的FSI软件可以提供如此强大的稳健性和高度的精确性分析。另外，该版本可以在多个机群进行并行处理解决超大模型。
为了满足日益增加的对大型复杂问题及时有效的分析需求，ANSYS 10.0的并行求解器现今增加了对CPU和通信技术的选择余地。除了支持Ethernet和Gigabit Ethernet，ANSYS10.0还支持Myrinet和InfiniBand。相对于以前的架构，ANSYS 10.0能以最低的成本满足高性能的机群计算。
本着以低成本硬件设备提供高性能解决方案的目标，ANSYS Workbench 现可支持Windows XP 64位机的AMD和EMT64 芯片集。此项改革解决了许多用户在Windows操作系统下运行大型模型所面临的2GB内存限制的问题。另外，它也使得ANSYS用户不再需要写硬盘就能完成整个求解，从而节约求解时间。
对于用户，这将帮助他们更加经济有效地解决大型模型问题，如低频稳态和全瞬态电磁分析问题。ANSYS 10.0并行求解器可以解决高于1亿自由度的大型电磁问题，在CAE行业独树一帜。
在高频电磁领域，10.0版本提供了一个新的模式端口。此端口大大简化了集成电路（IC）、射频识别（RFID）和射频微机电系统（MEMS）等多种设备分析传输线端口的建模。标准算例显示，利用此端口建模，可以显著缩小模型尺寸，在保证精确的频域计算结果前提下，节约30％～50％的求解时间和内存需求。
3．ANSYS 13.0
ANSYS公司最新版本的工程仿真软件ANSYS 13.0，引入新的工具和技术，帮助用户更高效地完成工作，有效推动基于仿真的设计进入更广泛的应用领域。这个版本在CAE功能上引领现代产品研发科技，涉及的内容包括高级分析、网格划分、优化、多物理场和多体动力学。
立足于拥有世界上最多的用户，ANSYS 13.0不仅为当前的商业应用提供了新技术，而且在以下方面取得了显著进步：
①继续开发和提供世界一流的求解器技术；
②提供了针对复杂仿真的多物理场耦合解决方法；
③整合了ANSYS的网格技术并产生统一的网格环境；
④通过对先进的软硬件平台的支持来实现对大规模问题的高效求解。
⑤继续改进最好的CAE集成环境——ANSYS WORKBENCH；
⑥继续融合先进的计算流体动力学技术。
ANSYS软件开发的核心目标就是提供给用户最高级和最可靠的适用于各行各业的仿真解决方案。下面的亮点展示了ANSYS 13.0的某些关键新技术，可以提高用户的效率，帮助各大企业用户继续拓展仿真在产品开发过程中的角色。（1）加速多步求解
ANSYS VT加速器，基于ANSYS变分技术，是通过减少迭代总步数以加速多步分析的数学方法。包括收敛迭代和时间步迭代或者二者的综合。收敛迭代的例子是非线性静态分析，不涉及接触或塑性，而时间步迭代指的是线性瞬态结构分析、二者组合的例子、非线性结构瞬态或者热瞬态分析。ANSYS VT加速器提供了2～10倍的加速比，允许用户快速重新运行模型。具体的加速比受到硬件、模型和分析类型的影响。而且，这个工具在非线性或瞬态分析的参数研究中可以获得5～30倍的加速。
ANSYS VT加速器软件，使用ANSYS MECHANICAL HPC的授权，可以应用到结构循环对称模态分析，以及高频电磁谐分析。ANSYS VT加速器可以结合ANSYS DESIGNXPLORER VT技术，实现更快速的参数化研究。（2）网格变形和优化
对于很多单位，进行优化分析的最大障碍是CAD模型不能重新生成，特征参数不能反映那些修改研究的几何改变。通过与ANSYS WORKBENCH的结合，ANSYS MESH MORPHER（FE-MODELER的新增加模块）可以实现这个功能，甚至更多。通过网格操作而不是实体模型，ANSYS MESH MORPHER 对于来自CAD的非参数几何数据，如IGES或者STEP，以及来自ANSYS CDB文件的网格数据，实现了模型参数化。将网格读入FE-MODELER，并且产生对应于该网格的“综合几何”的初次配置。在ANSYS 13.0中，ANSYS MESH MORPHER提供了四种不同的转换：面平移、面偏置、边平移和边偏置。更多样的配置可以通过以上转换的组合实现。例如，一个圆柱表面的面偏置就等效于变更其半径。
这些转换决定了目标配置并自动定义转换参数。一旦确定，这些转换参数可以通过ANSYS DESIGNXPLORER VT拟合方法来拟合，如KRIGING算法、非参数化退火算法和神经网络算法等。一旦拟合完成，可以使用ANSYS DESIGNXPLORER VT中的能量优化技术找到最优值或者执行6 SIGMA分析设计。ANSYS MESH MORPHER为仿真驱动的产品开发打破了优化障碍。（3）流固耦合
在 ANSYS WORKBENCH中，ANSYS和ANSYS CFX技术的集成取得了更大的进步。在13.0的ANSYS WORKBENCH环境中，用户可以完整地建立、求解和后处理双向流固耦合仿真。最新的版本也提供了单一后处理工具，可以用更少的时间获得复杂多物理问题的解决，并且扩展了仿真的应用领域。利用ANSYS CFX软件的统一网格接口可以在ANSYS和ANSYS CFX之间传递FSI 载荷，所有流固耦合问题的结果的鲁棒性和精度获得了改进。界面载荷传递技术的突破，很明显的好处就在于让同一团队的FEA和CFD专家共享信息更方便。在13.0中流固耦合的领域也得到了扩展。（4）涡轮系统一体化解决方案
ANSYS WORKBENCH环境提供了旋转机械设计过程所需的几何设计和分析的集成系统。ANSYS WORKBENCH，作为高级物理问题的集成平台，能够让设计人员建立旋转机械的模型，例如，水泵、压缩机、风扇、吹风机、涡轮、膨胀器、涡轮增压器和鼓风机。ANSYS解决方案集成到设计过程，从而消除了中性文件传输、结果变换和重分析，使得CAE 过程几周内就完成了。涡轮机械设计过程的第一步就是使用初始尺寸以获得概要设计，指定性能准则和尺寸约束。在13.0中，ANSYS BLADEMODELER中集成了PCA工程有限公司的专用于离心压缩机和水泵的初始尺寸软件。VISTA-CC是一个快速主干设计程序——只需要压缩机的质量流量、压力比和几何约束，就可以获得压缩机草图、叶片和出口角度、速度三角形。它也提供了无量纲的性能参数，如设计决策所依赖的额定转速和额定流率。1-D尺寸工具、自动网格、流线工具和自动报告生成器的引入，帮助用户开发更好的旋转机械。ANSYS承诺将持续为特定工业需求开发更强大的解决方案，以上的具体集成就是一个例子。（5）统一网格技术
ANSYS 13.0提供给用户新的统一分网环境，帮助用户实现基于物理的网格划分解决方案，例如，机械、电磁、CFD或者显式仿真。来自ANSYS、ANSYS ICEM CFD和ANSYSCFX的一流网格几乎已经延伸到ANSYS WORKBENCH中，综合多种算法的优势，提供一个智能的、灵活且鲁棒的网格划分能力。
基于预定义的物理过滤器，各种控制自动定义，例如，网格尺寸、网格过渡、网格均匀性、划分速度、网格质量和曲率的细化控制等。如果必要，高级用户控制选项可拿来使用。划网的智能特性提供了灵活的附加控制，帮助初级用户为了改进求解速度或者精度而得到适合于物理问题的良好网格。多重网格控制方法，以及高级选项，提供了备份网格划分方法以改善网格划分的整体鲁棒性。在13.0中，共同网格对象已经实现了，并为多个应用之间的交互提供了附加的灵活性。这为求解器（FSI、隐式/显式等）之间的交互提供了较强的双向通信能力，同时，也提供了网格划分的统一方法。这个共同网格对象保证了在ANSYS WORKBENCH 框架中集成第三方的划网功能。1.2 ANSYS 13.0系统配置要求与安装
在熟悉了ANSYS的基本情况及强大功能后，本节介绍ANSYS 13.0的系统配置要求及其安装方法。本节介绍ANSYS在Windows下的安装方法。由于ANSYS安装复杂，稍有不慎就会导致无法使用，所以，请读者认真阅读本小节内容，顺利安装成功ANSYS。1.2.1 ANSYS 13.0系统配置要求
在正式安装软件之前，读者需要首先了解ANSYS 对系统的配置要求。
平台及操作系统：Intel IA-64 bit / Windows XP 64-bit Edition Version 2003，Intel IA-32bit/Windows XP Home or Professional(Build 2600) Version 5.1，Intel IA-32 bit/Windows 2000Version 5.0（Build 2195）。
硬件要求：至少需要512MB内存（对于安腾处理器系统，至少需要1GB内存）。磁盘剩余空间至少2.2GB。注意：无论是何种ANSYS 产品，操作系统盘（一般是C盘）的剩余空间至少需要100MB。1.2.2 ANSYS 13.0安装
插入ANSYS 13.0安装光盘，出现如图1-1所示对话框。开始安装ANSYS，单击“Install ANSYS，Inc.Products”按钮开始安装ANSYS。图1-1 ANSYS 13.0安装初始界面
之后，选择安装目录，如图1-2所示，选择ANSYS的安装路径，图中将ANSYS安装在C盘。单击“Next”按钮进行下一步安装，选择需要的组件进行安装（图1-3），然后单击“Next”按钮直到安装。图1-2 选择安装ANSYS 13.0路径图1-3 选择需要的组件进行安装
ANSYS 13.0安装完成后，系统会要求安装ANSYS License，从图1-1中选择“Install ANSYS，Inc.Products License Manager”菜单选项。然后选择“I AGREE”（图1-4）。然后，安装程序询问是否现在安装License文件，这里选择“Run the ANSYS License Lnterconnet with FLEXlm（defanlt）”，然后安装自己的license文件（图1-5）。然后依照提示安装，最后单击“确定”按钮完成。图1-4 选择是否为license server图1-5 开始安装license文件1.3 有限元法简介
有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它是20世纪50年代首先在连续体力学领域——飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。1.3.1 有限元法分析计算的思路和做法
有限元法分析计算的思路和做法可归纳如下：
1．物体离散化
将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称做单元剖分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质、描述变形形态的需要和计算进度而定（一般情况下，单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。所以，有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。
2．单元特性分析
选择位移模式。在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。
当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元总的一些物理量如位移、应变和应力等由节点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。通常，利用有限元法将位移表示为坐标变量的简单函数，这种函数称为位移模式或位移函数。
分析单元的力学性质。根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时，需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。
计算等效节点力。物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。
3．单元组集
利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程，即
［整体结构的刚度矩阵K］×［节点位移列阵q］＝［载荷列阵f］ （1.1）
4．求解未知节点位移
解有限元方程式（1.1）得出位移。这里，可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。
通过上述分析，可以看出，有限单元法的基本思想是“一分一合”，分是为了进行单元分析，合则为了对整体结构进行综合分析。1.3.2 有限元分析的基本步骤
对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。有限元求解问题的基本步骤如下：
第一步问题及求解域定义。根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。
第二步求解域离散化。将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网络越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此，求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。
第三步确定状态变量及控制方法。一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。
第四步单元推导。对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。
为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。对工程应用而言，重要的是应注意每种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。
第五步总装求解。将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元节点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在节点处。
第六步联立方程组求解和结果解释。有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结果是单元节点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。
简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。1.3.3 有限元的发展概况
1943年，Courant在论文中取定义在三角形域上的分片连续函数，利用最小势能原理研究St.Venant的扭转问题。
1960年，Clough的平面弹性论文中用“有限元法”这个名称。
1970年，随着计算机和软件的发展，有限元发展起来。
实例1-1 两端固定杆件受力分析
两端固定杆件收到轴向作用力F1、F2，求固定端反作用力R1、R2。图1-6（a）为所探讨的工程系统模型，图1-6（b）为对应的有限元模型，此模型中有四个节点、三个杆件元素，外力负载及约束条件如下：
①第二点受到外力F2；
②第三点受到外力F1；
③第一点和第四点固定，没有位移变形。其中，l＝10m，a＝b＝0.3l，E＝30×106Pa，F1＝2F2＝1000 N。图1-6 两端固定杆件受力分析
求解步骤如下：
1．常规方法
因为节点4位移为0，所以，由于单元1、2受力F1、F2压缩产生的形变Δl1和杆件整体由于 R1拉伸产生的Δl相同，即Δl1＝Δl。由条件可得式中，。
求解式（1.2）得R1＝900N，同理可得R2＝600N。
2．有限元解法（1）将问题离散成有限个单元离散后的模型中有四个节点、三个杆件元素，如图1-7所示。单元1，2，3原始长度分别为c＝0.4l，b，a。图1-7 离散后的模型（2）建立求解方程
假设横截面积为A，长度为x的杆件单元，在外力F作用下，应力为
杆件应变为式中，Δx为单元长度变化量。
应力应变服从胡克定律，有
联立式（1.1）、式（1.2）和式（1.3），有
这样，其等价刚度为
单元 1，2，3的等价刚度分别为。
单元的位移为u，每个单元的弹性行为可由如下方程表示为
静力平衡要求每个节点上的合力为零，这样产生如下方程组，即
分离出作用力与反作用力，得
且由条件知：u1，u4为0，则上式继续简化为（3）建立刚度矩阵将式（1.11）写成矩阵形式为代入已知条件得R1＝900N，R2＝600N。1.3.4 有限元系统基本构成
1．节点（Node）
节点就是工程模型系统中的一个点的坐标位置，是有限元模型的最基本对象。它具有其物理意义的自由度，该自由度为结构系统受到外力后系统的反应。自由度可为位移、温度、电压等，依不同类型问题而定，节点上为施加集中力所在，如力、力距、热流、温度等。
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