作者：圣才学习网
出版社：圣才教育
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哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅱ》（第7版）配套题库【名校考研真题＋课后习题＋章节题库＋模拟试题】试读：
第一部分 名校考研真题
第15章 分析力学基础
1．如图15-1所示，物块A的质量为m，B轮的质量为m，半径12为R，在水平面做无滑动滚动。轮心用刚度为k长度为l的弹簧与物块A相连，物块A与水平面间为光滑接触。试以X，X为广义坐标，12（1）写出系统的动能及势能及拉格朗日函数；（2）写出系统的第二类拉格朗日方程；（3）求系统的第二类拉格朗日方程的首次积分。[中山大学2011研]图15-1
解：（1）系统的动能为：
系统势能为：
其中为处于平衡位置弹簧的伸长量。
拉格朗日函数（2）第二类拉格朗日方程
代入上一步的表达式，得（3）求其首次积分。因拉格朗日函数中不显含时间t，故存在能量积分，系统机械能守恒，即 ＝C C为常数
2．质量为m的重物悬挂在刚度系数为k的弹簧上，且在光滑的铅垂滑道中运动。在重物的中心处铰接一个质量为M、长为21的匀质杆，杆在铅垂平面内运动，如图15-２所示。（1）试确定系统的自由度并选择广义坐标；（2）写出系统的动能及势能及拉格朗日函数；（3）写出系统的第二类拉格朗日方程；（4）求系统的第二类拉格朗日方程的首次积分。[中山大学2010研]图15-2
解：（1）以整个系统为研究对象，物块和杆均做平面运动，该系统具有两个自由度。选重物A的中心的垂直坐标y和杆的偏角为广义坐标，如下图所示。因为作用在系统上的主动力即重力和弹性力均为有势力，所以可用拉格朗日方程式主动力有势形式求解。（2）以A的中心C点为基点分析AB杆质心D的速度，如图15-3所示。图15-3
根据速度合成公式有
其中。
系统动能为
选O为零势能点，设弹簧的原长为l,则系统的势能为0
故系统的拉格朗日函数为（3）求各偏导数
将以上各式代入第二类拉格朗日方程（4）求其首次积分
因拉格朗日函数中不显含时间t，故存在能量积分，系统机械能守恒，即
３．如图15-4所示。重为P的板搁在两个半径为r、重为W的磙子上，磙子可视为均质圆柱。设接触面足够粗糙，磙子与板和水平面之间均无相对滑动。在板上作用一水平拉力F，求板的加速度。[北京邮电大学2010研]图15-4
解：拉格朗日方程
该系统只有一个自由度，取板的水平位移x为广义坐标，列出每部分的动能
总动能为
代入拉格朗日方程
解得
4．图15-5示力学系统由质量为m、半径为r的匀质小圆柱A和一质量为m、长为3L的匀质刚杆AB组成，在O点用光滑铰链连接。圆柱A可在半径为（L＋r）的圆弧槽内滚动而不滑动。AB杆与可绕固定水平轴O摆动，在C点连接一刚度为k的水平弹簧，当＝0°时弹簧为原长。试用拉格郎日方程求系统在图4示铅垂面内作微小振动的运动微分方程及微振动的周期。[浙江大学2008研]图15-5
解：取整个系统为研究对象，以为广义坐标。
系统的动能为
选取弹簧原长位置为零势能点，则系统势能为
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]