作者：于雷
出版社：清华大学出版社
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优等生必会的数学技巧试读：
前言
如今，数学知识和数学思想在人们日常生产生活中有着极其广泛的应用。著名数学家华罗庚曾说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”而数学思想、数学方法和数学技巧则是构成这一体系的重要组成部分。
然而，数学对许多人来说却都是求学时期的噩梦。有时前面的知识和方法无法理解时，后面的学习就会无法跟上。有时即使内容都理解了，也可能因为粗心大意或者技巧掌握不足，依旧无法拿到高分。
其实，数学是一门很活的课程，锻炼的是人的逻辑思维能力。如果只是单纯、机械地做题，而不开动脑筋找规律、作总结，理解其中的数学思想和原理，发现各种题目的特点、差别，相应地运用不同的方法和技巧进行速算与巧算，是无法真正掌握其中的奥妙的。
本书汇集了中小学生常用的几乎所有必备的技巧和方法。这些巧妙的方法和技巧灵活多样、不拘一格，一道题通常可以有两种到三种完全不同的算法，而且这些解题方法有别于我们传统的数学方法，总是窍门多多，方法神奇，更简单、更快捷、更有技巧性。不仅提高了孩子们对数学学习的兴趣，还大大提升了计算的速度和准确性，而且还可以训练孩子超强的逻辑思维能力，使他们能够从一开始就站在不一样的起点上！
学好数学的几个建议如下。（1）尽可能多地记忆一些数学基础知识，包括常用的公式、定理、规律、方法、技巧、结论等。头脑中没有公式，解数学题时就没有办法熟练应用。（2）记录数学笔记。特别是对概念理解的不同侧面和一些数学规律、数学方法、数学技巧，一定要认真记下来，弄懂学透。（3）建立纠错本。把平时容易出现错误的知识记下来，由果索因把错误原因弄个水落石出，并从反面入手深入理解正确的东西，争取做到：找错、析错、改错、防错。（4）争做“小老师”。抓住一切机会给同学讲题，形成数学学习“互助小组”。只有给别人讲通了，才说明自己真正学透了。（5）扩大数学视野。多做数学课外题，多看数学趣味题，扩大知识视野，训练数学思维。（6）学会归纳总结分类。可以：①从数学思想分类；②从解题方法归类；③从知识应用上分类。
参与本书编写的人员有于雷、于艳春、罗飞、龚宇华、于艳苓、何正雄、李志新、于艳华、何晶、李方伟、王春风、魏银波、于艳娟、石秀芹（排名不分先后）等人，在此向大家表示感谢。编 者2019年1月一 数的认识1．数字1）数字的诞生和发展
数字作为数学大厦的基石，是人类进化的产物。数的概念的形成可能与火的使用一样古老，它对于人类文明的意义也绝不亚于火的使用。
在几百万年以前，我们的祖先还完全没有数的概念。原始人类过着群居的生活。白天共同劳动，采集果薯，捕猎鸟兽，晚上住在洞穴里，共同享用劳动所得。逐渐对“数”产生了朦胧的概念，但也仅限于“有”“无”“多”“少”。他们狩猎而归，猎物或有或无。同时，他们也会注意到一只羊与许多只羊、一头狼与整群狼在数量上的差异。
随着文明的进步，这些模糊不清的概念越来越难以满足生产、生活的需要。由于记事和分配生活用品等方面的需要，逐渐产生了数的概念。最早人们利用自己的手指头、石块或者木棍来计数。比如，捕获了1头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。公元前1500年，南美洲秘鲁印加族（印第安人的一部分）习惯于“结绳计数”——每收进一捆庄稼，就在绳子上打个结，用结的多少来记录收成。根据我国古书《易经》的记载，上古时期的中国人也是“结绳而治”，就是用在绳上打结的办法来记事表数。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。
另外，用利器在树皮上或兽皮上刻痕，也是古人常用的办法。底格里斯河与幼发拉底河之间及两河周围，叫作美索不达米亚，那里产生过一种文化，与埃及文化一样，也是世界上最古老的文化之一。美索不达米亚人用在树木或者石头上刻痕划印来记录流逝的日子。后来，他们逐渐以符号代替刻痕，用1个符号表示1件东西，2个符号表示2件东西，以此类推，这种计数方法延续了很久。后来又改为“书契”，即用刀在竹片或木头上刻痕计数。直到今天，我们中国人还经常会使用写“正”字来计数。每写一画代表“一”，而“正”字正好是五画，还包含着“逢五进一”的意思。
到了后来，人们发现仅仅用自然数来计数是远远不够的。比如，分配物品时，3个人分2件东西，每个人该分多少呢？于是分数就产生了。
接着人们又发现很多数量具有相反的意义，比如，增加和减少、前进和后退，为了表示这样的量，又产生了负数。正数、负数和零，统称为有理数。
公元前2500年，毕达哥拉斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它，这个新数的出现使毕达哥拉斯感到震惊，紧接着人们又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率就是最重要的一个，人们就把这些数称作无理数。有理数和无理数一起统称为实数。
但是后来，在解方程的时候常常需要开平方，如果被开方数是负数，这道题还有解吗？如果没有解，那么数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。于是数学家们就规定用符号“i”表示“－1”的平方根，虚数就这样诞生了。
数字的概念发展到虚数以后，在很长一段时间内，就连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了。可是1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了“四元数”的概念。所谓四元数，就是由一个标量（实数）和一个向量（其中x、y、z为实数）组成的数。四元数在数论、群论、量子理论以及相对论等方面有着广泛的应用。与此同时，人们还开展了对“多元数”理论的研究。
到目前为止，数字的“家族”已发展得十分庞大。至于究竟什么时候才能把数字家族的成员全部凑齐，依然是未知数！2）阿拉伯数字
阿拉伯数字，其实并不是阿拉伯人发明创造的，而是发源于古印度。后来被阿拉伯人掌握、改进，并传到了西方，西方人非常喜爱这套方便、实用的计数符号，便将这些数字称为阿拉伯数字。慢慢地，世界各地都认同了这个叫法。尽管后来人们知道了事情的真相，但由于习惯使然，也就一直没有改正过来。
在古代印度，进行城市建设时需要设计和规划，进行祭祀时需要计算日月星辰的运行，于是，数学计算就产生了。大约在公元前3000年，印度河流域居民的数字就比较先进，而且采用了十进位的计算方法。到公元前3世纪，印度出现了整套的数字，但各地区的写法并不完全一致，其中最有代表性的是婆罗门式。现代数字就是由这一组数字演化而来的。当时，在这一组数字中，只有1～9九个符号，还没有出现“0”这个数字。“0”是到了笈多王朝（公元320—550年）时期才出现的。
这些阿拉伯数字不单单用来计数，还有着丰富的哲学内涵。
1：可以看作是数字“1”，也可以看作是一根棍子、一个拐杖、一把竖立的枪、一支蜡烛……
2：可以看作是数字“2”，也可以看作是一只木马、一个跪着的人、一个陡坡、一个滑梯、一只鹅……
3：可以看作是数字“3”，也可以看作是两根手指、斗鸡眼、树杈、立起来的W……
4：可以看作是数字“4”，也可以看作是一个蹲着的人、小帆船、小红旗、小刀……
5：可以看作是数字“5”，也可以看作是大肚子、小屁股、音符……
6：可以看作是数字“6”，也可以看作是小蝌蚪、一个头和一个手臂露在外面的人……
7：可以看作是数字“7”，也可以看作是拐杖、小桌子、板凳、镰刀……
8：可以看作是数字“8”，也可以看作是数学符号“∞”、花生、套环、雪人……
9：可以看作是数字“9”，也可以看作是一个靠着坐的人、小嫩芽……
0：可以看作是数字“0”，也可以看作是胖乎乎的人、圆形、鞋底、脚丫、瘦子的脸、鸡蛋……3）罗马数字
罗马数字是一种现在应用比较少的数量表示方法。但是，它的产生标志着一种古代文明的进步。
罗马数字是在希腊数字的基础上建立的一种计数方法。大约在2500年前，罗马人还处在文化发展的初期，当时他们用手势来表示数字。比如，为了表示一、二、三、四个物体，就分别伸出一、二、三、四根手指；表示五个物体就伸出一只手；表示十个物体就伸出两只手。相应地，为了记录下这些数字，就在羊皮上画出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ来代替手指的根数；要表示一只手时，就写成“Ⅴ”形，表示大拇指与食指张开的形状；表示两只手时，就画成“ⅤⅤ”形，后来又写成一只手向上，一只手向下的“Ⅹ”，这就是罗马数字的雏形。
后来为了表示较大的数，罗马人用符号C表示一百。C是拉丁词century的第一个字母，century就是一百的意思。用符号M表示一千。M是拉丁词mille的第一个字母，mille就是一千的意思。取字母C的一半，成为符号L，表示50。这样，罗马数字就有了下面七个基本符号：Ⅰ表示1，Ⅴ表示5，Ⅹ表示10，L表示50，C表示100，D表示500，M表示1000。若在数的上面画一横线，这个数就扩大1000倍。这样就可以表示更大的数字。
用罗马数字表示数的基本方法一般是把若干个罗马数字写成一列，它表示的数等于各个数字所表示的数相加的和。但是也有例外，当符号Ⅰ、Ⅹ或C位于大数的后面时就作为加数；位于大数的前面时就作为减数。具体规则如下。（1）重复数次。一个罗马数字重复几次，就表示这个数的几倍。（2）右加左减。在一个较大的罗马数字的右边记上一个较小的罗马数字，表示大数字加小数字。在一个较大的罗马数字的左边记上一个较小的罗马数字，表示大数字减小数字。但是，左减不能跨越等级。比如，99不可以用ⅠC表示，而用ⅩCⅠⅩ表示。（3）加线乘千。在一个罗马数字的上方加上一条横线或者在右下方写M，表示将这个数字乘以1000，即是原数的1000倍。同理，如果上方有两条横线，即是原数的1000000倍。（4）单位限制。同样单位最多只能出现3次，如40不能表示为ⅩⅩⅩⅩ，而要表示为ⅩL。
罗马数字表示大数字时写起来就比较简短，但计算十分不便。到现在已经很少有人使用罗马数字计数了。现在有的钟表表面仍用它表示时数。此外，在书稿章节及科学分类时也有采用罗马数字的。
遗憾的是，罗马数字里没有0。运算的时候不能进位，不能做除法，即使十分简单的运算，也极为困难。罗马教皇还自认为用罗马数字来表示任何数字不但完全够用而且十全十美，他们甚至向外界宣布：“罗马数字是上帝发明的，从今以后不许人们再随意增加或减少一个数字。”0在罗马是被禁止使用的。
有一次，一位罗马学者了解到了关于0的介绍，他认为0对计数是很有益处的，于是便不顾罗马教皇的禁令，在自己的著作中悄悄记载了一些关于0的用法，并把一些有关0的知识以及在运算中所起到的作用暗中进行传播。这件事被罗马教皇知道后，马上派人把他给囚禁了起来，还大发脾气地说：“神圣的数，不可侵犯，是上帝创造出来的，绝不允许0这个邪物加进来，弄污了神圣的数！”
但是黑暗终究战胜不了光明，人们一旦意识到0的重要作用，就会不顾一切地冲破教会的束缚，大胆地使用起它来。
725年，罗马人开始用字母N（N是nulla的简称，拉丁文释义为零）代表零。4）中文数字
我们常用的计数方法除了阿拉伯数字外，还有中文数字。中文数字又分为小写与大写。
阿拉伯数字与中文数字大小写对照表见表1-1。表1-1 阿拉伯数字与中文大小写对照表
通过上面的表格我们可以看出，不管是阿拉伯数字（1、2、3…），还是汉字小写数码（一、二、三……），由于笔画简单，都容易被涂改伪篡。所以一般文书和商业财务票据上的数字都要采用中文大写数字：壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟。而像万、亿这类数字，本身笔画已经比较复杂，而且使用机会也较少，没有必要再用别的字代替。
这些汉字很早就已经产生了，而用作大写数字，属于假借。数字的这种繁化写法，早在唐代就已经全面地使用了，后来逐步规范化成为一套大写数码，并一直沿用至今。
中文大写数字的广泛应用，主要是防止人篡改数字进行经济犯罪而采取的有效措施。
明朝初年，一起涉及12名高官、6个部的左右侍郎的重大“郭桓贪污案”，就是利用空白账册大做假账，通过篡改数字大肆侵吞钱粮，累计高达2400多万石，这个数字几乎和当时全国秋粮实征总数相当。朱元璋对此大为震怒，下令将郭桓等同案犯几万人斩首示众，同时制定了惩治经济犯罪的严格法令，并在财务管理上进行技术防范——把汉字中的数字改为难以涂改的大写，即将“一二三四五六七八九十百千”改为“壹贰叁肆伍陆柒捌玖拾佰仟”等，被称为中国历史上金额数字大写的首创。
到了现代社会的今天，银行票证、流动支票、实用发票、合同协议、账目单据等各类经济文本必须标明大写数字，已经成为“约定俗成”的规则。
票据规定，银行、单位和个人填写票据与结算凭证，必须做到标准化、规范化，要求要素齐全、数字正确、字迹清晰、不错漏、不潦草，防止涂改。中文大写金额数字应用正楷或行书填写，如壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、万、亿、元、角、分、零、整（正）等字样。不得用一、二（两）、三、四、五、六、七、八、九、十、念、毛、另（或○）填写，不得自造简化字。如果金额数字书写中使用繁体字，如貳、陸、億、萬、圓的，也应受理。2．整数1）因数与倍数（1）概念
因数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数。
公因数：几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数；其中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫作这几个数的最小公倍数。
互质数：如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫作互质数。（2）性质
因数与倍数的性质如下。
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。倍数和因数是相互存在的。0是任何整数的倍数。（3）因数
①表示一个数的因数的方法（a）列举法。即把一个数的因数按从小到大的顺序列出来。
例子：表示出36的因数。
解：36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。（b）集合法。即把一个数的因数按从小到大的顺序写在集合圈里。
例子：表示出36的因数。
解：36的因数如图1-1所示。图1-1
②求一个数的因数的方法（a）用乘法找。
用乘法找就是用因数和倍数的关系来找。
例子：找出36的所有因数。
解：首先我们在自然数的范围内找出所有乘积为36的乘法算式。一般我们会从1开始找起。
1×36=36, 2×18=36, 3×12=36, 4×9=36, 6×6=36
所以，1、2、3、4、6、9、12、18、36都是36的因数。（b）用除法找。
用除法找，就是用整除的意义来找。
例子：找出36的所有因数。
解：首先我们找出36除以哪些数可以整除。一般我们会从1开始找起。
36÷1=36, 36÷2=18, 36÷3=12, 36÷4=9, 36÷6=6
所以，1、2、3、4、6、9、12、18、36都是36的因数。
③求一个数有多少个因数
求一个数有多少个因数，可以将这个数分解质因数，然后将相同n的因数的积用a的形式表示出来，最后给各因数的指数加1，然后将所得的和连乘，积就是这个数的因数的个数。
例子：求180的因数的个数。
解：221
180=2×2×3×3×5=2×3×5
所以，180的因数的个数为（2+1）×（2+1）×（1+1）=18（个）。
④最大公因数的性质（a）几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数。（b）几个数的最大公因数都是这几个数的因数。（c）几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数。（d）几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以m。
⑤求最大公因数的基本方法（a）分解质因数法。先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
几个自然数的最大公因数必须包含这几个自然数全部公有的质因数，因此我们可以先把各个数分解质因数，再把这几个自然数全部公有的质因数选出来并连乘起来，所得的积就是要求的最大公因数。
例子：求18和24的最大公因数。
解：先分别分解质因数。
18=2×3×3
24=2×2×2×3
公有的质因数为2和3，所以18和24的最大公因数是2×3=6。（b）短除法。先找公有的因数，然后相乘。
用几个数公有的质因数从小到大依次作为除数，分别去除这几个数，把除得的商写在该数的下方，一直除到这几个商只有公因数1为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。
例子：求18和24的最大公因数。
解：根据图1-2可知，18和24的最大公因数是2×3=6。图1-2（c）辗转相除法。每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数。
具体方法：先用较小的数去除较大的数，再用出现的余数（第一余数）去除除数。接着再用出现的第二余数去除第一余数……直到没有余数为止。最后的除数就是两个数的最大公因数。
例子：求18和24的最大公因数。
解：先用24÷18=1……6；
再用18÷6=3，没有余数；
所以，18和24的最大公因数是6。（d）特殊方法。
如果两个数互质，则它们的最大公因数是1；如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。（4）倍数
①表示一个数的倍数的方法（a）列举法。
列举法即把一个数的倍数按从小到大的顺序列出来。因为一个数的倍数是无限多个的，无法一一列举，所以后面可以用省略号表示。
例子：表示出2的倍数。
解：2的倍数有2、4、6、8、10、…（b）集合法。
集合法即把一个数的倍数按从小到大的顺序写在集合圈里。因为一个数的倍数是无限多个的，无法一一列举，所以后面可以用省略号表示。
例子：表示出2的倍数。
解：2的倍数如图1-3所示。图1-3
②求一个数的倍数的方法
用这个数分别去乘自然数1、2、3、4、…就可以得出这个数的倍数。
例子：找出5的倍数。
解：我们用5分别与自然数1、2、3、4、5、…相乘即可。
5×1=5, 5×2=10, 5×3=15, 5×4=20, 5×5=25, …
所以，5的倍数为5、10、15、20、25、…
③最小公倍数的性质（a）两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。（b）两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
④求最小公倍数的基本方法（a）分解质因数法。
求两个数的最小公倍数，先把每个数分解质因数，再把这两个数的公有的所有质因数和其中每个数独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。
例子：求18和24的最小公倍数。
解：先分别分解质因数。
18=2×3×3
24=2×2×2×3
公有的质因数为2和3，18独有的质因数为3，24独有的质因数为2和2。
所以，18和24的最小公倍数2×3×3×2×2=72。（b）短除法：先找公有的因数，然后相乘。
用几个数公有的质因数从小到大依次作为除数，分别去除这几个数。在连除时，如果某个数不能被除数整除，就把这个数写在下方，直到得出的商两两互质为止。然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。
例子：求18、24和36的最小公倍数。
解：根据图1-4可知，18、24和36的最小公倍数是2×3×3×2×1×2×1=72。图1-4（c）利用最大公因数求最小公倍数。
因为两个自然数的最大公因数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，所以，我们可以用这两个的乘积除以它们的最大公因数，得到的结果即为这两个数的最小公倍数。
例子：求12和18的最小公倍数。
解：12和18的最大公因数是6。
12×18÷6=36
所以，12和18的最小公倍数是36。（d）特殊方法。
如果两个数是互质数，那么它们的最小公倍数是这两个数的乘积；如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。2）整除的特性
如果一个整数a除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫作a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
有些题目，可以利用数的整除特性，根据题目中的部分条件，并借助于选项提供的信息进行求解。一般来说，这类题目的数量关系比较隐蔽，需要一定的数字敏感性才能发掘出来。（1）数的整除性质
①对称性。若a能被b整除，b也能被a整除，那么a、b两数相等。
②传递性。若a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
③如果a、b都能被c整除，那么（a+b）、（a-b）与a×b也能被c整除。
④如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
⑤如果a能被c整除，a能被b整除，且b与c互质，那么a能被b×c整除。
⑥如果a能被b×c整除，且b与c互质，那么a能被b整除，a也能被c整除。
⑦若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
⑧几个数相乘，若其中有一个因子能被某一个数整除，那么它们的积也能被该数整除。（2）判断数能否被整除
判断一个数能否被特殊数字整除的方法如下。
①判断一个数能否被2整除，只需判断其个位数字能否被2整除。
②判断一个数能否被3整除，只需判断其各位数字之和能否被3整除。
③判断一个数能否被5整除，当一个数的个位为0或5时，此数能被5整除。
④判断一个数能否被7整除，将此数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数字的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。
⑤判断一个数能否被9整除，只需判断其各位数字之和能否被9整除。
⑥判断一个数能否被11整除，将此数的奇位数字之和与偶位数字之和相减，若差能被11整除，则此数能被11整除。
⑦判断一个数能否被13整除，将此数的个位数字截去，再从余下的数中加上个位数字的4倍，和如果是13的倍数，则原数能被13整除。
⑧判断一个数能否被17整除，将此数的个位数字截去，再从余下的数中减去个位数字的5倍，差如果是17的倍数，则原数能被17整除。
⑨判断一个数能否被19整除，将此数的个位数字截去，再从余下的数中加上个位数字的2倍，和如果是19的倍数，则原数能被19整除。
⑩判断一个数能否被6、10、14、15等数整除，只要判断这个数能否同时被分解出来的两个因数整除即可。因为我们知道，6=2×3，10=2×5，14=2×7，15=3×5。（3）数的整除特征
一个数要想被另一个数整除，该数需含有对方所具有的质数因子。
①1与0的特性：1是任何整数的约数，0是任何非零整数的倍数。
②若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
③若一个整数的数字和能被3（9）整除，则这个整数能被3（9）整除。
④若一个整数的末尾两位数能被4（25）整除，则这个数能被4（25）整除。
⑤若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
⑥若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
⑦若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
⑧若一个整数的末三位数能被8（125）整除，则这个数能被8（125）整除。
⑨若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
⑩若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除（不够减时依次加11直至够减为止）。
⑪若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
⑫若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只需看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。
另外的方法：将一个多位数从后往前三位一组进行分段。奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差若能被7（11或13）整除，则原多位数也能被7（11或13）整除。
⑬若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
⑭若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。
⑮若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
⑯若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。
⑰若一个整数的末四位与5倍的前面的隔出数的差能被23（或29）整除，则这个数能被23整除。3）奇数与偶数（1）概念
在整数中，不能被2整除的数叫作奇数，能被2整除的数叫作偶数。日常生活中，人们通常把奇数叫作单数，把偶数叫作双数。奇数跟偶数是相对的。
所有整数不是奇数（单数），就是偶数（双数）。（2）性质
关于奇数和偶数，有下面一些性质。
①两个连续整数中必有一个奇数和一个偶数。
②奇数跟奇数的和是偶数；偶数跟奇数的和是奇数；任意多个偶数的和是偶数；奇偶性相同的两数之和为偶数；奇偶性不同的两数之和为奇数。
③两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数。
④奇数个奇数与任意个偶数相加减时，得到的结果（和或差）必为奇数；偶数个奇数与任意个偶数相加减时，得到的结果（和或差）必为偶数。
⑤奇数与奇数的积是奇数；偶数与偶数的积是偶数；奇数与偶数的积是偶数。
⑥n个奇数的乘积是奇数；n个偶数的乘积是偶数；n个数相乘，其中有一个是偶数，则乘积是偶数。
⑦奇数的个位一定是1、3、5、7、9；偶数的个位一定是0、2、4、6、8。所以，在十进制里，可以用看个位数的方式判定该数是奇数（单数）还是偶数（双数）。
⑧除2之外，所有的正偶数均为合数。
⑨相邻偶数最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半。
⑩偶数的平方可以被4整除，奇数的平方除以2、4、8余1。
⑪任意两个奇数的平方差是2、4、8的倍数。
⑫每个奇数与2的商都余1。
⑬著名数学家毕达哥拉斯发现一个有趣的奇数现象：将奇数连续相加，每次的得数正好是一个平方数。
如：2
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
1+3+5+7+9=52
1+3+5+7+9+11=62
1+3+5+7+9+11+13=72
1+3+5+7+9+11+13+15=82
1+3+5+7+9+11+13+15+17=9
…4）质数与合数
质数除了1和它本身外没有其他约数，合数除了1和它本身外还有其他约数。根据这个特点，即可把整数进行区分。
注意：1既不是质数也不是合数；最小的质数是2；除了2以外，所有的质数都是奇数；最小的合数是4。（1）判断质数的方法
①查表法
查质数表内有没有要查的数，若有它就是质数；若没有它就是合数（1000以内的质数，如图1-5所示）。
对于常用的质数，我们最好能把它们记住，这样对类似题目的运算有很大帮助。
100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
例子：请根据给出数字之间的规律，填写空缺处的数字。
2、4、7、12、19、（ ）
A．21
B．27
C．30
D．41图1-5
解：计算相邻两个数之差，我们会发现分别为2、3、5、7、…这是一个质数数列，所以下一个数字应该是19+11=30。
答案是选项C。
②试除法
可以用2、3、5、7、11、13等质数依次去除要查的数，当除得的商比除数小的时候，就不用再除了，就可以判定要查的数是不是质数了。如果没有一个质数是它的因数，那么这个数就是质数。（2）分解质因数
把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程，叫作分解质因数。
分解质因数只针对合数（分解质因数也称分解素因数）。求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式叫作短除法，和除法的性质差不多，还可以用来求多个个数的公因式。
不存在最大质数的证明：（使用反证法）
假设存在最大的质数为N，则所有的质数序列为N、N、N、…、123N。
设M=（N×N×N×N×…×N）+1，1234
可以证明M不能被任何质数整除，得出M也是一个质数。
而M＞N，与假设矛盾，故可证明不存在最大的质数。（3）分解质因数的方法
①塔式分解法
对于一个较小的合数，我们可以采用塔式分解法来分解质因数，如图1-6的（a）和（b）所示。所以，48=2×2×2×2×3。图1-6
②短除法
短除法就是在被除数的左边写出除数（从最小的质数开始除起），在被除数的下面直接写出商来。如果得出的商是质数，就把除数和商写成相乘的形式；如果得出的商还是合数，就按照前面的方法继续除，直到得到的商是质数为止，然后把所有的除数和最后的商写成连乘的形式。例如，根据图1-7可知，48=2×2×2×2×3。图1-7（4）求一个合数的因数个数的简便方法
要用简便方法求一个合数的因数个数，先把这个合数分解质因数，再把相同质因数用幂的形式表示，然后给每个质因数的指数分别加1，再相乘，其积就是这个合数的因数的个数。
例子：求120的因数个数。
解：先分解质因数。3
120=2×2×2×3×5=2×3×5
这些质因数的指数分别为3、1、1，所以，120有（3+1）×（1+1）×（1+1）=16（个）因数。5）哥德巴赫猜想
1742年，德国著名数学家哥德巴赫在给欧拉的信中提出了以下两个大胆的猜想。（1）任何不小于4的偶数，都可以是两个质数之和（如4=2+2）。（2）任何不小于7的奇数，都可以是三个质数之和（如7=2+2+3）。
之所以叫猜想，就是因为哥德巴赫无法证明它。这就是数学史上著名的“哥德巴赫猜想”。显然，第二个猜想是第一个猜想的推论。因此，只需证明第一个猜想是正确的就足够了。
欧拉给哥德巴赫回信时说，这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明。同时欧拉据此又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。这个命题他也没能给予证明。
现在的哥德巴赫猜想陈述主要为欧拉的这个版本，又称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。
许多数学家都跃跃欲试，甚至一生都致力于证明哥德巴赫猜想。可是直到19世纪末，哥德巴赫猜想的证明也没有任何进展。证明哥德巴赫猜想的难度，远远超出了人们的想象。有的数学家把哥德巴赫猜想比喻为“数学王冠上的明珠”。
20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是筛选法、圆法、密率法和三角和法等高深的数学方法。解决这个猜想的思路，就像“缩小包围圈”一样，逐步逼近最后的结果。
设N是偶数，虽然不能证明N是两个素数之和，但足以证明它能够写成两个殆素数（即素数因子）的和，即N=A+B，其中A和B的素数因子个数都不太多。
用“a+b”来表示以下命题：每个大偶数N都可表示为A+B，其中A和B的素数因子个数分别不超过a和b。显然，哥德巴赫猜想就可以写成“1+1”。在这一方向上的进展都是用所谓的筛选法得到的。
1920年，挪威数学家布朗证明了定理“9+9”，由此划定了进攻“哥德巴赫猜想”的“大包围圈”。这个所谓的“9+9”，翻译成数学语言就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成其他两个数之和，而这两个数中的每个数，都是9个奇质数之积。”从这个“9+9”开始，全世界的数学家集中力量“缩小包围圈”，当然最后的目标就是“1+1”。
1924年，德国数学家雷德马赫证明了定理“7+7”。很快，“6+6”“5+5”“4+4”和“3+3”逐一被攻陷。1957年，中国数学家王元证明了“2+3”。1962年，中国数学家潘承洞证明了“1+5”，同年又和王元合作证明了“1+4”。1965年，苏联数学家证明了“1+3”。
1966年，中国著名数学家陈景润攻克了“1+2”，也就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇质数，另一个则是两个奇质数的积。”这被世界数学界称为“陈氏定理”。
由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1+1”仅有一步之遥了。但为了实现这最后的一步，也许还要历经一个漫长的探索过程。3．小数1）小数化分数（1）有限小数化分数
根据小数的意义，可以直接把小数写成分母为10、100、1000、…的分数。具体方法：把去掉小数点后得到的数作为分子，原来的小数是几位小数，就在1后面加几个0作为分母，能约分的要约分。
例如，把0.36化为分数。（2）循环小数化分数
①纯循环小数化分数
任何一个纯循环小数都可以化成分数，方法如下。（a）用纯循环小数的整数部分作为带分数的整数部分（如整数部分为0，则为真分数）。（b）用第一个循环节的数字所组成的数作为带分数的分数部分的分子。（c）带分数的分数部分的分母由若干个9组成，9的个数等于循环节的位数。（d）能约分的要约分。
例如，把化为分数。
②混循环小数化分数
任何一个混循环小数也都可以化成分数，方法如下。（a）用混循环小数的整数部分作为带分数的整数部分（如整数部分为0，则为真分数）。（b）用混循环小数的小数点右边第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去小数部分不循环的数字，所组成的差作为带分数的分数部分的分子。（c）带分数的分数部分的分母由若干个9后面带若干个数字0组成，其中9的个数等于循环节的位数，0的个数等于小数部分不循环的位数。（d）能约分的要约分。
例如，把化为分数。2）纯循环小数化分数
我们知道，两个有理数相除，若除不尽，商一定是循环小数。相反，一个循环小数，总能对应地转换成分数。
方法：（1）把纯循环小数写成x=a的形式，并确定循环节有几位。（2）两边同时乘以整数倍。若循环节为1位，则×10；若循环节为2位，则×100；若循环节为3位，则×1000…（3）与原式相减，计算出x的分数形式。能约分的约分。
例子：将循环小数转换成分数。
解：
两边同时乘以100，
两式相减，
99x=51
x=51/99=17/33
所以，将循环小数转换成分数为17/33。
方法扩展：
如果不是纯循环小数，可以用此扩展方法。
例子：将循环小数转换成分数。
解：
两边同时乘以100，
因为，（用前面的方法计算）
所以，100x=41+2/3=125/3
x=125/300=5/12
所以，循环小数转换成分数为5/12。4．分数1）一些特殊的分数转换成小数
这些分数很特殊，也很常用，所以建议大家把它们记住。（1）分母为2的分数转换成小数
1/2=0.5（2）分母为3的分数转换成小数,（3）分母为4的分数转换成小数
1/4=0.25, 2/4=1/2=0.5, 3/4=0.75（4）分母为5的分数转换成小数
1/5=0.2, 2/5=0.4, 3/5=0.6, 4/5=0.8（5）分母为6的分数转换成小数, 3/6=1/2=0.5,,（6）分母为8的分数转换成小数
1/8=0.125, 2/8=1/4=0.25, 3/8=0.375, 4/8=1/2=0.5, 5/8=0.625, 6/8=3/4=0.75, 7/8=0.875（7）分母为9的分数转换成小数（8）分母为10的分数转换成小数
1/10=0.1, 2/10=1/5=0.2, 3/10=0.3, 4/10=2/5=0.4, 5/10=1/2=0.5, 6/10=3/5=0.6, 7/10=0.7, 8/10=4/5=0.8, 9/10=0.9（9）分母为11的分数转换成小数
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