作者:圣才学习网
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复旦大学数学系《数学分析》(第3版)(上册)笔记和课后习题(含考研真题)详解试读:
第一篇 极限论
第一部分 极限初论
第1章 变量与函数
1.1 复习笔记
一、函数的概念
1.变量
量一般可分为两种:一种是在考察的过程中保持不变的量,称为常量;一种是在考察的过程中不断变化的量,称为变量.
2.函数(1)定义
如果对某个范围X内的每一个实数x,可以按照确定的规律f,得到Y内唯一一个实数y和这个x对应,就称f是X上的函数,f在x的数值(称为函数值)是y,记为f(x),即,有时也称y是x的像,x是y的一个逆像.记为:
称x是自变量,X是函数f的定义域,y是因变量,f(x)的全体所组成的范围叫做函数f的值域,要注意的是,值域并不一定就是Y,它不会比Y大,但它可能比Y小.(2)若函数f和g有相同的定义域X,且对X内的每一个实数x,它们有相同的函数值,就称f和g相等,记为f=g,显然,它们的值域也必相同.(3)由方程F(x,y)=0确定的函数关系,称为隐函数.
3.函数的一些几何特性(1)单调性
如果对于某区间X内的任何两点,有
成立,就称函数y=f(x)在区间X内单调增加(或单调减少),有时称单调上升(或单调下降),如果等号恒不成立,就称为严格单调增加(或减少).(2)奇偶性
设f(x)的定义域为(-a,a)(a>0),若对任意x∈(-a,a),有f(-x)=-f(x),就称f(x)为奇函数;若对任意x∈(-a,a),有f(-x)=f(x),就称f(x)为偶函数,它的图形关于y轴对称.(3)周期性
设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),如果对任意x,有f(x+w)=f(x)成立,其中w是一个常数,就则称f为周期函数,w称为周期.
二、复合函数和反函数
1.复合函数
若函数y=φ(u)的定义域为U,函数u=f(x)的定义域为X,值**域为U,并且U包含在U内,那么对于X内的每一个值x,经中间变量u,相应地得到唯一确定的一个值y,于是y经过中间变量u成为x的函数,记为
这种函数称为复合函数.
2.反函数(1)定义
设y=f(x)的定义域是X,值域是Y,并且对Y内的任何一个实数y,它在X的逆像x只有一个.此时把Y看做某个函数的定义域,那么对Y内的每一个y,就有X内的唯一一个逆像x.由函数的定义可知,x是y的函数,这个函数的自变量是y,因变量是x,定义域是Y,值域是X.它是由函数f所产生的,称为函数f的反函数,记为,它在Y的数值记为,即
f也是的反函数,即f和互为反函数.前者的定义域和后者的值域相同,前者的值域和后者的定义域相同,且.
函数y=f(x)和它的反函数的图形关于直线y=x对称.(2)设y=f(x)在某个区间X内严格单调增加(或减少),且和这个X相对应的值域是Y,那么必存在反函数,反函数的定义域为Y,值域为X,它在Y内也是严格单调增加(或减少)的.
三、基本初等函数
1.指数函数(1)定义
其中a为任意正常数,并设a≠1.
①指数函数的定义域是(-∞,+∞),值域是(0,+∞)
②指数函数的图形(图1-1):图1-1(2)单调性
①当a>1时,函数是严格单调增加的;
试读结束[说明:试读内容隐藏了图片]