数学好的人是如何思考的(txt+pdf+epub+mobi电子书下载)

作者：（日）永野裕之

出版社：北京时代华文书局有限公司

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数学好的人是如何思考的试读：

然而，几年前国内开始掀起一股“成年人重修数学”的热潮，许多相关书籍竞相出版，这股热潮延续至今。如今，许多有一定规模的书店都有专为成年人重学数学设立的“数学书籍专柜”，而永野数学私塾开设的“成年人数学补习班”，近几年前来咨询的人数也呈明显上升趋势。

或许，大家已经发现了：“学习数学还是有必要的。”

如今我们的智能手机上都附带计算器功能，文具店也都能买到计算器，更不用说个人电脑了，Excel和账目管家这类软件能很快完成繁琐的计算，踏入社会后，你会感到几乎没有什么用纸和笔进行计算的机会。没错，这种现象说白了就是“优秀的计算能力”的价值在逐渐下降，而与之相反的是，“逻辑思考能力”“独立思考能力”的价值则越发突出。

如今的世界是多元化的，当初那种所有人坚持相同的价值观、盲目朝着一致目标努力的时代早已结束。现代社会有着庞大的信息网，所有人都可以通过博客、Twitter、Facebook等平台发表自己的言论，似乎人人都是评论员。在信息与个体意识交融的风暴中，人们不会再盲目地追求统一的价值观，也许到昨天为止还被认为正确的事，到了今天就变成错误的了。

其实在我们目前的生活中，需要的不是按部就班或是依照习惯处理事情的能力，而是要能自我思考并付诸行动，让他人认可自己的想法。换句话说，能以独到的视角看穿事物的本质，并有条理地向他人解释说明，这才是我们在现代社会需要具备的能力。初中数学其实很有用“说是那么说，但到底怎样才能具备这种能力呢？”

我想很多人都存在这样的疑问。既然你已经拿起这本书，就说明你已经找到这个问题的答案了。没错，通过学习数学能磨炼出你在现代社会生存所需的技能。

因式分解、二次方程、勾股定理在现实生活中确实没什么用处，但话又说回来，懂得因式分解，能解二次方程，其实都不是学习数学的真正目的。事实上，数学公式与解题方法背后暗含的处理问题的方法和思考方式，才是我们需要通过学习数学磨炼出的能力。在这里，我引用一下自己常常挂在嘴边的爱因斯坦名言：“所谓教育，是忘却了在校学得的全部内容之后所剩下的本领。为了让这个本领能便利地解决社会中面临的诸多问题，教育应该培养的是能够独立思考和独立行动的人。”

其实你把之前所学的数学定理、公式、解题方法忘了也没关系，因为踏入社会后，大部分人是不会用到的。但如果你不仅把这些知识忘得一干二净，也没学到其他东西，恕我直言，那只能说明你的数学确实白学了……

其实这样学习的人不只你一个，当时我们忙着应付期中、期末和升学考试，根本没有功夫去思考学习数学的真正意义。为了通过连续不断的考试，我们一头扎进习题堆，认为只要努力就会有回报，谁又忍心去责备这样辛苦的学生时代呢？后来，当你走向社会，发现当初拼命记住的公式和解题方法全无用武之地，难免会觉得“数学一点儿用处都没有”。

为什么对于大多数人而言，数学是没用的呢？最根本的原因是我们从认识这门学科开始，就采取了错误的学习方法。在学习初中数学时，我们先学习负数和代数式，接着是方程、函数、几何图形的全等和相似……当我们按照“计算法则”学习这些知识的时候，就会渐渐朝着错误的方向前进，换言之，我们在这样的学习过程中已经忘掉了学习数学的真正目的。很多人认为算数和数学是一回事，其实不然，算术与数学的学习方法并不相同。

只要选对学习方法，谁都能学好数学，不仅如此，数学还能让我们学会“自我思考”，帮我们找到处理日常生活中的问题的方法。懂得如何自我思考会让我们受益终生，一辈子也忘不了，这正是爱因斯坦所说的“忘却了在校学得的全部内容之后所剩下的本领”。

无论你是否擅长数学，只要你想通过学习数学掌握对今后生活有帮助的技能，我强烈建议你更正学习方法，从全新的角度重新学习初中数学。

有人可能会质疑：“初中数学能对人生起到多大的帮助？”也有些人觉得成年人再次学习初中数学是在绕远路，而且学习效率低下。我明白大家的顾虑，但任何事情都要从基本做起，打好基础才是通向成功的捷径。相较之下，你会发现在初中数学中，到处都是培养逻辑思考能力所需的基础知识，这才是重点。

我在前作《写给全人类的数学魔法书》中，提出“用正确的方法学习，任何人都能学好数学”，并针对正确学习数学的方法和“遇到任何数学题都能够解答的10种解题思路”进行了阐述。托读者们的福，这本书的反响还不错，但由于书中内容是以高中一年级的知识为基础，有些人觉得“太难了”。因此，本书将从最简单的数学开始，以成年人的视角学习初中数学，并告诉大家如何走进数学世界，帮助大家从初中数学中获得逻辑思考的能力。成年人学习数学的意义

不仅是数学，在学习任何新东西时，“画面感”都是最重要的。

简单来说，“明白”某件事是指你了解此事，并可以用自己的语言进行描述，只是知道事情的原委，并不代表真的明白。要想知道自己是否真的掌握了所学的知识，是不是真的明白了，不妨问问自己：“我能不能讲得让奶奶也能够理解呢？”我想此时你的理解一定会以画面的形式浮现在眼前。

要让一个人理解你的意思，你肯定得根据对方的理解能力选择措辞，还要尽量说得简单易懂，如果连你自己也只知道个大概，那对方也不会明白。就拿数学来说，书本上罗列的是枯燥无味的公式和几何图案，只有结合现实中的画面，我们才会发现它们的意义。如果你要通过自己的语言进行描述，必须以理解这个“意义”为基础，这样才能领悟出潜藏于公式和解题方法之中的真正涵义。是把数学作为单纯的背诵科目，让它沦为无用之物，还是让数学变成生存所需的无价智慧，关键就在于此。

那么，如何在学习数学的过程中产生画面感呢？这就需要你具有丰富的词汇积累和人生经验，而在这点上，成年人具备压倒性的优势。

毫无疑问，与成年人相比，初中生的词汇量和人生经验都明显不足，所以老师在教学中应该运用具体图片赋予数学生命力，然而这么做的老师并不多。如此一来，大多数学生只会觉得数学离现实生活越来越远，越学越摸不着头脑，数学考试也像酷刑，只会让人痛苦，这不禁让人有些痛心。

而成年人掌握了大量词汇，也在不知不觉中积累了丰富的人生经验，也就是说，成年人自然而然地培养出了数学学习中不可或缺的想象力。

成年人重学数学的优势很多，其中最大的优势就是“已经学过一次”。尽管你在当时可能学得不怎么样，但不是还能模糊地记得一些公式定理和概念吗？我认为，大多数人对这些学过的知识还是有些印象的，这就是优势所在。对初次学习数学的初中生来说，有些部分必须按照教育部规定的教学计划学习，但对于学过一次的我们来说，就能大胆地重新制定自己的学习计划了。

本书就是要帮你通过“画面感”和“重新制定计划”学到不一样的数学。初中数学背后的7个技能

本书是我根据初中数学的知识框架，加入了内容和图片编写而成。为了让大家掌握思考问题的方法和技巧，我总结出了以下“7个技能”。【7个技能】（1）概念理解（2）看穿本质（3）合理解题（4）抓住因果关系（5）增加信息（6）令人信服（7）从局部看整体

你一定没想到，初中数学中竟然隐藏着这么多逻辑思考的提示。

举个例子，初二学生学的“三角形的全等条件”可能在日常生活中完全用不到，这个知识如果只在解数学题时才会用到，那就是典型的“无用之物”。但是，如果我们以“如何判定两个三角形全等”为例，说明“如何高效收集信息”会怎么样？又或者尝试以此概念为基础，发掘出全等三角形的潜藏特性又会如何？你可能多少会觉得“有点儿用处”吧。

通过本书的重新编写，你会发现课本中原先七零八落的知识点，彼此之间的关系瞬间明朗，整个初中数学就如同一棵脉络清晰的大树。只要你抓住主干，深入理解各个单元的内容，学习速度也会显著提升。

我们时常能听到这些话：“数学是有用的。”“社会人士也需要具备与数学相关的逻辑思维能力。”然而对于不擅长数学的人来说，他们也许完全不明白数学的用处在哪里。因此，我之前提到的“7个技能”正是为这些人准备的。

这里说的“技能”并非解答数学题的窍门，它可以运用在与数学毫无关系的日常生活和工作中，是事情的处理方法、思考方法和解决方法。如果这本书让你觉得“原来数学是有用的”，那么作为本书的作者，我会感到无上喜悦。10种思路与7个技能

我在前作《写给全人类的数学魔法书》中列出了“遇到任何数学题都能够解答的10种解题思路”，这是我从高中数学约700个典型解题方法中，总结出的数学共通性基本思考方式。“擅长数学的人是如何思考并解决问题的呢？”我相信你能从这本书中找到答案，我在此只简单将这些办法罗列出来。“遇到任何数学题都能够解答的10种解题思路”：（1）降低次方和次数（2）寻找周期性和规律性（3）寻找对称性（4）逆向思维（5）与其考虑相加，不如考虑相乘（6）相对比较（7）归纳性的思考实验（8）数学问题的图像化（9）等值替换（10）通过终点来追溯起点

就算遇到以前没见过的新问题，使用这些思路也可以想出解决方案。就如同高尔夫球赛中的制胜战术，这种思考方式也是无价的。

由于“10种思路”具有实战性，需要你做好一定程度上的准备，这与高尔夫球教练在球场上说“遇到这种情况要用5号球杆”一样。相对而言，“7个技能”是熟练运用“10种思路”的必要基础，如果还以打高尔夫球为例，“7个技能”就相当于选手比赛前必须熟悉的战术和方法。掌握这“7个技能”，你便能自如地运用“10种思路”，让数学从此跟你“化敌为友”。

对于不擅长数学的人来说，计算公式和几何图形可能如同路边的无声石子般可有可无。然而，数学的语言是极其有力的，其中还可能隐藏着宇宙中的诸多真理。人类的历史几乎没有离开过数学，几乎所有国家都将数学作为义务教育课程也说明了它的重要性。只要拥有“7个技能”和“10种思路”，你就可以通过数学语言，掌握无穷尽的信息。为什么你学数学的方法不对算数是结果，数学是过程

很多人认为数学就是算数，而在我看来，这个想法也许正是让他们弄错数学学习方法的罪魁祸首。

再重申一次，数学和算数看似相同，实则不然。算数的目的是得出正确的结果，而数学更注重得到结果的推理过程，换句话说，算数追求的是计算的正确性，而数学追求的是逻辑的正确性。

比如，在计算23×15时，如果心算算不出来，我们就会列出下面的算式进行笔算：

在做算数题的时候，为什么用这个方法可以得到正确答案呢？我想大部分人都不会去思考这个问题，也同样没人考虑过为什么小学生能通过笔算得出正确答案。我们之所以会忽略这些问题，就是因为我们只注重结果，认为只要答案正确就达到了解题的目的。学珠算的孩子会借助口诀进行计算，有些知识面较广的孩子还可能会用印度式计算法进行计算，但不管用什么方法，只要23×15的答案是“345”，就能得分。

计算是数学的一部分，我们都知道用某个计算方法能得出正确结果，但思考不能就此停止，我们还要明白其中的来龙去脉。

为了找出上述问题的答案，首先我们要了解什么叫十进制。如果没有特殊标注，“23”指代的就是“2个10和3个1”。你可能会觉得：这不是明摆着的吗？有什么好解释的。但是，数学中并不是只有十进制，比如，古苏美尔和古巴比伦时期使用的就是六十进制；即便是现代，尼日利亚和尼泊尔等地也在使用十二进制。在我们的日常生活中，也有许多非十进制的单位，比如尺寸（1英尺=12英寸）；时、分、秒（六十进制）等。

综上所述，在十进制中，23×15的意思是：用23（=10×2+1×3=20+3）与15（=10×1+1×5=10+5）相乘，可先将23×15分解为（20+3）×（10+5），再用我们在后面会学到的乘法分配律进行计算，

3×5=15

20×5=100

3×10=30

20×10=200

经过简化，就变成了下面的列式。如此一来，大家就明白为什么通过笔算能得出正确的答案了吧。

简单计算两个数相乘，就蕴含着如此复杂的逻辑推理过程。在数学中，为了让别人了解得到正确答案的解题过程，我们就需要有逻辑地证明出来。

再举个例子，比如著名的龟鹤算（译者注：源于中国《孙子算经》中的鸡兔同笼问题，后来传入日本，演变成了“龟鹤算”）。问题鹤和乌龟共8只，一共有20只脚。请问鹤和乌龟分别有几只？

这道题的标准解题方法如下。

首先，假设8只全是鹤：8×2=16，那么脚的数量就是16只。

可是，这比题目中的20只脚少了4只。如果1只鹤换成1只乌龟，脚的数量就增加了2只。通过替换来弥补4只脚的差距；4÷2=2，那么只要将2只鹤换成2只乌龟即可。

因此：

8-2=6

0+2=2

答案为鹤有6只，乌龟有2只。

下面的面积图解法也是龟鹤算常用的解题方法之一。

怎么样？学会了吗？不过你现在要考虑的问题并不是是否学会了龟鹤算，而是思考“为什么这样解题”。

当然，无论是在学校还是补习班，都有在课上积极讲解解题思路的老师，这样的老师在解题时可能会先假设一个极端的例子（假设全部是鹤），然后再根据实际的题目加以增补或减免等。

但是不夸张地说，大部分老师只会用算数的方法来教“数学”。如果把数学当成算数，或是为了应付中考只告诉学生解题方法，那么学生们只要掌握了标准的解题方法，在其基础上稍加活用就能得出问题的标准答案。

顺便说一句，我当初读的是小初高一体化的学校，并没有学过龟鹤算，因为这种需要使用特殊算法解开的问题，都能通过初中数学中的方程来解答（具体内容我会在第3章“合理解题”中进行讲解）。那么，我们为什么要学习这类特殊的算法呢？我认为，也许只有这种需要用特殊算法解决的问题，才能在初中入学考试中体现出学生的能力差距吧（我不是考试研究专家，纯属个人推测）。另外，在初中入学考试中，好学校不仅会出需要用标准解题方法解答的问题，还会出一些能够测试学生“思考能力”的问题。为什么乘法运算存在运算顺序问题

你知道乘法运算存在运算顺序吗？1972年的《朝日新闻》中首次提出了这个问题，虽然已经过去了这么久，但至今尚未完全解决。2011年年末，网络媒体博主白川克先生发表了一篇帖子，在网上引起了不小的争论。帖子的标题是：《6×8是正确的，8×6却是错误的？算数中的加拉帕戈斯化》（译者注：加拉帕戈斯化是日本的商业用语，指在孤立的环境[日本市场]下，独自进行“最适化”而丧失和区域外的互换性，面对来自外部[外国]适应性[泛用性]和生存能力[低价格]高的品种[制品或技术]，最终陷入被淘汰的危险，以进化论的加拉帕戈斯群岛生态系作为警语）。其登在1972年《朝日新闻》上的问题大致如下：考试中出了这样一道题：“我想给6个孩子每人4个橘子，请问共需要多少个橘子？”对于这个问题，小学二年级的学生写成：6×4=24。如果这么写，老师就会在算式上打×，然后改成：4×6=24。家长看到孩子的试卷十分气愤，针对学校的教育方式，与学校展开了争论……

成年人都觉得这样的判定太不合理，我也有同感，因为乘法运算中有交换律：a×b=b×a

如果“4×6”是正确的，“6×4”却是错误的，那么这的确让人匪夷所思。

为什么小学老师会纠结于乘法运算的顺序呢？那是因为老师希望学生们按照下面的方式进行思考：“单位数量”ד人数”

也就是所谓的“水道方式”。在上面的例子中，“单位数量”=4（个/人），“人数”=6（人）。“水道方式”是指上世纪50年代后期，由东京工业大学教授远山启先生（已故）提倡的“算术数学”教育法。提出乘法运算顺序是因为只要习惯这个运算顺序，将来孩子们在面对“×0”“×小数”“×分数”等复杂情况时，更容易理解算式的意义，同时也能更清楚地意识到单位体系。

水道方式的利弊我在此就不讨论了，问题是，连成年人都认为不合理的评分方式，至今还残留在小学的评分体系中。话说回来，算数注重的是记住方法并正确地加以应用，从这一观点出发，课堂上教的公式是：“每个人的量”ד人数”

那么，没有遵照这个公式计算的孩子就不能得分，也没人会去讨论“为什么那样算就能得出答案”。但是数学则不然，数学可以不论条理和顺序，只要逻辑正确便能得分。比如，像发牌一样，分给6个孩子每人1个橘子，4轮后每人各有4个橘子，即：“单位数量”=“6个/轮”“人数”=“4轮”如此一来，这道题即使和水道方式用同样的算式“6×4”也可以得出答案，但显然乘法运算的顺序变得更复杂了。

当然，我个人非常希望学生在进行计算时能思考“为什么那样算能得出答案”，让他们领悟到逻辑思维的重要性，但遗憾的是，目前的教育现状不允许。

尽管如此，接受了这种算数教育的孩子们还是能升入初中，继续学习数学，但他们难免会误以为数学就是要牢记公式，拘泥“套路”。算数为生活服务，数学为解决问题服务“乘法运算的顺序问题”是个极端的例子，笔算和龟鹤算也一样，只要按照算数的方式，快速而正确地得出答案的孩子就能得到优异的成绩。

算数是生活的必需能力，特殊算法即便能在考试时考察学生的学习能力，但只要在这个社会上生存，就必须要掌握笔算、分数、比率、比、面积、浓度以及平均等相关的知识和概念。“今天打七折哟！”“返还20%的积分！”“这块土地每坪（译者注：日本的面积单位，约3.3㎡）80万日元。”“今天的日经平均收盘价是12435日元。”能否理解（更准确地说是瞬间理解）这些话的意思，会直接影响一个人的生活。

综上所述，学习算数的关键是：

不可否认，这种方法确实快捷有效。

然而，数学就不同了。我这么说可能不太恰当，但我认为学习数学不是为了生活，而是为了锻炼逻辑思维能力，从而解决各种未知的问题。相比而言，算数锻炼的则是我们“解决模式化问题的能力”，我认为这就是二者之间的差别所在。由于学习目的完全不同，因此学习算数和数学的方法也应该不同。

孩子们在小学期间一直认为数学就是算数，已经养成了习惯，当他们翻开初中数学课本，一看到例题的解法就会按照算数的模式解答，自然而然地认为“这种题目就应该这么解”，甚至开始死记硬背那些解题模式。虽然相同的解法能解开很多相似的题目，但是遇到未知的问题你就不知该如何是好了。如果你能根据一道题目的解法，延伸出适用于各种问题的解决方法，这才是学习数学的意义。

美国麻省理工学院媒体实验室的所长伊藤穰一先生，在一次采访中说了这么一段话：“世界变化的速度如此之快，地图已经毫无用处。我们需要的是指南针，更需要耿直谦虚、敢于怀疑权威的态度。”

在现代社会，工作模式化的人往往不会得到太高的评价，因为许多这样的工作可以借助电脑自动处理，即使需要人力，这些无需动脑和变通的工作者也只能作为廉价劳动力。

另一方面，现实社会中的新问题总是接踵而来，我们需要的是解决这些新问题的能力，也就是伊藤先生所说的“指南针”。这种能力在飞速变化的现代社会中变得愈发重要，而学习数学，就是为了发展这种解决各种新问题的能力。

那么，如何学习数学才能培养我们的逻辑思维，从而拥有解决未知问题的能力呢？

其实我在前作《写给全人类的数学魔法书》中已经解答了这个问题。我在书中整理了多年来的学习经验，为大家介绍了与算数完全不同的数学学习窍门，欢迎有兴趣的朋友阅读，在下一节中，我也会对前作中的数学学习法做一个简单的介绍（篇幅有限，以摘要形式介绍）。数学学习方法摘要切勿死记硬背

如果用一句话概括数学学习的窍门，那就是切勿死记硬背。一旦死记硬背，你就不会去思考为什么，而且即便能靠死记硬背定理、公式、解题方法等得到好成绩，也无法培养逻辑思维能力。我认为在学习数学的过程中，遇到问题一味生搬硬套是最烂的一种方法，因为死记硬背会让学生们养成逃避的毛病，认为就算不懂也没关系，只要记住就行。在培养逻辑思维能力的过程中，这个毛病会是一个非常大的障碍。因此，通过死记硬背学习数学是百害而无一利的。

当然，我这么说并不意味着学数学可以什么都不用记，理解新学的知识和已学的知识，主动“思考”不去死记硬背的方法才是学习数学的基础。面对新知识，如果你不想死记硬背，就要抓住其中的“玄机”，理解这个知识点的深层意义。如果能做到这一点，那么对你而言，数学就不只是知识，而是能让你受用一生的智慧。多问“为什么”

既然学习数学的目的是解决各种未知的问题，那么你只用常规方法解决常规问题就不会有所进步。我们应该做的是从常规性问题的解题方法中，总结出适用于任何问题的解决技巧和捷径，而这些重要的技巧和捷径很难通过定理、公式和解题方法加以表现，这也正是学习数学的难点所在。

我曾多次受邀编撰习题集答案，在接受委托时，出版社常常会提出各种要求，比如“篇幅控制在XX页”，更严格的时候甚至要求控制“在XX行”。当然，出版社的要求也可以理解，为了在有限的篇幅内撰写内容，我有时只能把答案的精髓总结出来，可结果却不尽人意：在不知情的人看来，不完整的答案会让他们如丈二和尚般摸不着头脑；本身就不擅长数学的人会因此气馁，认为“这种问题谁能想得出来啊”；也有人会陷入死记硬背的漩涡，认为“这道题就应该这么解”，而不去理会为什么……如此一来，这些“参考答案”反而成了导致数学学习方法错误的罪魁祸首。

实际上，很多教材、教辅中的答案，字里行间都隐藏着严密的思考过程，所以在阅读答案时，你应该像读诗那样品读“字里行间”的意思，想象答题者是如何思考的，这一点很重要。

数学本身是有魔力的，它能让人不自觉地去思考并提出疑问：“为什么？”“为什么算式要这样变形？”“为什么要在这里画辅助线？”

面对不断涌现的问题，你无需感到不安，对那些书中给出的法则提出疑问，就说明你找到了学习数学的关键，换言之，这些问题能让我们发现隐藏在解题过程中的数学式思维方法。如果你以前看到答案觉得不知其所云，认为靠自己永远也解不出来，那么你现在只要勇于提出一系列“为什么”，相信总有一天你会觉得“原来如此”了。重新定义

假设有人突然要拜托你买猪肉、洋葱、胡萝卜、马铃薯、月桂、苹果还有蜂蜜，可你既没带便条，也没带手机，该如何记住这些东西呢？有点儿不自信？我倒是有自信至少忘掉一两个（笑）。

但是，如果你知道这些东西都是做咖喱的材料，又会如何呢？

做过咖喱的人，通常都知道做咖喱需要哪些材料（超市里的咖喱酱包装背面也有），基本上可以一项不漏地买回来。乍看之下毫不相关的食材，如果打上“咖喱材料”的标签，彼此之间就建立了联系，相信你一下子就能记住了。

学习也一样，自己觉得有意义的东西不容易忘记，反之，那些你完全不明白的事物，不管做多少次，转头就会忘掉。在学习新东西时，一定要先思考一下它的“意义”。就拿学习数学来说，你可以给每个定理、公式、解题方法都赋予新的定义，尽可能思考能否将新的知识点与其他已学的定理、解题方法联系起来。这样做不仅能帮助记忆，还能让你抓住知识点的本质。证明定理和公式

定理和公式在解题时用起来非常方便，但你要知道，结果并不是最重要的。正如我之前反复强调的，数学最重要的是过程，记住定理和公式虽然可以为你带来便利，但知道这些定理和公式从何而来才是最重要的。

初、高中学习的定理和公式，凝聚了5000多年数学史中的精髓，它们可以说是各个时代数学天才们的智慧结晶，而这些智慧的本质，则潜藏在证明的过程中。

数学能力是一种逻辑思维能力，而逻辑思维能力也就是思考问题的能力。罗马不是一天建成的，数学问题也绝不是灵光一闪便能解决的。在解决未知的问题时，如果你只是原地等待灵感突现，就一定会落空，只有一步一个脚印步步推进，才可能得到答案。

话虽如此，但我们仅凭自己的知识可能无法一下子找出答案，这时就需要借助过去数学天才们遗留下来的定理、公式、逻辑思维方法等慢慢积累。对我们而言，这些留下智慧结晶的天才无疑是最好的老师，那他们又是怎样思考得出这些定理和公式的呢？

当你通过认真研究这些已得出结论的定理和公式，独立完成证明，就会感觉自己变聪明了。相信我，这不是错觉，因为你确实已经掌握了一流的数学能力！“闻→思→教”三步走

孔子在《论语》中说：“默而识之，学而不厌，诲人不倦。”

这里所说的“闻→思→教”，是学习的基本态度。在学习新知识时，重点是抛弃成见，多听他人教诲（或自己读书）。面对新的知识，无论是认为“小菜一碟”，还是觉得“谈何容易”，都会妨碍到你的学习，所以我们首先要以开放的态度去吸收新知识。

其次，正如前面所说的，面对新知识应该多问“为什么”，然后认真思考自己提出的问题。许多人到这步就会停止，认为经过仔细思考，疑问已经基本解开，觉得自己都明白了，于是满足现状。

然而，我接下来要讲的内容才是最重要的。这一步要求你转换角色，当一回老师，将自己刚刚“明白”的知识传授给不懂的人，如此一来，你理解得不充分的部分就会突显出来。俗话说的好，教会他人是最好的学习方法。关于上述数学学习法的详细内容和具体例子，请阅读前作《写给全人类的数学魔法书》。

等一下，我又要说“但是”了！但是，以我的经验来看，只是把数学当作数学来教，除非对方非常喜欢数学，否则根本没人愿意听，更糟的是，也许只要一提到算式，对方就会皱起眉头……虽然你想尽可能讲得有趣，但如果发现自己并未充分理解问题，无法调动对方的兴趣，一定会觉得非常遗憾。

在教导他人时，本书中的“7个技能”就会显得非常实用。教会他人是最好的学习方法，要想激发学习者的好奇心，只是传授公式、定理和解题方法是远远不够的，一定要活用身边的事物，借助这些东西巩固知识。

我在这一节说得有点多，序章就到此为止吧。终于要重新打开初中数学的大门了，作为成年人，如今你已经不用再应付考试了（也许吧），也不用再考虑“出题范围”的问题，更无需反复做那些毫无意义的题目。那么，就请你站在全新的高度，调动自己的兴趣读完这本书吧，相信你一定会时不时发出这样的感慨：“啊！原来如此！”

那么，接下来就让我们倾听数学的故事，学习数学中蕴藏的智慧吧！第1章　技能1——概念理解如何理解概念要点·引入新概念。·将新概念分解为已知概念。

19世纪的数学家克罗内克曾说过：“上帝只创造了自然数，其余的都是人为的。”

自然数是指“1、2、3…”等正整数，从古至今，人们在计算时“自然”会用到这些数字。最近有研究表明，海豚、猴子、鸽子也会使用自然数进行计算。

人类社会诞生后，文明不断发展，除了自然数外，我们在计算中还需要其他形式的数字，于是就创造出了分数。比如说，三兄弟分配从父辈那里继承财产时，老大得到1/2的土地、老二得到1/3的土地和全部家畜、老三得到1/6的土地和全部房子。

通过这样的描述，你就能想象出三兄弟各自得到了多少财产。其实在古埃及的象形文字中，就已经出现了分数的踪迹。

人类创造分数时，为其赋予了数字的概念。分数的概念如下：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。

当人们对这个概念达成了广泛的共识之后，分数才变成了一种数字。海豚和猴子（也许）不理解分数，是因为它们的思维中不存在这个补充概念。

后来，到了公元5～6世纪，“数字0”在印度诞生。当然，要把“0”看作是一个数字，首先要给它下一个定义。比如“1204”中的“0”，在很早以前的美索不达米亚文明和玛雅文明中就出现过，但那个时候，“0”并不是一个数字。

在初中数学中，学生要学习负数和无理数这两种全新的“数”，相较于分数和0，负数和无理数则引入了更深层次的概念。

另一方面，人类从没有任何定义的时代起就开始使用“自然数”，随后为了掌握自然数的性质，提出了分解质因数的概念。由于自然数中存在“质数”这一概念，我们可以通过分解质因数，找出数字之间的联系和差别。

如果只是囫囵吞枣地接受看到的东西，你就很难发现隐藏在其深处的真理。但是，如果能通过概念进行分析，我们的思考就是无限的，哪怕是宇宙中遥不可及的神秘世界，我们也能尝试一探究竟。我认为，智慧和概念息息相关。通过创造概念、深化概念，我们才能更理解世界，可以说，数学的历史就是概念的历史。负数（初中1年级）在数字中思考“方向”

在日常生活中，描述温度时经常会用到“负数”。我们会在天气预报中听到“明天的最低气温为-3℃”，温度计的刻度上，也有带“-”号的负数。

想象一下，如果将温度计横放，你就会看到下图这种带刻度的直线，我们称其为数轴。

数轴上表示0的位置被称为原点。从0出发，正方向上的数为正数，反方向上的数为负数，即，负数是正数相反方向上的数。

为了描述“负债”的数量，负数在7世纪的印度诞生了。据说在当时的印度，正数代表“资产”，负数代表的是“负债、损失”。

比如，100万日元的负债，也可以用“有-100万日元的资产”表示。这是因为，资产和负债是完全相反的意思。除此之外，负数还可以用在很多地方。

比我矮10cm→比我高-10cm

向东前进2km→向西前进-2km

体重增加了10kg→体重减少了-10kg

有些情况用负数来描述确实有些别扭，但如果你能掌握负数的表现形式，就能从相反的方向看待问题。我们可以将其作为一项基础训练，锻炼我们从多个角度看待事物的能力。“0”由“空”变为“平衡”

负数的出现，使我们能够通过一个概念看到事情的另一面。比如说，你在生意上某个月有300万日元的资产和100万日元的损失，如果不使用负数，那就必须考虑资产和损失这两个概念，这样计算每个月的收益或亏损时，就会变得繁琐而复杂。但是，如果你将100万日元的损失理解为“-100万日元的资产”，就能够在盈利为正方向、收支平衡点为原点的数轴上，讨论销售额和盈亏状况。

综上所述，在思考问题的时候，将意义完全相反的两个概念合二为一，是使用负数的最大优势。而在这个前提之下，“0”就不是“空”的意思，而是用来描述“正数”与“负数”同时存在且势均力敌的状态，即“0”表示“平衡”。物理学中力的平衡以及化学中正负离子的反应等，就是遵循的这个思路。

举个例子，绕着地球转的人造卫星相对于地球来说是静止的，这并不是因为人造卫星没有受到力的作用，而是人造卫星受到的万有引力和离心力达到了平衡状态。

另外，在20世纪中后期，东西方之间虽然也有持续的矛盾，却没有爆发大规模的正面武装冲突，这是因为双方阵营势均力敌、彼此牵制，将局面控制在了一种相对稳定的状态。

由于有负数的存在，我们可以将“0”理解为“中间数”。现在你应该能理解，很多事物虽然看起来风平浪静，实际上是有两个完全相反的力在相互作用。通过理解这个概念，我们不仅能培养出看穿事物本质的能力，同时还能预防“0”的平衡状态被打破从而引起的危机。绝对值

负数让我们认识了数的方向性，但有时我们也需要忽略这种方向性，转而关注“量”。此时，“绝对值”闪亮登场，它表示数轴上的对应点到原点的距离。绝对值的定义一个数在数轴上所对应点到原点的距离叫作这个数的绝对值。数a的绝对值用“|a|”来表示，读作“绝对值a”。

绝对值表示“距离”，所以一定是正值。

比如，从原点到“3”的距离是3，即

|3|=3

原点到“-3”的距离也是3，即

|-3|=3

如果用高中所学的向量来表示，“3”可以表示为朝着正方向、长度为3的线段：

而“-3”是朝着负方向、长度为3的线段：

由于绝对值关注的不是线段的方向，而是用以描述长度的“量”（称作标量），所以绝对值永远是正值。

因此，简单来说，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它本身去掉“-”号。

例如：

|-10|=10←“-10”是负数，其绝对值要去掉“-”号

|5|=5←“5”是正数，其绝对值还是它本身负数的加法运算

接下来，我们来一起看看负数的计算吧。为了方便理解，请大家把正数想象成资产，负数想象成负债。

首先，5-3=2

我们可以把这个计算过程想象成：“5万日元的资产扣掉3万日元的资产，剩下2万日元的资产”。“减3”相当于“加-3”，所以减法运算也可以理解为负数的加法运算。5-3=5+（-3）=2

算式变形后，我们可以将其想象为：“结算5万日元的资产和3万日元的负债后，剩下2万日元的资产”。

顺便说一句，-5-3

可想象成“在5万日元的负债之上，又添加了3万日元的负债，共计8万日元的负债”，计算过程如下：小数减大数

接下来，我们要针对小学没学过的“小数减大数”展开想象。例如：3-5

首先，和前面提到的一样，我们可以把这样的计算想象成“减法运算=负数的加法运算”，因此算式可以这样变形：3-5=3+（-5）

用文字来描述就是“3万日元的资产和5万日元的负债”。

这么一来，你就相当于共有2万日元的负债，而“2万日元的负债”相当于“-2万日元的资产”，所以计算结果如下：3-5=3+（-5）=-2

如果资产比负债多，结算后剩余的是资产；反之，如果负债比资产多，结算后会剩余的就是负债。用文字进行描述就是：

正数和负数的加法运算乍看之下有些麻烦，但熟练以后你就可以直接跳过这些思考过程，运用自如。因此，在计算时，我们可以先确定答案是正数还是负数，也就是答案的符号是“+”号还是“-”号。接下来，我们只要算出资产和负债之间的差（准确地说，应该是两个数的绝对值之差）就可以了。为了帮助大家熟练掌握，我还是举几个例子吧。

负债多的例子

资产多的例子负数的减法运算

如果一个人目前拥有3万日元的资产，债主将其5万日元的负债一笔勾销，那他现在总共有多少资产？没错，8万日元。用算式来表示，可以把“5万日元的负债一笔勾销”用“-（-5）”表示，也就是；3-（-5）=8

这是因为，“5万日元的负债一笔勾销”=“增加了5万日元的资产”3-（-5）=3+（+5）=8

这绝对是一件好事。也就是：-（-5）=+（+5）

综上所述，一个数减去负数相当于加上正数。负数的减法运算=正数的加法运算-（-a）=+（+a）

记住这个口诀，下面的计算就变得容易多了：

-8-（-10）=-8+（+10）负数的减法运算→正数的加法运算

因此，3个以上正负数的加法运算

接下来让我们试着进行一些复杂的计算吧。-3+5-7+9

如果我们把这样的计算也想象成资产和负债，就是：起初欠了3万日元，然后增加了5万日元的资产，后来又欠了7万日元，最后增加了9万日元的资产……听起来是不是很复杂？遇到这种情况，我们可以用一个小窍门，也就是分别归纳增加的资产和负债。

资产是5万日元加9万日元，共14万日元。

负债是3万日元加7万日元，共10万日元。

分别归纳正数和负数后再进行计算，计算过程如下：为什么（-1）×（-1）=+1

接下来我要介绍的是负数的乘法运算。（-1）×（-1）=+1

这个等式恐怕没人不知道，但能准确将它解释清楚的人并不多。在此你要特别注意，那就是负数是正数相反方向上的数，这一点一定要理解透彻。让我们一起看看下面的例子。

假设你每月要支付1万日元的电费，每月月底付完电费后，你的存款为-1万日元（为方便起见，假设你每个月没有收入）。在支付了3个月的电费后，你的存款共少了3万日元，用算式来表示就是：

即（-1万日元）×3个月=-3万日元（-1）×3=-3（负数×正数=负数）

那你在未支付电费前1个月的存款是多少呢？在这里，我们将1个月前想成“-1个月后”，“-1个月后”的存款按照上述过程计算的话，可用算式表示为：（-1万日元）×（-1个月）

因为1个月前你支付的电费比现在少了1万日元，所以存款金额应该比现在多1万日元。综上所述，答案为+1万日元。

换言之，（-1万日元）×（-1个月）=+1万日元

即，（-1）×（-1）=+1

当然，计算你在未支付电费前3个月前（-3个月后）的存款也是一样的道理，（-1万日元）×（-3个月）=+3万日元

由此可知，你3个月前的存款就是多出的这3个月的电费（+3万日元）。

再强调一次，上述内容关注的是数的方向性。在时间方面，我们把时间前进的方向设为正方向，那么x个月前就是“-x个月后”；而在存款金额方面，我们把存款增加的方向设为正方向，那么减少x万元就是“-x万元”。一旦你理解了数的方向性，就能明白下面的等式为什么成立。（-1）×（-1）=+1

负数的乘除法运算（-1）×正数=负数（-1）×（-1）=+1

如果你理解了上述等式，后面的知识也就不难理解了。例如，（-3）×（-5）

可进行如下计算：

同样，（-2）×（-3）×（-4）

也可以通过相同方式进行计算：

但是，这么思考这道题实在费事了，因此我们只需要记住，2个负数相乘得正数就行了。负数为偶数个时……正数负数为奇数个时……负数

只要在计算前先确定这一点，我们就可以先忽略正负号，直接进行计算了。

根据这个规律，下面的计算（-3）×（-5）和（-2）×（-3）×（-4）

可以理解为

运算过程是不是简便了很多？关于负数的计算我们就说到这。

或许你会觉得奇怪：怎么不介绍除法运算？其实，只要把除以一个数当成乘以其倒数进行运算就行了。

即，16÷（-2）

解答方法如下：质数（初中3年级）数中有“质”

2012年7月，“发现疑似希格斯玻色子的粒子”的新闻一经发布，马上成为当时最热门的话题。希格斯玻色子？一般人恐怕连听都没听说过，为什么这一发现能轰动全世界呢？

那是因为在20世纪60年代，有科学家提出物质世界中存在17个基本粒子，而希格斯玻色子是一直未被发现的基本粒子。如果希格斯玻色子不存在，就表示得到广泛认可的“标准模型”构想是错误的，由此也会引发一系列的严重问题。也就是说，希格斯玻色子的发现如果得到证实，就是一个“跨世纪的大发现”，可以补全历经50年发展至今的基本粒子物理学中缺失的一环。基本粒子构成的物质世界的“标准模型”出处：作者参考高能加速器研究机构的研究结果，自行绘制

简而言之，基本粒子（elementary particle）是指不可分割的粒子，世界上的所有物质都由这17种基本粒子组成，他们是万物的基础。因此，这样的新闻不仅引起了科学家的广泛注意，也激起了许多人的求知欲（也许吧）。

从古至今，人类一直在追求万物的根源。比如，日本人认为万物的根源是“五元”，即风、火、土、金、水；而中国则借助“五行”的概念——金、木、水、火、土来解释森罗万象；同时，印度人认为风、火、地、水、空这五大元素是物质的“基础”；古希腊人则认为风、火、土、水这四大元素才是物质的“基础”。

人类追求万物根源的执着精神，与原子和分子的发现密切相关，正是这种精神引领着科学家们展开了对基本粒子的深入研究。

那么，在数的概念中，有像基本粒子这种“不可分割的‘基础元素’”吗？当然有！那就是“质数”。也就是说，质数就是数的基础。

质数的定义如下。质数的定义一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除。

具体是指以下的数字：

2、3、5、7、11、13、17、19、

23、29、31、37、41、43、47…质数中为什么不包括1

在此我们要特别注意，“1”不是质数。为什么呢？如果说定义就是这么规定的，那我们就没必要继续讨论了，其实如此定义也是有原因的。首先，我们要清楚“任何数被分解质因数后，只有一种表示形式”。如果质数中包括1，那么某个数被分解质因数时，就会出现以下这种情况：6=1×2×36=1×1×2×36=1×1×1×2×3

如此一来，将一个自然数分解质因数，就会出现无数种答案。为了避免这种情况发生，我们才把“一”剔除在质数之外。说到这里，可能有人会问：为什么分解质因数非要拘泥于“一种表示形式”呢？分解质因数的方法只有一种，意味着某个数字与其分解为质数的方法之间成立“单射”关系。质数中不包含1，因此将6分解质因数后只能得到“2×3”这一个结果，而质因数分解为“2×3”的数也只有6。这种对应关系就是我们要强调的重点。“单射”概念或许会让你觉得有些晦涩难懂，其实这就如同学校的鞋柜与鞋子、棒球队球衣与选手之间一对一的关系，如果能这样理解的话就一点儿都不难了。

如果“单射”关系成立，那么这个概念就能用其它表达方式进行阐述，你可以从另一个角度加以理解。

比如，

在上述推断中，田中的鞋柜和田中的室内鞋是一一对应的（译者注：为了维护学校的清洁，日本有进学校换室内鞋的传统），且田中的室内鞋和田中自己也是一一对应的，因此我们能根据田中的鞋柜没有室内鞋，从而得出田中还在学校里的结论（当然，如果田中已经回家，但是有人恶作剧拿走了他的鞋子，那就另当别论了）。综上所述，在逻辑推理中，单射关系是非常重要的。详见第4章的“抓住因果关系”。分解质因数

如前面所说，把一个自然数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫作分解质因数。在这里，我大致介绍一下这个概念的定义。

因数：整数相乘，整数就是积的因数

质因数：顾名思义，既是质数又是因数分解质因数的顺序1）依此除以能整除的质数2）把用于分解的质数和最后剩下的质数写成乘积形式

分解质因数时使用的短除号就是倒过来的除号，我们一起练习一下吧。

如此一来，我们就完成了24的分解质因数过程。也就是说，24可分解为3个“2”和1个“3”。

学会分解质因数后，我们就能清楚地知道指定的数是由什么“零件”（因数）组成。不仅如此，只要搞清楚数的“零件”，就能弄明白不同数之间拥有哪些相同的性质，从而展开各种推算。让我们通过接下来要学的公因数和公倍数，来加深对分解质因数概念的印象吧。

试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]

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