作者：丁文镜
出版社：清华大学出版社
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地震预报的力学问题试读：
前言
FOREWORD按照板块运动学说，构造地震起源于地幔对流产生的板块水平运动；作用在相邻板块间的水平挤压力，导致活断层的闭锁部位破裂，引起断层两盘分界面宏观滑动，后者促使分界面的静摩擦力从它的最大值降到动摩擦力的数值，在断层两盘分界面上产生冲击卸载；闭锁部位破裂也要产生冲击卸载，两个冲击卸载合成后，使断层两盘岩体的应力突变，在岩体内激发起弹性波，并在地壳内迅速传播，这就是浅源构造地震的物理过程。由此可见，地震乃是岩体破裂和断层滑动产生的一种弹性动力学现象。浅源构造地震都发生在深部岩层内，涉及许多地学问题，使其成为力学和地学间的交叉学科问题。
浅源构造地震的物理过程表明，预报地震的震中和震级，以及发生地震的时间，必须了解地壳深部的地质构造和当地岩体的力学性质，包括断层的面积和闭锁部位的面积，特别是闭锁部位附近的应力场和岩体强度的演变情况。事实上，即便只是确定岩体强度这一项，也很难找到准确的答案。众所周知，岩石属于非均匀介质，即使在实验室内测定它的破坏强度也很难，何况要在野外条件下测定广大区域内深层岩体的破坏强度及其变化过程。显然，根据力学原理通过测量地应力预报地震，不容易成功，这既是从事地震预报研究的力学家很少的原因，也是要用其他学科的成果探寻预报地震方法的原因。
在人烟密集地区，每一次大地震都造成人民生命和财产的重大损失。唐山地震和汶川地震的灾害更是令人触目惊心。因此，举国上下渴望早日能够预报地震，形成了研究地震预报方法的巨大动力，促使我国地震预报方面的科学研究和实践走在世界前列。
20世纪70年代中期到80年代中期的一段时间，笔者曾经从事过地震预报研究，在中国科学院代管的国家地震局地质研究所工作的一段时间，更是专心致志于此项研究。本人此先做过一些工程力学的研究课题，遇到问题习惯于建立完善的力学模型，尽管当时已经改变研究对象，仍然受到习惯思维的束缚，总想弄清震源体的内部结构和岩体的物理特性，建立完善的力学模型。事实上，这是无法做到的事，结果使工作陷于停顿状态。很久以后终于明白，与其追求无法获得的完善力学模型，致使工作毫无进展，还不如放宽对模型精确度的要求，仅保留对问题起决定性作用的因素，忽略其余因素的影响，建立高度简化的力学模型；再用严格的力学分析方法，导出一些有用的定性结论，从中找到对地震预报有启发的结论。循此原则开展工作，很快就从困境中走了出来，研究工作逐步取得进展。
如上所述，地震是地壳内的一种弹性动力学现象，尽管它的影响因素很多，而且，其中有许多因素很难预测，可是，地震孕育过程和地震波转播过程都严格地遵循力学原理，因此，按照力学原理建立的简化力学模型，再用严格分析方法导出的结果，虽然不能给出地震问题的准确答案，但是有可能定性地描述地震过程的某些现象及其演变规律，甚至能给地震预报提供有益的参考意见。基于这样的思考，笔者先后建立了几个高度简化的力学模型，探讨了地震预报的一些问题，都能得到定性结论，并发表了相关的科学论文。笔者返回清华大学后，有关地震预报的研究工作并未停止，曾经参加在大连棒棰岛召开的中国地震学会成立大会，并在首次学术讨论会的分组会上发表学术论文。此后，由于本人承担的教学和科研任务日益繁重，因而中断了此项研究。可是，当年在唐山地震现场看到的凄惨情景，从未从脑海中消失。此次汶川地震又夺去许多同胞的生命和财产，激起我为地震预报再作贡献的决心和勇气。由于先前已与施普林格（Springer）出版社和清华大学出版社签订了英文版自激振动专著Self-Excited Vibration—Theory Paradigms and Research Method的合同，直到2009年4月完成该书的书稿后，方才投入有关的研究和本书的写作。为此，重新审查和修改早先发表的论文，去芜取精。又对几个新问题进行了探讨和研究，得到一些有意义的新结果，包括强震时震区地块的整体运动分析；根据地震波携带的能量估计未来地震的震级；对逆冲断层地震地块的整体运动进行的分析研究；以及利用有摩擦的力学系统的自锁原理，解释地壳内断层活动性轮回变化的问题。综合最新取得的结果和先前的研究成果，编写成这本利用力学原理探讨地震预报问题的小册子。
笔者谨对该书寄予四点期望：第一，通过它对震区地块的整体运动和地震孕育过程的力学分析，解释地震过程中的某些现象；第二，为地震预报提供一些有益的参考意见；第三，建立高度简化力学模型研究地震预报问题的一套方法，以供力学同行研究地震预报问题参考，即使不能作为进一步上升的阶梯，至少可以少走一些弯路；第四，能够有更多的人阅读此书。对于了解力学较少的人，暂时承认本书所作的力学分析，把它作为本书的附录看待，着重阅读文字内容，对地震预报也会有充分的了解。因此，在一定范围内，这本书能够起到普及地震预报知识的作用。人们对于地震的孕育过程和发震条件有所了解，就能体谅地震预报面临的巨大困难，地震预报就有更加宽松的工作环境。
承蒙中国力学学会理事长胡海岩院士的关心和鼓励，在百忙之中挤出很多时间，为本书撰写序言；长期从事地震预报并创立加卸载响应比预报地震方法的力学家尹祥础教授，从繁忙的学术活动中抽出很多时间审阅书稿，并为本书写序；刘祚秋和樊世超两位博士协助完成了本书的部分计算和绘图；对于本书的出版，庄茁教授给予了鼓励和支持，作者在此一并表示衷心的感谢。丁文镜2011年2月于清华大学E-mail:dingwj@mail.tsinghua.edu.cn第1章引论
岩体破裂引起的地壳振动称为地震，发生地震的地点称为震源，震源在地面的垂直投影点称为震中，震中到震源的距离称为震源深度。
采用不同的分类标准，地震可以有不同的分类。
按照震源的深度分类，地震分为三类：①深度从地表到70km之间的称为浅源地震；②深度为70～100km的称为中源地震；③深度超过300km的称为深源地震。
按照地震的成因分类，又可分为构造地震、火山地震、冲击地震和水库地震四类地震。其中，浅源构造地震是常发的地震，危害最大，本书仅研究浅源构造地震。
本章内容安排如下：首先，介绍与地震成因相关的板块构造学说；其次，鉴于地震的断层成因说已被公认，介绍与地震相关的断层知识；再次，探讨构造地震的物理机制以及地震预报与力学的关系；最后，概略说明全书的内容。1.1 板块构造学说
根据大西洋两岸陆地海岸线的弯曲形状高度相似，气象学家兼地球物理学家魏格纳（A. L. Wegner）先后在1921年、1915年、1924年和1929年多次提出大陆漂移的观点，并在其专著The Origin of Continents and Oceans中系统地论述了大陆漂移问题。后来，摩根（J. Morgan）、麦肯齐（D. P. Mekenzie）和勒皮雄（X. Le. Pichon）等几位地学家，又把大陆漂移学说、海底扩张学说和板块构造概念结合起来，形成解释地壳运动现象的板块构造学说。按照此学说，地球的岩石圈比其下面的软流圈刚硬得多，岩石圈能够插入软流圈中。在其内部存在许多活动带，包括大洋中脊、海沟、转换断层、地缝合线和大陆裂谷等，这些活动带把岩石圈分割成大小不同的板块。板块边缘的接缝地带是地壳的活动地带，存在显著的构造运动，这些地带经常出现突发性的构造运动，就是构造地震。
按照板块构造学说，各大板块都在不间断地运动。例如，太平洋板块每年以5mm的平均速度向西移动，2亿年要移动10000km。因此，每隔2亿年太平洋的洋底就更新一次。该学说认为，地球内部存在多个对流中心，驱使板块活动的动力源泉，来自岩石圈底下的地幔物质，地幔物质围绕这些对流中心沿着环形路线不断运动。在地幔物质上升处，地壳受到张力作用分裂，地幔物质由此处上涌，冷却后的地幔物质形成新的洋底；有些板块的边缘，板块物质向下俯冲，又回到地幔中去。至于地幔物质对流所需要的能量，普遍认为来自地球内部的热能。显然，流动的地幔物质与地壳底面之间有相对运动，存在摩擦力，该力作用于板块底面，它是板块持续运动的原动力，受到该力驱动，各个板块相互挤压，产生强大的水平挤压力，成为地质构造运动主要的原动力。
板块构造学说能够解释许多地质现象，已经成为地质学当今的主流学说。在解释地震成因及其空间分布等问题时，它比别的学说更有说服力。用它解释其他自然现象，也有较高的可信度。即便如此，还是有一些自然现象难以用它解释，只是说明板块构造学说还要进一步发展和补充。1.2 断层与地震
相邻板块受到地幔顶面摩擦力的驱动，板块内各条断层的分界面上形成水平方向的挤压力。同时，岩体还受到自重力的作用。因此，地壳内的岩体总是处于三向压缩状态。但是，三个主应力通常不相等，某些区域的地表出现拉张变形。无论如何，岩石不能够承受较大的拉应力，岩体内不会存在较大的张性应力。
相邻板块存在持续的相互挤压作用，促使地壳的局部应力和变形不断增长，一旦某处的剪应力超过它的抗剪强度，该处的岩体就被剪断，产生一条新的断层。与此相应，当地发生一次地震。因此，地壳内的许多大断层都是历次大地震的遗迹。
当今地质构造运动显著的区域，有些断层正在活动，称为活断层。已经停止活动的断层，称为死断层。由于各个板块间挤压力的方向改变，原先活动的断层有可能停止活动，变成一条死断层。反之，原先的死断层也可能再次活动，又成为一条活断层。关于断层活动性交替变化的原因，还要在本书第3章详细说明。
地质学家对历次大地震进行过多次实地调查，掌握了充分的科学［1］根据，最终确认地震与活动断层有依存关系。曾经被实地调查的大地震很多，包括1891年日本浓尾8级地震和1897年印度阿萨姆8.7级地震。特别是1906年4月8日发生的旧金山8.3级地震，它的调查结果对确认此种依存关系起到了决定性作用。事实上，一批地学家对1906年旧金山地震进行过两次测量，确认此次地震促使圣安德烈斯断层产生3～6m的水平位移，断层两盘的最大错距达到6m。此项实地调查结果成为地震断层成因学说最可靠的证据。
实际上，历经漫长地质年代的构造运动，地壳内各大板块已经形成许多既大又深的断层，这些板块被它们分隔成不同形状和不同尺度的断块。我国大陆位于欧亚板块的东南端，它的东边与太平洋板块相连，它的南边与印度澳洲板块相连，由于西进的太平洋板块和北进的印度澳洲板块沿不同方向持续挤压，我国大陆地壳内部形成了许多大断裂带。经过几代地质学家的实地调查，已经查清我国大陆地壳被这些断裂带分割成为许多地块，每个地块是一个具有相同运动方式的地质单元体，这方面的研究成果汇集在中国大陆断块构造图内。在活动地块的边界地带，通常存在强烈的差异运动。断块的分界面不可能是理想的平面，很容易形成阻止相邻地块相对运动的闭锁部位，该处存在强烈的应力集中现象，积累很多弹性势能，成为历次强震的震源体。事实上，我国大陆地区发生的大地震，包括所有8.0级以上强震，以及80％以上大于7.0级的强震，都发生在这些活动地块的边界地带［2］
。
关于地震发生的直接原因，目前人们普遍接受的一种观点是局部破坏引起断层两盘整体突然滑动。因此，要想准确地震预报，必须了解断层出现局部破坏和整体滑动的物理过程，特别是它的演进过程。事实上，与地震孕育过程相关的问题，包括划分地震危险区，预报震中位置和临震预报，都与断层的局部破坏和整体滑动密切相关。因此，闭锁部位破坏和断层整体滑动的力学条件，自然成为解决预报地震问题的科学基础。1.3 地震的物理机制
持续的地质构造运动，使岩体产生显著的弹性变形，震区地壳积累大量弹性势能，在时间很短的地震过程内，一部分弹性势能迅速转变为地震波的动能。按照力学原理说明这个转变过程，就是所谓的地震物理机制。
人们对于地震物理机制的认识，经历了一个较长的时间和逐渐完善的过程。归根结底，理论来自实践，正确的认识，一定要与科学调查的事实相符，或者得到科学试验结果的检验。从20世纪初开始，最有说服力的要算弹性回跳学说，它由美国地震学家里德（H. F. Reid）首先提出。其主要依据是沿旧金山大地震发震断层两盘的岩体，存在6.4m长的位错。而且，在此断层的表面上，还有地震时两盘岩体往复错动的痕迹，这是弹性回跳学说最有力的论证。
弹性回跳学说可以归纳为几个要点：①地壳由包含断层在内的具有弹性的岩体构成；②这些断层及其附近的岩体，通过地壳构造运动，积累了大量的弹性势能；③岩体的应力达到强度极限，断层面破裂，两盘岩体突然相对滑动，产生弹性波；④地震后岩体回到无变形状态，弹性势能全部释放（作者注：只有部分弹性势能释放），形成地震。
20世纪60年代中期，根据在岩石标本试验过程中出现的粘滑（stick-slip）现象（起源于固体表面静摩擦力的最大值超过动摩擦［3］力），W. F. Brace和J. D. Byerlee提出了断层粘滑学说。持续不断的地壳构造运动，促使断层两盘分界面的摩擦力上升到它的最大值，促使断层局部破裂，发生宏观滑动。此时，断层面的摩擦力从它的最大值迅速降低到动摩擦力值，断层两盘岩体迅速释放弹性势能，产生地震波。同时，断层面上的动摩擦力要做负功，要消耗一部分弹性势能，这部分能量最终转变为热能。断层两盘分界面上的动摩擦力要阻止岩体滑动，断层两盘岩体保留住一部分弹性变形，使其不能释放。因此，发震断层两盘岩体释放的弹性势能，只是它在地震前储存的部分弹性势能。
每次大地震之后，各大板块继续运动，断层两盘岩体重新积累弹性势能，一旦达到断层破裂滑动的条件，该断层还要再次发生地震。但是与光滑接触面的岩石标本不同，断层两盘接触岩体呈犬牙交错状态，在断层两盘相对运动过程中，驱动力必须大到足以剪断彼此交错的岩体，特别是断层宏观滑动时，驱动力一定要超过断层两盘分界面的最大静摩擦力，要经过相当长时间的积累。这是地震危险区内的大地震周期发生的物理背景。
通过以上分析，综合考虑闭锁部位岩石破裂和断层粘滑两种物理因素的地震机制，称为破裂粘滑地震机制。
按照上述破裂粘滑地震机制，整个地震孕育过程被分为两个阶段，即地震孕育过程的前期和地震孕育过程的后期。
在地震孕育过程的前期，断层面上的静摩擦力低于它的最大值。此时，断层两盘接触面还存在许多不同尺度的彼此镶嵌着的凸出岩体，相邻地块挤压，促使断层面的剪力增长，新增的剪力由凸出岩体和断层分界面上的摩擦力共同承担。随着剪力不断增加，许多弱小的凸出岩体被逐个切断。每切断一个凸出岩体，都有一次较小的突然卸载（伴有微小的地震），同时，被卸下的载荷，主要由其他凸出岩体和断层面上的摩擦力共同承担。切断小凸出岩体的事件，一直进行下去，直到断层面摩擦力达到它的最大值为止。从断层开始活动（蠕动）起，直到断层面上的摩擦力达到其最大值为止，这段时间就是地震孕育过程的前期。
地震孕育过程的前期结束之后，立即进入地震孕育过程的后期。此时，断层面的静摩擦力已经达到它的最大值，不能再增大。只有强大的凸出岩体在阻止断层蠕滑，这个凸出岩体就是断层的闭锁部位。在相邻地块的挤压力作用下，断层两盘分界面新增加的剪力，全部由断层闭锁部位承担，这种状况一直维持到断层闭锁部位破裂为止，这段时间就是地震孕育过程的后期。
一旦地震孕育过程后期终结，断层闭锁部位破裂，立即爆发地震。此时，闭锁部位岩体破裂要产生突然的卸载，断层面的静摩擦力也从最大值降到动摩擦力值，也要产生突然的卸载。在闭锁部位破裂和断层滑动的极短时间内，这两种卸载产生冲击载荷，形成断层两盘分界面上方向相反的两个冲击力，在断层两盘岩体内激发起弹性波，并且在周围岩体内传播，这个在很短时间内完成的力学过程，就是浅源构造地震的破裂粘滑机制。
显然，同时考虑断层闭锁部位岩体破裂和断层面粘滑现象两种物理机制，要比单独考虑粘滑现象一种物理机制更全面、更真实。因为地壳内不会存在没有凸出岩体的平滑断层面，即使存在闭锁部位很小的断层，它的地震机制接近纯粘滑机制，也可以把它看作破裂粘滑机制的一个特殊情况。1.4 地震预报与力学
我国大陆地区强震的数目居世界首位。20世纪全球共发生三次8.5级以上特大地震，就有两次发生在我国境内，它们分别是1920年海原的8.6级地震和1950年西藏察隅的8.6级地震。某些稍低于8.0级的强震，它们的震中正好在城市内。例如，1976年的唐山7.8级地震，此次地震几乎摧毁了整座城市，造成的损失远比一些8.0级以上的强震还大。因此，准确预报大陆内部的地震，成为我国地震学界的重要任务。
从1966年的邢台地震开始，我国就开始研究地震预报，40多年来，我国广大的地震学者不仅参与了地震预报的实践，还进行震源物理和地震力学方面的理论研究，促使地震预报沿着理论与实践结合的道路前进，初步形成一套地震预报的程序和方法。然而地震预报是一项很难完成的科学难题，已有的进展离准确预报地震还很遥远。由于构造地震都发生在地壳深处，受到地质构造的控制，不同地区的地质构造相距甚远，目前又没有办法准确了解地壳深部的构造情况，难以准确地预报地震，必须坚持长期开展地震预报研究。人们研究任何问题，都应该实事求是，对于地震预报的研究也不能例外。所谓“实事”，就是查清震区的地质构造；所谓“求是”，就是研究断层破坏滑动的条件，这就需要解决许多相关的力学问题。本书专门探讨地震预报的力学问题，采用的方法是针对具体问题构成简化力学模型，建立此模型的微分方程，通过分析研究，最终找到一些有理论意义和应用价值的定性结论。1.5 全书简介
本书名为“地震预报的力学问题”，应该包括中长期预报、短期预报和临震预报的主要力学问题，包括划分地震危险区、寻找未来地震的震中位置、估计未来地震的震级以及临震预报相关的一些力学问题。全书内容分为6章，在引论之后的第2章，首先建立了震区地块整体运动的简化力学模型，它由滑块、弹簧和阻尼器组成，滑块承受冲击载荷的作用，冲击载荷来自断层闭锁部位破裂和断层面的粘滑造成的断层面的突然卸载。然后利用相平面分析和数值分析，取得定性的结果，后者不仅能够解释里德（H. F. Reid）提出的弹性回跳学说，还能导出计算地震波能量的近似公式，给预报未来地震的震级提供一条新的途径。
第3章建立划分地震危险区的两种力学方法。首先，提出震区平均应力场的概念。以此为基础，用三维应力圆图的应力点表示断层面应力与断层方位角的关系。再用库仑强度准则，建立断层滑动的力学条件。对于大倾角平移断层而言，要求发震断层的走向与震区最大主应力方向的夹角足够小，而且，断层面的剪应力还要足够大。然后，运用经典力学理论，研究力学系统内摩擦力产生的自锁现象，建立研究断层自锁问题的力学模型。分析研究结果表明，断层进入自锁状态和脱离自锁状态，对震区最大主应力的方向和它的数值都有明确的要求。最后，比较上述两种力学方法导出的大倾角平移断层剪切破裂的力学条件和脱离自锁的力学条件，以及小倾角逆冲断层剪切破裂和脱离自锁的两种力学条件，结果表明，这两种力学方法导出的结果非常接近，从而使这两种力学方法得到相互验证，提高了利用它们判别断层能否滑动的可信度。
第4章提出预报未来地震的震中位置的新方法。既然断层闭锁部位破裂就要发生地震，未来地震的震中应该定在断层闭锁部位的上方。为了确定断层闭锁部位的位置，运用弹性力学理论建立了两个简化力学模型，分别用于确定地震孕育过程后期大倾角平移断层闭锁部位附近断层位错的分布规律，以及闭锁部位周围应力增量的主方向的分布规律。根据理论分析的结果，得到寻找闭锁部位地点和估计未来地震震中位置的方法。第4章还研究了高压条件下岩石微裂缝扩展的力学条件和岩石体积膨胀与当地剪应力的关系，分别论述扩容现象增强与小倾角逆冲断层和大倾角平移断层的地震危险的关系，得到一些定性结论。按照这些结论，根据岩体扩容和地壳隆起现象增强，就能预报小倾角逆冲断层的地震。至于大倾角平移断层，只是依靠岩体扩容和地壳隆起现象，还不能断定此类断层的地震危险性增加。综合以上分析结果，给出预报未来地震震中位置的具体方法。最后根据震前闭锁部位周围的应力场和地震时震中区的地面运动形态，深入讨论双力偶震源模式存在的几个问题。
第5章研究预报平移地震震级的方法。根据第2章建立的地块整体运动的力学模型，导出地震前震区地块积累的弹性势能的解析式，从其中减去震后地块保留的弹性势能和断层滑动时摩擦力做负功消耗的能量，余下部分就是地震波能量的近似表达式，可以用它估计未来地震的震级。因此，进行野外地质调查之后，获得发震断层的有关参数，就能利用这个公式计算地震波的能量，进而估计大倾角平移断层地震的震级。关于小倾角逆冲断层地震的震级，只是进行了粗浅的讨论。
第6章专门探讨临震预报问题。6.1节简要地介绍几个震源体力学模型。6.2节说明各种地震前兆现象，并按不同标准分类，不同类型的前兆现象分别适用于中长期预报和临震预报。6.3节根据浅源构造地震发震必须具备的条件，提出全息前兆和非全息前兆概念，指出目前采用的地震前兆现象大都是非全息前兆。一般情况下，不能依靠一种非全息前兆确定地震的危险性，但在特殊情况下，可以根据一种非全息前兆预报地震。6.4节探讨临震预报问题。按照力学原理预报地震有两个先决条件。为此，需要结合地质构造条件建立相应的震源体力学模型，计算出各类预期的前兆变化曲线。同时，还要从收集到的前兆信息中除去干扰信息，得到真正的前兆变化曲线。通过比较这两种前兆变化曲线几何形态，找到两种曲线形态的相似点，或者，真正的前兆变化曲线出现突变，都可以作为临震预报的依据。6.5节研究余震预报方法。根据群体事件服从其固有的统计规律，探讨b值预报方法的力学机理，指出同一个地区的b值取决于当地的应力强度，以其作为b值预报地震的物理基础，给出按照b值演变过程预报强余震的具体方法。
书末附加了简短的“后记”，汇集本书提出的几个新观点和新结果。如果读者想迅速了解本书的主要内容，可以先阅读书末的“后记”。第2章地块整体运动的力学模型
分析震区内岩体的应力和建立断层闭锁部位破裂的力学条件，必须把岩体简化为具有变形能力的固体。岩体由不同尺度的多晶体颗粒构成，内部充满不连续的分界面，大至断层，小至节理，是一种典型的非均匀非连续介质，有关的力学问题很难分析，通常将其简化成均匀连续的固体。即便如此，它的数学模型仍然是一个偏微分方程组，或者是一个混合型微分方程组。在研究某个具体问题时，再按照问题的边界条件建立相应的定解方程。在研究动态问题时，还要给定描述初始状态的时间函数。因此，一般情况不能得到具体问题的解析解，只能运用数值分析方法，寻找某个问题的数值解。本书研究具体的地震问题时，仅考虑对具体问题起决定作用的因素，建立高度简化的力学模型，往往能够得到有意义的解析结果。本章研究的震区地块的整体运动，就是其中的一个例子。其实，研究震区地块的整体运动，不同于研究地壳的变形运动，无需建立固体力学模型，可以选用刚体力学模型，与其相应的运动方程是常微分方程，可以用相平面分析法，也可以用数值分析法。分析地震时震区地块的整体运动，得到的结果与实际观测到的震区地块运动能够定性符合。不仅能对里德早先提出的弹性回跳学说作出理论解释，而且，还可以构成地震波能量的计算公式，找到震区地块与其相关的参数，计算出未来地震的地震波能量，根据地震波能量就能够估计未来地震的震级，提供了一种预报地震震级的方法。2.1 平移断层地震地块整体运动的力学模型
我国大陆东部地区的地震，多数是大倾角平移断层滑动产生的浅源构造地震，1976年的唐山7.8级地震，便是其中的一例。与小倾角逆冲断层地震相比，此类地震的地块整体运动更容易分析。因此，本节建立大倾角平移断层地震地块整体运动的力学模型，并且进行详细的理论分析。至于逆冲断层地震的地块整体运动，它的力学模型要复杂一些，放在最后一节单独研究。
首先，在大倾角平移断层两盘地块内，切出两个形状相同的长方体地块，令其厚度等于地壳的厚度h，长度等于发震断层破裂带的长度l，且令这两个长方地块的宽度都是l/2，又设地壳岩体的平均密度为ρ，每个地块的质量则可写成
在两地块的分界面上，存在沿着水平方向作用的挤压力，可以将它们分解成相互垂直的4个分力：P，W，-P和-W。当断层两盘之间出现滑动趋势时，分界面上立即产生阻止两盘相对滑动的一对摩擦力，二者大小相等、方向相反。同时，在断层闭锁部位内，出现抵抗岩体变形的内聚力，它们也要阻止断层两盘岩体相对滑动。运用固体力学的截面法，将闭锁部位岩体沿断层面切开，固体的内力就转变成作用在两个长方地块上的两个外力。这两个外力的大小相等、方向相反。它们与分界面上的两个摩擦力合成，形成大小相等、方向相反的一对外力：F和-F，如图2.1所示。
发生地震时，震区地块沿断层面破裂，原先的一对内力F和-F，就可以看成作用在两个地块上的两个外力。在地震学中，它们被称为地震的内力源。如果用F和-F作为地震的内力源，这样的震源模式就是双剪力震源模式。图2.1 平移断层两侧地块的外力和内力图2.2 地震前平移断层两侧地块的内力
在地震前，断层还没有破裂，此时，两个长方地块可以看作一个整体，其上面的所有外力（未表示于图2.2中）使这个整体处于平衡状态，这些外力当然是一个平衡力系。按照静力平衡原理：在处于平衡状态的刚体上，增加一个平衡力系或者减少一个平衡力系，其平衡状态不会改变。
根据上述力学原理，在处于平衡状态的整个地块上，取走所有的外力，就只剩下相互平衡的一对内力F和-F，如图2.2所示，整个地块仍然处于平衡状态。一旦发生地震，震区地块断层面突然破裂，分为两个长方体地块。上述两个外力（F和-F）分别作用在两个长方体地块上，促使两个地块作方向相反的运动，后者就是发震断层两盘的整体运动。
在地震前，持续进行的板块运动，使震区地块受到强烈的挤压，通过弹性变形，不断积累弹性势能。若用等效弹簧描述地块弹性变形的能力，设等效弹簧的刚度系数为k，地块变形产生的整体位移为u，则可将震区地块储存的弹性势能写成
在地震过程中，断层面上的动摩擦力一直阻止地块运动。地震结束时，动摩擦力与等效弹簧力保持平衡，断层两盘岩体保留了与动摩擦力数值相应的位错量，使震区地块保留住一部分弹性势能。地震过程中震区地块释放出的弹性势能，可以分为两部分：一部分消耗于断层面动摩擦力所做的负功，最终转变成为热能；另一部分转化为地震波能量，后者在岩体内传播。地震波的能量也可以分为两部分：大部分地震波能量被岩体固有的阻尼耗散掉，也转变成为热能；少部分地震波能量被用于破坏地面的建筑物，造成震害。在弹性波传播过程中，消耗岩体动能的机制称为辐射阻尼，可以用等效的阻尼器表示它产生的作用，如图2.3所示，它的特性常数c被称为辐射阻尼系数。
为了定量描述辐射阻尼作用，通常采用瑞利（J. W. S. Rayleigh）提出的假设：在介质变形运动过程中，被耗散掉的动能与其运动速度平方值成比例。按照瑞利假设，可将地震波能量E的解析式写成3
式中，c为辐射阻尼系数；为震区地块的整体运动速度。
发生地震的瞬时，闭锁部位岩体的内聚力突然消失，它给断层两盘岩体的作用相当于在其上施加一对冲击力，促使断层两盘岩体的分界面相对滑动。此时，断层面上的静摩擦力从它的最大值迅速降到动摩擦力值，摩擦力突然下降，也给断层两盘岩体施加一对冲击力。这两对冲击力的方向一致，合成为两个合力，分别作用在断层两盘岩体的分界面上，就是地震时断层的破裂滑动卸载。
按照以上分析，破裂滑动卸载包含两个分量：①闭锁部位破裂产生的破裂卸载，被记作F；②断层面静摩擦力从它的最大值F降至动1s摩擦力值F，产生的粘滑卸载，被记作F因此，有d2
发生地震时，作用在断层两盘岩体分界面的破裂滑动卸载
式中，粘滑卸载F与断层面的压力成比例。若令断层面的平均正2应力为σ，断层面的静摩擦系数为f，动摩擦系数为f，断层面的面积sd为S，粘滑卸载F则写成2
图2.3（a）和（b）所示的力学模型是用两个滑块描述断层两盘岩体的惯性，在其运动过程中，两个滑块的运动方向相反，运动规律相同。因此，只需分析其中一个滑块的运动。为不失一般性，下面选用图2.3（b）作为大倾角平移断层地震的地块整体运动的力学模型，称为大倾角平移断层地震的滑块—弹簧—阻尼—冲击—摩擦模型。图2.3 大倾角平移断层地震的滑块—弹簧一阻尼—冲击—摩擦模型
按照以上分析，从断层闭锁部位破裂开始，地震时震区地块的整体运动被分为两个阶段：冲击作用阶段和运动衰减阶段。
发生地震的瞬间，断层两盘地块分别受到方向相反的冲击力Fx和-F的作用。此时，表示断层两盘岩体惯性的两个滑块，在极短的x时间内获得大小相等、方向相反的速度。然后，在摩擦力和辐射阻尼共同作用下，震区地块的整体运动不断衰减。断层两盘岩体还受到弹性恢复力的作用，断层两盘地块的运动是衰减振动，取决于冲击力的大小。常见的震区地块运动有以下三种类型：（1）地块的初始速度较小，只能向前运动一次，就不再回跳，此种地震称为无回跳地震；（2）地块的初始速度较大，经过一次回跳，地块就停止运动，此种地震称为一次回跳地震；（3）地块的初始速度很大，经过两次回跳，地块才能停止运动，此种地震称为二次回跳地震。
研究上述三种类型的地块整体运动，需要按照图2.3（b）所示力学模型，建立其运动微分方程，利用相平面法和必要的数值计算，保证获得达到模型精度的结果。为此，先要确定断层宏观滑动开始时刻滑块的速度。2.2 断层破裂滑动冲击后震区地块的速度
图2.3（b）中的力学模型，代表断层两盘岩体惯性的滑块受冲击力F作用后，运动速度急剧地变化。为了找到冲击后滑块速度的增量，x必须建立力学模型的运动方程，再进行定量分析。
首先，要将断层的破裂粘滑卸载简化为一个瞬时冲击力，再用脉冲函数描述它的变化规律。按照图2.3（b）所示力学模型，利用牛顿定律，写出其运动方程
式中，u为滑块的位移；m为滑块的质量；c为等效阻尼器的阻尼系数；k为等效弹簧的刚度系数；F为破裂粘滑卸载的数值，p（t）x为单位脉冲函数；F为断层面动摩擦力的数值；为以滑块速d度为变量的单位符号函数。
引入下列无量纲参数
将运动微分方程（2.6）无量纲化，得到无量纲的二阶微分方程
式中，x′和x″分别为无量纲位移x对无量纲时间t′的一阶导数和二阶导数，p（t′）是以无量纲时间t′为变量的单位脉冲函数，其中的无量纲常数b和e分别为
然后，对微分方程（2.8）进行拉普拉斯变换，得到代数方程
根据上式，写出无量纲位移x（t′）拉普拉斯变换的像函数
和无因速度x′（t′）拉普拉斯变换的像函数
利用拉普拉斯变换的初值定理，就能导出破裂粘滑卸载冲击后滑块的初速度
最后，利用变换式（2.7），将无量纲初速度x′（0）变换为真实的初速度
滑块获得初速度后，在动摩擦力、辐射阻尼力和弹性恢复力共同作用下，进行衰减运动。与此相应，震区地块的整体运动进入第二阶段。2.3 地块整体运动的相平面分析
方程（2.8）是一个二阶非线性方程，其中的符号函数属于分段线性函数。因此，可以利用相平面法，研究地块整体运动的变化规律［3］
。2.3.1 滑块运动的相轨迹
首先，按照方程（2.8），写出破裂粘滑卸载冲击之后滑块向前运动的方程
式中，x′是无量纲速度；sgn（x′）是以x′为变量的符号函数。
其次，引入状态变量
并且，选用状态变量x和y，作为坐标轴，建立相平面。再将二阶方程（2.15）分解为两个等价的一阶方程
式（2.16）和式（2.17）相除，得到定义相轨迹曲线的一阶微分方程
对应于不同的初始速度，该方程定义相平面（x，y）内的一族积分曲线，就是描述震区地块各种运动的相轨迹。发生地震时，在不同强度的冲击力作用下，震区地块的整体运动由这一族积分曲线描述。
最后，选择任意一个初始相点P（x，y），将微分方程（2.18）000积分，得到从P点出发并以平衡点（-be，0）作为焦点的一条对数螺0［4］线。从不同初始相点出发的相轨迹构成一族对数螺线，表示这一［4］族对数螺线的超越方程为
式中，C为取决于初始相点P（x，y）坐标值x和y的任意积100000分常数。2.3.2 滑块运动的相平面
首先，用无量纲形式的位移和速度作为相平面的两个坐标，如图2.4所示。有摩擦的力学系统的平衡位置不是一个孤立点，而是x轴上的一个区间，因此，在位移坐标轴上存在4个特征点：A（-e，0），B（-be，0），C（be，0）和D（e，0）。其中，B点和C点是分别吸引两组不同相轨迹的焦点；A点和D点间的区间（e，-e），便成为该系统的平衡区间。一旦滑块运动的状态点到达此区间内，由于弹簧恢复力小于静摩擦力，滑块运动就要停止。因此，A点和D点之间的闭区间（-e，e），是由全体相轨迹终点构成的一个平衡点集。
其次，利用式（2.13），计算破裂粘滑冲击力作用后滑块的初始速度，它的数值等于e，由它确定相轨迹初始相点P（-be，e）的位0置。
然后，按照方程（2.19）进行数值计算，绘制出从初始相点P出0发的相轨迹，后者乃是以B（-be，0）为焦点的一条对数螺线，与x轴的交点为P（x，0）。取决于交点坐标x数值的大小，整条相轨迹111曲线的段数也不相同，三种常见的相图分别表述于后。
第一种相图：代表滑块的初始速度较小的情况，P点离x轴不远，0相轨迹与位移轴的交点P位于D（e，0）点的左侧，如图2.4（a）所1示。当滑块运动到P点时，滑块上的弹簧恢复力小于静摩擦力，它1的运动已经停止。与此相应，滑块位移的时间历程曲线x（t′）表示于图2.4（b），滑块不再往回运动。与此相应，断层两盘岩体不能回跳，图2.4描述这种无回跳地震的震区地块整体运动。图2.4 无回跳地震震区地块的整体运动
第二种相图：代表滑块的初速度较大的情况，相点P离x轴较远，0相轨迹与位移轴的交点P（x，0）位于D点的右侧，如图2.5所示。11当滑块运动到P点时，滑块上的弹簧恢复力大于静摩擦力的最大1值，滑块要向相反方向滑动。由于运动速度方向改变，滑块上的动摩擦力的方向跟着改变，运动方程（2.15）中相轨迹方程（2.18）中sgn（y）项前面的符号随之改变。与此相应，相轨迹方程（2.19）中［4］be项前面的符号也要改变，这一族相轨迹线曲线的超越方程为
式（2.20）表明，相轨迹是以C（be，0）点为焦点的一族对数螺线。如果滑块的初速度不是过分大，初始相点P离开x轴不是太远，0虽然P点在D点右侧，但是第二段相轨迹与位移轴的交点P（x，0）122在A点的右侧，如图2.5（a）所示。此时，弹簧恢复力已小于静摩擦力的最大值，滑块运动已经停止，位移的时间历程曲线表示于图
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