作者：圣才电子书
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2016年下半年全国统考教师资格考试《数学学科知识与教学能力》（高级中学）复习全书【核心讲义＋历年真题详解】试读：
模块一 备考指南
第1章 全国统考教师资格考试《数学学科知识与教学能力》（高级中学）大纲
一、考试目标
1．数学学科知识的掌握和运用。掌握大学本科数学专业基础课程的知识和高中数学知识。具有在高中数学教学实践中综合而有效地运用这些知识的能力。
2．高中数学课程知识的掌握和运用。理解高中数学课程的性质、基本理念和目标，熟悉《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课标》）规定的教学内容和要求。
3．数学教学知识的掌握和应用。理解有关的数学教学知识，具有教学设计、教学实施和教学评价的能力。
二、考试内容模块与要求（一）学科知识
数学学科知识包括大学本科数学专业基础课程和高中课程中的数学知识。
1．大学本科数学专业基础课程的知识是指：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学课程中与中学数学密切相关的内容，包括数列极限、函数极限、连续函数、一元函数微积分、向量及其运算、矩阵与变换等内容及概率与数理统计的基础知识。
其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。
2．高中数学知识是指《课标》中所规定的必修课全部内容、选修课中的系列1、2的内容以及选修3-1（数学史选讲），选修4-1（几何证明选讲）、选修4-2（矩阵与变换）、选修4-4（坐标系与参数方程）、选修4-5（不等式选讲）。
其内容要求是：理解高中数学中的重要概念，掌握高中数学中的重要公式、定理、法则等知识，掌握中学数学中常见的思想方法，具有空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力以及综合运用能力。（二）课程知识
1．了解高中数学课程的性质、基本理念和目标。
2．熟悉《课标》所规定教学内容的知识体系，掌握《课标》对教学内容的要求。
3．了解《课标》各模块知识编排的特点。
4．能运用《课标》指导自己的数学教学实践。（三）教学知识
1．了解包括备课、课堂教学、作业批改与考试、数学课外活动、数学教学评价等基本环节的教学过程。
2．掌握讲授法、讨论法、自学辅导法、发现法等常见的数学教学方法。
3．掌握概念教学、命题教学等数学教学知识的基本内容。
4．掌握合作学习、探究学习、自主学习等中学数学学习方式。
5．掌握数学教学评价的基本知识和方法。（四）教学技能
1．教学设计（1）能够根据学生已有的知识水平和数学学习经验，准确把握所教内容与学生已学知识的联系。（2）能够根据《课标》的要求和学生的认知特征确定教学目标、教学重点和难点。（3）能正确把握数学教学内容，揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，渗透数学思想方法，体现应用与创新意识。（4）能选择适当的教学方法和手段，合理安排教学过程和教学内容，在规定的时间内完成所选教学内容的教案设计。
2．教学实施（1）能创设合理的数学教学情境，激发学生的数学学习兴趣，引导学生自主探索、猜想和合作交流。（2）能依据数学学科特点和学生的认知特征，恰当地运用教学方法和手段，有效地进行数学课堂教学。（3）能结合具体数学教学情境，正确处理数学教学中的各种问题。
3．教学评价（1）能采用不同的方式和方法，对学生知识与技能、过程与方法和情感、态度与价值观等方面进行恰当地评价。（2）能对教师数学教学过程进行评价。（3）能够通过教学评价改进教学和促进学生的发展。
三、试卷结构模 块比 例题 型单项选择题学科知识41%简 答 题解 答 题单项选择题课程知识18%简 答 题论 述 题单项选择题教学知识8%简 答 题案例分析题教学技能33%教学设计题单项选择题：约27%合 计100%非选择题： 约73%
四、题型示例（一）单项选择题1．函数 在 上是（ ）
A．单调增函数
B．单调减函数
C．上凸函数
D．下凸函数
2．在高中数学教学中，课堂小结的方式多种多样。有一种常见的小结方式是：结合板书内容梳理本课教学重点和难点的学习思路，同时提醒学生课下复习其中的要点。这种小结方式的作用在于（ ）
A．升华情感，引起共鸣
B．点评议论，提高认识
C．巧设悬念，激发兴趣
D．总结回顾，强化记忆
3．在高等代数中，有一种线性变换叫做正交变换，即不改变任意两点距离的变换。下列变换中不是正交变换的是
A．平移变换
B．旋转变换
C．反射变换
D．相似变换（二）简答题
1．根据下图编一道函数的应用问题
2．一位教师讲了一堂公开课《函数》，多数听课教师认为他讲出了函数概念的本质，但课堂教学有效性不足，突出表现在课堂提问方面。你认为应注意哪些问题才能提高课堂提问的有效性（请结合自己对《函数》的教学设想来谈）？（三）解答题
已知0<，试证：（四）论述题
在必修模块中，将平面解析几何内容放在函数与立体几何之后，对这种安排谈谈你的看法。（五）案例分析题
阅读下列两个对于
不等式的教学活动设计，然后回答问题。
设计1：活动（1）让学生分别取a,b为具体数值，检验该不等式是否成立。
活动（2）讨论： ， , 的几何意义。
讨论（1）：三个图形的关系：
讨论（2）：该不等式何时等号成立，何时不等号成立？
活动（3）不等式的严格证明
讨论（3）：若有三个数：a>0,b>0,c>0,是否会有一个什么相应的不等式？
设计2：
活动：学生分组讨论不等式 的证明方法。
学生分组展示，讨论。
请回答如下问题：（1）分析设计1的教学设计意图。（2）结合本案例分析合情推理与演绎推理的关系，简述教学过程中如何引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程。（3）对比分析两个教学设计的理念。（六）教学设计题
就高中数学“人教版教材”必修1第一单元中的函数概念第一课时的内容，设计一个教学方案（将提供教材内容）。
第2章 全国统考教师资格考试《数学学科知识与教学能力》（高级中学）备考技巧
一、做好复习笔记
教师资格考试的内容很多，考试所涉及的知识点几乎遍及教材各有关章节，学科知识中还有部分是超出教材范围的，而且题型变化较多，要记忆全部内容，显然是不可能完成的。因此在平常的复习时，一定要善于把握重点，讲究方法，最好能养成做笔记的习惯，这样不但可以提高学习效率，还可以巩固知识，做好应试准备。
1．对教材中的重点内容做摘要笔记，概括其要点，提纲挈领，提炼出全书的内容和逻辑结构，同时，还要结合教材的详细内容，举一反三，以考试大纲为依据，认真研读，做到真正吃透，这样才能把握教材的脉络，抓住重点。
2．在教材的相应位置做好眉批笔记，可圈可点，可增可减，边看边做。这一过程既是读书的过程，也是记忆的过程。
3．对所学内容做好心得笔记。根据学习过程中产生的思考、对比、分析、体会等随手记下来，对于提高学习效率大有裨益。
二、制定复习计划
古人云：温故而知新。复习是中学生掌握知识的重要环节，通过复习可以强化记忆，加深理解。因此，制定一个适宜的复习计划，严格规定每天的作息时间是非常必要的。制定一个良好的复习计划，要做到以下几点：
1．掌握学习的一般规律。以背资料为例，背资料要长期背才能记住，短期背大量信息是很难记住的，这也是为什么很多同学第一天猛背，第二天几乎忘得一干二净然后埋怨自己笨的原因。“少而精”是人类大脑记忆信息的方式。世界最新记忆科学研究再次证实，即使短期记忆也遵循“少而精”的原则。一旦违背了这种原则，那么复习计划自然难以奏效。
2．复习任务要明确。复习过程中，一定要提出明确目的和要求，如今天晚上记忆15个生字，明天下午熟记一篇文章。有了明确的复习目的，会使大脑细胞处于活跃状态，注意力高度集中，对外界信息反应敏捷，记忆清楚。实验表明，围绕目的和要求，集中注意力阅读两遍材料，比随随便便读10次的记忆效果要好得多。在复习某些材料时，应抱有“下决心记住，执意不忘”的目的与想法。当然，也不能急于求成，贪多求快。
3．运用正确的复习方法。比如分散复习法，将复习分配在几天、几周内，分段去完成复习任务；又比如交叉复习法，将语文学科知识部分与教学部分交叉起来复习，避免过度劳累等。
三、掌握考试技巧
考试技巧是考生有能力驾驭考试的表现，它能帮助考生在面对规律性题目是应对自如，发挥出超常水平。因此，了解考试的技巧，并在日常练习中反复使用，能有效地提升考生的信心与实力，尽早适应考试的节奏。
1．考前准备
考试前一天，去熟悉一下考场环境，将考试必需品（包括准考证、身份证、钢笔、圆珠笔、橡皮、尺子等）集中到一起，以免赶考时忘掉，同时要记得考点地址、自己的考场号、座位号，做好各种应急准备，以免出现不应有的差错导致迟到而影响考试情绪。
2．稳定情绪
进入考场以后，首先要稳定情绪，认真填写卷头，检查试卷印刷质量，如遇不清、错印、漏印、破损等情况，举手报告监考老师。
3．审明题意，弄清答题方向
审题对于回答各类试题都是十分重要的。在正式答题前，要仔细地逐字逐句地搞清题目的含义，尤其是对那些意思相近的词或字的不同含义，要从题目本身获得尽可能多的信息，弄清题意后，确定答题方向，再认真按要求作答。
4．答题要规范、条理分明、重点突出
对主观题型，切忌动笔就写，信口开河。应在答题前理出思路，拟定一个结论性的要点，然后才动笔作答，避免东拉西扯，不着边际，得不到分数却白白浪费了宝贵的时间。
答题时，注意规范和条理，答案要准确、简洁、明了，并注意逻辑顺序。
书写也要规范，不可用网络字，忌潦草、勾勾划划，保持卷面整洁。
5．先易后难，尽量少留空白
本着先易后难的顺序，保证时间的合理分配。容易的题目先把分数拿到手，做完整个试卷后再回头将难题攻克，不轻易放弃是拿高分的关键，能解几步就写几步，争取分步得分。但注意不要仅仅为了填充空白而漫无边际乱写一通（胡乱作答，会影响判卷老师对你的水平的判断且浪费时间）。
6．认真检查，确保无误（1）认真检查答案是否符合题目要求；（2）字母、符号是否准确无误；（3）计算结果是否正确；（4）整个试卷是否有会做而忘了做的漏题，等等。
在确信万无一失的情况下交卷，以保证较高的成功率。
模块二 核心讲义
第一部分 学科知识
第1章 数学学科基础知识（上）
1.1 考纲解读
数学学科知识包括大学本科数学专业基础课程和高中课程中的数学知识。
1．大学本科数学专业基础课程的知识是指：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学课程中与中学数学密切相关的内容，包括数列极限、函数极限、连续函数、一元函数微积分、向量及其运算、矩阵与变换等内容及概率与数理统计的基础知识。
其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。
2．高中数学知识是指《课标》中所规定的必修课全部内容、选修课中的系列1、2的内容以及选修3-1（数学史选讲），选修4-1（几何证明选讲）、选修4-2（矩阵与变换）、选修4-4（坐标系与参数方程）、选修4-5（不等式选讲）。
其内容要求是：理解高中数学中的重要概念，掌握高中数学中的重要公式、定理、法则等知识，掌握中学数学中常见的思想方法，具有空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力以及综合运用能力。
1.2 核心讲义
一、函数概念及其性质（一）中小学数学课程中函数概念形成的基本脉络
1．量、数量与数（1）数、量、图、数据（一批数）是引导儿童进入数学的源泉。（2）映射f是集合A到集合B的单值对应关系，即对于集合A中的每一个元素a，根据对应关系f，在集合B中有唯一元素f（a）与之对应，这样的对应f称为映射。（3）函数是实数集合到实数集合的映射。对函数与映射的认识与理解是相辅相成的。
2．量与单位（1）“量”指一般意义的量，不仅包括前面讨论的离散的量，也包括如长度、时间、质量、温度、电阻等，同种量可相互比较大小。（2）“单位”是度量“量”大小的出发点，对于一个量确定了一种单位，就建立了这种量与实数（整数、自然数）的一个映射——一种对应关系。
3．建立量与量的关系—小学数学中的两个基本模型（1）两个基本模型：总价=单价x数量、路程=速度X时间。（2）这两个模型一个是离散的经济模型，一个是连续的物理模型，在大学数学学习中，它们仍然是基本的模型。
4．正、反比例关系——关系概念的形成
从具体到抽象是数学发展规律，通过对实际的模型，抽象反映出一般的量与量的反比例关系，初步形成量与量之间关系概念，对于学生认识和理解函数起着十分重要的作用。
5．常量与变量（1）常量
在具体的情境中，有些量是不变的，例如，在匀速运动中，速度是不变的，通常把这种量称为常量。（2）变量
有些量可以取不同的数值，是变化的，通常称为变量。
6．变量之间的依赖关系——函数概念及图像（1）在一些情境中，可以有很多变量，有些变量之间存在着依赖关系。（2）一个变量的变化引起另一个变量的变化，把这种具有相互依赖的变量关系称为函数关系。（3）变量与变量之间的依赖关系，揭示了函数的本质，即反映函数是描述变化的。
7．函数模型初步——几类重要的函数（1）正比例函数；（2）一次函数（线性函数）；（3）反比例函数；（4）一元二次函数；（5）简单分段函数。
8．函数概念的再认识——三个维度（1）变化角度——变量关系；（2）整体角度——函数图像；（3）映射角度——建立两类事物间的对应关系。
9．函数模型的再认识——基本初等函数
简单幂函数（特别是整数幂函数）、指数函数、对数函数、三角函数是基本函数，又称为基本初等函数。
10．函数应用（1）在研究数学问题方面的应用。（2）用函数思想解决其他学科问题，如物理、化学、生物中的问题。
在用函数解决问题时，有三个基本层次：
①能用学过的函数知识描述问题；
②用学过的函数模型直接解决问题；
③经历使用函数进行数学建模的过程，体会数学建模的思想和基本过程。（二）认识函数概念的三个维度
1．变化角度——变量关系
这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征，即当一个变量取定一个值时，依赖于这个变量的另一个变量有唯一确定的值。
2．整体角度——函数图像（1）函数关系是平面上点的集合，又可以看作平面上的一个“图形”。研究函数就是研究曲线的性质，研究曲线的变化。（2）在讨论函数问题时，帮助学生养成画函数图像习惯，并且用函数图像思考问题。
3．映射角度——对应关系（1）函数是联结两类对象的桥梁，即通常说的映射关系。（2）这是用映射的观点理解函数，它反映两个数集之间的关系，在两个数集之间架起了一座桥梁。
4．综合的认识（三）函数的基本性质
1．单调性是中学最重要的函数性质（1）第一阶段
依函数图像直观地感受单调性，理解单调性的定义及在研究函数中的作用。（2）第二阶段
①理解导数与单调性的联系；
②用单调性判断导数的符号。
2．周期性
周期性反映了函数变化周而复始的规律。在高中数学课程中，只讨论基本的具体三角函数的周期性，例如，正弦、余弦、正切函数的周期性。
3．对称性（奇偶性）（1）对称性是反映函数特点的基本性质。（2）偶函数的图像是关于y轴对称的。（3）奇函数的图像是关于原点对称的。
4．函数性质的综合认识（1）函数的学习一定要在头脑中建立起几个重要的模型。（2）函数的教学一定要突出函数图形的地位（3）函数是刻画客观世界的一个基本数学模型（4）在学习与函数知识有关的内容时，理解函数思想。
二、基本初等函数及函数的分类（一）基本初等函数
1．幂函数和整数幂函数
幂函数是基本初等函数，在幂函数中，最重要的是整数幂函数，以及由它们拓展的多项式函数，即
。（1）在微积分的学习中，微分是最重要的概念之一
①微分是一个可导函数在一点的线性主部，线性主部就是一个一次函数（线性函数），即，一方面，函数的微分dy与自变量的改变量（也称为自变量微分）成正比例，其中比例系数k是这一点函数的导数。
②函数的微分dy与函数的改变量之差是自变量微分dx的高阶无穷小，即函数的微分dy可以近似表示函数的变化，称之为“以直代曲”。（2）整数幂函数对研究“好函数”有重要作用
①在微积分学习中，研究的主要函数类是具有任意阶导数的函数，称之为“好函数”。
②幂函数以及所有基本初等函数都是“好函数”，并且，初等函数拓展的所有初等函数也都是“好函数”。
2．指数爆炸——指数函数和对数函数（1）指数函数、对数函数本身都是重要的函数，在刻画自然规律时，它们是用得最多的函数，也是最基本的函数；同时，它们是“好函数”，它们具有任意阶导数。（2）指数函数、对数函数在描述变化快慢发挥着基本作用。
3．周期变化——三角函数（1）三角函数也是最基本的周期函数，可以帮助学生更好地理解周期函数；（2）三角函数也都是好的函数，具有任意阶导数；（3）三角函数的代数和可以用来表示更多的函数。（二）运算与初等函数
1．四则运算与初等函数
根据函数的定义，y=f（x）±g（x）、y=f（x）g（x）、y=（g（x）≠0）还是函数。
2．函数复合与初等函数（1）设有两个函数y=f（u），u=g（x），它们的定义域分别是D和E；它们的值域分别是f（D）和g（E），记D*=g（E）∩D，若D*≠，-1则记E*=g（D*）；（2）通过函数f可以在f（D）内找到y=f（u），将所有这样的f（u）记为f（D*）。这就确定了一个定义在E*上的函数，记作y=（fg）（x），x∈E*，即y=（fg）（x）=f（g（x）），x∈E*，称之为函数，和g的复合函数。（3）图1-1-l表示两个函数是如何构造一个新函数的。
3．反函数与初等函数（1）反函数的定义
①若y=f（x）是一个函数，其定义域为D，值域为，设E*为值域。*
②f（D）的一个子集，且对任意y∈E，在D中有唯一的x满足y=f（x），可以根据y=f（x）得到一个新的函数，记作，称它为函数y=f（x）的一个反函数，它的定义域是E*，值域是。
③如果，通常把称作y=f（x）的反函数。（2）对于连续函数来说，有反函数的充分必要条件是：是严格单调的。
4．有限次运算与初等函数
四则运算、复合、求反函数是构造新的函数的手段，这些手段称为构造新的函数运算，基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算得到的新函数类称之为初等函数。（三）极限与一般函数
1．极限的各种形式（1）数列极限
①数列与一个实数的关系：设为数列，为定数。
②若对任给的定数，总存在正整数N，使得当n>N时有，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作，或（n+∞），读作“当n趋于无穷大时，的极限等于或趋于”。
③从数列极限的定义中可知，一个收敛的数列可以与一个实数对应，通过一个数列就可以找到一个实数，如果把数列中的数换成函数，就可以利用同样的方法构造出一个函数。（2）导数——特殊的极限
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