作者：[法] 杰罗姆·科唐索
出版社：人民邮电出版社
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数学也荒唐：20个脑洞大开的数学趣题试读：
前言
数学有什么用？
从事数学工作的人总被问起：数学有什么用？不管是学者、教授、学生还是普通的爱好者，总得为自己喜欢数学找个理由。有些人问得还算坦诚，比如：“代数是用来做什么的？”或者：“统计还有点用处，但我真不知道函数能有什么用。”有些人则略带嘲讽：“我真搞不懂数学，这玩意儿什么用也没有。”或者：“现在都有计算器了，还研究个什么劲儿啊？”这些话确实有些恼人，那该如何回答呢？
我们大致可以从两方面反驳“数学无用论”。一方面，可以说说1数学的实际用途：比如，数论 就是加密的基础，没有加密，银行交2易就会十分不安全，而代数 和逻辑则是信息科学不可分割的一部分；金融中要用到概率，生物学家也要用概率来分析生物可能的进化过程；有了图论，全球定位系统（GPS）才能找出道路网络上两点之3间的最短路线；更不用说分析学和物理学之间的紧密关系了。1数论研究整数的性质及其运算，如质数、平方等。2代数可定义为研究数学对象之间变换关系的科学，如几何中的对称就是一种变换关系。3分析学是数学的一个分支，研究函数的性质及其变换，如极限、连续、导数、积分等。
另一方面，我们可以让人感受一下“数学之美”。这里不是要说“自相似”的分形几何之美，如宝塔花菜的奇妙外形或布列塔尼蜿蜒曲折的海岸线，也不是为人津津乐道的黄金比例——传说中，是它造就了古希腊帕特农神庙的完美比例，而且我们的银行卡也是按它制作的。“数学之美”不是视觉上的美，而是数学给人带来的精神愉悦。如果一个公式能把两个相去甚远的领域联系起来，我们就可以称2222之为“美”。比如，等式 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … = π/6 把 π 与无穷数列联系了起来。如果一个证明简洁奇妙，另辟蹊径，那也可以说它十分优美。但是，如果对方认定了数学没什么用，那以上这些回答都不能让他满意。制造手机当然需要许多软件和硬件方面的数学知识，但手机用户完全不用懂得那么多。欧拉恒等式在数学家眼里十分优美，因为它把所有数学基本常数囊括在一个公式里，但在普通人看来，这没有什么了不起的。
那些问“数学有什么用”的人，是想让别人用一句话点醒他，为什么会有人对这些抽象的问题乐此不疲，而不管有没有实际意义？数学专业人士或者爱好者能给的答案也只有自己由衷的喜爱之情了，而正是这种喜爱之情，反而能让旁人认同。有人喜欢数学，有人喜欢收集迪士尼小徽章，这在本质上没有什么不同。
现在，让我们试着从第三个角度来回答“数学有什么用”的问题。这本书深入浅出地列举了数学在日常生活中的“具体”应用。但要注意的是，某些对数学家来说很具体的问题，在普通人看来可能并非如此。下面说到的问题包括怎么贴瓷砖、怎么摞煎饼、怎么让民主更民主一些、怎么闭着眼睛赢得法网公开赛，等等。当然，还有最重要的问题：上厕所的时候怎么选择小便器。数学能解决这么多荒唐的趣题，还需要找什么具体应用呢？01 早餐代表我的心
“亲爱的，天亮了，今天是 2 月 14 号，我特意为你准备了早餐。不用起床了，就在床上吃。好丰盛的，有刚出炉还冒着热气的羊角面包，有一大杯我刚刚亲手榨的橙汁，有新鲜水果，还有最重要的，一大碗牛奶！”
“你对我太好了，但为什么有牛奶呢？你知道我喝牛奶不消化啊……”
“很简单啊，因为这碗牛奶代表我对你的爱，你看看碗里面有什么……”* * *
早餐是一天中最重要的一餐。每天早上，我都目光呆滞地盯着麦片盒上的配料表，心里默念这句话，等着没睡够的倦意退去。如果你泡了碗麦片，冲了杯咖啡或者倒了杯果汁，那么，在阳光的照耀下，杯子里面会出现一个类似心形的形状（图 1.1）。图 1.1 阳光照射下的碗里出现心形（图片来源：© Gérard Janot, CC BY-SA 3.0）
这个心形是怎么来的呢？
答案其实很简单，但先要了解下数学家是如何定义心形的。画一颗心给你！1
有了合适的方程和绘图仪，什么东西都可以画出来。Wolfram 公司市场部的编辑理查德·克拉克特别擅于用傅里叶变换写图形方程。有了他的贡献，我们才能把皮卡丘也用方程表示出来（图 1.2a）——我在这里就不把方程写全了，如果要写全，一页纸都不够。美国一所高中的数学老师 J. 马修 · 雷吉斯特也是图形方程的好手。2011 年，他的学生把他的蝙蝠侠图标方程（图 1.2b）发到了网上，引起了轰动。言归正传，数学爱好者给出了许多心形方程，各有千秋，但数学界“心有独钟”：他们认定用简单方程描绘的“心形线”（图 1.2c 和图 1.2d）。1Wolfram Research 是一家美国公司，主攻数学领域，其产品 Mathematica 是一种科学计算软件，其开发的网站 Wolfram| Alpha 是一种计算搜索引擎。
心形线在英语里叫作 cardioid，这个词来自希腊语：kardia 意为“心”，eidos 意为“形”。心形线有许多不同的定义方法，但是异曲同工（图 1.2）。我们可以想象一个圆沿着另一个圆外侧滚动而不滑动，不动的圆叫作“准圆”，动圆上某一点的轨迹称为“外摆线”（epicycloid），这个词也来自希腊语：epi 意为“上”，kuklos 意为“圆”。准圆和动圆的半径相等时，就得到了心形线。如果动圆在准圆内部，而准圆的半径是动圆的 2 倍，也会得到心形线。
18 世纪初，布莱兹·帕斯卡的父亲艾蒂安·帕斯卡在对摆线的研究中提到了这种曲线，虽然言辞含糊，但这是历史上首次出现。其他数学家对这种曲线也是兴致勃勃。1708 年，法国数学家菲利普·德拉意尔证明心形线的长是准圆半径的 16 倍。直到 1741 年，乔瓦尼·达卡斯蒂利奥内才根据形状将其命名为“心形线”。图 1.2 几条有趣的曲线(a) 理查德·克拉克的皮卡丘曲线。这是一个参数方程，t的取值在0到2π之间，曲线上某一点的坐标由(xytxtyt, )关于的函数确定，即((), ())。这里只给出了皮卡丘轮廓线的方程，完整的方程是其10倍长。(b) J.马修·雷吉斯特的蝙蝠侠图标曲线。起初方程只有一个解析式，以椭圆方程和直线方程为基础。(c) 尤尔根·科勒的心形曲线。(d) 参数方程给出的心形线。
第二种构建心形线的方法是：取圆上一点 P，以圆上其他点为圆心，作经过点 P 的圆，所有这些圆内包于一条心形线。
更让人意想不到的是，心形线还可以通过数论的方法来构建。在圆周上均匀地取 100 个点，编为 0 到 99 号，然后把各个点与编号为其 2 倍的点相连，如果编号的 2 倍大于等于 100，则以减去 100 计，即编号乘 2 得 100 则对应点 0，编号乘 2 得 102 则对应点 2。按这种方法，点 21 与点 42 相连，点 53 与点 6 相连。所有这些线段形成心形线。取的点越多，心形线就越准确（图 1.3）。图 1.3 构建心形线的几个方法可以是圆的外摆线 (a)，也可以是经过圆周上一点且圆心也在此圆周上的圆的包络线 (b)，或者圆周上某点与其 2 倍编号点连线的包络线 (c)。
说了这么多，还没有解释碗里怎么会有一颗“心”。真正原因是，心形线是圆的“散焦线”。光之几何
光线照射到圆形容器的边缘，会发生反射。假设阳光是平行光，让我们来观察一下反射光路：根据光的反射定律，反射角等于入射角，即反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角，法线是圆在入射点上切线的垂线（图 1.4）。图 1.4 光在曲线上的反射根据光的反射定律（又称“斯内尔 - 笛卡儿第一定律”），反射角（红色）等于入射角（蓝色）。
阳光视为平行光，照射到杯沿并经过反射后，汇集成的曲线就是所谓的“散焦线”，与所有反射光路相切。这里的散焦线和心形线很相似（图 1.5a）。图 1.5 (a) 将阳光视为平行光，反射以后形成的“散焦线”与心形线很相似。这其实是另一种外摆线，称为“肾形线”。(b) 当光源位于圆周上的一点时，才能得到心形线
但是，这样得到的曲线并不是真正的心形线，心形线与圆周不会相交。其实，这是半肾形线，可以视为心形线的“亲戚”，因为它们都是外摆线的一种。如果准圆的直径是动圆的 2 倍，就会得到肾形线（图 1.6）。肾形线有两个对称轴和两个回复点，即曲线好像要往回走的那一点。“肾形线”这个词英语为 nephroid，也来自希腊语，nephrós 意为“肾”。这听起来就没“心形线”那么浪漫了。图 1.6 如果准圆的半径是动圆的 2 倍，则动圆上某点的轨迹是另一种外摆线，称为“肾形线”
但不要担心，想要杯子里出现心形线很简单，只要把光源移近一点就行。光源在杯子的圆周上时，出现的就是标准的心行线（图 1.5b）。下一个情人节，你就可以省着点过啦！不用去高级餐厅吃大餐，只要一盏灯和一碗牛奶就够了，然后再给他或她念一首诗，完2美 ！2如果你真的这么做了，但你的心上人并不领情，作者不承担任何责任。* * *如果你是外摆线，你会是一条心形线。如果你是全纯函数，你就是正弦的平方，而我就是余弦的平方，我们刚好合二为一。如果你是偶数，你会是 28，因为 28 是完全数。如果你是奇数，你依然会是完全数。但只有我知道，你这个奇完全数的存在。如果你是对数，你将会……那个……你懂的。02 照（不）亮你的家
“这套房在顶层，小区环境优美，舒适安静。不远处就是火车站，地下有停车场。厨房配套齐全，房子有地热供暖。从阳台望出去整个城市一览无余，还能装光纤宽带。每周六早上，楼下还有有机农产品市场。”
“看着挺好，但这满屋子镜子是怎么回事啊？从厨房都能看见浴室。”
“哦，这个啊，不奇怪，上个房客是搞数学的。”* * *
你要租房，于是中介领着你来到最时髦的小区。中介没骗人，这套房看起来就像一件当代艺术作品。但如果你想要方正的户型、笔直的走廊，那还是换一个吧，这房子曲曲折折和迷宫似的。更引人注目的是，所有的墙上都挂满了镜子。中介非要说这样有好处，因为从房间里任何一处都能看见客厅或者卫生间，而且开一盏灯就能照亮整个屋子。
但你还是有点顾虑。就算房间里挂满镜子，真的随便在哪里开一盏灯就能照亮整套房吗？如果房子是 L 形的，这方法应该可行，站在角落也能从镜子里看到其他地方。但任何房型都能做到吗？1
要回答这个问题可不容易。20 世纪 50 年代末，当时爱因斯坦 的助手——数学家恩斯特·施特劳斯就曾提出过“镜屋问题”。但直2到 1969 年，维克多·克利 才发表了“镜屋猜想”。两个等待解答的问题是：1无论有没有联系，都要提一下爱因斯坦。2维克多·克利也提出了“美术馆定理”，它确定了监控一个美术馆需要多少摄像头。如果美术馆是一个 N 边形，那么只需要 N/3 个摄像头就足以无死角地监控整个美术馆。● 所有多边形镜屋都能从房里任意一点整个照亮吗？● 所有多边形镜屋都能从房里至少一点整个照亮吗？
令人吃惊的是，这些问题还没有令人满意的解答。第一个问题依然处于猜想阶段，而对第二个问题的回答则饱受批评。我们来看看为什么。彭罗斯台球桌
最早为镜屋问题给出间接解答的是 1958 年 12 月 25 日发表在3《新科学家》杂志上的一篇文章。彭罗斯父子——莱昂内尔·彭罗斯 4和罗杰·彭罗斯 怕大家在圣诞节闲得没事做，便提出了好几个谜题。其中一个问题值得我们注意：是否有可能造出一张台球桌，有 A 和 B 两个区域，从 A 区域击出的球永远不可能到达 B 区域（反之亦然）？这个台球桌没有洞，而且没有摩擦力，不会影响球的运动轨迹。如果有个房间和这种台球桌同样形状，那正好是施特劳斯第一个镜屋问题的非多边形反例，因为球的轨迹可视为光线在每面镜子之间的反射光路。彭罗斯父子利用一种几何形状——椭圆的光学性质回答了这个问题。椭圆就好像压扁的圆，其定义为到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合，这两个定点称为椭圆的焦点。椭圆形台球桌有非常特别的性质：如果我们把球放在一个焦点上，而洞在另一个焦点，那从数学上说，球必进洞无疑（图 2.1）；而如果我们把球放在两焦点连线的线段上，则球的反弹轨迹必定与此线段相交。正因为椭圆有这样的性质，我们可以构建出“彭罗斯台球桌”（图 2.2）。3莱昂内尔·彭罗斯在成为数学家之前是一名精神病医生，他和儿子一起创造了许多不可思议的事物，如“彭罗斯阶梯”，即看似首尾相连的阶梯。4罗杰·彭罗斯是一名数学家，对物理学也有突出贡献。1988 年，他因为在广义相对论领域做出的贡献，与斯蒂芬·霍金共同获得沃尔夫物理学奖。他还提出了“非周期性彭罗斯密铺法”，这促使了几年后准晶体的发现。因此，2011 年的诺贝尔化学奖就授予了准晶体的发现者谢赫特曼。图 2.1 椭圆形台球桌如果球从一个焦点（紫色）出发，则必然经过另一个焦点。如果球在两焦点连线线段上，则球的轨迹必与此线段相交。图 2.2 彭罗斯台球桌从B区击出的球永远不可能达到A区，反之亦然。
椭圆形台球桌的实际情况要比这个理想的数学模型复杂得多，因为除了初始运动方向，很多因素都会影响球的运动轨迹。击球速度和球杆与球的碰触位置也会影响球的反弹角度。
1978 年，杰夫里·劳赫发表了文章《有界域的照明》（Illumination of Bounded Domains），优化了彭罗斯父子的模型，提出了一种“迷你高尔夫球场”模型，要一定杆数才能让球进洞（图 2.3）。有此形状的房子就是施特劳斯的第一镜屋问题的非多边形反例，因为无论把灯放在哪里，都会有照不到的区域。图 2.3 劳赫的“迷你高尔夫球场”模型高尔夫球不可能借助反弹一杆进洞，至少需要 5 杆才能完成，此模型可以推广。
不管怎么说，这些模型都没能真正解答施特劳斯的镜屋问题，因为它们都含有椭圆或圆的弧，而问题里说的是多边形。托卡尔斯基黑屋
直到 1995 年，镜屋猜想的真正反例才浮出水面。让多边形的镜屋中有照不到的点是完全可能的，只要找到特别的光源点。图 2.4 托卡尔斯基和卡斯特罗的黑屋模型如果在点 A 点燃一根火柴，点 B 依然会处于黑暗之中，反之亦然。观察一下光路就知道，从点 A 出发的光线会从点 B 旁边通过，但永远不会经过点 B。
加拿大人乔治·托卡尔斯基给出了第一个反例。这是一个 26 边形，每个角都是 45°或 90°，如果将点光源放在一个特定点上，那么整个屋子有一个点肯定照不到（图 2.4）。这个模型太过特殊，因为只要移动点光源分毫，整个屋子都会被照亮。两年后，D. 卡斯特罗优化了这一模型，将 26 边缩减为 24 边，其他性质不变。直到今天还没有出现边数更少的模型。
这是怎么得出的呢？为了理解这个问题，我们先考察一下正方形镜屋 ABCD 中会有怎样的光路。假设一束激光从顶点 A 射出，如果照到其他任何一个顶点，必会原路反射回来，或者被视为吸收了也可以，反正不影响光路。如果光线射到正方形的一边，那就会发生反射，而且遵循反射定律，即反射角等于入射角。这一现象也可以解释为：光线射到正方形的一边后，在下一相同正方形镜子中沿直线传播。如果把正方形镜屋复制为无穷多的方格，那么在正方形内折来折去的光路也可以被视为无穷多方格中穿过的一条直线。从点 A 发出的光若要回到点 A，或者说，这条光若想经过点 A 到达无穷多复制方格中的另一个点 A，则必须至少一次经过 B、C 和 D 三顶点之一（图 2.5）。图 2.5 正方形 ABCD 里的光路图从点 A 射出的光线要回到点 A，必须要经过其他顶点。如果把光路视为无穷多方格里的一条直线，就好理解多了。
利用这种性质，我们可以制造一个无法全部照亮的黑屋，方法是将正方形 ABCD 以对称的方式重复多次，让所有顶点 B、C、D 都处于房间的角落（图 2.6）。而有两个顶点 A 不在角落。这样一来，如果光线从这两个点 A 中的一点出发，要到达另一点，必须经过其他顶点至少一次。但所有其他顶点都在角落里，光线照到这些顶点就会沿原路反射回去，永远不可能到达另一个 A 点。于是，我们构造出了一个多边形黑屋，其中至少有两点，从这两点出发的光线无法把屋子全部照亮。图 2.6 32 边形的黑屋这座黑屋以正方形为基础构造而来。黑屋里有两点，从这两点出发的光线无法照亮整个屋子。从蓝色点 A 出发的光线要到达另一个蓝色点 A'，必然要经过其他颜色的顶点。但这些点都在角落，照到它们的光线只会反射回起点 A。
以同样的方式，我们可以构建出其他黑屋，让其中无法照亮的点多于两个。
不仅正方形可以用来构建黑屋，一些特殊的三角形也可以。26 边形或 24 边形黑屋正是由此而来。托卡尔斯基在文章中还提出了无直角多边形黑屋，用内角为 9°、72°和 99°的三角形构造而成。图 2.7 无直角多边形黑屋
总之，施特劳斯提出的问题看似复杂，却引出了出人意料的几何图形。但根本问题还是没有得到解答：是否能画出一个房间，从其中任意一点出发的光线都无法把整个房间照亮？是否能找到一个区域，而不是一个点，从该区域无法把整个房间都照亮？多边形“迷你高尔夫球场”中是否存在一个洞，至少需要三杆才能把球打进去？这些问题看似不可能解决，但人们一直等待着某位数学家进行深入研究。数学爱好者们加油！* * *
“看着都挺好的，这套房我们租了。我数了一下，连阳台上的一起，一共有 740 面镜子。假如我们搬家的时候打破 5% 的镜子，按照法国人的说法，打破一面镜子要倒霉 7 年的话，那我们一共要倒霉 259 年，平均每人 129 年零 6 个月。考虑到房租，性价比还真是很高呢！”03 瓷砖铺法知多少
“终于把这些倒霉的镜子都弄走了！墙面怎么装修呢？卧室里贴墙纸应该不错，我在家居市场看到一种花型特别棒，贴起来一定很漂亮。卫生间的墙还是用马赛克吧，经典又实用。”
“挺好的……但我还有别的想法，说给你听听啊……”* * *
瓷砖可不能随便铺！要考虑颜色、大小、材质……而且瓷砖的形状绝对不能选错。方形的瓷砖虽然整齐，但太死板了，试试六边形的瓷砖吧，铺出来是蜂窝状，或者用第 15 种可密铺的五边形，看起来非常现代，这是 2015 年 10 月才出现的设计。
艺术家总是走在科学家前面。早在《梦想改造家》这类电视节目出现前 6000 多年，苏美尔人就已经用陶片来装饰墙面了，古罗马也处处可见石板铺成的地面，而伊斯兰艺术更用马赛克充分体现了周期密铺法中复杂的数学原理。西班牙格林纳达的阿尔罕布拉宫始建于 12 世纪。19 世纪末，俄国数学家叶夫格拉夫·费奥多罗夫仔细考察了1其中的墙壁和地面，共找出了 17 种密铺法。1这 17 种是否都能在阿尔罕布拉宫中找出，数学界还有争论。但这并不妨碍我们把费多罗夫分类称为“阿尔罕布拉定理”。
但密铺问题的本质是什么呢？所谓密铺法，就是用瓷砖把平面严密地覆盖起来，不留缝隙且不重叠。有一类密铺法是周期性的，即瓷砖间有平移关系。密铺法有无穷多种，数学家试图找出它们的异同，从而了解密铺问题的本质，说不定还能找到新的密铺法。最多 17 种墙纸纹图 3.1 两种 pmg 型密铺法图形不仅在平移之后不走样，在做轴对称（如果所有对称轴都平行）或中心对称之后也保持不变，甚至在滑动对称（平移之后再进行轴对称）变换之后，还能保持效果。
区分两种不同的密铺法是个棘手的问题，最主要的办法就是看对称关系。所谓对称关系，就是让总体不变的变换。以图 3.1 中的两个2图案为例，第一个由凹六边形 组成，形成箭头和“之”字形，而第二个由四边形组成。2沿多边形的任意一边作延长线，如果多边形的其他各边都在此延长线同侧，则此多边形称为凸多边形；如果有至少一条边的延长线使得其他各边不在同侧，则称为凹多边形。第一个图形中的六边形是个很好的凹多边形的例子，因为它有一边就是“凹”进去的。
乍看之下，这两个图案没有什么共同点，只是看着都让人觉得有种波动感。其实，这种感觉恰恰反映了这两个图案的共性，它们都是 pmg 型密铺法。如果我们仔细观察，就能找到许多平行的对称轴：在第一个图案中，对称轴就是穿过蓝色箭头的黑线；在第二个图形中，对称轴是几乎水平的直线。但事实上，这两个图案还有许多对称点：如果把第一个图形绕“之”字型的中心旋转 180°，还是会得到一样的图形；而第二个图形的对称点是平行线间线段的中点。人们按照不同的对称关系组合给密铺法分类，有些图案是轴对称，有些是点对称，有些是围绕一点旋转 180°、90°或 60°而成。仔细研究过所有的对称组合之后，我们发现归结起来只有 17 类（图 3.2），类型的名称看似比较费解，如 p1、p2、p3、pmg、pgg、p4、p3ml，等等。这是晶体学的标准化命名法，此处不再赘述。一种密铺法中所有的对称关系合3起来称为“平面晶体群 ”，俗称“墙纸群”，每个群代表一种不同的4类型。3群是数学中一个很重要的概念，是研究几何图形广义对称最合适的代数形式，这里不细述。4读者若对墙纸群及其分类的细节内容感兴趣，请参阅维基百科 Wallpaper group 词条。——编者注图 3.2 17 种墙纸纹样群，或者说是 17 种平面晶系每个群对应周期密铺法中的一组对称关系。图中的对称轴以黑色实线表示，平移再轴对称的对称轴以虚线表示。如果是围绕一点旋转而成，则旋转 60°、90°、120°和 180°的点分别用绿色、蓝色、红色和黄色表示，由此可知绿色、蓝色和黄色的点也是对称点。
当数学家看到一种周期性的图案，他的第一反应是把对称关系找出来，比如看到国际象棋的棋盘，他会把四个方向的对称轴找出来，再把对称点和 90°旋转点找出来。只有 p4m 类型包含了所有的对称关系。你在装修卫生间的时候可千万别选这种密铺法，样子太普通了。不过还有那么多类型，挑选起来可真犯难。15 种可密铺五边形
数学家经过很长时间才意识到，有意思的不仅是对称关系。如今，他们发现用来铺出图案的瓦片或砖块更值得研究，因为密铺单元的问题更复杂。那么，到底用几边形可以密铺平面呢？
想要完美地回答这个问题，恐怕写几本书都不够。我们不如先来看看最基本的问题：用哪种凸多边形可以规则地密铺平面呢？当然，必须假设这些多边形完全相同且互不交叠。
首先，我们可以试试正多边形，即所有内角相等、所有边也相等的多边形。不难看出，等边三角形、正方形和正六边形都可以密铺平面。但正五边形不行，因为它的内角是 108°，这样一来，当 3 个正五边形相拼时，内角和达不到 360°，而 4 个正五边形相拼时，内角和又会超过 360°。同理可得，正七边形或者边数更多的正多边形都行不通。
我们再来看看非正多边形的情况。首先是三角形：两个全等三角形以等边相拼，就得到一个平行四边形；所有的平行四边形都可以密铺平面，所以三角形也可以密铺平面。三角形的瓷砖没什么稀奇的。那四边形呢？我们知道正方形、菱形，或者更广义地说，平行四边形可以密铺平面。实际上，任意四边形都可以密铺平面，无论凹凸（图 3.3）。图 3.3 任意四边形都可以密铺平面两个相同的四边形可沿等边相拼，一直重复这一操作，就可以密铺平面。
凸六边形就有点意思了。不是所有的凸六边形都能密铺平面，只有 3 种可以：第一种，有一组对边平行且相等；第二种，有两组等边，且有三个内角和为 360°；第三种，三组邻边相等，且其夹角之和为 360°（图 3.4）。不符合以上条件的凸六边形无法密铺平面。这一类解决了，但复杂的事情还在后面。图 3.4 三种可密铺六边形
我们再来看看凸七边形，很快就会发现不可能密铺。1978 年，伊万·尼文就已经证明，凸七边形或更多边形不可能密铺平面。想要瓷砖铺得有独特性，唯一的希望就是五边形了，这也是最复杂的问题。
最古老的可密铺凸五边形应该是“开罗砖”，即内角为 120°、90°、120°、90°、120°的五边形（图 3.5）。这种砖名副其实，因为在埃及首都开罗的地面上真的能看见它的身影。4 个这样的五边形可以组成一个六边形，然后再通过平移就可以密铺平面。图 3.5 开罗密铺法用 4 片开罗砖（左上）组成一个六边形（右上）就能密铺平面（下）。
那么问题来了，哪些凸五边形可以密铺平面？实际上，符合情况的五边形有无穷多。比如，只要五边形有两边平行，就可以密铺平面。既然“合格者”有无穷多，那么一一列举就不现实了。让我们分类来说。有两边平行的五边形算作第一种。
要注意的是，可密铺五边形的分类与对称组合并无直接联系。先选择一种可密铺五边形（密铺单元），再选择一种对称组合，才能决定密铺的方法。但是，有些组合在实际中无法实现。
以下这些图案中的五边形都属于第一种可密铺的五边形，却能实现 8 种不同对称关系组合（图 3.6），可见两者之间没有决定关系。图 3.6 同是第一种可密铺五边形，即有两边平行的五边形，组合出的密铺形式却不同，对称关系组合包括 cm、p3、pgg 和 p6
50 年来，到底有几种可密铺五边形的问题一直悬而未决。德国数学家卡尔·莱因哈特曾给出 5 种，大家都以为这就是全部了。但 1968 年，美国数学家理查德·克什纳又找到了 3 种新的可密铺五边形（第 6、7、8 种）。而且他认为只有 8 种，没有更多了！但克什纳并没有给出严格证明。1975 年，马丁·加德纳在《科学美国人》杂志的专栏中介绍了克什纳的发现。一位加州的程序员理查德·詹姆斯受此5文启发，又找出了一种可密铺五边形，现称为第 10 种 。但詹姆斯没有尝试证明不存在其他可能了。5你没看错，第 9 个被发现的五边形却被称为第 10 种。这主要是因为此后发现的另一种类型与第 8 种十分类似，就被算作第 9 种了。
1977 年，加德纳又发表了一篇文章，介绍了詹姆斯的发现。这篇文章被一位叫作玛乔丽·赖斯的家庭主妇看到了。玛乔丽未受过任何专业数学训练，却找出了 4 种新的可密铺五边形。这真是数学爱好者的胜利！
1985 年，德国数学家罗尔夫·施泰因发现了第 14 种可密铺五边形，并证明了有且仅有 14 种。但几年之后，人们发现他的论证有漏洞。
2015 年夏天，三位美国数学家凯西·曼、珍妮弗·麦克洛德 - 曼和大卫·冯·德劳用计算机枚举法找到了第 15 种可密铺五边形。这太出人意料了，因为大家都已默认最多只有 14 种可密铺五边形，尽管没有证明。
迄今为止，人们共找到 15 种可密铺五边形（图 3.7），没有人敢断言还有没有其他的可能。一个五边形可以同时属于两种类型的可密铺五边形，比如开罗砖就同时属于第 2 种和第 4 种。图 3.7 15 种可密铺五边形
今天，密铺法依然是许多数学问题的研究对象。虽然周期性密铺的分类已经基本被掌握，但还有许多问题尚待解决。非周期性密铺，即密铺单元不按一定规律重复的密铺，也有许多发现，如 1970 年发现的彭罗斯密铺（图 3.8）。以上这些密铺都是在二维平面上进行的，但我们也可以把问题扩展到三维空间，这时就不止 17 种对称组合了，而是有 230 种之多。喜欢抽象思维的人甚至可以推广到更多维空间。图 3.8 彭罗斯非周期性密铺其基本单元为菱形，大菱形的内角为 72°和 108°，小菱形的内角为 36°和 144°。
密铺问题本来只是数学家的小娱乐，但数学就是这样，只要假以时日，就会在其他学科中找到用武之地。晶体学，即从原子层面研究晶体结构的科学，就用到了三维密铺法来研究原子的排列方式，而某些非周期性密铺则为准晶体研究提供了优秀的模型。
然而最重要的是，人人都可以铺出与众不同的卫生间啦！* * *
“我觉得还是用第 14 种可密铺五边形的瓷砖吧。很有设计感，看着又现代，有个性，用在卫生间真是完美。你知道哪里有卖吗？”
“呃……其实就用长方形的瓷砖也不错……”04 青梅竹马分披萨
“亲爱的，披萨到了，快来吃吧，等会儿凉了就不好吃了。不用拿刀叉了，已经切过了！”
“啊，太好了，我们平分吗？我一半你一半？”
“我也想啊，但有个问题……”* * *
今天晚上，你和爱人决定点个外卖披萨，在家看一通宵的电视剧。你们惊奇地发现：第一，在《废柴联盟》里，阿拜德在平行时空有个邪恶的分身；第二，一种怪病侵袭了整个外卖披萨界，披萨永远切得大小不一。面对现实吧，切披萨的人肯定不懂三角函数和高斯 - 旺策1尔定理 ，才会把一块“奶酪大会”披萨切得乱七八糟。1高斯－旺策尔定理是平面几何的一条定理，阐述了尺规作图等分圆周的充要条件。根据此定理，仅用尺规，圆周可以 2、3、4、5、6 等分，无法 7 或 9 等分。
这时，如何把一块块的披萨平分给两个人呢？难点在于，每块披萨有大有小，要不然也不会这么麻烦。
幸好，有个定理专门针对这个问题！实际上不止一个定理。纵观历史，数学家们吃着披萨找到了为数众多的方法。
1967 年 5 月号的《数学杂志》上刊登了一道题：披萨被切成不规则的 8 块，如何等分？几个月后就有人寄来了答案，于是就有了最重要的定理——“奶酪披萨定理”。这名字多合适！ 2009 年 5 月，里 克·马布里和保罗·德尔曼证明：并不是永远都可以等分披萨。奶酪披萨定理
我们来仔细研究一下这个披萨定理的内容。首先，假设披萨是一个完美的圆形，被切了 N 刀，每一刀都沿直线切割且相交于一点，于是有 2N 块。再假设所有切割线的夹角相等，为 360°/2N，且切割线不一定经过圆心。我们在圆心放一颗青梅做标记（即图 4.1 中的绿点）。
分披萨时，两人各拿总块数的 1/2。有青梅的那块比别的都大，为了叙述方便，拿到有青梅这块的人就称作“青梅”，另一个叫作“竹马”。这时马布里和德尔曼的奶酪披萨定理可如下表述。● 如果至少有一条切割线经过圆心，青梅和竹马总可以分到等
量的披萨。下面我们不考虑这种情况。● 如果N = 0，N = 1或N = 2，则青梅分到的披萨多。● 如果N ≥ 4且为偶数（N = 4，6，8，10，42，…），则披萨
可以等分。● 如果N是奇数且可以写成N = 4k + 3的形式（N = 3，7，11，
15，…），则青梅分到的披萨多。● 如果N ≥ 5，且为奇数，且可以写成N = 4k + 1的形式（N = 5，
9，13，17，…），则竹马分到的披萨多。图 4.1 奶酪披萨定理根据定理，一块披萨按上述假设切成大小不一的 2N 块，然后在两人之间分，且两人拿的块数一样多。(a) NNk = 0, 1, 2 及 = 3, 7, 11,…，4 + 3时，拿到圆心那块的人分到的多。(b) Nk = 5, 9, 13,…，4 + 1时，拿到圆心那块的人分到的少。(c) 在其他情况下，即N为大于等于4的偶数时，披萨可以等分。
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