作者：（美）拉斐尔·罗森 著
出版社：中国人民大学出版社
格式: AZW3, DOCX, EPUB, MOBI, PDF, TXT
数学极客：花椰菜、井盖和糖果消消乐中的数学试读：
作者简介
拉斐尔·罗森（RaphaelRosen），在美国旧金山的科学、艺术和人类历史实践博物馆——探索科学博物馆工作期间，迷上了科学写作，曾为美国国家航空航天局、《华尔街日报》和Space．com撰稿，还写过一本关于外太空的儿童读物。他获得了美国威廉姆斯学院的哲学学士学位和南加州大学的专业新闻学硕士学位，目前住在纽约。
拉斐尔·罗森提供了一种独特而有趣的方式，让初学者观看数学之美，而不是去钻研那些令人生畏的公式。——全国教师协会
MATHGEEK：FromKleinBottlestoChaosTheory，aGuidetotheNerdiestMathFacts，Theorems，andEquations
ByRaphaelRosen
Copyright 2015byF＋WMedia，Inc．
PublishedbyarrangementwithAdamsPublishing，
aDivisionofAdamsMediaCorporation
throughBardon ChineseMediaAgency
SimplifiedChineseversion 2017byChinaRenminUniversityPress．
AllRightsReserved．前 言
什么是数学极客？也许，以前上学的时候，你很喜欢数学课，现在闲暇时也会玩些逻辑游戏；也许，你对有关数学的通俗书籍很感兴趣，如《证明》《数字追凶》《模仿游戏》《美丽心灵》等，想了解更多知识；也许，你是一名工程师或物理学家，每天都在利用高等数学知识工作；也许，你在数学上吃了不少苦头，但渴望了解这个让许多人着迷的领域；也许，你已经是某种意义上的极客，毕竟，就像数学定理一样，数学极客也是各式各样的。
不论你属于哪种，通过这本书，我想让你知道：数学绝不仅仅是一大堆需要死记硬背的公式。你不用背任何东西，最后也没有考试，我希望让你相信，数学来源于现实———各种各样的形状、图案、数字、参数，当然，还有一些小彩蛋。总之，数学就在你呼吸的空气里，在你走过的人行道上，和你每天上班坐的公交车里。什么意思呢？要想知道答案，请继续读下去。
除了让你知道数学就在我们每天生活的世界里，我还想让你知道，数学很美妙。不是说纸上的公式看着有多优美，或者加号、减号多像书法，而是说，学数学就像看日落、读小诗，或听你最喜欢的乐队演奏，它有一种能吸引你驻足欣赏的魅力。你是否曾在看过一部好电影后，深深叹服于它绝佳的表演、布景和摄影？不论你相信与否，数学也是一样。有些数学家提出，数学和戏剧、音乐、绘画一样，也应被当作文化精粹，他们认为，学数学是必要的，不学数学就像没读过《哈姆雷特》一样，简直是犯罪。换句话说，学数学不只是为了在学业能力倾向测验（SAT）中考个好成绩，而是为了充实自己的人生。
数学在我们的日常生活中随处可见，从比萨到甜甜圈，从网购到智能手机里的GPS功能。在这本书里，我将解释为什么你在等公交的时候，觉得公交永远不会来，可却突然一下子来了两三辆；带你重新审视超市里奇奇怪怪的蔬菜，了解音乐如何被转换成iPod里的文件；还会解释一些你不熟悉的悖论，比如，为什么多修公路反而会使交通更拥堵。
一旦了解了这些隐藏在日常生活中的有趣的数学概念，你会更加喜欢数学，等下次公交再晚到，你就可以和身边的人分享这些有趣的数学概念。致 谢
本书得以写成，笔者要感谢很多人的帮助，尤其是美国堪萨斯州立大学的数学教授戴夫·奥克雷和哈维穆德学院的贝内迪克松喀尔瓦数学教授弗朗西斯·苏。当我迷失在数学的“丛林”里时，他们清楚明确的解释总能帮我找到出路。另外，笔者还要感谢各位编辑在写作过程中为我提供的支持和帮助。
最后，笔者要感谢我的妻子乔琳娜和儿子纳撒尼尔，感谢你们在我长时间写作时对我付出的耐心，永远爱你们。第一部分形 状1 奇妙的罗马花椰菜数学概念：自相似性
你有没有仔细观察过超市里的水果和蔬菜？有些果蔬外形恐怖，比如，黄色的佛手柑看着就像霍华德·菲利普·洛夫克拉夫特恐怖小说里的怪物乌贼，有些果蔬的形状却美得不可思议：甘薯的团块结构非常奇妙，就像变形的黏土块；洋葱内部是嵌套在一起的环状结构，就像树木的年轮；切开一个苹果，你会看到它的种子是呈星状分布的，让人赏心悦目；就连花店里卖的羽衣甘蓝也蕴藏着美妙的几何结构。
但最奇妙的莫过于罗马花椰菜，它美得让人无法转移视线。罗马花椰菜，甘蓝种植物，总体呈松果状，表面实则由多个小球果构成，每个球果的表面又由多个更小的球果组成，依此类推。每个小球果的形状和大球果相似，如果切下其中一个球果，把它拍下来，将照片与整个花椰菜的图片放在一起，对二者很难区分。
用数学术语来说，罗马花椰菜的形状是自相似的。如果将罗马花椰菜的形状放大，近距离观察，所看到的形状将和未放大前的形状丝毫不差。自相似性由数学家伯努瓦·曼德博加以研究并普及，是指一个物体和它本身的一部分完全或几乎相似，这也是分形的显著特征。1982年出版的《大自然的分形几何学》一书向全世界介绍了这类自相似的物体（这本书很大程度上是1977年出版的《分形学：形态、概率和维度》一书的修订版）。曼德博发现大自然中的很多形状都具有自相似的特点，如锯齿状的海岸线、云团和叶脉。大自然似乎很垂青自相似的形状，只要多多观察，一定会发现更多这样的形状。曼德博集合
伯努瓦·曼德博也研究过所谓的曼德博集合，即在复平面上组成分形的点的集合。如果把曼德博集合画成一张图，它将呈现为迷人的球茎形，数学家之所以对曼德博集合感兴趣，部分原因是随着对集合任意部分的近距离观察，会发现更多有趣的细节。事实上，不论近距离观察集合的哪个部分，它的形状始终都和曼德博集合的整体形状相似。2 测量海岸线的长度数学概念：测量
还有什么比测量长度更直接呢？例如，要测量一张桌子的长度，可以用卷尺；要测量一个镇到另一个镇的距离，我们可以开车过去，观察里程表的变化，或者拿一张地图，用直尺测出两镇之间的距离，然后利用这张地图的比例尺，将英寸转化为英里，或将厘米转化成千米。
但是，测量海岸线的长度却更复杂。事实证明，海岸线的长度取决于测量单位的大小。一般来说，测量单位越小，海岸线越长。理论上，随着测量单位越来越小，海岸线的长度会趋于无限。为什么呢？
和自然中的很多形状一样，海岸线呈不规则的锯齿状，随着测量单位越来越小，我们会发现更多细节。例如，如果以卫星的高度俯瞰北美，它的海岸线几乎是平滑的直线。可要是通过步幅测量，我们会看到河口、沙嘴、岩石，等等。要是趴着测量，我们会注意到砾石和树叶。要是用上显微镜，我们会测到分子。细节越来越多，测量单位不断缩小，从千米到米，到厘米，再到微米，这时，测出的长度也不断增大。如果用一根100千米长的木棍测量英国的海岸线，最后的结果差不多接近2800千米。如果把木棍的长度缩小到50千米，海岸线的总长度则会是3400千米。
这个悖论说明，虽然数学能帮助我们进行十分精确的测量，但它也会揭示实际结构内在的模糊性。加拿大海岸线
加拿大有着全世界最长的海岸线，超过24万千米。试想一下，如果用米尺来测量，它会有多长？3 有趣和有效的肥皂泡数学概念：体积
在夏天阳光明媚的公园里，经常会看到一个孩子在吹肥皂泡，可能是用塑料棒，也可能用稻草和细绳扎成的圆圈。亮晶晶的表面和斑斑点点的形状，都让肥皂泡有了很强的趣味性。
肥皂泡不但有趣，也能激发数学思考。长期以来，数学家们观察到，球形能用最小的表面积包围一定体积的空气。但要包围两个这样体积的空气呢？答案是双气泡。双气泡是由两个气泡形成的形状（要是洗过泡泡浴，你可能见过这种形状）。通常，这两个气泡由一层平滑的膜隔开，如果其中一个气泡比另一个大，这层膜会略微陷入较大的气泡中。1995年，数学家乔尔·哈斯、迈克尔·赫金斯和罗杰·施拉夫利联名发表了一篇论文，论证双气泡形是包围两个相等体积的空气最有效的形状。但如果两个体积不相等呢？双气泡形还是表面积最小的形状吗？
答案是肯定的。2000年，数学家弗兰克·摩根、迈克尔·赫金斯、曼纽尔·里托雷和安东尼奥·罗斯又发表了一篇论文，给出了更一般的结论，证明双气泡形是包围两个体积的空气最有效的形状，它所用的表面积最小。他们证明了双气泡形比其他很多组合形式的表面积都小，其中包括一个奇怪的形状———一个气泡将另一个气泡包在中间，就像一个甜甜圈（在数学中，这种形状有个专门的名称———环面，属于拓扑学的分支）。值得一提的是，这几位数学家在证明过程中完全没有使用计算机。
这个例子说明，人们可以利用数学和推理来探索自然活动，了解自然的奥秘，在这个过程中，我们需要的只有纸和笔。马兰戈尼效应
肥皂泡比其他材料（包括纯净水在内）的气泡更持久，这是因为马兰戈尼效应，即由于表面张力不同的两种界面存在表面张力梯度，而使质量传送的现象。它是以意大利物理学家卡罗·马兰戈尼的名字命名的，马兰戈尼在1865年发表了这一研究成果。基本上，就肥皂泡而言，马兰戈尼效应可以稳定它的界面，让它比正常的气泡更坚固，更持久。4 波洛克的画里有数学吗数学概念：分形
杰克逊·波洛克的一些画作是20世纪最具标志性的，一些研究者认为，这些画作的魅力来源于数学。具体来说，科学家指出，波洛克在20世纪40年代创作的滴画包含了分形———一种每一部分都相似的几何形状。一些人也提出，波洛克的画之所以迷人，是因为抓住了自然的分形性质（分形在自然中频繁出现，如云朵的纹理）。
和线条（一维）、沙滩排球（三维）一样，分形也有维度，但和这些物体不同的是，分形的维度通常含有小数。一般来说，数学家将分形的维度分为0～3：一维分形的维度为0．1～0．9，如线段；二维分形的维度为1．1～1．9，如海岸线的轮廓；三维分形的轮廓则是2．1～2．9，如花椰菜。
20世纪90年代后期，物理学家理查德·泰勒观察到，波洛克的画具有分形的性质，于是提出可以测量波洛克画作的分形特征。通过一种特殊的分析方法，人们可以辨别一幅画是不是波洛克的真迹。泰勒提出的方法是：将波洛克的画扫描录入计算机，用网格覆盖这幅画的电子图像，然后用计算机进行分析，用不同的比例对比方格中的图案，大到整幅画，小到零点几英寸。泰勒发现，波洛克的画里的确包含分形，例如，《第十四号》这幅画的分形维度是1．45，与很多海岸线的维度相同。
然而，几年后，凯斯西储大学（位于克利夫兰）的研究者证明了泰勒的方法并不可靠。一名博士生发现，她用Photoshop画的一张星体素描通过了泰勒的测试。另一项研究也发现，凯斯西储大学本科生画的两幅画也通过了泰勒的测试，而波洛克的两幅真迹却没有通过。于是这些研究者得出结论：泰勒测试用的方格太少，不足以辨别一幅画到底是不是波洛克的真迹。彼埃·蒙德里安
有关艺术中的数学，如果想了解更直观的例子，可以看看彼埃·蒙德里安的画，他的作品将直线和四边形运用到了极致。5 科赫雪花数学概念：分形
分形有一种奇妙性（参见第4章），难以用言语解释，但很好用例子展示。其中一个例子就是科赫雪花———在科赫曲线的基础上形成的形状，瑞典数学家尼尔斯·费比安·黑尔厄·冯·科赫率先对这一形状做了描述。要形成科赫雪花，首先要有一个等边三角形（三条边长相等），将每条边三等分，取每条边中间的1／3，从外侧接上去一个形状相似但边长为其1／3的三角形，如此重复，直至无穷。
最终会得到一个奇妙的结果———科赫雪花的边长趋于无限大。每次在一条边中间的1／3接上更小的三角形时，它的边长都会增加1／3。由于这个过程不断重复，科赫雪花的周长就趋于无限大。
另外一个奇妙的结果是：尽管雪花的周长无限变大，它的面积也会无限增加，但是总面积是有限的，永远不会超过初始三角形的外接圆。所以，某种意义上，这种数学物体的长度是无限的，但面积是有限的。多么奇妙啊！切萨罗分形
某些分形不是通过相加，而是通过相减得到的。要形成科赫雪花，需要在线段中间增加尖形，但要形成切萨罗分形，则需要减去尖形，最后得到一个看似被鲨鱼咬过的雪花形状。但不管是科赫雪花，还是切萨罗分形，它们越复杂，在肉眼看来就越相似。6 你生活在第四维空间吗数学概念：克莱因瓶、几何学、拓扑学
克莱因瓶非常不可思议。解释得更清楚一点，要弄懂它，需要设想一个第四维空间———一个与我们的三维空间成直角的空间。克莱因瓶虽然奇怪，但或许蕴含着宇宙命运的奥秘。
克莱因瓶由德国数学家菲立克斯·克莱因于1882年提出，它最初的德语名称是KleinscheFlche（克莱因平面），但可能被误读成了KleinscheFlasche（克莱因瓶），总之，这个名称被沿用至今。克莱因瓶实际上是一个平面———一个二维流形，和球面一样，它也没有边界。同时，它也没有定向性，也就是说，沿着这个表面前进，方向是在不断变化的。
克莱因瓶之所以有名，还有另一层原因：它没有内部和外部之分，内部和外部合成了一个空间（类似第7章中的莫比乌斯带，只有一个面。事实上，要是将一个克莱因瓶切成两半，就会得到两条莫比乌斯带）。另一点值得注意的是，克莱因瓶无法在三维空间里表现出来。如果要用一张纸做出一个克莱因瓶，首先要将这张纸折成一个圆筒，然后将一端扭180°，而不是直接将两端粘在一起，形成一个圆环。要扭180°，就必须把这一端“上升”到第四维度。因为我们生活的世界是三维的，我们能做的就是把圆筒的一端穿过圆筒，与另一端粘在一起。最终的形状是相交的，而假如我们生活在四维空间里的话，克莱因瓶就不会相交。
要理解背后的原因，不妨假想你生活在一个二维空间里，这个空间有一条界线，就像一条二维的绳子。如果有人让你把这条界线折成8字形，但不能相交，你是不可能做到的。怎么可能呢？你必须把这条界线“上升”到三维空间，这样它才不会相交。
回到克莱因瓶与宇宙命运的关系。宇宙的未来，包括恒星、银河系和太空的命运，一部分取决于宇宙的整体形状。科学家根据他们的观察结果，提出了各种可能的形状，有些像一张平纸朝各个方向无限延展———被称为欧几里得3流形的三维空间；有些则是“封闭”的形状，也就是说，尽管无限广阔，但最终还是会相交（典型的例子是球面。从球面上的任意一点开始，沿着直线走，最终一定会回到起点）。但正如我们所知，宇宙的形状可能并不是这样的，就像我们生活在一个球体上，但周围环境给我们的直观感觉是，我们生活在一个无限广阔的平面上，我们在宇宙中的位置让我们觉得，宇宙就像直线一样朝各个方向延展，可事实上，从某个我们无法观察到的地方看，宇宙也许像一个车座或圆柱体，也可能会像一个克莱因瓶。
因此，如果你觉得第四维空间与我们的日常生活没有关系，不妨再想想。也许，你就生活在这样的空间里。菲立克斯·克莱因
菲立克斯·克莱因，生于1849年，曾在德国哥廷根大学教授数学，对几何学有着浓厚的兴趣。他的妻子是伟大的哲学家格奥尔格·威廉·弗里德里希·黑格尔的孙女。7 造出更好的传送带数学概念：莫比乌斯带、拓扑学
在数学中，小事可能带来严重的后果。例如，取一条任意长度的纸带，双手各执一端，扭曲180°，然后将两端粘在一起，就得到了一条莫比乌斯带———一种在数学上非常奇异的物体，而所用的材料不过是基本的办公用品。
莫比乌斯带的特别之处在于，在数学中，它没有定向性，也就是说，它只有一个面。乍听之下，这似乎不可能，但你可以自己动手证明这一点。拿一支铅笔，从纸带的任意位置开始画一条线，一直画下去（确保这条线和纸带的边缘平行，否则可能会画出界），最终，你将回到起点，而且，这条线会穿过纸带的整个表面。如果纸带有两个面———一个内面和一个外面，这条线只会穿过其中一个面。
这种奇怪的单面物体听上去像是舶来品，情况也的确如此，但它也广泛见于世界各地，不仅限于数学书和黑板上。例如，1957年，美国古德里奇公司根据莫比乌斯带的原理造了一条输送带，两面都可以使用，从而减少磨损。一些录音带和打字带之所以被设计成莫比乌斯带的形状，也是应用了这一原理：可以充分利用更多的表面，增强产品的耐用性。莫比乌斯带也被应用于电子行业，尤其是电阻器中（限制电路中的电流）。在生物学领域，一些分子的构型也呈现出莫比乌斯带的结构。
莫比乌斯带是以19世纪德国数学家奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯的名字命名的（另一位19世纪的德国数学家约翰·李斯丁几乎同时发现了莫比乌斯带，“拓扑学”这一数学术语就是由他创造的）。莫比乌斯家世显赫，其家族成员包括推动了16世纪早期宗教改革的宗教思想家马丁·路德。他还曾师从历史上成就最为丰硕的数学家卡尔·弗里德里希·高斯。
莫比乌斯带生动地说明，任何人都能创造的一个简单物体可能具有深刻的数学含义。再没有什么比用自己的双手掌握了数学更让人兴奋的了。二和弦
音乐和数学之间存在着有趣的关联。乐理家有时会在纸上画出双音和弦、三度和弦、四度和弦和八度音阶之间的关联，考虑以两种方式写二和弦（例如从C到F或从F到C）。要想抓住这种关系，就要把纸折成一条莫比乌斯带。8 鞋带与DNA的数学联系数学概念：纽结理论、曲线
你绝对想不到一双鞋子里竟然也蕴含着数学。不妨看一眼你系着的鞋带，事实上，这种螺旋环可能蕴含着复杂的数学知识。
这里用到的数学分支被称作纽结理论。数学中的纽结和日常生活中的纽结有一个明显的不同之处：它没有不系物的一端（按照数学上的术语来说，这些纽结是封闭的）。其实，你可以自己动手做一个封闭纽结。取一根细绳、湿面条或套索，打成一个标准的方形结，用胶带将两端粘在一起。最后的结果看起来像一块椒盐脆饼，但它实际上是一个纽结！
尽管部分纽结理论人人熟知，但纽结理论也有着奇异之处。在《纽结入门》一书中，科林·亚当斯将数学中的纽结定义为“永远不相交的空间中的一条闭曲线”。这一定义可能会让你好奇，什么纽结是最简单的？最简单的纽结其实就是圆圈，它有一个像《爱丽丝梦游仙境》一样酷炫的名称———“没有结的纽结”（或称为平凡纽结），其次是八字结和三叶结。
那么，纽结理论家的日常生活是什么样的呢？他们每天都在思考，能否在不剪断它的情况下解开一个给定的纽结，或者在花了大把时间摆弄一个纽结后，能否发现它其实是一个陌生的没有结的结。纽结理论不仅吸引了数学家，生物学家也对它深感兴趣，因为组成生物遗传物质的分子DNA，有时也是结状的，影响着生物细胞机制对DNA分子信息的解读。化学家也对纽结很感兴趣，很多化学家都喜欢研究结状分子，因为特定分子的结状构型可能会完全改变分子的性质（一种构型可能会让这种物质成为石油；另一种构型则可能让这种物质成为凝胶）。一两个简单的纽结竟能产生如此巨大的影响。泰特猜想
19世纪数学家彼得·格斯里·泰特根据交点对纽结进行分类，他还提出了三个有关交变（上下环绕，形成连接）、手型结（与其镜像不相等的纽结）和纽结环绕数（描述纽结环绕数的几何量）的猜想，最近，这三个猜想都已被证明是正确的。9 地铁线路图遗漏了什么数学概念：拓扑学
查看一下全世界任意一个城市的任何一张地铁线路图，你发现了什么？不像地图册里那些显示了一条路所有拐弯线路的地图，地铁线路图相对简单，只有直线、圆圈和平滑的曲线（可以参考伦敦、北京或华盛顿特区的地铁线路图），但地铁实际的运行线路并非这么简单，站与站之间要经过一系列的弯道。尽管如此，地铁线路图依然能帮助乘客导航。为什么它遗漏了这么多信息，却还能导航？
这个问题可以用拓扑学这一数学分支来回答。拓扑学与几何学相关，主要研究形状在拓展、缩拢、拉伸和扭曲时的变形（“拓扑学”一词来源于希腊语，原意是位置、研究或测量）。拓扑学所研究的变形必须遵循一个规则：不能破坏初始形状的完整性。例如，切割后再粘在一起的形状不能作为拓扑学的研究对象。相反，将橡皮筋拉伸到极限，揉成一个球，再把它扭成一块椒盐脆饼的形状，最后的形状就属于拓扑学的研究范围。简言之，在拓扑学中，新形状必须能通过一个连续的动作恢复到初始形状。只要可以，按照拓扑学的术语来说，这两个形状就是等量的。
现在，地铁线路图和地铁的实际运行线路之间的关系就明朗了。地铁线路图是地铁实际运行线路的一个拓扑变形，从某种意义上说，线路图是运行线路被拉伸和抚平后的结果，就好像地铁线路是橡皮泥做的。在拓扑学看来，这两个形状———地铁线路图和实际运行线路———是相同的。全世界最长的地铁
根据线路长度计算，上海地铁是全世界最长的地铁系统，轨道全长617千米。但纽约地铁是全世界地铁站最多的，根据官方数据，共有468站。10 日本折纸艺术数学概念：几何学、拓扑学
日本折纸艺术是美国孩子的主要消遣活动，我们很多人都见过纸鹤、纸杯和充气气球，但很少有人知道，折纸和数学之间存在着紧密的关联。
折纸最吸引人的一个特点在于，它可以超越传统的数学，尤其是几何学。只需要一张折纸，我们就可以三等分一个角（分成三个相等的分角），而用传统几何学中的圆规和直尺，这是根本不可能完成的。我们还可以用折纸来2倍一个立方体，这也是标准几何学无法完成的（2倍立方体是古埃及人和古希腊人发现的一个问题。要2倍一个立方体，首先要有一个给定边长和体积的立方体，求作一个新的立方体，其体积是初始立方体的两倍，这个过程根本无法完成，因为2倍立方体边长的立方根是2，这个长度是无法用圆规和直尺作出的）。
事实上，在对折纸艺术的数学研究中，也产生了一些几何公理———与两千多年前的古希腊大数学家欧几里得提出的原理和定义类似的一套公理，被统称为折纸几何公理，指出了折纸过程中的全部基本操作。折纸数学也衍生了川崎定理，这一定理指出，围绕一个点的所有角的其他角的和等于180°。
折纸数学不仅差一点成为一个独立的数学分支，有着自己的证明和公理，折纸所使用的材料通常也具有数学性。有人用三角形和五角形的折纸材料折出三维的形状，有人折出柏拉图多面体———由规则的多面体（由平面和直边组成的三维形状）组成的五种基本形状，也有的折纸艺术家折出双曲抛物线———马鞍形———就像一个介于四方形和一只蝴蝶之间的十字架，还有的用折纸来证明勾股定理。
从某种意义上说，折纸和数学似乎有着相同的概念元素，用自己的双手来做出一个形状，从而更好地掌握数学概念，这样的效果是最好的。丢掉铅笔和绘图计算器吧，花点时间在折纸中发现数学！折纸节日树
每年，美国自然历史博物馆会与美国折纸协会合作推出折纸节日树，这棵树上共有近800件装饰物。2014年，折纸节日树是以《博物馆奇妙夜》这部电影为主题，所以当年的装饰物包括西奥多·罗斯福、一只霸王龙和一座来自复活节岛的石像。11 绳结背后的数学数学概念：纽结理论
你把手伸进口袋或者背包，想拿出耳塞，却发现它已经缠成了一个解不开的结；你把放在地下室的浇水管子找出来，却发现它缠成了一个结；你打开阁楼上装着圣诞彩灯的箱子，却发现这些彩灯已经缠成了一个线球———这些都是现代生活中令人烦恼的事。为什么不管我们千防万防，生活中还是有这么多东西会自己缠成结呢？
像线绳这样柔韧的长物之所以会缠成结，背后有着数学上的原因。事实上，2007年，加州大学圣迭戈分校的两位物理学家针对这一问题发表了一篇研究论文。大体上，只有在几种情况下，捆在一起的线绳才不会缠成结，例如，线绳始终保持平行，绝不相互接触或相交，但在很多情况下，线绳都会开始打结。实际上，线绳缠成结只需要几秒钟，这是因为它的一端穿过了它的另一部分，这个时候，它就很容易和其他部分缠绕在一起。
在他们的研究中，加州大学圣迭戈分校的研究者将不同长度的线绳放入一个电动旋转箱中，搅拌十秒钟，然后用数学中的纽结理论分析最后缠成的结，试图从中找出对应每种纽结的数学公式（即琼斯多项式，纽结理论根据交点数对纽结进行分类）。他们发现，约96%的纽结是“素纽结”，即交点数最少（3～11个）的纽结。他们还发现，长度小于半米时，线绳越短，纽结越少；长度达到2～6米时，缠成结的概率迅速变大，最大为50%；超过这个长度后，这一概率没有显著变大。
所以，下次咒骂缠成结的耳塞线之前，不妨先享受一下这背后的数学乐趣。防打结装置
缠成结的手机线衍生出一个新行业。过去，当人们还依赖固定电话时，发明家发明出了各种防打结装置，从能360°旋转的部件到能插入线圈的管状物，都是为了预防本章第一段提到的那些令人烦恼的事。12 自行车齿轮为什么大小不同数学概念：几何学、速比
从前，自行车看起来很滑稽。19世纪，自行车的前轮巨大，后轮极小，脚蹬和前轮直接连在一起，直径近5英寸，骑车的人必须跳到车座上，就像是骑马一样。这种自行车很快就过时了，部分原因是一旦路面颠簸，骑车的人很容易被甩出车把外。后来，生产商开始生产带齿轮和链条的自行车，骑车的人不仅可以坐在车中间，增强平衡感，还可以根据路况变挡。在平地上骑车也许不需要变挡，但爬山时，变挡可能决定着你到底是在“骑”车还是在“推”车。但是，齿轮到底是怎么工作的？它是怎么让上山更容易，让下山更快呢？
答案在于速比。当大齿轮和小齿轮连在一起时，转动一个齿轮会带动另一个齿轮，但是两个齿轮的速度不同。假设前齿轮是后齿轮的三倍大，前齿轮每转一周，后齿轮需要转三周，这可以根据齿轮的周长来计算（如果你还记得数学课上讲过的内容，就知道圆的周长＝直径×π）。假设前齿轮的直径为30厘米，它的周长就是30乘以π，约为90厘米。如果在齿轮边缘画一个点，当齿轮转动一周，将这个点走过的长度在纸上换算出来，就是94．2厘米。
假设后齿轮的直径为10厘米，它的周长就是31．4厘米，每转动一周，其边缘上的点走过的长度就是31．4厘米。但是，前齿轮每转一周（94．2厘米），后齿轮要转三周（根据两个齿轮的直径差来算，它们的齿轮转速比是3∶1）。
因此，脚蹬每旋转一周，后轮齿轮要旋转三周（否则要费力蹬三次）———从而可以让你“完美地”冲刺下山。齿轮玩具
齿轮不仅实用，而且是有趣的玩具。如今市面上的很多玩具都带有齿轮，没错，齿轮！齿轮！齿轮！齿轮传动玩具和蓝莲花齿轮组。有些齿轮玩具制作精良：brickowl．com网列出了适用于乐高科技系列玩具的57种齿轮，包括14齿齿轮、带内离合器的24齿齿轮和24齿双面斜切齿轮。13 雨滴与泪珠的形状是不同的数学概念：几何学
雨滴并不像我们所想的那样，至少它的形状不像我们以为的那样。在卡通片、天气图和插图里，雨滴总是很像泪珠，圆底，两边向上逐渐缩小。
实际上，雨滴与泪珠的形状完全不同。最初，大气中的水黏附在烟尘颗粒物上，形成的雨滴近似球体，达到一定重量时，雨滴便开始下落。下落过程中，水分子之间的氢键导致水滴表面形成张力，使水滴保持圆形。随着下落加速，水滴底部受到空气阻力，下部趋向扁平，就像平底锅的形状，这时，雨滴看起来更像是汉堡包的顶部。如果雨滴变得过大，比如在下落过程中与其他雨滴发生碰撞，它就会分裂成几个小雨滴，分裂点的直径约为4毫米。雨滴的周长
雨滴的大小各不相同。平均情况下，小风暴形成的雨滴周长约为0．5毫米，大风暴形成的雨滴周长则可能达到5毫米。14 交通标志为什么有不同的形状数学概念：形状
人人都知道停车标志是八边形，也就是说，它有八条相等的边。但并不是人人都知道为什么停车标志要采用这种形状，为什么是八条边，而不是三条边、十条边呢？
设计者选择八边形有两个原因：
1．不像十分普遍的四边形标志，八边形标志可以从多个视角被看到，这样，即便甲驾驶员是从看不到这个标志正面的另一个方向开过来，他也能知道乙驾驶员要停车。
2．交通工程员很早就发现，交通标志的形状和上面的文字一样，也能传达信息。所以他们认为，边越多，代表危险等级越高。例如，圆形标志（可以被视为有无数条边）代表有列车经过，八边形标志代表与其他车交会的路口，四边菱形标志代表警告，提醒你前面有S形弯道或“有鹿出没”。
所以，下次开车的时候，注意一下周围交通标志的形状，它们可能会救你的命！停车标志的历史
1915年，世界上第一个停车标志出现在底特律，只是一块白底黑字的四边形金属片。1923年，州公路部的密西西比河谷协会建议多增加几条边。1935年，《统一交通管理设施手册》规定，所有交通标志统一为红色。15 五角大楼为什么是五角形数学概念：几何学
五角形是一个形状，但我们提起五角形时，往往会想到美国国防部的办公大楼———五角大楼。它是世界上最大的办公楼之一，建筑面积是纽约帝国大厦的两倍，约有25000名职员在其中办公。事实上，美国国会大厦只相当于五角大楼的一个角。那么，五角大楼为什么是五角形呢？
随着“二战”日益升温，美国决定为不断壮大的陆军部新建一处办公大楼，当时的选址是阿灵顿农场，这是由农业部负责的一个试验农场，紧邻现役士兵和退役士兵的安息之地阿灵顿公墓。周围的公路和建筑使得这座农场形成近似五角形的形状，所以，陆军部大楼最初的设计就是五角形的。然而不久之后，相关官员不愿将这座军事设施放在如此靠近一个敏感区域的位置，决定将它迁到另外一个地址，也就是华盛顿特区的第一个机场胡佛机场的所在地。但当时，已经来不及修改建筑设计图，虽然设计师修改了部分地方，但总体上它还是一个五角形。
好在这个五角形的设计也有一定的优势：任意两点之间的距离步行都不超过10分钟，方便设计师布局各种设施。五角大楼
五角大楼占地近236万平方米，建筑面积超过60万平方米。这栋建筑共有七层……这是我们知道的。16 三角形数学概念：形状、几何学
你有没有注意过三角形在日常生活中出现的频率有多高？无论是在骑车上班的路上（车架中间是一个三角形），还是行驶在州际公路上（巨大的输电铁塔上也有三角形），三角形总是一次又一次地出现。这是因为自行车设计者和土木工程师一时心血来潮，还是有着合理的理由？
三角形频繁地出现在建筑结构中，其中有一个充足的理由———三角形异常稳定，所以成为坚固结构的理想之选。合页是一个三角形，虽然它的角不是固定的，但它也是一个三角形。易弯曲的秸秆也可以组成三角形，弯曲的部分就是角，虽然容易弯曲，但它依然很稳定，和固体塑料做成的三角形是一样的。你还能想到自己见过的其他三角形吗？竖琴协奏曲
竖琴（三角形）独奏首次出现在弗朗茨·李斯特的《第一钢琴协奏曲》中，一位表示怀疑的评论家戏称它为“三角协奏曲”。17 井盖为什么是圆的数学概念：形状、几何学
天是蓝的，石头是硬的，草是绿的———日常生活中的万事万物都有自己的性质，可由于太常见，导致我们对它们置若罔闻。有时候，数学能帮助我们从不同的视角看待这些事物。
井盖就是这样，它总是圆的，可为什么呢？其他的形状不可以吗？
圆形是少有的几种不能穿过跟自身形状相同的孔的形状，为什么呢？设想一个三角形的井盖，它的三条边不相等（一条边长30厘米，其他两条边长60厘米），如果把它竖起来，与地面垂直，边长较短的一边就能从这个孔中穿过，因为井口的两条边长60厘米，与井盖的边长相等，而一个宽30厘米的物体能穿过宽60厘米的开口。唯一能避免井盖掉进井口的方法是，不管怎么翻转，它的哪条边都不会小于或大于其他边。毫无疑问，圆形是最完美的选择。太空里的井盖
有一个谣言称，在20世纪50年代的地下核试验中，有一个井盖被意外发射进了太空。这个谣言未经证实，但可能来源于1957年的一系列核试验———普拉姆勃勃行动中的一次意外。在一次地下试验中，一块重达907千克的金属以66千米／秒的速度被推送进入太空，从此杳无踪迹。18 乐高积木数学概念：复杂性
在玩具世界里，也能发现数学。小时候，我觉得乐高积木是世界上最好玩的玩具，坐在一堆乐高积木前，考虑把它们组合成什么，真的十分有趣。实际上，乐高积木不只是玩具，同时也蕴含着一些数学概念。
具体来说，乐高积木与复杂性有关。最近，杜克大学脑科学研究所的马克·常逸梓等研究者开展了一项研究，目的是解答一个看似十分简单的问题。一切系统都由部分组成：身体由细胞组成；计算机由开关和处理器组成；生态系统由鸟和树组成。他们想知道，当系统———不论是动物、细胞还是电子部件组成的系统———变大时，它的组成部分的种类是否也会增多。比较一块手表和一座老爷钟的内部结构，显然，老爷钟的零件数量更多，但这些零件的种类是不是比手表多呢？
这些研究者的结论是，随着系统规模不断变大，系统组成部分的种类的确会增多。事实上，他们用图表展示了自己的研究结果，发现部分的种类和数量之间存在一种有趣的关联。具体来说，根据幂律分a布，部分的种类和数量成正比（幂律分布关系可以用Y＝kX这个公式表示，其中，Y和X是我们要考察的两个变量，Y表示部分的数量，X代表部分的种类；k是一个常量，可以是任何数值；a则是变量X的指数）。他们还发现，虽然部分的种类和数量成正比，但随着数量不断变大，种类的增速会逐渐变缓。
然而，当研究乐高积木的数量和种类时，他们发现，积木部分的增速比其他系统更快，换句话说，乐高积木的数量越多，它的种类也越多。乐高积木的爱好者，包括常逸梓在内，担心这是由于乐高积木的设计发生了改变。现在，乐高积木引进了更多的主题，包括星球大战、幻影忍者、忍者神龟、指环王，等等，有人担心，数量的猛增可能减少积木的用途，也就是说，很多积木只能用于一个主题，甚至一种组合。对于乐高积木的爱好者而言，这一改变无疑让人难过。但另一方面，乐高积木玩具仍然是多样的———它们吸引的人群不断扩大，包括数学家。设计大师
我们能从商店里买到乐高积木玩具，它们是由谁设计的？乐高的设计大师是什么人？这些奇才也设计出了全球范围内的乐高主题公园。要成为乐高设计大师，需要经过多年的实践，这些奇才最初也是通过公开竞赛被发掘出来的。19 会飞的四边形数学概念：形状
如果没了风筝，春天和夏天也就失去了趣味，但春天和夏天的趣味可远不止在好天气里放放风筝。传统的美式风筝是典型的四边形（有四条边的形状），它们基本都是四边形，像一个正方形或长方形，但不同的是，风筝的边是根据长度被系在一起的，也就是说，短边跟短边在一起，长边跟长边在一起，所以，风筝形成了独特的菱形。
风筝的形状之所以有意思，因为很多风筝在一起可以组成一个平面（只是一个理想的平面，就像一张没有厚度的纸）。你可以用任何一种风筝，不论它的夹角多大，和其他形状相似的风筝一起，组成一个平面，而且每个风筝之间不会出现间隙，这种排列方式被称为平铺（想一下浴室墙上或地上的瓷砖，你就明白了）。彭罗斯瓷砖的灵感就来自风筝，这种瓷砖能以永不重复的方式铺在无穷的平面上。
风筝的形状还决定着它理想的飞行条件，风小时，菱形的风筝飞得更高，但需要尾翼来平衡；在几乎没有风的情况下，三角形的风筝也能飞起来；几百年前流传下来的日本六角风筝便于操作，常出现在风筝比赛里（能剪断其他风筝的线，你就赢了）。风筝的面积
计算风筝面积的方法有两种：如果已知两条对角线的长度，风筝的面积就是两条对角线相乘，然后除以2；如果已知一条短边和一条长边的长度，以及两条边之间的角度，可以用三角函数来计算面积，即两条边长相乘，再乘以这个夹角的正弦函数。20 疱疹和食盐有什么共同点数学概念：柏拉图多面体
并不是所有的三维形状都是相同的，想想那些存在或可能存在的形状：马铃薯的形状是块状的、不规则的；星星的形状是整齐有序的，它的线条整齐笔直；球体的形状是圆的、平滑的；俄罗斯方块则有锐利的边缘。
但是，有些形状很特别，它们的特征被研究了几千年，其中就包括柏拉图多面体。柏拉图多面体是以公元前4世纪的雅典哲学家柏拉图的名字命名的，这些三维形状由正方形、三角形、五角形等二维形状组成，必须满足一定的条件：
1．形状是规则的，也就是说，所有线条的长度是相等的，所有角度的大小也是相同的。
2．必须是全等的，也就是说，所有形状都是相似的，如果把一个形状放在另一个上面，它们是完全契合的（换句话说，不同大小的三角形无法组成柏拉图多面体）。
3．在每个顶点处，即一个形状的线条相交的地方，必须有相同数量的形状。
柏拉图多面体有且只有五种：
1．正四面体有四个面，每个面都是三角形。
2．正方体由四个正方形组成。
3．正八面体有八个面，就像两座金字塔的底座合在一起形成的形状（和正四面体一样，每个面都是三角形）。
4．正十二面体有十二个面，每个面都是五角形。
5．正二十面体有二十个面，每个面都是三角形。
如果想知道为什么只有五种柏拉图多面体，古希腊数学家欧几里得可以为你解答，他在《几何原本》里证明了这个问题，可以供你参考。
这些形状不仅仅是数学问题。在柏拉图的《蒂迈欧篇》中，这位希腊大哲学家（通过他虚构的一个人物）提出，不同的多面体对应自然中的不同元素：正四面体对应火元素，正方体对应土元素，正八面体对应气元素，正二十面体对应水元素，正十二面体则对应天空中的星座分布。
到了16世纪，约翰尼斯·开普勒利用柏拉图多面体来解释太阳系的结构，他好奇行星为什么这么分布，提出用球体代表每个行星，在行星的运行轨道之间放一个柏拉图多面体，模拟出行星之间的距离。首先从太阳系内部开始，对应的柏拉图多面体依次是正八面体（对应水星的运行轨道）、正二十面体、正十二面体、正四面体和正方体（开普勒认为太阳系只有五颗行星）。
尽管开普勒的解释是错误的，但有一点是正确的：柏拉图多面体的确是自然的一部分，例如：
●许多矿物晶体都是四面体，包括食盐（氯化钠）。如果沿着死海的岸边走，你会踩在大块的盐正方体上，它们是从深海中被冲上来的。
●钻石和绿萤石常呈正八面体的形状。
●病毒，如疱疹，常常是正二十面体。
●原子常常结合成正四面体形状，甲烷和铵离子的分子由四个氢原子组成，它们围绕着一个碳原子或者氮原子，形成一个四面体。
柏拉图多面体不只存在于古希腊巨著中，它们也存在于我们呼吸的空气和脚下的土地中。二面角
每个柏拉图多面体都包含二面角，即两个面之间的内角。因为每个面都是相同的，所以每个二面角也是相等的。例如，正方体的二面角是90°，和顶角相等；正四面体的二面角是70．6°，它的顶角是60°。二面角越大，多面体与球体越相似。21 高尔夫球表面为什么有凹痕数学概念：物理学、几何学
当你看到泰格·伍兹在美国公开赛上开球的时候，一定想不到他的球能在空中飞过，是因为得到了数学的帮助。可事实的确如此，这要感谢高尔夫球上的凹痕。
几百年前，高尔夫球是木制或橡胶制的，表面是完全光滑的，奇怪的是，高尔夫球运动员发现，用得久、变旧、凹痕多的球，飞得比光滑的新球更远。后来，科学家发现，这是因为球表面的凹痕让周围的空气更贴近它的弧线，从而减少了产生阻力的乱流。传统上，高尔夫球的凹痕是圆的，但一种新的高尔夫球的凹痕变成了六边形。它的生产商卡拉威称，六边形的凹痕能覆盖更多的球面，这样平滑的面积减少了，空气阻力也随之减小。凹痕
高尔夫球大小不同，大部分有300～500个凹痕，常见的有336个凹痕。22 高斯与比萨数学概念：形状
试试这个吧：取一张报纸，把它折成一个西瓜，就当是送给朋友的生日礼物。你会发现什么呢？不论你怎么尝试，总是会有突起的褶痕，它的表面永远不会像西瓜那样平滑（要想让它像西瓜表面那样平滑，你得拿起剪刀修剪，即使这样，可能也还得抹平这里或那里的褶痕）。实际上，你是不可能折出一个平滑的表面的，就像一张纸，不经过弯曲、修剪和抹平，是不可能折成一个球体的。
反之亦然。把一个柚子剥开，留下球形的柚子皮，试着把它展平。结果，柚子皮会裂开，除非把它切开或撕开，否则不可能完全展平。那么，把平面变成圆面，或把圆面变成平面，为什么这么难呢？是什么妨碍了平面和圆面之间的相互转换？
我们可以从一块比萨和德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯的著作中找到答案。高斯（1777—1855年，在数学史上有着重要的地位，被视为古希腊以来最伟大的数学家之一，也被尊为“数学王子”，他教过奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯，参见第7章）提出了关于曲面的绝妙定理（它的拉丁文原意是非凡的定理）。
要理解高斯的绝妙定理，可以设想一个人被缩小到10厘米高，然后被放在一个圆柱体的表面上，如果让他沿着表面走，他可以选择很多种路径，例如，他可以走直线，穿过圆柱体的一个底面，或者沿着圆柱体的侧面走，最后回到起点（我们得假设，这个小人穿着黏性很好的鞋子）；他也可以螺旋前进，在绕着侧面走的同时，也沿着高线走。高斯的绝妙定理认为，圆柱体的曲面是可以测量的：将这些路径都考虑在内，把它们相乘，最后得到一个单一值。平直路径的曲率是零，因为它是平直的，曲线路径的曲率则为正。（凹曲线，即向内弯曲的曲线，曲率为负。）把这些路径的曲率相乘，即一个正数乘以零，最后的结果终为零（因为任何数与零相乘，结果都为零），所以，这个圆柱体的高斯曲率就是零。
高斯的绝妙定理也解释了经过变形的表面的曲率，只要不破坏它的完整性，无论是弯曲还是拉伸，它的高斯曲率始终保持不变。因此，不论怎么弯折或扭曲一个圆柱体，它的高斯曲率永远不变。
这让我们想到了比萨。如果你曾水平拿过一块比萨，因为挂着奶酪和意大利香肠，它的尖端总是耷拉着，让人难以下口。相反，如果把它垂直折一下，它的尖端就会凸成一条直线，上层配料也不会掉落。为什么？计算一块未经弯曲的比萨的曲率，得到的结果是零（那个10厘米高的小人能走的所有路径都是平直的），也就是说，不论怎么移动或弯曲这块比萨，它的曲率始终为零。
现在，再看水平拿着的比萨，我们注意到，从表面到尖端的路径是弯曲的，从一边到另一边的路径则是平直的，如果我们把它垂直折一下，从一边到另一边的路径变成了弯曲的，从表面到尖端的路径则变成了直线。
这说明什么呢？不论比萨怎么弯曲，它的表面上总有一条路径是平直的（因为平直曲线的曲率是零，只要一条路径的曲率为零，最后的总曲率也为零）。如果从一边到另一边的路径是平直的，从前到后的路径一定是弯曲的；如果从一边到另一边的路径是弯曲的，从前到后的路径一定是平直的。
回到最初的问题———为什么不能用一张纸折出齐平的西瓜，或者展平一块柚子皮？原因在于，平面物体和圆面物体的高斯曲率不同。所以，下次点比萨的时候，不要忘了高斯和他的绝妙定理，不妨把比萨垂直折一下。卡尔·高斯
卡尔·高斯是一个神童。有一次，在学校里，老师让他把1～100的所有数相加，不到几秒钟，他就得出了答案。他发现，这100个数可以分成50对———1和100，2和99，3和98，依此类推，每一对数相加的和都是101，所以最后的结果就是101×50＝5050。23 短程线穹顶数学概念：短程线穹顶
你去过艾波卡特主题公园吗？有没有站在被称为地球号太空船的巨大球体下呢？如果有，你就见过所谓的短程线穹顶结构。短程线穹顶由三角形组成，它们彼此相邻，一个三角形的顶端与另一个三角形的底部相接。所以，短程线穹顶并非一个平滑的球体或穹顶，而是不平滑的，有棱角的（就像迪斯科球灯）。
美国建筑师巴克敏斯特·富勒致力于用工程学解决人类的问题，20世纪90年代中期，他就大力推广这种轻而坚固的短程线球体和穹顶。三角形的结构远比四边形的结构稳定。富勒希望将短程线穹顶建成高效、低成本的住房，为大众提供经济性住房。这种住房之所以成本低，原因在于它的形状：球体能用最小的表面积包围一定的空间，理论上将降低建材的成本；开放的内部空间也利于空气流动，从而降低供暖和制冷成本。事实上，短程线穹顶正体现了富勒以少博多的概念。
我们也可以把短程线穹顶当成柏拉图多面体的变体（参见第20章）。和庄严、美观的多面体一样，短程线穹顶也是由一种多边形———三角形———构成的，除了一点，短程线穹顶中的三角形是向外凸出的，所以更接近包裹穹顶的一个假想球体的面。和柏拉图多面体一样，短程线穹顶也展现了几何学的力量。
如果你想亲眼看看短程线穹顶，不必去迪士尼乐园，可以去圣路易斯的密苏里植物园，参观那里的人工气候室———那里有一个高70英尺、直径175英尺的穹顶，它是由铝杆和有机玻璃板建成的。
为什么穹顶形的建筑没有得到推广呢？或许是因为，穹顶的可用空间比一般的住房小。巴克敏斯特·富勒
巴克敏斯特·富勒走在他所在的时代前端。他以创新发明闻名于世，像有三个车轮的戴梅森车，致力于促进人类的进步，找到以少博多的途径。他对语言的发展也做出了贡献，创造了“地球号太空船”和“协同”两个词。24 数学幻想小说数学概念：几何学、维度
想象一个二维世界，其中充满了有知觉能力的形状———像三维世界里的我们一样思考和交流的四边形和六边形、线和圆。这是英国教师兼牧师埃德温·A．艾博特1884年出版的小说《平地：多维的罗曼史》的前提条件。小说的主人公是一个正方形，他向读者讲述了平地世界的法律和习俗，包括五角形的房子，这是为了避免它的角度太过锐利，让不小心撞上来的平地居民受伤。在平地世界里，直线是女人，锐角的等腰三角形（更适合战斗）是士兵和下层的劳动者，四边形和五角形（五条边）是中产阶级男人，六边形（六条边）则是贵族。总之，边越多，等级越高，等级最高的是圆，属于神职阶级。
这部小说最引人注目的地方在于，它解释了维度的概念。正方形到了线国和点国，还和一个三维世界———空间国的居民进行了交流。你可以想象，向一个二维生物解释三维会有多难。那么，该怎么办呢？可以跟他说，第三维在他居住的二维世界的“上面”，与它垂直，但这对他意味着什么？他怎么能想象一个不在平面上而是垂直向上的方向呢？《平地》帮助读者认识了维度的概念，在这一点上，自出版以来，它从未被超越。《平地》电影版
如果你不喜欢读书，可以看看2007年上映的《平地》电影版，它由马丁·西恩、克里斯汀·贝尔和迈克尔·约克配音，主要讲述了正方形亚瑟的旅程。25 足球不只是一个球数学概念：形状、几何学
你周末踢的足球蕴含着数学的奥秘。近些看，可以发现足球表面是由正五边形和正六边形重复排列组成的，这种图形被称为截半20面体：有12个正五边形的面和20个正六边形的面，共32个面。另外，每个正五边形的每条边都与一个正六边形相接，每个正六边形的每条边都与一个正五边形或另一个正六边形相接。但是，在真正的截半20面体中，所有的正五边形和正六边形都完全是平面的，而为了抹除棱角，让球更圆，足球的表面的正五边形和正六边形都是鼓起的。
截半20面体之所以比其他形状更引人注意，是因为它是一个阿基米德立方体。阿基米德立方体是以古希腊（也是人类历史上）伟大的数学家阿基米德的名字命名的，是指由两个或多个规则多边形（所有边长相等，如正六边形）组成的三维图形。与之相关的图形是柏拉图多面体，它的面也全部由相同的规则多边形组成（如正方体，它的面全是正方形）。
截半20面体不仅可以在体育中见到，它还以微观的形式出现在自然界，如巴氏球碳链，它是由60个碳原子组成的，以20世纪最伟大的建筑师巴克敏斯特·富勒的名字命名，直到20世纪80年代，人们才发现这种分子的形状是球形。某些病毒的形状也是截半20面体，如豇豆萎黄斑点病毒。无论是自然界还是人类世界，都会出现这种特殊的形状。阿基米德多面体
阿基米德多面体共有13种，包括截半立方体，它的面是由正方形和三角形组成的；还有截角八面体，它的面是由正方形和正六边形组成的。26 鲁比克魔方——玩具还是数学奇迹数学概念：形状、组合学、算法
最近你可能没玩过鲁比克魔方，但这种20世纪80年代出现的彩色拼图玩具，已经成为史上最畅销的玩具。魔方有六个面，每个面由三层共九个活动方块组成，这些活动方块共有六种颜色。魔方的难度很大，但也让人着迷：一旦魔方被打乱，玩家必须不断旋转这些方块，直到每个面的九个方块颜色完全相同。
鲁比克魔方既好玩又让人发狂，还体现了一些数学概念，其中一个是组合学，即研究如何以不同的方式组合一系列实物的学问。魔方方块的组合方式多到让人吃惊，实际上，共有43252003274489856000（约4300亿亿）种。一般人很难理解这个数字究竟有多大，假设你有4300亿亿个魔方，把它们堆起来，这座“魔方之塔”将伸到外太空。它究竟能伸多远呢？能伸到国际空间站吗？能伸到月球吗？答案可能会让你大吃一惊：这座“塔”的高度将达到261光年。
我们也可以通过其他方式来理解这个让人难以想象的数字。例如，4300亿亿个魔方可以覆盖273个地球的表面。或者，想象一下把所有的排列方式过一遍需要多久，假设旋转一层的方块需要1秒，把所有可能的排列组合过一遍需要大约1500万亿年，远远长于宇宙的年龄。
思考魔方的本质也有助于我们认识算法。在数学中，算法是指让人通过一系列清晰的步骤解决问题的指令（宜家书柜的安装说明也是一种算法）。参加魔方比赛这种解密游戏的人会熟记那些帮助他们把方块旋转到正确位置的算法，这种算法往往用一个字母或符号代表魔方的面，例如：
F＝前面B＝后面R＝右面L＝左面U＝顶面D＝底面
也有一些符号指示玩家是顺时针还是逆时针扭转方块，例如，F表示顺时针扭转前面，F’则表示逆时针扭转前面。因此，一个指示如何扭转中层方块的算法可能如下：
URU’R’U’F’UF
一般情况下，魔方玩家要熟记40个这样的算法。全世界最畅销的玩具
据估计，自1980年以来，全世界共售出了3．5亿个魔方，魔方成了全世界最畅销的玩具。换句话说，全世界约有1／7的人玩过魔方。27 纸张尺寸数学概念：几何学、比例
下次使用复印机的时候，仔细观察一下打印纸———它的设计用到了很多数学知识。国际标准化组织对打印纸，尤其是A型纸和B型纸的尺寸规定，有着几何学上的考虑，极大地方便了我们的复印。
A型和B型打印纸的一个特点就是页边距的比例。这两种型号的宽高比均为1∶槡2，也就是说，每张A4纸是A3纸的一半，每张A3纸是A2纸的一半。槡2可以确保每张纸的宽高比完全相同，每张纸都是更大尺寸的缩小版或更小尺寸的放大版。例如，一张A4纸宽210毫米，高297毫米，约等于美国的信纸大小，而一张A3纸宽297毫米，高420毫米。
这样一来，如果你想缩小A4纸的尺寸，可以把它转换为A5大小，这样将A5纸旋转90°后，就相当于一张A4纸的一半，不浪费一丝空间。由于每个尺寸的比例完全相同，不管怎么缩放，纸上的信息永远保持相同的宽高比。即使是在复印这样普通的事情上，几
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]