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作者：叶立军

出版社：浙江大学出版社

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数学课程与教学论试读：

第1章 数学课程与教学论的历史渊源

数学无论作为一门技术还是一种文化，为了延续、推广和传承，数学教育因而产生。一门科学的发展历史必然伴随着这门科学的教育历史，数学也不例外。现代意义上的教育，主要体现在课程设置和教学研究上，但一门学科的教育历史更为悠久和复杂，同时也显得有些细碎和凌乱，为了能够在纷杂的材料中理出一条较为清晰的脉络，下面将分古代数学教育、近代数学教育发展、现代数学教育的变化和趋势以及中国数学教育的特点等几个方面作一个介绍，希望从各个阶段、不同角度了解和审视数学教育。

一、古代数学教育的概况

古埃及曾开办各种类型的学校，如宫廷学校、职官学校、寺庙学校和文士学校等，而这些学校的数学课程都是不可缺少的。古埃及历史的主要考证文物是纸草书，其中以俄罗斯纸草书（公元前1850年）和兰德纸草书（公元前1800年）最为著名。例如，俄罗斯纸草书就记载这样的一个数学问题：“如果告诉你，一个截顶金字塔垂直高度为6、底边为2.4的平方得16,4的二倍为8,2的平方是4；把16、8和4加起来，得28；取6的三分之一得2；取28的二倍为56。看，它是56。你算对了。”这就是现在的四棱台体积公式。又如兰德纸草书中的“一个量与其14相加之和是15,求这个量”。它不正是一个一元一次方程的求解问题吗！

古巴比伦也创办了各类学校培养人才，而数学是学校的主要教育内容。两河流域文明的记载主要从泥板书中获取，泥板书是古巴比伦人祖传的一种记录和保存文字的载体。其中，普林顿322号泥板书（公元前1900年—前1600年）被称为数学泥板书。在这块泥板书上发现了符合毕达哥拉斯定理的数组。它比毕达哥拉斯时期早一千多年，比我国《周髀算经》（公元前1000年）中描述的勾股定理也要早几百年的时间。另一种泥板书，汉穆拉比时代泥板书（公元前1700年）则记有如下的问题：一块长方形土地面积加上长，与宽之差为183,而长与宽之和为27,这块地的长、宽、面积各几何？这样的数学问题在那个年代已经是非常“高深”的了。古代印度的教育与宗教密切相关。公元5世纪前的各类学校就已经涉及数学内容。到了5世纪后期，围绕寺院这个中心的各种学术风气越来越浓，也促成了代数的发展。印度·阿拉伯记数法、一元二次方程的求根公式等数学知识对周边国家的影响深远。

中国古代数学以《周髀》（西汉初期的一部天文和数学内容的著作，唐朝时改名《周髀算经》）和《九章算术》最为著名。后分别经魏晋时期的赵爽和刘徽的注释，从而影响深远，广为流传。如果说原著作是以记载式为特色、以收集数学知识内容为目的的数学书籍，那么相应的注释则可以说是古老的数学教科书了，起到了推广数学、传播数学的作用，它们的数学教育意义很有分量。其中的勾股定理、十进制后来都成了家喻户晓、妇孺皆知的数学常识。而“鸡兔同笼”、“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”等数学问题则以“游戏”的形式出现，寓教于乐。

古希腊的许多著名哲学流派如爱奥尼亚学派、毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、巧辩学派等，与数学渊源深厚。这些团体的学术活动以数学研究为主要内容，他们的许多成果就是数学，如几何、古典数论等。而数论、几何、音乐和天文在当时被称为“四艺”，备受推崇。稍后的欧几里得《几何原本》（公元前300年）既是一个集古希腊众多思想家智慧于一身的学术成果，也是一本完整的学生课本。可以说，《几何原本》是历史上使用时间最长的数学教科书，被誉为“西方数学的代表作”。另外，如果说《几何原本》是集思辨于数学的典范，那么作为天文学家、力学家和数学家的阿基米德则是古希腊少有的“应用数学”的楷模，他在杠杆原理和重心理论等力学问题上作出了突出的贡献，他的著作《杠杆论》、《支柱论》和《板的平衡》就是数学应用的典型例子。

二、近代数学教育的发展

在此，我们略过西罗马帝国灭亡（公元476年）至文艺复兴这长达一千年的漫长的“黑暗中世纪”。因为，其间数学研究和数学教育也几乎处于“停止”的状态。但是，伴随着文艺复兴这场反封建、反神权的伟大运动的到来，束缚了人们一千多年的思想似乎一夜之间获得了解放，数学也不容例外地重新进入人们的视野之中，获得了前所未有的重视。“复古”与“新生”交相辉映，数学既回复到古希腊数学的优良传统，又在新的时代之中插上“思想自由”的翅膀，带来了“数学想象”的巨大活力。在各个国家的大学课程中陡然增加了数学课程的授课时数和数学知识内容的比重，代数学、三角学则成为数学学习的全新内容。这一切，为近代数学的大发展奠定了坚实的基础。

特别是，随着17世纪的英国资产阶级革命爆发、18世纪的美国独立战争取得胜利以及法国资产阶级革命的成功等，资本主义获得快速发展。思想的解放，文化的繁荣，生产的发展，资本的扩张，经济的腾越，必然带来对人才的迫切需求，教育的革新也被提到日程上了。同时，夸美纽斯、洛克、卢梭的新思想极大地影响了数学教育，促进了数学的发展。

其间，在数学课程与教材方面，取得了突破性的发展。除了欧几里得《几何原本》继续被广泛地使用之外，《几何原理及测量》、《数学原理》、《数学教程》以及《当代代数全书》等成为当时较有影响的数学教科书。19世纪为了适应经济发展的需要，“计算数学”有了大的发展，甚至还出现了“计算学校”。

19世纪，对教育具有划时代意义的是，义务制教育被各国强制推行，数学教育也因此而受惠。

正因为如此，数学本身的研究也在这几百的时间里得到迅猛发展。例如，费尔马先后对数论、解析几何、概率论、微积分等作出了开创性的研究，“数学之花”遍地盛开；笛卡尔作为《方法论》的附录发表《几何学》，开创了解析几何之先河；牛顿于1687年出版《自然哲学的数学原理》，微积分理论的“古老方法”获得新生；高斯1801年著《算术研究》，现代数论研究从此拉开序幕。像傅立叶级数、柯西定理、阿贝尔函数、罗巴切夫斯基非欧几何、伽罗瓦群论、维尔斯特拉斯语言、狄利克雷级数、布尔代数、黎曼几何、戴德金分割、康托尔集合论、庞加莱拓扑、希尔伯特公理体系、波莱尔测度等等，都是这个时代的耀眼明珠。

三、现代数学教育的变化和趋势

19世纪末20世纪初，社会生产力和科学技术的迅猛发展，反映在教育的变化更为复杂和曲折。数学教育的改革既取得了不少成功的经验，也走过不少弯路。具有代表性的事件有如下数学教育改革的“三大运动”。（一）培利—克莱因运动

1901年，英国皇家理科大学教授，被誉为近代数学教育改革的先驱的数学家培利（John perry,1850—1920）在英国科学促进会于格拉斯哥召开甲组（数学与物理）与乙组（教育）联盟会议上，发表了题为《论数学教育》（Teaching of Mathematics）的演讲。在演讲中，他主张数学的实践并不是教会学生一些技巧，并不是将抽象的理论如何运用于自然现象和社会现象，恰恰相反，而是在自然现象、社会现象和实践中发现数学的法则，明确提出数学教育要强调应用。1902年，培利发表著作《关于数学教育的讨论》（Discussion on the Teaching of Mathematics）进一步提出了一系列的改革方案，其中心思想是：

①强调数学的实用价值问题。一是数学要从欧几里德《几何原本》的束缚下解放出来；二是注意数值计算、对数的使用、代数公式的应用，及坐标纸的应用，重视实验实测等技术教育。

②要实行适应学生个性发展的个性教育。

③反对为了通过考试的数学教育。

培利的这些数学教育改革措施以及所包含的数学教育思想逐渐被人们所接受，存续两千多年的欧洲数学经典教科书《几何原本》第一次遭遇到空前的挑战，数学教育中欧氏几何一统天下的格局由此而被打破，此后出版了许多不同类型的教科书，影响广泛，学生学习数学的兴趣也因此得到极大的提高，20世纪的数学教育进入了一个崭新的阶段。

与此同时，慕尼黑工业大学教授，在椭圆函数论、微分方程论、几何学方面都有光辉的业绩的德国数学家F.克莱因（Flix Klein,1849—1925）则积极主张数学、物理、工学内容一体化（统一起来）。这位数学家在大学任教期间就一直关心数学教育，并给志愿当教师的学生开特别教育讲座。1904年，在德国自然科学会议上，F.克莱因发表了《关于中学数学与中学物理的若干问题》，也提出了类似于培利的数学教育改革措施：

①顺应学生心理自然的发展，安排教材，选取教材；

②融合数学诸分科，并且使数学和其他各门科学紧密相联；

③不能过分重视数学的形式陶冶，应该把重点放在应用方面，培养学生用数学的方法观察自然现象和社会现象的能力；

④为培养这种能力，必须以“函数观念”和“直观的几何”作为数学教材的核心。

这些措施的要点是强调数学的应用性，教育心理研究成果的指导性，以及突出函数的核心性。这些全新的观念无疑给当时沉寂而落后的数学教育注入了新鲜的血液，推动了整个数学教育观的变更。同时，及时地把这些观念付诸于实际的行动。例如，1908年在德国出版了一套全新的教科书，这套教科书在内容上把平面几何、立体几何、代数、三角、解析几何、微积分等内容融会为一个整体，增加授课时数（每周4~6小时），教学效果非常好。而且克莱因本人还发表著作《从高观点看数学》，在理论上对其观点作出积极的宣扬，促进了数学教育的现代化进程，推动数学教育观的更新。

培利、克莱因在20世纪初，极力提倡数学教育要进行改革并提出了自己的主张，成为50年后世界范围内数学教育现代化的先声。随后，法国的波利尔（1871—1956）、美国的慕尔（1862—1931）也纷纷响应他们的号召，提出数学教育改革（现代化）的主张。由于这次数学教育的改革影响广泛，波及美国、日本在内的几乎所有的资本主义国家，在数学教育历史上是一个次重要的数学教育观的转变，因此人们把它称作培利—克莱因运动。

尽管在此后的二三十年间，数学教育现代化并无多大进展，但他们的主张，却埋下了后来20世纪60年代数学教育现代化的种子，给后来世界范围内的数学教育现代化带来了深远影响。（二）“新数”运动

第二次世界大战结束后，一些工业先进国家转入了经济恢复时期。由于生产发展的需要、科学技术发展的需要、数学科学自身发展的需要，使得中学数学教育再也不能保持着所谓传统的教学内容和方法了。特别是在1957年10月4日，苏联发射了第一颗人造地球卫星，使得自以为“世界霸主”的美国朝野震惊，深感教育的落后、科学人才的缺乏。美国认为出现这种“导弹差距”的根本原因，在于数学教育的落后。于是他们便从数学教育的改革入手，提出新数学运动——数学教育现代化。

1958年春，美国成立了规模宏大的“学校数学研究小组”（School Mathematics Study Group，SMSG），进行数学教育改革的研究工作，并动员了全国的人力和舆论，致力于数学教育现代化工作。

对数学教育现代化运动的兴起有决定意义的是1959年9月美国“全国科学院”在伍兹霍尔召开的一次会议。会上全面研究了中学数理学科的改革问题，提出了课程改革的四个新思想：

①学习任何学科，主要是使学生掌握该学科的基本概念、基本原理和基本方法，这就是所谓结构思想；

②任何学科的基础知识都可以用某种方法教给任何年龄的学生，即所谓早期教育思想；

③以往教学只培养逻辑思维能力，而今后则应重视发现的能力，或称之为直觉思维的能力；

④学生学习的最好动机不是为了应付考试，而是对数学的真正兴趣，因而提出了教材的趣味性和教学方法上的一系列问题。

这次会议还提出了数学教育的实用性要求。

1959年11月，在法国莱雅蒙召开了关于数学教育改革的国际会议。会议一致肯定了数学教育改革的重要性，并组织了一批学者编写理科学生用的“中学数学教育现代化大纲”。会上集中讨论了三个问题：

①新的数学思想；

②新的数学教育手段；

③教学手段的改革。

会后，西方各国纷纷组织了研究机构，开始形成了国际性的数学教育现代化运动。

1962年在瑞典召开了国际数学教育会议，有21个国家报告了教学改革（1959—1962年）情况，引起了国际数学教育界的重视。同年联合国教科文组织在匈牙利的布达佩斯召开了国际数学教育会议，有17国参加，到会者互通情报，交流经验，对数学教育改革起到推动作用。

数学教育现代化在20世纪60年代形成高潮，其中影响较大的是美国的“学校数学研究小组”（SMSG），他们集中了人力，在几年之内编出了从幼儿园到大学预科的“新数”教科书、数学教师手册、各种课外阅读读物达百种之多。其中中学数学教科书为《统一的现代数学》。

英国的“学校数学设计组”（School Mathematics project，SMp）编写了从幼儿园到大学预科的《统一的现代数学》。美英两国的教材反映了当时现代化的思想。20世纪50年代末至60年代这场以学校数学课程现代化为主要内容的数学教育改革运动几乎波及了全球，世界各地相继出现了新的学校数学教学大纲、新的数学教材，“新数学”的洪流在冲击着数学。人们称此运动为“新数”运动。

1958年及以后的几年，中国处于大跃进时期，也受到国际数学教育改革的一些影响，掀起了教育革命，编出了中学九年制、十年制教材。后来也总结了一些经验。

1969年8月，国际数学教育会议（ICMI）在法国召开第一次会议，有37个国家参加。自此数学教育改革问题提上了重要议程。该组织历次会议的中心问题都是数学教育改革问题，它促进了数学教育现代化的进展。

20世纪60年代，世界范围内的数学教育现代化运动曾盛极一时，教师、学生、家长和社会各界人士都希望它取得“神奇的效果”。但是由于各种因素的相互制约，导致了整个运动在某些地区受到挫折。一些地方上的中、小学数学教学质量下降。到了60年代末70年代初，“新数运动”遭到猛烈批评，许多人提出了“回到基础”（back to the basics）的口号，批评主要有以下几点：①学校数学应面向全体学生而不是培养数学家；②抽象概念过早引入学生接受不了；③新数学忽视应用；④数学不能割断历史，传统数学是基本的，不能大量删除；⑤二进制之类的东西也不必人人都搞。总之，“新数学”的高潮已经过去，但仍有人坚持试验，相信总有一天会取得成效。他们相信：“现代化的潮流是阻挡不住的。”

1980年8月10日—16日在美国伯克利举行第四届国际数学教育会议（ICME－4），会议对20年来的数学现代化的成败得失进行了分析和评价。会议总结报告认为，这次现代化运动的主要特征是在中学引进了现代数学的概念，使整个数学课程结构化。其特点是：

①追求现代化。为追求现代化，在中学数学教材中放入了大量现代数学内容，如集合、逻辑、群、环、域、矩阵、向量、概率、统计、计算机科学等。还使用了大量的现代符号，如∈、∪、∩、、、、等。甚至在小学教材里也加进数的理论、简单的概率、统计、代数、函数等。

②强调结构，追求统一化。不分算术、代数、几何等科，以集合、关系、映射、运算、群、环、域等现代数学观点把中学数学教材统一为浑然一体的逻辑内容。

③采用演绎法，追求公理化方法。首先，它强调了集合论，从小学就渗透集合的概念，同时强调数理逻辑的初步知识，把几何中的公理法搬入新教材，至于代数结构更是公理化了的。这种做法，对培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力是有益的。

④破欧几里德体系，简欧氏几何内容。现代化的主要目标之一是打破欧几里德体系。各国想尽办法力图用其他方法解决几何问题，如有的想用代数法、向量法、变换群的方法，有的想用测度理论。总之，企图改造欧几里德几何学，并删去其繁杂内容。

⑤削减传统计算。认为大量的传统计算无助于加深学生对方法的理解。各国对计算的有关知识均有削减。

总结报告还认为，这次改革运动的主要缺点是：

①增加现代数学内容分量过重，内容十分抽象、庞杂，致使教学时间不足，学生负担过重。

②强调理解，忽视基本技能训练；强调抽象理论，忽视实际应用。

③只面向优等生，忽视了不同程度学生的需要，特别是学习困难的学生。

④对教师的培训工作没有跟上，使得不少教师不能胜任新课程的教学。

总结报告还认为，这次数学现代化运动取得了一些有益的成果：

①出现了一些对数学和数学教育有远见、有洞察力、有影响的数学教育工作者，在一些国家里建立了合作机构来研究课程的发展。

②大多数国家的中学数学课程形成了一个统一的整体，强调结构和原理。

③在国际上，数学教育工作者活动的联络网已形成。四年一届的国际数学教育会议使数学家、数学教育家、数学工作者之间的活动日趋活跃。

④数学教育的大改革使得教师更加集中注意教育的成果，使教师经常研究教什么、如何教、如何学三者之间的关系和一些问题。

上述评价基本上总结了前一阶段现代化运动的经验和教训。不管后人如何褒贬，但这次改革必将其在社会上的深远影响永远载入数学史册。“新数”运动又一次表现了数学教育观的变化和更新，反映了数学教育内在的矛盾和冲突，其背后的深层次原因是社会进步、科技发展对数学教育提出的新的要求，只是这种冲突是在较短时间内以集中爆发的形式出现的，这使人们在改革上所做的举措表现出动作过猛、步子过大的倾向，然而这次运动所带来的数学教育观的改变却不时地、反复地被人们所提及，对它的探讨和思考从来就没有间断过，事实上，人们对它的反思与其说是对这次运动本身还不如说是对数学教育的反思。（三）“数学大众化”运动

20世纪80年代以来，在吸取了“新数学”运动的深刻教训后，通过多年“回到基础”的“抚平创伤”，数学教育面向大众便成了明智的选择。1983年在华沙国际数学大会的数学教育委员会上，德国数学家达韦诺夫首先提出这一口号，产生了世界范围的反响，联合国教科文组织由此提出了“为大众的科学（science for all）”的口号。1986年国际数学教育委员会（ICMI）在科威特召开了“90年代的学校数学”专题讨论会，把“大众的数学”（mathematics for all）列在首位，并出版了由豪森（howson）等人编辑的总结报告——《90年代的学校数学》。“为大众的数学”这一口号已深入人心，其影响将延续到21世纪。世界各国都在这一潮流的推动下积极行动。美国全美数学教师协会（NCYM）于1989年3月出版了一本258页的文件（中小学数学课程与评价标准），旨在促进改革，提高质量，使就学的中小学生适应21世纪的生存需要。德国统一以后，巴伐利亚州学校用书出版社出版了一套教材，由德国文化教育部长会议制订数学教学目标与建议总原则，供一些州使用，在全德影响甚大。1982年英国政府文书部正式出版了（科克罗夫特报告），这是英国政府组织的“学校数学教育调查委员会”经过3年的广泛调查，研究了当代英国中小学数学教育问题，以该委员会主席科克罗夫特（Cockeroft）博士的名字命名，向英国政府提供的一份报告。它不仅是英国公认的这个年代数学改革的纲领性文件，在国际上也具有很大的影响。90年代初，苏联全苏中小学教育科研委员会数学组就中小学教育改革提出了一份“关于发展中小学数学教育的若干观点”的报告后，因为苏联解体而未及实行。我国则在大力提倡普及九年制义务教育的同时，提出从“应试教育”向“素质教育”转变的观点，“教育面向世界，面向未来，面向现代化”已成为数学教育的改革方向。“为大众的数学”这一口号就数学教育而言，蕴含两层意思：其一是数学教育必须顾及所有人的需求，使每个人都在数学教育中得益；其二是指不同的人可以达到不同的水平，但数学教育存在一个人人都能达到的水平。随着“为大众的数学”思想的兴起，下列问题是亟待解决的：

①数学是否应在为大众的课程中保持其核心地位？

②什么样的数学课程才符合大多数学生的需要？

③如何根据不同的需要有效地区分学生和课程？何种程度的区分是需要的，可能的？

④如何理解数学教育的“机会均等”与“各取所需”的矛盾？“为大众的数学”作为国际性的思潮，不仅对数学课程的设计提出了新的要求，而且将对整个数学教育产生深远的影响。“数学大众化”运动反映了数学精英教育向数学大众教育的转变，标志着数学教育观的又一次重大转变，它使我们的数学教育变得更加成熟和更具理性，也更符合现代社会的发展趋向。“为大众的数学”任重而道远，会遇到种种阻力，产生新的问题，面临新的挑战，但是数学教育观念的不断更新将是一种永恒不变的规律，也许在将来还有再一次的数学教育领域中的改革运动出现，那应该也是一次数学教育观的转变，是数学教育的又一次历史性进步。

四、中国数学教育的特点

从我国的情况看，数学教育经历了一个由《数学教学法》到《中学数学教材教法》再逐步过渡到《数学教育学》的发展过程。

19世纪中叶，随着国门的“被打开”，近代教育理论和教育制度于清同治年间跟随西方文化意识涌入中国，后来逐渐建立各学科的教学法，也包括数学教学法。

新中国成立以后，我国高师院校数学教育专业开设了《数学教学法》课程，其研究基本上是照搬苏联的做法，其表现特点是典型的“教学原理加数学例子”。

到了60年代，随着经济的发展，社会对人才的培养技能规格有了新的要求，数学教育不再是以传授知识和培养技能为主要目的，而应是通过传授知识去开发学生的智力、培养能力，使学生得到全面的发展。由于数学教学目标的转变，数学教学法的研究对象和任务也相应地得到了扩展，除了研究中学数学的讲授方法外，还要研究对教材的分析，研究对学生数学能力的培养等问题，于是，进入80年代，《数学教学法》课程就发展为《中学数学教材教法》。

而后，数学教育目标进一步扩展，提倡在数学教学活动中，突出发展学生的思维能力，而且在“大众数学”的意义下，全面提高学生的数学素质，即数学教育不再是以少数学生的升学作为主要目标，而是以提高全民的数学素质为宗旨，这又给数学教育的理论研究提出了新的课题。要使数学教育面向大众，同时又要充分地发挥数学教育的功能，就必须研究学生的数学学习心理，研究数学的课程理论。

由此，到了80年代末期和90年代，“数学教育学”便应运而生。其间，各式各样的以数学教育研究为主题的讨论班、学习班、研讨会在全国各地频繁展开，而相应的专著和教材也是层出不穷，可谓遍地开花。

说到中国数学教育的特点，离不开中国教育的三个关键词：减负、素质教育、新课程标准。

早在1964年，北京铁路二中校长魏莲一给上级写信，建议为中小学生“减负”。这是新中国第一次“减负”的呼声。毛泽东主席曾为此作出批示：“现在学校课程太多，对学生压力太大。讲授又不甚得法……”2009年，《中国教育报》在庆祝新中国成立60周年特刊上刊登此事。

0在21世纪之交，中国教育改革风起云涌。1999年6月中共中央国务院率先作出《关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》，紧接着的2000年1月，国家教育部发出《关于在小学减轻学生过重负担的紧急通知》，“减负”的呼声再一次响起。与此同时，国家教育委员会于2001年5月发布《积极推进中小学实施素质教育的若干意见》，“素质教育”受到全社会的极大关注和期待。

正是在这样的教育改革的热烈氛围渲染下，新课程改革很快就拉开了序幕。2001年5月国务院发布《关于基础教育改革与发展的决定》，2001年5月教育部发行关于印发《基础教育课程改革纲要（试行）》的通知，各地从此进入了如火如荼的新课程改革的全国大试验。时至今日，也有十个年头了。数学教育也在我国教育改革大背景下，进行着自己的试验、研究和探索。

第2章 数学课程与教学论的研究对象

①教学目的（为什么教）；

②教学对象（教谁）；

③教学内容（教什么）；

④学习方法（如何学）；

⑤教学方法（如何教）；

⑥教学评价（效果如何）。

从中学教育的总目的出发，结合数学科学特点及它在现代科学、技术和生产中的地位和作用，根据中学生个性发展和年龄心理特点的发展，首先必须确定中学数学教学的目的和任务。其次，依据目的和任务，便可确定教材内容，并且可依据教材内容和学生思维活动水平制定出适宜的教法。学生学习效果的优劣，直接影响下一步教师的教学和学生的学习，因此对学生学习质量的测试与评估亦不可忽视。

在第一小节中可以看出，20世纪以来，随着科学技术的迅猛发展，社会对数学教育提出了新的、更高的要求，因而世界各国对数学教育，特别是中小学数学教育的改革都进行了程度不同的探讨，而且这种不仅在理论上，同时也付诸实践的数学教育改革还在不断地深化和发展着。

从理论上看，数学教育的研究对象已形成了包括数学教学论、数学课程论、数学学习论、数学方法论、数学思维论、数学教育测量与评价等围绕数学教育为中心的学科群。数学教育，已成为学科教育研究中最活跃的学科之一。相应地，数学教育类的课程正在不断地改革、充实和完善。

关于数学教育的研究对象，目前尚无统一的定论，比较趋于一致的观点是：数学教育的研究与实践应包括数学课程论、数学学习论和数学教学论三个部分。这种观点是由德国学者鲍斯费尔德（h.Bauersfeld）在第三届国际数学教育会上提出来的，后来美国的汤姆·凯伦（Tom Kieren）在一篇题为“数学教育研究——三角形”的文章中将其发展，把课程、教学、学习比作三角形的三个顶点，构成一个紧密相连、彼此渗透和交织的三角形。

具体地说，数学教育的主要研究内容可概括如下：

一、数学课程论的内容

数学课程论的内容包括：

①数学教学内容。即教什么内容、为什么要教这些内容等问题，涉及数学教学内容的选择和编排。显然，这就必须研究数学课程与社会的关系、与数学教育价值的关系以及与学生认知水平的发展关系等，研究如何处理好数学课程与社会、知识、学习者之间的协调性，使这几方面得到和谐统一的发展。

②数学课程的发展。了解数学课程发展历史，揭示课程演变的某些客观规律，对目前的数学课程进行修正和对未来的数学课程编制做出正确决策。

③数学课程的评价。进行新课程教学实验，研究课程目标，建立评价体系，检验课程实施结果等，给课程改进和新课程的编制提供依据，同时还可促进教学方法的改革和发展。

二、数学学习论的内容

数学学习论的内容包括：

①数学学习的心理规律。包括数学概念、命题、问题解决的学习心理过程，技能的获得与应用，数学认知结构与迁移，数学学习中的非智力因素等。

②数学能力与数学思维。研究数学能力的结构与成分，数学能力与一般能力的关系，数学能力的培养途径，数学思维的分类、过程及方式，数学思维能力的培养等。

三、数学教学论的内容

数学教学论的内容包括：

①数学教学的目的和任务。

②数学教学原则。

③数学教学过程、教学组织形式以及教学手段等。

④数学教学方法。

⑤教学效果的检测与评价。

从上述的学习内容可以看出，数学教育与数学、哲学、教育学、心理学、逻辑学以及其他现代边缘学科如信息论、控制论、社会行为学等学科密切相关，具有明显的综合性，但这种综合性并不是将这些学科的一些内容随意地、简单地加以拼凑与组合，而是从数学与数学教育的特点出发，运用各个相关学科的原理、结论、思想、观点和方法来研究、解决数学教育本身的问题。因此，从这个意义上看，数学教育研究已经自成一体，相对独立，有着自己特定的研究对象和特殊的研究方法。

总之，本课程将以数学课程论、数学教学论为主线，加入部分数学学习理论以及数学思维、数学能力的研究组成一个框架，围绕这一主线，在框架内的讨论则力求宽泛而深入。

第3章 数学课程与教学论的基本特征

数学教育虽然只是整个教育领域中的一个分支，但由于数学教育涉及范围广，参与人员众多，社会影响力大，它的一些改革举措往往备受关注，因此可以说数学教育已经成为了一种社会文化现象，所以对数学教育本身的特点的分析和把握显得非常有必要。综合多数研究者的看法，一般认为数学教育具有综合性、实践性、科学性、教育性和学科性等基本特点。下面对这些基本特点作一个简单的介绍。

一、数学教育具有明显的综合性

从学科结构上看，数学教育学与众多学科相关，是多门学科的交叉学科，因而这些学科的部分理论、思想和方法可以引入数学教育学中来，作为其基本的理论基础。

同时，数学是数学教育的具体内容，数学学习是一个特殊的认识过程，这是由数学本身的特点决定的，因而，数学教育学要研究中学数学课程的结构、教学原则、教学方法、学生学习以至教学全过程，必须立足于数学专业知识和教育理论。因此，数学教育学是一门理论性、综合性的学科。

当然，这种综合性也是有一定层次结构的。第一层次包括信息论、控制论、社会行为学、文学语言、艺术修养、社会伦理等，称之为人文通识修养层面，是最为广泛的基础支撑。第二层次以教育学、心理学为中心内容的现代教育理论以及相关内容，称之为教育通识修养层面，所涉面相对窄一些，专业性强一些。第三层次以数学、哲学、逻辑学为主要内容的学科专业理论，称之为学科通识修养层面，所涉面相对更窄一些，也更为专业化一些。这样的综合层次结构可用三角形的图示如下：

数学教育综合性特点的层次

二、数学教育具有强烈的实践性

教学是一种实践，这就决定了数学教育学是一门实践性很强的理论学科。

首先，数学教育理论是以广泛的教学实践经验为背景，在实践的基础上产生和发展起来的。数学教学实践是数学教育学的根基，离开了教学实践，数学教育学就成了无源之水。因此，数学教育学要制定教学目标、评价体系等，都必须经过实践，在实践的过程中积累经验，再总结和概括出理论体系，所形成的理论又必须经受实践的检验。此外，数学教育学还需要以试验为基础。课程教材的改革、新教学方法的使用，都必须进行试验，经过验证、修订后，再加以推广。“新数运动”由于受潮流的推动，未经实验就推广，缺乏实验依据，结果必遭受挫折。这一历史的教训再次表明了数学教育研究必须立足于实践。

其次，数学教育学又要反过来去指导实践，服务于实践。由于数学教育学是由若干数学教学经验的积累，再经过实践的检验，去伪存真而逐步形成和发展的，因此，这些理论就可以在一定意义下去指导新的数学教学实践。

三、数学教育具有严肃的科学性

科学性是任何一门学科最基本的特点。数学教育理论的内容、方法是随着社会的发展，时代对教育提出的新的要求以及科学技术、教育科学研究的发展而不断充实和改进的。

数学教育的一般规律是客观存在的，然而揭示这些规律的方式又不唯一。就教学论而言，根据教学原理对教学提出的教学原则就有几十种之多，由于人们认识的角度和深度不同，对同一个问题就有可能有多种不同的看法，但目标却是相同的，都是为了以明确的方式去揭示数学教学规律，使教学过程最优化，使数学教育的功能得以充分的发挥。事实上，这也就决定了数学教育必须随着人们认识客观事物的逐步深入而不断发展。

数学教育理论和实践的发展性，还体现在它们受到科技发展水平的制约这一方面。例如，人工智能理论的崛起，直接促进了现代认知心理学的理论研究，从而也就扩展了数学学习心理学的研究领域。计算机的出现并被广泛地用于辅助教学，这就使数学内容的选择、教学方法的改革和教学形式的更新诸方面都必须作相应的重新认识和深入研究。

数学教育研究还要体现科学的态度。严谨、求实、实证的科学理念将是研究数学教育的重要保证。浮夸风气、盲目跟风、空洞说教等陋习被人们所摈弃，在数学教育的研究领域也逐渐失去了它们的市场，这是一个令人欣喜的现象。

四、数学教育具有广泛的教育性

人是教育的对象，这就从根本上决定了数学教育学的教育性。首先是由于人才观的不断更新所带来数学教育学课程在人才培养观念上的变化，例如，原来的计算型人才向应用型人才转变，传统的知识型人才向能力型人才转变，伴随着社会的发展，单纯的研究型人才也需要向创新型人才转变。其次是现代教育的形态变得愈加多样，教育的性态表现得更加开放，这使得数学教育学课程本身应该接纳来自各类专家和各个不同领域的学者的建议和观点，博采众长，同时也要积极开展地区之间、省与省之间和国家之间广泛的合作与交流，来不断地适应社会对数学教育提出的新的要求。所以我们对课程安排、教材编写、教学设计、学习指导等各个教学环节都要作认真的研究，以达到教书育人的最佳效果。

五、数学教育具有突出的学科性

学科性是指这门学科本身的独特性而带来的（产生的）对相应的这门学科的教育的特殊要求。数学教育的学科性主要由如下两方面的变化体现出来：一是数学观与数学教育观逐渐形成，并且越来越受到大家的关注，人们对它们的认识也更为深入；二是人们对数学本身以及它的性质的把握也比以往更加准确和完整。下面对这两点作一个分析。（一）数学观与数学教育观

对数学教育的研究，让我们不得不关注的两个问题是，数学观和数学教育观。两者分别是对数学和数学教育在高维度上和宽视野中的审视，是对数学和数学教育在宏观形态上的把握，是一种意识、一种态度的表达，它们的影响力对数学教育的辐射作用日趋明显。与此同时，数学观和数学教育观两者本身是密切联系的。首先，数学教育必须反映数学内在的规律。其次，数学教育毕竟是为数学的发展和数学的应用服务的。完整的数学观对数学教育的引导作用是显而易见的。反过来，先进的数学教育观也为数学的发展和应用指明了正确的（即符合社会进步和发展主流的）方向。

数学教育的发展史表明，数学教育改革的焦点一直是在数学课程的改革上。但这只是一个表面现象，在其背后存在着数学教育观的转变这条主线，历史上每一次重大的数学教育的改革运动无不诱导于数学教育观念的变革。上面我们所介绍的数学教育历史上多次风起云涌的数学教育改革运动，就展示了人们数学教育观的不断转变和更新。而且，这些改革运动的成果对数学、数学教育、科技发展乃至社会进步都带来了深远的影响。由此可见，数学教育观左右着数学教育的数学学科属性。

另外，人们对数学的看法其实是各不相同的，可谓是仁者见仁，智者见智，但从数学整个发展历史过程中，各个国家、不同地区在各个社会历史发展时期表现出来的对数学的看法，亦有几种较为典型的代表，我们把这些观点加以汇总称之为数学观（the view of mathematics）。完整的数学观将引导着数学教育的正确走向，同时也能够突出数学教育的数学学科特点，但是，对数学观的研究还不够深入，下面只是对几个有代表性的类型作一个解释。

1数学的哲学观

把数学看做一门哲学，古而有之。数学要回答自然的本源问题，这一点上与哲学的研究目的完全相同。其中比较有代表性的国家，一是古希腊，二是德国。

古希腊哲学鼻祖泰勒斯（公元前624年—前547年）所创立的爱奥尼亚学派，致力于数学问题的研究，如测量金字塔高度，给出全等三角形公理等。毕达哥拉斯（公元前580年—前600年）更是把他的哲学基础建立在“万物皆数”之上，试图用数（整数）解释整个世界，他心目中的哲学其实就是数学。后来的古希腊哲学家柏拉图（公元前430年—前349年）、亚里士多德（公元前384年—前322年）等，也无一不和数学结下不解之缘。可见，在古希腊，数学和哲学是融于一体的，不分彼此。

德国在文艺复兴之后，重新拾起古希腊先辈们所恪守的追求理性、严整的哲学精神，涌现出一大批哲学家如尼采、黑格尔、恩格斯等。在数学上，也同样继承了这样的风格，出现众多数学巨匠，同时创立了许多新的数学理论和分支。如高斯的《算术研究》、雅可比的椭圆积分、维尔斯特拉斯的解析函数论、狄利克雷级数、格拉斯曼的n维空间、库默尔的理想数、里斯丁的拓扑学、黎曼几何、戴德金分割、康托尔的集合论、希尔伯特公理体系等等，这些例子不胜枚举。因此，从这个层面上讲，与其说德国数学家在研究数学问题还不如说他们在思考哲学，至少他们是在哲学的高度上去勾勒数学的线条，用哲学的观点来刻画数学的思想。

2数学的科学观

数学的出现和发展，是因为实用，能够解决实际中碰到的问题，科学也一样。后来由于数学研究的特殊性，数学便从自然科学中分离出来，成为一门独立的科学。但是科学的一些主要特征依然保存下来，如实用性、创造性等。因此，许多国家一直以来都是把数学归为与其他自然科学一样的科学类型，甚至直接认为数学也是一门自然科学，数学的科学观因此而形成。其中，在古代中国、近代英国和现代美国体现得较为明显。

中国古代的数学代表著作，像《周髀算经》、《九章算术》以及《孙子算经》等，无一不以实际问题为研究对象，所涉问题遍及日常生活、农业生产、天文历法等所有实际问题，当时数学的研究状况就代表了科学的发展水平。也许是科学的其他分支还没能自成一体吧，数学包纳了一切，统领了整个科学领域。与古希腊数学有明显区别的是，中国古代的数学轻理论归纳而重应用创造，像墨子、祖冲之这些人物更准确的定位是科学实践家。

近代英国爆发工业革命，生产力大发展，资本急剧扩展，数学的应用功能是强有力的支撑，同时也促进了数学各重要分支理论的蓬勃发展。

现代美国，特别是第二次世界大战之后出于东西方的军事竞备、太空较量的需要，在全世界范围内对数学的高科技人才的收罗，把数学的应用性发挥在各个领域，特别是高科技领域，并以此来提升和巩固其世界霸主地位，一时间，数学的解决就等于高科技的观点深入人心。

3数学的艺术观

艺术在百度百科中的解释是：“一种文化现象，大多为满足主观与情感的需求，亦是日常生活进行娱乐的特殊方式。其根本在于不断创造新兴之美，借此宣泄内心的欲望与情绪，属浓缩化和夸张化的生活。文字、绘画、雕塑、建筑、音乐、舞蹈、戏剧、电影等任何可以表达美的行为或事物，皆属艺术。”概括起来，艺术具有两大基本要素，一是丰富的想象力，二是独特的表达方式。数学也是如此，数学活动就是创作活动，靠的是（思维上的）想象，没有这种想象也就没有数学。其次，数学是在以字母符号为主体的数学特有语言上进行想象、思考和创造的，无论是数学过程还是数学结果，其表达方式独具特色、自成体系。因而，人们把数学看作一门艺术，数学的艺术观因此而提出。

无论是古希腊毕达哥拉斯学派的“毕达哥拉斯音阶”、达·芬奇的加减（+、—）符号和几何研究、闵可夫斯基的“时空”观念，还是近代英国牛津大学数学讲师刘易斯·卡罗尔（Lewis Carroll）的对儿童文学的突出成就，都说明在许多时候，人们会不由自主地在艺术的层面上“摆弄”数学，或者在数学的海洋中捕捉艺术的灵感。

但是，我们发现法国在数学艺术观方面具有一定的代表性。

不知道是这个充满浪漫主义气息的艺术王国开拓了法国数学家们的想象空间，还是法国数学家们的数学创造灵感和数学艺术成就，为艺术领域提供了广阔的土壤和崭新的工具。也不知道是艺术家的数学特质还是数学家的艺术特质造就了法国数学的“艺术特色”。对此，我们很难定论，但是众多法国数学家的特别成就，给我们留下了深刻的印象。光从16世纪以来，法国数学家们的伟大创造，就能看出这一现象。如笛卡尔的解析几何、笛沙格的射影几何、费尔马的数论、帕斯卡的概率、达朗贝尔的判别法、拉格朗日的幂级数、蒙日的画法几何、拉普拉斯变换、傅立叶级数、柯西极限，以及庞加莱猜想等等，他们的成就无一不是“开创式”的，这与法国数学巨匠们善于“艺术地”思考数学是不是有着某种必然的联系呢？

4数学的文化观

在数学的早期研究时，人们往往只是把数学看做一种简单的工具，一个临时解决某个个别问题的手段。随着数学的发展，数学的结果（特别是它的思想方法）逐渐渗透于人们的日常生活和社会行为之中，其影响力不断扩大，数学也逐渐融合于各国的文化体系之中。如古希腊数学融入了它的哲学思辨、逻辑理性的文化之中，中国古代的数学也带有明显的“治理”、“统治”的封建政治文化色彩，而在法国这样的国度，数学早已被打上了浪漫主义的、自由开放的文化烙印。但真正把数学作为一种文化来对待，把数学活动当作一种文化传播的行为，美国表现突出，上述提及的“数学大众化”运动在美国率先发起，就是一个例证。

当然，信息社会的浪潮席卷全球，地球村的“顷刻”闪现，互联网迅速波及世界每个角落，已经使得当今社会再也离不开数学了，数学也不再是少数人的“奢侈品”，而是人人必需的“日用品”了。总之，在现代人的眼里，数学不是“小圈子”，而是“大文化”，人们已经慢慢地适应于在数学文化的氛围中生活、学习和工作了。

以上，我们“轻而易举”地从多个维度（哲学、科学、艺术、文化）来观察数学、谈论数学和看待数学，说明数学的姿态是“开放”的，数学的内容是广博的，数学的思想是精深的，所以，反过来，数学教育的学科性也恰恰体现在数学观的这种广博性之上。（二）数学和数学的特征

数学是什么？数学具有什么样的特征？这些看似简单的问题，在数学界至今却没有一个统一的回答，说法各异，仍存在着很大的争议，这是一个颇具意味的现象。产生这一现象的原因多种多样，既可能是认识方式上的，也可能是认识角度上的。但值得关注的是，无论以静态的观点看待数学及其特征，还是以动态、发展的观点看待它们，两者区别明显，由此得出的结论也迥然不同。事实上，对这两个基本问题作出一个统一的、完满的和最后的回答已经没有任何意义，而通过分析若能使大家对数学及其特征有一个更为深刻的认识才是一件于数学研究和数学教育研究都有益的事。为此，我们在这里就这两个问题作一个一般性的分析。

1数学是什么

对于数学研究的对象问题，从历史来看，以古希腊为代表的西方数学，其研究的对象可以说是“数”（数的性质）和“量”（几何量）这两大基本对象，这两大对象因古希腊数学家欧道克斯将数与量人为地分离而产生，曾被人们比喻成数学的两条腿，也可以说，数学正是迈着这两条坚实有力的“腿”由古到今一路走来的。而以古代中国为代表的东方数学，其研究的对象则是“数学问题”，这些问题不但可以是数学内部本身的，而且更多的是现实中的实际问题，对于这些问题的研究和解决，使人们更为深入地理解数学，促进数学的发展。因此可以说，数学的研究对象，从内部来说是数与量，从外部来说则是问题。

恩格斯在《反杜林论》中曾经给出一个经典的数学定义：数学是一种研究思想事物（虽然它们是现实的摹写）的抽象的科学。纯数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系。

随着数学的发展，数学的研究对象——空间形式和数量关系已经远远超越了“现实世界”的范围，表现得更加抽象化和非现实化，例如n维空间、向量、矩阵、群、环等研究对象很难再回到现实世界中加以复原描绘，因此人们普遍认为恩格斯这一经典的数学定义仅仅描述了19世纪以前的数学发展状况，而不能涵盖20世纪以来数学研究的新变化。

为此，人们提出了多种对数学的描述，如有人在恩格斯所作定义的基础上，根据数学的发展变化的情况认为数学的研究对象是“现实世界包括非现实的、想象的空间形式和数量关系”。也有人由布尔巴基学派的结构思想提出“数学是研究结构的科学”。随着对数学模型的广泛研究，有人也提出“数学是模式的科学”等。同时，有学者指出“凡是要研究量、量的关系、量的变化、量的关系的变化、量的变化的关系的时候，就少不了数学。……所以数学还研究变化的变化，关系的关系，共性的共性，循环往复，逐步提高，以至无穷。因此，从现代数学来讲，数学是研究量和量变的科学。其中纯数学是研究纯粹的量的科学，它是数学的基础部分”。

无论怎样刻画数学，数学自在我们心中。当我们多谈论一点数学，数学就离我们更近一点，也许我们不能达到数学的彼岸，但我们可以“无限接近”数学。数学离我们并不遥远，它就在我们的周围，就在我们身边。

2数学的特征

因为人们对数学的研究对象看法不一，所以在对数学特征的把握上也得出各不相同的结果，数学到底具有什么样的特征，也是众说纷纭，莫衷一是。但是在数学教育领域中，对这一个问题的探讨显得非常有必要，因为正确而完整地把握数学的特征才能更好地发现数学教学的特点，才能掌握数学教学的内在规律，提高教学效果。因此有必要在这里首先对数学的特征作一个分析。

通过上述对数学观的剖析，我们可以说数学既具有哲学和（自然）科学的一些基本精神，也具备艺术和文化的一般特征，这些都是数学和其他科类都具有的共同特征，属于共性。这类性质是属于第一层次的，我们把这类性质称作数学的普遍性质。

同时，在数学教育界，我们曾经给出数学的三大性质，那就是抽象性、严谨性和应用的广泛性。其中抽象性是指数学理论具有抽象化的特点，严谨性是指数学理论的表达缜密，逻辑性强，严谨而无任何纰漏，而数学应用的广泛性是有目共睹的。但是许多专家、学者对这个传统的数学三大性质提出了一些质疑，如提到抽象性，认为“抽象性并非数学所特有，各门学科都有抽象性，哲学则比数学更抽象”。提到严谨性时，认为严谨性不应该作为数学的特性，它实质上应该是各门学科都必须具备的共同性质。试想，一门学科如若连理论的严谨都做不到，那是绝对不能被认同的。对于数学的应用广泛性，我们认为，应用性应该是任何一门学科的生命线，也是所有学科的共性，只是数学的应用和其他学科相比更为广泛。

因此，很显然，这三个性质并不是数学所独有而其他学科所没有的特性，把它们作为数学的特征似乎不是很适宜，但这三大性质毕竟反映了数学的内在本质，所以我们把这三个性质归属于数学性质系统中的第二层次，把它们称作数学的一般性质。

然而，数学应该具有明显区别于其他学科的特征。

首先，形式化就是数学的一个重要特征。从数学的发展历史过程看，数学虽然来源于实际，但数学研究的对象却是把附着于具体实物或实际问题上的一些非本质的，或者不是数学研究所关注的特征进行剥离后所留下的材料，那就是形式化的材料。例如，数学所研究的不是一只羊、一头牛或一匹马，而是它们共同具有的形式特性“一”，这是一种抽离了具体内容后而形成的抽象化的形态。正如恩格斯所说的：为要能够研究这些形式及其关系的纯粹情形，那么就应该完全把它们与其内容相分离，把内容暂置不管，当作无所可否的东西。

数学从哲学中脱离出来，形式化是一个重要的标志，形式化、模型化也是促进数学发展的根本基点，没有形式化就没有数学，没有模式化，数学也将失去活力。数学教育家辛钦曾提到：一切数学学科的决定性特点总是某种形式化的方法。著名的“七桥问题”就是由数学大师欧拉对其形式化后，抽象为“一笔画”的数学模型而得以解决的。M.克莱因在《古今数学思想》中对牛顿的成就作了如此的描述：“但是，只有依靠数学的描写（即使完全缺乏物理的了解时也依靠它）才使得牛顿的惊人的贡献成为可能，更不用说后来的发展了。”因此，数学形式化特征所产生的力量是惊人的。

其次，策略性是数学的另一个重要特征。数学研究的中心是问题解决，数学的一切理论都是为这个中心服务的。这些问题可以是数学内部的，但更多的是数学外部的、是应用的。但是问题解决的关键是策略的运用，是方法的创造，是想象的发挥。数学的发展历程实质上就是方法的不断创造过程。阿基米德在解决抛物弓形的面积时采用了“穷竭法”，刘徽在解决圆的面积时采用的是“割圆术”，戴德金在定义实数时使用著名的“戴德金分割法”等等，不一而足。所有这些都是策略的巧妙运用，方法的灵感创造。可见，数学是一门讲究策略，善于使用方法，不断创造、不断发现的科学。

正如哈尔莫斯所说的：“数学是创造性的艺术，因为数学创造了美好的新概念，数学家们像艺术家们一样地生活，一样地工作，一样地思索。”可以说在数学之中创造无处不在，创造力是数学的生命，想象力是数学的灵魂，没有了创造和想象，数学将成为一堆枯燥的、毫无意义的符号。总之，数学的活力在于非凡的创造、艺术的思考。

因此，数学的这种策略性、无穷无尽的创意是数学的一个与生俱来、无法剥离的特征。

最后，符号化是数学的又一个重要特征。数学语言是符号语言，是一种形式简洁、表达精确、广泛通用的语言。正是数学的高度符号化才使数学展现出其独特的魅力，在思维上提供给人们充分自由的想象天地，这好比给数学思维插上了翅膀，任其翱翔。难怪有人叹道：数学要是不走上符号化的道路，任何的发展都是不可能的。伽利略说，宇宙大自然的奥秘写在一本巨大的书上，而这部书是用数学语言写成的。阿尔芬则说，科学需要一种能够简练地、合乎逻辑地表达的语言，这种语言便是数学。

当然，其他学科语言中也有符号化现象，例如化学中使用化学符号和方程式，逻辑学中使用逻辑符号语言（实际上也是数学语言），经济学中使用图表符号语言，但与数学符号语言相比，其符号化程度要低得多。

综观历史，数学的每一次进步都与数学符号语言的发展有关。符号常常比发明它们的数学家更能推理（F.克莱因语）。公元3世纪丢番图发明的一套缩写符号使得初期代数的研究得以延续；16世纪韦达等人创造的字母符号语言促使代数数学的长足发展；17世纪费尔马、笛卡儿和莱布尼兹等创立的坐标符号语言为近代数学取得辉煌成就奠定了语言的基础；而后莱布尼兹的微积分符号语言、魏尔斯特拉斯的εδ语言以及康托儿的集合符号语言都为数学的发展作出了重大的贡献。

符号是数学的标志，是数学思想的唯一载体。

我们把上述这三个明显区别于其他学科的特征放在数学性质系统中的第三层次，把它们称作数学的固有性质。

综合前面的分析，我们把数学的性质分成三个层次，组成一个性质系统，分别由数学的普遍性质、数学的一般性质和数学的固有性质构成。

数学的性质

对数学性质作这样的结构分析是有意义的，因为，只有思考了数学、思考了数学性质，才能进一步思考数学教育。

试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]

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