作者：张天蓉
出版社：清华大学出版社
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事试读：
前言
本书定名为《爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事》，其内容叙述的并不主要是爱因斯坦本人的工作和成就，而是记录了众多理论物理学家们在追求探索“统一理论”的道路上留下的足迹。
自古以来，科学家们就追求理论的完美，牛顿力学的经典理论算是实现了物理理论统一的第一座丰碑，法拉第和麦克斯韦将“电、磁、光”三者，统一在一组漂亮而对称的方程式中。爱因斯坦在成功地建立了两个相对论之后，便萌生了“统一大梦”，企图寻找一个能够解释万物的理论，但最后以失败而告终。至今又过去了大半个世纪，数千名物理学家前仆后继地追随爱因斯坦的梦想，探求万物之理。在这条坎坷的统一路上，看起来颇有进展却仍然未得其果。
几十年来，与统一大业有关而发展起来的理论模型不少：基本粒子标准模型、宇宙大爆炸学说、描写相互作用的规范场、量子引力、超弦理论、超对称、M理论、大统一论、万有理论，哪一个算得上是统一理论呢？都是，又都不是。这所有理论中固然有不少交叉和重复，但即便所有理论的总和，也远远够不上是“万物之理”。
也许所谓的万物之理并不存在！实际上，每提出一个新理论，解决了某些老问题，又往往会产生出许多新的未解之谜。其实这就是科学发展进步的正常途径，寻找万物之理，不过是代表了人类追求探索大自然秘密的一个循环上升而无限逼近的过程而已。
此外，物理学是基于实验和观测的科学，正如著名物理学家温伯格所说：“物理学并不是一个已完成的逻辑体系”。过去和现在不是，将来也不会是。物理理论必须不断地改造和修正，不断地革命，才能符合从实验和观测中得到的新数据。
尽管万物之理难以企及，但是，追求美是人类的天性，追求一个统一的“万物之理”便是这种天性在物理学中的体现。
20世纪80年代初期，广义相对论量子化的研究曾经引人注目，在得克萨斯州大学奥斯丁分校的相对论及理论物理中心，荟萃了研究量子引力的几位大师级人物，其中有：费曼的老师约翰·惠勒，引力量子化的奠基人布莱斯·德威特，霍金在英国的博士指导教授丹尼斯·夏玛。此外还有属于年轻一辈的几位。后来，又来了诺贝尔奖得主温伯格教授。笔者当年在那儿读博士期间感觉受益匪浅，也亲眼目睹了物理大师们孜孜不倦地寻求“万物之理”的奋斗精神。
几十年一晃而过，几位老一辈的物理学家已经作古，当年的年轻人也人到中年，仍然在继续努力，探索不止。
为此，笔者将这本小书奉献给渴求了解物理统一理论的广大读者们，并以此纪念那些为求万物之理而辛勤耕耘默默奉献的无数物理学前辈们！引言物理理论的简约之美
统一的意思就是使事物简单化。从多变少，由少归一，便谓之统一。
爱因斯坦在解释了光电效应、提出两个相对论之后，便开始了对统一场论的研究。大有“躲进小楼成一统，管他冬夏与春秋”之势，这一“统”就是三十余年，到死方休。爱因斯坦将其后半生都献给了物理学中的这场“统一之梦”。然而，他为此独自奋斗三十余年却未得其果。
尽管“统一场论”一词始于爱因斯坦，但其思想却始于麦克斯韦和法拉第的电磁场理论。事实上，如果略去“场论”二字，只谈理论之统一，那就应该追溯到牛顿时代了。
爱因斯坦逝世后，物理学家们在这条统一之路上，又走过了一个甲子的历程。在六十年的风风雨雨、点点滴滴中，理论物理学家们究竟作了些什么？统一之路如今走到了哪里？前途如何？本书作者从介绍牛顿力学、量子力学开始，到数学中的群论、对称守恒原理，再介绍标准模型、规范理论、量子场论、费曼路径积分、费曼图等，让读者对理论物理中的“统一”大框架，特别是主流物理界公认的“标准模型”，有一个基本认识。最后，也探讨一下统一理论与大爆炸宇宙学、暗物质、暗能量的关系，以及标准模型的困难和局限，并简要地介绍包括弦论、M理论、弦网等概念，让读者不仅领略到理论的美妙和科学家的追求，也体会到科学研究的艰辛，更激励着年轻人保持探索自然规律的愿望和好奇心，踏进科学的大门。
物理学中的统一之路，实际上追求的是一种简约之美。
把复杂的事情简单化，是一种本领和智慧。简约并不简单，大智若愚、大道至简，用简去繁、以少胜多。中国清代有位书画家郑板桥，被称为“扬州八怪”之一，他在书斋中挂了一幅自写的对联，题曰：“删繁就简三秋树，领异标新二月花”，以此表明他的书法及文学理念，主张以最简练、清晰的笔墨和不同凡响的思想表现出最丰富的内容。
而物理学家的“统一”，归纳起来有三个方面：一是物理规律的统一；二是物质本源的统一；三是相互作用的统一。
因而，物理学家所追求的简单化、统一化，听起来与郑板桥追求的书画笔墨及文字之“简约”，如出一辙。两者实质上也就是所谓“奥卡姆剃刀”原则的变换说法，同属“简约之美”。
奥卡姆不是人名，而是英格兰的一个村庄。14世纪时，那里出了一位叫做“威廉”的逻辑学家。此人流传下来的东西不多，唯有这一句话脍炙人口——Entities should not be multiplied unnecessarily。可用中文将其翻译成一段八字格言：如无必要，勿增实体（奥卡姆剃刀原则）。意思是说，删除一切没必要的多余“实体”，留下最精炼的部分。
对于理论物理，这一原理最好的表述是：当你面对着导致同样结论的两种理论，选择那个最简单、实体最少的！物理统一理论中的实体，可被理解为基本规律、粒子和作用力。也就是说，统一，就是用最少数目的物理规律来描述自然现象；用最少数目的“不可分割基本粒子”来构成所有的物质；用最少种类的“力”来描述物质之间的相互作用，这才符合奥卡姆剃刀原则，符合简约之美！
牛顿曾经感叹过：“我能计算天体运行的轨道，但无法计算人类的疯狂”。
奥卡姆剃刀原则也许难以描述多变的社会现象及复杂的人性，但将其用于科学时的优越性却毋庸置疑。几百年来，这一原理在科学上得到了广泛应用，从牛顿的万有引力到爱因斯坦的相对论，再到如今的标准模型，在漫长的统一之路上，奥卡姆剃刀原则已经成为重要的科学思维理念。
然而，物理学中的统一理论，即用以描述物质世界的“最少数目”的标准，是随着时间而变化的。随着科学技术的不断进步，实验手段的不断改进和发展，各种理论得以建立和完善，我们对大自然的理性认识也深入到不同的层次。这一切，使得在科学发展的不同历史时期，会有不同意义下的不同的“统一理论”。它们犹如在一条曲折流逝的河流中，在一定位置出现的一片片平静的港湾。河流总是从这些港湾和支流中，不断地吸取精华、去除糟粕，川流不息地奔向大海。
牛顿的力学定律加万有引力，毫无疑问是物理学中第一个“统一理论”。牛顿之前的物理学，已经有了许多独立的、貌似互不相关的物理定律：伽利略发现了惯性原理，还通过著名的比萨斜塔实验证实了自由落体所遵循的规律；开普勒在研究第谷留下的大量实验及观测资料的基础上，提出了行星运动三定律；惠更斯和胡克，当时在力学、光学等多个领域也都有所建树。然而，是牛顿第一个认识到这些零零落落的孤立定律之间深刻的内在联系。他将这些分散的“支流”汇总在一起，完成了物理学上的第一次理论统一。
与那些“孤立”定律不同的是，牛顿三大定律所描述的是“所有”物体在力的作用下的运动规律。这里的物体，可以是地面上的沙粒，也可以是宇宙中的天体。牛顿用锋利的“奥卡姆剃刀”，将物体的大小、形状、质地、软硬之类不重要的具体性质通通砍去，只留下一个质量m。因此，所有的物体都变成了一个质点，它们在力的作用下，都符合同样的运动规律。
场论的思想，始于麦克斯韦和法拉第的电磁场理论。法拉第在进行并记录了大量电磁实验结果的基础上，提出了“场”的概念。而精通数学的麦克斯韦，则希望用微分方程来描述和总结这些实验规律。最初，麦克斯韦面对着二十多个方程式，其中包括由库仑、高斯、法拉第、安培等人研究总结的各种实验现象，还包括电介质的性质、各种电磁现象的规律等。麦克斯韦大刀阔斧地挥舞着“奥卡姆剃刀”，剃去了冗余重复的部分，再加上必要的新概念，最后将它们提炼简化为4个对称而漂亮的矢量方程式，将电、磁、光三者“统一”于一个经典场中。
后来，爱因斯坦的狭义相对论又将时间和空间的概念统一于一个四维的时空框架中。此时，时间和空间不再是绝对而单独的存在，而是通过洛伦兹变换互相联系在一起的整体。从狭义相对论的时空概念中能得到尺收缩、钟变慢的结论，这与以太中的洛伦兹理论得到的结论一致。那么，以太的“实体”于此是多余的，因此，它被爱因斯坦用“奥卡姆剃刀”无情地剃去了。爱因斯坦留下了两条他认为必要的实体：相对性原理和光速不变，并建立了狭义相对论。再后来，他又将相对性原理扩展，用等效原理把引力质量和惯性质量等同起来，将引力效应与时空几何统一起来，建立了广义相对论。
物理学的一次又一次进展，原来都是和一次又一次的“统一”联系在一起，难怪爱因斯坦最后要将其半生的努力都献给统一大业。
在爱因斯坦刚建立广义相对论的年代，弱相互作用和强相互作用尚未登场。爱因斯坦当时对前景的估计应该是颇为乐观的，他也许会想，电磁力和引力是如此相像：它们同样是远程起作用（20世纪30年代开始，就有了对近程起作用的、现在称之为“弱相互作用”的描述），都符合距离的平方反比率，只要能将电磁力融入广义相对论的引力框架中，不就大功告成、统一起来了吗？
不过，遗憾的是，爱因斯坦几十年大统一梦的努力最终以失败而告终。依现在笔者这样的马后炮观点看起来，爱因斯坦至少有两点错误：一是低估了万有引力“桀骜不驯”的本性，二是选错了道，想要用经典场论而不是量子场论来构建统一理论。也就是说，爱因斯坦忽略了更深入研究他自己参与创建的量子理论，也更忽略了量子理论后来几十年的发展。
当然，人们可能会说，从量子场论出发的这条统一之路不也仍然是困难重重，尚未打通吗？的确是这样，但是大多数的物理学家们认为这是一条正确的道路，也是一条无法回避的道路。试想，一个物理学的大统一理论可以不包括已经发展并被验证超过百年的量子理论吗？即使我们尚不知道这条道路的终点在何处，但坚持走下去必将在历史上留下痕迹，也许是弯曲迂回的痕迹，但将来仍然是“有迹可寻”的。
当年，量子力学中有了薛定谔方程和海森伯的矩阵力学，万有引力有了爱因斯坦的场方程，电磁作用有经典的麦克斯韦方程组。这三套马车在自己的大道上各行其是，的确应该将它们统一在一个单一的数学框架中，这是理论物理学家们喜欢玩的游戏。量子力学的诞生和引力的几何化是当年物理界让人震撼的两大革命；而经典电磁学则在成功地建立了麦克斯韦理论的基础上，正在忙忙碌碌地走向应用。它带来了数不清的专利和许多杰出的工程师，揭开了电气工程中辉煌的一页。对20世纪初期的物理学界而言，大多数理论都朝着完善和推广量子力学的方向发展。风云激荡的时势，造就了一个又一个的量子英雄，忙着把诺贝尔奖发给这些对诺老以前闻所未闻的奇怪理论作出贡献的科学家们。与电磁和量子领域非凡热闹的气氛相比较，广义相对论便显得孤独多了，它在默默地等待着天文学中更精确的实验验证资料。
这三组理论并非全无关系，在解决具体物理问题时，有时候三者都需要考虑。但是，它们毕竟有它们自己的用武之地：量子理论适宜探索微观世界；广义相对论在宇宙学中长袖善舞；电磁理论则成功地服务于人类的衣食住行。还有一件人们不应该忘记的大事，是与物理学的两大革命密切相关的，那就是在1945年8月6日，于日本广岛爆炸的原子弹。这次爆炸伤及了十几万无辜的生命，造成的后患难以数计，并使得爱因斯坦后悔当年上书罗斯福促成制成原子弹一事。尽管如此，当时原子弹的技术毕竟是被同盟国所掌握，它的爆炸加速了日本的投降和第二次世界大战的结束。否则，世界历史和中国历史，也许都要被改写了。
从物理学史的观点来回顾20世纪初物理学界这两大革命理论，量子力学象征着现代物理的开始，而相对论则代表了经典理论的结束。爱因斯坦统一之梦失败的原因之一，恐怕正是因为他将经典的尾巴抓得太牢了，因而挡住了一部分他用于观察现代物理龙头的视线。爱因斯坦始终不能接受测不准原理等不同于经典现象的量子规律，尽管他扮演的老顽固角色对量子力学的发展也起到了正面推动的作用。但是，参与反推和参与正推总是有所不同的。记得著名的物理学家、诺贝尔奖得主史蒂芬·温伯格对爱因斯坦曾经有过一句非常精辟的评论。其大意是说，爱因斯坦所犯的最大错误不是他自己认为的“在场方程中引入了宇宙常数”，而在于他成为了他自己的理论成就的“囚徒”。他痴迷于他的广义相对论的物理数学之美中，想用这个经典理论一统天下，包括统一他不接受的量子理论。但这在事实上是不可能的。事实上，量子理论的出现是一场比广义相对论更为深刻的革命，因为它跳出了经典思想的牢笼，走出了一条不确定性和决定性融合在一起的现代物理之路。
一个成功的物理大统一理论必定要建立在量子理论的基础上。因此，笔者在第二篇中简要地叙述了量子物理的发展历史和基本概念，带领读者了解量子力学的创建过程，从科学家的物理思想及趣闻轶事中，也同时深入探测微观世界，体会领略神奇的量子现象。
物理理论的建立少不了数学。为了理解物理中的统一理论，一定的数学知识是必要的。实际上，理论物理和数学互相渗透、融合在一起，彼此促进、相辅相成。在本书中，笔者尽量避免写出数学公式，而是代之以通俗的语言，用来描述艰深的数学概念，诸如群论、李群、李代数、对称、守恒、生成元、自发对称破缺等。作者通过深入浅出的描述和恰到好处的比喻，将这些数学名词与日常生活的种种经验联系起来，令读者耳目一新。
世界的本源是什么？这是从希腊时代开始，哲学家和科学家们就不停追溯和思考的难题。对此类问题的探索关系到两个方面：构成物质的基本砖块有哪些？这些砖块之间的作用力又有哪些？说穿了，物理学中寻求的统一理论的本质，就是要寻求统一这些基本砖块及其相互作用的理论。大家在中学物理及化学中，已经接触过的分子结构、原子模型、质子、中子、电子，以及元素周期表等，是在原子（分子）层次的统一理论。然而，随着科学技术的发展进步，人类对物质本源的认识已经深入到更下一个层次。科学家们制造了大型加速器，利用快速运动粒子之间的碰撞来产生新粒子，也从浩瀚无边的宇宙中发现和捕获未知粒子。清点各种粒子后，我们知道其种类已经有好几百种。这其中，哪些算是“基本”的？哪些是由基本粒子构成的？如何将粒子动物园中的各种“动物”分门别类？这是本书在第四篇中将介绍的内容。
物理学家们从20世纪80年代开始建立的“标准模型”，是统一路上的一个重要成果。标准模型建立在杨—米尔斯规范场理论的基础上，将目前物理实验能量能够达到的微观世界最小层次的物质结构和相互作用，统一于61种基本粒子。该理论所预言的多种粒子在实验中均被陆续发现，2012年最后发现的希格斯粒子，为这个理论贴上了一个醒目的标签。本书第五篇，便在叙述杨—米尔斯理论的基础上，简单介绍标准模型。
一波未平，一波又起。现有的基本粒子尚未被统一，宇宙学的领域又传来了新的信息。原来我们能探测到的物质种类，只占宇宙中所有物质成分的4.9%。其余的属于我们对其性质几乎完全无知的暗物质和暗能量。这些“暗货”到底是些什么？如何将它们统一在我们的物理理论中？天文学和宇宙学的实验观察数据，既给我们提出了挑战，也有可能向我们展现了克服困难的玄机。笔者在第六篇中，探索在大爆炸开始的短暂时刻，四种相互作用如何分离。微观和宇观的结合，是否能为物理学的统一之路，开辟新的捷径？
尽管标准模型取得了一定的成功，但它与少量的实验结果也有不相符合的情况。并且，它将引力抛弃在外，因此人们并不认为它能够作为将来所谓“终极理论”的候选者。那么，除了标准模型之外，还有哪些主要的理论呢？物理学家为了统一引力，做了哪些努力？统一大业将何去何从？在本书的最后几节，笔者将对弦论、M理论、引力量子化、弦网等略微介绍。
20世纪初物理界的两场革命，带给了我们相对论和量子理论。如今，物理学需要新一轮的革命，将两者结合统一在一起。这种微观和宇观的统一，是否能为物理学以及其他科学的统一之路，开辟出一条新的路径？相信科学家们将继续努力，让我们期待欣赏大自然更高一层次的“简约之美”！
爱因斯坦30年如一日的统一梦，即使未成正果，也精神可嘉。他留给后人的遗产，有前半生大胆创建物理理论的思想光辉，也有后半生不折不挠、追求统一的奋斗精神。爱因斯坦超人的物理直觉和对数学思想的异常敏感，将他造就成了一代伟人。
在后半生探索统一场论的过程中，爱因斯坦对物理和数学的观念发生了一些微妙的变化。或许是因为黎曼几何之于引力理论的重要性给他的冲击太大，印象太深刻了；也有可能是他对自己的物理直觉太过于自信了，以为不需要多想，那种直觉自然而然就在那里。总之，在后来几十年的研究中，他似乎不再像原来建立两个相对论时那样深究物理概念，提出革命思想，而是转而试图以几何为出发点来将广义相对论拓展到电磁场。可是很遗憾，这种从数学走向物理的想法没有使他再获成功。
爱因斯坦太钟爱广义相对论、抵制量子论，以至于他在1950年评价物理学领域中的成果时说：“基础物理理论需要一开始就在基本概念上与广义相对论一致，否则在我看来都是注定会失败的。”可惜爱因斯坦这次的预言不准确。如今，不知远在天国的他是已经注意到量子理论这几十年的成功，还是仍然像1950年那样，对量子理论与广义相对论的水火不容而耿耿于怀。
种种说不清的原因，使得爱因斯坦在最后三十余年中的科学努力似乎一无所获，没有得到什么对现代物理研究来说值得一提的结果。但不可否认，爱因斯坦是一个伟人。如今一百余年过去了，他的许多理论我们仍在使用。然而他的巨大的身影，与他坚持不懈的经典统一梦，却都渐行渐远，慢慢地消失在无情的历史岁月里。
物理学家对统一理论的追求，只不过表明了探索大自然更深一层秘密的愿望和决心。有谁会真正相信，用一个“万能公式”，或是一个“万有理论”，就解决了所有的问题呢？求统一的过程中发现更多的多元化和“不统一”，在不统一的世界中又不断显现共同的、统一的特征。爱因斯坦的统一梦后继有人，统一之路永无止境！第一篇从牛顿到爱因斯坦1．统一路上话牛顿
回头看历史，牛顿（Isaac Newton,1643—1727年）创立的经典力学无疑是物理史上第一片追求“统一”的港湾。
牛顿有过如此一段名言：“将简单的事情考虑复杂，可以发现新领域；把复杂的现象看得简单，可以发现新规律。”这句话描述了牛顿做物理和数学的基本思想方法，前一段说的是科研中的具体过程，后一段则代表了他对物理理论规律追求“统一”的奥卡姆剃刀原则。牛顿是这么说的，也是这么做的。牛顿发明微积分是前者，总结、建立力学三大定律及万有引力定律则是后者。
牛顿出生于普通农家，是个身体羸弱的早产儿。少年时代的牛顿，也似乎并未表现出现代人眼中的“天才”或“神童”的特质。他自幼丧父、母亲改嫁，资质一般、成绩平平。但谁也没有预料到，这个不起眼的小家伙，后来居然会成为科学界的一代巨匠。
中学毕业后，母亲让牛顿在家务农，以便养家糊口。但牛顿志不于此，他喜欢读书和钻研数学问题，还不时别出心裁地搞点小发明。他的一位舅父发现了牛顿对科学的浓厚兴趣，因而说服他的母亲，没有让他继续务农。在19岁时，牛顿考上了著名的剑桥大学三一学院。舅父的这个偶然建议，使得牛顿进入物理学的领域一展宏图。
牛顿从剑桥大学毕业后的那一年半是牛顿科研生涯中的“奇迹时期”。1665年5月，蔓延伦敦的瘟疫迫使剑桥大学关门，牛顿只好回到乡下的老家居住。这段时间是牛顿精力旺盛、思绪联翩，最富创造力的一段黄金岁月。在短短的18个月内，他思考数学问题、进行光学实验、计算星体轨道、探索引力之谜……牛顿生平最重要的几项成[1,2]就，都在这一年半的时间内初现雏形。
首先，牛顿思考了二项式展开的问题。当时的数学前辈笛卡儿，对牛顿的数学思想影响很大。但在这个二项式展开的问题上，笛卡儿的想法很奇怪，他认为这没有什么可想的，展开后的项数好像有无穷多，太复杂了，但人的大脑是有限的，不应该去思考这种与无穷有关的复杂问题。二项式的表达式多么简单，为什么要将它展开成复杂而无穷的多项式呢？可牛顿却偏偏迷上了这个由无穷多项求和的复杂概念。这个概念又引导牛顿进一步思考无限细分下去，而得到的无穷小量的问题。他将这无穷小量称之为“极微量”，也就是现在我们所说的“微分”。牛顿用他的无穷小量的方法，对几何图形进行了很多详细的思考和繁复的计算，他曾经将双曲线之下图形的面积算到250个数值。正是这种不畏艰难的精神和进行繁复计算的超人能力，使牛顿最后发明了微积分，为数学、物理乃至其他所有的科学技术，开拓了一片崭新的领域！
在这段时期内，牛顿用三棱镜作各种光学实验，研究颜色的理论。此外，他对引力问题的钻研也颇有成效。有关苹果打到头上的故事据说也就发生于此。苹果未必真正击中了牛顿的脑袋，但苹果朝下落而不往上飞的事实肯定给了牛顿启发。为什么是往下掉呢？不仅仅是苹果，周围的一切物体都往下掉。那么，一定是地球在吸引它们。如果地球吸引所有的物体，也吸引天上的月亮吗？地球对月亮也应该有吸引力，但是月亮为什么不掉下来呢？对了，牛顿想，月亮虽然不掉到地上，但是月亮也没有从地球附近跑开，而是在地球周围绕圈圈，不停地做圆周运动。荷兰物理学家惠更斯（Huygens, 1629—1695年）研究过这个问题，他认为圆周运动也需要“力”来维持，就像孩子们用绳子绑着石头转圈的情形一样，绳子对石头的牵引力维持着石头的圆周运动。因此，地球对月亮的吸引力维持着月亮绕地球的圆周运动。
惠更斯虽然认识到圆周运动需要向心力，但却不知道月亮绕地球转动的向心力来自何处。将吸引苹果下落的力与吸引月球绕地球转动的力归纳为同一种力，继而扩展到所有的物体之间都存在这种相互作用力，是牛顿建立万有引力过程中，思想上的一次大突破、大统一。
一年半过去了，瘟疫的疫情有所缓解，牛顿便带着他数月思考的成果回到了剑桥。他迅速地被授予了硕士学位，成为了一名教授。牛顿的才能得到了剑桥物理学家伊萨克·巴罗的高度赞赏。为了使牛顿有安定优越的科研环境，巴罗还辞去了自己的教授一职，让贤于牛顿。此举在科学史上被传为一段佳话。
当时还有另外一位英国物理学家，比牛顿大8岁的胡克（Robert Hooke,1635—1703年）也对引力进行了多年的研究。胡克后来被科学史学家们公认为是引力平方反比率的发现者。据说胡克和牛顿曾经以通信方式讨论过万有引力，胡克在信中提到他的许多想法，包括平方反比定律。但胡克不擅长数学，不知道如何利用平方反比律来计算轨道。牛顿得益于他创建的强大数学工具——微积分，最终解释了开普勒有关行星轨道的结论，发现了万有引力定律。
在牛顿之前的天文学家和物理学家，对力学已经有了很多理论和实验。然而，是牛顿第一个从这些孤立定律中找出了它们的内在联系。他将伽利略的惯性原理总结成牛顿第一定律，首先定义了不受外力作用的惯性参考系。然后，再将“惯性”的概念推广到外力不为零的情形，提出非零的力将使物体产生非零的加速度。这个加速度与外力成正比，与物体内在的物理性质——惯性质量成反比。因此，牛顿第二定律将力、加速度、惯性质量三者之间的关系，总结、统一在一个简单的数学公式（F=ma）中，迈出了将运动学发展为动力学的关键一步，发现了物体在力的作用下的运动规律。接着，牛顿又在第三定律中，提出任何力都是成双出现的，称为“作用与反作用”，这两个力总是大小相等、方向相反。
牛顿三大定律所描述的是所有物体，在“任何”形式的力的作用下的运动规律。这里的物体，可以是地面上的沙粒，也可以是宇宙中的天体，这些大大小小的物体在力的作用下都符合同样的运动规律。
伟大的科学家多少都有些古怪。牛顿成名之后，在某些方面表现得恃才自傲、专横跋扈，与多位物理学家频起纠纷：和莱布尼茨争夺微积分的发明权，对胡克的打压更是过分。牛顿对光学有杰出的贡献，与胡克最早的争论也是起源于光学。牛顿主张光的“微粒说”，胡克和惠更斯则坚持波动说。本来这只是不同观点的学术之争，但因为胡克早期在皇家学会光学讨论会上曾经对此争论有过一些尖锐言辞，当时就使得牛顿勃然大怒，从此对胡克充满敌意。后来，牛顿利用他显赫的地位，打压得胡克一生都抬不起头，最后变得愤世嫉俗，郁闷而死。牛顿还发表了《光学》一书，由于他的权威性，这个光微粒的概念统治物理界100多年，直到后来菲涅尔的工作，光的波动说才重见天日。从这个角度看，牛顿在物理理论的统一之路上既有推波助澜的正向作用力，也有逆向的反作用力。根据现在的物理学观点，光既有微粒性，也有波动性，它们是光学理论中不可或缺的两个方面。
牛顿晚年的思想就更令人捉摸不透了。他将研究目标转向神学，将理性思维代之以对上帝的膜拜，对炼金术的寻求取代了少年时代痴迷的科学实验。最后，牛顿以85岁的高龄逝世。
无论如何，正如牛顿的墓碑上所写的：“人类应该欢呼，地球上曾经存在过这样一位伟大的人类之光”。他的确是人类之光，他也是物理学统一路上的第一人。2．法拉第和麦克斯韦的忘年交
不同于牛顿的争名夺利，英国物理学家法拉第（Michael Faraday,1 79 1—1867年）是一位令人可敬的谦谦君子。
法拉第和牛顿也有相似之处，他们都出身贫寒。牛顿因舅父发现他的科学兴趣和才能，得以上了大学，而法拉第则没有受到正式教育，完全靠自学成才。法拉第的数学仅限于简单的代数，连三角函数都不熟悉。
当时的英国皇家学会会长，是鼎鼎有名的汉弗里·戴维爵士。戴维被誉为“无机化学之父”，是发现化学元素种类最多的科学家。法拉第因为在打工之余去听皇家学会的科学演讲而被戴维发现他的才能并被聘为助手。法拉第对戴维的这段提携之情终身不忘，尽管戴维后来对法拉第并不友好，特别是当法拉第的科学成就及其在物理界的威望超过了戴维本人之后，更是激发了戴维强烈的嫉妒心。戴维借助于自己的威望和权力，打压法拉第，多次阻止他成为皇家学会的会员。事实上即使是在当年，戴维也是将法拉第当作助手和仆人来使唤的。当戴维带着法拉第到各地旅游时，戴维的夫人更是摆出贵族的架子，对法拉第颐指气使。但是，法拉第对戴维却总是不计前嫌，始终评价戴维是一个伟大的人。戴维最后终于被感动，或许只是良心发现。在他逝世的前几年，疾病缠身之时，他提名推荐法拉第担任皇家学院实验室主任一职。在戴维临终时，别人问及什么是他一生中最重要的发现时，他没有列举周期表里那些被他发现的元素，而是自豪地说：“我最伟大的发现是发现了法拉第！”
不过，在法拉第与戴维关系的问题上，法拉第也有过一次不智之举。在1821年，戴维对奥斯特发现的电磁现象感兴趣，试图与另一位物理学家渥拉斯顿一起，进行一个类似“电动马达”的实验，但一直没有成功。法拉第不时地参与到两人的讨论中，并且逐渐形成了自己的想法，他独自建造了两个装置且成功地产生了导线绕着磁铁旋转的“电磁转动”现象。法拉第的方法完全不同于戴维和渥拉斯顿的，但他犯了一个错误：他独自发表了这项研究成果，因而得罪了戴维和渥拉斯顿。也许这就使戴维从此对法拉第有了偏见，他很长时间不让法拉第进行电磁学研究，而派他去作光学玻璃实验。
不过法拉第对戴维的感激之情贯穿其一生且是真诚的。实际上，我们也应该感谢戴维，如果不是他“发现”了法拉第并将他带进了科学的殿堂，人类对电磁规律的发现和应用，也许要被推后数年。
戴维去世后，法拉第犹如一匹没有了羁绊的脱缰之马，得以继续他喜爱的电磁研究。他夜以继日地进行了大量的实验，并将平生心血总结汇编在三卷《电学实验研究》中。这本书中有三千多个条目，详细记载了法拉第所做过的实验和结论。
法拉第不仅仅是一位杰出的实验物理学家，他对电磁理论问题的思考方式也独树一帜，直到现在也能对我们有所启发。牛顿经典力学中的“力”，是一种超距作用。地球吸引月亮，遥隔几十万公里，这个作用力是如何传递过去的？其中的空间起着什么作用？没有人在乎这个问题，只要有公式算出了月亮精确的轨道，大家就满足了。而法拉第在研究电场和磁场时使用了不同的构思。他在电荷和磁铁周围的纸上，画上了密密麻麻的电力线和磁力线，并且用充分的想象将它们延续扩展到全空间。他认为这些力线是真实存在的，就像能够伸缩、具有弹性的橡皮筋一样，它可以把两个互相作用的电荷联系在一起。现在看起来，法拉第的力线思想实际上就是现代物理中“场”的概念，他是最早认识到相互作用应该通过“场”来实现的物理学家。
法拉第虽然学历不高，但擅长言辞，能用精辟、简练的语言解释物理概念。他在英国皇家研究院组织发起的面向公众的系列讲座一直延续至今。1846年4月3日，法拉第原本邀请了一位名为惠斯通的教授做这天的讲座报告。惠斯通得出了一些有关导线中电流速度之类的有趣结果，但惠斯通害怕在公众场合演讲，因为恐惧而临阵脱逃。当时的法拉第只好自己上台作了一个无准备的即兴演讲。也就是因为没有预先考虑那么多，法拉第任思绪自由驰骋，侃侃而谈，谈到了不少对光和电磁理论不同寻常的看法。其中最富想象力的，是惊人地预见了光的电磁理论。法拉第认为空间中充满了电力线和磁力线（图1-2-1（a）），光很可能就是这些力线的某种横向弹性振动所产生的。这次演讲中，法拉第的大胆推测震惊四座，但却没有人听懂了他在说些什么。法拉第的思想太超前了，它在等待另一位大师的到来。图1-2-1 法拉第的力线图（a）和麦克斯韦的以太模型（b）
麦克斯韦（James Clerk Maxwell,1831—1879年）出身贵族，从小受到良好的教育，擅长数学。当40岁的法拉第已经做了一大堆电磁实验，提出了著名的电磁感应定理之时，麦克斯韦才在苏格兰首府爱丁堡呱呱落地。30年之后，年轻的麦克斯韦和老迈的法拉第结成了忘年之交，共同建造了电磁王国。
1860年左右，麦克斯韦来到伦敦的国王学院执教，他经常出席皇家科学研究院的公众讲座，并与法拉第进行定期交流。麦克斯韦和法拉第，他们的友谊及合作本身就是一种奇妙的“统一”：他们的年龄相差40岁，一老一少，两人有完全不同的人生经历。法拉第出自寒门，是自学成才的实验高手；麦克斯韦身为贵族，是不懂实验的数学天才。然而他们互相敬重彼此的才能，共同打造出了完全不同于牛顿力学的经典电磁理论的宏伟体系。
早在来到伦敦之前，麦克斯韦就已经对法拉第的力线图像感兴趣，他用不可压缩的匀速流体来类比电力线和磁力线，用流体的速度和方向代表空间中力线的密度和方向。与法拉第深入交流合作之后，法拉第将电磁现象视为“场”作用的观点更是深深地影响了麦克斯韦。如何为这种“场”作用建立一个适当的数学模型？这个问题经常在麦克斯韦的脑海中萦绕。
为了解释法拉第的力线图景和“场论”思想，麦克斯韦试图借助于以太模型。不过，后来证明，麦克斯韦方程组描述的电磁理论完全不需要以太的存在，电磁场本身就是一种物质，不需要任何介质就可以在真空中传播。但从历史角度看，当时的麦克斯韦对以太的力学模型进行了很深入的研究，他的理论最原始的形式就是建立在“以太”的基础上。麦克斯韦的“力学以太”模型实际上是半以太、半介质的混合物。“以太”的概念在古希腊时就被提出来了，之后由笛卡儿将其科学化。到了17世纪的牛顿时代，无论是提倡波动说的惠更斯，还是坚持微粒说的牛顿，都认为以太充满整个宇宙，是传播光的承载物。因而，以太的存在成为人们心中根深蒂固的概念。麦克斯韦也一样，对以太坚信不疑，只不过他为了建立电磁场的数学模型需要对以太赋予适当的力学性质。因此，麦克斯韦想象空间里充满了小球，这些小球类似现代可以旋转的轴承，它们被更小的粒子（轴承之间的钢珠）隔开，如图1-2-1（b）所示。这些小球有很小的质量和一定的弹性，小球的变化将互相影响。麦克斯韦在这种“以太”的力学性质的基础上，提出了位移电流的概念，并成功地将电学磁学中的库仑、法拉第、安培等定律，归纳总结为麦克斯韦微分方程组。
根据麦克斯韦的电磁理论，电荷之间的相互作用通过空间中的电场E和磁场H起作用，见图1-2-2。麦克斯韦用4个形式对称的微分方程描述了电场和磁场的性质，以及它们之间的关系。电场E和磁场H都是三维空间中的矢量场，所谓“场”的意思就是说，物理量是空间位置的函数，每一个点都有不同的函数值。电场E和磁场H对应于电力和磁力，由于力是一个矢量，因而电场和磁场都是矢量场，它们在空间中每一个点都有3个分量，一共便有6个分量。
矢量场在空间的变化情形可以用“散度”和“旋度”来描述。以水流作类比，“散度”和“旋度”有非常直观的几何图像。水从水源向外流，汇聚到下水道。因此，在水源和下水道附近，水流的流线是“发散”或“汇聚”的，表明散度不为零（有源场）。这种情形类似于电荷附近的电场，见图1-2-2（a），电力线（电场之力线）从正电荷散出，汇聚到负电荷，因而电场的散度不为零，且正比于电荷密度Vρ。如图1-2-2（a）中的公式1所示，这是麦克斯韦的第一个方程。
因为这个世界上有电荷，但没有磁荷，所以磁场和电场不一样。磁铁的南极和北极是无法分开的，即使你将一个磁体断成两截，你得到的也是两个磁体，却得不到单独存在的磁极。磁力线都是封闭的圈圈线，这说明磁场是无源场。所以，磁场的散度为零，见图1-2-2（b），图1-2-2（b）中的方程2是麦克斯韦的第二个方程。图1-2-2 麦克斯韦方程统一了光、电、磁的理论
图1-2-2（c）和图1-2-2（d）所描述的，则是电场和磁场的旋度。旋度的几何图像可以比喻为水流中的涡旋。图1-2-2（c）对应于麦克斯韦的第三个方程：磁场对时间的变化率，等于电场的旋度；图1-2-2（d），即麦克斯韦的第四个方程，说的则是电场对时间的变化率，等于磁场的旋度。两个方程的说法是对称的，描述了电场磁场之间的联系：变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场。
经典电磁理论最令人兴奋的成果就是预言了电磁波的存在，为法拉第在那场即兴演讲中的大胆推测找到了理论根据。遗憾的是，当时的法拉第已经太老了，没能用实验证实电磁波的存在。在麦克斯韦预言电磁波的两年之后，法拉第就去世了。麦克斯韦自己呢，也只活了48岁，没能等到电磁波的实验证实。
第一次用实验观察到电磁波的人，是发现了光电效应的海因里希·赫兹，时间则是在1887年，麦克斯韦逝世8年之后。如今，麦克斯韦方程建立了近150年，电磁波漫天飞舞，携带着数不清的信息，让这个世界热闹非凡。3．时间、空间成一统
19世纪末，牛顿力学和麦克斯韦电磁理论这两座大厦一统天下、高耸入云。人们乐滋滋地以为物理学家们从此再无大事可干，只需要对这两种理论修修补补即可。没想到上帝并没有闲着，他在暗地里进行着下一步的工作，逐渐在基础物理学晴朗的天空上积累起两朵乌云。不过这时候，爱因斯坦已经来到人间，而且正在接受教育，准备挑战前辈建立的经典基础物理学。
这两朵小乌云各有来头，都是来自于实验物理学家的功劳，都与“光”有关。第一朵乌云来自于“迈克耳孙—莫雷实验”，与上一节中介绍的光的波动理论中“以太”说有关。第二朵乌云来自于黑体辐射实验结果中的“紫外灾难”，与光的辐射性质有关。
爱因斯坦（Albert Einstein,1879—1955年）生逢其时，又有两位难得的数学界朋友的帮助。天时地利人和，造就了一代伟人。这两位数学家，一位是他的老师闵可夫斯基，一位是他的同学格罗斯曼。开始时老师并不看好这个经常逃课的“懒狗”学生，但当爱因斯坦建立狭义相对论之后，闵可夫斯基却成了一名对相对论极其热心的数学家。他在1907年提出的四维时空概念，成为相对论最重要的数学基础之一。不幸的是，闵可夫斯基45岁时就因急性阑尾炎抢救无效而去世。据说他临死前大发感慨，说自己在相对论刚开始的年代就死去，实在太划不来了。
爱因斯坦的数学家同学格罗斯曼，则在3个关键场合帮助了爱因斯坦：一是在大学时代，是格罗斯曼完整的课堂笔记成为爱因斯坦每次考试的救命稻草；二是爱因斯坦大学毕业后，找不到好工作，靠格罗斯曼父亲的关系到瑞士专利局当职员；三是将黎曼几何介绍给爱因斯坦，使他如获至宝般地用这个强大的数学工具顺利地建立了广义相对论。
与黑体辐射有关的第二朵乌云，首先被德国物理学家普朗克拨动。之后，爱因斯坦用光量子的概念成功地解释了光电效应，为其赢得了1921年的诺贝尔物理学奖。量子理论由此开始发迹，我们将在第二篇中详细介绍。
爱因斯坦感兴趣的是与光线传播性质有关的第一片乌云。光，是大自然展示给人类的最古老的现象之一，但也是延续几千年，至今尚未完全破解的物理之谜。
与光传播有关的问题，从少年时代就困惑着爱因斯坦。1895年，16岁的爱因斯坦踏进了中学的大门。那时候，法拉第和麦克斯韦都早已仙逝，但他们有关光和电磁波的理论却深入到了爱因斯坦的心里。这个16岁少年的脑海中经常琢磨着一个深奥的“追光”问题，用现代物理学的语言来说，爱因斯坦想象了一个如下的思想实验：光是一种电磁波，以大约300 000km/s的速度向前“跑”，那么如果我以和光相同的速度去追赶一束光，将会看见什么情景呢？
根据麦克斯韦理论，变化的电场产生变化的磁场，变化的磁场又产生变化的电场，如此循环往复下去，便产生了电磁波，或者说产生了光。但是，少年爱因斯坦想，如果我的速度和光一样快的话，我看到的应该是一个静止而不是变化的电场（或磁场）。那么，没有了变化的电场，便不会产生变化的磁场（或电场），便产生不了光，便没有了光。光怎么会因为我追着它跑就消失了呢？所以，爱因斯坦认为，这个“追光”的思想实验是一个不可能发生的悖论。也就是说观察者不可能以和光线一样的速度运动！
10年的时光很快就过去了，16岁的中学生已经大学毕业，并且成了专利局的一名普通小职员。但是，“光”给他带来的困惑，在脑海中一直挥之不去。这位专利局小职员在思考着物理学的大问题，也注意到了与光的传播理论相关的，物理学天空上出现的“乌云”：迈克耳孙—莫雷实验。
法拉第和麦克斯韦建立的经典电磁理论将光解释为一种在以太中传播的电磁波。“以太”的概念带给物理学家许多新问题。首先，如果承认以太存在，就应该有一个相对于以太静止的参考系。这个参考系应该位于宇宙中的哪儿呢？由此，人们不由得想起了早年的地心说和日心说，相信地心说的人会认为以太相对于地球静止；相信日心说的人会认为以太相对于太阳静止。而后来的宇宙图景告诉我们，地球和太阳都不是宇宙的中心，宇宙根本没有什么中心。那么，哪一个参考系有资格作为相对于以太静止的“绝对”参考系呢？实际上，根据伽利略提出的“相对性原理”，这样的“绝对”参考系不存在。
物理定律不应该依赖于观测者所在的参考系，这是物理理论“统一”之路的三个基本目标之一。根据伽利略的相对性原理，物理规律应该在伽利略变换下保持不变，牛顿的经典力学满足这点，但麦克斯韦的电磁理论却不具有这种协变性。麦克斯韦方程只在一个特别的、绝对的惯性参考系中才能成立，这就是被称之为“以太”的参考系。
退一步说，如果假设存在一个“以太”参考系，那么，在相对于以太运动的参考系中，就应该能够探测到“以太风”的效应。比如说，地球以30km/s的速度绕太阳运动，在其运动轨道的不同地点，就应该测量到不同方向的“以太风”。“迈克耳孙—莫雷实验”便是为了观测“以太风”而进行的。
然而，这个实验却得到了一个“零结果”，就是说没有探测到任何地球相对于以太运动所引起的光速的变化。
为了调解电磁理论与相对性原理的矛盾，荷兰物理学家洛伦兹（Hendrik Antoon Lorentz,1853—1928年）在仍然承认以太的前提下，对伽利略变换进行了修正。在伽利略变换中，空间的变化与时间无关，并且空间中的弧长是不变的。比如说，有一根棍子，无论它运动还是不运动，它的长度都不会改变。但洛伦兹设想，如果这根棍子相对于以太运动的话，也许受到了以太施予其上的某种作用而使它的长度变短。于是，洛伦兹在相对于以太运动的伽利略变换中加上了一个在运动方向的长度收缩效应。这样做的结果，正好抵消了原来设想的相对于以太不同方向上运动而产生的光速差异。如此一来，洛伦兹用他的新变换公式（洛伦兹变换），轻而易举地解释了迈克耳孙—莫雷实验的零结果。
长度会变短多少呢？洛伦兹意识到，在这个问题上光速起着重要的作用，因而缩短因子应该与运动坐标系的速度与光速的比值β（β=v/c）有关。
爱因斯坦看中了洛伦兹变换，却认为应该赋予它更为合理的物理解释。因此，爱因斯坦摒弃了以太的概念，因为它与相对性原理不相容。爱因斯坦从物理本质上重新考虑了时间和空间的定义，发现不假设以太的存在时仍然能够得到洛伦兹变换。最后，爱因斯坦用没有以太的洛伦兹变换统一了时间和空间，用狭义相对论统一了相对性原理和麦克斯韦方程。这是物理理论统一路上的重要一步。
狭义相对论基于两个基本原理：一个是相对性原理，另一个是光速不变原理。认为光速在真空中的数值对任何惯性坐标系都是一样的，并且光速是宇宙中传递能量和信息的最大速度，质量不为零的任何物体的速度只能无限接近光速，不能达到或超过光速。这个结论，是爱因斯坦从16岁开始就暗暗认识到而且深藏于心的物理规律。4．惯性、引力、流形与几何
爱因斯坦很快发现了狭义相对论的不足之处，问题是其中的相对性原理只对于互相做匀速直线运动的惯性参考系成立。物理规律为什么对惯性参考系和非惯性参考系表现不一样呢？惯性参考系似乎仍然具有特殊性，这不符合爱因斯坦所信奉的马赫原理，因而原来的相对性原理概念需要扩展到非惯性参考系。
爱因斯坦认为，不仅速度是相对的，加速度也应该是相对的。非惯性系中物体所受的与加速度有关的惯性力，本质上是一种引力的表现。因而，引力和惯性力可以统一起来。
类似于16岁时思考的“追光”问题，爱因斯坦又想到了另一个思想实验：如果我和“自由落体”一样地下落，会有些什么样的感觉？追光实验是个悖论，因为它描述的情况不可能发生。而自由落体实验在现实生活中有可能发生，比如说，设想电梯的缆绳突然断了，电梯立刻变成了自由落体，其中的人会有什么感觉？这个问题如今不难回答，那就是在许多游乐场大玩具中可以体验到的“失重”感觉。2因为那时候，电梯中的人将以9.8m/s的加速度向下运动。这个加速度正好抵消了重力，因而使我们感觉失重。
加速度可以抵消重力的事实说明它们之间有所关联。加速度的大ig小由物体的惯性质量m决定，重力的大小由物体的引力质量m决ig定。由此，爱因斯坦将惯性质量m和引力质量m统一起来，认为它们本质上是同一个东西，并由此而提出等效原理。爱因斯坦猜想，等效原理将提供一把解开惯性和引力之谜的钥匙。
爱因斯坦的思想实验也可以用图1-4-1的例子来说明。
图1-4-1所示的是站在宇宙飞船中的人。设想宇宙飞船的两种不2同情况：图1-4-1（a）中，宇宙飞船在太空中以加速度a=9.8m/s上升，太空中没有重力；图1-4-1（b）中的太空船静止于地球表面，其2中的人和物都应感受到地球的重力，其重力加速度g=9.8m/s。两种情形下的加速度数值相等，但一个是推动飞船运行的牵引力产生的加速度，方向向上；另一个是地球表面的重力加速度，方向向下。如果引力质量和惯性质量相等的话，飞船中的观察者应该感觉不出这两种情形有任何区别。所有物理定律的观察效应在这两个系统中都是完全一样的。包括人的体重、上抛小球的抛物线运动规律、光线的偏转等。图1-4-1 爱因斯坦说明等效原理的思想实验
等效原理揭示了引力与其他力在本质上的不同之处。引力系统可与加速度系统等效，似乎可以用变换“参考系”的方法来将其“抵消”掉！这是电磁力没有的性质。不过，爱因斯坦也注意到，对于引力分布的真实情况，这种“抵消”实际上是做不到的。上述爱因斯坦的思想实验中，图1-4-1（b）描述的是均匀的重力场，它等效于作匀加速运动的太空船。但是，均匀重力场在宇宙中并不存在。电磁力的情形不同，因为电磁作用只存在于带电物体之间，我们可以通过安排电荷的分布情形来人为造出均匀的电场，如平板电容器两个极板之间的电场就几乎是均匀的。但任何物体之间都存在引力，引力场的分布情形由物质的分布情形决定。比如说，大多数天体都是如地球一样的球形，它周围空间的引力场呈球对称分布，不可能用任何匀加速运动的参考系来抵消。如果把所有这样的天体附近的引力场都共同考虑，整个宇宙的引力图像便会异常复杂。
只有在地球表面附近，离开地球很小的范围内，引力才可以近似为一个均匀场。而整个宇宙空间的引力场则是分布极不均匀，非常复杂的。爱因斯坦试图找到一种数学模型来描述与引力场分布相关的这种复杂的宇宙图景，但苦苦思索了七八年也没有想出个名堂来。直到后来，他又去请教他的好朋友，数学家格罗斯曼。格罗斯曼曾经多次帮助爱因斯坦。这时的格罗斯曼已经成为了苏黎世联邦理工学院的全职教授。他研究画法几何，因而熟悉黎曼几何。于是他便告诉爱因斯坦，他需要的数学模型，黎曼在50年之前就已经发明出来了。格罗斯曼还将当时几个有名的数学家：克里斯托费尔、里奇、列维·奇维塔，以及他们发展、完成的张量理论和绝对微分学等介绍给爱因斯坦。
黎曼几何描述的是任意形状的n维“流形”。粗略地说，二维流形的概念可以用三维空间中的曲面图像来直观地理解。对高于二维的流形，就很难有直观几何图像了。但二维曲面能使我们了解流形的许多特征。
流形有其复杂的“内蕴”几何性质，用内蕴曲率来表征。流形上每一点的内蕴曲率可以各不相同，或0、或正、或负，见图1-4-2。内蕴曲率为0的流形的几何比较简单，是平坦的欧几里得几何。这种几何最典型的性质是三角形的3个内角之和等于180°，正如我们熟悉的中学平面几何中描述的那样。内蕴曲率为正的流形的几何是球面几何。在球面上，一个三角形的3个内角之和大于180°。除此之外，还有一种双曲几何，就是在马鞍面上，或者说类似炸土豆片的那种双曲面上的几何。对于这种形状的曲面，三角形的3个内角之和小于180°。图1-4-2 黎曼流形上三种不同的几何
内蕴曲率描述的是曲面的内在性质。内蕴是相对于“外嵌”而言。比如说，柱面和锥面看起来是“弯曲”的，但内蕴几何性质却是与平面一样的，它们的内蕴曲率是0。
流形上每个点的局部邻域可当作是一个欧几里得空间，也就是每个点上都有切空间。切空间和切空间之间，用“联络”互相关联。
虽然在黎曼流形上有3种不同的几何，但是如果考察流形上任何一点附近一块非常小的邻域的几何性质，即所谓“局部”几何性质，总是可以近似地看成是平坦的欧几里得几何的性质。
以上所说的黎曼流形的性质，非常类似于爱因斯坦想要描述的引力作用下的宇宙图景。不同的只是它们表达的内容：一个是引力，一个是几何。难道引力就是一种几何？引力是物质产生的，是否可以认为物质分布造成了空间的几何，然后几何再由引力的方式表现出来？这些想法和疑问，最后促成爱因斯坦建立了广义相对论。
在狭义相对论中，时间和空间被统一在一个四维的闵可夫斯基时空中，或称为闵可夫斯基空间，这里的“空间”包括了真实的“时间和空间”。闵氏空间中的一个点被称为一个“事件”，因为它既有空间位置的信息，又有时间的信息。闵可夫斯基空间是平坦的，这个方面类似于我们常说的三维欧几里得空间。但是，因为时间和空间的属性毕竟不一样，时间概念涉及事件之间的因果关系，在空间中可以左右上下来回地移动，但时间却有方向，只能向前，不能倒流。在闵可夫斯基空间中，如果时间轴用实数表示的话，三个空间轴就用虚数表示；或者反过来，时间轴用虚数，空间轴用实数，我们在本书中采用前者。由于实数和虚数的不同，闵氏空间的性质与欧氏空间有所不同，图1-4-3（a）是二维欧氏空间的例子，图1-4-3（b）是二维闵氏空间（一维时间加一维空间）的例子。如图1-4-3所示，欧氏空间中的距离永远是一个正数，闵氏空间的距离却可以是正数、负数或者0，根据两个事件之间的关系分别由类时、类空或者类光而决定。这个区别与光速不变和因果律有关。此外，在闵氏空间中旋转的性质也和欧氏空间的旋转性质不同，洛伦兹变换就是闵氏空间中的旋转，它属于双曲旋转。图1-4-3 欧几里得空间和闵可夫斯基空间的不同
原来三维空间的物理量，在四维时空中被赋予了新的意义。比如说，三维空间的矢量，如速度、加速度、动量等，扩展成了相应的四维矢量。麦克斯韦方程也有其四维空间的表达形式。经典电磁学除了用电场E和磁场H来描述之外，还可以用电磁势A来描述。这里的A被称为四维电磁势。
在黎曼几何思想的启发下，爱因斯坦在广义相对论中，将引力与四维时空的几何性质联系起来。广义相对论中的四维时空，一般来说不同于处处平坦的闵可夫斯基时空，就像我们所在的地球球面上的几何不同于欧氏几何一样。因为物质分布造成了时空弯曲，根据广义相对论得出的解是一个弯曲的四维时空，整体性质可以用一个四维的黎曼流形来描述。黎曼流形某个给定点的邻域，则可以局部地看成是个平坦的闵可夫斯基空间。
著名物理学家约翰·惠勒（John Archibald Wheeler,1911—2008年），早年时曾经与爱因斯坦在一起工作，他用一句话简练地概括了广义相对论：“物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动”。这句话的意思是说，时空和物质通过引力场方程联系到了一起。这种联系可以利用图1-4-4来说明。图1-4-4（a）中，极重的天体使得周围空间弯曲而下凹，这种下凹的空间形状又影响了这个天体以及周围其他物体的运动轨迹。图中的小球朝着天体滚过去，自行车也受到某种向心力的作用而做圆周运动。如何解释小球和自行车的这种运动？牛顿引力理论说：它们被天体的引力所吸引。而广义相对论说，是因为天体造成其周围时空的弯曲，小球和自行车不过是按照时空的弯曲情形运动而已。天体的质量越大，空间弯曲的程度将会越厉害。大到一定的弯曲度，任何东西掉进去都出不来，包括光线，也是只能进不能出。类似于一张蹦蹦网被放在上面的一个重重的铅球撑破了，形成了一个如图1-4-4（b）所示的“洞”。所有东西全往下掉，再也捡不起来，也就是黑洞。
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]