作者：杨慧卿
出版社：人民邮电出版社有限公司
格式: AZW3, DOCX, EPUB, MOBI, PDF, TXT
经济数学——微积分(第2版)(微课版)试读：
内容提要
本书针对应用型本科经济管理类专业的需求，根据教育部高等学校数学与统计学教学指导委员会制定的《经济管理类本科数学基础课程教学基本要求》，并参考硕士研究生考研大纲数学三的要求编写而成. 全书共分6章，内容包括函数、极限与连续，一元函数微分学一导数、微分及其应用，一元函数积分学一不定积分、定积分及其应用，多元函数微积分学，微分方程与差分方程，无穷级数。
本书注重数学概念的引入和数学思想方法的分析，并利用几何直观和数值计算等方法介绍抽象的数学原理，强调知识间的联系和微积分知识在经济问题中的应用. 本书结构紧凑，内容通俗，深入浅出，例题丰富，可读性强，便于自学，可作为高等学校经济管理类专业本专科的教材或教学参考书.
第2版前言
本书是安徽省精品资源共享课程《高等数学》、安徽省MOOC示范项目《高等数学》的建设成果. 本书在第1版的基础上，着重在以下6个方面进行了修订.（1）增加了视频资源，提供全套微课视频. 全书提供139个微视频，其中包括122个课程内容讲解视频、11个章节典型例题讲解视频和6个章节总结视频.（2）在每章末增加“本章小结”，包括“内容概括”和“典型题型”.（3）增强了例题的典型性和示范性，丰富了例题的类型. 对于第1版中原有的部分例题进行了更新，适当扩充了例题的类型并增加了习题量.（4）优化了教材内容的顺序. 对第1版中内容顺序不尽合理之处进行了调整.（5）增强了教材的严谨性. 对第1版中表达不够准确之处进行了修改.（6）在每章复习题（B）组中增加了2015～2017年考研数学三的试题.
本次修订，吸收了安徽财经大学李清栋老师，滁州学院数学与金融学院张梅、程潘红、刘洋等老师宝贵的意见和建议，在此表示诚挚的谢意.
本版的修订工作由杨慧卿完成. 新版中存在的问题，欢迎广大同仁和读者批评指正.编者2017年1月
第1版前言
本书是安徽省精品资源共享课程《高等数学》的建设成果，是在考虑应用型本科高校经济管理类专业“高等数学”课程的教学现状基础上，针对应用型本科高校经济管理类专业的需求，根据教育部高等学校数学与统计学教学指导委员会制定的《经济管理类本科数学基础课程教学基本要求》，并参考了最新《全国硕士研究生入学统一考试——数学三》考试大纲的要求编写而成.
本书在编写过程中，参考了近年来国内外出版的多本同类教材，在教材体系、内容安排和例题配置等方面吸取了它们的优点，同时结合编者多年来在“高等数学”课程教学上的经验，形成了本书的以下主要特点.（1）在书的体系和内容上，对有关内容进行了整合，调整了一些内容的先后顺序，显得更加紧凑，加强了知识间的联系.（2）对于抽象的概念和定理尽量通过几何直观和数值计算帮助学生进行理解，对于部分理论要求较高的定理的证明采取小字排版，供学生选读.（3）注重与中学数学在内容上的衔接，安排了中学未学而又需要用到的相关内容.（4）注重数学知识的实际应用，选编了大量与生活、经济密切相关的实际问题，为学生后续课程的学习提供方便. 同时在涉及经济学相关符号的表达上，与现行的经济学教材保持统一.（5）注重学法指导. 每节前列出学习要求，使学生明确目标，帮助学生把握学习重点. 设置【思考】栏目，提出一些启发性的问题激发学生思考.（6）注重数学知识中所蕴含的数学思想方法的分析与揭示，使读者受到一定的数学思想方法的训练.（7）在习题的配备上，为不同学习阶段和不同需求的学生提供了更多的选择. 课后习题分为每节后习题和每章后复习题（A）组、（B）组. 每节后的习题注重基本要求知识的巩固和理解；每章后复习题（A）组在题型上更为多样，在难度上较每节后的习题有所提高，每章后复习题（B）整理汇编了自2009年以来的考研真题，可供学有余力和有意报考研究生的学生选用.（8）内容简明，层次清晰，语言表述准确、通俗易懂、例题丰富，可读性强，便于自学.
本书各章课时安排建议如下.
本书由杨慧卿编著，程潘红、胡贝贝、张梅、范媛媛等老师参与了课后习题的演算和习题参考答案的编写.
在本书的编写过程中，得到了滁州学院教务处、数学与金融学院、经济与管理学院的大力支持，得到了数学与金融学院大学数学教研室、经济与管理学院经济学系多位老师的帮助，特别是王雄亮、金洪、李宏亮、周晖、张晴等老师对本书提出了许多宝贵的意见和建议. 在此一并表示衷心感谢.
虽然我们希望编写一本质量较高、适合当前教学实际的教材，但限于水平，书中仍可能有未尽人意之处，敬请读者批评指正.编者2014年4月
第1章 函数、极限与连续
函数表示了变量之间的相依关系，是微积分的研究对象. 极限是一种有关无穷变动的量的运算，是研究微积分的重要工具. 连续则是函数的一种性质. 本章将在回顾函数的概念和性质的基础上，进一步认识反函数和复合函数，在介绍极限的概念和运算的基础上，讨论函数的连续性，并介绍常见的几种经济函数.
1.1 函数的概念和性质
学习要求
1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会求函数的定义域，会建立应用问题的函数关系.
2. 了解函数的单调性、周期性、奇偶性和有界性，会判断函数的奇偶性和有界性.函数的概念
1.1.1 区间和邻域
区间是一类常用的数集，分为有限区间和无限区间.
设a和b均为实数，且a 引入记号+∞，-∞，则无限区间表示为［a，+∞）={x|a≤x}（-∞，b］={x|x≤b}（a，+∞）={x|a＜x}（-∞，b）={x|x＜b}（-∞，+∞） 邻域是一种特殊的区间，是后续学习中常用的一个重要概念. 定义1.1 设a与δ是两个实数，且δ＞0，数集{x||x-a|＜δ}称为点a的δ邻域，记为U（a，δ），即U（a，δ）={x||x-a|＜δ} 点a称为U（a，δ）的中心，δ称为U（a，δ）的半径（如图1.1所示）.图1.1 在数轴上，U（a，δ）表示到点a的距离小于δ的点的全体. 点a的δ邻域去掉中心a，称为点a的去心δ邻域，记作Ů（a，δ），即Ů（a，δ）={x|0＜|x-a|＜δ}=（a-δ，a）∪（a，a+δ）-其中，（a-δ，a）称为点a的左δ邻域，记为U（a，δ），（a，a+δ）称+为点a的右δ邻域，记为U（a，δ）. 1.1.2 函数的概念
在实际问题中，常常涉及多个变量。这些变量并不是彼此孤立存在，而是按照一定的规律相互联系着. 例如，圆的面积S与圆的半径r2之间的关系就是S=πr；一天中每个时刻t都对应着一个确定的气温值T. 这种存在于变量之间的相依关系，就是函数关系.
定义1.2 设x，y是两个变量，D是一个非空的数集. 如果按照某个对应法则f，对于每个x∈D，变量y都有唯一确定的值与之对应，则称这个对应法则f为定义在D上的函数. 数集D称为这个函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量.
函数f的定义域D通常记为D. 当x∈Df时，与自变量x对应的因变f00量y的值f（x），称为函数f在点x处的函数值，当x遍取D的所有数值00f时，对应的全体函数值所组成的数集W={y|y=f（x），x∈D}ff称为函数f的值域.
按照上述定义，f与f（x）的含义是有区别的（【思考】区别在哪里？）. 但习惯上也常用f（x）或y=f（x）表示函数.
函数的记号f也可改用其他字母表示，如F，φ等，相应地，函数可记作y=F（x），y=φ（x）等. 有时还直接利用因变量的记号来表示函数，如y=y（x），这里字母y既表示因变量，又表示函数.
从函数的定义可知，定义域和对应法则是函数的两个要素. 只有两个函数具有相同的定义域和相同的对应法则时，它们才是相同的函数；否则，就是不同的函数.
函数的定义域通常按如下两种情形来确定：一是对于具有实际背景的函数，其定义域由变量的实际意义确定；二是对于由抽象的算式表达的函数，其定义域就是使得算式有意义的一切实数所组成的集合，称为函数的自然定义域. 在求函数的自然定义域时，常考虑以下几点.（1）偶次方根下被开方数大于或等于零；（2）分母不能为零；（3）对数的真数大于零；[1]（4）在y=tan x中，中，x≠kπ；[2]（5）在y=arcsin x，y=arccos x中，|x|≤1.
若一个函数是由有限个函数经四则运算而得，其定义域是这有限个函数的定义域的交集，并去掉使分母为零的点.【例1.1】 求函数的定义域.【解】 为使f（x）有意义，应有所求函数的定义域为D=（1，2）∪（2，3］.f
1.1.3 函数的表示法
函数的表示方法主要有表格法、图形法和解析法（公式法）. 其中图形法可以帮助我们直观地理解函数的性质，在微积分的学习中非常有用. 在平面直角坐标系xOy中，点集G={（x，y）|y=f（x），x∈D}f称为函数y=f（x）的图形（如图1.2所示）.图1.2
下面再认识几个特殊的函数.【例1.2】 称为绝对值函数，其定义域D=R，值域W=［0，+∞），其图形如图1.3（a）所示.ff【例1.3】 称为符号函数，其定义域D=R，值f域W={-1，0，1}，对任意实数x，都有x=sgn x·|x|，其图形如图1.3（b）f所示.【例1.4】 f（x）=［x］称为取整函数，表示不超过x的最大整数.
如［8.2］=8，［-3.5］=-4，［0.5］=0. 对任意实数x，都有［x］≤x＜［x］+1. 其图形如图1.3（c）所示，好像阶梯，因此又称为阶梯函数. 其定义域D=R，值域W=Z.ff图1.3
以上3个例子中的函数都具有这样的特点：在其定义域的不同部分，函数分别用不同的算式表示，这类函数称为分段函数（注意：分段函数在其定义域上是一个函数，而不是多个函数）. 分段函数在实际问题中经常遇到.【例1.5】 自2011年9月1日起，我国执行新的个人所得税税率，起征点由2000元调到3500元，累进税率见表1.1.表1.1 个人所得税税率表 单位：元
试建立扣除法定扣除项目后的收入x元与应缴个人所得税y元之间的函数关系. 怎样解释速算扣除数？若张某本月扣除法定扣除项目后的收入为22 000元，他应缴个人所得税多少元？【解】 个人所得税是分段累进计税，所以收入与应缴个人所得税之间的函数关系可以用分段函 数表示.
当x≤3 500时，y=0；
当3 500＜x≤5 000时，y=0.03（x-3 500）；
当5 000＜x≤8 000时，y=0.03×1 500+0.1（x-5 000）=0.1x-455；
当8 000＜x≤12 000时，y=0.03×1 500+0.1（4 500-1 500）+0.2（x-8 000）=0.2x-1 255；
第4、5、6、7级类似计算，可得如下结果.
怎样解释速算扣除数？以5 000＜x≤8 000，12 500＜x≤38 500两段为例.
当5 000＜x≤8 000时，y=0.1x-455可以表示为y=0.1（x-3 500）-105 （1.1）
当12 500＜x≤38 500时，y=0.25x-1 880可以表示为y=0.25（x-3 500）-1 005 （1.2）
式（1.1）与式（1.2）中的105和1 005就是相应级数所对应的速算扣除数. 实际上，税务部门在计算个人所得税时，就是先将扣除法定扣除项目后的收入x元归入相应的级数，然后用该级数对应的税率乘以x与3 500的差，再减去该级数对应的速算扣除数.
张某本月扣除法定扣除项目后的收入为22 000元，应归入第4级，税率为25%，所以应缴个人所得税为y=0.25×（22 000-3 500）-1 005=3 620（元）函数的几何特性
1.1.4 函数的几何特性
研究函数的目的就是为了了解它所具有的一些性质，以便掌握它的变化规律. 函数的几何特性主要包括单调性、奇偶性、周期性和有界性等.
1. 单调性
定义1.3 如果函数y=f（x）定义域为D，区间I⊂D，如果对于区间I内的任何两点x和x，当x＜x时，恒有1212f（x）＜f（x）12那么称函数y=f（x）在区间I内单调增加，常用符号“↗”表示，I称为单调增区间；如果函数y=f（x）对于区间I内的任何两点x和x，当12x＜x时，恒有12f（x）＞f（x）12那么称函数y=f（x）在区间I内单调减少，常用符号“↘”表示，I称为单调减区间.
单调增加或单调减少的函数，统称为单调函数，单调增区间和单调减区间统称为单调区间. 在单调增区间内，函数的图形随x的增大而上升（如图1.4（a）所示）；在单调减区间内，函数的图形随x的增大而下降（如图1.4（b）所示）.图1.43【例1.6】 证明函数f（x）=x在（-∞，+∞）内是单调增加的.【证】 任取x，x∈（-∞，+∞）且x＜x，则有12123即f（x）＞f（x），也就是说f（x）=x在（-∞，+∞）内是单调增加21的.2
函数的单调性与所讨论的自变量的区间有关. 例如，函数y=x在区间（-∞，0］内是单调减少的，在［0，+∞）内是单调增加的，而在（-∞，+∞）内是不单调的.
用单调性的定义直接判断函数的单调性有时还是比较困难的，我们将在第2章运用导数的有关知识进一步去讨论.
2. 奇偶性
定义1.4 设函数y=f（x）的定义域关于原点对称，如果对于任意的x∈D，-x∈D，恒有f（-x）=-f（x），那么称y=f（x）为奇函数；如果对任意的x∈D，恒有f（-x）=f（x），那么称y=f（x）为偶函数.23
例如，y=x在（-∞，+∞）内是偶函数，y=x在（-∞，+∞）内是奇函数，而y=x+cosx是非奇非偶函数.
偶函数的图形关于y轴对称；奇函数的图形关于坐标原点对称（如图1.5所示）.图1.5【例1.7】 判断函数的奇偶性.【解】 对于任意的x∈R，恒有所以f（x）在定义域（-∞，+∞）内是偶函数.
对于任意的x∈R，恒有所以g（x）在定义域（-∞，+∞）内是奇函数.
3. 周期性
定义1.5 设y=f（x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意的x∈D，x+T∈D，都有f（x+T）=f（x），那么称y=f（x）为周期函数，称T为函数y=f（x）的周期.
容易证明，如果T为f（x）的一个周期，那么T的任意非零整数倍数都是f（x）的周期. 因此，周期函数有无穷多个周期. 通常所说的周期是指周期函数的最小正周期.
例如，正弦函数y=sin x中，±2π，±4π，±6π，…都是它的周期，其最小正周期T=2π. 又如，函数y=sin（ωx+φ），其最小正周期为.
4. 有界性
定义1.6 设函数y=f（x）的定义域为D，数集X⊂D. 如果存在正数M，对于任意的x∈X，都有|f（x）|≤M
那么称函数y=f（x）在X上有界，或称y=f（x）是X上的有界函数（如图1.6所示）. 否则称y=f（x）在X上无界，y=f（x）也就称为X上的无界函数.图1.6【思考】 如果函数y=f（x）在X上有界，那么存在多少个这样的M，能够使得|f（x）|≤M？
函数的有界性同样与所讨论的自变量的区间有关. 例如，函数在（0，+∞）内无界，而在［1，+∞）内有界.【例1.8】 讨论下列函数在各自定义域上是否有界.x（1）y=sin x （2）y=e【解】 （1）对于任意的x∈R，存在M=1，恒有|sin x|≤1所以y=sin x在（-∞，+∞）上有界.（2）对于任意的x∈R，不存在M＞0，使得x|e|≤Mx所以y=e在（-∞，+∞）上无界.
习题1.1
1. 判断下列各组函数是否相同，并说明理由.
2. 求下列函数的定义域.
3. 已知函数，确定函数的定义域，求f（-0.5），f（1），f（1.5）的值，并作出函数图形.
4. 讨论下列函数的奇偶性.
5. 讨论下列函数在各自定义域上的有界性.
6. 设下面所讨论的函数的定义域关于原点对称，试研究函数的奇偶性.（1）两个偶函数的和；两个奇函数的和；偶函数与奇函数的和；（2）两个偶函数的积；两个奇函数的积；偶函数与奇函数的积.
7. 从2012年7月1日起，全国29个省份同步实施阶梯电价. A省具体方案是：首档月度用电量为180度以内，这档电量将按照目前的价格，每度0.565 3元. 第二档月度用电量为180度至350度，这档电量电价每度涨5分钱. 第三档月度用电量为350度以上，这档电量每度涨3毛钱. 以一个年度为计量周期，月度滚动使用.
若以y表示应缴电费（单位：元），x表示用电量（单位：度），试建立y与x之间的函数关系. 若某户在2013年全年共用电3 000度，问该户需缴电费多少元？
1.2 反函数与复合函数
学习要求
1. 理解反函数、复合函数的定义，会求函数的反函数，会进行函数的复合与分解.
2. 了解余切函数、正割函数、余割函数、几种反三角函数的定义域、图形和性质.
3. 了解基本初等函数、初等函数的概念.反函数
1.2.1 反函数
定义1.7 设函数y=f（x）的定义域为D，值域为W. 如果对W中的任何一个实数y，都有唯一的一个x∈D，使f（x）=y成立. 那么把y看成自变量，x看成因变量，由函数的定义，x就成为y的函数，称这-1个函数为y=f（x）的反函数，记为x=f（y），其定义域是W，值域是D.-1
函数y=f（x）的图形与其反函数x=f（y）的图形是坐标平面内的同一条曲线（如图1.7所示）.
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]