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作者：（德） 马克斯·普朗克

出版社：重庆出版社

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普朗克在哥伦比亚大学的八堂物理课试读：

版权页

图书在版编目（CIP）数据

普朗克著；葛依凌译。—重庆：重庆出版社，2018.12

书名原文：Eight Lectures on Theoretical Physics-Delivered at Columbia University in 1909

ISBN 978-7-229-13809-7

Ⅰ。 ①普。　Ⅱ。 ①马。　②葛。　Ⅲ。 ①物理学　Ⅳ。①O4

中国版本图书馆CIP数据核字（2018）第295241号

普朗克在哥伦比亚大学的八堂物理课

PULANGKE ZAI GELUNBIYA DAXUE DE BA TANG WULIKE

〔德〕 马克斯·普朗克 著 葛依凌 译

策 划 人：刘太亨

责任编辑：陈渝生

责任校对：杨　媚

排版设计：冯晨宇

封面设计：日日新

重庆出版集团

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开本：889mm×1194mm　1/32 印张：5.25 字数：128千

2018年 12月第1版 2019年4月第1次印刷

ISBN 978-7-229-13809-7定价：58.00元

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版权所有，侵权必究

中译者序言

在20世纪现代物理学发端处，马克斯•普朗克和阿尔伯特•爱因斯坦是分量最重的两大物理学家，他们分别为现代物理学的两大体系——量子力学和相对论——奠立了理论基础。普朗克发现了能量量子化，对物理学的又一次飞跃作出了重要贡献，并因此在1918年获得诺贝尔物理学奖。他帮助我们重新定义了物理学的概念和宇宙的基本形态。

普朗克出生于有良好教养的传统德国家庭，17岁时进入慕尼黑大学，后着手研究理论物理学。1877年转入柏林大学，师从亥姆霍兹和基尔霍夫。普朗克很快与亥姆霍兹建立了真挚的友谊，并受这位热力学奠基人的影响，热学理论成为了普朗克的重要研究领域。1880年，获得大学任教资格后，普朗克在慕尼黑大学并未得到学术界的重视，但他仍致力于热理论领域的研究。虽然他提出了热动力学公式，却未发觉这一公式此前已被约西亚•威拉德•吉布斯提出。鲁道夫•克修斯所提出的“熵”的概念在普朗克的研究中处于中心位置。1885年，基尔大学聘请普朗克担任理论物理学教授，他得以继续对熵及其应用进行研究，主要解决了物理化学方面的问题，为阿伦尼乌斯的电解质电离理论提供了热力学解释。在基尔大学期间，普朗克已经开始了对原子论的深入研究。

普朗克早期致力于热力学研究，其研究成果在博士论文《论热力学的第二定律》中有很好的表述。此后，他从热力学角度对物质的聚集态变化、气体与溶液理论等进行研究。普朗克在物理学上最主要的成就是，提出著名的普朗克辐射公式，创立量子概念。普朗克本人是一个不情愿的物理学革命者，其成就在多年以后才得到普遍认可。

此书是普朗克在哥伦比亚大学的系列演讲集，共八讲。

第一讲，普朗克首先对理论物理学的研究现状进行综合表述，对物理学中的基本规律、重要假设和重要构想进行简要勾勒。进而由能量守恒定律和热力学第二定律延伸至可逆性与不可逆性概念。普朗克认为，自然界中发生的所有反应，都可以划分为可逆过程与不可逆过程，并对其进行了详尽的阐释，最终引出“熵”的概念，然后结合克劳修斯的理论、热力学第二定律及其衍生理论，得出熵增原理。

第二讲，从熵增原理出发，普朗克阐述基于吉布斯并超2~ ~

越他的重要热力学研究成果。这些成果涉及稀释定律，普朗克就此给出了明确的关系式。

第三讲，对原子论进行了深入研究。普朗克认为，只有通过原子论，才能将所有物理过程划分为可逆过程和不可逆过程，即不可逆性必然引出原子论。普朗克以此为出发点，将原子论引入物理体系，通过类比概率阐释原子论。普朗克随后将其引入热辐射理论，为确保客观性，以宏观和微观两大视角解读热力学第二定律。

第四讲，普朗克运用不可逆概念的一般定律，计算给定状态下理想单原子气体的熵，并推导其热力学性质，主要内容是计算给定气体状态的概率。在不附加特殊假设的情况下，概率的计算不仅能使我们找到已知气体的热力学性质，还能得出本质上超出纯热力学性质的结论。

第五讲和第六讲探讨热辐射问题。在第五讲中，普朗克概括讲述了电磁理论对热辐射特征量的重要影响。主要是测定热射线穿过介质中任何位置的量，并确定其辐射热的状态。第六讲以第五讲为前提，探究了热辐射理论中一个非常关键的问题，即关于规范正常能谱中能量分布的通用函数的建立。谐振器被置于充满黑体辐射的真空中，从而激发稳态振动，由此可以计算谐振器的熵。

第七讲和第八讲进入动力学领域。在第七讲中，普朗克首先阐述最小作用量原理，他认为这一原理比其他原理更具决定性的优势，对力学、电动力学和热力学都具有直接意义；然后，普朗克详述该原理如何应用于个案。最小作用量原理涵盖了所有已知的可逆过程，因此也可以作为一般动力学的基础。第八讲开始步入一个更为浩瀚的领域——相对论。普朗克从相对论的发展史出发，结合实例讲述了相对论的理论构建。

此书涉及了大量理论物理学知识，为现代物理学爱好者提供了一个丰满而简洁的学习框架，是清晰认识量子力学和相对论理论构建的系统性读本。葛依凌2018年12月16日

英译版献词

1904年12月17日，纽约的爱德华•迪安•亚当斯（Edward Dean Adams）为纪念他的儿子，在哥伦比亚大（Ernest Kempton Adams Fund for Physical Research）。欧内斯特（Ernest）于1897年获得电气工程学士学位，并于1898年获得艺术硕士学位，他一生都致力于科学研究。按照赠予条款，该基金的收入将作为奖学金，用于支助科学研究，以及用于研究员科研成果的出版和发行。感谢亚当斯先生和董事们的支持，使得讲座的内容可以以基金会的名义出版。

应亚当斯基金咨询委员会的要求，并经作者同意，我对普朗克教授在哥伦比亚大学所做讲座进行了英译。对于那些不精通德语而又对现代理论物理学发展感兴趣的人，我希望这个英文译本能有所帮助。自德文原文发表以来，文中所论述的一些问题，特别是热辐射的问题，受到了很大的关注，因此，针对普朗克教授当时的一些观点，后来的学者已作了相当大的修正。但是作者希望译文能忠实于原文，即忠实于热辐射理论产生时的早期线索，所以，希望了解修正后的内容及其范围的读者，可以查阅近期的相关文献。A. P. 威尔士

编者注：本中译版参考的英译版由哥伦比亚大学数学物理系教授A. P. 威尔士翻译，并由哥伦比亚大学于1915年在纽约出版。

作者序言

此书是为了介绍我作为外教，今年春天在哥伦比亚大学的八次讲座，名为：现代理论物理学体系。在第一次讲座开始的时候，我就指出了现代理论物理学体系中对我有影响的观点。从本质上讲，这些观点代表了理论物理学体系的扩展，而其中最根本的观点，我在莱顿大学（Leiden University）一个名为“关于宇宙的统一物理概念”的讲座中已有提及。在此，我觉得再次回顾那场演讲的一些内容是有益的。当然，那次演讲不会也不可能全面涵盖所有方向的理论物理学原理。马克斯·普朗克　柏林，1909年

第一讲 概述：可逆与不可逆

各位同事，女士们先生们：哥伦比亚大学校长邀请我在美国——这一著名的科学中心——举行一系列理论物理学方面的演讲，这赋予我崇高的荣誉和巨大的成就感。同样地，我也意识到了这是一项特殊的任务，一旦接受，就必须承担相应的责任。如果我想要在一定程度上满足在座各位对我的期待，那么我只能将你们的注意力引向我熟知的科学分支。如此，我的演讲在某些方面便难免会带有一些主观色彩。

在这个讲座中，我将从我最感兴趣的点出发，为你们描述理论物理学体系的现状。我并非要描述理论物理学的整个现状，如果要全面涵盖这一如此广泛的主题，我的讲座时间是不够的。由于时间限制，在这里我显然不宜全面考察这一伟大领域的所有细节，但是我可以大胆地为大家提供一个综合表述，即勾勒出当今物理学中的基本规律、物理学中所使用的最重要的假设，以及最近被纳入这一课题的那些重要构想。我很乐意对细节进行深入的叙述，但这并非为了彻底解释所提出的问题，而是为了通过挑选适当的例子来解释一般规律。

如果想正确理解理论物理学的伟大之处，那就不能高估抑或低估它的成就。实际上，很多人都认为，低估是经常的，现在的情况恰好证明了这一点，所以人们情绪高涨，呼吁维护整个低迷的自然科学界。但我认为，这种说法很容易让人置疑，以下这个简单的事实就可以证明：每隔十年，科技手段都进步巨大，其重要性也不言而喻。通过理论物理学，人类可以将自2~ ~

然为己所用，可以这样说，如果没有理论物理学的帮助，人类的[1]技术成就便很难达到今天的高度。从整形电路到无线电报，整个电子技术行业的发展就是一个非常明显的例子，更不用说空中导航了。但我认为，另一种错误——高估理论物理学的成就更危险。尤其是那些不是十分了解这一课题核心的人，他们认为，通过适当手段改进科学技术，一段时间后，不仅可以通过物理学来表述原子的内在结构，甚至还可以反映人类精神层面的规律。我认为，人类永远都无法达到这样的水平。但我相信，现在很多人并不是这样认为的。那么，接下来让我们寻求一个平衡点，以避免滑向两个极端。

当我们寻找一个能够承载整个理论物理学结构的坚固基础时，我们会遇到这样的问题：什么是物理学的基础？所用的手段又是什么？幸运的是，对上述问题现在已找到完整的答案。理论物理学所用的手段是测量，而数学是主要的工具。所有的物理构想都依赖于测量，并或多或少地依赖于精确测量。每一个物理定义，每一个物理定律，越接近测量的结果，那么其意义也越明确。现在，测量借助感官——首先是视觉、听觉和触觉——进行。可以说，到目前为止，所有物理研究的起源和基础，都处于我们的感官范围之内。只有通过感官感知，我们才能体验到大自然的所有事物。感官是处理争议问题的“最高上诉法院”，这一观点在物理学的发展史中已得到了完全的证实。物理是在感觉的基础上成长起来的。第一批物理概念来自人的个体感知，因此，物理学被细分为：眼物理学（光学）、耳物理学（声学）和热感物理学（热理论）。就目前而言，曾经存在的那些感官领域，如今已逐渐扩展到了物理领域，所以，物理学的分离最初似乎是基于人类的特性。简言之，物理学具有主观性。而这似乎也因为，物理研究要么涉及特殊的感官观念，要么涉及日常生活（特别是人类的实际需求）。大地测量学技术产生了几何学，机械研究转向了力学，但在最近的分析中，这些都只与人类的感知和需求有关，这一结论最终接近于物理学。

按照这一观点，感觉是世界的基本要素，去构建一个与感觉相反的对象，或多或少是一个主观意志问题。当我谈及一棵树，实际意思不过是一个复杂的感官认知：我可以看到它；我可以听到树枝的沙沙声；我可以闻到树叶的香味；我把头撞向树干，我会感受到疼痛。如果忽视所有这些感觉，便没有东西可作为测量的对象，因此自然科学还是有自己的定位的，这毋庸置疑。根据这一观点，物理学要解决的问题在于，怎样根据经验将感觉与固定的规律联系起来，或者如人们所说，尽可能使我们的想法在感觉中得到合理的解释。这种行为对人类生存有益，因而被延续了下来。[2]

一切都格外简单明了，这种实证主义在如今天的科学界仍然被广泛应用。只要处于我们所描述的观点范围内（并不总由实证主义者[3]来实行），没有假设，没有形而上学 ，那也是可解的，是显而易见的。进一步说，这一原则从来没有导致过实际的矛盾。我甚至可以坦言，这一原则一定不会导致矛盾。但是，女士们先生们，这一原则却从未对理论物理学的进步做出过任何贡献。在某种意义上，由于物理学的不充分性（本质只有形式上的意义），若想有所进步，那这一原则必须以完全相反的方式来表述。

不可否认，以上观点的正确性可以从理论物理学发展的实际过程中得到证明。把今天的物理学体系与上述更早、更原始的体系进行比较，会发现其最显著的区别是：在目前的体系、物理划分的各种领域，及所有物理定义中，原始体系的历史因素所起的作用比以前小得多。正如前面所说，物理学的基本思想是从人类特定的意识感觉中获得的，但现在，后者在很大程度上被排除了在声学、光学和热学之外。如今，声音、色彩和温度的物理定义根本不再由相应的感官来感知。声音和色彩是通过波的振动频率或波长来定义的；而温度则通过测温[4][5]物质的体积变化来定义，或者通过基于热力学第二定律的温标来定义，同样，热感与温度也没有什么关系。但对于力的定义却并非如此。毫无疑问，“力”最初指身体的力量，对应于斧头、锤子和木槌这些最古老的、由人手控制运动的工具，也对应于杠杆、滚轴和螺丝等第一批由人或动物进行操作的机械。这表明，力的概念最初来自对力的感觉，或者说肌肉的感觉，因此，力是一种特定的感觉。我认为力这个概念的本义，在今天这个力学讲座，即引言部分中极为重要。因为，在现代理论物理学的精确定义中，感知的具体概念正在消失，如在色彩意义上的感知概念。并且，在现代理论物理学中，特定的感知在所有物理定义中的重要性比以前更小。事实上，具有特定感知意义的要素，其背景极其复杂，为了朝着简洁而协调的方向发展，各不相同且广泛离散的分支之间愈加放松了联系，以致原来按照感觉排列的物理学分支完全分崩离析。热理论便是此中明显的例证：早期，“热”形成了一个独立而统一的物理体系，并通过对热的感知来表征。如今，几乎在所有的物理学教科书中，涉及热的部分不仅是一个[6]完整的物理体系，而且为其他体系所研究，比如热辐射，同时已归入光学研究的研究领域。固此，热感的意义已经不足以把不同分支聚集在单一的物理领域了。

总之，我们可以这样认为，整个理论物理学的发展，其特点是在对所有含有主观性因素的物理概念——特别是特定感官所感知到的——进行彻底消除。另一方面，如上所述，如果所有物理研究的出发点都是感觉，那么，由于我们无法关闭所有的信息来源，就不可能处理好研究的排他性。最终这种有意的对原始概念的背离，其结果必然令人诧异，甚至让人觉得荒诞不稽，这是物理学发展的一个突出的事实。

如此消除人类的主观性有什么好处呢？那么又为了什么要牺牲感知在理解物理概念方面的直观性明确性呢？答案是，为了实现理论物理学体系的统一和紧密。事实上，这个体系的统一性不但关系到所有细节，而且关系到所有地区、所有时期、所有民族、所有文化背景的物理学家。当然，理论物理学体系也应当是充分的，不仅对地球居民，对其他天体的居民也是如此。如果火星真的存在居民，他们是否也拥有和我们一样的眼睛和耳朵呢？我们不知道——这是一件不可思议的事情。但凡这些外星生物拥有一定的智慧，就能认识到万有引力定[7]律和能量守恒定律，大多数物理学家都认可这一点。而那些没有智慧的生物就无法引起物理学家的重视，地外生命对于物理学界——无论是美国还是德国的物理学家来说——一直都是一个无法解释的谜题。

总之，不断从主观性因素中得到解放，是理论物理学体系实际发展的特点，它试图将物理学体系和物理学家可能存在的主观性彻底剥离。大家可以称之为物理学体系的客观性。为排除任何可能的误解，我要特别强调，在这里我们要做的不是将物理学与物理学家完全分离，因为没有物理学家的物理学是不可能存在的。但是，随着物理学家个性的消除，一个共同的物理学体系便会随之呈现在所有物理学家面前。

那么，这一原则又是如何与实证主义原则一致的呢？物理学体系与物理学家个性的分离是指什么呢？与这一原则相反的是，根据这些概念，每个特定的物理学家都必须有一套自己独特的物理学体系，以防所有形而上学的要素被完全消除，因为物理学只包含通过感知发现的事实，而只有个别的感知会直接涉及这些事实。严格地说，所有生物都有感觉，但这只是通过类比得到的一个结论，尽管存在这样的可能但却很武断。因此，从根本上讲，物理学体系只是一个个体问题，如果两位物理学家接受同一个系统，那么就他们个人而言，确实皆大欢喜；但实质上，这样的皆大欢喜并不必要。在物理学上，一个人无论怎么看待某个观点，都是毫无意义的，这就是我在这里要坚持的理念。我再补充一点，每一个伟大的物理概念的产生，无疑都意味着从主观性中得到了进一步解放。从托勒密到哥白尼，宇宙系统的发展历程就是如此，就像现在即将出现的，从经典质点动力学，到起源于相对论的一般动力学的转变便是如此。从此，人类及其居住的地球将不再是世界中心。可以这样预言，本世纪人们赋予时间观念的绝对性将被剥夺（参考最后一讲）。当然，直觉告诉我，每一次这样的革命所带来的牺牲都是巨大的，因此人们对这种革命的抵抗也同样强烈。但是，科学的发展不能因此停止；恰恰相反，那些在反对旧观念的斗争中取得的成功，给予科学发展以最强大的动力，在这方面，这种斗争是不可或缺的。

那么，今天我们在物理学体系的统一方面已经取得了多大的进步呢？目前为止，早期物理学的许多独立研究领域已经减少到两个，分[8][9]别是力学和电动力学，或者如人们所说的那样，分为物质物理学[10][11][12][13]和以太物理学。前者包括声学 、材料科学和化学 ；后者[14]包括磁学、光学 和辐射热。但是这是一个基本的划分吗？又会是最终的结果吗？这是一个对物理学未来发展具有重大影响的问题。对我而言，力学和电动力学不可能完全、永久地区分开来，基于这个理由，我要给出否定的答案。比如说，光发射过程属于力学还是电动力学？电子的运动规律又该划到哪个领域呢？乍一看，也许有人会说：对电动力学来说，电子的质量不起任何作用。但是，让我们把注意力[15][16]集中在金属中自由电子的运动上，例如，在洛伦兹的经典研究中，电子所遵循的定律与其说属于电动力学，不如说属于气体的动力学理论。一般来说，我认为以太物质与物质体之间的原始差异可以视为零。许多谈到电动力学和力学世界观之间的冲突的人，也认为电动力学和力学并没有太大的差距。从本质上来说，无论人们把它看作是一种物质还是一种状态，力学所需要的只是空间、时间和运动的概念。电动力学亦是如此。因此，完全广义的力学概念也可以很好地包括电动力学。事实上，有许多迹象已经表明，这两个学科会最终合并，其领域在某种程度上已经重叠。

如果以太与物质之间的鸿沟一旦被弥合，那么在最后的分析中，哪一种方式最适合物理学体系的细分呢？这个问题的答案将成为科学进一步发展的总体特征。因此，在我今天提出的所有问题中，这个问题最为重要。但是为了更进一步的研究，我们有必要深入探讨一下物理原理的特殊性。

以前的哲学家所设想的统一物理学体系，就是能量守恒定律，因此，我们最好由此开始，向这一体系的实现迈出第一步。因为除了空间和时间之外，能量是所有物理领域唯一共有的概念。按照我上面所[17][18][19]说的，能量守恒定律在梅耶、焦耳和亥姆霍兹将其公式一般化之前，显而易见，也有主观性的特征。这一原则的根源在于：没有人能够从任何东西中获得有用的功。这种认识基本上起源于为解决永动这个技术问题而收集的经验。在这个意义上，永动对于物理学来说[20]具有深远的意义，类似于炼金术对化学的意义。尽管这都不正面，但正是通过这些实验的负面结果，科学才得以发展。今天，我们谈论能量守恒定律时，完全不涉及技术问题或个人观点。我们认为，一个孤立的系统，其总能量是一个定值，不会增加，也不会因为系统内的任何一种变化而减少。我们认为这个守则的准确性不再会随着永动实验的技术改进而有改变。严格地说，从上述主观性因素中解放出来，才是我们必须要面对的。

尽管在我们面前，能量守恒定律是一个完全独立的结构，摆脱并[21]独立于与其历史发展相关的命运，但克劳修斯（R. Clausius）在物理学中引入的并不是真正的能量守恒定律，而是热力学第二定律。这条定律在物理科学的发展中，扮演着非常独特的角色，就目前而言，我们无法断言该定律已经找到了一个公认的客观公式。因此，目前阶段更仔细地研究该定律的重要性是一个非常有意义的问题。

与热力学第一定律或能量守恒定律相比，热力学第二定律可以表述为：第一定律认为，在自然界的所有过程中，能量既不会产生，也不会消耗，只会转化；第二定律则进一步限制了转化的自然过程，因为能量并不是在所有过程中都会转化，所有转化都会受某些条件的限制。热力学第二定律就涉及这一问题，特别是自然过程中能量转化的方向问题。

在这个问题上，人们至今仍常犯一个错误，并已明显地阻碍了科学的进步。为了使热力学第二定律成为通用定律， W. 奥斯特瓦尔德[22]（W. Ostwald） 的追随者将其称为“能量第二定律”，并试图以此定律来笼统地表述自然界中每一个能量转化过程的方向。几周前，我在一位受人尊敬的同事的公开学术演说中，听到了热力学第二定律的[23]意义所在：石头向下跌落，水往山下流淌，电荷从高电势 运动到低电势等等。

事实是，以上说法都是错误的。一块石头可以在空中升起，也可以向下坠落；而喷泉的水同样也可以往上流动；电荷在电容器振荡 [24]放电时，可以从较低的电势运动到较高的电势。以下说法显然正确：如果将其应用于原本静止的石头、水、电荷上，那么从能量守恒定律出发即可，甚至不需要再加上一个特殊的热力学第二定律。因为，[25]根据能量守恒定律，石头或水的动能只能以牺牲重力势能为代价，即重心下降。若发生运动，那么重力势能必定减少，重心也会下降。同样，电容器两板之间的电荷，若想从低电势运动到高电势，电能就必须传递到低电势。如果运动和电流已经存在，那么无论如何都无法说明能量转化的方向；因为能量转化同时也可能发生在另一个方向上。所以从这个角度看，这个定律对于认识自然界并无新意。

基于同样不充分的基础，我现在将提及第二个定律。机械做功，如摩擦，很容易转化为热，而热却很难转化为功，考虑到这种情况，在此我试着对第二定律进行这样的定性表述：在自然界中，功转化为热，是完全可以发生的；而热转化为功，则是不完全的，而且是以下述方式进行的，即每次热量转化为功时，另一种相应的能量必须同时进行补偿变换，比如热量从高温体传递到低温体。这个说法，在某些特殊情况下是正确的，但并不总是对事物的真正意义产生影响。我将提出一个简单的例子来证明。[26]

热力学最重要的定律之一：理想气体的总能量，只取决于其温度，而非体积。如果做功时理想气体膨胀，并在较高温度下同时使用储热器加热，以防止气体冷却，那么，气体的温度和能量就保持不变，这就可以说储热器提供的热量完全转化成了功，而无需交换能量。我们有理由反对这个说法——只有从不同的方面，才能解释热不完全转化为功的规律。这个规律与实际状况无关，虽然它确实改变了我们看待问题的方式，但不能通过事实予其以支持或反驳。我们可以通过引进特殊的新型能源，将气体的能量分成许多份，其能量分别取决于各部分气体的体积。但是推理证明，任何人都不可能从人为的定义中衍生出一个新的物理定律，这就是我们从热力学第一定律——能量守恒定律——过渡到热力学第二定律时必须遵守的规则。

现在我想提出这样一个新的物理定律：建造一个周期性运转的电机是不可能的，这种电机原则上只涉及负载上升和储热器冷却。可以理解的是，在此电机的一个循环中，可能会发生相当复杂的过程，但在一个循环完成后，根据热力学第一定律，除了储热器冷却和负载上升一段相应的距离外，外部环境没有其他变化。当然，这样的电机也可以与制冷机同时使用，也就无需再消耗任何能源材料。这种发动机将是世界上效率最高的，因为它不需要消耗任何能源，地球、大气层或海洋都可以用作发动机的储热器。根据奥斯特瓦尔德的提议，我们[27]将其称为“第二类永动机” 。这种运动在自然界中是否有可能存在，不能从能量守恒定律来推断，只能通过特殊的实验来确证。[28]

第一类永动机 的不可能性引出了能量守恒定律，同样地，第二类永动机的不可能性引出了热力学第二定律，我们如果假设这种不可能性为实验所证明，那么一般规律就随之而来：自然界中有些过程不可能完全可逆。例如，借助于合适装置，将机械功转化为热的摩擦过程，如果真的有可能以某种方式使这种复杂的装置完全可逆，那么存在于摩擦刚开始时的各种条件，就能在自然界中的任何地方得到完全的恢复。而我们所能想到的，除了上述的第二类永动机外便再无他物。如果你们清楚地意识到这个装置的作用，即在没有任何明显变化的情况下将热转化为功，那么一切就显而易见了。

我们把这种绝不可能完全逆转的过程叫作不可逆过程，其他过程叫可作逆过程。因此，当我们说不可逆过程在自然界发生时，就涉及了热力学第二定律的核心内容。根据热力学第二定律，自然界的变化具有单向的趋势。随着每一个不可逆过程的发生，世界都“向前迈进一步”，这一过程的痕迹在任何情况下都不可能完全消除。除摩擦外，不可逆过程的例子还有热传导、扩散、有限电阻导体中的电传导、光和热的辐射、放射性物质中原子的裂变等。可逆过程的例子有：行星[29]的运动、自由落体、摆的无阻尼运动、液体的无摩擦流动、无吸收和折射的光波传播、无吸收和折射的声波传播、无阻尼的电振动等。所有过程都是周期性发生，或者可以通过适当的设计使之完全可逆，这样，自然界就没有明显的变化。例如，一个物体自由下落，利用所获得的速度可以再次将物体提升到原来的高度；以适当方式从理想的镜子中完全反射光波或声波。

不可逆过程的特性和标准是什么？不可逆性的判断依据是什么？这个问题已经以最广泛的方式得到了探究和回答。这里我要再一次表达这样一个观点：使一个问题正确达成公式化是极其困难的。正如我们最初通过永动机的技术问题来探索能量守恒定律；又如蒸汽机技术[30]问题引发了可逆过程和不可逆过程（Sadi Carnot）错误地应用了关于热的性质的概念，认为不可逆过程比可逆过程更不经济，或者说在不可逆过程中，失去了从热量中获得机械功的条件。那么，还有比度量过程中损失的机械功更简单的想法吗？对于一个可逆过程来说，损失的功自然被设定为零。事实上，这一观点与热力学第二定律的含义相一致，其含义中包括有用功的耗散。这在某些情况下，如在等温过程中，便得到了证实。到目前为止，这个观点在某些方面仍然存在，但是，就一般情况而言，它是错误的，事实上还带有误导性。其原因在于，不可逆转过程中失去的功，只要没有具体说明从哪种能源中获得，就不能以确定的方式来解释。

举个例子，即可清楚地说明这一点。热传导是一个不可逆过程，或者说，如克劳修斯所表述的：没有额外的功，热就不能从低温体传递到高温体。根据定义，热量 Q从高温体（T1） 直接传导到低温体（T2），这个过程中会损失什么功？我们利用两个储热器进行可逆卡[31]诺循环 所涉及的热传递来回答这个问题。在这个过程中，会获得一定量的功，而这正是我们寻求的量，因为它是通过传导直接丢失的，但如果我们不知道功是从哪里来的，那么它就没有确定的价值。让我们来总结一下，高温体在可逆过程中放出的热量，当然不等于低温体所吸收的热量，因为有一部分热量转化为功。我们可以同等地判定，直接传导过程传递的热量 Q，以及卡诺循环中高温体释放和低温体吸收的热量。我们也因此获得了在传导过程中失去的功，高温体释放与低温体吸收的热量都一样：

因此，当以数学语言描述一个过程的不可逆性时，我们就可以看到，采用数学语言，通常也不影响对不可逆过程的描述，与此同时，也有利于我们认识到阻止我们直接用文字描述原因。对这个问题的陈[32]述过于主观，因为它直接提到了有用功 的获得，并过分关注人们的需求。如果一个人要求大自然给出一个确定的答案，那么他就必须提出更客观的观点。我们现在就在寻求获得这一观点的方式。

我们思考一下在自然界中发生的一切典型的过程。在这个过程中，所有与之相关的物体从一个确定的初始状态（我称之为状态 A），进入一个确定的最终状态 B，该过程要么可逆，要么不可逆，不存在第三种可能性。无论这个过程可逆，还是不可逆，都完全取决于状态 A 和状态 B的性质，而非取决于该过程执行的方式。因为我们只关心问题的答案：一旦进入状态 B，是否能以任何可想到的方式回到状态 A。如果无法实现，则这个过程是不可逆的。那么很明显，状态 B与状态 A存在某种性质上的差别。几年前，我曾大胆地假设：与状态 A 相比，大自然可能更加偏爱状态 B。也就是说，大自然不可能更“偏爱”初始状态，否则这些自然过程都将不复存在。而可逆过程是一种特殊情况：自然对初始状态和最终状态具有同等的“偏好”，初始状态和最终状态之间的转换也在同时发生。

现在我们需要寻找一个物理量，以衡量大自然对某种特定状态的“偏好”程度。这个量必须由给定系统的状态直接决定，而不参考系统以往的状态，比如能量、体积或系统的其他性质。并且这个量应具有以下特点：在所有不可逆转过程中不断增加；在所有可逆过程中保持不变。而且在这一过程中这个量的变化，将作为该过程是否具有逆转性的衡量标准。[33]

克劳修斯发现了这个量，并称它为“熵” ，它表示了自然界对可逆和不可逆状态的“偏好”。任何物质系统，在各自的状态下，都有特定的熵，并且在系统内发生的所有过程中，熵只增不减。如果考虑系统外部条件的变化，则有必要将造成这些变化的因素视为系统的组成部分，如此，熵增的定律依旧有效，即，一个物质系统的熵等于单个物体的熵之和。根据克劳修斯的理论，单个物体的熵则是借助某种可逆过程获得的。实际上，向物体传导热量会增加它的熵值，这个值等于物体的热量与温度之比。而另一方面，单纯的加压则不会改变熵值。

回到上面提到的例子，其中热量 Q，从温度为 T1 的高温体传导到温度为 T2的低温体，根据之前的叙述，在这个过程中，高温体的熵减小，而低温体的熵增加，两个变化的总和，即总熵为：

这个正数值证明了热传导过程的不可逆性，也不受任意假设影响。有无数类似的例子可以证明，每个化学过程的熵都会增加。

我们将只考虑克劳修斯探讨过的最普遍的情况：利用不限容量的储热器，通过物理化学方法进行任意可逆或不可逆的循环过程。由于循环过程结束时的状态与开始时相同，因此循环过程的最终状态，只能通过储热器的热量不同而区别于初始状态，并且提供或消耗一定量的机械功。将温度 T下的储热器放出的热量设为 Q，产生的总功设为 A（例如升高重物所产生的功），那么，按照热力学第一定律：

根据热力学第二定律，所有储热器的熵变化量之和大于等于零。由于热量损失 Q使得储热器的熵减少量 Q/ T：[34]

T这就是著名的“克劳修斯不等式”。

在等温循环过程中，所有储热器的 T 值相同。因此：

也就是说，在等温循环过程中，产生热量，消耗功。在完全理想的情况下，若可逆等温循环过程的等号成立，那么这个过程中消耗的功为零，同时产生的热量也为零。克劳修斯定律在从热力学到物理化学的应用中起着主导作用。[35]

热力学第二定律及其衍生理论启发了熵增加定律 。我认为，在未来的理论物理学中，所有物理过程的首个也是最重要的区分，将是可逆过程和不可逆过程，结合上面提到的问题，现在你们应该很容易地理解我的观点。

事实上，无论是在物质、以太还是两者的结合体中，所有可逆的过程都显示出它们之间的相似之处，其相似程度远超任何不可逆过程。在可逆过程的微分方程中，时间微分只作为偶数幂进入，对应时间符号可逆的情况。如果我们只排除阻尼的影响，那么这同样适用于[36]钟摆、电子振动、声波和光波的振动，以及质点 或电子的运动。由平衡状态构成的无限缓慢的热力学过程也具有这样的性质，其中时间一般不起作用，或者也可以说，这种过程发生在零指数幂（也被认为是偶数幂）下。正如亥姆霍兹所指出的那样，上述可逆过程都有一[37]个共同特征，完全可以用最小作用量原理 来表示，这一原理对任何可测的可逆过程都给出了明确的答案，以这种方式，就能完全建立起可逆过程理论。然而，可逆过程的缺点在于，个体和整体都只是理想化的设定，在实际情况中不存在可逆过程。每个自然过程都或多或少涉及摩擦或热传导，但在不可逆过程中，最小作用量原理已不再足够，因为熵增加原理给物理体系带来了一个全新的要素——熵，不同于最小作用量原理，它需要经过特殊的数学处理；在达到稳定状态的过程中，熵与其中发生的单向变化有关。

我希望通过上述内容足以向大家证明，可逆过程和不可逆过程之间的区别，要比机械过程和电气过程之间的区别普遍得多，因此也比其他过程都更为明确。这种区别在对所有物理过程进行分类时都可加以利用，而且在未来的理论物理学中，最终可能会发挥主要作用。

然而，上述分类还需相当大的改进，因为按照目前提出的分类方式，物理学体系仍然存在着强烈的主观因素，这不可否认。在不可逆性和熵的定义中，都提到了本质上实现某种变化的可能性，这意味着，从根本上说，物理过程的划分取决于人类在实验艺术中的操纵技巧，这种技巧当然并不总停留在某一个固定的阶段，而是在不断地完善。因此，若可逆过程和不可逆过程之间的区别在任何时候都具有永恒的意义，那这一区别就必须在本质上得到拓宽，并使其脱离人类主观因素影响。我希望从明天起的一周内将此事解说明白。明天的讲座将从熵增原理出发，专门讨论其中的重要成果。[1]整形电路即RC电路。最简单的RC电路是由一个电容器和一个电阻器组成的。它的作用是数模转换，就是将数字信号转化成模拟信号。——全书除明确注明为“作者注”以外，均为编者注[2]实证主义（Positivism）认为事实必须通过观察或感觉经验，来认识每个人身处的客观环境和外在事物。它是以“实际验证”为中心的哲学理论，旨在建立知识的客观性。广义而言，任何种类的哲学体系，只要求知于经验材料，拒绝、排斥先验或形而上学的思辨，都为实证主义。狭义而言，实证主义则指法国哲学家孔德的哲学，这一哲学认为对现实之认识只有靠特定科学及对寻常事物的观察才能获得。[3]形而上学（Metaphysics）指通过理性的推理和逻辑去研究不能直接通过感知得到答案的问题。它是研究存在和事物本质的哲学理论，被视为“第一哲学”和“哲学的基本问题”。其有多种解释：一指关于世界构造的猜想；二指无科学可证伪性的、与科学相对的理论；三指由人的主观性来以“孤立、静止、片面的观点”观察事物，而与辩证法相对的概念。[4]热力学第二定律（Second Law of Thermodynamics），为热力学基本定律之一，其表述为：“不可能把热量从低温物体传递到高温物体而不产生其他影响”或“不可能从单一热源吸收能量，使之完全变为有用的功而不产生其他影响”。又称“熵增定律”，表明了在自然过程中，一个孤立系统的总混乱度（“熵”）不会减小。[5]温标（温度标准）是为了保证温度量值的统一和准确而建立的一个用来衡量温度的标准尺度。现在常用的温标有：摄氏温标（°C）、华氏温标（°F）、开尔文温标（K）。[6]热辐射是热的三种主要传递方式之一，指物体由于具有温度而辐射电磁波的现象。一切温度高于绝对零度的物体都能产生热辐射。以热辐射传递热时不需要介质，主要靠波长较长的可见光和红外线传播。[7]能量守恒定律（Law of Conservation of Energy）：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只会从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到其他物体，而能量的总量保持不变，即“孤立系统的总能量保持不变”。[8]电动力学（Electrodynamics）也称经典电动力学，是理论物理学的分支，通常包含广义的电磁学，以麦克斯韦方程组和洛伦兹力为基础，主要研究电荷和电流的电磁场及其电磁相互作用。[9]物质是构成宇宙间一切物体的实物和场。世界上，我们周围所有的客观存在都是物质。在物理学上，物质有六种存在形态：固态、液态、气态、等离子态、玻色-爱因斯坦凝聚态、费米子凝聚态。[10]以太（Ether/Aether）最初为古希腊哲学家亚里士多德所设想的一种物质，与水、火、气、土并为五大物质元素，是一种哲学概念。就物理学史而言，它是一种假想的物质观念，其内涵随物理学发展而演变。当一切寻找以太粒子的努力失败后，人们抛弃了以太说。但事实上，抛弃的是发现以太粒子的希望，以太这个哲学概念依然根深蒂固，大多数人认可了微观结构存在的可能性。[11]声学（Acoustics）是物理学中最早深入研究的分支学科之一。它研究媒质中机械波（包括声波、超声波和次声波），是研究声波的产生、接收、转换和声波的各种效应的科学。它与其他诸多科学、工程技术及艺术领域相交叉，发挥着重要作用。如今声学已不仅是一门科学，也是一门技术，同时还是一门艺术。[12] 材料科学（Material Science），又名材料工程，涉及物质性质及其在各科学和工程学领域（如司法科学、故障分析）的整合应用，是研究材料的制备或加工工艺、材料的微观结构与材料的宏观性能三者之间的相互关系的跨领域学科。现今许多科技问题受限于材料的极限，而随着新型材料在科学与工程学等领域的优异表现，材料科学越发受到重视，此科学领域的突破对未来科技具有标志性的影响。因此，其有广泛的应用前景，被国际学术界誉为“21世纪最有前途的学科”。[13] 化学（Chemistry），即“变化的科学”。这是属于自然科学分支的基础科学，历史悠久、种类繁多而富有活力。它研究在分子、原子层次上的物质组成、性质、结构与变化规律。很多人称之为“中心科学”，因其连接物理概念及其他科学（如材料科学、纳米技术、生物化学等），是它们的核心。它是人类用以认识和改造物质世界的主要方法和手段之一，是社会文明的重要标志。[14]光学（Optics）是物理学的一个分支，通常分成光学物理（几何光学、物理光学、量子光学）和光学工程（应用光学），主要研究光的现象、性质与应用。在纯科学层面的狭义上，它是关于光和视见的科学；而广义上，它是研究从微波、红外线、可见光、紫外线直到X射线和γ射线的宽广波段范围内的电磁辐射的产生、传播、接收和显示，以及与物质相互作用的科学。[15]自由电子（free electron），即离域电子，指不被约束在某一个原子内部的电子。这种电子在受到外电场或外磁场的作用时，能够在物质中或真空中运动。[16] 亨德里克·安东·洛伦兹（Hendrik Antoon Lorentz， 1853—1928），荷兰物理学家、数学家。他以其在电磁学与光学领域的研究工作而闻名于世：通过连续电磁场以及物质中离散电子等概念得到了经典电子理论；在电子理论的基础上，发展了运动介质中的电动力学；在热力学、分子运动论、广义相对论以及热辐射理论等方面也有建树。他与彼得·塞曼共同获得1902年诺贝尔物理学奖。其研究填补了经典电磁场理论与相对论之间的鸿沟，且为量子物理发展打下了基础，人们称之为经典物理和近代物理间承上启下式的科学巨擘，是第一代理论物理学家的领袖。[17]朱利叶斯·冯·梅耶（Julius Robert Mayer/Julius Von Mayer，1814—1878），德国医师、化学家、物理学家。他于1841年发表了一篇关于能量守恒的论述——如今被称为“热力学第一定律”的最初版本，即“能量既不能被创造也不能被破坏”。他是能量守恒定律的最初发现者，也是热力学的创始人之一。[18] 詹姆斯·普雷斯科特·焦耳（James Prescott Joule，1818—1889），英国物理学家。能量守恒定律的发现者之一。他在研究热的本质时，发现了热和功之间的转换关系，并由此得到了能量守恒定律，最终发展出热力学第一定律（国际单位制导出单位中，能量的单位“焦耳/ J”，便是以他的名字命名）。他和开尔文合作发展了温度的绝对尺度；他还观测过磁致伸缩效应，发现了导体电阻、导体电流及其产生热能之间的关系，也就是常称的焦耳定律。[19]赫尔曼·冯·亥姆霍兹（Hermann Von Helmholtz，1821—1894），德国物理学家、生理学家。能量守恒定律的发现者之一。他于1847年出版了《力的守恒》，阐明了能量守恒的原理，亥姆霍兹自由能便以他命名。他也研究过电磁学，预测了麦克斯韦方程组中的电磁辐射，亥姆霍兹方程式也是因此得名。[20]炼金术（Alchemy）：在中世纪（公元5世纪—公元15世纪），人们意图通过化学方法将一些基本金属转变为黄金，制造万灵药及长生不老药。现代科学已证明炼金术并不可行，但其作为现代化学的先驱在化学发展史上有一定积极作用。它启发人们认识许多天然矿物，发明多种实验器具，积累化学实验的经验，因而成为现代化学产生和发展的基础，是化学哲学的思想和始祖。[21] 鲁道夫·尤利乌斯·埃马努埃尔·克劳修斯（Rudolf Julius Emanuel Clausius，1822—1888），德国物理学家、数学家。主要著有《力学的热理论》《势函数与势》《热理论的第二提议》等。他重新陈述了尼古拉·卡诺的定律（卡诺循环），使热理论更为真实完善。1850年，他发表了关于热的力学理论论文《论热的推动力》，其中首次明确指出热力学第二定律的基本概念；1851年，他从热力学理论论证了克拉佩龙方程，故这一方程又称克劳修斯—克拉佩龙方程；1853年，他发展了温差电现象的热力学理论；他还于1855年引进了熵的概念，是热力学的主要奠基人之一。[22]威廉·奥斯特瓦尔德（Friedrich Wilhelm Ostwald，1853—1932），生于拉脱维亚的德国籍物理化学家。他提出了稀释定律，对电离理论和质量作用定律进行了验证；将热力学原理引入结晶学和催化现象研究中，解释了自然和生产中的许多现象，并成功完成催化剂的工业应用，提出“奥斯特瓦尔德过程”；还是卓越的教材作者及学术组织者，创立过多种期刊，培养了大量青年研究者，使得物理化学得以成为一门独立的科学和其他化学的理论基础，被认为是物理化学的创始人之一。1909年因其在催化剂的作用、化学平衡、化学反应速率方面的研究的突出贡献，他被授予了诺贝尔化学奖。[23]在静电学里，电势（electric potential）（又称电位）定义为：处于电场中某个位置的单位电荷所具有的电势能。电势只有大小，没有方向，是标量，其数值无绝对意义，只有相对意义。[24]振荡（oscillation）是指电流的大小和方向都随周期发生变化，能产生振荡电流的电路就叫作振荡电路。[25]重力势能（gravitational potential energy）是物体因为重力作用而拥有的能量。对于重力势能，其大小由地球和地面上物体的相对位置决定。[26]理想气体：是一种研究气体性质的假想物理模型，适用理想气体状态方程。它绝不液化或固化。其假设为：气体分子本身不占有体积；气体分子持续做直线运动，并且与容器器壁间发生弹性碰撞，因而对器壁施加压强；气体分子间无作用力，既不吸引也不排斥；气体分子的平均能量与开尔文温度成正比。[27]第二类永动机是一种不消耗任何能量，只吸收周围的能量并输出的发动机，例如吸收空气中的热量来发电。在没有温度差的情况下，这种从自然界中的海水或空气中不断吸取热量而使之连续地转变为机械能的机器，违反了热力学第二定律，故称为“第二类永动机”。[28]第一类永动机是一种不消耗任何能量但可以源源不断输出动力的发动机，例如氢气燃烧发电，再用部分电电解水产生氢气，剩余部分输出。不消耗能量而能永远对外做功的机器，违反了能量守恒定律，故称为“第一类永动机”。[29]阻尼（damping）：用于量化表征振动系统在振动中，由于外界作用（如流体阻力、摩擦力等）或系统本身固有的原因，导致力的衰减或物体在运动中能量耗散，从而振动幅度下降的特性，其在电磁学中则表示为响应时间。[30]尼古拉·莱昂纳尔·萨迪·卡诺（Nicolas Léonard Sadi Carnot，1796—1832），法国物理学家、工程师，被称为“热力学之父”。著有《论火的动力》，此书中他创造性地用“理想实验”的思维方法，提出了最简单且意义重大的热机循环——卡诺循环概念，以及“卡诺原理”（现称“卡诺定理”），并假定该循环在准静态条件下可逆且与工作物质无关，创造了一部理想热机（“卡诺热机”）。但是，其研究却一直不曾引起外界关注，直到后来被鲁道夫·克劳修斯和威廉·汤姆森重新陈述，才成为建立热力学第二定律、正式定义熵这一概念的重要基础。[31]卡诺循环（Carnot cycle） 这一概念是1824年卡诺在对热机的最大可能效率问题作理论研究时提出的。他假设工作物质只与两个恒温热源交换热量，没有散热、漏气、摩擦等损耗，所以可逆的卡诺循环由两个等温过程和两个绝热过程组成。卡诺循环包括四个步骤：（1）等温吸热，在这个过程中系统从高温热源中吸收热量；（2）绝热膨胀，在这个过程中系统对环境做功，温度降低；（3）等温放热，在这个过程中系统向环境中放出热量，体积压缩；（4）绝热压缩，系统恢复原来状态，在等温压缩和绝热压缩过程中系统对环境做负功。卡诺定理阐明了热机效率的限制，指出了提高热机效率的方向，成为热机研究的理论依据、热机效率的限制。而做卡诺循环的热机就叫作“卡诺热机”。[32]做功是指能量由一种形式转化为另一种形式的过程。而有用功则是人们需要的有价值的功。其具体定义在不同的情况下有不同解释。本文所指的有用功属于热力学范围：功只是用来补充能量平衡中易转化成热的那部分能量的一种形式。当出入过程的物料量和能量必然平衡时，就不存在对功的这种要求。在可逆过程中，有用功则是指：绝对温度 T 0 时，使液体或物体从现有状态变化而达到与环境平衡时，可以从中抽取的功的最大量。[33]熵（entropie）指对体系混乱程度的度量，是热力学中表征系统状态的函数（用符号 S 表示），被用于计算一个系统中的失序现象。它是一个宏观量，是构成体系的大量微观离子集体表现出来的性质（包括分子的平动、振动、转动、电子运动及核自旋运动所贡献的熵），谈论个别微观粒子的熵无意义。其绝对值不能由热力学第二定律确定。但可根据量热数据由第三定律确定熵的绝对值，称为规定熵或量热法；还可由分子的微观结构数据用统计热力学的方法计算出熵的绝对值，称为统计熵或光谱熵。[34]克劳修斯不等式（Clausius Inequality）也称为克劳修斯定律，全称“克劳修斯积分不等式” ，是德国科学家鲁道夫·克劳修斯在1855年提出的热力学不等式，用以描述在热力学循环中，系统热的变化及温度之间的关系。它指明：任意循环中加给工作物质的微元热量与热源热力学温度之比的沿循环路线积分值绝不可能大于零。所有可逆循环的克劳修斯积分值都等于零，所有不可逆循环的克劳修斯积分值都小于零。因此，本不等式可作为判断一切任意循环是否可逆的依据。[35]熵增加定律指孤立系统的熵值永不减少，适用于热力学中的孤立系统，其中，系统过程可逆则熵不变，过程不可逆则熵增加。它与热力学第二定律等价，并也可表述为：一个孤立系统达到平衡态后，其熵最大。[36]质点（mass point）是物理学中经科学抽象得到的一个理想化模型，它完全取决于所研究问题的性质。当物体形状、大小对所研究的问题影响极小，或当一个物体所有点的运动情况相同时，即可视之为质点。例如，研究地球公转时，地球半径比地日间距小得多，因此可把地球看作质点；但研究地球自转时，就不能把它当成质点。[37]最小作用量原理（principle of least action）是一种变分原理，它是物理学中描述客观事物规律的一种方法。其定义为：从一个角度比较客体一切可能的运动（过程），认为客体的实际运动（过程）必定由作用量最小的那个运动（过程）得出。这一原理在现代物理学中非常重要，如在相对论、量子力学、量子场论中，都有广泛的用途。

第二讲 稀溶液的热力学平衡态

在昨天的演讲中，我试图澄清这样一个事实：自然界中发生的所有反应，都可划分为可逆过程与不可逆过程。随着进一步区分这两种过程，你会发现这两个过程之间有规律的特征差异，即在不可逆过程中熵会增加，而在可逆过程中熵保持不变。今天我必须谈一谈这一规律的推论，这些推论都是非常宝贵的成果，与热力学平衡定律密切相关。由于熵在本质上只能增加，因而在孤立的物理组态中，系统的熵达到绝对最大值时，是一个稳定的平衡状态。要证明这种规律对物理[1]和化学的影响，没人比威拉德·吉布斯（ Willard Gibbs） 做得更好。不仅是美国，全世界都将他视为有史以来最著名的理论物理学家之一，遗憾的是，我再也无法当面向他致敬了。在吉布斯的领域中，如果我仅仅进一步阐述他的思想，显然是无益的，但是请允许我继续今天的演讲，允许我谈及基于吉布斯的研究，并有可能超越他的关于热力学的重要研究成果。[2]

这些成果涉及稀释定律 。今天我们将就此进行探讨，我会通过一个明确的例子向你们展示热力学研究成果。首先，我会比较全面地描述一种情况：给定的温度 T和压强 p恒定不变时，系统的熵与任

试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]

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