作者：蔡小雄
出版社：浙江大学出版社
格式: AZW3, DOCX, EPUB, MOBI, PDF, TXT
浙大优学·更高更妙的高中数学系列更高更妙的高中数学一题多解与一题多变试读：
玩好题：数学教师的幸福与追求
“问题是数学的心脏”，引领学生探索数学问题是数学教师的基本职责．而“题”是中学阶段“数学问题”的主要形式，因此，“玩好题”是数学教师的责任、追求，也是数学教师的幸福之一．那么，什么是“玩好题”呢？笔者认为，“玩好题”包含三个层面的意思：一是把题玩好，二是玩好的题，三是让题好玩．“玩好题”能使数学教师业务上如虎添翼，课堂上更加得心应手，“玩好题”也能使教师情感丰富，精神专注．罗素曾用以下华丽的语言描绘数学推理的超然性和客观性所带来的魅力：远远离开人的情感，甚至远远离开自然的可怜的事实，世世代代逐渐创造了一个秩序井然的宇宙．纯正的思想在这个宇宙，就好像是住在自己的家园家园里，至少我们的一种更高尚的冲动，能够逃避现实世界的凄清的流浪．在这个．一、把题玩好：数学教师的责任
数学教学离不开“题”，能把“题”玩好的数学教师才是一位优秀的数学教师．然而，“题”中有乾坤，“题”中有日月，从日常的观察与了解中，我们不难发现，并不是每个数学教师都能“把题玩好”．也正因为有些时候我们教师没有“把题玩好”，数学这一门充满魅力的学科被学生误解，视作是枯燥、乏味、无休止地计算的一门学科．也正因为我们有些教师没有“把题玩好”，有些学生进入高中后，面对千变万化的数学题，只能望“题”兴叹．那么，怎样“把题玩好”呢？笔者觉得，关键在“善选题、好做题、能编题与会品题”这四个环节．
1. 众里寻它千百度———善选题
我国南宋时期杰出的数学家杨辉曾说：“夫学算者，题从法取，法将题验，凡欲明一法，必设一题．”在我们日常教学中也是一样，选择一道合适的“题”，能够帮助学生明晰概念、掌握方法．选题一般以教学大纲、教材要求及符合学生实际情况为原则，要有利于学生巩固基础知识，培养分析和解决问题的能力，有利于教师捕捉课堂教学的生发点，并以此为教学突破口，让学生充分参与，体验感受，动态生成．我们都有这样的体会，有时抓住一道典型习题，让学生寻求多种解题途径，促使学生的思维向多方位、多层次发散，这比解答多道题更为有效，正所谓“一题可破万题山”．
当然，“善选题”非一日之功．教师选题时要有“大海捞针”的决心与毅力，所选的题要能“针锋相对”，甚至“一针见血”．也就是说，所选的题不仅要具备直指教学重难点的“针”，最好还要让学生能感受到题中丰富的内涵，从而举一反三，提高分析问题和解决问题的能力．
2. 不畏浮云遮望眼———好做题
著名数学家苏步青说：“学习数学要多做习题，边做边思索．先知其然，然后知其所以然．”美国著名数学教育家G．波利亚也说：“解题是一种实践性的技能，就像游泳、滑雪或弹钢琴一样，只能通过模仿和实践学到它……你想学会游泳，你就必须下水，你想成为解题的能手，你就必须去解题．”解题是一种复杂的思维过程，解题是数学教师的基本功，解题也是数学教师的主要游戏之一．每年高考一结束，很多教师都会抢着去做高考题，并将解题体会写成文章．我也乐此不疲．围绕2013年浙江高考理科试卷中的第6题与第16题写成的解题体会性文章目前已发表．事实上，还有很多试题值得研究，如同属该卷的第7题：“设e，e为单位向量，非零向量b＝xe＋ye，x，1212y∈R．若e，e的夹角为，则的最大值等于_____．”12
该题表述简洁清晰，灵活考查了平面向量的基本定理、平面向量坐标表示、平面向量的数量积、平面向量的几何意义等知识，渗透了多种数学思想方法．我们可以引导学生从多个视角来解决：
［视角一］从坐标入手，借助配方法求最值．
［视角二］从方程的角度，运用判别式法．
［视角三］从“形”的角度入手．
［视角四］从点到直线的距离这一角度入手．
要求最大值，只要求的最小值．构造共起点O的两个向量e，．设e的终点为11A，则的终点P的轨迹为一条经过点O的直线，记为l．
由题意知，OA与l的夹角为，则A到l的距离为，此即为的最小值，因此最大值为2．
［视角五］也可直接求解．
因为e，e为单位向量且e，e的夹角为，b＝xe＋ye，121212则．
在日常教学中，只要有心，这样的案例比比皆是，它们都是我们课堂教学的重要素材．用好这些素材，定会给课堂添风采，为教师添魅力！
3. 接天莲叶无穷碧———能编题
编题是数学知识在较高层次上的运用，一般来说，会做题的不一定会编题．编题也是教师的基本素质之一．众所周知，每年的高考总是牵动着千家万户的心，高考试题“源于教材，又略高于教材”，因此，从教学的角度来看，这就要求我们不能孤立地、静止地去讲课本上的例题，甚至运用“题海战术”引进大量的课外题让学生盲目、机械地解题，而要学会对课本上的例题、习题做适当的改编．习题的改编有许多途径，如“变换图形位置”，“改变条件和结论”，“增加新条件或改变解题要求”，“重新组合或分解”，“推广或拓展”，也可以“纵横联系，将孤立问题串起来”等．编题也有很多种方法，如推广引申法、逆向思维法、极端原理法、知识重组法等．从教以来，笔者也为各级各类竞赛、统考、会考等编过许多题，多次被引用．如：22（1）“数列{a}满足：a＝1，a＝1-2sinθcos2θ，a-a＋n12n＋2n＋122asinθcosθ＝0，θ∈．求证：n”此题曾作为2006年浙江省数学会暑期夏令营竞赛选拔试题．22（2）“已知动圆与直线y＝-3相切，并与定圆x＋y＝1相内切．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C．（Ⅱ）过原点作斜率为1的直线交曲线C于P（P为第一象限点），又过P作斜率为的直线交曲线C于111P，再过P作斜率为的直线交曲线C于P，…，如此继续，一般223地，过P作斜率为的直线交曲线C于P．设P（x，y）．①nn+1nnn令b＝x-x，求证：数列{b}是等比数列；②设数列{b}的前nn2n＋12n-1nn项和为S，试比较与的大小．”此n题曾作为杭州市2002年统测压轴题．32（3）“函数f（x）＝x＋ax与g（x）＝bx＋c的图像有一个公共点P（t，0）（t＞0），且这两函数的图像在点P处有相同的切线．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数y＝f（x）-g（x）在区间［0，3］上的最小值为0，求t的取值范围；（Ⅲ）设h（x）＝|f（x）|，x∈［-1，1］，求h（x）的最大值H（a）的解析式．”此题曾作为杭州二中2009年高三最后一次仿真考压轴题，让人激动与自豪的是，该题与2013年高考浙江理科卷压轴题几乎同出一辙．
4. 万紫千红总是春———会品题
会品题，就是会欣赏题．好题就像千里马，没有伯乐，再好的千里马也会被埋没．教师与学生的一个主要区别是，学生也许只要会做题就行，而教师除了会做还要会“品”题，“品”出题中真谛，“品”出题中精彩．
笔者曾用两种方法给学生讲了这道题：“已知n为正整数，求证：．”一种是并项法，一种是数学归纳法，并得到了其加强命题“”．
在此基础上，再让学生证明：“”．
原来提供的两种方法中，第一种不太适用了，可改用递推法，第二种方法仍可行，但要将原题调整为证“”．
有趣的是，当n≥2时，还可进一步证明以下不等式“”，此时，上述的方法就不一定适用了．但借助柯西不等式可以顺利证明．
解决了这几个层层递进的不等式后，我们自然会问：原不等式的左边有没有上确界？事实上，根据高等数学知识有“”，于是以上一系列问题，找到了本源，一切也就豁然开朗．因为……
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]