作者：吴今培,李学伟
出版社：清华大学出版社
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系统科学发展概论试读：
第1章 系统科学发展概观
系统科学的概念是中国学者较早提出的，这对理解和解决现代科学，推动它的发展是十分重要的。中国是充分认识到系统科学巨大重要性的国家之一。
系统科学和系统工程在当代中国科学中的地位至关重要，我在访问中国期间已觉察到这一点。在访问中，中国人思考和解决问题的方式一再给我留下深刻印象。我确信，这种思考方式将在全世界传播开来。——哈肯
不管哪一门学科，都离不开对系统的研究。系统工程和系统科学在整个21世纪应用的价值及其意义可能会越来越大，而其本身，也将不断发展，如现在的系统科学已经上升到研究复杂系统，甚至是复杂巨系统了。像人的大脑、互联网等，就是复杂巨系统。这在国外也是一个热门，叫复杂性科学研究。——钱学森
20世纪40年代以来，系统科学作为一门新兴学科的产生，和以往几次重大科学革命一样，标志着人与社会、人与自然之间又开展了一场新的对话。这场对话的主要内容之一，就是用系统思想、系统原理和系统方法去观察和研究事物，革新传统的科学认识和方法，建立人类思维的新模式。
1.1 系统科学的产生和发展
当我们去追溯系统科学的研究进路，就能发现它是在现代科学技术高度综合的大趋势下产生和迅速发展起来的。它至少是受到三个方面科学研究影响和推动的结果。
第一，物理学和数学的发展。特别是19世纪末统计力学和20世纪20年代量子力学的建立，把统计规律引入许多学科。与动力学规律不同，统计规律表现出明显的不确定性。统计规律一般涉及由大量元素组成的宏观物体。元素的数目之多，不可能直接求解它们的方程，而必须采用统计方法求大量元素数据的平均值。而在动力学规律中，甚至把一个天体看做一个质点，根据运动规律所建立的微分方程，只要给定初始条件，即可由微分方程的积分导出物体运动的轨迹，每一时刻的物体运动状态都是确定的。
概率统计理论的发展与成熟，及其被引入各个学科特别是物理学中，打破了动力学规律独霸天下的局面，正如德国物理学家玻恩所说：“物理学中的一个新的转折就是原子论和统计学的引入。”
统计规律的实质是概率性的，涉及自然界的随机现象。热力学第二定律中的熵直至信息概念的提出，就是这一研究的逐步深入。
第二，生物学和生命科学的进展。科学研究告诉我们，生物界不是一个用牛顿理论所描绘的确定性机械世界。另一方面，生物个体行为也不能用统计力学和量子力学所用的统计定律来刻画。生命的活动中既有或然性，也有必然性。生命是怎样把必然与偶然统一起来的？20世纪三四十年代，生物学家提出了“内稳定”概念，意味着人类对这一问题的认识已推进到新的阶段，它直接为控制论的诞生奠定了基础。
第三，计算机的迅速发展，为人类探索复杂性提供了必备的、强有力的技术工具。系统复杂性的特点就是其内涵极其丰富，所以不能过分简化，但又不能用有效处理高度随机性的办法来进行研究。因此，在计算机技术尚不发达之前，对于系统复杂性的研究无法有效开展。随着计算机技术水平的提高，推动了人类对思维规律的探讨，刺激了人工智能的新发展，也开拓了系统科学新方法论的可能性。
一门新学科的产生必须是社会发展的需要。这一点从技术与人的关系这个角度来看很清楚。技术与人的协调问题是非常复杂的，由于以前各门学科各自发展，人类社会的复杂性，学科之间的互补性与知识的统一性都没有合乎逻辑地表达出来。作为沟通的媒介物和新的方法论，系统科学就应运而生了。它的发展大致经历了三个阶段，即20世纪40—60年代：系统科学的形成； 70—80年代：自组织理论的建立； 80年代中期以来：复杂系统科学的兴起。
1.1.1 “老三论”
系统科学的产生始于一般系统论、控制论和信息论。它们分别是美籍奥地利生物学家贝塔朗菲(L.V.Bertalanffy)、美国数学家维纳(N.Wiener)和申农(C.E.Shannon)创立的，这是第二次世界大战后横向科学蓬勃兴起的标志性成果。在我国把一般系统论、控制论和信息论统称为“老三论”，其影响极其广泛，具有很高的知名度。“老三论”为系统科学创立了三个核心概念：系统、信息与控制。
1. 系统
任何事物，不管是石头还是生物，是人类社会还是别的什么，我们都可以把这个整体看做是一个系统。所谓一般系统乃是对系统的共性做出了一定的概括，如系统的整体性、层次性、关联性、动态性、有序性、目的性，等等。而一般系统论就是适用于一切系统而不是某类特殊系统的理论。简言之，一般系统论研究的对象不是具体系统(如机械系统、生物系统)而是抽象的一般系统。这就告诉我们，系统科学的研究内容也主要是揭示一般系统的“同构性”问题。所谓系统的同构性，是指各个不同性质的系统之间所表现出来的存在方式和运动方式上的一致性，即所有系统共同遵守的规律。
系统论用系统概念来把握研究对象，始终把对象作为一个整体来看待，并强调系统结构与功能的研究，以及系统、要素、环境三者的相互关系和变动的规律性研究。在思维方式上把分析和综合辩证地结合起来，使系统方法形成了如下模式：首先，从整体出发进行系统综合，得到各种可能的系统方案； 其次，系统地分析各个要素及其关系，建立数学模型； 最后，对数学模型进行优化选择并重新综合成整体。
系统论以其思维方式的变革改变了传统的机械分析的思维方式，开启并形成了系统综合的思维方式，为人类理性认识客观世界提供了一种新的科学视角。
2. 信息
什么是信息？通俗地讲，信息是人们直接或间接感知的一切有意义的东西。在申农创立信息论之前，人们认为信息是无法定量描述的，比如一篇文章，一幅绘画或者一段音乐，谁也不敢告诉我们它们包含的信息量是多少。申农确立信息量的大小，引用了一个非常重要的概念——概率。概率是用来表示各种可能性实现的机会大小的一个量，人们把必然发生的事件的概率规定为1，把绝对不可能发生的事件的概率规定为0。我们可以通过概率来精确地计算信息量的大小。申农严格证明，如果某事物具有n种独立的可能状态：x，x，…，x，12n每一状态出现的概率分别是p(x)，p(x)，…，p(x)，且有关系12n=1(即归一化)，则该事物具有的信息量为式中X={x}(i=1，2，i…，n)。当对数的底取2(二进制)，且n=2，p(x)=p(x)=时，则12H(X)=1，并以此为信息单位——比特(bit)。1比特就是含有两个独立的，等概率可能状态的事件所具有的不确定度被消除时所需要的信息量。
要使一个系统从杂乱走向有序就要有信息，而信息的丧失则意味着杂乱程度的增加。可见，信息对于揭示事物的组织结构程度、研究物质和能量的时空分布不均匀程度以及系统的演化方向等问题，有着重要的意义。
信息概念丰富了科学认识的范畴，为科学家认识客观事物的本质联系提供了新的重要思维工具，并使科学向着新的方向和更高的水平发展。
例如，用信息概念来考察人的视觉，可知视觉是通过光信号进行的通信及接受过程。从信息传输来看，光信号包含振幅和频率两种信息，可是通常的照相只接收和处理其中的振幅信息，因此照出的像是平面的。当发现这种“失真”乃是信息不全所引起时，便产生了“完全信息”的思想，导致全息照相术的诞生。
用信息方法揭示各种复杂系统的共同属性，使得生物系统中的生命现象； 神经系统中的记忆与指挥； 技术系统中的通信、控制、导航、计算机； 人类社会系统中的生产过程、经济管理、交通调度等，其物质构成和运动形态都极不相同，运用传统方法很难发现它们之间的联系。而信息方法则把它们统统看成通信和控制系统，通过研究它们共同存在的信息接收、存贮、加工和传输的变换过程，就能揭示其信息联系和共同属性。
信息概念引入基因理论，把传输和反馈特性同控制论的思想相结合，使基因理论朝着揭示生物遗传奥秘的方向迈进了一大步。这引起分子遗传学乃至整个现代生物学发生了深刻的变革。
今天，人类正进入信息时代，全球信息化是历史的必然。信息科学的迅速发展，将使人类的社会经济开始迈入一个崭新的时期。现在“信息”这个名词，几乎家喻户晓，信息就是数据、密码、情报。或者较准确地说信息是经过处理的数据，是知识的总称。在市场经济中，信息就是市场信息，其中最主要的是市场供求关系和市场价格情况。商品的更新要根据社会需求来安排生产。经济要发展，预测市场形势是十分重要的，而信息是预测的依据，也是决策的前提。
在现代管理中信息管理具有极为重要的作用。管理过程就是系统的主客体以信息为中介，进行相互作用和相互联系的过程，也是主体对客体进行调控与协调的过程。信息及时有效的反馈和沟通，对于实现人、财、物等要素的良性循环，达到管理目标和优化管理效果，协调主体与客体、内部与外部的关系都具有特别重要的意义。
信息是现代管理的中介，对个人来说“信息是机会，信息是财富”。信息意识的强弱，利用信息能力的高低，已成为衡量一个人或一个企业是否具备竞争力的重要标志之一。
3. 控制
维纳创立的控制论是从行为和功能的角度将生物和机器进行类比，把生物的目的性赋予机器； 用机器的负反馈概念去理解生物系统。一个控制系统，就是通过信息变换过程和反馈原理实现的。“控制”这个词，现在已经成为人们使用频率很高的常用口语了。一个系统的控制为什么能够实现呢？这是基于系统中的被控对象存在着可能性空间。
什么是可能性空间呢？世界上许多事物并不是从一开始就注定要发展成现在这个样子的，在事物发展的初期，它们往往有多种发展的可能性，只是由于条件或者机遇的关系，最终才沿着某一特定的方向发展下去。一个系统中的被控对象也必定存在着多种发展的可能性，如果它的未来只有一种可能性，就无所谓控制了。比如，光在真空中的传播速度是恒定的，因此我们不可能控制光在真空中的传播速度。我们将事物的发展变化中的各种可能性集合称为这个事物的可能性空间。任何事物，都有它一定的可能性空间，但这仅仅是可能性而已，至于事物具体发展成为可能性空间中的哪一种状态，还要看条件而定。
由此可见，控制的概念与事物的可能性空间密切相关，它是控制论中最基本的概念。所谓控制，就是人们根据自己的目的，改变条件，使事物的可能性空间缩小，沿着某种确定的方向发展，从而形成控制。
因此，一切控制过程，实际都是由三个基本环节构成的：
(1) 了解事物面临的可能性空间是什么；
(2) 在可能性空间中选择某一些状态为目标；
(3) 控制条件，使事物向既定的目标转化。
控制论在系统科学中具有特别重要的地位，它是一门带有普遍性的横断科学。一般系统具有物质、能量和信息三个要素。但控制论只把物质和能量看做系统工作的必要条件(硬件)，并不探究系统是用什么物质构造的，能量是如何转换的，而是着眼于信息方面。在控制论中，对系统的控制和调节不是通过物质和能量的反馈来实现的，而是通过信息的反馈来实现的。正如人类的认识过程，就是一个信息反馈控制和调节过程。
控制论横跨生物、技术、社会和思维等领域，运用统一的科学语言、概念和方法处理这些领域中的问题。它不仅在自然科学和工程技术中都获得了广泛应用，而且也促进了社会科学的发展，具有重要的哲学意义。哲学研究的是一切物质动态系统的普遍发展规律，控制论研究的则是这些系统的控制和通讯的规律； 哲学研究的是一切物质动态系统在物质、能量和信息方面的普遍联系，控制论研究的则是这些系统在信息方面的联系，并应用数学模型对这种联系进行精确的定量描述。今天，人们并没有把控制论的研究成果停留在一般原理，而是进一步把控制论的思想和原理运用到社会经济、生命生态等领域里去，得出一些很有启发性的观点和结论，这就增强了控制论的时代性和现实性。
1.1.2 “新三论”
20世纪70年代兴起的耗散结构论、协同学和突变论是系统科学的发展，它们是一批关于非平衡系统的自组织理论，在我国有所谓“新三论”之说。虽然这样的说法并不全面，未能涵盖混沌学、分形理论等，但也是一种约定俗成的称谓。
耗散结构论的创始人是比利时著名科学家普利高津(I.Prigogine)，他认为：“非平衡是有序之源”，并且是“通过涨落的有序”。涨落又称起伏，是指物质系统处于平衡状态时的各种宏观物理量(如温度、压力、浓度、密度等)在平均值附近的起伏摆动。这种涨落普遍存在于自然界的各种系统结构之中。在一般情况下，小的涨落会自生自灭，并不影响系统结构的稳定性。但是，涨落如果发生在系统远离平衡的非线性区，涨落就会放大形成巨涨落，它使系统离开原来的状态或轨道，从而破坏原有系统结构的稳定性，为系统形成新的有序结构创造条件。
协同学的创始人德国著名科学家哈肯(Hermann Haken)也十分强调涨落的作用。他指出，系统处于相变点，涨落有两个作用：其一，推动粒子离开稳定态； 其二，形成对称性破缺。协同学还进一步揭示，系统从无序形成有序结构的机理，不在于热力学平衡或热力学不平衡，也不在于离平衡有多远，而在于事物系统本身所固有的一种调节能力和协同作用，或者说自组织能力，它是系统自身存在和发展的动力。自组织能力促使各子系统之间耦合，产生相干效应，这种相干效应是一种整体效应，它使各游离状态的子系统按一定方式在大范围内相互连接、相互促进，从而产生新的质，形成新的结构。
突变论是法国数学家托姆(R.Thom)提出来的，他告诉我们，在自然界和人类社会活动中，除了存在连续的、渐变的、平滑的运动过程之外，还存在着大量的突然变化和跃迁现象。突变现象表现出来的一个特点是外界条件的微变导致系统宏观状态的剧变，这只有在非线性系统中才能出现。突变论提供了一种研究所有跃迁、不连续性和突然质变的更普遍的数学方法，是耗散结构论和协同学的数学基础和工具。“新三论”使人类对客观世界的认识水平从平衡态到非平衡态，从确定性到非确定性，从线性到非线性，从连续性到非连续性，从他组织到自组织，从简单性到复杂性推进。它几乎涉及自然科学和社会科学的各个领域，并正在改变人们对客观世界的传统看法，深刻地影响着人们的思维方式和方法。
1.1.3 复杂系统论
从20世纪80年中期开始，在国际上兴起了复杂性的研究热潮。复杂系统理论就是研究复杂系统中各组成部分之间相互作用所涌现出复杂行为、特性与规律的科学，尽管目前它仍处于萌芽和发展阶段，但已受到国内外科学界的广泛重视。
什么是复杂性和复杂系统？现在尚无完整而准确的描述。不同的研究者可以从不同角度加以认识，从而形成了许多学派。我们认为，在今天，不同层面和角度的复杂系统理论研究都具有独特的价值和意义。但当今在国际上影响较大的大致有如下三种学派。
1. 非线性自组织理论
耗散结构论和协同学等自组织理论，其研究对象都是复杂系统，研究目标都是探索大自然的复杂性，只是从不同角度揭示了复杂现象的规律。
自组织理论研究的基点是：系统的组成元素是无机物，是“死的”，也就是我们所说的简单巨系统。自组织理论学派的基本路线是把物理、化学的系统概念和体系拓宽到生物系统、经济系统和社会系统，努力使这些理论普适化，试图构建自然科学与人文科学的桥梁。他们的工作激发了人类用自然科学的精确方式来解读社会与人的精神世界。
在关于复杂性产生的问题上，普利高津等人认为涨落、分岔、相变等在系统进化中起着决定性作用。涨落可以来自系统内部，也可以来自系统外部，涨落不可避免，而且是随机的，没有涨落就没有进化。他们的观点可以归结为：涨落造就复杂性。
非线性自组织理论的创立改变了人们对客观世界的传统看法，是人们对系统运动和演化规律认识的一个飞跃。但是，非线性自组织理论遇到了求解非线性微分方程的困难，还有待进一步研究。
2. 复杂适应系统理论
复杂适应系统理论主要指美国圣塔菲研究所的工作，其宗旨是开展跨学科、跨领域的复杂性研究。他们致力于冲破牛顿以来一直统治着科学领域的线性的、决定论的思维方法，试图在经济、生态、免疫、胚胎、神经网络等不同的复杂系统之间找出其共性——复杂性。
复杂适应系统的基本思想可概括为：将系统的组成元素统称为主体，并强调主体是具有主动性，适应性的“活”的实体。所谓主体具有适应性，就是指它能够与环境以及其他主体进行持续不断的交互作用，从中不断地“学习”或“积累经验”，并且能够利用学到的知识经验改变自身的结构和行为方式，以适应环境的变化以及与其他主体协调一致，并能促进整个系统的发展、演化或进化。
复杂适应系统理论认为系统的复杂性来源于适应性，由于其思想独到，该理论受到了人们的广泛关注。
3. 开放的复杂巨系统理论
1990年，中国著名科学家钱学森等人首次向世人公布了“开放的复杂巨系统”这一新的科学概念，认为“复杂性实际上是开放的复杂巨系统的动力学特性”。即构成系统的元素不仅数量巨大，而且种类极多，彼此之间的联系与作用很强，它们按照等级层次方式整合起来，不同层次之间界限模糊，甚至包含几个层次也不清楚，这种系统的动力学特性就是复杂性。
钱学森等人认为，简单大系统可用控制论的方法，简单巨系统可用统计力学的方法，这些方法还属于还原论的范畴，但开放的复杂巨系统，不能用还原论的方法，而应该运用人机结合、以人为主的“从定性到定量的综合集成法”来解决复杂性问题。综合集成方法是一种研究方法，也是一种技术，还可以作为一项综合集成工程。这里包括了理性的、感性的、经验的、科学的、定性和定量知识的综合集成。
综上所述，复杂系统理论更强调系统的开放性、动态性、长程相干或非线性、内随机性、要素的自主性等基本特征。从而把还原论和整体论、决定论和非决定论等辩证地统一起来，形成一种综合性的研究纲领，被称为支持科学决策和可持续发展的重要学科，是科学发展观的理论基础之一。
1.2 系统科学的研究对象
系统科学的研究对象无疑是系统，然而世界上的具体系统为数众多而又千差万别。如太阳系是一个系统，人体是一个系统，一个国家是一个系统，一个企业是一个系统，一个家庭也是一个系统，整个世界就是系统的集合。系统科学究竟以什么系统作为研究对象呢？这涉及系统的分类问题。系统是多种多样的，可以根据不同的原则和情况来划分系统的类型。但是，目前尚没有公认的、统一的系统分类方法，这里仅根据实际应用的发展，着重讨论以下几类系统。
1.2.1 简单系统
简单系统是指组成系统的子系统数量较少，它们之间的关系比较简单，如一台测量仪器，这就是简单小系统。如果子系统数量相对多，如一个工厂，则可称简单大系统。简单系统一个共同特点是在系统中的元素往往是同质的，同一类的元素很多，它们的结构、功能都是一样的。比如，在早期的生态系统中，几乎都是同样的单细胞生物； 原始社会中，几乎所有的人、所有的家庭从事的生产活动都是相同的。对于简单系统通常采用传统的把整体分成局部，从而约简到研究个体，再综合成整体的还原论方法来处理。这可以说是直接的做法，没有什么曲折，顶多处理简单大系统时，要借助于大型计算机。
1.2.2 复杂系统
复杂系统是指构成系统的元素不仅数量巨大，而且是非线性的，可能产生“涌现”与“自组织”现象； 系统具有层次结构，而且层次之间是有一定联系的，当从某一层次跨越到另一层次时，原层次中的规律一般会发生变化； 系统是动态的而非静态的，系统的状态随时间变化，是一个动态演化的系统； 系统中关系的含义是广义的，可以是定量关系，也可以是逻辑关系等。如果这个系统又是开放的，与外界有能量、信息或物质的交换，就称作开放的复杂系统。复杂系统无论在结构、功能和行为方面都极其复杂，以至到今天，还有大量的问题我们并不清楚。
对于复杂系统目前还没有形成从微观到宏观的理论，没有从子系统相互作用出发，构造出来的统计力学理论。那么有没有研究方法呢？这个问题尚处于探索之中，但同时也取得一定进展，如多主体系统、元胞自动机和复杂网络等被认为是研究复杂系统的有力工具。
1.2.3 复杂网络
所谓复杂网络是由结点和连线组成，这里结点和连线是广义的，其中结点表示系统的元素。两结点的连线表示元素之间的相互作用。尽管定义看似简单，但是网络能够呈现高度的复杂性。复杂网络可以用来描述从技术到生物直到社会各类开放复杂系统的骨架，而且是研究它们结构和功能的有力工具。
从系统科学的观点来看，网络也是一类系统。它的子系统是网络的结点，子系统之间的关系是网络的连线(或边)。系统理论研究网络就是研究不同结点和边所构成的网络整体有些什么性质，它们与结点和边的分布有什么关系。利用系统理论已有的概念、方法和技术去研究网络，具有一定借鉴和启发的意义，可以加深我们对复杂网络的认识。
从网络科学的观点来看，一个系统也可以看成一个网络，系统中的每一个子系统视为网络的一个结点，两个子系统之间的关系，就用一条线连起来，看成网络的一条边。研究系统的整体演化行为，就是分析上述网络整体的行为； 研究系统整体与局部的关系，就是分析上述网络整体与结点、连线之间的关系，这是研究复杂系统演化的一条新思路。
1.2.4 大型集成系统的体系
近十年来，大型集成系统已经成为系统科学和系统工程领域的重要研究方向，它是依托网络技术而集结的“结构松散、联系紧密”的系统的系统(System of Systems)，简称体系(SoS)。最早关注体系的是军方，他们发现现代战争早已不是单个兵种在作战，而是体系对体系的战争。有的国家在战争中被打败，并不是因为军队的有生力量被大量歼灭，而是因为整个指挥体系被打垮了。
体系是一个地域分布广泛，没有固定的系统组织结构和系统边界，主要依靠一系列组织和协议标准，通过信息交互、互动而集成的大型系统工程，和其他系统的区别是：
(1) 组成体系中的各系统是独立可用；
(2) 各系统管理独立；
(3) 各系统分布不同的地理位置；
(4) 主动适应和演化发展；
(5) 涌现行为，整体提升。
例如，最近几年提出来的全球地面观测体系(Global Earth Observing System of Systems)是由设置在全球各地的传感器、通信设备、存储系统和各种计算机组合而成的，用于观测地球、了解地球的动态过程，以便对一些现象加以预报，监测各国执行环境公约的实际情况等。
对于一般系统的管理与实施已经有不少成功的方法，而对于体系，如我国大型工程项目(如三峡工程、南水北调)、大型社会项目(如北京奥运会、上海世博会)和大型科研项目(如863、973计划)，也应该研究与总结出一套有效的管理和实施方法。
1.2.5 复杂任务
复杂任务广泛存在于众多领域，如航空调度、铁路调度、港口调度、电力调度、处理机调度、供应链调度等。这类问题通常是多目标、多约束、多阶段和多主体的问题，具有很强的动态性、模糊性和不确定性。解决具有重大应用需求的复杂任务的规划、调度与决策问题，涉及许多学科，需要通过学科集成与整合而形成的“定性定量结合、虚实结合、软硬结合、人机结合、综合集成”的新的方法论去解决。
1.3 系统科学的社会意义
系统科学的发展，不仅为人们展示了一幅新的世界科学图景，而且在各个领域取得了广泛的应用，为人类文明和社会进步做出了积极贡献。
1. 系统科学的发展促进了人类传统思维方式的转变
科学革命其实是科学思维和科学方法的变革。系统科学发展，改变了在近代自然科学长期占主导地位侧重于逻辑分析的思维方式，开启了系统综合的思维方式。形象地说，基于逻辑分析的还原论是把整体割裂成碎片，人为地切断了事物之间的联系，事物就会从活的状态变成死的状态，整体拥有而部分不拥有的属性也就丧失了，还原论因为只注重局部研究，忽视整体，从而陷入顾此失彼的僵局。基于系统综合的整体论，把事物视为各个部分相互联系、相互制约、协调统一的有机体； 把它同周围环境千丝万缕的联系视为一个完整的系统。整体论认为宇宙世界的一切事物，只有从宏观、整体的角度去考察和认识才能把握它的本质，才能全面顾及整体关系所起到的维系事物和谐的巨大作用。但是，还原论与整体论各有所长也各有所短，它们在任何科学的、满意的描述中都是相互补充的。非此即彼、各执一论的单一进路都有缺陷。现代系统科学的发展已远远超越了还原论或整体论的单一思维模式，正是它们的互补，才形成了系统科学的方法论——系统论的基础。正如钱学森院士所说：“我们所提倡的系统论，既不是整体论也非还原论，而是整体与还原论的辩证统一，是更高一层次的东西，即我们的系统论既包括整体论，也包括还原论。”
系统科学的基本思想是：“整体大于其各部分的和”，即1+1〉2。这就是说整体不等于部分之和，整体出现了其组成部分所不具有的性质。科学家称这种性质为“涌现”(Emergence)性质或称“突现”性质，即不能由系统组成部分的性质与规律推演出来的东西。正如一栋建筑物虽然是由砖块等建筑材料构成的，但它并不是这些砖块的总和。
那么，这种新的性质是从哪里来的呢？这就要求我们进而研究如何由此出现新的质——更高层次的结构和功能的问题，也就是涌现现象。对于涌现的研究是系统科学从系统论超越还原论的关键，也是人类科学思维方式一次新的转变。如果说还原论只注重“分”，忽视“合”，更没有深入研究“合”的机制和规律，这正是涌现研究要解决的问题。
传统科学思维方式的弱点之一，只注重量变，忽视质变，甚至认为质变可以归结为量变，从而否认质变的意义和地位。而涌现则明确地把研究重点放在新的质是如何产生出来的。涌现研究试图揭示的是质变的普遍规律，数学研究的是量变的普遍规律，那么，质变有普遍规律吗？近年来系统科学对涌现机制和规律的研究，将为人类寻找质变的普遍规律，转变重量变轻质变的思维模式点燃了希望之光。
2. 系统科学提倡跨学科性、综合性的研究，必将促进当代科学的发展与应用
系统科学探索远离平衡态的、非线性的、不可逆的、自组织的、涌现的客观过程，创造处理复杂性、不确定性、演化特性等一整套新观点和新方法，对其他科学领域产生了广泛的影响，这种影响大大推进了相关科学的发展。
由于各门学科都存在着互补关系，可以在不同层次、不同领域的学说中，求得协调与统一。因为客观世界的不同现象之间不可能用一种理论去描述和解释。比如，贝塔朗菲的一般系统论的一个重要成果，就是把生物和生命现象的有序性与目的性同系统结构的稳定性联系起来； 普利高津的耗散结构论，使统计力学与生物学进一步互补和统一起来，从而把理论生物学推进了一步。
进入21世纪，科学研究更加突出学科的相互交叉融合。任何一个学科的发展都应当不断吸收其他学科的成果，与其他学科进行交叉融合，才能促进本学科取得新的突破。以多学科交叉渗透和综合为主要特征的系统科学今天已发展成为容纳学科门类最多、跨越领域最广的交叉学科群，必将在人类探索各种未知世界的科学奥秘中发挥重要作用，从而可以在更深的层次上，更广的范围里推动科学的发展和社会进步。
今天，我们生活在人类社会发生深刻变革的时代，社会经济的发展正从传统的经济增长观转向可持续发展观再到科学发展观； 从“先发展经济、后保护环境”的道路走向“边发展经济、边保护环境”的道路； 从传统产业结构向信息产业和知识产业结构转移。所有这一切，都要求我们从系统科学的视角处理好各种关系； 从系统科学中寻找理念、思路和方法。
3. 系统科学推动了中西方文化的交流对话，为彼此互补提供了新的历史契机
中国传统文化中“天人合一”的宇宙整体观，认为主体和客体是统一的，人是宇宙中的一部分，自然与人类有统一性。重视事物系统的整体研究，而对个体不甚深究； 重视事物之间、人际之间的相互关系，而忽视事物的实体和元素。西方传统文化则强调事物的实体(如原子、分子、基本粒子、生物分子等)，把客观事物分离化，看做是无数的细小部分组成的复合体。用分析解剖的方法研究事物，重分析，轻整合。
总体而言，东方传统文化是一种整体宇宙观，贯穿系统论的思想，强调从宏观上认识事物，着眼于事物的功能。西方传统文化是以逻辑分析方法为主导，重视实验和严密的逻辑推理，着眼于事物的结构。随着系统科学的发展，人们越来越明确地认识到，以东方文化为标志的侧重整体性的理论框架和以西方文化为代表的侧重分析的还原论体系应该是互补的。正如物理学家玻尔在《自然哲学和人类文化》一文中所说：“我们可以正确地说不同的人类文化是彼此互补的。事实上，每一种文化都代表着传统习惯之间的一种和谐的平衡； 利用这种平衡，人类生活的潜在能力在一种方式下表露出来，以使我们认识到它的无限丰富性和无限多样性的新方面。”他又说“……完全自足的文化是难以存在的，相反地，通过很多例证，我们知道不同人类社会之间某种程度的接触可以怎样导致传统之间的融合，这种融合引起新文化的产生。”
系统科学的发展，将改变以往的“西方中心论”，使更多的西方学者认识到西方文化的不足，希望从东方文化中去寻找思维方式和科学精神，以克服当今西方文化的危机，促进新的世界观的诞生。系统科学“范式”，将是“系统论”与“还原论”思维方式的互补，功能分析与结构分析的综合，东方传统与西方传统科学精神的共融。
4. 开展系统科学教育是时代的要求
系统科学思想是不是只有科学家才需要具备呢？当然不是。“系统”是当代最重要的科学概念之一。以致在美国的国家科学教育标准中，要求从幼儿园到12年级的教学活动，所有的学生都应该培养与“系统、秩序和组织”这个概念和过程相关的理解与能力。下面引用《美国科学教育标准》的一些解释：
自然界和人工界是复杂的，它们过于庞大，过于复杂，不可能一下子研究和领会。为了便于调查研究，科学家和学生要学会定义一些小的部分进行研究。研究的单位称作“系统”。系统是相关物或构成整体的各个部分的有组织集合。例如生命体、机器、基本粒子、星系、概念、数、运输和教育等都可以构成系统。系统具有边界、构件、资源流(输入和输出)及反馈。
秩序是宇宙中的物质、物体、生命和事件单位的行为，它可以通过统计学的方法进行描述。在科学中，物体、生命体、系统或事物会受到很多因素的影响，随着有关这些因素的知识的增长，随着更多、更好的观察结果的出现，随着更好的解释模型的开发，可以减少不确定性的发生。
组织的类型和水平提供了对世界进行思维的有用途径。组织的类型包括元素周期表和生命体的力量。生命系统也有不同的组织水平，例如细胞、组织、器官、生命体、群体和社会。基本单元的复杂性和数量随组织的层次而变化。在这些系统内部，各个组成部分之间会发生相互作用。此外，系统在不同的组织水平上可以表现出不同的性质和功能。
随着人们对“系统”概念认识的深入，逐渐形成了现代系统科学。它是从部分与整体、局部与全局、微观与宏观间关系的角度去研究客观世界的，包括系统结构与功能、系统演化与协同、系统控制与管理等基本规律。今天，“系统”是当代最重要的科学概念之一； “系统工程”是当代最重要的方法论之一； “系统科学”是当代最重要的科学分支之一，并且在人类活动的众多领域获得日益广泛的应用。但是，更重要的恐怕还在于系统科学对于人类社会的文化功能，即培养发展人的思维能力特别是系统思维能力。一个人不管将来从事何种职业，思维能力都可以说是无形的资本，而学习系统科学恰恰是培养这种思维能力的重要途径。当然，这并不是说我们学习过的所有的系统科学知识都会在日后的工作与生活中派上用处，影响一个人终身发展的主要在于思维方式。事实上，从爱因斯坦的相对论到普利高津的耗散结构论，从法国大革命的《人权宣言》到恩格斯的《自然辩证法》，乃至现代一些科学大师们的论著中，无不闪烁着系统思想的光辉。另一方面，学习系统科学有助于人们站在时代的高度上，多领域、多层次、多方向地研究和把握现代科学的前沿动态，扩展知识视野，活跃创新思维，更加敏锐地看到未来的发展，避免局限于一个专业的圈子里，只见树木，不见森林。
在科学技术日益综合化的今天，系统科学思想的传播和普及已越来越成为一种社会需要了。试设想，如果有越来越的公众，接受系统思想的熏陶，感受系统科学文化的魅力，并且能够或多或少地运用系统思维方式来思考和处理问题，那将会是怎样一幅社会进步的前景啊！
1.4 系统科学的发展前景
系统科学对自然和社会的探索，不是我们已经认识了多少，而是还有多少没有认识。科学研究好比登山，当我们登上了一座高峰时，又会看到原来隐藏在山后的峰也屹立在面前。科学也总是寻求发现和了解客观世界的新现象，研究和探索新规律，总是在不懈地追求真理。的确，科学的基本特征是不断进步，哪怕在其他方面倒退的时候，科学总是进步着，即使是缓慢而艰难地进步。系统科学的发展经过一个阶段又一个阶段，越过一峰又一峰，现在来到 “复杂性”峰前。它是未来的最高的那个峰吗？会不会还有一整座山要爬？还有万山迎面而来？在这个全球化和网络革命的时代，未来并非定数，我们不应该停止探索。
1.4.1 系统科学发展的前沿和趋势
系统科学的研究对象无疑是系统，从科学认识的进程来看，人们总是先研究相对简单的系统，然后研究相对复杂的系统。20世纪90年代以来，不仅在自然科学领域，而且在人文社会科学、哲学等各个领域，“复杂性”正悄然向我们走来，现在有哪一个领域没有自己的复杂性，不去研究复杂性问题。一些过去用决定论来观察分析而迷惑不解的事物，由复杂性本质的揭示，使我们豁然开朗。因而，复杂系统就成为系统科学研究的主要对象，进而复杂系统理论成为系统科学研究的前沿课题和主导趋势。
在非复杂系统中，演化过程可以忽略，整个科学体系的指导思想是决定论的，其观点是：世界的发展变化是由一些确定性规律控制的，同样的原因会得到同样的结果，时间是可逆的，不确定性是一种近似或错觉。面对复杂系统，演化已经成为我们认识问题的中心和关键，有必要对原来的自然法则重新进行审视。
在宇宙学、物理学、化学、生物学、生态学或者人文科学等领域，我们在观测的所有层次上都看到了不稳定性、涨落、分岔和有限可预测性，处处都可以见到未来和过去扮演着不同的角色，在这里决定论的自然法则受到严重冲击。新的自然法则认为，自然界处在不断地演化之中，无论是从时间还是空间上看，它处处充满不确定性。演化、涌现和复杂性成为所有层次上自然过程的基调。在全局之中涌现出来了种种个体，城镇从农村涌现出来，而其自身则嵌在其中。这与演化独立于环境的决定论思想恰恰相反，生命总是需要空气和水分。我们总是有着“生命”和“非生命”的相互作用。过去我们习惯于为了实现某种确定的应用目标，设计一个确定的工具系统，它只能在一个事先确定的环境中完成特定的任务，任务之间的切换受确定的条件控制。在决定论思想占支配地位的科学年代，这样做是无可非议的，但在演化的复杂性不可忽略的环境中，这样的设计原则是行不通的。所谓复杂系统是这样一类系统，它一般都具有极其复杂的成分、复杂的结构、复杂的联系和复杂的行为。这样的系统不是决定论的，而是演化的。但是，复杂系统的结构和变化规律是什么？如何设计一个系统能在演化的复杂环境中自适应地工作，这是人类面临的新课题。
当前系统科学研究的对象正朝着复杂系统的方向发展，例如，研究国家规模的社会系统、经济系统； 全球规模的生态系统、气候系统； 中枢神经系统，特别是人脑。复杂系统的主要特点不仅因素众多，而且各个因素彼此的关联极其密切，即如果变动一个因素，其他因素也会随之而变。以往的科学常常把系统分解为一些简单的组成部分，用每次变动一个因素的机械方法来处理，这就是还原论方法的局限性。复杂性研究要用创造性的整体论和涌现论来补充和发展还原论，这是系统科学未曾涉猎的问题，也许是需要进一步研究的关键问题。
事实上，系统科学和复杂性探索是相生相伴、共同发展的。早在系统科学诞生之日起就视复杂性研究为己任。从贝塔朗菲的“被迫处理复杂性”到普利高津“探索复杂”口号的提出，再到圣塔菲研究所(SFI)要建立“复杂系统的一元化理论”，都把复杂性问题作为明确的研究目标和主要任务。在探索复杂性的道路上，他们都不同程度地取得了一定的成就，但是距离“复杂系统的一元化理论”的目标甚远，以致人们不得不期待着复杂系统理论的“牛顿”尽早问世。
针对复杂系统的特点，下面一些观点和方法值得特别关注：
从确定性到演化性； 从还原论到涌现论； 从他组织到自组织； 从时间可逆性到不可逆性； 从集中性到分布性； 从最优解到满意解； 从实体中心论到关系中心论，等等。进一步深入研究这些变化，将带来系统科学思维方式新的变革和提升。
1.4.2 系统科学的统一理论
系统思想源远流长，远在古希腊，亚里士多德(A.Ristotle)就提出“整体大于部分之和”的思想，这是具有整体论和目的论内涵的系统观的高度概括。中国的《黄帝内经》通过对经络、脉象、穴位等的研究，深化了对人体“系统”的认识，具有朴素的系统思想。中药的“辩证处方”，则是系统思想的集中体现。一服中药一般由“君、臣、佐、使”四个部分组成，“君药”对主病起主要治疗作用，用量较大； “臣药”辅助“君药”加强治疗作用； “佐药”用来抑制“君药”可能产生的副作用； “使药”对各种药物起调和作用。“君、臣、佐、使”合理配伍，一服中药就是一个具有“健身除病”功效的药物“系统”。
系统实践在人类文明史上写下了不胜枚举的光辉篇章。早在公元前人类就建造了埃及的金字塔，希腊的雅典卫城、罗马的圆形大剧场、法国的凡尔赛宫、中国的都江堰水利工程等，这些都是人类运用系统思想组织大型建筑工程的光辉典范，堪称人类系统实践的奇迹。
古代的先哲们虽然提出了系统论思维，可是毕竟没有形成系统论的精密科学。历史进入20世纪，系统思想蓬勃发展，系统实践硕果累累、一片繁荣。纵观系统运动的发展历程，国内外多数学者认为，作为系统科学意义上的现代系统理论，可概括为三个发展阶段。首先，它萌发于20世纪初，形成于20世纪30—40年代，发展于20世纪50—60年代。其代表性的理论乃是一般系统论、控制论、信息论等学科的创立。它们的问世标志着系统科学已步入现代科学殿堂，登上人类文化的历史舞台。
20世纪70—80年代，系统科学的发展步入第二个阶段——自组织理论阶段。这一阶段的代表性的理论有耗散结构论、协同学、突变论、超循环理论等。它们研究了在一定条件下，系统如何自动地由无序走向有序，由低级有序走向高级有序的辩证规律。今天，自组织理论已跨越自然科学的范围而进入人文科学的领域，在经济学、社会学、生态学甚至审美学等方面得到应用和推广。
20世纪80年代以来，系统科学的发展步入第三个阶段——复杂系统科学的兴起。这一阶段代表性的理论有混沌动力学、分形理论、复杂适应系理论、开放的复杂巨系统及其方法论等。它们在探索复杂系统的复杂性和规律方面，取得了引人注目的成就。
综上所述，系统科学经历半个多世纪的发展，其发展势头强劲，发展速度迅猛，学术成就喜人。新的系统理论不断涌现，新的应用领域不断拓展。在系统运动的浪潮中形成了形形色色的系统观点和系统流派。据有关学者统计，目前影响较大的系统流派有40余种。学派林立、观点纷呈，分散了系统科学研究的力量，影响了系统科学体系的产生。大家知道科学发展到今天，已经从分化主导发展，走向综合主导发展。不仅不同学科(如数、理、化、天、地、生)的界限日益突破，而且同一学科内部也不应该人为加以分割，不再是对本学科内的各种规律进行孤立研究。比如，物理学内部也不再是力、热、声、光、电磁的孤立研究。正如已知道的，物理学发现了4种自然力：重力、电磁力、强力和弱力，是它们融合统一了物理学。物理学的梦想是要把所有自然的基本力量与所有量子论和相对论的现有原理统一在一起，这就是所谓的“大统一理论”。小溪流大河，大河归大海，大海纳百川，人类知识智慧的统一之路也是如此。不过，现在还不十分完美。系统科学发展至今，主要理论已经提出，系统科学作为一大科学门类已经形成。现在的主要问题是体系尚不完备，作为一门严格意义上的形式化、公理化的科学尚未形成，现代科学理论的统一问题，实际上是不断分化和整合的科学发展的一个侧面。在整体把握自然系统走向中，科学理论的综合统一显得越来越重要。系统科学也不例外，尽管它的某些具体学派已相当成熟，但作为实现一般原理、原则、概念的形式化、公理化的目标，即从各种类型的具体系统中抽象出其本质性的东西，建立起系统科学的统一理论尚需时日。系统科学家们对于如何建立一个统一的系统科学理论还存在不同意见和看法，但在致力建立统一理论的总目标是一致的。让我们期待着一个成熟的、统一的系统科学体系的创立和逐步完善，以满足自身建设的要求和科学一体化的需要。
1.4.3 系统科学跨学科、交叉性的研究进路
系统科学进一步发展需要不同学科之间的深入对话与合作，展开跨学科、交叉性的研究。交叉研究把不同学科综合起来，寻找学科与学科之间的关系，这实际上就是寻找研究对象本身所具有的不同层次(不同等级运动)和跨层次(跨越不同运动形式)之间的关系，也就是复杂性关系。无论宏观层次还是微观层次上的复杂性，都需要建立在非传统的理论与方法之上。这些理论与方法可以从一个学科转移到另一个学科，从而相互受益。钱学森曾就此概括地指出：“……系统理论的研究是多么广阔的一条战线，一方面是各种系统工程的实践带来了运筹学以及控制论，特别是巨系统理论的发展。另一方面是理论生物学的研究，带出了一般系统论； 同时推动了非平衡热力学的研究，产生了开放系统远离热力学平衡的耗散结构概念，作为有序性、自组织理论。还有哈肯综合了现代科学的多方面成就，建立了比较深刻的协同学系统理论。”如近年来，系统科学与网络科学的交叉研究已成为引人注目的崭新领域。系统科学和复杂性研究的显著的跨学科性体现了现代科学发展的综合趋势，揭示了不同学科领域的同构性，反映了科学思维范式的突破性变革。
1.4.4 系统科学的哲学提升
大家知道，哲学是人类认识世界的先导，从某种意义上哲学是望远镜，始终注视着前方，探索科学的未知领域，影响科学的发展。
事实上，哲学始终在影响着系统科学的发展。哲学要研究的是关于自然、社会和思维普遍规律的科学。这种普遍规律只有与具体内容脱离之后才能成为普遍适用的规律，所以哲学是对具体的东西作抽象的研究。系统科学研究的对象也不是具体系统，而是抽象的一般系统，揭示一般系统的“同构性”问题，即各个不同性质的系统之间所表现出来的存在方式和运动方式的一致性，也就是所有系统共同遵守的规律。所以，系统科学从诞生起就和哲学联系起来了。
随着系统运动的展开，系统思想的传播，系统方法的广泛应用，人们注意到系统科学中的许多核心概念和核心思想需要进行哲学梳理和提升。如涌现与层次的思想、信息与控制的思想、进化与自组织的思想、综合与分析方法、功能与黑箱方法等，都要从哲学的视角进行概括和提升。一方面要对系统科学的哲学基础做出明确的解答，并进行科学的哲学提升。另一方面要探索系统科学的认识论和方法论。总之，需要建立与当代系统科学和复杂性研究成果相适应的系统科学哲学，这是一个崭新的、具有挑战性的课题。
系统科学告诉我们，一个时代人所认识的真理都是相对的，它直接依赖于人在自然界的位置和人控制自然的能力。人类的认识过程是有方向性的，这种方向使科学按照由简单向复杂、由低级向高级的顺序展开。这也表明人所认识的自然规律都是以人为中心向纵深延伸的，一直伸向无穷远处！
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第2章 从确定性到不确定性
我们有关未来的知识是被动的、含糊的和不确定的。——凯恩斯
世界不仅由严格的牛顿定律来主宰，而且同时也受偶然性、随机性或无序性的支配。——皮尔斯
我坚信，我们正处在科学史中一个重要的转折点上，我们走到了伽利略和牛顿开辟的道路的尽头，他们给我们描绘一个时间可逆的确定性宇宙的图景。我们现在却看到了确定性的腐朽和物理学定义新表述的诞生。——普利高津
纵观人类的科学发展史，从必然性到偶然性(或者说确定性与随机性)的认识经过了一个漫长的历史进程。中世纪的神学目的论认为未来决定现在，人的未来是由命运决定的，反抗是没有用的。人，谁不关心自己的命运？如果一个人有定命，而且破费几文就能预知吉凶祸福，以采取措施来趋吉避凶，那当然划得来。但是，生活的经验和科学的逻辑告诉人们，并没有什么注定的命运，更没有哪位“铁口神仙”能预知你的吉凶祸福。17世纪末牛顿理论的形成是对神学目的论的彻底否定，反过来，未来是现在决定的，这就是因果决定论。它不是出于一种超自然的宿命论，而是根据过去事实，由物理定律给出的因果决定论，其基本观点认为必然性统治着宇宙的一切。所谓必然性是指一切现象都是由因果关系联系起来的，一切物质运动都是由确定的规律决定的； 知道了原因之后就一定能知道结果，现在发生的一切都是由过去决定的，它们都是通过因果链建立联系的，而不是任何神意安排的。人未来的命运操纵在现在的手中，现在的努力、奋斗会决定你未来的命运。这是对人类精神思想的一个革命，也是人类自然观的一个很大的进步。决定论在18、19世纪基本上统治了科学界。历史进入20世纪，随着物理学的进展，人们到处发现了偶然性、不稳定、演化和分岔，包括从原子到原子核再到宇宙尺度，直到我们的日常生活。人的生活道路也是充满着分岔，面临选择，谁能完全预料自己的未来呢？然而，路是我们自己走的，我们应该积极面对人生的各种分岔，选择分岔，走向成功。但是按照决定论的观点，世界万事万物都以预定的方式存在着，并将永远如此存在下去，没有任何新的东西。20世纪20年代量子力学的创立，首先突破了决定论思维中“必然性”的概念，确认微观过程遵循的只是统计原则，决定性因果关系在微观世界那里成为不确定了。因为我们不可能预见某个光子在何处。我们只能计算光子在空间某个区域的概率，也就是说它是随机的。量子论只谈统计量而不是确定量； 只谈几率，而不是肯定。量子论的出现又使得我们对客观世界的认识提高到一个新水平。
今日的科学已不再仅仅要处理那些必然性发生的事情，而且要处理那些最可能发生的事情了。人们主观思维和认识对象中的不确定性，构成了我们新的认识方式与思维方式的核心。不确定性的存在并不影响科学的发展和繁荣，相反离开不确定性科学本身便不能进步。科学求真的过程是一个不断从相对真理走向“绝对真理”的渐进过程。美国著名科学家波拉克在其畅销新作《不确定的科学与不确定的世界》中写道：“科学会因为不确定性而衰弱吗？恰恰相反，许多科学的成功正是由于科学家在追求知识的过程中学会了利用不确定性。不确定性非但不是阻碍科学前行的障碍，而且是推动科学进步的动力。”1926年海森堡提出著名的不确定性原理以后，不确定性理论已经在科学探索中显示其强大力量。例如：不确定原理应用于宇宙学中，人们据此推断出宇宙中存在着“暗物质”(在我们的星系和其他星系中存在比我们看到的多得多的物质)； 不确定性原理应用于宏观研究领域，美国斯坦福大学著名创新研究专家罗森伯格说：“在考虑科学技术和文化时，有一个起支配作用的关键词，即不确定性。”不确定性原理应用于经济，日本著名学者野中郁次郎说：“在当前的经济环境中，‘不确定性’是唯一可确定的因素。”不确定原理应用于管理，形成了“不确定性管理”的一种新模式，以适应瞬息万变的市场。英国著名科学家马修斯在2003年5月的《焦点》月刊发表“不可思议的世界”一文开头指出：“此时此刻，在你周围比原子还小的粒子正在不断出现(生成)又消失，它们凭空产生(生成)，又转瞬即逝。你可能不知道它们的存在：没有它们，无论是你还是整个宇宙都将不复存在，但你应该庆幸它们的存在。它们被称为虚粒。是所有科学中意义最深刻，也最匪夷所思的理论——不确定性原理——推理之一。”
2.1 两种对立的科学观：机械决定论与辩证唯物论
确定与不确定揭示和反映事物发展变化过程中必然与偶然、清晰与模糊、精确与近似之间的关系。确定性是指客观事物联系和发展过程中有规律的、必然的、精确的属性。不确定性是指客观事物联系和发展过程中无序的、偶然的、模糊的属性。确定性与不确定性既有本质区别，又有内在联系，两者之间的关系是辩证统一的。
但是，长期以来必然性与偶然性之间的关系，形成了两种对立的科学观。
一种是机械决定论的观点，认为必然性统治着宇宙中的一切。所谓必然性，是物质运动的因果关系的规律性的体现。在决定论者看来，无论是自然现象还是人的思维都被包罗万象的必然的因果关系所决定。昨日种种，是今日种种的原因，明天种种，是今日种种的结果。宇宙间每一件事物之所以出现，之所以按这种方式出现而不按另一种方式出现，是因为宇宙本身不过是一条原因和结果的无穷的锁链。因此，决定论者完全否定了偶然性。
在牛顿力学中，用微分方程表示的力学规律的根本特性是确定性和必然性。它的解单值地取决于初始条件。只要给定初始条件，根据运动方程，就可以唯一地计算出系统在过去和未来任何时刻的状态，并作出准确的预言。这样，力学规律就具有严格的可确定性和可重复性，被看成自然界一切因果联系的最普遍、最基本的形式，从而形成了机械决定论的观点。这种观点把宇宙描述成一个结构严密的确定性机器，一切都是按照某种定律精确地发生的，未来的一切都是由过去的一切严格决定的。18世纪的大科学家拉普拉斯说：“没有什么不是确定的，未来一如过去，都呈现在我的眼前。”如果人们接受拉普拉斯的观点，那么就不存在随机过程，也就没有偶然性了。在这种世界观下，任一过程的结果的不确定性仅仅是表明我们无知程度的函数。知道得越多，不确定性就越少。倘若知道得足够多，至少在理论上就能消除所有的不确定性。这样一来，岂不是像黑格尔说的那样：“在自然界从来没有什么新事物。”正是这种决定论为我们描绘了一个被动的、僵死的世界，使人们失去了一切创造性，也妨碍了一切革新。一切都是预先安排好的，任何令人惊奇的事物都不允许存在。而这是与人类追求自由，向往改革，进行创造的精神相违背的，也是与人类的目标和本性相违背的。
另一种是主观唯心主义的观点。这种观点，根本否认原因与结果之间的必然联系。把宏观的必然性看成是主观的信念与习惯。火烧了手会使人感到疼痛，不能说明火与疼痛之间有因果关系，只不过两件事之间存在一定的次序，意味着火是能引起疼痛的标记而已。从主观唯心主义的立场反对决定论的，在西方哲学中还有唯意志主义、存在主义等等。他们的基本观点认为：支配世界的是一系列的偶然性，历史是一系列个人偶然事件的堆积。
但是，这并不意味着严格的自然规律不再存在。的确，在宏观世界中确有必然性占统治地位的领域，最明显的例子是天体运行，它是由严格的因果关系所支配的。人类很早就掌握了四季变化，月亮盈亏的规律，甚至能精确地预报日食、月食和彗星的出现。
两种对立的科学观给人们以启示：是不是世界上有些事是必然的，又有一些事是偶然的呢？
回答是肯定的。辩证唯物主义认为：客观世界中既存在着必然性，也存在着偶然性。必然性与偶然性既有区别，又有联系。必然性就存在于偶然性之中，并通过偶然性为自己开辟道路。
但是，必然性与偶然性是如何区别，又如何联系的呢？为什么偶然性能够为必然性开辟道路呢？必然性会不会为偶然性开辟道路呢？数学研究的进展为上述问题提供了有益的回答。
2.2 不确定性的数学描述
在自然界和人类社会活动中所遇到的各种现象，大体上可分为两大类：确定性现象和不确定性现象。
所谓确定性现象是指：在一定条件下必然会出现的现象。例如，“同性电荷互相排斥”、“在标准大气层下，纯水加热到100℃会沸腾”等等。
为了回答确定性问题，数学家提供了动力系统的方法，按照这个方法研究那些严格地遵从因果关系的系统，即所谓的确定性系统。
对确定性系统的数学描述，举一个大家熟知而又常用的例子，这就是迭代方程。如果某个系统服从确定性的因果关系，那么，它明天的状态Y与今天的状态X之间就有一个确定性联系。在数学上，这叫做Y是X的函数：Y=F(X)
关系式既可表示今天和明天的状态之间的联系，也可以表示昨天和今天、明天和后天的状态之间的联系。如果Z是后天的系统的状态，根据上面的关系式便有Z=F(Y)=F［F(X)］而大后天的系统状态将是W=F(F(F(X)))
一般来说，n天之后的状态可以用函数F的n次迭代表示：nX=F(X)而n
迭代运算是完全确定的。在计算机上作迭代特别适宜：一个固定了的计算机程序，给定一个初始值； 计算出的结果又当成初始值。反复多少次，完全不用人操心。因此，自从有了计算机，确定性系统的迭代模型在自然科学、工程技术和管理科学领域获得了广泛的应用。
总之，描述确定性现象的数学方法，可以是代数方程、微分方程、积分方程、网络图等等。这种方法实际上就是经典数学方法。
为了研究自然界和人类社会活动中的不确定性现象，不确定性数学也相应发展起来。
1654年，法国数学家巴斯卡(B.Pascal)发表了第一篇概率论文，标志着数学的应用范围从精确领域扩大到随机领域； 1965年，美国控制论专家扎德(L.A.Zadeh)创立了模糊集合论(Fuzzy Sets)，标志着数学的应用范围又从随机领域进入了模糊领域； 1982年波兰数学家Z. Pawlak提出了粗糙集(Rough Sets)理论，则将数学的应用范围更进一步延伸到不完备，不一致信息处理的新天地。可以说，数学发展史上所创立的随机理论、模糊理论和粗集理论是分析处理不确定性问题的三个里程碑。
综上所述，我们把不确定性归结为三类：随机性、模糊性和粗糙性。然后运用相应的数学方法去处理。
对于随机现象，数学家提供了概率论与数理统计方法，按照这个方法去处理那些偶然性占统治地位的系统——随机系统。
所谓随机性现象，是指即使条件完全相同，事物的出现所产生的结果一般也不尽相同，或不完全确定。人们把钱存入银行能得到利息是确定无疑的，这是必然现象； 但是用钱买彩票，能不能中奖，是不确定的，这是随机现象。
以抛硬币为例。掷一枚硬币出现正面还是反面是偶然的。即使硬币是绝对的均匀，我们也找不出任何理由断言它又该出现正面还是反面。
如果只掷两次，可能有四种结果：
(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)
可见，两次相同的概率为1/2，正与反各占一半的概率也是1/2。999
如果掷1千次呢？每次相同的概率只有1/2，实际上我们决观察不到这种现象。而正与反大体上各占一半的事是几乎必然会发生的！
由此可见，微观上的偶然性集中起来，冲抵了种种相互矛盾的因素之后，呈现出宏观上的必然性。于是得到这样的结论：必然性存在于偶然性中，偶然产生必然。
当涉及人类系统的行为或处理与人类系统行为可相比拟的复杂系统时，确定性、随机性处理方法不再是十分有效的。例如，清早起来某人说一声“今天天气很好”，别人都能明白，可是计算机就不明白，因为“很好”是一个模糊概念，它不是简单的对事物的绝对肯定或否定，而是介于这两者之间，对于以二值逻辑为基础的计算机是无法理解的。由于人类思维的显著特点是具有模糊性，它是人类自然语言的本质属性，因此，这就给计算机和人脑之间造成了一条无形的鸿沟，使人机之间的接口受到阻碍。为了既能准确地表达大脑思维中的模糊性，又让计算机能够理解，把人们常常用的模糊语言设计成计算机能够接收的指令和程序(机器语言)，以便计算机能像人脑那样简捷灵活地作出相应的推理和判断，这就需要研究另一种不确定性——模糊性。人们按照模糊集合论提供的方法，研究那些模糊性占统治地位的系统——模糊系统。
在现实世界中还存在着大量不完备、不精确的知识(或信息)，在知识不完备的情况下，人脑可以相应做出比计算机快速、精确得多的判断。但基于传统的信息处理方法，一旦遇到信息缺损或不完全时，其认知能力会急剧降低。比如，某个事物本来应该由属性(a，a，12a)来描述，但是由于目前观察条件有限，我们只能得到属性(a，a)312的信息，这些信息不能完全描述这个事物。粗糙集的建立，为人们处理具有知识不完全，不精确的系统——粗糙系统提供了一种新的数学工具。
综上所述，三种不确定性：随机性、模糊性和粗糙性可以这样来描述：
1. 随机性
指事物本身是确定的，但因为事物的因果关系不确定，从而导致事件发生的结果不确定性。例如，骰子的六个点都是确定的，但掷出后朝上的点是不确定的。不确定性用概率来度量。概率表示事件发生可能性的大小。概率的客观意义可以由随机试验中所呈现的频率稳定性来承担。概率论的运用是从随机性中把握广义的因果律——概率规律。
2. 模糊性
指事物本身是不确定的，它在质上没有明确的含义，在量上没有明确的界限，导致事物呈现“亦此亦彼”的状态，是事物类属的不确定性，但事件发生的结果是确定的。例如，要在一个连队中挑选出一个大高个、红脸膛的战士，“多高”、“多红”是模糊不确定的，但肯定可以找出一个来，则是确定的。模糊的不确定性用隶属度来度量。隶属度表示事物多大程度属于某一类。隶属度的具体确定包含人的某种主观因素。模糊集合论的运用则是从模糊性中去确立广义的排中律——隶属规律。
随机性是因果律的一种破缺，而模糊性则是排中律的一种破缺。
3. 粗糙性
因为描述事件的知识(或信息)不充分、不完全，导致事件间的不可分辨性。粗糙集把那些不可分辨的事件都归属一个边界域。因此，粗糙集中的不确定性是基于一种边界的概念，当边界域为一空集时，则问题就变为确定性的。粗糙集认为知识的粒度性是造成使用已有知识不能精确地表示某些概念(事件、对象等)的原因。在没有掌握所有关于对象域的知识的情况下，我们只能用一对近似集来刻画不精确性或含糊性。
粗糙集理论基于知识的不可分辨性，模糊集理论则侧重知识的模糊性。不可分辨性和模糊性实际上是不完全知识的两个不同侧面。因此粗糙集和模糊集并不是互相对立的理论，而是互补的。
从集合论的观点来看，粗糙集既是经典集合的延拓，又是模糊集合的补充。
经典集合认为一个集合完全由其元素所决定，一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，只有“真”与“假”之分。经典集合的隶属函数是二值逻辑，μ(x)∈{0，1}，只能处理确定性问题。A
模糊集合认为事物具有中介过渡性质，而非突然改变，集合中每一个元素的隶属函数μ∈［0，1］，即在闭区间［0，1］可以任意A取值，隶属函数是连续光滑的。因此，模糊集合对不确定信息的刻画是精细而充分的，但隶属函数不可计算，凭人的主观经验给定。
粗糙集合把用于分类的知识引入集合。一个元素x是否属于集合X，需要根据现有的知识来判断，可分为三个情况：
(1) x肯定属于X；
(2) x肯定不属于X；
(3) x可能属于也可能不属于X。
到底属于哪种情况依赖于我们所掌握的关于论域的知识。上述三种情况分别对应于粗糙的正区域、负区域和边界域。因此，大体上可认为粗糙集是一种三值逻辑(正区域、负区域、边界域)。粗糙集的隶属函数为阶梯状，对不确定性信息的描述是粗糙的，但粗糙隶属函数是可以计算的。粗糙集主要用于对信息系统进行约简和分类。
模糊集研究的是属于同一类的不同对象的隶属关系，重在隶属的程度。粗糙集研究的是不同类中的对象组成的集合之间的关系，重在分类。两种方法在处理不完善数据方面可以互为补充。
三种集合的隶属函数如图2.1所示。图2.1 隶属函数示意图
必须指出，同一种不确定现象可以从不同的角度去研究，采用不同的处理方法，而不是将其局限地定义为某一种不确定性，因为不确定性本身是复杂的。例如，考虑这样一个问题：西安到北京的路程有多远？由于观测的不充分引起三种不确定性。
(1) 当我们用某一种方法去测量，得到一系列的样本值，因测量过程中的各种误差，路程就可以看成是一个随机变量；
(2) 当凭人们的主观判断认为，西安到北京大约有10000公里，那么路程就是一个模糊变量；
(3) 当我们根据某一部分信息可以确定路程至少10000公里，至多10500公里，或者至多10200公里时，路程又可以看成是一个粗糙变量。
在实际应用中，系统中所呈现的信息通常不是单式信息，而是含有两种或多种不确定性信息。比如随机模糊性、随机粗糙性、粗糙模糊性，等等。这时就要运用两种或两种以上不确定性信息的综合处理方法。
2.3 随机不确定性的数学处理方法
在自然界，在生产生活中，存在大量的随机现象。比如，每期体育彩票的中奖号码； 同一条生产线所生产灯泡的寿命； 路面结构某些未来的属性(如强度、变形、使用年限等)； 火灾在何处、何时发生等都具有随机性。随机现象所产生结果的不确定性，是受到多种因素的影响造成的，但它们在客观上却遵循一定的规律。正如革命导师恩格斯说：“在表面上是偶然性起作用的地方，这种偶然性始终是受内部的隐蔽着的规律支配的，而问题只是在于发现这些规律。”我们把这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性，叫做统计规律性。概率论与数理统计学就是在数量上研究随机现象内在规律的数学分支。
概率论产生于17世纪，赌博问题是数学家们思考概率论中问题的源泉。概率论提供了一个有趣的定理，俗称“赌徒输光定理”，意思是说，在“公平”的赌博中，任一个拥有有限赌本的赌徒，只要长期赌下去，必然有一天会输光。这个结论确与社会现象惊人地相符合。因赌博倾家荡产的事时有闻知，因其致富的却绝不存在。
在一次赌博中，每个赌徒都可能赢。谁输谁赢是偶然的。但长期赌下去，输光却是必然的。
用这种观点看生物的进化，看历史的发展，看社会的趋势都可以看出同样的道理：即使个别现象纯属偶然，甚至假定没有什么原因，总体上仍有确定的规律。例如，在掷一枚硬币时，正面朝上或反面朝上的机会应该是相等的。由此，可以推测在大量试验中，正面朝上这件事情发生的概率是0.5； 同样反面朝上的概率也应该是0.5。历史上有人作过成千上万次投掷硬币的试验，他们的试验记录如表2.1如示。表2.1 投掷硬币试验
由表2.1可以看出，投掷的次数越多，概率越接近0.5。因此，随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面。虽然在一次随机试验中，出现某个结果是偶然的，但在相同条件下，大量重复的随机试验往往呈现易见的数学规律，科学家把它称为统计规律。它是指：在一定条件下，某个事件以较高的概率发生。统计规律的推断不是决定性的，它不是说某个事件一定发生或一定不发生，它只是说它发生的概率。
又如下雨。下雨是一种大数现象和群体效应。它是由极多的单个事件，即极多的雨滴的下落所组成。这些雨滴虽然非常相似，但在雨滴大小，落到地面的地点等是不同的。雨滴行为可以描述为“随机”行为。
当开始下雨时，我们观察一个大广场中央的两块铺路石上的雨滴情况，记下第一滴雨落在左边(L)石块上，第二滴雨落在右边(R)； 第三滴雨又在右边，第四滴雨在左边，等等。没有明显的规律如LRRLLLRLRLRRLRR这连续的雨滴是没有规律的。当观察一定数量的雨滴之后，我们不可能预告下一滴雨会落在R或L石块。事实上，我们只能预告雨后这两块石块会一样湿。也就是说打在每块石块上的雨滴数将非常接近于与它的水平面积成比例。可见，雨滴是一种典型的随机大量现象，在一些细节方面是不可预知的，在整体的一定数量规模上却是可以预知的。也就是说，尽管单个事件是无规律的，但总有某种总体的规律性。
需要指出，17世纪的概率论是由零散的结果、思想和技巧组成，要完善概率论所必需的数学知识还没有出现，它们直到20世纪初才诞生，成为了概率论的数学基础。俄罗斯数学家柯尔莫哥洛夫(Andrei Niholayevich Kolmogorov)发现了将集合论和测度论应用到概率论的方法，从而使概率论建立在坚固的数学基础上，并赋予概率论严密性。其实柯尔莫哥洛夫的思想十分简单。他假设有一个大的集合U，它包含很多子集。在集合U上定义一个测度，使U的测度等于1，由此就能确定U的子集的大小。集合U表示某一个过程的所有可能发生的事件，而U的子集表示各种可能的事件。因为U的子集的测度不可能大于U的测度——部分永远不能比整体大，所以一个事件的概率不可能大于1。如果A和B是U的两个不相交子集，即A、B是两个事件，那么，事件A发生或事件B发生的概率等于A的测度加上B的测度。从几何上表示，就是两个集合的大小。相应地，如果我们想求事件A和B同时发生的概率，那么就计算两个集合的交集的大小。柯尔莫哥洛夫通过测度论和集合论的语言解释概率论，数学分析的所有结果就可以应用到概率论，从而使概率论成为分析数学中一门广阔而高度发展的分支，而且也是许多新兴学科如信息论、控制论、对策论和排队论的基础。
概率论是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述； 比较这些可能性的大小，研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。
今天，概率论被广泛应用于社会的各个领域之中。当工程师估计核反应堆的安全时，他们用概率论确定某个部件及备用系统出故障的似然性。当工程师设计电话网络时，他们用概率论决定网络的容量是否能够处理预期的流量。当卫生部门的官员推荐(或不推荐)公众使用一种疫苗时，他们的决定部分地依据概率分析，即疫苗对个人的危害及保证公众健康的益处。概率论在工程设计、安全分析，乃至整个社会文化的决定中都起着必不可少的作用。
19世纪，统计学伴随着概率论的发展而发展起来。统计学是运用概率论的理论来研究大量随机现象的规律，对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明，并制定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。
把统计规律引入科学领域产生了重大的后果。首先，它打破了动力学规律，亦即严格决定性规律独霸天下的局面。统计规律否定了对决定性规律的那种死板的解释。统计规律的实质是概率性的，涉及自然界的随机现象。在研究物质运动时，由于分子数目很大，没有必要去求解个别分子的轨迹，而只能运用概率统计方法，求运动着的大量分子各种数据的平均值。其次，统计规律的提出也直接冲击了因果决定论。既然统计规律使得由前一状态产生的结果不是完全确定的，那种单值的因果链条就不存在了。人们没有理由相信个别分子的运动有什么严格的因果性，我们观察得到的所谓自然的因果规律始终是大量分子事件的产物。从系统科学观点来看，统计规律是指由大量子系统组成的复杂系统所满足的规律，整个系统的行为可用一些宏观参量来刻画。但同时个别子系统仍然可以遵循一定的动力学规律。因此，统计规律的提出，使人们认识到除了以前被哲学家称为严格的必然性规律之外，还存在另一种规律——统计规律。
统计学是数据的艺术和科学：通过收集、整理、描述、分析和推理，达到发现新知识的目的。当我们运用统计方法去解决一个实际问题时，一般需要经过以下几个步骤：建立数学模型、收集与整理数据、进行统计推断、预测和决策。
(1) 模型的选择与建立。在数理统计中，模型是指关于所研究总体的某种假定，一般是给总体分布规定一定的类型(如正态分布型)。建立模型要依据概率的知识，所研究问题的专业知识，以往的经验以及从总体中抽取的样本数据。
(2) 数据的收集。可分为全面观测、抽样观测和安排特定的实验三种方式收集数据。全面观测又称普查，即对总体中每个个体都加以观测，测定所需要的指标。抽样观测又称抽查，是指从总体中抽取一部分，测定其有关的指标值。这方面的研究内容构成数理统计的一个分支学科，叫抽样理论。安排特定实验以收集数据，这些特定实验要有代表性，并使所得数据便于分析。这里面所包含的数学问题，构成数理统计的又一分支学科，即实验设计。
(3) 数据的整理。目的是把包含在数据中的有用信息提取出来。一种形式是制定适当的图表(如散点图)，以反映隐含在数据中的粗略的规律或一般趋势。另一种形式是计算若干数字特征，如样本均值，样本方差等统计量，以刻画样本某些方面的性质。
(4) 统计推断。根据总体模型以及由总体抽出的样本，作出有关总体分布的某种推断。数据的收集和整理是进行统计推断的必要准备，统计推断是数理统计的主要任务。
(5) 统计预测。统计预测的对象是随机变量在未来某个时刻所取得的值，或设想在某种条件下对该变量进行观测时将取的值。例如，预测某一种产品在未来3年内的市场销售量，某个10岁男孩在3年后的身高、体重，等等。
(6) 统计决策。依据所做的统计推断或预测，并考虑到行动的后果而制定的一种行动方案。目的是使损失尽可能小，或反过来说，使收益尽可能大。
总之，研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考虑的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据与建议，这就是数理统计要达到的目的。
应该指出，概率统计在研究方法上有它们的特殊性，和其他数学学科的主要不同点有：
(1) 由于随机现象的统计规律是一种集体规律，必须在大量同类随机现象中才能呈现出来，所以，观察、试验、调查就是概率统计这门学科研究方法的基石。但是，作为数学学科的一个分支，它依然具有本学科的定义、公理、定理，这些定义、公理、定理是来源于自然界的随机规律，但定义、公理、定理本身都是确定的，不存在任何随机性。
(2) 概率统计中，使用的是“由部分推断全体”的统计推断方法，这是因为它研究的对象——随机现象的范围是很大的，在进行试验、观测的时候，不可能也不必要全部进行。但是由这一部分资料所得出的一些结论，要具有全体范围内推断这些结论的可靠性。
(3) 随机现象的随机性，是指试验、调查之前来说的。而真正得出结果后，对于每一次试验它只可能得到这些不确定结果中的某一确定结果。我们在研究这一现象时，应当注意在试验前能不能对这一现象找出它本身的内在规律。
今日，概率统计思想成为人们日常经历的一部分。新闻报道、天气预报等通常被概率统计的语言表达。可以说，没有任何一个数学分支能如此成功地抓住大众的想象力。概率论被用来估计每件事的安全性，从疫苗到桥梁； 统计学被用来帮助阐明公共政策。尤其信息时代的到来，统计问题的规模与复杂性都有了急剧的增加，许多领域都产生了海量数据。数据的爆炸式增长，变成了大河，变成了大海，乃至变成了地球的水系一般。水质不再单一(多种性质的数据)，部分已被污染(部分数据不可信任)，水域广阔深邃难于遍览(海量数据，且有孤岛)，流动不再依照某些固定轨道(数据不是单向流动而是复杂互动)，随着全球气候变暖，甚至会淹没沿海城市(随着企业大发展，数据大泛滥)。如此状况，信息如何利用？对于今天的个人和组织来说，很大的困难是无法跟上信息爆炸的脚步，没有办法有效地管理实时信息并进行决策，因此今天的统计面临一个重大课题就是要理解这些数据：提取重要的模式和趋势，理解这些数据“说什么”，我们称此为：从数据中学习。
从数据中学习引发了统计学的革命，导致一个个新学科(如数据挖掘、生物统计学等)的产生。经典统计学需要很强的先验假设和较大的信息资源(样本数目)才能取得相应的结果。现代统计学习理论(如支持向量机)发现了如何在高维空间中，有效地控制容量并构造好的预测规则，它用一种新的思路发展了经典统计理论，以解决更为复杂的统计问题。
2.4 模糊不确定性的数学处理方法
现代科学有一个基本信条，这个信条认为：对于一种现象，未经定量描述，就谈不上彻底理解。人们总是尊重精确、严格和定量的东西，看不起模糊、不严格和定性的东西。尤其是计算机的出现导致定量方法广泛应用于各个领域，在处理定量信息方面确实非常有效。但是，人类的思维活动，对自然万象和人间百态，首先给出的是定性描述，例如大小、强弱、好坏、冷热、高矮、胖瘦、美丑等等，都是对事物的定性描述，难以明确地划定界限。即使带有数字的语言，例如“一本万利”、“三头六臂”、“四分五裂”、“五花八门”、“七上八下”、“十万八千里”，等等，都是作为模糊的数词使用，究竟模糊到什么程度？有什么规律？在什么范围内使用？计算机是无法理解的，而只有对话人双方能相互理解。总之，人类生存的环境，基本上是一个模糊环境。在人们的社会活动中，经常接触各种模糊事物，接受各种模糊信息，随时要对模糊现象进行识别、推理并作出决策。
以前，作为数学对象的不确定性，只有概率，它意味着事物发生的几率，象征偶然性(或随机性)。概率的不确定性，主要与事物的发生有关。例如“明天有雨”、“掷一下骰子是3点”等事物，它的发生具有不确定性。
仔细地分析便可知，随机性与模糊性有着本质上的不同，可以认为它们是不同情况下的不确定性。例如，“明天有雨”的不确定性，是由今天的预测产生的，时间过去了，到了明天就变成确定的了。再有“掷一下骰子是3点”的不确定性是根据掷之前推测发生的，实际做一下掷骰子实验，它就是确定的事件了。但是“胖瘦”、“美丑”等含有的不确定性，即使时间过去了，即使做了实验，它们仍然是不确定的事件，这是由于语言意义内容的模糊性，语言的本质形成的性质。而语言又与人们的思维有着不可分割的关系，因此，模糊性是与任何人都有关系的，并且谁都能理解它的不确定性。这个不确定性如果能用数学处理，变成实际应用，其效果是无法估量的。
为了分析和处理模糊现象，突破精确数学的框架，美国加利福尼亚大学控制论专家扎德创立了《模糊集合论》，标志着一门新兴数学——模糊数学的诞生，从而实现了处理另一类不确定性现象——模糊现象在数学方法上的重大突破。
模糊数学要达到用精确的数学方法去表现和处理模糊现象之目的，隶属函数的确立居于首要的地位。确定了隶属函数，就为解决实际问题跨出了重要的一步。
隶属函数是这样定义的：假设论域U={x}上的一个模糊集合A，对于U中任一元素x属于A的程度用μ(x)来表征，μ(x)可以在闭区间［0，AA1］上取值，则称μ(x)为A的隶属函数，或称元素x对集合A的隶属A度。
例如：扎德曾经给出“年老”的隶属函数。他将论域取为U=［0，100］，用A表示模糊集合，其隶属函数为
经计算得到
说明年龄为60岁时，属于“年老”的隶属度达80%，而年龄为70岁时，属于“年老”的隶属度达94%。因此，我们无需判断这个人是不是老年人，只需确定他属于“年老”集合的隶属度。μ(x)数值大A的比数值小的人属于老年人的程度高、成分大。
如何建立隶属函数呢？至今仍无统一方法可循，主要根据实际经验来进行对应法则的探求。总的说来，就是要建立一个从论域U到闭区间［0，1］上的映射，用来反映某对象具有某个模糊性质或属于某个模糊概念的程度。这种函数关系建立是否正确，标准就在于是否符合客观规律。而要将客观规律反映到隶属函数中来，又必须经过人们主观意识的综合、整理、加工、改造。从这个意义上说，隶属函数的建立有人的主观因素，但这决不是可以单凭主观任意臆造的，而必须以客观实际为基础。目前已提出了一些反映客观规律的建立隶属函数的方法，如三分法、五点法、模糊统计法、经验权重法，等等。
运用模糊数学方法去处理模糊不确定性问题，表现出鲜明的辩证思想，具体反映在以下五个方面：
1. 精确性与模糊性
我们研究模糊性并没有否定数学思想的严密性和精确性。二者既相互对应、相互对立，又相互联系、相互补充，并在一定条件下相互转化。精确性是相对于一定的精确度而言，超过了这一精确度的标准，就带有模糊性。比如说物体的长度，当然应该是精确的，然而，任何测量仪器都不可能做到绝对精确，都有一定的误差，有一定的模糊性。相反，对于复杂系统进行模糊描述和控制，往往能达到精确的目的。例如，画家不用精确的测量计算而画出栩栩如生的风景人物，司机可以驱车安全穿越闹市，而方向盘上无需有刻度。这一切都是以精确制胜的计算机难以做到的。模糊数学把现实世界中的精确事物和模糊事物沟通起来，体现了人们从数量方面认识事物的精确性与模糊性的辩证统一。
2. 特殊性与一般性
模糊数学是把数学从描述明晰的量拓广到描述模糊的量。普通集合与模糊集合之间的关系，可由特征函数与隶属函数之间的关系刻画。当隶属函数的值域取［0，1］闭区间的两端点即取{0，1}时，隶属函数便退化为特征函数，模糊子集也就退化成一个普通集合，普通集合是模糊集合的特殊情形、而模糊集合是普通集合的拓广、一般情形。
又如：分解定理与扩张原则，它们是模糊数学的理论支柱。分解定理是联系模糊数学与传统数学的纽带。模糊集合问题，都可以通过取λ截集而化成普通集合的问题，而扩张原则能把普通集合的方法扩张到模糊数学里去。因此从概念上来说，模糊数学是经典数学的推广和发展，而模糊数学与经典数学有着难解难分的紧密联系，具有特殊与一般的辩证关系。
3. 非此即彼与亦此亦彼
恩格斯说：“辩证法不知道什么绝对分明和固定不变的界限，不知道什么无条件的‘非此即彼’，它使固定的形而上学的差异互相过渡，除了‘非此即彼’，又在适当地方承认‘亦此亦彼’，并且使对立互为中介。”
模糊数学认识到对立事物的“非此即彼”的精确性形态，又认识到对立事物往往要经过一个“亦此亦彼”的中介过渡形态的必然发展。
在经典集合中，对于任一元素x和集合A，要么x∈A，要么xA，两者必居其一且只居其一。这种关系属于二值的、绝对化的规定，是对清晰事物类属关系的科学抽象，刻画了清晰事物要么具有某种性态，要么不具有该种性态的非此即彼的特征。
模糊集合把元素属于集合的概念模糊化，承认论域上存在非完全属于集合，又非完全不属于该集合的元素，变绝对的属于概念为相对属于的概念，引入隶属度，把属于概念数量化，承认论域上的不同元素对同一集合有不同的隶属度。例如前面提到60岁的人，属于“年老”的隶属度为0.8，而70岁的人，属于“年老”的隶属度为0.94。其间没有一条绝对分明和固定不变的界限，它们之间有一个变化发展的过程。模糊集合正反映了这一过程。
对于无生命的系统(机械、力学、天文、物理等)大多是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适用于精确方法描述和处理。但对于生命系统、人文系统、经济系统，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，难以作出非此即彼的断定，不能进行精确的测量。
4. 客观性与抽象性
模糊数学如同精确的经典数学一样，是对客观世界抽象思维的结果。客观实际中有各种事物，存在不同的相互联系，这种联系有时很难用“有”或“没有”简单衡量，必须考虑这种联系的程度，模糊数学就把它抽象成模糊关系。例如，“父亲与子女间的相像关系”、“施肥与作物发生病虫害间关系”等等，这些关系的边界不分明，只能借助模糊关系予以描述。模糊关系就是一种客观事物的抽象，它用模糊关系这一数学模型来描写事物之间的联系。后来又形象地提出用模糊矩阵及一系列运算来描述模糊关系，进而又引进模糊图。正如恩格斯所说：“自然界对一切相像的数量都提供了原型。”因此，模糊数学理论既是抽象思维的产物，又具有客观实在性，本质而言是辩证的。
5. 划分性与综合性
客观世界中千差万别的事物全混在一起，如果没有划分，没有聚类，就不能认识世界，便没有判断和思维。实践中所遇到的划分，有硬划分与软划分。多数是属于软划分，也就是模糊划分。研究和处理模糊划分、分类，人们就提出了模糊聚类分析方法。模糊聚类分析，首先是在被分类的全体对象上，确定相似关系，进而获得相似矩阵； 其次聚类。相似关系是一种模糊关系，取其传递闭包，得一模糊等价关系，在任意水平面λ上，对它进行截割、聚类。模糊集合的任何截集都是普通集合。分类首先要确定λ，然后按不同的λ，也就是按不同的水平来进行划分、截割、聚类。另外，在模糊数学理论中，模式识别也可以看成一种划分、分类，不过是一种有模式的分类。譬如气象系统，曾有人在进行气象预报时，将历史上的天气样本，先进行聚类分析，把它分成若干类，得到若干天气模式，然后再将待报的天气，进行模式识别、分类，若分到天晴那一类，就预报天晴。显然，这实际是聚类分析与模式识别的综合应用过程。
当前，学科之间相互渗透是一个很大特点。学科渗透就是指一个学科领域中的思想、原理、方法，应用或移植到另一个科学领域去，综合渗透学科双方的某些属性，特别是一些优点，获得新的发现或新的领域。模糊规划、模糊决策、模糊模式识别、模糊综合评价等，就是将模糊思想引进规划、决策、识别中，创造性地综合双方理论、方法，得到一种能有效解决各种模糊性问题的新理论。从某种意义上说，模糊数学理论正是充分运用了划分与综合等辩证法，才获得今天的蓬勃发展。
总之，模糊数学深入研究了现实世界中过去一直未被确定性数学和随机性数学处理过的“亦此亦彼”的模糊事物和模糊现象，使人类的模糊思考和判断过程数值化、模型化，并在实用化方面取得了丰硕成果，其应用至少涉及下述几个领域：
(1) 模拟人类的智能，广泛应用于智能控制、模式识别和机器学习等。
(2) 建立人类活动系统的模型，灵活应用于社会、经济中的风险分析、环境评定、市场选择、综合评价、事故预报等。
(3) 作为人机联系装置，开发人机自然交互、知识工程等。
2.5 粗糙不确定性的数学处理方法
在现实世界中存在大量不确定知识(或信息)。知识的不确定性主要来自两个方面：
(1) 认知对象间缺乏足够的区分度；
(2) 对象集合存在不确定性。
这里集合的不确定性有两种解释。一是按照模糊集理论的观点，集合中的成员对集合的隶属程度可以从0到1变化，用隶属函数来描述对象与集合间的不确定性，这种情况在前面已经讨论过了。另一种解释是，由于知识表示存在颗粒性，使得我们无法区分属于同一粒度范围内的对象，如果某个集合覆盖了某一粒度范围内的一个对象，那么这一粒度范围内的其他对象也可能属于该集合。按照粗糙集理论的观点，我们对对象的认知程度取决于所拥有知识的多少，知识越多，知识的粒度就越小，则对象间的区分越精细； 知识的粒度过大，则对象间的区分越模糊。但知识的粒度并不是越小越好。粒度过于精细，会造成知识冗余和低效。
1. 粗糙集的基本概念
(1) 知识与分类
在粗糙集理论中，知识被认为是一种分类能力。人们的行为基本是分辨现实的或抽象的对象的能力。如在远古时代，人们为了生存必须能分辨出什么可以食用，什么不可食用； 医生给病人诊断，必须辨别出患者得的是哪一种病。这些根据事物的特征差别将其分门别类的能力均可以看做是某种知识。更抽象层次上的分类是推理、学习、决策的关键，是一种基础知识。
假定我们起初对论域内的对象(或称元素、样本、个体)已具有必要的信息或知识，通过这些知识能够将其划分到不同的类别。若我们对两个对象具有相同的信息，则它们是不可区分的，即根据已有的信息不能够将其划分开，显然这是一种等价关系，粗糙集理论的核心是等价关系，通常用等价关系代替分类。根据这个等价关系划分样本集合为等价类，进而，求出所需的最小等价关系集合，称为约简。
(2) 不可分辨关系
在粗糙集中，论域U中的对象可用多种信息(知识)来描述。如在医疗信息表2.2中，U中的对象是病人，病人可由他们发病的症状(条件属性)来描述。当两个不同的对象由相同的属性来描述时，这两个对象在该系统中被归于同一类，它们的关系称之为不可分辨关系(indiscernibility relation)，即对于任一属性子集BR，如果对象x，xij∈U，r∈B，当且仅当f(x，r)=f(x，r)时，则x和x是不可分辨的，简ijij记为Ind(B)。不可分辨关系称为等价关系(equivalence relation)。表2.2 医疗信息表
我们对不可分辨关系(或等价关系)还可作进一步解释。假设只用两种黑白颜色把空间中的一些物体划分成两类：{黑色物体}、{白色物体}，那么同为黑色的物体就是不可分辨的，因为描述它们特征属性的信息相同，都是黑色。如果再引入方、圆的属性，又可将物体进一步划分为四类：{黑色方物体}、{黑色圆物体}、{白色方物体}、{白色圆物体}。这时，如有两个同为黑色方物体，则它们还是不可分辨的，而两个白色圆物体间的不可分辨关系可以理解为它们在白、圆两种属性下存在等价关系。
不可分辨关系这一概念在RS中十分重要，它反映了我们对世界观察的粗糙性。若两个对象分别处于Ind(B)的不同划分中，那么它们就可以为现有的知识所分辨； 若两个对象处于同一个划分中，它们是不能为现有的知识所分辨的。另一方面，不可分辨关系反映了论域知识的颗粒性，即通过现有的知识我们往往不能精确地认识每一个对象，属性相同的对象聚合在一起以颗粒的状态呈现在我们面前，彼此无法分辨开来。
(3) 基本集合
由论域中相互不可分辨的对象组成的集合称之为基本集合，它是组成论域知识的颗粒。
在医疗信息表2.2中，考虑条件属性：头疼和肌肉疼。对于x，x，12x这三个对象，其条件属性头疼的值都是“是”，条件属性肌肉疼的3值也都是“是”，因此，从条件属性头疼和肌肉疼的角度来看，这三个对象是不可分辨的。同样，x，x在这两个属性上也是不可分辨的。46由此构成的不可分明集{x，x，x}，{x，x}和{x}被称为基本集合。123465
由此，基本集合定义为：论域U是有限集，R是U的等价关系簇，则K=(U，R)称为知识库，若有BR，且B≠则∩B(B中全部等价关系的交集)也是一种等价关系，称其为B上的不可分辨关系，记为Ind(B)。若{x，x}∈Ind(B)，则称对象x与x是B不可分辨的，即x，x存ijijij在于不可分辨关系Ind(B)的同一个等价类中。依据等价关系簇B形成的分类知识，x与x无法区分。Ind(B)中的各等价类称为B基本集，基ij本集是粗糙集中构成知识的基本模块。
一般地说，知识库中的知识越多，知识的粒度就越小，随着新知识不断加入到知识库中，粒度会不断减小，直至将每个对象区分开来。但知识库中的知识粒度并不是越小越好，粒度小必然导致信息量增大，储存知识库的费用增高。
(4) 下近似集和上近似集
下近似集(lower approximation)定义为：根据现有知识R，判断U中所有肯定属于X的对象所组成的集合：R(X)={x∈U，［x］X}-R
其中［x］表示等价关系R下包含元素x的等价类。R
上近似集(upper approximation)定义为：根据现有知识R，判断U-中一定属于和可能属于X的对象所组成的集合。R(X)={x∈U，［x］R∩X≠}
综上所述，我们可以给出便于计算下近似集和上近似集的定义：给定知识库K=(U，R)，对于每个样本子集XU和等价关系R，所有包含于X的基本集的并(逻辑和)为R(X)； 所有与X的交(逻辑积)不为空集--()的基本集合的并为R(X)。
(5) 正域、负域和边界域
正域(positive region)：Pos(X)=R(X)，即根据知识R，U中能完全-确定地归入集合X的元素的集合。
负域(negative region)：Neg(X)=U-R(X)，即根据知识R，U中不-能确定一定属于集合X的元素的集合，它们是属于X的补集。-
边界域(boundary region)：Bnd(X)=R(X)-R(X)，边界域是某种意-义上论域的不确定域，根据知识R，U中既不是肯定归入集合X，又不能肯定归入集合X(即U-X)的元素构成的集合。
边界域为集合X的上近似与下近似之差，如果Bnd(X)是空集，则称X关于R是清晰的； 反之如果Bnd(X)不是空集，则称集合X为关于R的粗糙集。因此，粗糙集中的“粗糙”(不确定性)主要体现在边界域的存在。集合X的边界域越大，其确定性程度就越小。
(6) 粗糙度(近似精确度)
对于知识R(即属性子集)，样本子集X的不确定性程度可以用粗糙度α(X)来表示：R
α(X)亦称近似精确度，式中Card表示集合的基数(集合中的元素R个数)。
显然，0≤α(X)≤1，如果α(X)=1，则称集合X相对于R是确定RR的，如果α(X)〈1则称集合X相对于R是粗糙的，α(X)可认为是在等RR价关系R下逼近集合X的精度。
举例：以医疗信息表2.2为例，对于属性子集R={头疼，肌肉疼}={r，r}，计算样本子集X={x，x，x}的上近似集、下近似集、正域、12125边界域。
解：(1) 计算论域U的所有R基本集U|Ind(R)={{x，x，x}，{x，1234x}，{x}}65
令R={x，x，x}，R={x，x}，R={x}112324635
(2) 确定样本子集X与基本集的关系X∩R={x，x}≠112
X∩R=2
X∩R={x}≠35--
(3) 计算R(X)、R(X)、Pos(X)和Bnd(X)R(X)=R∪R={x，x，x，-13123x)5
R(X)=R={x}-35
Pos(X)=R(X)={x}-5-
Bnd(X)=R(X)-R(X)={x，x，x}-123-
(4) 计算近似精确度α(Z)=Card(R(X))Card(R(X))=1/4=0.25R-
从近似精度的计算，我们了解粗糙集的知识不确定性的获得是通过近似集的计算，不是人为指定的，知识的不确定性是确定计算的。这与很多的不确定理论不同，并不需要靠先验知识或预先提供所要分析数据之外的精确值来代表不确定性，而是通过概念量化获取不确定知识。
2. 粗糙集的基本思想
粗糙集理论的基本思想可概括为：
(1) RS认为知识就是将论域中的对象进行分类的能力。我们对对象的认知程度取决于所拥有的知识的多少，知识越多，则分类能力越强。知识越少，则对象间的区分越模糊。
从数学的角度来看，RS理论反映出人类以不完全信息或知识去处理不分明现象，以及依据观察、度量到的某些不精确的信息的情况下，对数据进行分析和对未知的信息进行估计推测。
(2) 在没有掌握所有关于对象域的知识的情况下，为了刻画模糊性，RS使用了一对称为下近似与上近似的精确概念来表示每个不精确概念，即使用一对逼近来描述对象域上的集合。下近似和上近似的差是一个边界集合，它包含了所有不能确切判定是否属于给定类的对象。这种处理可以定义近似的精确度，能够很好地近似分类，得到可以接受质量的分类。
(3) 在RS中，论域中的对象可用多种知识来描述(通常描述为属性)。当两个不同的对象由相同的属性来描述时，这两个对象在系统中被归于同一类，它们的关系称之为不可分辨关系或等价关系。不可分辨关系是RS理论的基石，它反映了论域知识的颗粒性。由于知识的颗粒性，使得我们通过现有的知识往往不能精确地认识每一个对象，属性相同的对象聚合在一起以颗粒的状态呈现在我们面前，彼此无法分辨开来。知识的粒度过大，则对象间得不到有效地区分； 粒度过于精细，则造成知识冗余和低效。
(4) 影响分类能力的属性很多，不同的属性重要程度不同，其中某些属性起决定性作用； 属性的取值不同对分类能力也会产生影响。RS理论提出知识的约简方法，在保留基本知识、对对象的分类能力不变的基础上，消除重复、冗余的属性和属性值，实现了对知识的压缩和再提炼。RS理论是以知识的约简为核心，减少结构化数据的维数，从而达到简化数据集合的目的。
3. 粗糙集的基本特点
RS的基本方法是使用等价关系将集合中的元素(对象)进行分类、生成集合的某种划分，与等价关系相对应。根据等价关系的理论，同一分类(等价类)内的元素是不可分辨的，对信息的处理可以在等价类的粒度上进行，由此可以达到对信息进行简化的目的。RS是一种基于集合论的不确定信息处理方法，具有如下基本特点：
(1) RS是一种软计算(soft computing) 方法，传统的知识处理是一种硬计算(hard computing)方法，使用精确、固定和不变的算法来表达和求解问题。而软计算方法则允许利用不精确性、不确定性和部分真实性以得到易于处理、鲁棒性强和成本低的解决方案，以便更好地与现实系统相协调。
(2) RS仅仅从数据本身进行分析，无需提供所要分析的样本数据之外的任何先验知识或附加信息，不要预先给予主观评价，如统计学中要假定概率分布，模糊集中要给定隶属度，证据理论中要赋予似然值等。
(3) RS能分析各种数据，包括确定性和非确定性的； 不精确和不完整的以及拥有众多变量的数据，并对数据进行简化，从而发现知识、推理决策规则，不仅是一种决策分析方法，而且是一种系统建模方法。系统模型是由求出的一组决策规则来表达的，因此，利用该组系统特性的表达公式建立的系统模型，我们可以进行系统预测、控制和决策分析等。
(4) RS与其他不确定方法一样，它们都是处理含糊性和不确定性问题的数学工具。但是它们又有不同之处：主观Bages中，不确定性看成是概率； D/S证据理论中，不确定性是可信度； 模糊集理论中，不确定性是集合的隶属度； RS理论中，不确定性是上下近似集之差集，有确定的数学公式来描述，所以含糊元素的数目可以计算出来，这就使得边界域具有清晰的数学意义，大大减少了算法设计的随意性。
尽管RS对知识的不完全性处理有其优势，但由于RS理论本身未包含处理不精确或不确定原始数据的机制，单纯使用RS理论，不一定能有效地描述不精确或不确定的实际问题。所以，实际应用时，RS方法常常需要与其他方法结合起来使用，互为补充，相得益彰。
2.6 结语
在自然界、人类生产生活的众多领域都存在客观的或人为的不确定性。这些不确定性的表现形式是多种多样的，如随机性、模糊性、粗糙性、模糊随机性以及其他的多重不确定性。
从信息论的观点看，信息本身的确定或不确定性无所谓好坏。问题在于我们怎样去正视不确定性，认识不确定性、把握不确定性。一个基本而重要的问题是如何提供处理不确定性的数学工具。概率论与数理统计学的产生可以追溯到二百多年前，模糊数学诞生于20世纪60年代，粗糙集的问世则是近20年的事情。概率统计已经广泛应用于众多的学科，模糊集合论也愈来愈受到人们的青睐，粗糙集理论正日益引起人们的关注。当今，在信息科学、系统科学、管理科学、计算机科学、工程技术甚至哲学等领域，人们对运用数学理论与方法去分析处理不确定性问题表现出了浓厚的兴趣。
从认知论的观点看，确定性与不确定性是相互依存、相互蕴含、相互转化的两个方面。英国哲学大师卡尔·波普尔曾于1965年在美国华盛顿大学作了一次题为“关于云和钟——对理性问题及人类自由的探讨”的学术报告，这是一个非常精彩的、堪称一流的演讲。他借助云和钟这两种日常可见的物体来比喻两个不同的思想认识的极端。用云的特性来表示极不规则、毫无秩序又难于预测的社会现象，而用钟的稳定且非常准确的特性来表示人类社会行为的规则性、有序性和高度可预测性。很显然，云和钟所表示的都只是社会现象的两个极端——确定性与不确定性。我们必须承认人类是居住在一个二重性的世界里，这里既有必然也有偶然。云和钟，人类社会存在这二者之间。
从人文哲学的观点看，俄国著名文学家兼哲学家列夫·托尔斯泰在《战争与和平》一书中给后人留下这样的名言：“要想象一个人的行为完全服从必然性的法则、没有自由意志，我们就得假定知道无限数量的空间条件、无限长的时限和无限多的原因。
要想象一个人完全自由，不服从必然性的法则，我们就必须想象他是一个超空间、超时间，与任何原因无关的人。
……
只有把它们结合起来，才能对人类生活得出一个明确的概念。”
必然与自由(或者说确定性与随机性)是认识客观世界的两种不同的描述体系，是平等的伴侣，同样有用，同样重要。但是长期以来，人们认为确定性排斥随机性，混沌现象(将在下章讨论)的发现表明：一些完全确定性的系统，不外加任何随机因素，初始条件也是确定的，但系统自身会内在地产生随机行为。混沌现象揭示的随机性存在于确定性之中这一科学事实，最有力地说明客观实体可以兼有确定性和随机性。从而使世界到底是确定的还是随机的？是必然的还是偶然的？是有序的还是无序的？可否将世界分成一半一半？这个长期争论的问题有了科学的回答。
参考文献
［1］ 张景中．数学与哲学．长沙：湖南教育出版社，1990.
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［8］Vapnik V N. Stastistical learning theory. New York：Wiley，1998.
第3章 从线性到非线性
真正的定律不可能是线性的，而且也不可能从这些线性方程中得到。——爱因斯坦
线性律和非线律之间的一个明显区别就是叠加性质有效还是无效：在一个线性系统里，两个不同因素的组合作用只是每个因素单独作用的简单叠加。但在非线性系统中，一个微小的因素能导致用它的幅值无法衡量的戏剧性结果……可能导致突变。
——普利高津
在大自然中的许多事情确实不是线性的，这包括使这个世界感兴趣的大多数事情。我们的大脑肯定不是线性系统……经济也并非是线性系统。除了非常简单的物理系统外，世界上几乎所有的事情，所有的人，都被裹罩在一张充满刺激、限制和相互关系的巨大的非线性大网之中。
——沃尔德罗
20世纪以来，线性理论取得了划时代的飞跃发展，其内容体系日臻完备，成为系统科学的一个重要分支，得到极其广泛的应用。
20世纪60年代，科学史上一件大事发生了。美国气象学家洛伦茨(Edward Lorenz)在一次应用计算机对反映气候变化的一组非线性微分方程进行数值求解时，发现计算结果具有不可重复性和混乱性，从而提出了“混沌运动”的概念，它导致人类对自然认识发生了质的变化。在这里，人们认知自然的决定论同可预知性之间的联系被切断了。其实，过去决定论能够显示其对自然现象的可预知性，只是那些存在因果关系的系统，即所谓的“线性系统”。这样的系统在现实中要么是特例，要么是在一定条件下的简化或近似。
20世纪70年代，一批重大的非线性理论发现：耗散结构论、突变论和协同学等的相继问世，进一步丰富了系统科学的博大精深的内涵。它们阐明了系统怎样从无序走向有序或从有序走向无序，也阐明了系统怎样从一种运动形式向另一种运动形式转化。一些过去用线性理论来观察分析而迷惑不解的事物，由非线性本质的揭示，使我们豁然开朗。
3.1 线性理论
线性，指量与量之间成比例关系，用直角坐标形象地画出来是一条直线。在空间与时间上代表规则与光滑的运动。在线性系统中，整体的行为或性质等于部分之和。描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是解，复杂性不因叠加产生。线性系统的各个组成部分互不相干、各自独立起作用。例如，声音是一个线性系统，这就是双簧管和弦乐器合奏时，人们能够将它们分辨出来的原因。虽然声波相互混合，但仍然能保持各自的特点。光线也是一个线性系统，因此，在晴天，人们能够看见马路上可以通行或禁止通行的指示灯，指示灯射出来的光线，不会与从高处射来的阳光发生干扰，所以我们能看清指示灯。各种光线独立行进，相互穿过，好像其他光线不存在似的。因为线性系统的各个组成部分是彼此独立的，整体作用等于部分作用之和。发出声音的个体多，声音就大； 光线多，就更亮些。
线性理论的研究对象为线性系统，主要研究系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性方法，建立和揭示系统结构、参数、行为和性能之间的确定的和定量的关系。在对系统进行研究的过程中，建立合理的系统数学模型是首要的前提，对于线性系统，常用的数学模型有时间域模型，一般为多元一阶联立方程：
令状态向量为X=(x，x，…，x)T(3.2)12n
系统矩阵为
则系统的动态方程(1)式可写成为向量形式X=AX(3.4)
若系统矩阵A不随时间变化，动态方程(3.1)式为常系数微分方程，易于求解； 若系统矩阵是时间t的函数，系统矩阵记为A(t)，称为变系数微分方程，不易求解。
设x表示系统输入量，f代表某种数学运算，k为常数，f(x)表示x对施加f运算后的结果，如果满足条件
f(x+x)=f(x)+f(x) (加和性)(3.5)1212
f(kx)=kf(x)(齐次性)(3.6)
则称数学运算f是线性的。取a，b为常数，可将式(3.5)与式(3.6)合并为f(ax+bx)=af(x)+bf(x)(3.7)称为叠加原理。显然，线性系统满1212足叠加原理，即系统整体作用等于各部分作用之和是其基本特征。
常微分方程对线性系统动力学行为的描述是，当初始状态(条件)确定后，系统未来的状态(行为)是可以决定的。这样的思想奠定了线性科学中决定论的基础。
线性系统的数学模型除了时间域模型之外，还有频率域模型和状态空间模型。时间域模型比较直观，频率域或其他变换域模型则是一个更强大的工具。当不仅仅研究系统的输入输出关系，而且要深入到系统内部状态的详细研究，就需要采用状态变量模型。建立线性系统模型的基本方法是解析法、实验法和模拟法(或计算机仿真法)。
从经典力学、量子力学直至相对论，其理论模型都是建立在线性逻辑的基础上。牛顿力学对动力系统的研究是基于线性振子模型，其主要运动特征是产生等幅的周期振荡。分析周期运动的方法是频谱分析法。量子力学与信息论对随机现象的研究发展了线性模型，其主要
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