作者：数学创新教学指导小组
出版社：辽海出版社
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数学教学的趣味现象设计(下)试读：
前言
数学是一门逻辑性非常强且非常抽象的学科，要让数学教学变得生动有趣，关键在于教师要善于引导学生，精心设计课堂教学，提高学生的学习兴趣。在数学教学中，教师应当采取多种方法，充分调动学生的好奇心和求知欲，使学生在每一节课中都能感受学习的乐趣、收获成功的喜悦，从而提高学生自主学习和解决问题的兴趣与热情。只有这样，才能使学生愉快轻松地接受数学知识，并取得良好的教学效果。
有人说，数学枯燥、乏味，学习时没有意思，其实，这是对数学的误解。只要你真正懂得了数学，你就会知道，数学是一个最富魅力的学科。它所蕴含的美妙和奇趣，是其他任何学科都不能相比的。茫茫宇宙，滔滔江河，哪一种事物能脱离数和形而存在？是数、形的有机结合，才有这奇奇妙妙千姿百态的大千世界。数学的美，质朴，深沉，令人赏心悦目；数学的妙，鬼斧神工，令人拍案叫绝！因为它美，才更有趣；因为它有趣，才更显得美。当然，这种美的感觉，只有当你真正认识它后才能理解。懂得了这个道理，你才会有学习数学的动力，才会走进数学爱好者的行列。
为此，我们特地编写了这套“数学教师的趣味教学设计与创新”丛书，包括《数学教学的趣味数独设计》、《数学教学的趣味故事设计》、《数学教学的趣味知识设计》、《数学教学的趣味运用设计》、《数学教学的趣味游戏设计》、《数学教学的趣味题型设计》、《数学教学的趣味奥秘设计》、《数学教学的趣味之谜设计》、《数学教学的趣味现象设计》、《数学教学的趣味名人设计》共10册，丛书一方面分别对相关数学基础知识的趣味教学设计与创新进行了全面指导，另方面进行了举例示范，目的是使广大师生在理论指导下进行教学和运用，逐步提高数学知识素养与兴趣。因此具有很强的系统性、实用性、实践性和指导性，不仅是广大师生教学指导的最佳读物，也是各级图书馆珍藏的最佳版本。
第一章 数学教学的趣味运用指导
1.数学课堂教学中的思维替代现象
在教学实践中，学生思维被替代的现象时有发生，概括起来不外乎教师思维替代学生思维和学生思维替代学生思维两种情况。这种现象隐藏在各种教学活动中，如教师引导过度，点拨过度，讲解过度，或者学生在小组讨论和合作探究中，优生思维替代差生思维，群体思维替代个体思维，等等。总之在师生互动、生生互动中都有可能发生思维被替代的现象，而且不易被人们发现。导致学生思维替代现象的原因是多种多样的，其根本原因是老师对学生学习的主体性认识不够，或者把握不准，问题设置偏离学生的学习起点。在教学中如果对这种现象不引起注意，将严重影响学生的思维发展水平。
一、教师思维替代学生思维的现象分析与对策
教师引导、点拨和讲解是课堂教学中必不可少的环节，是教学艺术的综合反映。有效的课堂教学能够使学生的疑虑与困惑逐渐消失、巩固新知、发展数学思维。但是，在教学实际中，教师引导与点拨还存在许多不良现象，如对教学前期分析做得不够细致，对学生的知识起点和认知水平缺乏准确的评估，提出问题过于简单，使学生缺乏思考的机会，都容易导致思维替代现象。
1．引导过度
教师是学生数学活动的组织者、引导者与合作者。在教学中，教师讲究引导学生探索数学知识的策略和方法，不仅有利于学生当前的学习，而且有利于他们今后乃至终生的持续发展。
为了使学生更好地进行独立思考与合作交流，教师应提供思考的材料，提出思考点，让学生对材料进行分析思考，发现问题，提出问题，给学生创设独立思考和解题的时间与空间，使学生有机会独立去分析问题，经过一定的思考后再让学生全班交流。教师不能牵着学生鼻子走。
2．点拨过度
教师的点拨，就是适时对学生进行启发，根据学生已有的生活经验和知识经验进行探究、发现和创造，使学生学会在原有知识经验的基础上对新知识进行加工、理解、重组，达到主动建构并形成新知识的目的。恰当的点拨，可以使学生疑难顿解，思维顿开。教师的点拨的形式多种多样，如语言点拨，动作点拨，媒体演示点拨等等。教学上要根据不同情况选择怡当的点拨形式，启迪学生思维，拓宽学生的思维区域，避免学生思维断层。
教师借助多媒体演示具体形象的材料来帮助学生理解抽象的数学知识，课件虽能具体直观、生动形象地反映数学问题，但教师过分依赖课件，直接用课件代替操作探究过程，这样做容易剥夺学生探究新知和进行思考的机会，止步于具体形象思维，使数学知识无法正常内化。
苏霍姆林斯基说：“对抽象思维和不断地由具体事物向概括过渡的需要，是少年期学生自然的精神需要。”郑毓信教授提出：“如果我们始终停留于实际操作的层面，而未能很好地实现活动的‘内化’，包括思维中的必要重构，就根本不可能发展起任何真正的数学思维。”数学在提高人的推理能力、想象能力和创造力等方面有着独特的作用，教师要提供有效的操作，适时渗透数学思想方法，积极促进学生的思维实现由具体形象思维向抽象逻辑思维的转变。
3．讲解过度
讲解，是教师在课堂上向学生传授知识、培养技能的重要方法，讲解必须有启发性地讲，做到画龙点睛。然而，现实上教师总是喜欢沿着自己的思路不厌其烦地讲解，以讲代学，影响了学生思维的发展。因此，对这种讲解过度现象加以剖析，寻求解决的办法，就显得十分必要。
教学中老师喜欢沿着自己的思路不厌其烦地讲解，导致课堂上本应由学生自己解决的问题，教师却进行不必要的讲解，不能很好地利用教材这个载体引导学生进行操作、观察、猜测和思考。
对新知识点，教师要精心讲解，在探求规律时要引导性地讲解，当思维受阻时要启发性地讲解，需要发散思维时要拓展性地讲解。
二、学生思维替代学生思维的现象分析与对策
1．优生思维替代差生思维
目前，合作学习、研究性学习日益被广大教师所接受。由于学生的认知水平和学习策略存在比较大的差异性，并不是所有学生都能通过独立探索和合作交流来自主建构，尤其是差生，他们的探究活动是被动的，往往在活动中充当了一个看客的角色。我们在教学时不能流于形式，应深刻理解其内涵，更多地关注小组合作学习的实际效果，促进学生各方面能力的提高。
引导学生进行分层探究，把学生分成基础较差、中等基础、探究能力较强的三类，然后分成若干学习小组。
改进后的教学，教师给不同层次的学生提供不同的探究材料，对探究活动进行分层指导，探究活动建立在独立思考的基础之上，学生在经过充分的独立思考后，带着疑问进行合作，真正探出了实效。优生与差生在概念掌握水平上有明显的差异，对基本知识和基本技能的熟练程度不同，对基本思想方法和数学活动的基本经验差别比较大。教师在课堂教学上，要正确认识学生个体差异，因材施教，使每个学生都在原有的基础上得到发展。
2．群体思维替代个体思维
学生对数学知识的学习，既需要个人独立钻研，也需要群体合作探讨。个人独立钻研为群体合作探讨奠定基础，群体合作探讨弥补个人钻研的不足。所以，在数学探索活动中，群体合作探讨同个人独立钻研一样，是非常必要的。
教师为了课堂教学能够顺利进行，为了尽快地过渡到课堂教学设计的下一个环节，在提出问题之后，总希望学生尽快回答问题，而没有很好地顾及那些正在冥思苦想的学生。案例中老师所提的问题比较笼统，导致学生根本无法理解长方形的面积等于长乘宽的真正算理，很多有独立思考的学生被淹没在群体思维中，即使思维品质一般的学生，在某一问题或某一侧面上也会有独特的见解，老师却没有及时发现。
在这样的探究活动和小组交流活动中，每个学生都有话可说，因为他们在交流之前都用心思考过。教师应时刻关注群体思维的方向，并加以循循善诱的引导。当群体思维所依据的材料确切、思维方法与策略恰当、发展趋向正确时，教师应及时予以肯定；当群体思维所依据的材料不实，推理有误，或思维方式带有片面性时，应及时点拨，以激起反思，必要时还可举出适当的反例，以否定群体思维的错误走向，避免继续误入歧途。《数学课程标准》指出：教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教，为学生提供充分的数学活动的机会。要处理好教师讲授和学生自主学习的关系，教师要通过有效的措施，启发学生思考，引导学生自主探索，鼓励学生合作交流，使学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得广泛的数学活动经验。面对教学中的思维替代现象，教师要勇于探索，善于发现问题，处理好教师的教与学生的学的关系，正确引导和启发学生进行数学思维，让学生通过思维使知识内化，防止思维被替代现象的发生。
2.数学教学中的形式主义现象
一、僵化教学观的束缚
有老师说：“书本上怎样讲，我们就应该怎样教，一定要与其保持一致。”持这种观点者认为教材为专家所编，不容质疑，在教学中教师只能是阐释教材，不能有丝毫不同于教材的理解。教材对他们来说就是基督徒心目中的“圣经”。
有时教师只是看重教材上的文字表述形式，而忽视了概念的本质属性，结果只能是对教材“唯命是从”，学生也在生搬硬套中失去了思维的灵活性和创造性。
其实，教学中完全可以根据学生的实际情况，灵活使用例子，大可不必拘泥于教材，生搬硬套。
二、考试命题的制约“过多人为约定”这一现象，在目前小学数学教学中有过之而无不及，这样的练习常常会让那些不教小学数学的数学教师都捉摸不定。但这一现象的存在，原因不能只追究在教师的头上，因为，你不这样教，不等于不这样考。
比如，有一年某市教研室出的一年级跟踪调研题，其中有这样一道：看图列算式：（略）不少学生这样作答：（3）＋（4）=（7）（3）-（1）=（2）（4）＋（3）=（7）（3）-（2）=（1）
而标准答案却是：（7）＋（3）=（10）（10）-（3）=（7）（3）＋（7）=（10）（10）-（7）=（3）
结果这些学生的答案被判为错。从标准答案可以看出，命题者是想通过这题考查学生看一幅图写四道算式的能力。而学生出错的原因是没有猜透题意，即左右两边的正方形要连起来作为一道题来看。显然，如果不是经过特殊训练，猜透命题人的意思，十有八九要出错。
第二章 数学教学的趣味运用故事
1.骗人的“平均数”
刘木头开了一家小工厂，生产一种儿童玩具。
工厂里的管理人员由刘木头、他的弟弟及其他六个亲戚组成。工作人员由5个领工和10个工人组成。工厂经营得很顺利，现在需要一个新工人。
现在，刘木头来到了人才市场，正与一个叫小齐的年青人谈工作问题。
刘木头说：“我们这里报酬不错。平均薪金是每周300元。你在学徒期间每周得75元，不过很快就可以加工资。”
小齐上了几天班以后，要求和厂长刘木头谈谈。
小齐说：“你骗我！我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元。平均工资怎么可能是一周300元呢？”
刘木头皮笑肉不笑地回答：“小齐，不要激动嘛。平均工资确实是300元，不信你可以自己算一算。”
刘木头拿出了一张表，说道：“这是我每周付出的酬金。我得2400元，我弟弟得1000元，我的六个亲戚每人得250元，五个领工每人得200元，10个工人每人100元。总共是每周6900元，付给23个人，对吧？”“对，对，对！你是对的，平均工资是每周300元。可你还是骗了我。”小齐生气地说。
刘木头说：“这我可不同意！你自己算的结果也表明我没骗你呀。”
接着，刘木头得意洋洋地拍着小齐的肩膀说：“小兄弟，你的问题是出在你根本不懂平均数的含义。怪不得别人呦。”
小齐气得说不出话来，最后，他一跺脚，说：“好，现在我可懂了，我不干了！”
在这个故事里，狡猾的刘木头利用小齐对统计数字的误解，骗了他。小齐产生误解的根源在于，他不了解平均数的确切含义。“平均”这个词往往是“算术平均值”的简称。这是一个很有用的统计学的度量指标。然而，如果有少数几个很大的数，如刘木头的工厂中有了少数高薪者，“平均”工资就会给人错误的印象。
类似的会引起误解的例子有很多。譬如，报纸上报道有个人在一条河中淹死了，这条河的平均深度只有2尺。这不使人吃惊吗？不！你要知道，这个人是在一个10多尺深的陷坑处沉下去的。
2.随机成群效应
我们知道，π是个无限不循环的小数，它的数字排列是无章可循的、随机的，所以，你想从中找到什么规律是不可能的。
但是，在π中却显现出一种奇特的现象，比如说，它从第710154个数以下的数字是一连串排有7个3。
而且，这种一连串7个相同数字的排列在π中出现的可能性还相当高。
这是怎么回事？
这是一种随机成群效应。
如果尔不断地抛掷一枚硬币，并记下结果，你就会发现有时竟会出现一连串的同样结果。
如果你抬头仰望夜空，会看到恒星成群聚集成为星座。
如果你将豌豆撒在地上，会看见豌豆在地面上汇成小群。
另外，你也一定知道“祸不单行”的俗语。
这些都是随机成群效应的表现。
你也可以自己动手做一种“糖果花纹”，亲手制造出一种随机成群效应。
制造方法是，取相当数量的红色糖球，再取相当数量的绿色糖球，将两种同样数量的糖球放入玻璃瓶中。不断摇晃这个瓶子、直至两种颜色的糖球完全混合均匀为止。
现在注视瓶子的一边。你大概估计会看到两种颜色的糖球已均匀打散了，可是你真正看到的图案都是不规则的，大片红色糖图案中点缀着许多小群的绿色糖，且二者总面积相等。图案是如此出人意料，甚至数学家在乍看到时也会相信，大概有某种静电效应使得一种颜色的糖球粘住另一颜色糖球。实际上起作用的是偶然性。花纹是随机成群的正常结果。
下面是一个与随机成群效应有关的纸牌把戏。
拿出一副扑克牌，使它黑红相间。再把这副牌分成两叠，让每叠牌的最底下那张的颜色互不相同。然后将两叠牌洗到一起。
现在从这叠洗过一次的牌上部一对一对地拿牌，结果会怎样呢？
结果是：不管你原先是怎样洗牌的，你拿的每一对牌都是一红一黑！
为什么会这样呢？原因很简单。
首先，这副黑红相间的牌分成两叠后须两张底牌一黑一红。
然后，在洗这两叠牌时，第一张牌离开拇指落下贴在桌面后，左右手中两叠底牌就是一色的了，这两张牌都与已落下的那张牌颜色不同。往后无论这两张底牌落下哪张都与桌上那张构成颜色不同的一对。
现在手中的牌又与还未落下任何一张牌时的情况一样。剩下两叠牌的底牌颜色不同。不管哪张牌落下，手中剩下的两张底牌均与之不同色，故接着落下的第二对牌也必然是颜色不同的。依此类推可知余下的牌将反复出现上述现象。
这个不寻常的纸牌把戏是一个实例，说明一种潜在的数学结构会怎样进入随机集群之中，并产生看上去似乎神秘的结果。
3.新药到底有没有效果
药厂设计开发出一种新药，希望能够有助于人的睡眠。但是在进行药物试验时，却出了个蹊跷事。
事情是这样的。试验安排了两种人，一种是真正服用此药的人；一种是以为在服药，实际上服的是没有任何药效的安慰药的人。试验分成了两组，第1组有18个人，第2组有23个人。在第1组中有11个人服此新药，7个人服安慰药。第2组中9个人服新药，14个人服安慰药。
试验的结果是：在第1组中，11个服新药的人中有5人睡眠状态明显好转，7个服安慰药的人中有3人感觉良好。在第2组中，9个服新药的人中有6人感觉良好，14个服安慰药的人中有9人睡眠状态明显好转。
现在，统计学家要分析药物试验结果了。
先分组进行分析。在第1组中，服新药者有效果的占到了5／11，服安慰药者有安眠效果的是3／7，显然5／11＞3／7，表明新药比安慰药有明显好的效果。在第2组中，服新药的人中有效果的占到了6／9，服安慰药的人中有安眠效果的是9／14，由于6／9＞9／14，所以也表明新药比安慰药有明显好的效果。
但在把两个组的情况合起来分析的时候，结果却变了。你看，服新药的人一共是20个，其中有效果的有11人，比例为11／20；服安慰药的人共有21人，其中感觉到安眠效果的有12人，比例为12／21。因为11／20＜12／21，所以得到的试验结果是安慰药的效果比新药的效果还要好。
那么，到底新药有没有效果呢？统计学家也无法拿出令人信服的结果了。
这个悖论说明，要设计出一种试验，使其统计分析结果总是可信有多么困难。
4.为扎克取工钱
从前有个大地主叫古依木，雇了一个叫扎克的长工，答应每年给一头牛的工钱。到了年底，古依木对扎克说，你的工钱存在我这儿，将来可以办大事。老实的扎克同意了。一晃19年过去了，扎克年老力衰了，大地主古依木就想把他辞退。一天，古依木把扎克叫来，说：“你在我家做了19年，现在我给你19斤油，你走吧！”扎克一听急了，说：“老爷，你讲的每年给‘一头牛’的工钱，怎么变成‘一斤油’了呢！”古依木两眼一瞪，咆哮说：“那是你听错了，老爷还会赖你吗？”不容分说就把他赶出了门。
扎克提了19斤油呆呆的坐在路旁。这时正好看见阿凡提骑着小毛驴过来了。扎克连忙把这事告诉阿凡提，请他帮忙算回工钱。阿凡提想了片刻说，好，我和你一起上古依木家里去评理。”
古依木在家里正在喝酒，冷不防阿凡提和扎克走了进来，古依木心里有点慌，装着笑脸道：“阿凡提先生驾到，不知有何贵干？”阿凡提说：“扎克想做个小生意，特来借三两银子，由我作保，不知老爷肯不肯。”古依木一听，心宽了，连说：“有阿凡提先生作保，当然可以。扎克是老实人，年息对本对利就行了。”于是，三对六面写好了借据。古依木正要去拿银子，阿凡提拉住了他说：“办事情要公平，借你的钱是对本对利，那么，阿凡提每年一斤油存在你这里，也应该对本对利。”古依木眼珠一转，暗想十九斤油的利钱能有多少，大不了几百斤油吧！就说：“好吧，看在阿凡提先生的面上，算出多少，我照付就是了。”
于是，阿凡提拿过算盘说：头一年，工钱1斤，第二年加利息1斤，加工钱1斤，共3斤，第三年是7斤，第四年是15斤……不到一刻工夫，算出了结果，把大地主古依木吓得目瞪口呆。最后连连央求：“阿凡提先生，请你向扎克说说好话，我情愿还他19头牛的工钱！”
扎克拿到了19头牛的工钱，三两银子当然不借了。
请问小朋友，每年一斤油，按照古依木对本对利的算法，19年的本息账，到底是多少？告诉你，结果是524287斤油。你如不信，不妨自己算算看。
5.这个铜币哪去了
这天，太阳刚刚出来，阿凡提就骑着小毛驴赶集来了。阿凡提一边逛着，一边不住地和朋友们打着招呼。
只听见有人高喊他的名字，阿凡提回头一看，原来是西瓜店老板沙拉。此人既贪财又奸诈，还专门放高利贷剥削老百姓。阿凡提早就想找机会教训教训这家伙。此时沙拉正手忙脚乱地卖着西瓜。阿凡提走过去，见西瓜半数是大的，半数是小的。大西瓜一个铜币买2只，小西瓜一个铜币买3只。阿凡提对沙拉说：“啊，沙拉老弟，你可真笨，何不把大小西瓜合在一起，不论大小，按2个铜币买5只来算，不是省事了吗？”沙拉一听，顿时眉开眼笑，连忙谢道：“阿凡提大哥真是聪明，果然名不虚传。”
过了没多久，沙拉又急急忙忙地追上了阿凡提说：“阿凡提大哥，我刚才用您教的方法卖了30只大西瓜、30只小西瓜，真是快多了。可我点钱时发现只卖得24个铜币，而按老办法卖30只大西瓜应得15个铜币，30只小西瓜应得10个铜币，合在一起一共25个铜币，怎么会少一个铜币呢？”
阿凡提暗自好笑，却故作吃惊地说：“不会少一个铜币吧，一定是你数错了。”
沙拉左思右想，也不知这个铜币哪里去了，还真以为数错呢。瞧，他又在瓜摊旁一遍一遍地数着铜币。
6.3x＋1猜想
这是最有名气的数字黑洞。它的计算非常简单，从任何一个正整数开始，按照一个简单的运算模式：偶数除以2，奇数乘以3再加1，如此最终必然跌进4，2，1的循环。
3x＋1猜想的起源扑朔迷离。一种说法是，这个游戏大约起源于20世纪30年代，德国的汉堡大学的卡拉茨（Collats，L．），在他研究数论函数是提出次问题，但未发表出来。也有另一种说法是二次大战前后，在美国的一个小镇首先出现并流行这个数字游戏。
后来的历史大体清楚。到了20世纪50年代，借助于美国坎布里奇市召开的国际数学大会和一些数学家的，这个游戏得到传播，随后在美国和欧洲风靡一时。到了约1960年，日本数学家角古静夫将这个问题带到日本。
角古静夫在回忆录中写道：“有一个时期，美国著名学府耶鲁大学的每一个人都在研究这个问题，但都没有任何结果。有人开玩笑说，它是敌人企图阻滞美国数学研究进展的一个大阴谋的组成部分。”
这个游戏也有人称作角古猜想，在美国更多的称作冰雹猜想，是因为运算中数字忽大忽小，犹如冰雹产生时冰粒忽上忽下一般。实际上，它还有希拉苏斯（Sgrcuse）问题、海色（Hasse）问题、乌拉姆（Vlam）问题等名称。
7.二八法则
析时发现：80%的社会财富集中在20%的人手里，而80%的人只拥有社会财富的20%，这就是“二八法则”。“二八法则”反应了一种不平衡性，但它却在社会、经济及生活中无处不在。
在商品营销中，商家往往会认为所有顾客一样重要；所有生意、每一种产品都必须付出相同的努力，所有机会都必须抓住。而“二八法则”恰恰指出了在原因和结果、投入和产出、努力和报酬之间存在这样一种典型的不平衡现象：80%的成绩，归功于20%的努力；市场上80%的产品可能是20%的企业生产的；20%的顾客可能给商家带来80%的利润。遵循“二八法则”的企业在经营和管理中往往能抓住关键的少数顾客，精确定位，加强服务，达到事半功倍的效果。美国的普尔斯马特会员店始终坚持会员制，就是基于这一经营理念。“二八法则”同样适用于我们的生活，如一个人应该选择在几件事上追求卓越，而不必强求在每件事上都有好的表现；锁定少数能完成的人生目标，而不必追求所有的机会。
8.零和游戏
一个游戏无论几个人来玩，总有输家和赢家，赢家所赢的都是输家所翰的，所以无论输赢多少，正负相抵，最后游戏的总和都为零，这就是零和游戏。
零和游戏之所以受人关注，是因为人们在社会生活中处处都能找到与零和游戏雷同或类似的现象。我们大肆开发利用煤炭石油资源，留给后人的便越来越少；我们研究生产了大量的转基因产品，一些新的病毒也跟着冒了出来；我们修筑了葛洲坝水利工程，白鳍豚就再也不能洄游到金沙江产卵了……
发展是硬道理。人类在经历了经济高速增长、科技迅猛发展、全球经济一体化及曰益严重的生态破坏、环境污染之后，可持续发展理论才逐渐浮出水面。零和游戏原理正在逐渐为“双赢”观念所取代，人们逐渐认识到“利己”而不“损人”才是最美好的结局。实践证明，通过有效合作，实现皆大欢喜的结局是可能的。
领导者要善于跳出“零和”的圈子，寻找能够实现“双赢”的机遇和突破口，防止负面影响抵消正面成绩。批评下属如何才能做到使其接受而不抵触，发展经济如何才能做到不损害环境，开展竞争如何使自己胜出而不让对方受到伤害，这些都是每一个为官者应该仔细思考的问题。
还是那句话，世上没有现成的标准答案。这些企业经营管理定律只能供我们参考和借鉴，至于什么条件下适合借鉴哪一种，回到手表定理上去，你需要自己选择一块戴着舒适而又走时准确的手表。
9.循环小数与倒数
在生活中，有一些很有趣、巧妙的数学现象，如在教学“循环小数”的时候，就有这样一个例子：从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事，讲的什么故事呢？从前有座山，山上有座庙……这个耳熟能详的讲不完的故事在数学课上派上了用场，学生很新奇；再举例：跑步时喊口令是怎样喊的：1112111121……由此引出循环小数，学生印象深刻。
又如在教学“倒数的认识”时，也可结合生活现象导入：在生活中，有些话可以倒过来说：“路上我上马”→“马上我上路”、“上海自来水来自海上”→“上海自来水来自海上”；还有些字可以倒过来写：“士”→“干”、“吞”→“吴”、“呆”→“杏”学生感到有意思极了，纷纷跃跃欲试。
在“百分数的意义和写法”一课中，同样可以在生活中找到相应有趣的生活现象。请你说出下列成语所表示的百分数：九死一生→90%、十拿九稳→90%、百发百中→100%、半信半疑→50%、百依百顺→100%、百里挑一→1%、一无所获→0%。
通过教学，发现运用这种方式，课堂气氛活跃，学生兴致高涨，教学效果好。这种有趣的数学现象还有很多，如数学谜语等，只要我们做个生活中的有心人，多把数学与生活、与其他学科相联系，沟通，丰富数学的形式，不妨使严谨的数学娱乐一下，学生会学得更好。
10.正方体的羊圈
欧拉是数学史上著名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就。不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，他是一个被学校除了名的小学生。
事情是因为星星而引起的。当时，小欧拉在一个教会学校里读书。有一次，他向老师提问，天上有多少颗星星。老师是个神学的信徒，他不知道天上究竟有多少颗星，圣经上也没有回答过。其实，天上的星星数不清，是无限的。我们的肉眼可见的星星也有几千颗。这个老师不懂装懂，回答欧拉说：“天有有多少颗星星，这无关紧要，只要知道天上的星星是上帝镶嵌上去的就够了。”
欧拉感到很奇怪：“天那么大，那么高，地上没有扶梯，上帝是怎么把星星一颗一颗镶嵌到一在幕上的呢？上帝亲自把它们一颗一颗地放在天幕，他为什么忘记了星星的数目呢？上帝会不会太粗心了呢？”
他向老师提出了心中的疑问，老师又一次被问住了，涨红了脸，不知如何回答才好。老师的心中顿时升起一股怒气，这不仅是因为一个才上学的孩子向老师问出了这样的问题，使老师下不了台，更主要的是，老师把上帝看得高于一切。小欧拉居然责怪上帝为什么没有记住星星的数目，言外之意是对万能的上帝提出了怀疑。在老师的心目中，这可是个严重的问题。
在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，绝对不允许自由思考。小欧拉没有与教会、与上帝“保持一致”，老师就让他离开学校回家。但是，在小欧拉心中，上帝神圣的光环消失了。他想，上帝是个窝囊废，他怎么连天上的星星也记不住？他又想，上帝是个独裁者，连提出问题都成了罪。他又想，上帝也许是个别人编造出来的家伙，根本就不存在。
回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童。他一面放羊，一面读书。他读的书中，有不少数学书。
爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只。原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米。正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米（15＋15＋40＋40=110）父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。
小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划。他有办法。父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他。小欧拉急了，大声说，只有稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。
父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样便宜的事情？”但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美。父亲终于同意让儿子试试看。
小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁。他以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米。父亲着急了，说：“那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了，太小了。”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米。经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形。然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“现在，篱笆也够了，面积也够了。”
父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光。面积也足够了，而且还稍稍大了一些。父亲心里感到非常高兴。孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大有出息。
父亲感到，让这么聪明的孩子放羊实在是及可惜了。后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利。通过这位数学家的推荐，1720年，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生。这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生。
11.重力的妙用
有人说，引力是一个最大的向下拉的力，这种说法对吗？不对。引力不仅可以向下拉，也可以向两边拉，甚至可以向上拉，比如太阳对地球的吸引力就不是向下拉。
引力是两个物体之间的相互作用力，当只有引力起作用的时候，较小的物体被吸引向较大的物体。人们之所以认为引力的方向朝下，是因为大家早已习惯了巨大的地球对我们身体的吸引，而这个力我们一般把它叫做重力。重力发生作用有一个十分奇妙的方式：一个物体的所有重量似乎都集中在一个中心点上。如果一个物体有一个支撑基座，这个物体的重心必须正好落在基座上，否则物体就会翻倒。当物体呈规则形状时，象地球，我们很容易找到它的重心，这个重心就是它的几何中心；小孩子玩跷跷板时，跷跷板
在它的几何中心处于平衡状态，这个几何中心就是它的重心。但是，形状不规则的物体，如人体，它的重心和几何中心就不一定重合。
人体的重心是可以移动的，如运动员滑雪时，他就是不断地改变自身的重心来保持身体平衡的。
你能拾起放在你面前的一枚硬币吗？两腿并拢，脚跟靠墙站着，在你脚前33厘米远的地上放一枚硬币，你能
脚不动膝盖不弯拾起这枚硬币吗？怎么样？我想你是没法拾起这近在呎尺的硬币的。这是什么缘故呢？当你靠墙站直时，身体的重心就在你的双腿以上，当
身体向前倾斜时，重心也就跟着向前移动。为了保持身体的平衡，你的腿必
须向前迈，否则人就会跌倒。但是游戏规则规定了不能迈腿，你只能眼睁睁地望着唾手可得的东西而无法把它拿到手。如果你求胜心切，一定要设法拾起这枚硬币，那就非摔个嘴啃泥不可。
12.不勾在一起的两枚曲别针
拿一张一元钱的钞票和两枚曲别针，把钞票卷成S形。用曲别针短的那一头别住两层钞票，再用另一枚曲别针按同样的方法别住钞票的另一头。准备好了之后，两手分别抓住卷成S形的钞票的两头，迅速把钞票拉直，两枚曲别针就会飞到空中自动勾在一起。
虽然原来钞票上的两枚曲别针并没有挨着，但钞票拉直后它们都奇妙地
勾在一起了。这个现象在拓扑学上叫做曲线转移。原来那一元钱的钞票叠成的弧形，被拉直时，转移到曲别针上了。
如果你想把曲别针勾在一起的秘密弄个明白，你可以慢慢地把那一元钱的钞票拉直，也许会看出其中的奥妙。慢慢拉有时也能让曲别针勾在一起，但也有时勾不在一起。所以要想和别人玩这个游戏，一定得快拉。
13.铅笔与腰带
这个游戏，几百年来迷惑了不少人，今天你要是玩这个游戏，可能还会有人与你打赌的。游戏看起来很简单，而它的原理却运用了拓扑学。找一条内外两面颜色相同的腰带，把腰带内面向里对折。拿住对折处把它盘起来，盘起来的腰带当中呈一个S形，内面形成一个S形，外面形成另一个S形。在腰带内面的S形当中插上一支铅笔，用一手抓住腰带的两端一拉，盘起来的腰带松开了，而铅笔仍然套在当中，现在你可以用魔术师的口气对观众说：“谁能象我刚才那样，使腰带套住铅笔吗？”尽管你已经给大家作了示范表演，别人无论把铅笔插在哪里，盘起来的
腰带拉直后，是无法套住铅笔的，铅笔总是跑到外面去了。下面就是这个游戏的窍门：
1．假如别人把铅笔插到腰带外面的S中间，那你尽管抓好腰带的末端，腰带一松开，铅笔就出来了。
2．假如别人把铅笔插到腰带内面的S中间，你就得把腰带的一端朝腰带原来卷紧的相反方向绕一圈，再抓住两头一拉，铅笔就自然地脱离圈套了。因为当腰带一端向相反方向转一圈时，原来朝里的一面，就变为朝外了，套住的铅笔自然就会脱出来了。
注意：碰到第二种情况时，就装着把腰带绕紧，否则人家会看出破绽。腰带用两面颜色一样的，就是这个原因（为了区分正反面，可把图画成两种不同颜色）。
14.一张纸剪成两张
找一张旧报纸，用剪刀把报纸剪出一张5厘米宽的纸条，把纸条的一头翻个面，然后和另一头粘在一起，形成一个扭曲的纸圈。沿着5厘米宽的纸圈的中心线把纸圈剪开，你能剪出两个纸圈吗？剪完一圈，你会发现纸圈还是一个，不过比原纸圈长了一倍。这是什么原因呢？原来，这种扭曲的纸圈有一个奇妙的特点，它只有一个面，也就是没有正反面。这是千真万确的，不信你自己做一个这样的纸圈，用铅笔在纸上画线，铅笔划过整个纸圈后，又回到了它原来的出发点，这种纸圈在拓扑学上叫摩比乌斯环。
换个地方剪，你能剪出和上面一样的纸圈吗？还是按上面说过的方法做一个摩比乌斯环，用剪刀从靠纸边上三分之一的地方剪开。从头剪到尾，一直保持离纸边相同的距离。
15.数学随机现象
在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成截然不同的两大类：一类是确定性的现象。这类现象是在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。举例来说，在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。通常的自然科学各学科就是专门研究和认识这种必然性的，寻求这类必然现象的因果关系，把握它们之间的数量规律。
另一类是不确定性的现象。这类现象是在一定条件下，它的结果是不确定的。举例来说，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各棵种子的发芽情况也不尽相同，有强弱和早晚的分别等等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素又是人们无法事先一一能够掌握的。正因为这样，我们在这一类现象中，就无法用必然性的因果关系，对个别现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。
在自然界，在生产、生活中，随机现象十分普遍，也就是说随机现象是大量存在的。比如：每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生产的灯泡的寿命等，都是随机现象。因此，我们说：随机现象就是：在同样条件下，多次进行同一试验或调查同一现象，所的结果不完全一样，而且无法准确地预测下一次所得结果的现象。随机现象这种结果的不确定性，是由于一些次要的、偶然的因素影响所造成的。
随机现象从表面上看，似乎是杂乱无章的、没有什么规律的现象。但实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性。大量同类随机现象所呈现的这种规律性，随着我们观察的次数的增多而愈加明显。比如掷硬币，每一次投掷很难判断是那一面朝上，但是如果多次重复的掷这枚硬币，就会越来越清楚的发现它们朝上的次数大体相同。
我们把这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性，叫做统计规律性。概率论和数理统计就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科。
16.生活中的平移和旋转
平移现象：拉抽屉、从抽屉中拿出书本、火箭升空、行进中的自行车、行驶的汽车、升降国旗、火车沿笔直的轨道行驶、缆车沿笔直的索道滑行、滑滑梯、推车。
旋转现象：行进中的自行车轮胎、行驶的汽车轮胎、旋转木马、大风车、大观缆车。
生活中的锐角和钝角：（1）房屋的房脊一般属于等边三角形，顶上一个钝角，底下两个锐角；（2）六边形的花盆每个角均为180度钝角；（3）三角凳各腿之间的夹角60度锐角；（4）红领巾是三角形的，有一个大角，两个小角，大角是钝角，小角是锐角。（5）躺椅是钝角；（6）世界著名的金字塔、比萨斜塔；（7）钟表上1：30的时针和分针组成的角是钝角，1：15的时针和分针组成的角是锐角。
17.“负数”是数吗
对大家现在来说，这已不成问题，而在人类的认识过程中却经历了漫长的时期。
从数学发展史看，在使用负数和它的运算方面，中国在世界上处于遥遥领先的地位———距今大约2000年以前，就已经认识了负数，规定了表示负数的方法，指出了负数的实际意义，并进一步在解方程中运用正负数的运算。
在国外，印度大约在公元七世纪才开始认识负数。在欧洲，直到十二、三世纪才有负数，但这时的西方数学家并不欢迎它，甚至许多人都说负数不是数。
科学上的新发现往往会受到保守势力的反抗。当负数概念传到欧洲以后，新旧观点之间引起了激烈的冲突。这场大辩论延续了几百年，最后才逐渐取得比较一致的看法：负数和正数、零一样，也是数。
在这场大辩论中有一段小插曲，颇能引起人们的深思：
一天，著名的教学家、物理学家帕斯卡（Pascal，1623～1662年）正和他的好友，神学家、数学家阿尔诺（Arnauld，1612～1694年）聊天，突然，阿尔诺说：从来都是较小的数∶较大的数=较小的数∶较大的数，或较大的数∶较小的数=较大的数∶较小的数。
现在，居然出现（-1）∶1=1∶（-1）
这种“较小的数∶较大的数=较大的数∶较小的数”这类怪现象了！
阿尔诺的话当然引起人们的浓厚兴趣，甚至一部分人的疑虑——承认负数是数，你就得承认“小数∶大数=大数∶小数”这种怪现象。
其实，这是正常现象。当数的范围扩大以后，原有的数学现象，有一些被保留下来，也有一些现象不被保留下来。数的范围从正整数、正分数扩大到有理数，“大数比小数一定等于大数比小数”这一数学现象就不被保留下来。
18.没有捷径可以走
古希腊的阿基米德不仅是一个卓越的科学家，而且是一个很好的老师，他生前培养过许多学生，在这些学生中有一个特别的人物，他是希腊国王多禄米。
闲着没事的多禄米，有一天忽然心血来潮想学一点儿什么东西。当时，阿基米德已是一位十分著名的科学家了。多禄米想了一想，决定把阿基米德请来，拜他为师，学习一点几何知识。
接到国王召见，阿基米德不敢怠慢，急忙来到了皇宫。这里金碧辉煌，气势典雅。白玉大理石铺成的透明地板，水晶珍珠般的吊灯，雕龙刻虎的巨大梁柱，把整座宫殿装扮得格外豪华、漂亮。阿基米德一边欣赏着宫殿中的装饰，心中一边想，这些宏伟的建筑中不知凝结了多少科学家和劳动人民的智慧和心血，尤其是那些精巧、别致的设计，无不反映出建造者们在数学、特别是几何学方面很高的造诣。
从此以后，阿基米德就当上了国王的私有数学教师。刚开始上几何课时，国王挺认真，似乎下了决心要学好这门课。可是，时间一长，多禄米的兴趣就逐渐往下落了，尽管阿基米德讲授的几何学内容都很浅显，但对于不爱学习的国王而言，一堂课的时间简直比一年还长，他日益显出不耐烦的情绪。
对国王情绪的变化，阿基米德看到眼里，记在心中。他仍然一如既往的认真讲课。他细心而又耐心的向多禄米讲解着各种几何的图形、原理以及计算方法。可是多禄米对眼前出现的一个个三角形、正方形、菱形的图案毫无兴趣，有点昏昏欲睡了。阿基米德来到多禄米的身边，用手推推他。这位国王勉强睁开惺松的睡眼，没等阿基米德说话，他反而先问：“请问，到底有没有比你的方法简捷一些的学习几何学的方法和途径？用你这种方法实在太难学了。”
听了国王的问题，阿基米德思考着，冷静地回答道：“陛下，乡下有两种道路，一条是供老百姓走的乡村小道，一条是供皇家贵族走的宽阔的坦途，请问陛下走的是哪一条道路呢？”“当然是皇家的坦途呀！”多禄米回答得十分干脆，但又感到茫然不解。
阿基米德继续说：“不错，您当然是走皇家的坦途，但那是因为您是国王的缘故。可现在，您是一名学生。
要知道，在几何学里，无论是国王还是百姓，也无论是老师还是学生，大家只能走同一条路。因为，走向学问是没有什么皇家大道的。”国王多禄米眨巴着眼睛，似懂非懂地思考了一下，总算理解了阿基米德这番话的含意，于是重新打起精神，听阿基米德继续讲课。这个故事提示了一个道理：追求科学知识没有捷径可走，科学知识对任何人都是一视同仁的。正如伟大的革命导师马克思所说：“在科学的道路上，是没有平坦的大路可走的，只有在那崎岖小路上攀登的不畏劳苦的人们，才有希望到达光辉的顶点。”
19.打电话问题
某市市内电话收费标准是：前3分钟共0.2元（不满3分钟按3分钟计算），以后每打1分钟加0.1元，打长途电话的收费是：每10秒钟0.08元（不满10秒钟按10秒计算）。小明有一天打了若干个电话，共计话费1.96元。小明最多打了多少时间电话？
分析与解答：因为打市内电话收费标准比打长途电话的收费标准低，所以要求“最多打了多少分钟电话”，就要尽可能地多打市内电话。因为市内话费的收费标准是“前3分钟共0.2元，以后每打1分钟加0.1元”，如果全部打市内电话不可能出现话费尾数有“6分”，则1.96元话费中最少包含20秒的长途话费：0.08×2=0.16（元），那么市内话费合计：1.96-0.16=1.8（元）
考虑到市内话费前3分钟平均每分钟不足0.1元，如果超过3分钟以后每打1分钟加0.1元，所以每次通话时间以正好3分钟最为合算，则1.8元话费最多能打：1.8÷0.2×3=27（分钟）
因此，小明最多打了27分20秒电话。
20.神奇的小数点
黑乎乎的小家伙双手*腰，站在零国王的光头顶上，满脸不高兴的样子：“谁是跳蚤？你睁开眼好好看看我到底是谁？”
零国王也双手一腰：“你总呆在我头顶上，我知道你是谁？”“好，好，我跳下来，叫你仔细看看。”说完，小家伙“噌”的一声跳到了地上。
零国王定睛一看，高兴地说：“噢，是小数点呀！咱们可是好久没见面了。”
小数点左右晃了晃说：“可不是。咳，零国王，今天我带你去看个热闹，走！”小数点说完，也不管零国王是否同意，拉着零国王就走。
零国王拉着小华：“走，你也一起去看看热闹。”
小数点拉着他们来到一座舞台的前面。舞台上面挂着一幅横幅，上写“看谁的本领大”。两个块头大小差不多，个子高矮也差不多的数，在台上比试武艺。
两个数你一拳我一脚，打得好不热闹。台下观众也一个劲儿地叫好。
零国王一眼就认出来了：“这不是54和55嘛！这两个数比试武艺，谁也别想赢。”
小数点得意地摇晃着脑袋说：“我想叫谁赢，谁就能赢，你们信不信？”“不信！”零国王伸手往台上一指说，“我想让54赢。”“不信不要紧，看我的吧！”小数点三蹿两跳上了舞台。他往55的两个5之间一站，“呼”的一声，55立刻缩小为原来的十分之一
5.5大叫：“唉呀，我怎么变得这么小了？”“哈哈！”54一伸手就把5.5抓了起来，高高举过头顶，“你认不认输？”
5.5赶紧说：“认输，认输。你可千万别把我扔下台去。”
54把5.5放到台上，小数点乘机从5.5中溜了出来。“呼”的一声，5.5又长高成55。尽管55心里不服，可是也弄不清这是怎么一回事，只能低头认输。
下一个比赛项目是“看谁算得快”。比赛刚一开始，只见一个数举着一个大木牌子走上了舞台。大家见他牌子上写着4个大字“速算专家”。
零国王一眼就看出来了，上台的是数8。零国王点点头说：“嗯，数8计算能力很强，是个速算好手！只是脾气不太好，爱发火！”
数8把木牌立好，对台下观众说：“我的快速计算，赛过电子计算机。哪位不信，可以上台试试。”“我去凑个热闹。”小数点又跳上了舞台，冲着数8一点头说，“我来试试。”“好极了！”数8拿出一块黑板对小数点说，“请你在黑板上随便写出3个两位数。”
小数点拿起粉笔在黑板上写了62、23和18。
数8拿起粉笔说：“我也写3个两位数。”说完写出37、76和81。他把这3个数写在下面一行。
小数点弄不明白：“写出6个两位数干什么？”“把这6个数相加，看谁算得快。”数8从口袋里掏出一个计算器问，“你要不要计算器？”
小数点把脑袋一扭说：“哼，你也太小瞧我啦！算这么6个数，还要用什么计算器！我口算，你知道大家都叫我什么吗？”
数8摇摇头：“不知道。”“大家都叫我‘一口清’，也就是说，不管你有多少个数相加，我一口气就能把它们的和算出来！”小数点把头向上一仰就算了起来，“62加23得85，85加18得……”“停！”小数点刚做了一次加法，数8就叫他停下来。
小数点忙问：“为什么叫我停下来呀？”
数8笑了笑说：“我已经算出来了，结果得297。”小数点不信，接着算，其和也得297。“嗯？真神啦！”小数点不服气，又连算了两次，结果数8算得一次比一次快，小数点连一次加法也没做出来就输了。
数8笑嘻嘻地拍着小数点的头，问：“怎么样？服不服？”
小数点无可奈何地点了点头：“我算服了你这位速算专家啦！”“小数点，小数点，你快过来！”
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