作者：梁滨,宋柏生
出版社：东南大学出版社
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高等数学试题选析试读：
前言
毫无疑义，高等数学课程的首要目标，是使学生掌握学习专业课必备的数学基础知识。但是，更重要的目标，是通过数学知识的教与学，培养学生思维的优秀品质——严密的逻辑思维能力、灵活的辩证思维能力、丰富的想象力、清晰的推理能力，最终落实到过硬的分析实际问题、解决实际问题的能力上来。简而言之，就是“严而不僵，活而不乱，善于想象，条理清晰”。
无论是使学生掌握必备的数学基础知识，还是培养学生思维优秀品质，除了学生主体自身的努力之外，都离不开一本优秀的教学教材，离不开一群优秀的数学教师，也离不开一套优秀的数学练习，这是活化知识、培养能力必不可少的三环。我们编写的这本《高等数学试题选析》，就是向这个目标迈出的又一步。其中的例题是从本院及东南大学近年的试题中精选出来的，并汲取了少量考研题、竞赛题。在例题解答的前面紧扣题目给出了较为详尽的分析，有的解答后面还对规律性问题以及需要特别注意的问题反复给出提示，力争成为培养思维优秀品质、培育善思新一代的手段之一。为方便学生使用，内容基本上按教材的章节次序编写，下分若干单元。我们不求深，不求全，也不求巧，只求引起对培养思维优秀品质、培育善思新一代的重视。当然，培养思维优秀品质是一个长期的磨练过程，不可能一蹴而就。不过，从“现在”开始，必有大益。
宋柏生教授确定了全书的总体结构和各章编写原则，提供了大量试卷和试题。全书共分8章，第1、5两章由梁滨执笔，第2、7两章由周贤执笔，第3、6两章由王蕾执笔，第4、8两章由尹群耀执笔。全书由梁滨统稿。
本书的组织筹划与出版过程中得到了宋柏生教授、董梅芳副院长和姚灼云副院长的大力支持，在教学实践和编写的过程中得到了课程组同仁们的许多帮助，在此一并表示衷心的感谢。编者2010年6月于东南大学成贤学院1极限与连续1.1数列和函数的极限一、例题精讲
1．下列命题中错误的是（ ）．+n（A）若∀ε＞0，∃N∈N，当n＞N时恒有｜X－a｜＜kε（其中k为正常数），则+n（B）若∀ε＞0，∃N∈N，当n≥N时恒有｜X－a｜＜ε，则+n（C）若∀ε∈（0，1），∃N∈N，当n＞N时恒有｜X－a｜＜ε，则nn（D）若∀ε＞0，有无穷多个X使｜X－a｜＜ε，则+n（E）若∀k∈N，只有有限多个X在区间之外，则+
分析：（1）∀ε′＞0，取必有ε＞0．于是∃N∈N，当n＞nN时恒有｜X－a｜＜kε＝ε′．根据数列极限的定义，得可见选项（A）正确．n（2）数列极限定义中“当n＞N时恒有｜X－a｜＜ε”是“数列nn｛X｝中存在某一项，这一项以后的所有项都具有｜X－a｜＜ε特n性”的精确描述．由于N只需具有“存在性”（不一定是使｜X－a｜n＜ε恰好成立的最小值），故“当n≥N时恒有｜X－a｜＜ε”，也是n“数列｛X｝中存在某一项（至少说明存在第（N－1）项），这一项n以后的所有项都具有｜X－a｜＜ε特性”的精确描述．可见选项（B）正确．（3）∀ε′＞0，若ε′是正小数，取ε＝小数部分（ε′），必有ε∈+n（0，1），于是存在N∈N，当n＞N时恒有｜X－a｜＜ε≤ε′；若ε′是正n整数，由于∀ε∈（0，1），当n＞N时恒有｜X－a｜＜ε和ε＜ε′，故恒n+有｜X－a｜＜ε′．综上所述，可得∀ε′＞0，∃N∈N，当n＞N时恒有n｜X－a｜＜ε′，根据数列极限定义，得可见选项（C）正确．nn+（4）“有无穷多个X使｜X－a｜＜ε”，不能保证“∃N∈N，当nn＞N时恒有｜X－a｜＜ε”．例如nnn∀ε＞0，有无穷多个X使｜X－1｜＜ε（只要n≠10的倍数时就有｜X－1｜＝｜1－1｜＜ε），但是（事实上，不存在）．可见选项（D）错误．+n（5）∀ε＞0，取必有k∈N，于是只有有限多个XnN在区间之外．设这个有限多个X中下标最大者为X，于是当n＞N时恒有根据数列极限的定义，得可见选项（Ｅ）正确．
解：选项（D）入选．
提示：（1）深刻理解数列极限的定义，对于论证和求解有关数列极限的问题都是十分重要的．灵活运用上列选项中的正确命题，将给论证和求解带来极大的方便（在论证和求解函数的极限时也可以用类似的思想方法解决问题）．（2）在研究“确定数学”（高等数学就是其中的一门）有关问题时，肯定一个命题必须进行严格论证；但是，否定一个命题往往只需要举出一个反例．上述分析中，否定选项（D）就是运用了“举出一个反例”的方法，希望同学们在今后的学习中注意掌握和应用．（3）在初等数学中，我们主要研究只用一个表达式就可以表示的初等函数，而高等数学的研究对象不仅仅是初等函数，否定选项（D）的反例就是一个非初等函数．希望同学们在研究高等数学问题中，要想到“函数”也包括非初等函数（例如分段函数形式的非初等函数）．（4）许多选择题都是要求选择正确的选项，但是也有不少选择题要求选择错误的选项，本例就是如此的选择题．这类问题，对于培养辩证思维能力大有益处，希望同学们在解题时注意审题．n
2．证明：数列｛X｝收敛于零的充要条件是其绝对值数列｛｜nX｜｝收敛于零．
证：（1）充分性（要从）
∵+nn
∴∀ε＞0，∃N∈N，当n＞N时恒有｜｜X｜－0｜＜ε，即｜X－0｜＜ε，
∴（2）必要性（要从）
∵+n
∴∀ε＞0，∃N∈N，当n＞N时恒有｜X－0｜＜ε，进而可得｜｜nX｜－0｜＜ε，
∴
提示：（1）条件是不是结论的充分条件或必要条件，在分析和解决理论问题或者实际问题时意义重大．这里利用极其简单的上述命题帮助同学们复习一下常见的充分性和必要性的证明过程，熟悉一下根据定义证明极限的过程．（2）有关充要性的论述有下列两种常见形式：①“A是B的充要条件”，在这种形式中A是条件，B是结论；②“A的充要条件是B”，在这种形式中B是条件，A是结论．（3）从条件出发能够必然地毫无例外地推出结论，这说明条件是结论的充分条件；从结论出发能够必然地毫无例外地推出条件，这说明条件是结论的必要条件（因为它的逆否命题是“没有所述条件就必然地毫无例外地没有所述结论”，而逆否命题和原命题是同真同假的）．n
3．证明：数列｛X｝收敛于非零常数a，仅仅是其绝对值数列n｛｜X｜｝收敛于｜a｜的充分条件．
证：（1）首先证明本例中的条件是结论的充分条件．+n
∵∴∀ε＞0，∃N∈N，当n＞N时恒有｜X－a｜＜ε．nnn
而｜｜X｜－｜a｜｜≤｜X－a｜，∴｜｜X｜－｜a｜｜＜ε，∴n（2）其次证明本例中的条件（数列｛X｝收敛于非零常数a）不n是结论（绝对值数列｛｜X｜｝收敛于｜a｜）的必要条件，即从不能必然地毫无例外地推出可以举反例，证之如下：nnn
对于数列｛X｝：X＝（－1），但是（其实不存在）．可见不是的必要条件．
提示：（1）许多定理，条件仅仅是其结论的充分性条件而非充要条件．本例中的条件就是如此的条件．因此，定理的逆命题和否命题可能为真，也可能为假，希望同学们务必牢记．
上例和本例两个命题在许多数学问题中有着广泛的应用，也希望同学们务必牢记．（2）在根据定义证明极限的过程中，要注意根据证明的要求灵活地运用有关的绝对值公式：｜x｜＋｜y｜≥｜x＋y｜，｜｜x｜－｜y｜｜≤｜x－y｜，｜x｜·｜y｜＝｜xy｜，（其中y≠0）和
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]