作者：（俄）雅科夫·伊西达洛维奇·别莱利曼
出版社：石油工业出版社
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别莱利曼的趣味几何学试读：
前言
我们从来都不需要去质疑孩子们的好学精神，尽管有些小家伙宁可在外面游荡，也不愿意坐在教室里安静地听课。我想，他们之所以不喜欢听那些烦琐的科学知识，一定是因为我们讲得还不够有趣，不足以抓住他们的心。
的确，科学的世界非常神秘，以至于我们对它还只是一知半解，所以各式各样的学科知识听起来是那样无趣和艰涩，然而人类的实际生活却离不开它们，诸如代数、几何、物理、化学、天文，等等。那么，怎样才能让孩子们心甘情愿地走进这些学科的世界呢？无非就是引发他们的兴趣而已。
其实，科学远远不如我们想象中的那么难，它寓于生活，寓于娱乐，寓于文学，寓于大自然。比如，凡尔纳和威尔斯的科幻小说到底藏了多少秘密、“被砍下的人头会讲话”魔术、能够千变万化的万花筒、可以让人的身高不断变换的石板、为什么植物会飞行、聪明的地板商如何让自己赚最多的钱等，这些现象都是含有深刻的物理、数学原理，可以用科学知识来解答。当你了解了这些知识后就会对它们感兴趣，愿意走进它们的世界。
如果你能从生活当中抓出这些有趣的事情讲给孩子们，并把原理解释给他们听，我想他们一定会追着你，变成小科学迷。
每个孩子都抵抗不了奇谈、趣闻和故事的诱惑。在文学和历史的世界里，他们都能聆听到许多引人入胜的故事，但事实上，科学世界里同样也很精彩。我将过去所看到的书籍、听到的趣事，以及人生经历中有关科学的现象和内容都写在了这里。现在，就让我们来用科学的原理、准确的公式和智慧的头脑把它们的秘密解开吧，真相永远只有一个，不是么？
我相信，兴致勃勃地要求学习知识远比被父母勒令去学习要好玩得多。当然，科学谜题有太多值得我们去挖掘，科学技术也在不断发展和变化，我终其一生都不可能将之完全展现出来，也不可能全部解答，我只希望笔下这些文字能给孩子们带去一些乐趣，也让他们的智慧更加丰腴。第一章 如何给树木做测量——树林中的几何学1.1 太阳阴影测高法
年少时的我时常到林中玩耍，有一次我遇见了一位秃顶的看林老人，他在一颗大松树下摆弄着一个四方木板样子的东西。我问他在干什么，他回答说他正在用仪器测量松树的高度。我以为他正准备带着那个小巧的仪器爬上树梢去量树高，然而他丝毫没有上树的意思，反而把那台小仪器装回到自己的口袋中，并告诉大家他已经测量完毕。
这件事在当时令我十分惊奇，即使到现在我依然难忘那种震撼。要知道，对于当时年幼无知的我而言，测量树高的方法应该只有依靠把树砍倒或者费力爬上树梢测量这样的笨办法，但是这位秃顶的看林人仅仅用一个小仪器就测量出大松树的高度，这简直是神奇无比的魔术！
长大以后，我渐渐接触到了一些几何学基本原理，才终于明白童年时百思不得其解的奇妙魔术只不过是对最基本原理的简单运用罢了。
通过运用几何学基本原理来进行测高的方法其实数不胜数，其中最古老的测高法便是古希腊哲学家泰勒斯利用阴影对金字塔进行测高的方法。
这是公元前六世纪特殊的一刻，在这一刻，人在太阳光投射下的影子长度与人的身高相等。而正是这一刻，就在埃及最高的金字塔脚下，在疑惑的法老和祭司们面前，泰勒斯完成了对宏伟金字塔测高的[1]任务。因为在那个时刻，金字塔投下的阴影长度正好与其高度相等，泰勒斯通过测量阴影的长度得到了金字塔的高度。
泰勒斯能借助阴影解决金字塔高度的难题，是因为他发现了关于三角形的其中一个特性。而关于三角形的其他特性，在泰勒斯之后的很长一段时间，也被另一位希腊数学家欧几里得所发现，并撰写出一部著作，成为两千年来人们学习几何学必不可少的教材。一些今天我们每一个中学生都熟知的定理，其实都来自于这部书当中，也正是有了泰勒斯、欧几里得这样无数前人的努力，才使得我们现在能站在巨人的肩膀上去看待思考这些问题。
现在我们知道，泰勒斯当年使用的方法其实非常简单，它包含了关于三角形的以下两个特性（泰勒斯发现了其中的第一个特性）：（1）等腰三角形两底角相等，等角所对应的两边也相等。（2）任意三角形的三个角度之和为180°。
正是由以上的特性，泰勒斯推断出，当一个人的身影和他的身高等长时，太阳光应该正是以45°角投射到平地上。因此，金字塔的塔尖顶点、塔底中心点和塔的阴影端点之间正好构成了一个等腰直角三角形。
但是，虽然泰勒斯的这个方法在晴朗的日子里对独立的树木进行测量十分简便，却有很大的局限性。一方面，如果在树木林立的树林里测量，树木的影子往往会与旁边树木的阴影重叠在一起，不便于测量。另一方面，在一些高纬度地区，太阳经常低垂于地平线上，很难等到合适的测量时机（人的影子长度与身高相等），只有等到夏季的正午时分，才可使用这个方法。
不过这个局限并非不可克服，只要略加改进，我们并不一定非得等到那个特殊时机才可测量。在测高时，除了要先测量出所测物的阴影长度外，我们还须另外测出自己的身影或者一根木杆的阴影长度，这样根据它们之间的比例计算就可得到所测物的高度了（图1）：AB∶ab=BC∶bc
其实这是利用相似三角形的相似性原理所推出的，简单说来，就是树影长度是你身影长度的几倍，树高也就是你身高的几倍。图1 用阴影测量树的高度
但是我们要做的并非死记这个规则，而应该真正掌握这其中的几何学原理，因为在另外一种情况下，这个规则就并不适用了。
如图2所示，在路灯灯光投射出阴影的情况下，木柱AB比木桩ab大约高出两倍，然而木柱的阴影BC却要比木桩bc的阴影多出约七倍。这是因为太阳光线和路灯光线并不一样，路灯是点式光源，所以其光线是发散的，而太阳光线则是彼此平行的。图2 在什么情况下不适用这种测量方法
读者也许会质疑，既然太阳光线在放射出的瞬间就已交织在一起，何以判断出太阳光线是平行的？的确，从理论精确的角度讲，太阳光线的确存在角度，只是这个角度小的几乎可以忽略不计。
举这样一个简单的几何学计算就能证明：假设从太阳某点放射出的两道光线，落在了地球表面相距1千米的两个地点，而有一把无限大的圆规，我们可以把圆规的一只脚放在发射光线的那个点上，另一只脚以日地距离（即150000000千米）为半径画一个圆。通过计算，两道光线半径之间的圆弧长度达到1千米。而这个画出的巨大圆周长应为2π×150000000千米≈942000000千米。
该圆周每一度的弧长都是圆周的，长度约为2600000千米：所以一弧分是一度的，也就是43000千米；而一弧秒则是一弧分的，也就是720千米。而我们假设的圆弧长只有1千米，因此，与之对应的角只是秒。再精确的天文仪器，也难以测量如此微小的角度。所以，在测量的实践中我们完全可以认为太阳光线之间是彼此平行的直线。
在阴影测量法具体运用的实践中，还存在一个问题：由于太阳并不是一个点状光源，而是由无数点及其放射出的光线所组成的巨大发光体。所以太阳光投射出的阴影尽头总有一道轮廓不清晰、颜色暗淡的半影，我们总是很难确定其界限，所以无法做到完全精确地测量出阴影的长度。
如图3所示，树影BC段后面就有一段半影CD，而半影CD与树顶A形成的角度CAD与我们平时看太阳圆面时所夹的角度其实是相等的，这个度数大约是0.5°。因此即便在太阳所处位置并不低的时候，对这两个阴影测量的不精确所带来的误差也可能达到5%以上，有时再加上地面不够平坦等不可避免因素，使得测量结果存在的误差可能较大。因此，在一些诸如山区的地方不宜采用阴影测高法。图3 形成的半影1.2 两种简单易行的测高法
除了借助阴影，还有什么办法可以简单快捷地测量出我们需要的高度吗？答案是肯定的。只要掌握了几何学的基本原理，我们就可以组合出千变万化的测量方法，下面再介绍两种比较简便易行的方法。
一种方法是自制简易测量仪。测量仪所需材料十分简单：一块一面光滑的木板，一张纸，一支笔，三枚大头针，一个小重物。这些材料即使是野营时也不难找到。找齐材料以后，需要在木板光滑的一面上画一个等腰直角三角形。这时如果你身边并没有能画出直角的三角板或者可以画出等边的圆规，你可以把纸片对折两次，就可以得到一个直角。再利用这张纸三角形的直角边量出相等的距离。总之，发挥你灵活的脑筋，办法总是多种多样。当等腰直角三角形画好以后，就把三枚大头针分别钉在三角形的三个顶点上，测量仪的制作就算完成了（图4）。图4 大头针测高仪
使用这个仪器的时候，应该在与被测树木有一定距离的地方，手持仪器，在a点上绑一根下端系小重物的细线，使得三角形的直角边ab始终与地面垂直。然后，人往树的方向靠近或者离开，通过移动找出点A（图5），使得当从点A经a和c朝树顶C方向望去时，无法看到树顶C。这就意味着此时直角三角形的斜边（弦）ac的延长线通过了点C。即aBC构成直角三角形，而因为角a=45°，所以aB=BC。
又因为AD=aB，所以你只需在平地上量出你与树木之间的距离AD，再加上与你身高相等的BD，就可得到树高CD了。图5 使用大头针测高
如果你还是嫌制作仪器麻烦，下面还有一种更简便的方法。不需要制作仪器，你只需要找到一根长木杆，把它垂直插入地面，使其露[2]在地面上的高度等于你的身高（图6）。但是你需要选择这样一个插杆地点，如图6所示，当你面朝上躺在地上时，应该可以看到树顶和木杆顶端在同一直线上。因为这时三角形Aba是等腰直角三角形，所以通过测量AB就可得到所求的树高了。图6 另一种测量树高的方法1.3 小说中的测高妙法
测高的方法多种多样。作为作家，儒勒·凡尔纳也曾在其著名小说《神秘岛》中为大家生动地展示了一种巧妙的方法。“我们今天得去量一下那个眺望岗的高度，”工程师说。“需要带上什么工具吗？”哈伯特问。“不需要，什么都不需要带。今天我们要用另外一种同样简便又准确的方法。”
小哈伯特希望尽可能多地学些东西，于是他跟着工程师，走下了花岗岩壁，往岸边方向走去。
在测量开始前，工程师先用一根长的直木杆与自己比对，他要再确认一下木杆的长度是否与自己身高相等，尽管他对自己12英尺的身高不可能不了解，这也只是为了使测量能更加精确。
至于哈伯特，他拿着一个工程师之前让他拿着的一个悬垂，跟在工程师身后。与其说是悬垂，其实就是一块系在绳子下端的小石块。
在他们走到大约离花岗岩壁还有500英尺时，工程师把木杆插入沙土大约2英尺深的地方之中。在固定好木杆后，他又用悬锤调整木杆，使它垂直在地面上。
接着，他在离木杆有一段距离的沙地上躺下，眼睛正好可以看到木杆的顶端以及峭壁的边缘在同一直线上（图7）。在躺下的地方他仔细用木橛做了一个记号。“你了解几何学的基本常识吗？”工程师起身问哈波特。“了解。”“你记得相似三角形的特性吗？”“它们的相对应的边成比例。”图7 儒勒·凡尔纳小说里主人公在测量岩壁的高度“对的！我就是正在试图构造两个相似的直角三角形来帮助我们完成测量。你看到没有，我把这根垂直的木杆作为小三角形的其中一条边，而木橛与杆脚之间的距离是另外一条边。至于弦则由我的视线充当，对了，我的视线还是大三角形的弦，它们两者在同一直线上。至于大三角形的另外两条边，分别是我们要测量的岩壁高度，还有从木橛到岩壁脚之间的距离。”“我懂了！”小伙子兴奋地大喊。“木杆和岩壁的高度之比，不正是木橛分别到木杆和岩壁脚之间的距离比吗！”“你说的完全没错，就是这样。所以我们根本不需要直接去测量岩壁的高度，只要我们测量出比例算式中的前面三个项，也就是你刚刚说的两个距离，以及木杆的高度，我们完全可以通过计算得到所需要的岩壁高度，因为那正是比例算式中的第四个未知项。”
两个水平距离测量的结果分别是：小三角形的直角边为15英尺，而大三角形的直角边为500英尺。
结束测量后，工程师记录如下：[3]15∶500=10∶x，
所以计算可得岩壁高度约为333英尺。1.4 侦察兵的测高绝招
上述介绍过的几种测量高度方法都要求人必须躺在地上，但有时这样并不太方便。在伟大的卫国战争时期，侦察兵就使用了一种不需要躺下就可以测量高度的方法。
在战争前线，当时的中尉伊万纽克的分队接到一个命令，必须如期在山涧上造出一座桥。造桥需要大量木材，然而山涧对岸已被法西斯占领，中尉只能派出由上士波波夫率领的侦查小组前往附近的一片树林去测量常见树木的直径及高度，以算出架桥所需要的树木总数。
侦察兵们面对一棵棵高大的树木，借助一根测量的木杆，完成了测量（图8）。图8 使用测量杆测量高度
侦察兵在距离被测树木不远的地方，把一根比自己稍高的木杆垂直插入地里。接着面朝大树沿着Dd的延长线往后退，直到当自己面朝树顶时可以看到木杆顶端b与树顶B在同一直线上的A点为止。然后头部不动，眼睛望向水平直线aC的方向，在木杆和树干的cC两点做好标记。
接着，侦察兵根据相似三角形abc和aBC的对应关系，从比例式BC∶bc=aC∶ac计算出：
bc、aC和ac的距离都可直接测出，计算得到BC值，在与可直接测得的CD相加，便得到树木的高度了。
正是依靠侦察兵这种简便准确的方法，得到了架桥所需的树高数据，中尉得以及时确定架桥地点和方式，架桥的战斗任务也得以如期顺利告捷。1.5 笔记本也可以做测量仪
有时候，利用一些日常生活用品的辅助进行测高，往往会有意想不到的效果。例如：你有没有试过用那种可以装在口袋里的袖珍笔记本（笔记本沿边插有铅笔）进行测量呢？在这里运用的依然是相似三角形的原理。
如图9所示，把笔记本垂直举在一只眼眼前，使插有铅笔的一侧朝向被测物体，然后把铅笔慢慢垂直往上推，直至从眼睛a点向上望时可以看见铅笔尖b与树顶B同在一条直线上。此时，三角形abc和三角形aBC相似，BC可以通过下列比例式计算求得。BC∶bc=aC∶ac
而bc、aC和ac的距离可以通过直接测量得出，要求得所求高度BD还需要CD的长度，又因为CD的距离与人眼和地面的距离相等，因此只要量出Aa即可。
如果你仔细想想会发现，由于笔记本的宽不变，当你与被测物的距离总是一定时，树高就完全体现在铅笔被推出的bc部分上了。所以，如果你做个有心人，预先计算好铅笔被推出的不同长度分别对应了哪些高度值，并把它们标记在铅笔杆上，你就拥有了一部可以装在口袋里并带有刻度的测高仪了！图9 使用笔记本测量树高1.6 远远地也可以测量
有时候，如果我们想测量一棵大树的高度，却由于某种原因无法靠近树木进行测量，上述的办法因此皆无法施行，那该怎么办呢？
答案很简单，借助一部巧妙的仪器就可以解决难题，而这部仪器也并非运用了多么高端的技术，同样通过自制就可以完成。如图10，可以把两条长条板固定成如图直角，使得ab等于bc，bd为ab的一半即可。又或者在一块合适的木板上，把四枚大头针相应钉在a，b，c，d四个点的位置上，也同样可以制作仪器。图10 怎样使用两个板条制作的最简单的测高仪测高
测量时，先利用悬锤调整好板条cd的垂直度，然后先后在两个地方进行测量（图10）。从点A开始时，应把仪器的c端朝上。测完后，应在距离点A有一定距离的点A′测量，此时应把仪器的d端朝上。注意选择点A时应使从点a朝c端望去时，可见其与树梢B在同一直线上。同理可以这样选择点A′，当从a′点向d′望去时，可看到d′与B重叠。测量工作的关键在于找到点A和A′这两个点，因为被测树高的一部分BC等于距离AA′。从下列算式可以很容易地弄明白BC等于AA′的相等关系：因为aC=BC，a′C=2BC所以a′C－aC=BC
在无法靠近大树测高的时候，这个仪器帮了我们一个大忙。当然，如果在可以走近树木的情况下使用这个仪器，仅需要找到A或A′其中一点就可以完成测量，更是方便。1.7 林业人员的测高仪
上面介绍了那么多自制简易测高仪的方法，都比较粗糙简陋，其实跟林业人员在实际工作当中使用的“真正的”测高仪还是很有区别的。下面就来介绍一下其中的一类，我对它稍微做了点改动，是为了方便大家可以自己制作。
图11是测高仪的构造原理。当测量的人拿着这个由硬纸板或者木板所做成、标有abcd位置的方形物时，向ab边方向望去，通过调整仪器的倾斜角度，使树梢B与ab边在同一直线上。此时在b点系一根细绳，下端系以小重物q。在垂直的
细绳与dc线的交叉于n点。由于三角形bBC与bnc都是直角三角形，且由于锐角∠bBC与∠bnc相等，因此两个三角形相似，我们可以得出如下比例式：BC∶nc=bC∶bc因此图11 森林工作者使用测高仪示意图
bC、nc和bc都是可以直接测量得出的，根据比例可得BC。所以要得到树高，还需要测出树干下部的长度CD，即仪器距离地面的高度。两者相加即可。
之前提到笔记本测量仪可以通过预先计算标量刻度，这个测高仪同样可以。如果我们把木板的bc边留成10厘米长，而在dc边上画出厘米刻度，nc/bc的比例就体现为十分之几的分数，这意味着可以直接指示出树高BC占距离bC的十分之几了。打个比方，假如悬锤的线停到刻度5的位置（nc=5厘米），则此时树木处在眼睛水平高度以上的高度是观察者距离树干距离的（0.5）。
在观测方法上我也做了一个改动。如图12所示，在方纸板的上角折出两个小方形，分别穿上一大一小两个孔眼，把小的放在眼前，通过大的眺望树梢，更加方便我们沿ab线进行观看。图12 林业人员使用的测高仪
图12中所示的仪器与实物尺寸相同，平时就可以放在口袋中，非常实用。例如在旅途当中，你可以利用它很快测量出如大树、电线杆、建筑物的高度。这种仪器制作不难，只要掌握了方法，每个人都可以自己制作一个。（该仪器是本书作者研制的“户外的几何学”工具系列之一。）
［题］这种测高仪能否用来测量无法靠近的大树？如果可以，如何使用？
［解］很显然，这种测高仪当然可以用来测量无法靠近的大树。只要使仪器的A和A'点与树顶B同处一条直线（图13）。假设经测量得出，BC=0.9AC，则在A′点，BC=0.4A′C。由此，我们可得，得出所以
可见，要得到难以靠近的大树高度，只需要测量出两个观测点之间的距离AA′，再根据比例计算得出。图13 怎样测量难以靠近的大树的高度1.8 镜子测高法
［题］借助镜子也可以测量树木的高度，你知道吗？如图14，如果把一面镜子平放在距离被测树木附近的C点上，然后观测者从C点退后到D点，使得在D点时可以从镜中看到树顶A点。那么这时候树高AB是观测者身高ED的多少倍？从镜子到树根距离BC是从镜子到观测者距离CD的多少倍？图14 使用镜子测量树的高度
［解］由光的反射定律可知，由于树顶A（图15）在A'点上反射出来，所以AB=A′B。又因为三角形BCA′和CED相似，可得知：A′B∶ED=BC∶CD
又因为A′B与AB相等，因此比值可求。图15 用镜子测高的几何示意图
镜子测高法与光的反射定律相关，在任何天气条件下都可以使用，十分简便易行。不过这种方法也存在局限，就是只能测量独立的树木，而不宜在密林当中使用。
［题］用镜子测高法能否测出无法靠近的树木高度？如果可以，如何使用？
［解］可以测出。通过两次运用即可。首先把镜子分别放在两个地方进行测量，利用两个相似三角形的关系比例可推出，树高应为人眼距离地面距离乘以镜子两次测量位置的距离与观测者和镜子距离之差比。
其实这道题是五百年前的经典古题，中世纪数学家安东尼·德·克莫雷纳曾在其著作《土地的实用测量》（1400年）中对其作过详细研究。
关于测量树高的问题已经谈了很多，在下面的论述中我将再给读者留一道与之相关的计算题。1.9 两棵松树之间的距离
［题］有两棵松树，经测量一棵为31米，另一棵为6米。两棵松树间的距离为40米。求两棵松树树梢之间的距离。
［解］根据勾股定理，两棵松树树梢间的距离等于1.10 怎样测量大树的体积
好了读者朋友们，前面介绍过六七种测量树高的方法，相信现在的你如果独自在林中漫步，想要对任何一棵树木进行测高都将是一件信手拈来的事情。这证明了几何学的原理离我们并不遥远，它就在我们的生活当中，只要你掌握了它，不但可以为生活带来莫大的方便，同时还有无限的乐趣。
于是，现在的你是否迫不及待地想继续用这样简单的几何学原理去解决一些同样普遍的生活问题呢？例如在学会了测树木的高度以后，你是否还想试着测量树木的体积、重量，看看一棵大树可以产生多少木材，再算算多少辆卡车才能把大树运走？且慢，虽然这两个问题与测树高看起来似乎在同一个级别，却远非这么简单。即使是专业的数学家们至今也并没有破解出这两个问题的精确算法，只能求出其近似值。
这是因为树木是不规则的形体，即使一棵已被砍倒、树皮被剥光、看起来再光滑平整的树干，也不是一个真正的圆柱体、圆锥体甚至或许是截圆锥体。有读者可能会觉得树干是圆柱体，但是其越接近树梢的部分越细。又有人可能会问既然它越往树梢越细，是不是圆锥体？然而它的“生成线”并不是直线，而是曲线，并且不是圆弧，而是一[4]种向树干中轴凸起的曲线。总之，树干不同于上述所说的任何一种可以通过公式计算得出体积的几何体。
所以说，在初等数学的范畴中，我们无法通过公式计算得到树干的体积。只有运用到高等数学中的积分法，我们才可以大致计算出树干的体积。由此也证明，高等数学并不是只属于某些特殊高端的对象，测量一根普通的圆木也得请它帮忙；同样初等数学也并不是只限于解决日常生活中的问题，有时候要计算出某颗恒星或行星的体积，运用公式计算就十分精确。因此，很多人的思维定式需要被破除。
但是，我们在这里也并不打算向大家介绍高等数学以求出树干较为精确的体积，用初等数学的方法求得一个大概的近似值就差不多了。
所以，我们可以这样做出假设：假设树干与截圆锥体体积相当，或者说带有树梢的树干与圆锥体积相当，而一段很短的圆木则与圆柱体体积相当。因为上述三个几何体的体积都可以分别通过公式计算得出。不过，假若有同时适用于三者的体积计算公式，对我们而言就更为方便，因为我们无需细究树干的形状到底与哪个几何体更为相似，而可以直接算出其体积的近似值了。1.11 著名的万能公式
世界上真的存在万能公式吗？答案是肯定的，而且它不仅适用于上述所提的圆柱、圆锥和截圆锥体，还可以普遍适用于所有种类的棱柱体、棱锥体、截棱锥体，以及球体。这就是被称作“辛普森公式”的著名万能公式：123
其中：h是立体的高度，b是下底面积，b是中部截面积，b是
试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]