魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量(txt+pdf+epub+mobi电子书下载)

作者：[美]乔丹·艾伦伯格（JordanEllenberg）

出版社：中信出版社

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魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量试读：

献给坦妮娅（Tanya）学习数学的精髓时不能只抱着应付差事的心理，而应该把这些知识融入日常思维，并通过各种激励手段使它们反复出现在你的脑海里。——伯特兰·罗素（Bertrand Russell），《数学研究》（The Study of Mathematics）引言数学知识什么时候能派上用场呢？

在地球上某个地方的一间教室里，一位数学老师布置了30道定积分练习题作为学生的周末作业。要做完这些题，肯定需要花费大量时间，因此，一名学生大声地表达了自己的疑惑。

这名学生的兴趣非常广泛，但是她对做数学题几乎没有任何兴趣。她自己也清楚这一点，因为上个周末，她就花了好多时间完成另外30道（其实没有多大区别的）定积分练习题。她看不出做这些题有什么意义，于是与老师进行了交流。交流过程中，这名学生准备提问老师最不愿意回答的问题：“这些知识我什么时候能用上呢？”

这位老师很可能会这样回答：“我知道这些题目非常枯燥，可是你别忘了，你还不知道自己将来会选择什么样的职业。现在，你看不到这些知识与你有什么关系，但是你将来从事的职业有可能非常需要这些知识，所以你应该快速准确地完成这些定积分练习题。”

师生两人都知道这其实是一个谎言，而且学生通常不会对这样的回答感到满意，毕竟，即使有的成年人可能会用到积分、（1–3x+4x2）–2dx、余弦公式或者多项式除法等知识，人数也屈指可数。

这个回答就连老师也不会满意。我对于这一点很有发言权，因为在我多年担任数学老师的时光里，我就为成百上千的大学生布置过很多定积分练习题。

值得庆幸的是，对于这个问题，我们能找到一个更好的答案：“尽管一些数学课程会要求你完成一道又一道计算题，让你觉得这些机械的计算过程不榨干你的所有耐心与精力就不会罢休，但事实并非如此。学习数学必须计算这些定积分题，就像足球运动员需要接受举重与韧性训练。如果你希望踢好足球（我是指抱着一种认真的态度，达到竞技水平），就必须接受大量枯燥、重复、看似毫无意义的训练。职业足球运动员在比赛时会用到这些训练内容吗？不会的，我们从未在赛场上看到有足球运动员举杠铃或者在交通锥之间穿梭前行。但是，我们肯定会看到他们应用力量、速度、观察力与柔韧性，而要提高这些能力，他们必须常年接受枯燥乏味的训练。可以说，这些训练内容是足球运动的一个组成部分。“如果你选择足球作为谋生手段或者希望加入校队，你就别无选择，只能利用周末时间，在训练场上接受大量枯燥乏味的训练。当然，如果你觉得自己无法接受这样的训练，你仍然可以踢足球，只不过是和朋友们一起踢，纯粹以娱乐为目的。我们也有可能穿过防守队员的防线完成华丽的传球，或者像职业运动员那样起脚远射得分，并为此激动不已。此外，踢足球还能强健体魄，愉悦心情。与坐在家里观看职业比赛的电视转播相比，效果要好得多。“数学与足球非常相似。你的就业目标可能与数学没有相关性，这很正常，大多数人的情况都是这样。但是，你仍然可以运用数学知识，甚至你手头正在做的事情有可能就用到了数学知识，只不过你自己不知道。数学与逻辑推理紧密地交织在一起，可以增强我们处理事务的能力。掌握了数学知识，就像戴了一副X射线眼镜一样，我们可以透过现实世界错综复杂的表面现象，看清其本质。多少个世纪以来，由于人们辛勤钻研、反复辩论，数学的各种公式与定理已经得到了千锤百炼，可以帮助我们在处理事务时避免犯错。利用数学这个工具，我们可以更深入、更准确地理解我们这个世界，而且可以取得更有意义的成果。我们需要做的就是找到一位良师或者一本好书，引导我们学习数学中的一些规则和基本方法。现在，我愿意担任这样的指导老师，告诉你如何实现这个目的。”

其实，由于时间关系，我在上课时基本不会这样长篇累牍地解释这个问题。但是在写书时，我可以稍微展开一些。我要告诉你，我们每天考虑的那些问题，包括政治、医药、商业、宗教等方面的问题，都与数学有着不可分割的联系。我希望这个事实有助于你接受我上文中介绍的那个重要观点。同时，了解这个观点还可以帮助你培养更敏锐的洞察力。

不过，如果那名学生非常精明，即使我真的在课堂上苦口婆心地劝导，她仍然会心存疑惑。“老师，你的话听起来很有道理。”她会说，“但是，太抽象了。你刚才说掌握了数学知识之后，本来有可能做错的事，现在不会出错了。但是，哪些事情会是这样的呢？能不能举一个真实的例子？”

这时候，我会给她讲亚伯拉罕·瓦尔德（Abraham Wald）与失踪的弹孔这个故事。亚伯拉罕·瓦尔德与失踪的弹孔

同很多的“二战”故事一样，这个故事讲述的也是纳粹将一名犹太人赶出欧洲，最后又为这一行为追悔莫及。1902年，亚伯拉罕·瓦尔德出生于当时的克劳森堡，隶属奥匈帝国。瓦尔德十几岁时，正赶上第一次世界大战爆发，随后，他的家乡更名为克鲁日，隶属罗马尼亚。瓦尔德的祖父是一位拉比，父亲是一位面包师，信奉犹太教。瓦尔德是一位天生的数学家，凭借出众的数学天赋，他被维也纳大学录取。上大学期间，他对集合论与度量空间产生了深厚的兴趣。即使在理论数学中，集合论与度量空间也算得上是极为抽象、晦涩难懂的两门课程。

但是，在瓦尔德于20世纪30年代中叶完成学业时，奥地利的经济正处于一个非常困难的时期，因此外国人根本没有机会在维也纳的大学中任教。不过，奥斯卡·摩根斯特恩（Oskar Morgenstern）给了瓦尔德一份工作，帮他摆脱了困境。摩根斯特恩后来移民美国，并与人合作创立了博弈论。1933年时，摩根斯特恩还是奥地利经济研究院的院长。他聘请瓦尔德做与数学相关的一些零活儿，所付的薪水比较微薄。然而，这份工作却为瓦尔德带来了转机，他进入了考尔斯经济委员会（该经济研究院当时位于科罗拉多州的斯普林斯市）。尽管政治气候越发糟糕，但是瓦尔德并不愿意彻底放弃理论数学的研究。纳粹攻克奥地利，让瓦尔德更加坚定了这一决心。在科罗拉多就职几个月之后，他得到了在哥伦比亚大学担任统计学教授的机会。于是，他再一次收拾行装，搬到了纽约。

从此以后，他被卷入了战争。

在第二次世界大战的大部分时间里，瓦尔德都在哥伦比亚大学的统计研究小组（SRG）中工作。统计研究小组是一个秘密计划的产物，它的任务是组织美国的统计学家为“二战”服务。这个秘密计划[1]与曼哈顿计划（Manhattan Project）有点儿相似，不过所研发的武器不是炸药，而是各种方程式。事实上，统计研究小组的工作地点就在曼哈顿晨边高地西118街401号，距离哥伦比亚大学仅一个街区。如今，这栋建筑是哥伦比亚大学的教工公寓，另外还有一些医生在大楼中办公，但是在1943年，它是“二战”时期高速运行的数学中枢神经。在哥伦比亚大学应用数学小组的办公室里，很多年轻的女士正低着头，利用“马前特”桌面计算器计算最有利于战斗机瞄准具锁定敌机的飞行曲线公式。在另一间办公室里，来自普林斯顿大学的几名研究人员正在研究战略轰炸规程，与其一墙之隔的就是哥伦比亚大学统计研究小组的办公室。

但是，在所有小组中，统计研究小组的权限最大，影响力也最大。他们一方面像一个学术部门一样，从事高强度的开放式智力活动，另一方面他们都清楚自己从事的工作具有极高的风险性。统计研究小组组长艾伦·沃利斯（W. Allen Wallis）回忆说：“我们提出建议后，其他部门通常就会采取某些行动。战斗机飞行员会根据杰克·沃尔福威茨（Jack Wolfowitz）的建议为机枪混装弹药，然后投入战斗。他们有可能胜利返回，也有可能再也回不来。海军按照亚伯·基尔希克（Abe Girshick）的抽样检验计划，为飞机携带的火箭填装燃料。这些火箭爆炸后有可能会摧毁我们的飞机，把我们的飞行员杀死，也有可能命中敌机，干掉敌人。”

数学人才的调用取决于任务的重要程度。用沃利斯的话说，“在组建统计研究小组时，不仅考虑了人数，还考虑了成员的水平，所选调的统计人员都是最杰出的。”在这些成员中，有弗雷德里克·莫斯特勒（Frederick Mosteller），他后来为哈佛大学组建了统计系；还有伦[2]纳德·萨维奇（Leonard Jimmie Savage），他是决策理论的先驱和贝叶斯定理的杰出倡导者。麻省理工学院的数学家、控制论的创始人诺伯特·维纳（Norbert Wiener）也经常参加小组活动。在这个小组中，米尔顿·弗里德曼（Milton Friedman）这位后来的诺贝尔经济学奖得主只能算第四聪明的人。

小组中天赋最高的当属亚伯拉罕·瓦尔德。瓦尔德是艾伦·沃利斯在哥伦比亚大学就读时的老师，在小组中是数学权威。但是在当时，瓦尔德还是一名“敌国侨民”，因此他被禁止阅读他自己完成的机密报告。统计研究小组流传着一个笑话：瓦尔德在用便笺簿写报告时，每写一页，秘书就会把那页纸从他手上拿走。从某些方面看，瓦尔德并不适合待在这个小组里，他的研究兴趣一直偏重于抽象理论，与实际应用相去甚远。但是，他干劲儿十足，渴望在坐标轴上表现自己的聪明才智。在你有了一个模糊不清的概念，想要把它变成明确无误的数学语言时，你肯定希望可以得到瓦尔德的帮助。

于是，问题来了。我们不希望自己的飞机被敌人的战斗机击落，因此我们要为飞机披上装甲。但是，装甲会增加飞机的重量，这样，飞机的机动性就会减弱，还会消耗更多的燃油。防御过度并不可取，但是防御不足又会带来问题。在这两个极端之间，有一个最优方案。军方把一群数学家聚拢在纽约市的一个公寓中，就是想找出这个最优方案。

军方为统计研究小组提供了一些可能用得上的数据。美军飞机在欧洲上空与敌机交火后返回基地时，飞机上会留有弹孔。但是，这些弹孔分布得并不均匀，机身上的弹孔比引擎上的多。

军官们认为，如果把装甲集中装在飞机最需要防护、受攻击概率最高的部位，那么即使减少装甲总量，对飞机的防护作用也不会减弱。因此，他们认为这样的做法可以提高防御效率。但是，这些部位到底需要增加多少装甲呢？他们找到瓦尔德，希望得到这个问题的答案。但是，瓦尔德给出的回答并不是他们预期的答案。

瓦尔德说，需要加装装甲的地方不应该是留有弹孔的部位，而应该是没有弹孔的地方，也就是飞机的引擎。

瓦尔德的独到见解可以概括为一个问题：飞机各部位受到损坏的概率应该是均等的，但是引擎罩上的弹孔却比其余部位少，那些失踪的弹孔在哪儿呢？瓦尔德深信，这些弹孔应该都在那些未能返航的飞机上。胜利返航的飞机引擎上的弹孔比较少，其原因是引擎被击中的飞机未能返航。大量飞机在机身被打得千疮百孔的情况下仍能返回基地，这个事实充分说明机身可以经受住打击（因此无须加装装甲）。如果去医院的病房看看，就会发现腿部受创的病人比胸部中弹的病人多，其原因不在于胸部中弹的人少，而是胸部中弹后难以存活。

数学上经常假设某些变量的值为0，这个方法可以清楚地解释我们讨论的这个问题。在这个问题中，相关的变量就是飞机在引擎被击中后不会坠落的概率。假设这个概率为零，表明只要引擎被击中一次，飞机就会坠落。那么，我们会得到什么样的数据呢？我们会发现，在胜利返航的飞机中，机翼、机身与机头都留有弹孔，但是引擎上却一个弹孔也找不到。对于这个现象，军方有可能得出两种分析结果：要么德军的子弹打中了飞机的各个部位，却没有打到引擎；要么引擎就是飞机的死穴。这两种分析都可以解释这些数据，而第二种更有道理。因此，需要加装装甲的是没有弹孔的那些部位。

美军将瓦尔德的建议迅速付诸实施，我无法准确地说出这条建议到底挽救了多少架美军战机，但是数据统计小组在军方的继任者们精于数据统计，一定很清楚这方面的情况。美国国防部一直认为，打赢战争不能仅靠更勇敢、更自由和受到上帝更多的青睐。如果被击落的飞机比对方少5%，消耗的油料低5%，步兵的给养多5%，而所付出的成本仅为对方的95%，往往就会成为胜利方。这个理念不是战争题材的电影要表现的主题，而是战争的真实写照，其中的每一个环节都要用到数学知识。

瓦尔德拥有的空战知识、对空战的理解都远不及美军军官，但他却能看到军官们无法看到的问题，这是为什么呢？根本原因是瓦尔德在数学研究过程中养成的思维习惯。从事数学研究的人经常会询问：“你的假设是什么？这些假设合理吗？”这样的问题令人厌烦，但有时却富有成效。在这个例子中，军官们在不经意间做出了一个假设：返航飞机是所有飞机的随机样本。如果这个假设真的成立，我们仅依据幸存飞机上的弹孔分布情况就可以得出结论。但是，一旦认识到自己做出了这样的假设，我们立刻就会知道这个假设根本不成立，因为我们没有理由认为，无论飞机的哪个部位被击中，幸存的可能性是一样的。用数学语言来说，飞机幸存的概率与弹孔的位置具有相关性，相关性这个术语我们将在第15章讨论。

瓦尔德的另一个长处在于他对抽象问题研究的钟爱。曾经在哥伦比亚大学师从瓦尔德的沃尔福威茨说，瓦尔德最喜欢钻研的“都是那些极为抽象的问题”，“对于数学他总是津津乐道，但却对数学的推广及特殊应用不感兴趣”。

的确，瓦尔德的性格决定了他不大可能关注应用方面的问题。在他的眼中，飞机与枪炮的具体细节都是花里胡哨的表象，不值得过分关注。他所关心的是，透过这些表象看清搭建这些实体的一个个数学原理与概念。这种方法有时会导致我们对问题的重要特征视而不见，却有助于我们透过纷繁复杂的表象，看到所有问题共有的基本框架。因此，即使在你几乎一无所知的领域，它也会给你带来极有价值的体验。

对于数学家而言，导致弹孔问题的是一种叫作“幸存者偏差”（survivorship bias）的现象。这种现象几乎在所有的环境条件下都存在，一旦我们像瓦尔德那样熟悉它，在我们的眼中它就无所遁形。

以共同基金为例。在判断基金的收益率时，我们都会小心谨慎，唯恐有一丝一毫的错误。年均增长率发生1%的变化，甚至就可以决定该基金到底是有价值的金融资产还是疲软产品。晨星公司大盘混合型基金的投资对象是可以大致决定标准普尔500指数走势的大公司，似乎都是有价值的金融资产。这类基金1995~2004年增长了178.4%，[4]年均增长率为10.8%，这是一个令人满意的增长速度。如果手头有钱，投资这类基金的前景似乎不错，不是吗？

事实并非如此。博学资本管理公司于2006年完成的一项研究，对上述数字进行了更加冷静、客观的分析。我们回过头来，看看晨星公司是如何得到这些数字的。2004年，他们把所有的基金都归为大盘混合型，然后分析过去10年间这些基金的增长情况。

但是，当时还不存在的基金并没有被统计进去。共同基金不会一直存在，有的会蓬勃发展，有的则走向消亡。总体来说，消亡的都是不赚钱的基金。因此，根据10年后仍然存在的共同基金判断10年间共同基金的价值，这样的做法就如同通过计算成功返航飞机上的弹孔数来判断飞行员躲避攻击操作的有效性，都是不合理的。如果我们在每架飞机上找到的弹孔数都不超过一个，这意味着什么呢？这并不表明美军飞行员都是躲避敌军攻击的高手，而说明飞机中弹两次就会着火坠落。

博学资本的研究表明，如果在计算收益率时把那些已经消亡的基金包含在内，总收益率就会降到134.5%，年均收益率就是非常一般的8.9%。《金融评论》（Review of Finance）于2011年针对近5 000只基金进行的一项综合性研究表明，与将已经消亡的基金包括在内的所有基金相比，仍然存在的2 641只基金的收益率要高出20%。幸存者效应的影响力可能令投资者大为吃惊，但是亚伯拉罕·瓦尔德对此已经习以为常了。数学是常识的衍生物

年轻的读者朋友看到这里，可能会问我：哪里能用得上数学知识啊？的确，瓦尔德是一位数学家，他在解决弹孔问题时也表现得很睿智，但是这跟数学有关系吗？他们产生这样的疑问是有道理的。在瓦尔德的回答里，我们没有看到三角恒等式和积分，也看不到任何不等式和公式。

其实，瓦尔德真的用到了某些公式。但是，我在讲述这个故事时把这些公式略去了，因为我现在写的这个部分仅仅是本书的引言部分。在为一名幼童介绍人类繁衍问题的书中，引言部分显然不能详细地告诉他们婴儿是如何进入妈妈的肚子的。我们很可能会这样说：“自然界中的所有东西都会变化。到了秋天，树会落叶，等到了春天，它们又会变得郁郁葱葱。蛹里的幼虫在破茧而出后会变成五彩斑斓的蝴蝶，你也是自然界的一部分，因此……”

因此，我在引言部分采用了同样的方法。

然而，我们毕竟都是成年人了，所以，我稍稍偏离主题，从瓦尔德的真实报告中抽取一页让大家看看。……可以得出的下限。在这里，我们假设由减少至

时，上下两端的极限值是确定的。因此，我们可以得出的

上限和下限。上述表达式难以求出具体的解，但是在i

以根据下列步骤得出的上限和下限的近似值。所采用的

假定数据集为条件A满足，因为通过替换

希望大家看完之后不会头晕眼花。

瓦尔德的独到见解其实根本不需要以上述形式表达。我们没有用到任何数学概念，也可以把这个问题解释得一清二楚。因此，学生们提出的问题确实有道理。数学到底是什么？仅仅是一些常识性的东西吗？

是的，数学就是一些常识。从某个基础层面看，这是毫无疑问的。你有5件物品，再加上7件，跟你有7件物品再加上5件，结果毫无区别，你能解释这是为什么吗？你无法解释，因为在思考把不同的物品合并到一起的问题时，我们就是这样做的。数学家们经常会就常识已经了解的现象给出不同的名称。我们不会说“把这些物品加上那些物品，与把那些物品加上这些物品，结果是相同的”，而会说“加法具有交换性”。由于我们青睐各种数学符号，因此我们有时会这样写：对于任意的a与b，有a+b=b+a。

尽管这样的公式看上去过于正式，但实际上我们所讨论的内容是每个孩子都清楚的事实。

乘法的情况稍有不同，但下面这个公式看上去与上面的公式非常相似：对于任意的a与b，有a×b=b×a。

这个句子所表达的意思不像加法交换律那样，让人一看立刻就会说：“是啊。”

两个6件套的物品与6个两件套的物品总数相等，这是一种“常识”吗？

也许算不上常识，却可以变成一种常识。在我刚学数学时发生的一件事，让我至今记忆犹新。我那时大约6岁，我躺在父母房间的地板上，脸贴着长绒地毯，眼睛盯着房间里的立体声音响，音响播放的可能是甲壳虫乐队的蓝版专辑（Blue Album）第二面的歌曲。在20世纪70年代，立体声音响都有刨花板做的面板，在侧面凿有气孔。这些气孔排列成矩形，每行有8个，每列有6个。我平躺在那儿，看着这些气孔——6行8列。我一边上下左右打量着这些气孔，一边翻来覆去地琢磨：6行，每行8个孔；8列，每列6个孔。

突然，我明白了：每列6个、共8列，与每行8个、共6行的总数一样多。没有人告诉我这个规律，但我知道结果就是这样。因为无论你怎么数，气孔的数量都不变。我父母的立体声音响，1977年

我们在教授数学时，往往会告诉学生们很多法则。学生们按部就班地学习这些法则，而且必须按照老师的指示来学习，否则就会得C–。其实，他们所学的并不能被称为数学，数学研究的应该是事物的某些必然规律。

坦率地说，并不是所有的数学知识都像加法、乘法那样，凭直觉就能轻而易举地掌握。比如，我们不能借助常识来学习微积分。但是，即使是微积分，也是由常识演变而来的。艾萨克·牛顿（Isaac Newton）将我们对直线运动物体的物理直觉加以整理，把它变成一种形式主义的产物，对运动进行了普适性的数学描述。只要我们掌握了牛顿的这套理论，就可以解决那些可能令我们束手无策的难题。同样，我们的大脑有一种先天能力，可以评判某种结果发生的可能性。但是，这种能力非常弱，在评判发生可能性极低的事件时更加不可靠。在这种情况下，我们需要适度地用一些可靠的原理与技术手段去辅助我们的直觉，于是概率这种数学理论应运而生。

数学界使用的交流语言非常特殊，功能十分强大，可以准确、方便地传递复杂的内容。但是，由于其他人对这套语言并不熟悉，因此他们以为数学家的思维方式与普通人大相径庭。事实上，这样的想法大错特错。

掌握了数学知识，就像给常识装上了核能驱动的假肢，可以让我们走得更远、更快。尽管数学的功能十分强大，数学的符号体系与抽象性有时让人难以理解，但是数学思维与我们思考实际问题的方法并无多大区别。大家可以想象钢铁侠用拳头在砖墙上砸出一个洞的场景，这个方法有助于我们理解数学思维的特点。一方面，托尼·史塔克（Tony Stark）砸穿砖墙的力量并非来自他的肌肉，而是来自一套精准的同步伺服系统，这套伺服系统的动力由一个小型贝塔粒子发电机提供。另一方面，对于托尼·史塔克而言，他所做的就是砸墙这个动作，跟没有装备时的砸墙动作并无区别，只不过有了装备之后，难度变小了。

克劳塞维茨（Clausewitz）说过：“数学就是常识的衍生物。”

如果没有数学帮助我们弄清条理，常识有可能会把我们引入歧途。前面说的美国军官就是受到常识的误导，准备给飞机上防护能力已经很强的部位加装装甲。但是，尽管数学具有很强的条理性，如果仅凭抽象推理，而不经常性地辅以我们在数量、时间、空间、运动、行为及不确定性等方面的直觉感知，也就是说脱离了常识的帮助，那么，数学领域的任何活动都将变成循规蹈矩地生搬书本知识，不会产生任何有益的结果。换言之，这样的数学就像学生们在学习微积分时所发的牢骚一样，毫无意义可言。

这是非常危险的。1947年，约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）在他的论文《数学家》（The Mathematician）中发出警告：如果数学这门学科逐步偏离现实生活的经验，并且渐行

渐远，以至于第二代和第三代数学人无法在“现实生活”中

萌生某些想法并直接受到启迪，那么我们将面临非常严重的

威胁。它会在唯美的道路上越走越远，演变成“为了艺术而

艺术”。如果周围的相关学科仍然与经验有着密切的联系，

或者某位鉴赏能力超强的人可以对数学产生影响，那么发生

这种情况未必是件坏事。但是，数学的这种发展势头几乎没

有遇到任何阻力，而且在偏离经验的过程中分解成多个不起

眼的分支，最终局面有可能变得支离破碎、杂乱无序，这相

当危险。换句话说，在远离经验的哺乳，或者说“抽象研究”[5]

大量“近亲繁殖”之后，数学将面临堕落的危险。本书将讨论哪些数学知识？

如果你对数学的了解完全来自学校教育，那么你所掌握的数学知识就十分有限，在某些重要方面甚至是错误的。学校里教授的数学知识大多是一系列确凿的事实，以及权威给出的、不容置疑的法则。在学校里，数学就是一些已经定型的知识。

事实上，数学并没有完全定型。即使是数字与几何图形这些最基本的学习内容，我们所掌握的知识远比我们尚未掌握的少。而且，我们已经学会的那些知识，也是无数人付出努力、经过反复争论、解决一个个疑团之后才得到的。在编写教材时，所有这些努力与喧嚣都被小心翼翼地摒弃了。

毫无疑问，数学中存在某些事实。对于“1+2=3是否正确”这个问题，人们从来没有提出过多少争议。至于“是否能证明1+2=3以及如何证明”，这个问题在数学与哲学之间摇摆不定，则是另外一回事了。在本书结语部分，我们将讨论这个问题。其计算毫无疑问是正确的，人们的疑惑存在于其他方面。在后文中，我们将不止一次地讨论这个问题。

数学中的事实可能非常简单，也可能非常复杂，可能十分浅显，也可能十分深奥。这样的特点将数学一分为四：

像1+2=3这样比较基础的算术题结构简单，内容也不那么深奥。sin2x=2sinxcosx及二次方程式等基础内容也大致差不多，虽然与1+2=3相比，理解这些内容可能需要多花点儿时间和精力，但是它们在概念上并没有多大的理解难度。

在复杂–浅显这个部分，我们有两位数的乘法、复杂定积分的计算。在研究生院学习一两年之后，还会接触更复杂的概念。可以想见，我们出于这样或那样的原因，有可能需要解决这类问题。不可否认的是，如果不借助机器，这样的工作有时根本无法完成，至少会让人头疼一番。至于复杂的难题，如果我们上学时没有努力学习，可能连问题都无法看懂。但是，即便解决了所有这些问题，我们也并不会因此更加了解我们所在的这个世界。

至于复杂–深奥这个部分，则是像我这样的专业从事数学研究的人需要投入大量时间的地方。这里有众多大名鼎鼎的定理与猜想：黎[6]曼假设，费马最后定理，庞加莱猜想，P vs NP（多项式对非确定多项式），哥德尔定理等。这些定理内涵丰富，具有重要的意义，表现出令人窒息的美感。这些定理残酷无情又无懈可击，人们围绕它们写就了一本本专著。

本书介绍的内容并不是这些定理，而是图的左上部分，即简单–深奥的数学知识。无论我们在数学方面受到的教育与训练止于代数之前，还是远远超过这个范围，本书讨论的数学思想都将与我们的生活产生直接联系，为我们带来益处。这些内容不是像简单代数那样的“纯粹事实”，而是一些原理，其应用将远远突破我们对数学的既有理解。它们是常备工具，只要应用得当，就可以避免我们犯错。

理论数学是一方净土，远离尘世间的各种纷扰与矛盾，我就是在理论数学的浸淫下长大的。与我一起学数学的其他小伙伴们一个个受到了物理学、基因组学或者对冲基金管理的黑色艺术的诱惑，而我对[7]这类“青春期萌动”则敬而远之。在读研究生期间，我全身心地投入数论研究。卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）把数论称作“数学皇后”，认为它是理论程度最高的学科之一，也是位于理论数学这方净土核心位置的一个不为人所知的乐园。它曾经让希腊人头疼不已，并在随后的2 500年里不断地折磨着一代代数学人。

起初，我研究的是既经典又有特色的数论，试图证明整数四次幂求和方面的一些事实。当家人在感恩节晚宴上不断追问它的情况时，我虽然可以向他们解释一二，但我无法让他们明白我的证明过程。不久之后，我又迷上了更加抽象的研究领域，其中的一些基本概念乏人问津，讨论的场所只限于牛津大学、普林斯顿大学、京都大学、巴黎大学和威斯康星大学麦迪逊分校（我目前在此任教）的学术报告厅与教师休息室。如果我告诉你这些内容内涵丰富、极富美感，令我热血沸腾，而且我永远会乐此不疲地研究它们，那么你只能相信我的话。因为这些研究极为深奥，哪怕只是触及皮毛，也需要投入大量的学习时间。

但是，随着研究的深入，我发现了一个有趣的现象。在我的研究越发抽象并且与现实生活渐行渐远的过程中，我开始注意到数学高墙之外的尘世间也有大量的数学活动。我指的不是复杂–深奥的数学概念，而是一些更为简单、更加古老但是同样深奥的内容。我开始在报纸、杂志上撰文，介绍数学目镜下的现实世界。令我惊奇的是，即使宣称自己讨厌数学的人，也愿意拨冗阅读这些文章。这是另一种数学教学活动，与教室里的教学活动大不相同。

与教室里的教学活动相同的是，读者也需要做一些工作。我们继续讨论冯·诺依曼的《数学家》：乘坐飞机，让飞机把我们带到高空并运送到另一个地

方，还有操控飞机的航向，这些都不是很难。但是，要了解

飞机的飞行原理，以及飞机抬升力与推进力的相关理论，则

要难得多。对于某个过程，如果我们事先没有经过大量运行

或使用，达到得心应手的程度，也没有通过直觉和经验去融

会贯通，想要彻底掌控这个过程就会非常困难。

换言之，如果不从事某些数学活动，就很难理解数学的真谛。欧几里得（Euclid）告诉托勒密（Ptolemy），几何的学习没有捷径可言；门内马斯（Menaechmus）也曾经告诉亚历山大大帝要亲力亲为。（古代科学家的一些名言有可能是人们杜撰的，但是同样有启迪作用。我们还是坦然面对吧。）

在本书中，我不会在数学领域的重大事件上摆出夸大其词又含糊不清的姿态，诱导大家对它们循规蹈矩地顶礼膜拜。阅读本书时，我们必须亲自尝试完成一些计算工作，同时，我还希望读者朋友们理解书中的一些公式与方程式。我不是要大家掌握超出算术范围的数学知识，但是我在书中解释的很多数学知识将远远超出算术的范畴。我会粗略地绘制一些图表。我会讲到一些学校教过的数学知识，但是它们将出现在不同的情境中。我会告诉大家如何用三角函数表示两个变量的相关程度，微积分所揭示的线性现象与非线性现象之间的关系，以及二次公式在科学探索中充当认知模型的作用。书中还会涉及在大学及后续教育中才会学习的某些内容，比如：我们会讨论集合论所遭遇的危机，用来隐喻最高法院的判决与棒球场上的裁判；我们会讨论解析数论近期取得的进展，用来说明结构与随机性之间的相互作用；我们还会讨论信息论与组合设计，用来分析麻省理工学院的大学生是如何破解马萨诸塞州彩票的秘密，并赢取数百万美元奖金的。

在本书中，我会提到著名的数学家，也会有一些哲学思考，甚至还会给出一两个证明题。但是，我不会布置家庭作业，也不会安排考试。

[1] 曼哈顿计划是第二次世界大战期间由美国牵头，英国、加拿大共同参与的一项核武器研发计划。——译者注

[2] 关于萨维奇，这里有必要告诉大家他的一些逸事。萨维奇的视力极差，只能用一只眼睛的余光看东西。他曾经耗费了6个月的时间来证明北极探险中的一个问题，其间仅以肉糜饼为食。

[3] 1平方英尺≈0.093平方米。——编者注

[4] 公平地说，标准普尔500指数同期增长了212.5%，增长速度更快。

[5] 冯·诺依曼对数学本质的认识十分有道理，但是公平地讲，他认为数学的唯美目标是一种“堕落”，这个观点令人多少有些不安。冯·诺依曼是在希特勒统治下的德国举办“堕落艺术展”10周年之际写下这番话的。这次艺术展指出，“为了艺术而艺术”是犹太人与共产党追求的目标，目的是暗中破坏强大的德国所需的健康的“现实主义”艺术。在当时的情况下，人们对没有明显研究目标的数学心怀戒心。在这个问题上，政治信仰与我本人不同的人在写作时可能会提到冯·诺依曼曾积极投身于核武器研发研究这个事实。

[6] 在数学界，费马最后定理现在被称作怀尔斯定理，因为安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）在理查德·泰勒（Richard Taylor）的大力帮助下证明了这个定理，而皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）本人则没有给出证明。不过，传统的名称可能会一直沿用。

[7] 坦率地讲，我在20岁出头时，也一度想要成为严肃文学作家，甚至还出版了一本严肃小说《蚱蜢王》（The Grasshopper King）。但是，在我致力于严肃文学创作期间，我发现自己有一半的时间不务正业，沉迷于数学问题的研究。第一部分 线性精彩内容：

●拉弗曲线

●微积分

●“逝去量的鬼魂”

●“到2048年所有美国人都会超重”

●南达科他州脑癌发病率为什么高于北达科他州？

●大数定律

●对恐怖主义的各种类比

●下定义的习惯第1章 要不要学习瑞典模式？

几年前，在关于“患者保护与平价医疗法案”的激烈讨论中，鼓吹公民充分自由权的卡托研究所里有个名叫丹尼尔·米切尔（Daniel Mitchell）的人，为自己的博文拟了一个很有煽动性的标题：“瑞典正在谋求变化，而巴拉克·奥巴马（Barack Obama）却在倡导美国学习瑞典模式，为什么？”

这个问题问得非常好！这样的表达，让其中有悖常理的地方变得一目了然。是啊，全世界的福利国家都在削减高额的救济金与高税收，连瑞典这样的富裕小国也不例外，而美国却与这股潮流背道而驰。总统先生，这是为什么呢？米切尔的博文指出：“瑞典从自己的错误中汲取了教训，正在缩减政府的规模与职能范围，为什么美国的政客们却义无反顾地重复这些错误呢？”

要回答这个问题，我们需要参考一幅极具科学性的曲线图。在卡托研究所看来，整个世界就是下图所示的情形。[1]

图中的横轴表示瑞典模式化程度，纵轴表示繁荣程度。至于如何量化的问题，大家不用担心，关键是要知道：一个国家的瑞典模式化程度越高，情况就越糟糕。瑞典人不是傻瓜，他们已经意识到了这个问题，正在努力地向左上角的自由国度的繁荣攀爬。然而，奥巴马政府却正在朝错误的方向前进。

下面，我用与奥巴马总统观点比较接近的经济视角取代卡托研究所的视角，重新绘制这幅图。

关于美国应该实现的瑞典模式化程度，这幅图给出的建议大不相同。繁荣程度最高的点在哪儿呢？应该比美国的瑞典模式化程度高，但是比瑞典低。如果这幅图是正确的，那么在瑞典削减其福利时，奥巴马却在进一步增加美国的福利，这种做法是完全有道理的。

这两幅图的差异其实就是线性与非线性之间的差异，这是数学领域最重要的差异之一。卡托研究所画的是一条直线，而第二幅图中的线则不是直线，而是在中间的地方有一个隆起。直线是一种线，但线有很多种。直线的各种特性是大多数线所不具备的，比如，线段的最高点（在本例中即繁荣程度的最高点）只能是两个端点之一，这是直线的特点。如果降低税率有助于提升繁荣程度，那么税率越低越好。因此，如果瑞典正在削减社会福利，那么美国也应该实行同样的政策。当然，与卡托研究所持相反观点的美国政府智囊团可能会认为，这条直线应该朝相反的方向倾斜，即由左下角向右上角延伸。如果情况真的如此，公共支出将没有上限，最有利的政策就是让瑞典模式化程度达到极致。

通常，如果有人宣称自己的思维方式是“非线性的”，那么他的真实意图是要向你道歉，因为他把你借给他的某个东西弄没了。但是，非线性思维其实非常重要。在本书讨论的这个例子中，非线性思维就能发挥显著的作用，因为所有的线并不都是直线。稍加思考你就会发现，真正的经济学曲线是第二幅图，第一幅图并不正确。米切尔的推理是一种“假线性”（false linearity），他错误地假设，经济繁荣的程度可以用第一幅图来表示，也就是说，瑞典削减其社会福利的做法，意味着美国也应该亦步亦趋。

但是，社会福利既有可能太过，也有可能不足，意识到这一点，就会知道那幅线性图是不对的。“管理程度越高越不好，越低越好”是一个过于简单的原则，真正有效的原则比它复杂。向亚伯拉罕·瓦尔德咨询的那些将军面临着同样的情况：装甲不足意味着飞机会被击落，装甲过度又会让飞机无法起飞。问题的关键不在于加装装甲是否正确，而在于加装装甲可能是柄双刃剑，取决于飞机已有的装甲。如果这个问题有最优解决方案，就应该是在中间的某个位置上，向任一方向偏离都不好。

非线性思维表明，正确的前进方向取决于你当前所在的位置。

这个深刻的观点其实早已有之。罗马时期，贺拉斯（Horace）有一个著名的论断：事物有中道，过犹不及。在此前更早的时候，亚里士多德在他的《尼各马可伦理学》（Nicomachean Ethics）一书中指出，多食与少食都会伤害身体。最适宜的度应在两者之间，因为饮食与健康之间并不是线性关系，而是曲线关系，两端都是不好的结果。“巫术”经济学与拉弗曲线

令人啼笑皆非的是，像卡托研究所里的那帮家伙一样持保守观点的经济学家们，早就知道其中的奥秘了，他们的理解甚至比任何人都深刻、透彻。至于我绘制的第二幅图，也就是中间隆起、极具科学性的那幅图，绝对不是我的首创。这幅图被称作“拉弗曲线”（Laffer curve），在近40年时间里，拉弗曲线在共和党的经济政策中起到了极为重要的作用。在罗纳德·里根（Ronald Reagan）的任期过半之前，拉弗曲线已经是经济学论文中一个老生常谈的话题了。在电影《春天不是读书天》（Ferris Bueller’s Day Off）中，本·斯坦（Ben Stein）在发表那篇令人震撼的著名演说时即兴说了下面这番话：有谁知道这是什么吗？各位同学，有人知道吗？……谁

知道，谁以前见过？这是拉弗曲线。有谁知道拉弗曲线表示

的意思吗？从拉弗曲线可以看出，在收益曲线的这个点得到

的收入，跟这个点是一样的。很多人认为这个结论有争议。

有谁知道，1980年副总统布什把这个叫作什么吗？谁知道？

布什称之为“某某术经济学”，对，“巫术经济学”。

拉弗曲线的由来堪称传奇，其过程大致如下：1974年的一天，时任芝加哥大学经济学教授的阿瑟·拉弗（Arthur Laffer）与迪克·切尼（Dick Cheney）、唐纳德·拉姆斯菲尔德（Donald Rumsfeld）和《华尔街日报》（Wall Street Journal）的编辑裘德·瓦内斯基（Jude Wanniski）一起，在华盛顿的一家高档酒店共进晚餐。席间，他们在讨论福特总统的税务计划时发生了争执，而且争执越来越激烈。于是，[2]拉弗采用了知识分子惯用的手法，拿起一张餐巾纸，在上面绘制了一幅图，如下图所示。

图中的横轴表示税率，纵轴表示政府的税收。在横轴的最左端税率为0，根据定义，这种情况表示政府没有税收。在最右端，税率为100%，这个数字表明，你的所有收入，不管经营企业所得或工资薪水，全都进了“山姆大叔”的钱袋。

在后面这种情况下，政府的钱袋最终也将空空如也。因为，如果你参与教学、销售五金器具、企业管理等活动，辛辛苦苦赚的钱却被政府一扫而空，你为什么还要费神做这些工作呢？因此，人们不会去工作。即使去工作，他们也会避开收税员，参与一些零零碎碎的经济活动。于是，政府的税收归零。

在中间区域，政府不会把我们所有的收入全部收走，也不会一分钱不收，换句话说，在现实世界中，政府会拿走我们收入的一部分。

这意味着，表现税率与政府收入之间关系的线不可能是直线。否则，收入最高点要么在图的最左端，要么在最右端，但事实上这两个点的值都是零。如果你当前的所得税真的接近于零，就说明你位于图的左侧。我们凭直觉就可以判断出，在这种情况下，如果政府提高税率，用于支付服务与政府项目的资金数额就会增加。但是，如果税率接近100%，此时提高税率实际上会导致政府税收减少。如果位于拉弗曲线最高点的右侧，同时希望在不削减开支的情况下增加税收，那么政府可以采取一个简单易行且政治效果极佳的方法：降低税率，从而增加税收。朝哪个方向努力，取决于我们所处的位置。

我们现在到底位于什么位置上呢？这是问题的难点所在。1974年，所得税的最高税率是70%，人们据此判断，美国在拉弗曲线上位于右侧向下的“斜坡”上。当时按此税率缴税的人并不多，因为这个[3]税率只适用于20万美元以上的收入，而这些人认为美国更应该降低税率。同时，拉弗曲线还拥有瓦内斯基这位有影响力的拥趸，他在1978年出版了一本书，并相当自信地把这本书命名为“世界运行的方式”（The Way the World Works），把他的那套理论介绍给大众。瓦内斯基充分相信拉弗曲线，而且他既有热情，又有政治手腕，就连主张减税的人觉得偏激的观点，他也能成功兜售。有人认为他是个疯子，他却不以为然。“‘疯子’这个称谓说明什么问题啊？”他在接受采访时说，“托马斯·爱迪生（Thomas Edison）是个疯子，莱布尼茨（Leibniz）是个疯子，伽利略（Galileo）也是个疯子，这样的疯子太多了。只要你提出一个有悖传统的新观点，提出一个与主流截然不同的观点，人们就会说你是个疯子。”

[题外话：在这里，我有必要说明一下，很多持有非主流观点的人把自己比作爱迪生与伽利略，但是这些人的观点没有一个是对的。我每月至少会收到一封这样的来信，寄信人宣称自己能“证明”某个数学命题，而几百年来人们都认为这个命题是错误的。我敢保证阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）没有到处宣扬：“我知道你们觉得我的广义相对论非常荒谬，人们当年还说伽利略的成果非常荒谬呢！”]

拉弗曲线简洁明了，又以一种令人愉悦的方式颠覆了我们的直觉，因此，那些本来就迫不及待要减税的政客们自然对它青睐有加。经济学家哈尔·范里安（Hal Varian）指出：“你为一位国会议员介绍只需要6分钟就能讲清楚的情况，随后，他能讲6个月。”裘德·瓦内斯基先是担任杰克·康普（Jack Kemp）的顾问，后来又担任罗纳德·里根的顾问。20世纪40年代，里根是一名电影明星，他的演艺生涯为他积累了大笔财富，也为他40年后的经济观奠定了基础。里根执政期间负责制定政府预算的官员戴维·斯托克曼（David Stockman）回忆说：（里根）经常说：“‘二战’期间，我通过拍电影赚了大

钱。”当时，战时收入附加税高达90%。里根说：“拍了4部

电影之后，我的所得税率就到了最高等级。于是，我在完成

了4部电影的拍摄之后就不再工作，跑到乡下度假去了。”

高税收导致人们怠工，而税率低则会刺激人们积极工作。他

的这段经历证明了这个道理。

当前，几乎没有哪位令人尊敬的经济学家会认为美国正位于拉弗曲线的下行区域。这样的现象也许不足为奇，因为高收入的现行税率仅为35%，跟20世纪的大多数时间相比，这样的税率低得惊人。即使在里根时代，美国也位于拉弗曲线的左侧。哈佛大学经济学家、在小布什（George W. Bush）总统任内担任经济顾问委员会主席的共和党人格里高利·曼昆（Gregory Mankiw），在他的《微观经济学》（Principles of Microeconomics）中指出：后来的历史并没有佐证拉弗的“低税率将增加税收”这个猜想。里根当选总统后实行了减税政策，结果税收不但没有增加，反而减少了。1980~1984年，个人所得税（消除通胀因素后的人均税收）降低了9%，尽管这个时期的平均收入（消除通胀因素后的人均收入）提高了4%。而且，这项政策出台之后，想要废止并非易事。现在，对供应学派表示些许支持是合理的，他们认为税

收政策的目标未必是实现政府收入最大化。我与米尔顿·弗

里德曼最后一次见面是在“二战”期间，当时我们一起供职

于统计研究小组，为军方开展秘密工作。他后来获得诺贝尔

经济学奖，并先后为几位总统担任顾问。在主张低税率与自

由哲学方面，他是一位有影响力的倡导者。弗里德曼关于税

收有一句名言：“我主张在任何情况下，只要有可能都应该

减税，而且无须任何托词和理由。”他认为，我们不应该以

拉弗曲线的最高点为目标，也就是说，政府不应该追求尽可

能高的税收。在弗里德曼看来，政府的收入最终会用作政府

的开支，但是，这些钱的使用方式并不是很恰当。

其他像曼昆一样的温和供应学派的经济学家认为，减税虽然会带来政府收入减少、赤字增加的即时效应，但是可以激励人们辛勤工作、创办企业，并最终增强国家的经济实力。而支持建立福利型国家的经济学家则可能认为，减税会两头不讨好。政府的开支能力减弱，基础设施的建设就会减少，制约诈骗行为的力度也会下降，并且在促进自由市场方面通常会不作为。

曼昆同时指出，在里根实行减税政策之后，那些将超额收入的[4]70%交给政府的最富裕公民，的确贡献了更多的税收。但是，以这种方式追求政府收入的最大化，可能会导致令人恼火的结果。一方面，中产阶级的税收压力加大之后，他们别无选择，只能拼命工作；另一方面，针对富人们的税率有所下降，这些富人积累了大量财富，一旦他们认为政府征收的赋税过高，他们完全有可能减少经济活动，甚至将企业搬到国外。如果这种情况真的发生了，大量自由主义者将与米尔顿·弗里德曼一起面临尴尬的境地：不得不承认税收最大化这个目标也许并不是那么美好。

曼昆的最终评价并不偏激：“拉弗的观点也不是毫无价值。”但是，我要给拉弗一个更高的评价，即他的曲线图揭示了一个不容置疑的数学基本观点：税收与收入之间的关系一定是非线性的。当然，这种关系不一定就是拉弗所画的那种平滑的单峰山丘状，还有可能像一个四边形，比如：

或者像阿拉伯骆驼的驼峰，比如：[5]

又或者是不受任何限制的随意振荡曲线，比如：

但是，只要曲线在某个地方向下倾斜，就必然会在其他地方向上延伸。瑞典模式化程度过高的现象肯定存在，所有的经济学家都承认这一事实。拉弗指出，在他之前已经有很多社会学家意识到了这个问题，但是对大多数人而言，这个事实并不是显而易见的，至少在看到餐巾纸上的那幅图之前如此。拉弗非常清楚，他的这幅曲线图并不能告诉大家，所有的经济在任一特定时间是否存在征税过度或不足的问题，这正是他在图上没有给出任何数字的原因。在向国会提供证言时，有人就最优税率的具体额度提出了疑问，拉弗回应道：“坦率地说，我无法估量其具体额度，但是我知道最佳税率具有哪些特征。是的，先生，我知道。”所有的拉弗曲线都表明，在某些情况下低税率可以增加税收，但是具体在哪些情况下会产生这种效果，则需要展开一些深入的、难度颇大的具体工作，这是无法在一张餐巾纸上完成的。

拉弗曲线本身并没有错，不过人们将其付诸应用的方式有可能出错了。瓦内斯基与受他的指挥棒指挥的那些政客们一起，成为有史以来最古老的“假演绎推理”的猎物：·降低税率有可能增加政府收入；·我希望降低税率可以增加政府收入；·因此，降低税率肯定会增加政府收入。

[1] 在这里，“瑞典模式化程度”表示“社会服务与福利的特点”，而不是指瑞典的其他特点。

[2] 拉弗对餐巾纸一说表示异议。他回忆说，那家饭店使用的是高档布餐巾，他绝不会在上面随意地画经济学图表。

[3] 如果换算成现在的收入，应该是50万~100万美元。

[4] 供应学派预测，所得税税率降低之后，富人们的工作劲头将会更足，政府税收也会随之增加。但税收增加的原因是不是这个，很难确定。

[5] 它们甚至有可能是多条曲线。马丁·加德纳（Martin Gardner）曾经对“拉弗曲线”进行了刻薄的评论。他画了一堆缠绕不清的曲线，然后把它们叫作“新拉弗曲线”。第2章 不是所有的线都是直线

即使数学专业人士不告诉我们，我们可能也不会认为所有的线都是直线。但是线性推理却无处不在，只要你认为“某个东西有价值，因此多多益善”，就是一种线性推理。这也是叫嚣的政客们惯用的伎俩：“你们支持对伊朗采取军事行动吧？我想，任何国家胆敢在我们面前放肆的话，你们都会希望对他们发起地面进攻！”还有的政客则处于另一个极端：“要与伊朗开战吗？你们可能认为阿道夫·希特勒也被误解了。”

只要稍加思考，我们立刻就能发现这种推理是错误的，但是，为什么有那么多人会犯这种错误呢？毫无疑问，并不是所有的线都是直线，但是为什么有人会持相反的错误观点呢？即使他们很快醒悟并改正过来，这样的错误也是难以想象的。

原因之一就在于，从某种意义上看，所有的线的确都是直线。让我们从阿基米德（Archimedes）谈起。穷竭法与圆的面积

下面这个圆的面积是多少？

在现代，这是一个非常普通的问题，在SAT（学术能力评估测试）中出现这样的题目也无可厚非。圆的面积是πr2，在本例中，半径r为1，因此，圆的面积就是π。但是，在2000年前，人们苦苦思索却不得其解，这个问题引起了阿基米德的注意。

这个问题的难点在哪儿呢？一方面，我们认为π是一个数字，而古希腊人却认为只有1、2、3、4……这些用来计数的整数才是数字。[1]不过，古希腊几何学的第一个伟大成就——勾股定理，却突破了他们的这个数字系统。

试看下图：

勾股定理告诉我们，直角三角形斜边（上图中倾斜的边，与直角没有接触）的平方是其余两边（直角边）的平方和。在本图中，根据勾股定理，斜边的平方为，而且斜边比1长、比2短（这个无须任何定理，目测就可以确定）。至于斜边的长度不是整数，这对古希腊人来说不是问题。也许，我们使用的测量单位是不正确的吧。如果我们设定直角边的长度是5个单位，我们就可以用直尺量出斜边的长度约为7个单位。因为斜边的平方是：

如果斜边的长度是7个单位，它的平方就是7×7=49。

如果直角边的长度为12个单位，斜边的长度就十分接近于17个单位。不过，令人心痒不已的是，这次又短了一点儿，因为，而172是289，就少那么一点点。

公元前5世纪，毕达哥拉斯的一位门徒发现了一个令人震惊的现象：等腰三角形的三条边长不可能都是整数。现代人都知道“2的平方根是无理数”，也就是说这个数不是任何两个整数的比，但是，当时的那些学者并不知道。他们能有什么办法呢？他们的数量概念是建立在整数的基础上的。因此，在他们看来，直角三角形斜边的长度根本不是一个数字。

这个发现引起了轩然大波。要知道，毕达哥拉斯的这些门徒非常怪异，他们的人生哲学一片混沌，在我们现代人看来，就是数学、宗教与精神病构成的大杂烩。在他们眼中，奇数是吉利的，而偶数则是邪恶的。他们认为在太阳的另外一边还有一个与地球一模一样的星球，即“反地球”（Antichthon）。某些记载表明，他们认为吃蚕豆是不道德的，因为人死之后，灵魂会寄存在蚕豆中。据说，毕达哥拉斯本身可以与牲畜交谈（他告诉牲畜不要吃蚕豆），也是为数不多的穿裤子的古希腊人之一。

毕达哥拉斯门徒的数学研究与他们的思想有不可分割的联系。发现2的平方根不是有理数的那个家伙名叫希帕索斯（Hippasus），传说（不一定是真实事件，但是从中可以窥见毕达哥拉斯门徒的处世风格）他在证明了这个令人厌恶的定理之后，得到的“奖励”是被同窗扔进大海淹死了。

希帕索斯可以被淹死，但是定理却无法回避。毕达哥拉斯之后的学者（包括欧几里得和阿基米德）知道，虽然2的平方根这样的数字将迫使他们从整数这个世外桃源中走出来，但他们还是得挽起衣袖，完成测算工作。人们都不知道，圆的面积是否可以仅靠整数表示出来。[2][3]但是，为了制造车轮、修建筒仓，他们必须学会计算圆的面积。

第一个提出解决方法的是欧多克斯（Eudoxus of Cnidus），欧几里得把这个方法作为第12个基本原理收入《几何原本》（Euclid’s Elements），但在这个方面取得大进展的是阿基米德。如今，我们把这个方法叫作穷竭法（method of exhaustion），其基本原理如下：

试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]

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