无言的宇宙：隐藏在24个数学公式背后的故事(txt+pdf+epub+mobi电子书下载)

作者：达纳·麦肯齐

出版社：未读·北京联合出版公司

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无言的宇宙：隐藏在24个数学公式背后的故事试读：

我希望，本书能揭开那围绕着数学和方程的神秘莫测的面纱，让那些对此有兴趣的人得以窥其真容。

首先让我简略讨论几个有关术语。“方程”“公式”和“恒等式”这几个词都用于数学中，并带有略微不同的意义。“公式”的实用意义略强，人们运用公式解方程。“恒等式”的意义不那么深刻，隐含着它们可以通过纯符号操作加以证明的意思。但我在本书内不会刻意强调这些词之间的差别。

你也经常会在本书中看到“公理”“定理”“假说”和“猜想”这些词。“公理”是数学家们认为对未经证实的事实的陈述。他们这样认为，是因为他们或者确实相信这一公理是普适的真理，或者他们是为方便起见而以此作为讨论的出发点。“定理”是数学真相的金科玉律，它是根据特定公理体系正式推导所得的陈述。它不受实验误差或认知方式的影响……唯一例外的是，公理系统本身可能被时代所淘汰。数学确实会发生革命，这些革命通常不是因为定理不正确而发生的，而是因为人们确认，这些定理依据的基础过于严格或过于宽松，或过于不准确，或与实际情况不够吻合。“假说”与“猜想”是同义词，它们是尚未证明的数学陈述，但有支持这些陈述的实质性证据。这些证据可能来自类似但较低层次的定理或经验观察或计算机实验。无论如何，数学中的事实永远不能用经验证据、表面上讲得通的道理或统计测试来证明。这是区分数学和实证科学包括物理、生物和化学的原则。

不可避免地，哪些方程入选与个人品味和喜好有关。有些方程几2乎是笃定入选的，如爱因斯坦的质能方程E=mc，这或许是所有方程中最著名的。其他方程则除了最懂行的读者以外大家都不熟悉，如“连续统假说”。以下是我为确定某方程是否伟大所采用的一些标准。

1. 令人惊讶。一个伟大的方程能够告诉我们一些过去不了解的东西。它看上去可能就像炼金术士的一份杰作；它能把一个量转化成另一个开始看上去与之风马牛不相及的量，并对每一步都解释得合情合理。这种魔力仅仅存在于能够发现其中联系的人的大脑之中。

2. 简洁。一个伟大的方程具有日本书法般的简朴美感，囊括其中的只有其核心精华。它所叙述的是简单而作用重大的事物。

3. 能够产生重大效果。我放弃了几个我认为优美而又发人深省的方程，因为它们最终只能进入寥寥几位鉴赏大家的法眼。让人留下最深刻印象的方程是那些让数学发生了革命性变化、改变了我们对世界的看法或者改变了我们物质生活的方程。

4. 具有普遍意义。数学的最大吸引力之一是：一个今天证明为真的方程将永远如此，它不受时尚潮流的影响，它放之四海而皆准，它不受审查删改或者立法控制。

本书呈献的一些方程并非数学定理，而是物理“定律”或理论，如麦克斯韦方程。物理学理论通常是通过数据归纳或“科学方法”证实的，而不是从某套公理推导而来的。与数学定理不同，它们需要经过经验证据和统计检测确认，而且有时候，更为精确的实验会证明它们并非完美。

事实上，数学具有两重性。首先，它是因其本身而存在的一个知识体系；其次，它是表达宇宙知识的一种语言。如果你仅仅把方程视为传递科学信息的一种工具，那你就看不到数学解除我们头脑束缚的方式；如果你仅仅把方程视为智慧的结晶，那你就看不到自然对我们求索“正确”问题的微妙指引。

19世纪德国数学家利奥波德·克罗内克曾说：“上帝创造了整数，其他的都是人类的贡献。”尽管我们并不完全清楚应该在多大程度上接受他的这一名言，但在历史上提出数学的神灵起源的绝非仅此一人。古代美索不达米亚人认为，数学是书吏守护女神尼沙巴的礼物。公元前20世纪的一位书吏这样写道：“尼沙巴是一位喜气洋溢的女性、一位真诚的女性、一位女性书吏、一位通晓万事的女性；她指引着我们，把着我们的手指在陶土上书写。测量杆、闪光的测量员之线、码尺和带来智慧的写字板，这些都是尼沙巴的慷慨赠品。”在巴比伦的数学写字板上，只有当问题解答者在答案结尾处写下“赞美尼沙巴！”时，该问题才算解答完毕。

古代中国人认为，数学的创始人是伏羲，传说中中国的第一位皇帝。人们经常把他描绘为手拿一把矩尺的人。3世纪的数学家刘徽写道：“远古时代，伏羲创造了能与神灵沟通的八卦。”他还说，伏羲“发明了管控六十四卦变化的九九算法”。“八卦”和“六十四卦”是中国书法的基本单位，因此，这基本上等同于将文字的发明归功于伏羲；而“九九算法”指的是乘法表。于是，数学并不仅仅是神灵的启迪，而是与文字一起由神灵发明的。

在这些说法中，我们已经可以认出从那时起便源远流长地发展着的三大数学支流。第一大支流为算术或代数，是数量的科学；第二大支流为几何，是形体的科学；第三大支流为应用数学，是将数学转化为解决工程学、物理学和经济学实际问题的手段的科学。

并未明显地表现在以上引文中的是第四大支流——无限的科学，即对无限大与无限小数量的分析，它对于理解任何连续运动或变化的过程来说是至关重要的。数学家简单地称这一分支为“分析”，尽管这个词在数学以外的世界中具有相当不同的含义。

由此，我认为数学的四个主要支流是代数、几何、应用数学和分析。以上四者全都相互交融，并以最为奇妙的方式相辅相成；而见证它们之间的相互作用，是作为数学家的一大幸事。差不多每个数学家都发现，自己受到这四大支流之一的吸引强于其他支流，但这一学科的美好与强大无疑来自所有四大分支。因此，本书四个部分中的每一个都有一个贯穿始终的主题或者说“故事情节”，它们与千百年来这四大分支的进化息息相关。第一部分算盘VS阿拉伯数字[1]约热内卢的一个下午，诺贝尔奖得主、物理学家理查德·费曼里正在他喜欢的一家餐馆里用餐。其实此刻还不到吃晚饭的时间，所以餐厅里静悄悄的……但当一位算盘推销员走进来之后，一切就都不同了。侍应生们应该对买算盘没啥兴趣，但他们向推销员起哄，要他证明，他做算术题能比他们的一位顾客更快。费曼同意进行这一挑战。

开始时比赛完全一边倒。做加法时，费曼用笔算，算盘推销员把他打得“落花流水”。还不等费曼把数字写完，推销员就已经报出了答案。接着，推销员就趾高气扬起来了。他提出要跟费曼比赛乘法。这一盘费曼依旧败北，但输得没有第一次惨。推销员对自己没有大获全胜不满意，又不断地在越来越难的问题上向费曼挑战，但他的优势却越来越小，人也变得越来越慌张了。最后他祭出了撒手锏，“立方根！”推销员说。

显然，到了这一步，竞赛跟推销算盘已经没多大关系了，更重要的是荣誉之争。很难想象一家餐馆的经理为什么会要计算立方根。但费曼同意了，条件是让兴致盎然地在周围观战的侍应生出题。他们选定了1729.03这个数字。

算盘高手热情洋溢地投入了工作。他伏在算盘上运指如飞，让观战者目不暇接。与此同时，费曼却坐在那里一动也不动。侍应生们问他在干什么，他点了点自己的脑袋说：“思考！”几秒钟之内费曼就写出了答案（12.002）。过了一会儿，算盘推销员得意扬扬地喊出了“12”！几分钟后他又报出了“12.0”！但到这时，费曼的答案上已经又多出了几位数字。那位推销员惨败给了纯粹的思维，在侍应生们的嘲笑中铩羽而去。

这是一个很好的故事。一切好的故事都含有多层意义，费曼与算盘高手对决的这一故事也不例外。从最表面的意义上说，这是一个关于天才的故事，诺贝尔奖得主击败了机器。然而，费曼在讲述这个有关自己的故事时有着与此大不相同的目的。他不是一个喜欢自夸的人。从他书中讲述的前因后果中可以看出，这个故事要说明的是：对数字有一定感觉、有一定数学知识的普通人也能跟他做得一样好。这些人不必是诺贝尔奖得主，也不必是天才。他的技巧看上去如同魔法，但后面隐藏着两个秘密。首先，他需要知道1728是一个完全立方数：312=1728（或许这并不是人人都知道的常识，但大部分学物理的人3都会知道，因为1立方英尺是12或者说1728立方英寸）。而且他需要知道微积分中一个叫作泰勒公式的著名等式；这是一个非常普适的近似方法，可以让人通过已有的准确等式得到近似式，即从

公式是数学与科学的命脉。它们是数学家用来建造自己的艺术殿堂的一砖一石，或者说是他们用来表达他们有关宇宙的想法的密码。这并不是说，公式是数学家使用的唯一工具；语言与图表也很重要。但无论如何，在他们必须应付紧急情况时，例如在必须计算1729.03的立方根时，公式就能向他们传达简捷而又准确的信息，这是语言或者算盘永远无法比拟的。

在科学以外的世界中，人们不使用公式这种语言，因此在理解公式的人和不理解公式的人之间横亘着一条宏大的文化鸿沟。本书是在这一鸿沟上架设桥梁的一次尝试。本书的阅读对象是那些愿意理解数学本身的意义、也愿意把数学作为一种艺术来欣赏的读者。毫无疑问，如果我们试图讨论伦勃朗或者凡·高的作品，我们就必须观看他们的油画。既然如此，在说到艾萨克·牛顿或者阿尔伯特·爱因斯坦时，我们难道能够不去展示他们的“画作”吗？尽管语言贫乏而又不那么准确，但在以下各章中，我还是试图用语言来解释这些公式的意义，以及那些理解它们的人视它们如珍宝的原因。

让我们重新谈起理查德·费曼和算盘推销员吧，因为关于他们还有别的事情要说。非常可能的是，他们都不知道，他们这场竞赛的擂台其实在许多个世纪之前就已经搭起，那正是阿拉伯数字刚刚来到欧洲的时候。

当这一新的数字系统在大约13世纪初出现的时候，许多人对它颇有疑虑。他们必须学习九个自己不熟悉的新符号：1，2，3，4，5，6，7，8，9；嗯，其实更准确地说，是与我们熟知的那些符号略有不同的13世纪版本。对于某些人来说，这些新符号看上去不像他们习惯的罗马字母（I、V、X等等）那么好看，那么硬朗，而像是神秘[2]的如尼符号。而让事情雪上加霜的是，它们甚至不是基督教世界的产物，而是阿拉伯的舶来品，这就更让一个笃信宗教的社会感到怀疑了。而且，最后，这些符号中还包括了一个更令人难以把握的新玩意儿，数字零，一个意味着什么都没有的东西。

尽管如此，阿拉伯数字的力量是无可抗拒的。罗马数字在书写数字时很有用，但用于计算却不切实际，而十进位制无论写或算都没有问题。从某种意义上说，阿拉伯数字让数学民主化了。在许多古代社会中，只有经过特殊训练的书吏阶层才能演算算术。但有了十进位制之后，人们再也不需要特殊训练或者特殊工具了，只要动脑子，再加上一支笔就成。

新老数字系统之间的对决经历了漫长的岁月——远远超过两个世纪。而且事实上，在算盘高手（使用机械工具做算术的人）和算学大师（使用新算法的人）之间也曾有过多次公开较量。所以，费曼和算盘推销员之间的对抗重演了一场非常古老的决斗！

我们知道这场斗争的结局。如今，每个人都在使用十进位制数字，小学生们也用这种方法来学习算术的加减乘除。所以，很明显的是，十进位制算法取得了胜利。但费曼的故事告诉我们，背后的原因可能并不像人们想象的那么简单。对于某些问题，使用机械无疑要快些。记得吧，算盘推销员在加法问题上把费曼打得“落花流水”。但与机械装置相比，十进位制启迪人们，让人们对数字有了更为深邃的洞察力。所以，问题越难，算学大师的表现就越好。当科学在文艺复兴时期发展、进步的时候，数学家就需要进行比求取立方根更为深奥的计算。因此，算学大师获胜的原因有二：其一，从高层次来说，十进位制数字与高等数学更为匹配；其二，从低层次上说，十进位制数字让人人都能做算术。

且慢。在开始对自己“优越”的数字系统过分自鸣得意之前，我们还应该注意到，这个故事还给我们上了几堂有关谨慎的课程。首先，有一条对大多数人来说远非明显的信息，就是人们可以用许多不同的方法做数学。特别是在研究数学史时，我们会发现，其他文明的人类使用不同的计数法且有不同的推理方式，而那些方式经常合乎他们的社会的情理。我们不应该认为这些方式“低人一等”。一位算盘推销员照样可以在加法和乘法上击败一位诺贝尔奖得主。

费曼的故事也是一个例子，它说明了不同的数学文化在历史上是如何多次发生冲突的。这种文化冲突时常让双方都获利。例如，阿拉伯人并没有发明阿拉伯数字或者零这个理念，他们是从印度人那里学来的。

最后，我们应该认识到，算学大师的胜利可能只是暂时的。当今之世，我们有了一种叫作计算机的新型计算机器。任何数学教育工作者都能够看到以下迹象：当代的学生正在逐步丢失算学大师为我们留下的遗产——对于数字的感觉。今天的学生们对数字的了解不如过去了。他们依赖于计算机的尽善尽美；万一他们打错了键盘，他们没有能力检查计算机的结果是否正确。现在，我们又一次发现，我们正处于两种观念对抗的年代，而人们还完全不清楚这一战役会以何种结局收场。或许，我们的社会会像古时候一样，认为一般人没有必要了解数字，这种知识可以交由特别的精英人士处理。如果情况果真如此，将有比今天多得多的人发现：对于他们来说，通往科学与高等数学的桥梁将无异于可望而不可即的天梯。第一部分古代的定理现代世界中，数学是一个高度一致的学科。世界上任何一个国在222家都会对同样的等式（例如a+b=c）得出同样的认识与理解，无论在欧洲、亚洲、非洲或美洲，无不如此。

但过去的情况并非总是如此。回顾数学史，特别是古代世界的数学史，我们可以看到研究与学习数学的各种大不相同的途径和推理方式。在这一时期之内，数学逐步进化，脱离了孕育它的学科——测绘、税收、建筑和天文学——变成了一门独立的科学。在埃及与美索不达米亚，算术和几何只不过是书吏的通才教育的一部分。从现今尚存的纸莎草纸文稿和楔形文字书板中看，数学当时似乎只是作为一套规则讲授的，其中几乎没有任何解释。

但另一方面，在古希腊，死记硬背的计算方法像教车师傅一样操纵着哲学思考这个驾驶新手。从毕达哥拉斯与柏拉图起，希腊哲学家们就对数学有着崇高的评价，他们将其视为纯理性的科学，认为它能穿透实际世界虚幻的表面，洞悉其实质。在欧几里得的《几何原本》中，一切几何理论都是从短短几条（据认为）能够自我证明的事实或称公理推导而来的。现代数学就是从这种推导式的说理方法中诞生的，这种方法甚至影响了人类的其他努力。（让我们回顾美国《独立宣言》开篇中的语句：“我们认为这些真理是不言自明的……”该宣言的作者——托马斯·杰斐逊以纯粹欧几里得的方式为一个崭新的社会打下了它将于其上奠基的公理基础。）

在印度，数学（或者说计算）在许多个世纪中从属于天文学，而只在9世纪与10世纪左右才成为独立的学科。但无论如何，有几项重要的发现源于印度，它们当中最重要的当数我们今天使用的十进位制数字系统。在中国，数学（或称数字艺术）的命运在很多个世纪中盈亏圆缺，兴衰交替。在中国唐代（618—907），数学是一门十分受人尊崇的学科，一切学者都必须学习；但另一方面，到了明朝（1368—1644），它却被归入“小学”之列！尽管欧洲数学曾有过难望中国数学项背的过去，但这种态度上的转变或许是中国数学在14世纪之后停滞不前的原因之一，而这一时期正是西方数学开始腾飞的时刻。

最后，伊斯兰世界继承了希腊与印度两大不同的数学传统，并以伊斯兰数学家自己的新发现将之发扬光大，更把这些数学知识传播到了西欧，因此在数学史上占据了独特的地位。奇怪的是，现代数学的决定性转变仅仅发生在西欧……但这是将在后面讨论的课题。1我们为什么信赖算术世界上最简单的公式

对此的一个简单的解释是：在数轴上，2是1右面的下一个数字。然而，自20世纪早期以降，逻辑学家们更愿意通过集合论定义自然数。于是这一公式的大体意思就是：任何两个不相交的只有一个元素的集合的并集是一个有两个元素的集合。

1加1等于2，这或许是所有公式中最基本的一个。简单明了、亘古不变、毋庸置疑……但究竟是谁第一个写下了这一公式？它与其他的算术公式来自何方？我们如何知道它们是正确的？这些问题的答案远非一目了然。

令人惊讶的一点是，古代数学中有关加法讨论的证据不多。人们发现的巴比伦陶土书板和埃及纸莎草文献中充斥着乘法与除法表，但却没有加法表，也没有“1+1=2”。看上去，加法是太明显的事实，用不着什么解释，而乘法和除法的情况则不同。原因之一或许是在许多文化中使用较为简单的计数系统。例如，在埃及，人们把一个像324这样的数字写成三个“一百”的符号、两个“十”的符号和四个“一”的符号。要把两个数字相加，人们就把它们所有的符号放置在一起，必要时把十个“一”换成一个“十”，以此类推。这跟我们现在不时地把零钱放到一起，然后用较大面额的纸币置换较小面额的钱币非常相似。谁也不需要记住1+1=2，因为 | 和 | 的和显然就是|| 。

在古代中国，算术计算是在算盘的某种前身——“计算板”上进行的，其中用小棒为个、十、百等数位计数。同样，加法就是直接把恰当数目的小棒合并到一起，必要时进位到下一栏。没什么需要记忆的。然而乘法表（九九表）就是另一码事了。这是一个重要的工具，因为乘法8×9=72 要比把9个8加起来快。

另外一个观念上极其重要的差别是，没有任何一种古代文化，无论是巴比伦文化、埃及文化、中国文化或者任何其他文化有着与我们今天的现代概念完全一样的“等式”概念。人们用一般的词语写成的完整句子或者一些步骤来表达数学上的想法。因此，认为某种文化“了解”某个等式或者另一种文化不了解这一等式，这种说法不大靠得住。现代形式的等式是在一段一千多年的时期中逐步产生的。在公[3]元250年前后，亚历山大港的丢番图开始使用一个字母的缩写（或以数学历史学家的语言说，即“缩略”标记法），来代替经常使用的词如“和”“积”等等。用x与y这样的字母来代表未知数量的想法很久以后才出现在欧洲，大约时间为16世纪后期。而等号这个今天实际上每个等式中都有的成分则直到1557年才第一次出场亮相。在罗[4]伯特·雷科德所著《砺智石》一书中，作者雄辩地解释道：“而且，为了避免对‘等于’这个词的乏味重复，我建议，可以像我在工作中经常做的那样，用两条等长的平行孪生短线代替之，其形如====；因为这是比任何其他事物都更相等的东西。”（雷科德的原文用古体英语，其中“Gemowe”的意思是“孪生”。注意，雷科德的等号比我们今天用的长得多。）

所以，尽管数学家几千年来都心照不宣地知道1+1=2，但直到16世纪的某一天为止，这一等式或许并没有写成我们今天的形式。而且直到19世纪之前，数学家们都一直没有探究过我们相信这一等式的原因。

在整个19世纪中，数学家开始认识到，他们的前辈过分经常地依赖于一些隐藏的假定，而这些假定并不总是可以很容易地证明为真的（而且有时候是错误的）。打破古代数学坚冰的第一道裂缝出现于19世纪初叶，即非欧几何的发现。我们将在本书后面的一章中更详细地讨论这一问题。如果连伟大的欧几里得做出的假定都并非无懈可击，那么数学中还有哪些部分能够令人安之若素呢？[5]

19世纪晚期，更具哲学倾向的数学家如利奥波德·克罗内克、[6][7][8]朱塞佩·皮亚诺、大卫·希尔伯特和伯特兰·罗素等，开始非常认真仔细地检查数学的基础。他们在考虑：哪些东西是我们真正能够确信无疑地知道的。我们是否能够为数学找到一套基本假定，并可以证明它们是自洽的呢？

德国数学家克罗内克认为，自然数1，2，3，……是上帝的恩赐。因此不言自明，像等式1+1=2这类算术定律是可靠的。但大部分逻辑学家反对他的观点，他们认为集合这一概念比整数更为基本。“1+1=2”这一陈述到底意味着什么？从根本上说，这意味着，当含有一个元素的集合与同样含有一个元素的集合合并时，所得到的并集总是含有两个元素。但要让这种说法说得通，我们就需要回答一连串新问题，例如集合的意义是什么、有关集合我们知道些什么、为什么我们会知道这些，等等。[9]

1910年，数学家阿尔弗雷德·诺斯·怀特海德与哲学家伯特兰·罗素共同发表了一部题为《数学原理》的三卷本巨著。该书篇幅浩大、立论深奥，很可能是试图重铸算术，将之归为集合理论的一个分支。人们自然不会把这部书拿给一个八岁大的孩子看，以此向他解释1+1=2的缘由。在第一卷洋洋362页之后，怀特海德和罗素终于得到了一个命题，他们说：“当算术加法得到了定义，随之便可以得出1+1=2的结论。”注意，他们其实还没有解释什么是加法。直到第二卷，他们才有空考虑这一问题。定理“1+1=2”真正出现在第二卷的86页。他们以幽默的笔触在那里轻描淡写地写道：“上述命题偶尔会有用处。”

本书不拟在此嘲笑怀特海德和罗素，因为在与集合论中出人意料的困难做斗争的人们中，他们属于两位先驱者。例如，罗素发现，对集合的某些操作是不允许的，其中包括不可能定义一个“所有集合的集合”，因为这一概念会导致自相矛盾。这是在数学中从来都不允许的事情：某一陈述永远不会同时正确又同时错误。

但这却导致了另外一个问题。罗素和怀特海德小心地避免了“所有集合的集合”可以导致的自相矛盾，但我们能不能完全肯定，他们的公理就不会把我们引向其他尚未发现的自相矛盾呢？1931年，这一问题的答案以令人惊讶的方式出现。当时奥地利逻辑学家库尔特·[10]哥德尔发表了一篇题为《试论<数学原理>中的形式上不可判定的陈述及相关系统》的论文，直指怀特海德和罗素著作之非。哥德尔证明，永远无法证明任何足以推导算术规则的集合论规则是自洽的。换言之，总有可能在某一天，某人将就 1+1=3提出一项完全有理有据的证明。不仅如此，这项可能性永远都会存在；只要我们把我们的算术建立在集合论的基础上，就永远无法绝对保证我们使用的算术是自洽的。

其实，数学家们并没有因为算术有自相矛盾的可能性而寝食难安。一个可能的原因是，大部分数学家强烈地感觉到，数字，以及我们研究的大量其他数学创造物，都代表了超越了人类思维的客观现实。如果是这样，出现能够证明1+1既等于2又等于3这类矛盾陈述的可能性就微乎其微。逻辑学家们将之称为“柏拉图主义者”的观点。“典型的数学家在工作日里是柏拉图主义者，而在星期天是形式[11][12]主义者。”菲利普·戴维斯和鲁本·赫斯在他们1981年出版的《数学经验》一书中这样写道。换言之，当我们必须做出正式陈述时，我们将不得不承认，我们无法断言数学中不存在矛盾；但我们不会因此而中断我们的数学工作。

应该补充的一点可能是，那些不是数学家的科学家在一周的每一天中都是柏拉图主义者。他们从来没有一刻怀疑过1+1会不等于2。而且他们这样做或许自有道理。对算术自洽性的最佳辩护是：人类使用算术凡5000年，但我们还从来没有发现过任何矛盾之处。对算术的客观性与普适性的最佳辩护是这一事实：与任何其他语言、宗教或信仰系统相比，在穿越文化与时间界限方面算术最为成功。的确，搜寻地外生命的科学家经常假定，我们能够解码的第一份来自地外世界的信息将以数学形式发送，因为数学是最为广泛接受的宇宙通用语言。

我们知道1+1=2，这是因为我们可以通过普遍接受的集合论原理证明这一点，或者因为我们是柏拉图主义者。但我们不知道我们知道这一点，因为我们无法证明集合论是自洽的。这或许就是当那个八岁孩子问我们“为什么”的时候我们所能给出的最好答案。2抗拒新概念零的发现

在数轴上，零是1左边的下一个数字。

论及数字“零”这一概念的书籍数量真可谓汗牛充栋。这一数字[13]是算术中的后来者，其原因或许是人们很难想象零肘尺或者零头绵羊。甚至在今天，如果拿起一本孩子的数数书，我们或许也无法找到说到零的那一页。

对于零这个数字有两种不同的解释，其中一种远比另一种更为精细。首先，在2009或90210这类数字中，零是用来表示空置数位的符号，这是零的功能。如果没有零这个数字，我们就无法区分这两个数字与29和921。在一个位值数字系统中，“2”的意义取决于它所在的位置；在29这个数中，2代表两个十；而在2009这个数中，2代表两个千。

当然，像古埃及或古罗马一类不使用位值系统的文化中不存在这个问题，也就不需要对应于空位的符号。人们可以很容易地区分罗马数字（2009）和（29）。因此，零这个观念没有在这些社会中出现也就不足为奇了。然而，巴比伦人的确使用了一种位值数字系统，但在许多个世纪中，他们也没有想到要用一个记号来表示空数位。表面上看，2009和29之间的含混之处似乎没有造成他们的麻烦，或许这是因为人们通常可以从前后关系中明显地看出究竟应该是哪一个数字。同样的情况即使在今天也会发生。如果有人告诉你今年是哪一年，你会觉得自己将听到一个类似2009的数字；如果他们说[197]的是自己的年龄，29就更合理一些了。

只是在大约公元前400年，也就是独立存在的巴比伦行将作古的时候（此时已经是人们开始使用楔形数字系统之后大约1500年了），书吏们确实开始使用两个垂直的楔形 (∧∧) 来表示一个空数位。这是历史上第一次出现的表示零的符号，但很显然，巴比伦人只是把它作为占据数位的符号，其本身并非数字。

零的第二个更为微妙的概念出现在印度，即把它作为实际存在的实体对待，例如等式1-1=0中所隐含的意义。这一概念于公元628[14][15]年，在婆罗摩笈多所著的一本题为《经过更正的梵天的论述》的书中第一次出现。

跟许多古代数学家一样，有关婆罗摩笈多生平的资料也甚为稀[16]少。他于公元598年生于印度中北部，曾是乌贾因数学流派（这里所说的流派是一种松散的学者团体）的一员。他生活的时代距笈多王朝终结后不久；该王朝大约存在于公元320年—550年，其间文化欣欣向荣，经常被人认为是印度文化的黄金时代。梵语文学的许多经典著作就是在这一时期写就的，那时的天文学家们也开发了对日月食和行星运行规律非常准确的预测方法。

婆罗摩笈多的著作中的一个清楚的突出特点是他对其对手们的嘲弄态度。这本书的题目《经过更正的梵天的论述》，本身就暗含着对较早问世的一部天文学著作的批判。婆罗摩笈多对他的前辈也多有评[17]论，其方式可举如下一例：“通晓阿耶波多、维苏坎德拉等人的著作成就不了大师，哪怕（他们）能把那些著作（倒背如流）也依然如[198]此。但通晓梵天的计算的人可以（跻身）大师之列。”

尽管婆罗摩笈多或许有些傲慢，但他清楚地理解了零的本质。他这样写道：“两个正数的和是正数，两个负数的和是负数；一个正数和一个负数的和是它们的差；如果这个正数与这个负数（绝对值）相等则和为零。”因此，零是通过两个数量相等（绝对值相等）的正数与负数相加得来，例如1+（-1）。这就是现代理念1-1的意义。婆罗摩笈多还进一步写道，任何数加零都不改变它的符号，0+0=0，任何数乘以零都得零。然而他不很清楚用零做除数会有什么结果。他曾多次重复：“一个负数或正数可以被零整除，则零为其因数。”而且他还错误地认为“零除以零得零”。现代数学家会说，任何用零做除数的除法都无法定义。

值得注意的是，在婆罗摩笈多的著作中，零是与负数一起出现的。的确，想象负数肘尺和负数只绵羊更为困难，或许可以用这一点解释人们对零的抗拒。在婆罗摩笈多之后的许多个世纪中，数学家们还继续避免在他们的公式中使用负数。例如，求解二次方程与三次方程的过程就是因为数学家们避免使用负数而被弄得过分复杂了。他们理解到需要用几种不同的方法求解，而我们今天已经把这些方法归结为单一的公式。

现代数学对于零的重要性的强调通常毫无过分之处。数学家们把它称为单位元素，因为把它加到任何数字上都不会改变那个数字。单位元素对数学的重要性就相当于同义词对文学的重要性。没有谁会质疑我们为什么同时需要“幸福”与“高兴”这两个词。它们能让我们以不同的方式述说本质上相同的事情，但可能却揭示了略为不同的细微之处。零的存在让数学家有了同样的灵活性。根据问题的需要，人们可以把x表达为x+0，也可以由此出发将其改写为x+1-1或其他多种方式。

数学家在19世纪和20世纪发现了许多正数和实数之外的有用的代数结构，发现了许多普通的加法和乘法之外的有用的运算方式。例如，计算机使用模运算，密码学家使用椭圆曲线上的乘法运算，量子物理学家在希尔伯特空间内运算矢量加法与乘法。所有这些运算都是“加”与“乘”这两种基本概念的变种，但它们有时跟我们在学校里学习的加法与乘法大相径庭。它们的共同点是，大家都有一个单位元素。因此，婆罗摩笈多对数学的贡献，即他关于数字零的想法至今还有着鲜活的生命力，尽管他可能不容易意识到这一点。3斜边的平方毕达哥拉斯定理

字母a与b代表直角三角形的两条直角边，字母c代表斜边。

许多学习数学的学生在数学课上碰到的第一个名字就是毕达哥拉斯。毕达哥拉斯定理宣称，在直角三角形（即有一个直角的三角形）中，两条直角边（以a与b记之）的平方和等于斜边（c）的平方。形222如a+b=c的这一公式为千百年来的代代学生们所牢记。

毕达哥拉斯定理如此著名，以至于它经常在人们喜闻乐见的文化形式中出现。在电影《绿野仙踪》中，魔法师向稻草人颁发了一纸毕业证书之后，后者令人印象深刻地胡诌了一通该定理，口中宣称：“一个等腰三角形任何两边的平方根之和等于第三边的平方根。哦，太高兴了，真幸福啊，我可真是绝顶聪明哦！”而在吉尔伯特和苏里万的音乐剧《潘赞斯的海盗》中，少将先生则显示了对数学更高水准的掌握，他唱道：“我在数学方面也很在行……我通晓许多关于斜边平方的美妙事实。”

毕达哥拉斯是何许人也，他在以他命名的定理上有何贡献呢？人们发现，答案相当复杂。非常可能的是，毕达哥拉斯既没有发现也没有证明“他的”定理。早就该给这一定理一个更准确的名字了。[18]

毕达哥拉斯大约在公元前569年生于遥望爱奥尼亚（现属土耳其）海岸的萨摩斯岛上。根据传说，他花了多年时间在埃及吸收古哲人的知识；为了同样的目的，或许他也曾在巴比伦王国，甚至也曾在印度多年（如果你成了传奇人物，那就什么都有可能）。回国后他旋即永久移民于意大利城邦克罗托内。他在那里创建了一个人称毕达哥拉斯学派的秘密社团。该社团在一段时间内统治了克罗托内的文化与城市生活。

作为一个个人崇拜的秘密组织，毕达哥拉斯学派的行为不算很乖张。毕达哥拉斯鼓吹节欲、尊长和教育这些方面的美德。当时的社会信仰的神祇都在不断与人通奸，而他却主张一夫一妻制，这种主张必定震惊了社会。他禁止人们食用动物的肉，因为在一头动物中或许便隐藏着朋友或者祖先的灵魂。此外他还禁止人们食用豆类，或许是因为人类的灵魂也可能会移居于这些植物之中。

总而言之，人们或许可以将毕达哥拉斯视为一位相当典型的个人崇拜组织的魅力领袖。但至少对于科学史学家来说，让毕达哥拉斯学派独树一帜的是，人们认为他们扮演了希腊的传统数学和哲学创始人的角色。毕达哥拉斯认为，世界万物都是由数字统治的。直角三角形：一般直角三角形（左）与特定直角三角形（右）。

毕达哥拉斯的哲学中包括大量数字命理学，即按照数字推断人的命运的学问，其中有一些在现代人眼中看上去十分可笑。例如，奇数被认为与男性有关，而偶数与女性有关。但毕达哥拉斯学派对数字的迷恋的确让他们得到了一些概念，这些概念至今还与现代数论的一些课题直接相关。例如，他们发现了他们称之为“完全数”的数字，也就是那些等于自己全部真因子之和的数字。最小的两个完全数是6（6=1+2+3）和28（28=1+2+4+7+14）。在笔者落笔时，已知的完全数共有47个，随着计算机发展速度的日益加快，每隔几年就会发现新的完全数。

一个更富成果的概念是质数概念。质数是那些只能被自己本身和1整除的数字。最小的几个质数是2，3，5，7和11。不是质数的数叫作合数，例如6是两个质数的积：6=2 × 3。

没有质数的数论将会是一个相对贫瘠的学科。有了质数，数论的吸引力无穷无尽。然而，质数在整数中间分布的细节至今还是一个不解之谜。古希腊数学家证明了质数的数量是无限的。质数既可以用来求解整数方程，也可以用来证明某些这样的方程无解；我们将在后面讨论费马最后定理的那一章中看到，这一定理只不过是其中一个例子。最后，质数对现代密码学至关重要。现代密码学很大的一部分基于如下理念：对于一个很大的合数，比如一个有几百数位的合数，找到它的质因子十分困难。

人们认为归功于毕达哥拉斯学派的数学发现中包括如下几个：毕达哥拉斯定理；而且或许更为重要的是该定理的一项证明；音乐中的一项原则，即形成和弦的振动频率有简单整数比，例如形成八音度的振频比率为2：1、形成五度和音的振频比率为3∶2、形成四度和音的振频比率为4∶3等；认为行星的运行也是由类似的整数比控制的——根据传说，毕达哥拉斯能够真的听到行星产生的和音，即所谓“星球音乐”；最后还有无理数的存在。

这些说法靠不靠谱呢？

首先，尽管有关毕达哥拉斯的事迹我们能够绝对肯定的很少，但其中一件就是，在上述五大发现中，毕达哥拉斯定理不是毕达哥拉斯发现的。一块人称普里普顿322的著名巴比伦书板可以大致断代为公元前1800年；这块书板上包括一系列可以构成直角三角形三边的整数如3-4-5、5-12-13等（只要简单地动手一试，你就会发现2222223+4=5、5+12=13），我们现在称之为毕达哥拉斯三数组。而据说毕达哥拉斯曾在巴比伦学习过，所以我们可以推断，他是在那里得知所谓毕达哥拉斯公式的。

如果毕达哥拉斯实际上发现了毕达哥拉斯定理的一项证明，即他222能从基本原理出发证明对于一切直角三角形来说a+b=c 都成立，那么事情就有趣得多了。巴比伦人和埃及人显然对这种数学推导不感兴趣；在他们至今存世的文稿中擅长的是过程，但解释短缺。（对于巴比伦人来说，所谓解释就是：“看仔细了，这事儿已经干成了，”[19]随之便是“赞美尼沙巴！”）

在毕达哥拉斯之后的两个世纪中，古希腊人确实发展了一个世界数学史上史无前例的丰富的推导数学传统，其登峰造极之作是欧几里得约于公元前300年撰写的《几何原本》。《几何原本》第一部中包括了对毕达哥拉斯定理的一项仔细的证明。如果这一证明可以追溯到古希腊数学的发祥之时，这将是一个令人惊讶的奇妙事件。222

一俟你接受了或者证明了a+b=c这一等式对于一切直角三角形都成立，而不仅仅局限于3-4-5、5-12-13等易于得到的例子，你就将直接面对一个令人不解的谜团。你可以将正方形沿对角线切为两半，以此得到所有直角三角形中最简单的一种。这种三角形有两条长度相等的直角边，可假定其长度同为1单位。然后，根据毕达哥拉斯定理，2斜边的长度为c单位，并依公式得出c=2。

但根据毕达哥拉斯的教义，宇宙万物都应该是由整数统治的。所以这一神秘的长度c应该可以表达为整数的比率，不妨令其为。找到一些“近似值”易如反掌。例如只不过小了一丁点儿［因为22()==1.96］，而又稍微大了一丁点儿［因为()=≈2.007］。于是你可以说c的长度在和之间……但无论2怎样尝试，你都无法找到这样的一对整数p与q，能使()=2。

或许你会想，我怎么会如此肯定。不妨让我们假定，你能够找到222两个整数p与q，其比率的平方是2。因此可以得出p=2q，所以p是一个偶数。这就是说p是个偶数，因此必有某个整数x，使p=2x成222222立。因此4x=（2x）=p=2q，所以q=2x。这样一来q也是一个偶数，不妨将其表达为q=2y。但随之可得=，这就意味着是表达这一比率的更小的一对整数。而且这一过程永远不会终止，我们永远也不会将这一分数简化为它的最简形式！这是荒谬的，所以我们开2始的假设()=2必定不能成立。人们称这种证明方法为归谬法，或者通过得出矛盾结论而进行的证明方法。我们将在第5章中进一步讨论这一方法。

如今我们有其他方法表示斜边c的长度。一台标准的10位袖珍计算器给出的长度是1.414213562。但毕达哥拉斯学派并不使用十进位计数制，还要继续历经1500年的沧桑，十进位制数字才会来到欧洲！所以他们不可能以这种方式写下答案。而且不管怎么说，1.414213562仍旧不是c的准确长度。这一数字的平方是1.999999998，不是2。

第二种绕过这一难题的方法是，把这一长度写为c=√2。学校里教的就是这一方法。这一答案看上去准确得让人心里舒服……但同时看上去却很空泛。这里说的是一个数，它的平方是2，即2的平方根。这里说的连一丁点儿新东西也没有！

无论如何，毕达哥拉斯学派人士缺乏√的概念，而且他们也肯定不会对这样一个自己说明自己的回答感到满意。所以他们实际上完全无法写下一个正方形的对角线的长度。这是一个无理性概念，就是无法诉诸语言的概念。今天我们会说这是一个无理数。（有理数是可以写成两个整数的比率的数，比如。）如果“无理”这个字眼听上去带点贬义，这可不是什么巧合。对于毕达哥拉斯学派的人士来说，如果一个数无法诉诸语言，它就不应该用语言来表达。据传说，第一个揭示了这一秘密的人被沉入海中溺毙作为惩罚，这人或许是一个名叫希帕索斯的毕达哥拉斯学派人士。

这是一个令人惊叹的故事，但这个故事可能并非真有其事。毕达哥拉斯似乎没有证明√2是一个无理数的能力。“归谬”证明法是这一证据的核心，这一方法是在毕达哥拉斯之后两代才有人发明的，发明[20][21]人为埃利亚的芝诺，是巴门尼德的学生；人们有时把巴门尼德说成是毕达哥拉斯学派的一员，但他实际上并不属于该社团。

当今的史学家们认为，毕达哥拉斯及其学派实际取得的成就没有过去人们想象的那么多。人们并没有多少史料实证说明他们确实取得了这些成果，而对那些不属于这一社团的古希腊数学家的成就则有翔实的史料证据。例如，同样不属于毕达哥拉斯学派的昔兰尼的西奥多

[22]罗斯在大约公元前400年证明，我们今天称之为√3, √5, 直至√17的数字都是无理数。他从√3开始，这一事实或许说明，在他的时代，√2的无理性已经为人所普遍接受。

非毕达哥拉斯学派的古希腊数学家在数学上取得的进展有大量史料的证实。按照现代史学家的观点，研究他们的成果要比一味神化毕达哥拉斯学派无法证实的传说更合乎情理。一位现代史学家M. F.布[23]尼特认为，有关毕达哥拉斯的传说是由柏拉图的传人们有意捏造的，其目的是把柏拉图描绘为某个古代传统的继承人。

让毕达哥拉斯走下神坛还有一个重要原因。当科学成果能够公开传播时，科学的进步速度远比它被裹在隐秘的外罩内时迅捷得多。只要数学被蒙在保密的层层烟雾之后，人们就无法区分真正的数学与虚假的数字命理学。一旦数学走出了毕达哥拉斯的迷雾，走向新发现的[24]道路便畅通无阻，于是就有了西奥多罗斯、欧多克索斯、埃拉托

[25][26]色尼、欧几里得、阿基米德等人的新发现。如果我们赞美古希腊的数学，我们就应该把大部分功绩归于毕达哥拉斯的秘密社团崩溃之后的公开探索精神，而不是归于他的秘密社团。

把毕达哥拉斯定理这样一个伟大的普适数学定理归功于某一个人似乎也是一件令人遗憾的事情。几乎每一个古代文化似乎都有独立发现毕达哥拉斯公式的经历。从某种意义上说，任何对数学有兴趣的文明都不可避免地会发现这一定理。如果真像克罗内克说的那样，整数是上帝创造的，或许毕达哥拉斯定理也是上帝创造的。

例如，毕达哥拉斯定理在中国的名字是“勾股定理”，因为按照中国的术语，“勾”（即小腿，leg）是直角三角形较短的直角边，而“股”（即大腿，thigh）是较长的直角边。（与此对应，西方的术语把这两条边都叫作“腿”，leg。）斜边被称为“弦”，或“琵琶弦”，这或许暗指这一定理的由来：用拉直的绳子测量距离时得到的成果。

勾股定理出现于匿名著作《九章算术》之中，这一开创性著作对中国数学的深远影响可与欧几里得的《几何原本》在西方的影响相[27]比。《九章算术》的著作年代不明，但在3世纪，该书点评家刘徽在他写的序言中十分肯定地认为，该书在中国皇帝秦始皇于公元前213年下令焚尽天下书之前便已经存在。秦始皇死后，人们只能依照记忆重新编写《九章算术》。我们可以很容易地想到，这样一个过程将会有多么不完善。所以，这部著作在代代相传的过程中，初始的文字受到了诸多的改进与评注。

刘徽对《九章算术》的评注是其中最优秀的一个，而且其中包括了许多他自己的材料。刘徽是一位自学成才的数学家，人们或许可以把他看成中国的第一位数学痴才。他研究数学是因为他喜爱它、关心它，而不是因为它会提高他在官场中的地位。在点评中，他找到了多种方法，解释了为什么《九章算术》中的许多陈述是正确的，尤为突出的是，他给出了古希腊方法之外第一份对毕达哥拉斯定理的有记载的证明。勾股定理。刘徽的证明表示，可以把勾和股上的正方形（ABED与BCGF）切割为更小的图形并在重新安排后构成弦上的正方形ACJH。

刘徽的证明不禁让人想起了同样古老的中国难题：七巧板（这是一套简单的小木板，可以将其重新安排，组装成许多种不同的奇妙图形）。他的证明从三个正方形开始：以直角三角形的短直角边（勾）a为边的正方形为朱方，以长直角边（股）b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方与青方并为斜边（弦）方。依照面积关系可得222[28]a+b=c，朱方与青方已在弦方中的一部分可不加处理。这种证明方法叫作“出入相补法”，现在称“割补法”。刘徽和其他中国数学家多次运用了这一方法。这比欧几里得在《几何原本》中的证明要容易理解得多。

从某一方面来说，勾股定理在中国的历史与它在古希腊的对应历史有很大的差别。如我们所看到的，在古希腊，毕达哥拉斯定理导致了√2这类无理数的发现。而中国数学家从来没有清楚地阐述过无理数的概念。有些历史学家把中国数学与希腊数学的这两种不同的发展道路归结于前者更大的“实用性”，因而认为，中国人对于抽象推理兴趣不大。然而刘徽并不讨厌抽象推理或者数学的“非实用”方面。[29]一位研究中国数学的史学家带头人约瑟夫·道本认为，对此的解释基于中国语言本身。中文难以表达违反事实的假设。让我们回想一下，对√2 无理性的证明就是以一个违反事实的句子开始的：“不妨让我们假定，你能够找到两个整数p与q，其比率的平方是2。”一位古代中国数学家大概根本就无法认为这第一个步骤是有道理的。一项虚假的断言如何能够用来证明一项正确的定理呢？

这类差别又一次提醒我们，并不存在研究数学的唯一正确途径。即使在20世纪，一个人称构成主义的数学流派仍然认为，在证明中不应该允许使用归谬法。他们认为对√2无理性的上述证明是完全没有说服力的。如同古代中国人一样，他们对于√2 可以通过计算求出（换言之，存在着一种定义明确的程序来计算任何指定精度的√2数值）这一事实更感兴趣。真可谓“江山易改，本性难移”啊。4圆的游戏π的发现

无理数π实际上有两种不同含义。首先，它是任意圆的面积A及其半径r的平方之比，即π＝。其次，它是任意圆的周长c及其直径d之比，即π＝。这两种陈述可任取其一作为π的定义，另一陈述则成为一个定理。

除了计算直角三角形的斜边之外，另外两个几何难题似乎也不可避免地出现于任何计算文明之中：计算圆的周长与面积。在当代理念2中，两个密切联系的公式给出了问题的答案：C=2πr、A=πr。这里A代表半径为r的圆的面积，而π（读作“pài”）就是数学中最为著名的常数，其值为3.1415926535……

现代公式往往模糊了有关π的第一个奇妙事实：事实上，出现在这两个公式之中的是同一个常数。这种模糊是因为公式过分明显而造成的。为了理解古代数学家必须解决的问题，我们应该想象存在着一个数字“圆周-π”，其定义为圆的周长与其直径之比；以及另一个数字“面积-π”，其定义为圆的面积与其半径平方之比。在想象中，我们并不知道这两个数字是否相等。

毫不奇怪的是，认为这两个问题之间有联系的第一个完全清晰的陈述出自古希腊数学。公元前3世纪，阿基米德在他题为《圆的测量》的手稿中写道：

命题1. 任何圆的面积等于一个直角三角形的面积，该直角三角形的一条直角边等于圆的半径，另一条直角边等于圆的周长。

让我们在想象中把这个圆切割成许多楔形，每一个都与三角形毫无二致，于是它的面积就是底与高之积的一半（可参见下图）。每一个楔形的高都是圆的半径，而所有这些底之和就约等于圆的周长。于是所有这些楔形的面积就约等于半径与周长的乘积的一半，也就约等于圆的面积。阿基米德的论点的困难之处就是如何把近似的等式变为准确的等式。一旦完成了这一工作，证明“周长-π”与“面积-π”是同一个数字就不算困难了。用切割圆为楔形的方法证明命题1。

阿基米德的命题1一直在他的命题3面前黯然失色。他在命题3中

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