作者：安徽财经大学大学数学教学研究中心
出版社：人民邮电出版社有限公司
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经济数学-微积分习题解答试读：
前言
本书是杨慧卿编著的《经济数学微积分（第2版）（微课版）》的配套学习辅导用书。依照安徽省精品资源共享课程以及教育部高等学校数学与统计学教学指导委员会的基本要求，为指导学生理解基本概念、掌握解题方法而编写的，即可作为高等院校讲授经济应用数学之微积分的教师和经管类专业的学生用书，同时也可供报考经济管理类专业硕士研究生的学生复习之用。
本书在内容编排上密切结合相关教材，对知识点进行梳理并加以归纳，使之符合大学生的认知习惯，以便读者易于接受，增强学习数学的兴趣。每章包括本章要点、主要内容、习题详解三个部分。在本章要点中通过结构图帮助读者熟悉该章的内容，使读者能够明确各知识点之间的关系；在主要内容中对教材内容进行概括和总结、提炼，便于学生复习时使用；在习题详解中将微积分的基本理论、基本方法、解题技巧等都融入习题，希望通过对习题的详解向读者展现分析问题、解决问题的方法，帮助读者提高解题技巧。
为方便学生在学习过程中检查学习效果，在本书的最后给出了期中模拟试题和期末模拟试题各十套。
本书由安徽财经大学闫云侠副教授负责拟定总纲和统稿。徐惠副教授编写第1章函数部分和期末模拟试题，孙颀讲师编写第1章极限部分，朱磊讲师编写第2章（三）应用中除导数的经济应用外的内容，闫云侠副教授编写第2章其余内容，苏涵讲师编写第3章定积分及其应用部分，朱存斌讲师编写第3章不定积分部分和第6章无穷级数以及期中模拟试题，谢瑞军讲师编写第4章多元函数微分学部分，朱家明副教授编写第4章积分学部分，徐凤讲师编写第5章微分方程与差分方程。
本书在编写过程中得到安徽财经大学统计与应用数学学院和学校相关部门的充分支持，对此表示衷心的感谢！
由于编者水平有限，书中疏漏与错误之处在所难免，敬请广大读者和同行批评指正，以便再版时及时修订。编者2017年6月10日第1章 函数、极限与连续一、本章要点二、主要内容（一）函数1. 函数概念
由函数的定义可知，一个函数被给定有三个因素：定义域D、对应规则和值域Z，前两者为函数的两个要素。因此函数通常记为y=f（x），x∈D。
对函数的定义，要掌握以下三个方面的问题。（1）确定函数的定义域
确定函数定义域，就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围。而实际问题的定义域要依据实际意义。（2）判断两个函数相同
由于定义域和对应规则是确定一个函数的两个要素，所以，两个函数只有当其定义域D和对应规则f都相同时，才表示两个函数相同。（3）正确运用函数符号，求函数值
按函数定义，对D中某一定值x，根据对应规则f所对应的因变量0称为函数f在x的函数值，记为f（x）或y|。00x=x02. 分段函数
若自变量x与因变量y之间的函数关系要用两个或两个以上的数学式子来表示，即在函数定义域的不同部分用不同的数学式子来表示的函数，称为分段函数。
例如：自变量x在区间I，I上取值时，函数有不同的表达式，分12别为g（x），h（x），则此分段函数为。
分段函数的定义域是各个部分自变量x取值范围的并集。对分段函数求函数值时，要根据x所在的部分区间，用相应表达式求f（x）。003. 反函数
已知函数y=f（x），x∈D，其值域为Z，它的反函数记为-1x=f（y），y∈Z-1习惯上，函数y=f（x）的反函数记为y=f（x），x∈Z。-1-1
通常称x=f（y）是函数y=f（x）的本义反函数，y=f（x）是函-1数y=f（x）的矫形反函数。实际上y=f（x）与y=f（x）互为反函数，-1因此有f［f（x）］=x。
当函数y=f（x）的定义域D与值域Z之间按照对应规则f有一一对应关系（f（x）为单调函数）时，则其有反函数，即单调函数一定存在反函数，且具有相同的单调性。-1
在同一直角坐标系中，函数y=f（x）与其本义反函数x=f（y）-1的图像是同一条曲线，而函数y=f（x）与矫形反函数y=f（x）的图像关于y=x对称。-1
函数y=f（x）的定义域、值域分别为其反函数y=f（x）的值域、定义域。4. 函数的几何特性
函数的几何特性是指函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性。它们的概念都与函数的定义域有关。（1）奇偶性
设函数f（x）的定义域是以原点对称的数集D，若对任何x∈D，有f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），则称函数f（x）为偶函数或奇函数。
判断函数的奇偶性，首先要判断函数定义域是否关于原点对称，然后计算出f（-x），与f（x）对照，便可判断函数f（x）为奇函数、偶函数或非奇非偶函数。
有时也用奇偶函数运算性质判断函数的奇偶性。运算性质如下：
① 奇函数与奇函数之和仍为奇函数；
② 偶函数与偶函数之和仍为偶函数；
③ 奇函数与偶函数之积为奇函数；
④ 奇函数与奇函数之积为偶函数；
⑤ 偶函数与偶函数之积为偶函数。
对于由两个函数构成的复合函数来说，其奇偶性有特定的规律：只有内、外层函数都是奇函数时，由它们构成的复合函数才是奇函数，其余奇、偶函数的复合必然是偶函数。（2）单调性
设函数f（x），x∈I，对于I中任意两点x，x，当x
具有相同单调性的两个函数的复合必然单调增加，具有不同单调性的两个函数的复合必然单调减少。（3）有界性
设函数f（x），x∈I，若存在正数M，使得对一切x∈I，均有|f（x）|≤M（等号有无均可），则称函数f（x）在I上是有界函数，否则称f（x）在I上是无界函数。
若能找到两个数m与M，且m 常见的有界函数：（4）周期性 若存在一个常数T，使得对任何x∈I都有f（x+T）=f（x），则称f（x）是周期函数，满足上式的最小正数T称为函数f（x）的最小正周期。 求周期函数的周期是指最小正周期。周期性函数不一定是三角函数，只要函数呈周期性变化就是周期性函数。 若函数f（x）的周期为T，则函数f（ax+b）的周期为。 如函数y=Acos（ωx+φ），ω>0，A≠0的周期是。5. 初等函数（1）基本初等函数 常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，这六类函数称为基本初等函数。（2）复合函数 设y=f（u），u=φ（x），若D∩z≠Ø，则称y=f［φ（x）］为fφy=f（u）与u=φ（x）复合而成的复合函数。 其中y=f（u）称为外层函数，u=φ（x）称为内层函数；x为自变量，u为中间变量——承上启下的作用，y为因变量。 复合函数y=f［φ（x）］有意义的充分必要条件是D∩z≠Ø。注fφ意，复合函数既不是f也不是φ，而是一个新函数。要能熟练地分析复合函数的复合过程，即复合函数的分解。复合函数分解的原则是分解后的每一层函数都是基本初等函数或基本初等函数的四则运算表达式。（3）初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算，或有限次复合运算所构成，并用一个数学式子表示的函数称为初等函数。初等函数是微积分研究的主要对象。 分段函数一般不是初等函数，但在各段上都是初等函数。g（x） 形如y=f（x）的函数称为幂指函数，若f（x），g（x）都是gg（x）（x）初等函数，则幂指函数可写成指数函数的形式y=f（x）=elnuf（x），可以看成由y=e与u=g（x）lnf（x）复合而成，因此幂指函数是初等函数。6. 常用的经济函数（1）需求函数与供给函数 在只考虑商品价格的影响因素时，商品的需求量是商品价格的函数Q=Q（P），称为需求函数。一般地，需求函数是价格的单调减DD少函数。 需求函数有两种表现形式Q=Q（P）与P=P（Q），两者互为DDD本义反函数，根据需要可以进行灵活的转换。 供给量与价格之间的函数关系Q=Q（P），称为供给函数。通SS常，供给函数是商品价格的单调增加函数。 在同一坐标系中，需求和供给的交点处商品价格称为均衡价格，对应的需求量或供给量称为均衡数量。 当商品价格高于均衡价格时，产生供大于求现象，市场价格下调；当价格低于均衡价格时，产生供不应求现象，市场价格上调。市场的调节规律就是商品价格在均衡价格附近上下波动。（2）成本函数、收益函数和利润函数 成本函数包括固定成本和可变成本。产量为Q时的成本函数为C（Q）=C+C（Q）。01 如果产品的销售价格P保持不变，销售量为Q，则收益函数为R（Q）=PQ。 利润函数为L（Q）=R（Q）-C（Q）。 利用利润函数的正负可以进行盈亏分析： ① L（Q）=R（Q）-C（Q）>0，表示盈利； ② L（Q）=R（Q）-C（Q）<0，表示亏损； ③ L（Q）=R（Q）-C（Q）=0，表示盈亏平衡。 盈亏平衡时的产量Q称为盈亏平衡点，又称为保本点。（二）极限与连续1. 极限的概念 自变量在某个变化过程中（共计七种变化过程），函数的表达式（包括数列）无限趋近于某个常数A，则称A为函数表达式在某个变化过程中的极限，记为limf（x）=A。 自变量的变化过程包括：n→∞，x→∞，x→-∞，x→+∞，x→x，0。 注意：① x→x意味着x≠x。这说明当自变量趋于x时的极限与000函数在该点的定义无关。 ② x→-∞，x→+∞和称为单侧极限。关于单侧极限有以下定理：2. 极限的基本性质（1）唯一性：极限存在必唯一。（2）保号性：设（<0），则存在δ>0，当0<|x-x|<δ时，f（x）>0（<0），其他几种极限过程的保号性以此类推。0（3）保序性：f（x）≥g（x），且limf（x）=A，limg（x）=B，则A>B。（4）有界性： ① 数列极限的有界性。若，则存在M>0，使得|a|≤M，n即数列收敛则必有界；反之，数列有界但未必收敛。 ② 函数极限局部有界性。若，则存在δ>0及M>0，当0<|x-x|<δ时，有|f（x）|≤M。03. 极限的运算性质（1）四则运算性质 设limf（x）=A，limg（x）=B，则 ① lim［f（x）±g（x）］=A±B； ② limf（x）g（x）=AB； ③。（2）复合函数极限运算性质 ① 设且g（x）≠a，则； ② 设，则。（3）幂指函数的极限 如果limf（x）=A（A>0），limg（x）=B，则有glimB（x）g（x）limf（x）=［limf（x）］=A（4）重要结论nnmm-1-1 设P（x）=ax+ax+…+ax+a，Q（x）=bx+bx+…nn-110mm-1+bx+b，10其中ab≠0。nm则 4. 极限存在准则（1）夹逼定理 若f（x）≤g（x）≤h（x），且limf（x）=limh（x）=A，则limg（x）=A。（2）单调有界定理 若数列｛a｝单调有界，则存在。n5. 无穷小量与无穷大量（1）无穷小量的定义 以零为极限的变量称为无穷小量。（2）无穷小量的基本性质 ① 有限个无穷小量的和、差、积还是无穷小量，常数与无穷小量之积还是无穷小量。 ② 有界变量与无穷小量之积还是无穷小量。 ③ limf（x）=A⇔f（x）=A+α，其中α→0。（3）无穷小量的比较 设α，β为自变量在某种趋势下的无穷小量，则 ① 若，称α为β的高阶无穷小量，记为α=o（β）。 ② 若（k≠0，∞），称α为β的同阶无穷小量，记为α=O（β）。 特别地，如果，称α为β的等价无穷小量，记为α～β。 ③ 若，称α为β的低阶无穷小量，此时也称β为α的高阶无穷小量。（4）x→0时，常用的等价无穷小 ① x～sinx～tanx～sin（sin x）～arcsinx～arctanx～ln（1+x）～xe-1； ②；α ③ （1+x）-1～αx。（5）无穷大量的定义 自变量在某种趋势下，绝对值比任意大的实数都要大，称为无穷大量。（6）无穷小量与无穷大量的关系 在自变量的某种变化趋势中，如果f（x）为无穷大量，那么为无穷小量；而若f（x）为无穷小量且f（x）≠0，则为无穷大量。6. 两个重要极限（1）（2） 这两个重要极限可以推广为：（1）（2）7. 连续与间断（1）f（x）在x=x处连续的定义0 若，称f（x）在x=x处连续。0（2）f（x）在［a，b］上连续的定义 若f（x）在（a，b）内点点连续并且在a点右连续，在b点左连续，称f（x）在［a，b］上连续，记为f（x）∈C［a，b］。 注释：① 初等函数在其定义域内都连续； ② 若f（x）在x=x处连续，则|f（x）|在x=x处连续，反之未必。00（3）间断点的分类 设f（x）在x=x处间断，则0 ① 若都存在，称x=x为f（x）的第一类间断点，0其中 i）若，称x=x为可去间断点；0 ii）若，称x=x为跳跃间断点。0 ② 若至少有一个不存在，称x=x为第二类间断0点。（4）闭区间上连续函数的性质
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