机械制图与识图难点分析及实例详解(txt+pdf+epub+mobi电子书下载)

作者：周明贵 主编

出版社：化学工业出版社

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机械制图与识图难点分析及实例详解试读：

前言

本书主要内容包括：立体的投影、平面与立体表面相交、立体与立体相交、组合体三视图、机件的常用表达方法、标准件和常用件、零件图、装配图等。每章都列举了大量典型的解题范例，每个范例都给出了疑难分析与常见的错误分析；并且采用视图和立体图对照的方法，给出了详细的分析解答和解题步骤。

本书依照最新国家标准，内容由浅入深，循序渐进，实用性强。本书可供高等工科院校学生使用，也可供职业技术大学、函授大学、电视大学、成人高校、自学考试及中等专业技术学校的学生学习《画法几何及机械制图》和《工程制图》等课程使用，也是教师及工程技术人员有益的参考资料。

本书由陕西科技大学教授周明贵主编，参加编写的还有郭红利副教授、张元莹副教授和张春侠副教授。

由于编者水平有限，书中难免出现不妥之处，恳请广大读者及同行批评指正。主 编第1章 立体的投影1.1 本章学习指南1.1.1 学习目的

① 熟悉三视图的形成和投影规律，掌握平面立体、曲面立体的投影特点及其投影作图方法。

② 熟练掌握平面立体、曲面立体的表面上取点、取线的作图方法。1.1.2 内容要点

① 平面立体与回转体的投影分析与作图方法。

② 平面立体、曲面立体表面上点的投影求法与可见性分析方法。1.1.3 解题方法

首先要熟练地掌握立体的投影特点及其投影图中各图线、图框的含义，这对于绘制立体的投影图和由投影图想象立体形状都非常重要。要力争能从整体上掌握空间立体与投影图之间的对应关系，能对空间立体的投影图进行深入的投影分析，以便弄清投影图中的每一条线、每一线框与立体表面上相应线、面的对应关系，从而建立起清晰的空间概念。这是解决作图问题的基础。具体作图时，首先要根据已知的投影图，分析想象出立体的有关几何性质（是平面立体还是回转体，立体对投影面的相对位置等），从而确定作图步骤。（1）立体的投影作图方法

在完成由立体的两个视图补画第三视图时，根据已知投影，结合各种回转体的投影特性，确定回转体的空间几何形状。若是平面立体，要根据平面的投影特性，在投影图中分析清楚平面立体上各个平面的空间形状和对投影面的相对位置，再根据各平面的两个投影按三视图的“三等”对应关系补画出他们的第三投影即可；若是回转体，根据回转体对投影面的相对位置和不同回转体的投影特点按三视图的“三等”对应关系补画出第三投影即可。（2）立体表面求点的方法

在完成根据立体表面上点的一个投影求作其余两投影时，若点所在的表面具有积聚性时，利用积聚性可方便作图，首先在积聚性的投影上求得点的第二个投影，再利用三视图的三等对应关系由两个投影求得第三个投影即可；若点所在的表面没有积聚性，可利用在面上作辅助线的方法作图，特别是利用辅助纬圆作图时，一定要弄清纬圆平行于哪个投影面，它的哪个投影是圆，它的半径怎样确定，具体作图时，一定要首先在点的已知投影上作出辅助圆的投影（圆或直线），再按投影关系作出纬圆的其余两面投影，最后将点的投影对应在纬圆的投影上，并判可见性即可。1.1.4 重点难点分析（1）重点

① 平面立体与回转体投影作图是本章重点之一，它是其他章节的基础。

② 平面立体、曲面立体的表面上取点的作图方法是本章的又一重点，它是后面求截交线和相贯线主要方法。（2）难点

已知点的某一投影求另外两面投影是这部分的难点。主要问题是根据点的已知投影判别点在立体表面上的位置错误，而导致后面作图错误。为避免这类错误，就一定要掌握点所在表面的判别依据。判断方法是：在某一投影面上，如果表面可见，则其上的点投影可见；反之，如果点的投影可见，则该点所在的表面一定可见。1.2 平面立体1.2.1 棱柱的三视图分析与表面取点实例【例1-1】 根据正五棱柱的主、俯视图，补画其左视图，并完成其表面上各点的其余两面投影［图1-1（a）］。图1-1【分析】

① 空间分析 由图1-1（a)主、俯视图分析可知，该立体为五棱柱。五棱柱由顶平面（正五边形）和底平面（正五边形）及五个（四边形）棱面构成。

② 投影分析 五棱柱的顶平面和底平面在俯视图的投影是正五边形，在主视图投影积聚为一水平直线，表明五棱柱的顶面和底面都是水平面，那么左视图中投影积聚为一水平直线；五棱柱的五个棱面在俯视图的投影中均积聚为直线，前棱面的投影在主视图中为实形（矩形），表明前棱面是为正平面，那么在左视图中投影积聚为直线；其余四个棱面在主视图中的投影均为矩形类似形，表明其余的四个棱面为铅垂面，那么左视图中的投影均为矩形类似形。

③ 立体表面点的投影分析 首先根据点的已知投影判别点所在的表面。A、C两点的已知投影a′、c′可见，所以A点在五棱柱的左前铅垂棱面上，C点在正平面棱面上；(b′)不可见，所以B点在左后铅垂棱面上。五个棱面在俯视图的投影中均积聚为一直线，因此A、B、C三点的水平投影a、b、c分别在其对应的积聚投影直线上，利用点的投影规律可求出其侧面投影。【作图】

① 画顶面和底面的投影：顶面和底面在俯视图中均反映实形（正五边形）且投影重合，所以首先画出俯视图，再按投影对应关系画出主、左视图，它们都积聚为直线，如图1-1（b)所示。

② 画五个棱面：五个棱面由五条棱线分开，五条棱线在俯视图中具有积聚性，积聚在正五边形的五个顶点，五个棱面在俯视图中积聚为五边形的五条边线，按照平面的投影特性由俯视图画出它们的主、左视图（由于后面的棱线从前往后看时不可见，因此在主视图中应画成虚线），如图1-1（b)所示。

请特别注意，俯视图和左视图之间必须符合宽相等和前后对应关系。作图时可以用分规直接量取，也可以如本题作45°辅助线完成。

③ 在画完上述面与棱线的投影后，擦掉作图辅助线并加深即得该五棱柱的三视图，如图1-1(b)所示。

④ 五个棱面在俯视图的投影中均积聚为一直线，因此A、B、C三点的水平投影a、b、c分别在其对应的积聚投影直线上，作45°辅助线，利用点的投影规律可求出其侧面投影，如图1-1(b)所示。

请特别注意，点的投影具有其可见性，对于不可见的投影必须加括号，以此也可以判别分析点所在的表面。【难点分析与常见错误】

该类题目难点是由点的已知投影判别点所在表面，很容易出现错误，从而导致求出的点的投影连续错误。

如图1-2(a)中，①处所指A点出现了错误。A点的正面投影可见，因此其所在的表面从前向后看应该可见，那么A点应该在左前棱面。图1-2

② 处B点出现了类似的错误。B点的正面投影不可见，因此其所在的表面应该为左后棱面。

图1-2（b）中③处漏画虚线，因为棱柱最后棱线的投影为虚线，不可见。1.2.2 棱锥的三视图分析与表面取点实例【例1-2】 根据三棱锥的主、俯视图，补画其左视图，并完成其表面上各点的其余两面投影图［1-3（a）］。【分析】

① 空间分析 由图1-3(a)主、俯视图分析可知，该立体为三棱锥。三棱锥由底平面及三个棱面构成。

② 投影分析 底面△ABC在俯视图中是等边三角形，在主视图中积聚为一水平直线，故底面△ABC为水平面，所以左视图也应积聚为一水平直线；棱面△SAC在主、俯视图中都是类似形（三角形），而底边AC又为侧垂线，所以棱面△SAC为侧垂面，它在左视图中应积聚为一斜线；棱面△SAB和△SBC在主、俯视图中都是类似形（三角形），且面内无侧垂线存在，故棱面△SAB和△SBC均为一般位置平面，它们在左视图中的投影重合为一个三角形（类似形）。

③ 立体表面点的投影分析 如图1-3(a)所示，M点的正面投影m′已知，且可见，表明空间点M在棱面△SAB上；由于N点的水平投影n已知且可见，表明空间点N在棱面△SAC上。正三棱锥的表面有特殊位置平面，也有一般位置平面。属于特殊位置平面的点的投影，可利用该平面投影的积聚性直接作图。属于一般位置平面的点的投影，可通过在平面上作辅助线的方法求得。【作图】

① 补画三棱锥的左视图：画正三棱锥的左视图时，先画出底面△ABC的投影a″b″c″，再画出锥顶S的投影s″，将s″同a″、b″、c″分别连线，即为正三棱锥的左视图，如图1-3（b）所示。图1-3

② 完成M、N点的其余两面投影： 因棱面△SAC是侧垂面，因此n″在该积聚线上，先由水平投影n求得n″，再由n和n″求得n′，由于n′不可见，故加括号表示。棱面△SAB是一般位置平面，所以M点的投影作图要利用在面上作辅助线的方法，由锥顶S点过M作一辅助线SⅡ，然后根据直线上点的从属性，求出其水平投影m，再由m′、m求出侧面投影m″。

若过点M作一水平辅助线ⅠM［如图1-3(c)所示，m1//ab，m′1′// a′b′］，同样可求得点M的其余两面投影。

③ 擦掉作图辅助线，即为作图结果，如图1-3(d)所示。

请特别注意，俯视图和左视图之间必须符合宽相等和前后对应关系。作图时可以作45°辅助线或如本题用分规直接量取完成。【难点分析与常见错误】

求立体的投影，其实是求构成立体的点、线、面的投影，棱锥的投影难点在于求锥顶的投影问题，特别注意锥顶水平投影y和侧面投影的y坐标必须宽相等。1

① 如图1-4(a)所示。①处由于侧面投影s″的y坐标与水平投影s1的y坐标不相等，导致棱锥的左视图错误，

② 图1-4(b)中，②处n位置错误。N点的正面投影不可见，因此其所在的表面应该为后棱面，而图中判别在右棱面，所以出现了错误的结果。图1-41.2.3 棱台的三视图分析与表面取点实例【例1-3】 已知正四棱台的主视图，完成其俯视图，并补画其左视图［图1-5（a）］。图1-5【分析】

立体投影分析：由图1-5（a)水平投影正方形和正面投影棱线交于一点可知，立体为正四棱台。四棱台顶面、底面和四个棱面构成。顶面在俯视图中是正方形，在主视图中积聚为一水平直线，故顶面和底面均为水平面。棱面在主、俯视图中都是类似形（四边形），故棱面均为一般位置平面，它们在左视图中的投影为一个类似形（四边形）。【作图】

① 求出顶面的水平投影和侧面投影：利用顶点A、B正面投影a′、b′，求出其另外两面投影，即可求出顶面的水平投影和侧面投影，如图1-5(b)所示。

特别注意b和b″的y坐标必须相等。

② 完成正四棱台的俯视图：先画出顶面水平投影，再补画棱线的水平投影，因为投影可见，所以均为粗实线，如图1-5(b)所示。

③ 补画正四棱台的左视图：画正四棱台的左视图时，特别注意不要漏掉左、右棱线的侧面投影，如图1-5(b)所示。【难点分析与常见错误】

求棱台的投影难点是求棱台顶面的投影容易出现问题，特别注意各点的y坐标必须相等。另外注意不要漏画各棱线的投影。

图1-6(a)中，①处B点的b的y坐标和b″的y坐标不相等，导致顶面1水平投影错误。图1-6

图1-6（b)中，②处漏画四条棱线的水平投影（粗实线）。1.3 回转体1.3.1 圆柱的三视图分析与表面取点实例【例1-4】 补画圆柱表面上各点的其余两面投影［图1-7（a）］。图1-7【分析】

由图1-7(a)水平投影圆和正面投影矩形可知，立体为轴线铅垂的圆柱。圆柱由顶面、底面和圆柱面构成。圆柱面在俯视图中积聚为圆，首先根据圆柱面积聚性可以求出A、B、C三点的水平投影a、b、c，再利用点的投影规律求出未知投影即可。【作图】

A点正面投影不可见，因此A点在圆柱的后表面上，其水平投影a应该在后半圆上，利用投影规律求出侧面投影a″，因为A点在左半圆柱面，所以a″ 可见，不加括号。

B点正面投影可见，因此B点在圆柱的前表面上，其水平投影b应该在前半圆上，利用投影规律求出侧面投影b″，因为B点在右半圆柱面，所以b″不可见，必须加括号。

C点侧面投影不可见，因此C点在圆柱的右表面上，其水平投影c应该在右半圆上，利用投影规律求出正面投影c′，因为C点在前半圆柱面，所以 c′可见，不加括号。

作图结果如图1-7(b)所示。【难点分析与常见错误】

回转体表面求点的难点是判断回转面投影的可见性问题，从而导致取点的表面位置错误。

图1-8(a)中①处a位置错误。A点正面投影不可见，因此A点在圆柱的后表面上，其水平投影a应该在后半圆上。圆柱向正面投影面投影时，最左最右轮廓线将圆柱分为前后对称的两部分，前半部分会遮挡后半部分，已知A点的正面投影不可见，因此A点的水平投影a应该在后半圆上。图1-8

②处b位置错误。B点的水平投影b应该在前半圆上。

图1-8(b)中③处c位置错误。圆柱向侧面投影面投影时，最前最后轮廓线将圆柱分为左右对称的两部分，左半部分会遮挡右半部分，已知C点侧面投影不可见，因此C点在右半圆柱面，其水平投影c应该在右半圆上。1.3.2 圆锥的三视图分析与表面取点实例【例1-5】 补画圆锥表面上各点的其余两面投影［图1-9（a）］。【分析】

① 分析K点：由K点的侧面投影（k″）的位置和可见性得知，K点位于圆锥最右素线上，根据直线上点的从属性可知，正面投影m′在主视图右边轮廓线上，水平投影m在俯视图圆的水平对称中心线上,如图1-9（b）所示。

② 分析M点：根据正面投影m′可知，M点在圆锥面的左、前半锥面，不在转向轮廓素线上，属于一般位置点，因圆锥表面无积聚性，欲求其水平投影m和侧面投影m″,必须用辅助线的方法（辅助素线或辅助圆法）作图，如图1-9（c)、（f)所示。【作图】

① 完成K点的正面投影和水平投影［图1-9（b）］：根据侧面投影（k″）按“高平齐”可直接得到正面投影k′，再根据正面投影k′按“长对正”直接得到水平投影k即可。

② 完成M点的水平投影m和侧面投影m″。

方法一：素线法——首先过M点正面投影m′作素线SⅠ的正面投影s′1′，因为M点正面投影m′可见，则M点在圆锥的前半锥面上，素线SⅠ一定在前半锥面上，利用“长对正”求出底圆上点Ⅰ的水平投影1，s1即为素线的水平投影；根据从属性，求出M点的水平投影 m。M点的侧面投影m″可由m′、m根据高平齐和宽相等的关系求得，如图1-9(c)、(d)所示。

方法二：辅助圆法 （即纬圆法）——首先过M点作垂直于轴线的辅助圆，其正面投影为2′3′，再以2′3′长度的二分之一为半径，以俯视图圆的中心为圆心画同心圆即为纬圆的水平投影；根据从属性，求出M点的水平投影m。M点的侧面投影m″可由m′、m根据高平齐和宽相等的关系求得，如图1-9（e）、（f）所示。图1-9【难点分析与常见错误】

圆锥的投影要注意分析转向轮廓线在各视图中的投影位置，对回转面投影的可见性判断不清晰，会导致取点的表面位置错误。

图1-10(a)中①处k′的位置错误。K点侧面投影不可见，因此其正面投影k′应该在圆锥正面投影最右轮廓线上。

图1-10（b）中②处m的位置错误。M点正面投影可见，因此M点在圆锥的前表面上，作辅助纬圆，其水平投影m应该在纬圆水平投影的前半圆上。图1-101.3.3 圆球的三视图分析与表面取点实例【例1-6】 补画圆球表面上各点的其余两面投影［图1-11（a）］。图1-11【分析】

圆球的三视图均为等径圆，这三个圆是圆球在三面投影时的转向轮廓线。正面投影的圆将圆球分为前、后两半，在正面投影时，前半球面可见，后半球面不可见；水平投影的圆将圆球分为上、下两半，在水平投影时，上半球面可见，下半球面不可见；侧面投影的圆将圆球分为左、右两半，在侧面投影时，左半球面可见，右半球面不可见。

根据正面投影a′可见可知，A点在圆锥面的前半球面，属于一般位置点，因圆球表面无积聚性，也无法在其表面左辅助直线，必须用辅助圆的方法求其水平投影a和侧面投影a″；根据侧面投影b″在侧面投影圆上可知，B点在圆球侧面转向轮廓圆上，利用从属性即可求其余投影；根据C的水平投影c的可见性，可判定点C在上半球面，也属于一般位置点，必须用辅助圆的方法求其余投影，如图1-11(b)所示。【作图】

① 求A点的水平投影和侧面投影：过点A在球面上作一辅助水平圆（也可作正平圆或侧平圆），其正面的投影积聚为1′2′直线，再以1′2′长度的二分之一为半径画出辅助圆的水平投影；根据从属性，求出A点的水平投影a。A点的侧面投影a″可由a′、a根据高平齐和宽相等的关系求得。同样方法可以求出C点的正面投影和侧面投影，如图1-11（b）所示。

② 求B点的水平投影和正面投影：B点在圆球侧面转向轮廓圆上，利用从属性即可求其余投影，如图1-11(b)所示。【难点分析与常见错误】

圆球的投影及表面取点是比较难的。圆球的三面投影都是圆，应注意这三个圆的空间位置和投影的对应关系，在圆球表面取点时只能采用纬圆法，而不能通过作辅助直线的方法求点的投影。

图1-12(a)中①处A点正面投影可见，因此A点在圆球的前半球面上，作辅助水平纬圆，其水平投影a应该在纬圆水平投影的前半圆上。图1-12

图1-12(a)中错误②处c′和c″位置错误。C点水平投影可见，因此c′在圆球的上半球面上，作辅助侧平纬圆，其侧面投影c″应该在纬圆侧面投影的后半圆上。

图1-12（b)中已知D点的水平投影（d），③处d′和④处d″位置错误。D点水平投影不可见，且投影在圆球水平投影的前后对称线上，因此D点在圆球的侧面转向轮廓圆下方，利用从属性可以直接求出其正面投影d′和d″，但d′其在下半圆上，侧面投影d″不可见，应该加括号。图1-131.3.4 其他回转体表面取点实例【例1-7】 补画回转体表面上A、B两点的水平投影［图1-13（a）］。【分析】

该回转体的回转面是由任意一平面曲线形成的，其投影特性与其他回转面类似。一般情况下可以用辅助纬圆方法求其表面上的点和线。

根据正面投影a′不可见可知，A点在回转面的后面，属于一般位置点，必须用辅助圆的方法求其水平投影a；根据正面投影b″可见可知，B点在回转面的前面，也属于一般位置点，须用辅助圆的方法求其水平投影b，如图1-13(b)所示。【作图】

求A、B两点的水平投影：过点A在回转面上作一辅助水平圆（垂直于轴线），其正面投影积聚为直线，以其正面投影直线长度的二分之一为半径画出辅助圆的水平投影；根据从属性，求出A点的水平投影a。同样方法可以求出B点的水平投影，如图1-13（b)所示。第2章 平面与立体表面相交2.1 本章学习指南2.1.1 学习目的

① 掌握平面与平面立体相交时截交线的投影特点、形状及其求截交线的作图方法。

② 掌握平面与回转体相交时截交线的投影特点、形状及其求截交线的作图方法。2.1.2 内容要点

① 平面截切棱柱截交线的分析与作图。

② 平面截切棱锥截交线的分析与作图。

③ 平面截切圆柱截交线的分析与作图。

④ 平面截切圆锥截交线的分析与作图。

⑤ 平面截切圆球截交线的分析与作图。

⑥ 平面截切组合回转体截交线的分析与作图。2.1.3 解题方法

平面与立体相交，主要是研究平面与立体表面的交线（截交线）的画法。由于立体包括基本几何体（棱柱、棱锥、常用回转体）和组合体，截平面可以是一个或多个，加之截平面对投影面可以处于各种相对位置（主要是平行或垂直于投影面），因此情况就相当复杂，掌握截交线的画法，关键是抓住基本内容，即重点掌握单个截平面与基本几何体截交线的画法。（1）认清形体

根据已知投影，结合各种立体的投影特性，确定立体的空间几何形状。（2）分析截平面与立体的相对位置

平面与平面立体、回转体、组合体相交以及有切口的立体，都要根据立体的投影图，分析立体被哪些平面所截切，以及它们与立体的相对位置，通过对截平面及立体的形状分析和投影分析，由此确定截交线的空间形状。（3）分析截断面的形状及其投影情况

在以上分析的基础上，确定截断面的形状及截交线的投影。分析哪个投影是已知的，哪个投影是要作图的，然后再逐一作图。

单个平面截切基本几何体时，其截交线的形状取决于立体的形状及截平面与立体的相对位置。对于平面立体，其截交线是平面多边形；对于圆柱，其圆柱面的截交线是圆、椭圆或平行两直素线，截平面与圆柱端面的交线是两直线；对于圆锥，其圆锥面的截交线是圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线），截平面与底平面的交线是直线；对于圆球，其截交线是圆；对于圆环，其截交线是圆或高次曲线。

单个截平面截切组合体时，其截交线是截平面和参与相交的各基本几何体的截交线的组合。

多个截平面截切立体时，其截交线则是各截平面与相交的立体的截交线的组合，且相邻两截平面之间的交线为直线。（4）求截交线

基本体被截平面截切后得到切割体。绘制切割体的投影首先要画出基本体的投影，然后分析出截断面形状，再按照不同切割体的特点作图。

由于截平面往往垂直于投影面，截交线在该投影面上的投影为已知，故求截交线的问题就转化为在立体表面上取点、取线的问题。

在作图过程中，应先求出所有特殊点，对于平面体就是求出截交线（平面多边形）的各顶点；对于回转体则是求出各转向轮廓线上的点，即最高、最低、最左、最右、最前、最后点，椭圆长短轴的端点，抛物线、双曲线的顶点等。在组合体的截交线中，还要求出各基本几何体截交线的分界点，根据需要适当作若干一般点，判别可见性，按顺序光滑连接各点。若是多个截平面，则要画出截平面之间的交线。

当用两个以上切割面切立体时，在立体上将会出现切口、开槽或穿孔等情况，这就要逐个画出各个切割面的断面投影，而且要画出各切割面之间交线的投影，进而完成整个切割体的投影。（5）完成立体的投影

分析立体的轮廓被截切后的投影情况，补全截切后立体的投影。2.1.4 重点难点分析（1）重点

① 弄清平面与立体的相对位置，判断截交线的形状。应掌握平面立体和回转体表面被截切后的截交线特性，要弄清不同位置截平面与立体相交时所产生的不同形状的截交线。

② 求截交线的方法和步骤。应先分析形体和交线形状，画出立体未被截切部分的投影，再利用积聚性求出截交线上的一系列点，判别可见性，完成轮廓线的投影。

③ 轮廓线的处理。以被切棱线或转向轮廓线的交点、被切表面的交线为分界，擦去切除一侧的轮廓线，补齐所缺轮廓线。（2）难点

① 截交线的形状分析。特别是平面与回转体表面相交的截交线，要熟记常见截交线的形状和特点。

② 求截交线上的点。对于平面体就是求出截平面与被切棱线的交点；对于回转体则是先求出各转向轮廓线上的特殊点，再求出适当的一般点。

③ 完成立体投影。形体被截切后，有些棱线或边线被截掉了，画图时应相应地去掉被截掉的轮廓线投影。注意没有被截到的轮廓线，尤其是不可见的轮廓线应完整画出。注意轮廓线可见性的改变，有些轮廓线截切前不可见，并且与其他轮廓线的投影重合，它的投影在视图上无法显示。截切后如果与它重合的轮廓线被截切掉，这时，该轮廓线的投影就可见了。

④ 用两个以上截切平面切立体时，要留意画出各截切平面之间交线的投影。2.2 平面截切平面立体2.2.1 平面截切棱柱表面交线的分析与作图实例【例2-1】 补全五棱柱被截切后的俯视图，并补画左视图［图2-1（a）］。【分析】

① 空间分析 五棱柱被正垂面切割掉左上方的一块（双点画线表示部分），其截交线的各边是正垂面与五棱柱的棱面和顶面的交线，形状为五边形，如图2-1（b)所示。图2-1

② 投影分析 截交线的正面投影都重合在主视图正垂面的积聚线上，所以截交线的正面投影已知，五棱柱被切割后的主视图也已知，只要作出截交线的水平投影，就可作出五棱柱被切割后的俯视图。由已作出的截交线的正面投影和水平投影，也可作出截交线的侧面投影，从而作出五棱柱被切割后的左视图。从已知的正面投影可以直观地看出，截断面的水平投影和侧面投影都是可见的，如图2-1(b)所示。【作图】

① 在五棱柱正面投影右侧的适当位置画表示后棱面的铅垂线，用水平投影中从后棱面向前的距离y和y，按侧面投影与水平投影宽1相等和前后对应，以及五棱柱顶面、底面的正面投影和侧面投影应符合高平齐的原则，就可由已知的正面投影和水平投影作出完整的五棱柱的侧面投影，如图2-1(c)所示。

② 在截交线已知的正面投影上，标注出棱线AA，BB、EE与000截平面P的交点F、G、J的正面投影f′、g′、j′，标注出截平面P与顶面的交线HI(及其端点H、I)的正面投影h′i′，就表明了截交线五边形FGHIJ的正面投影f′g′h′i′j′，如图2-1(c)所示。

③ 在aa、bb、ee上分别标出f、g、j，由h′i′作出hi，画出截交000线五边形FGHIJ的水平投影fghij，也就补全了五棱柱被切割后的俯视图，如图2-1(c)所示。

④ 由f、g、j分别在a″a″、b″b″、e″e″上作出f″、g″、j″；由于000点I在顶边侧垂线ED上，所以可直接在积聚成一点的e″d″上标注出i″；在顶面的侧面投影上，从i″向前量取水平投影中h在i前的距离y，2就可作出h″。连接j″与 f″、f″与g″、g″与h″，h″i″、i″j″分别积聚在顶面、后棱面的侧面投影上，便画出截交线五边形FGHIJ的侧面投影f″g″h″i″j″，如图2-1(c)所示。

⑤ 因为棱线AA在点F之上的一段已被切割掉，而棱线CC仍是00全部存在的，所以在侧面投影中应将f″以上的粗实线改为虚线，仅表示侧面投影不可见的棱线CC的上部；同时还应将h″以前和g″以上的0五棱柱被切割掉的侧面投影的轮廓线擦去或画成双点画线，也就作出了五棱柱被切割后的左视图，如图2-1(c)所示。

作图结果如图2-1(d)所示。【难点分析与常见错误】

平面立体被平面截切，难点在于分析截断面的形状和分析立体上轮廓线的投影。立体被截切后，有些棱线或边线被截掉了，画图时应查看已知视图中截断面处的轮廓线，相应地去掉轮廓线的投影。

本题常见错误主要是少画线和多画线的错误，如图2-2所示。

图中①处不可见的轮廓线没画。五棱柱左棱线被截切上部分，而右边棱线没有被截切，所以在左视图上没有和左棱线重叠的右棱线上面虚线部分应画出。图2-2

图中②处轮廓不存在。五棱柱前棱线和上顶面部分被截切，故左视图上前上角多画了不存在的轮廓线。【例2-2】 补画三棱柱被截切后的左视图［图2-3（a）］。【分析】

① 空间分析 该三棱柱上部的切口是由一个侧平面和一个正垂面切割而形成的，侧平面切出的截断面为一个矩形，正垂面切出的截断面为四边形，如图2-3(b)所示。

② 投影分析 由于截平面都垂直于正面，其投影都积聚为直线，所以只需要求出断面的水平投影和侧面投影即可。【作图】

① 利用截平面的积聚性投影，找出断面各顶点的正面投影a′、b′、…、f′，如图2-3(c)所示。

② 求矩形断面ABDC的水平投影和侧面投影。如图2-3（c)所示：A、B、D、C四点都在三棱柱的棱面上，其水平投影必然在棱面的水平积聚性投影上（即俯视图中正三边形的边上），根据投影特性，可求出其水平投影a、b、（d）、（c），再由正面投影和水平投影，求出其侧面投影a″、b″、d″、c″，依次连接各点的同面投影abdc、a″b″d″c″，如图2-3（c)所示。

③ 求四边形断面ABFE的水平投影和侧面投影，如图2-3(c)所示。AB为与矩形断面的公共交线，A、B两点即为四边形断面上的顶点，E、F点为截平面与棱线的交点，根据直线上点的投影特性，可求出其水平投影e、f和侧面投影e″、f″。依次连接各点的同面投影abfe、a″b″f″e″，投影均为可见，如图2-3(c)所示。

④ 擦去被截去的多余轮廓线的投影，如图2-3(c)所示。

作图结果如图2-3(d)所示。图2-3【难点分析与常见错误】

难点在于用两个以上切割面切立体时，要注意画出各切割面之间交线的投影。图2-4

本题常见错误主要是少画线的错误（图2-4）。图中①处少画两个截切面的交线。2.2.2 平面截切棱锥表面交线的分析与作图实例【例2-3】 完成正六棱锥被截切后的俯视图，并补画出其被切割后的左视图［图2-5（a）］。【分析】

① 空间分析 通过主、俯视图可知，该形体为直立的正六棱锥，被一正垂面P截去锥顶，截平面P与正六棱锥的六条棱线相交，故断面ABCDEF是一个六边形，如图2-5(b)所示。

② 投影分析 由于截平面P的正面投影积聚成一直线，所以截平面P与正六棱锥各棱线六个交点的正面投影a′、b′、c′、d′、（e′）、（f′）即可确定，即断面的正面投影是已知的，故只需求其水平投影和侧面投影。【作图】

① 利用断面的积聚性投影，找出断面各顶点的正面投影a′、b′、…、f′［图2-5（b）］。图2-5

② 画出正六棱锥的左视图，根据直线上点的投影特性，求出各顶点的水平投影a、b、…、f及侧面投影a″、b″、…、f″［图2-5（c）］。

③ 依次连接各顶点的同面投影，即为断面的水平投影和侧面投影（均为六边形的类似形）。此外，还应考虑形体其他轮廓线投影及可见性问题，直至完成三视图，如图2-5（d）所示。【难点分析与常见错误】

本题常见错误主要是空间分析和投影分析错误，如图2-6所示。

图中①处少画棱线。六棱锥各棱线被截切上边部分，而没有被截切掉的棱线下边部分应在俯视图画出粗实线。

图中②处六棱锥左棱线被截切上面部分，所以在左视图上左棱线未被截切部分应画粗实线。

图中③处六棱锥左、右棱线在左视图上重叠，由于被截切的长短不一样，右棱线未被左棱线遮挡的部分应画虚线。【例2-4】 补画三棱锥被截切后的左视图［图2-7（a）］。【分析】

(1)空间分析图2-7

① 由水平投影的三角形和棱线正面投影交于一点可知，立体为正三棱锥。

② 由正面投影左侧缺口可知，三棱锥被水平面P和正垂面T截切。

(2)投影分析

因截切面P与三棱锥的三个棱面和T面相交，则截交线形状为一平面四边形。截交线的正面投影重合在P上，其侧面投影积聚为直线，水平投影为实形。截切面T与三个棱面和P面相交，则截交线为四边形，其水平投影和侧面投影均为类似形。【作图】

① 作出完整三棱锥的侧面投影。求P面截交线ABCD的投影：正面投影a′b′c′d′积聚在P上，利用棱锥表面求点的方法（作辅助平行线）求出其水平投影abcd，再利用点的三面投影规律求出侧面投影a″b″c″d″，如图2-7（b)所示。

② 求T面截交线CDEF的投影。正面投影c′d′e′f′积聚在T上。同上可求出水平投影cdef和侧面投影c″d″e″f″。注意P面与T面的交线CD的水平投影不可见，应画为虚线，如图2-7(c)所示。

③ 完成棱锥的水平投影和侧面投影。补全轮廓线，加粗未被切割掉的棱线投影，如图2-7(d)所示。【难点分析与常见错误】

难点在于要分析画出两两截切面交线的投影，以及哪些轮廓被截切掉了，要去掉相应的投影。

本题常见错误主要是空间分析和投影分析错误。

图2-8中①处少画P、T截切面的交线，主、左视图上交线投影与水平P面积聚投影重合，俯视图不可见画虚线，如图2-8(a)所示。图2-8

图2-8中②处T截切面与三棱锥右前棱的交线宽不等，应从俯视图量取宽确定点的位置，如图2-8(b)所示。

图2-8中③处三棱锥的前棱线中间部分被切断，所以在左视图上前棱线不画中间被截切的部分。左棱线中间也被切掉，但在左视图左、右棱线重合，所以中间部分为右棱线可见投影，如图2-8(b)所示。2.3 平面截切回转体2.3.1 平面截切圆柱体表面交线的分析与作图实例【例2-5】 完成圆柱被截切后的俯视图，并补画左视图［图2-9（a）］。图2-9【分析】（1）空间分析

① 由正面投影矩形和水平投影圆可知，立体为圆柱体。

② 由正面投影左上角的缺口可知，该圆柱被正垂面P和侧平面Q所截切。（2）投影分析

① P平面截切圆柱表面的截交线为椭圆弧，其正面投影积聚在P平面的正面投影上，水平投影重合在圆柱的水平投影上，侧面投影为椭圆弧。

② 侧平面Q截切圆柱表面的交线为前、后两段素线，Q平面与顶平面和P面相交的交线为两段正垂线，其截断面为矩形。正面投影重合在Q平面的正面投影上，水平投影积聚为直线，侧面投影反映实形。【作图】

① 求正垂面P截圆柱表面的截交线。先求特殊点，在正面投影上确定出A、B、C、D、E的正面投影(a′)、c′、(b′)、d′、e′，由此定出水平投影a、b、e、d、c，按对应关系求出侧面投影a″、c″、b″、d″、e″；再适当求几个一般点，如F、G；按水平投影中的顺序光滑连接a″b″f″e″g″d″c″，如图2-9(b)所示。

② 求截断面Q的投影。因为Q为侧平面，水平投影积聚为直线，由此求出水平投影ab，侧面投影反映实形，根据对应关系可求得侧面投影a″b″,分别过a″、b″作轴线的平行线,依据主视图高平齐确定两段素线的高度，画出顶面与Q面和P面的交线，完成矩形的侧面投影，如图2-9(c)所示。

③ 完成外部轮廓的侧面投影。因为圆柱的最前、最后素线上部被P平面所截掉，故最前、最后素线的侧面投影以c″d″为截断点，仅画出下部即可，如图2-9(d)所示。【难点分析与常见错误】

本题难点在于要分析画出P、Q截切面交线的投影和转向轮廓线的投影。

图2-10(a)中①处少画P、Q截切面的交线，该交线为正垂线，故左视图可见画粗实线。图2-10

图2-10(b)中②处多画前、后素线上面部分轮廓的投影。圆柱的最前最后素线上部被P平面所截掉，仅画出下部分粗实线。

图2-10(b)中③处P、Q截切面的交线画长了。画P、Q截切面的交线时进行宽相等分析就不会多画线了。【例2-6】 根据立体的主视图和俯视图，补画其左视图［图2-11（a）］。【分析】（1）空间分析

① 由正面投影和水平投影的外部轮廓可知，其立体为空心圆柱体。

② 由正面投影上部缺口可知，该空心圆柱体被左右对称的侧平面P和水平面R所截切。（2）投影分析

① P平面截切外圆柱表面的截交线为两段直素线AB和CD，截切内圆柱孔表面的截交线也为两段直素线IJ和KM，水平投影分别积聚在外圆周和内圆周上，侧面投影仍为直线；

② R平面截切内、外圆柱表面的截交线均为水平圆弧，正面投影和侧面投影均为直线，水平投影反映实形。【作图】

① 求实体圆柱的截交线。P平面截切实体圆柱截交线的正面投影a′b′、c′d′重合在P平面的正面投影上，水平投影ab、cd积聚在圆周上，根据对应关系可求得侧面投影a″b″、c″d″；R平面截切实体圆柱的截交线为前、后两段圆弧，其截断面为水平面，正面投影积聚为直线，水平投影bdfhge反映实形，侧面投影积聚为直线e″b″d″f″段，如图2-11（b）所示。图2-11

② 求虚体圆柱的截交线。P平面截切虚体圆柱截交线的正面投影i′j′、k′m′重合在P平面的正面投影上，水平投影ij、km积聚在圆柱孔的圆周上，根据对应关系可求得侧面投影i″j″、k″m″；R平面截切虚体圆柱的截交线为前、后两段水平圆弧，其水平投影为tgj、nrm，正面投影为直线j′m′q′r′t′n′，侧面投影为直线(q″)(j″)、(m″)(r″)段，如图2-11(c)所示。

③ 由于是空心圆柱，故侧面投影(j″)、(m″)之间无投影，应去掉先前所画的虚线，如图2-11(c)所示。

④ 完成立体的侧面投影。由于内外圆柱最前、最后素线的上段已被R平面截去，故最前、最后素线的侧面投影以e″、q″、r″、f″为界仅画出下段，如图2-11(d)所示。【难点分析与常见错误】

本题难点在于求解圆柱体内、外表面截交线和转向轮廓线的投影，注意分析有些轮廓被切掉了，不能画线。

求解时，水平面在侧面的积聚性投影，圆柱内、外表面转向轮廓线的投影，都比较容易出现错误。

图2-12(a)中①、②处多画线。圆柱被挖槽截切后，圆柱筒内、外表面的转向轮廓线从水平面向上部分已经被切去，所以侧面投影上水平面以上的轮廓线不应画。图2-12

图2-12(b)中③处中间虚线不画。水平面R在侧面的投影积聚为一条直线，该直线的中间部分已经被圆柱穿孔切去，所以P面截交线虚线中间不应该画线。【例2-7】 根据立体的主视图和俯视图，补画其左视图［图2-13（a）］。【分析】（1）空间分析

① 由正面投影和水平投影可知，该立体为空心圆柱体。

② 由正面投影上部左右各缺一块可知，该空心圆柱体被左右对称的侧平面和水平面所截切。（2）投影分析

① 侧平面截切外圆柱表面的截交线为两直素线AB、CD；侧平面截切内圆柱表面的截交线为两直素线EF、GH。

② 水平面截切内外圆柱表面的截交线分别为圆弧FH和BD。【作图】

① 求外圆柱表面的截交线。先确定截交线AB、CD的正面投影a′b′、c′d′，其水平投影ab，cd重合在圆柱面的水平投影上，根据对应关系求出侧面投影a″b″，c″d″，如图2-13(b)所示。

② 求内圆柱表面的截交线。先确定截交线EF、GH的正面投影e′f′、g′h′,其水平投影ef，gh积聚在圆柱的水平投影上，根据对应关系求出侧面投影e″f″，g″h″，如图2-13(c)所示。

③ 完成水平面截切圆柱表面的截交线。因为截交线为两段水平圆弧，其侧面投影为直线。按对应关系求出侧面投影，如图2-13(c)所示。

④ 完成轮廓线的侧面投影。内外圆柱最前、最后素线依然完整，故应完整画出，而顶平面被左右两侧平面截切之后，自左向右形成了一缺口，故顶平面的侧面投影中间段无线，如图2-13(d)所示。【难点分析与常见错误】

本题在求解时，圆柱内、外表面转向轮廓线的投影容易出现错误。图2-13

图2-14（a)中①处少画轮廓线（虚线）。圆筒内表面前后素线没有被截切，故应完整画出。图2-14

图2-14(b)中②处两边多画线。水平截切面在侧面的投影积聚为一条直线，应依据俯视图宽相等确定其长短。【例2-8】 根据立体的主视图和俯视图，补画其左视图［图2-15（a）］。图2-15【分析】（1）空间分析

① 由正面投影和水平投影的最大投影范围可知，其立体为圆柱体。

② 由正面投影中的三角形对应水平投影中虚线所围的图框可知，该圆柱被三个平面所截切，形成了前后贯通的三棱柱通孔。（2）投影分析

三棱柱孔实际可分解为三个平面:中间一个水平面，两侧各有一个正垂面。求挖空后的投影，实际是求这三个平面与圆柱体的截交线。

① 两正垂面与圆柱轴线倾斜相交，交线为前、后两段椭圆弧。

② 水平面与轴线垂直，交线为前、后两段水平圆弧，其侧面投影积聚为两段直线。【作图】

① 画出完整圆柱的侧面投影。

② 完成正垂截断面的侧面投影。求交线：先求特殊点A、B、C、D，在正面投影上定出a′(b′)、c′(d′)、e′(f′)，按投影关系可求出a″、b″、c″、d″、e″、f″，再求一般点E、F，在正面投影上定出e′(f′)，按投影关系可求出e″、f″，最后连接前、后两段椭圆弧的投影，左、右两正垂面截交线重合，可见与不可见的重合，故画粗实线，如图2-15(c)所示。

③ 完成水平面截断面投影，正面投影积聚为直线，水平投影为虚线所围的图框，其侧面投影积聚为直线，两边可见中间段不可见，如图2-15(c)所示。④ 求两平面间的交线：由于三平面产生交线AB、CD、GH，连ab、cd、gh和a″b″、c″d″、g″h″,如图2-15(c)所示。图2-16

⑤ 完成外部轮廓线的投影。由于圆柱体的最前素线、最后素线中段被三棱柱孔切掉了，所以只画a″、b″以上和水平面以下部分的轮廓线，中间部分不画,如图2-15(d)所示。【难点分析与常见错误】

本题难点在于对圆柱截交线形状的分析，求截交线时应注意求一般位置点，确保截交线形状的准确性。

本题常见错误如下。

图2-16中①处应画椭圆弧。截平面与圆柱体轴心线倾斜时，截交线为椭圆。这里正垂面只截切了圆柱体的一部分，因此该截交线应该是椭圆的一部分（两段椭圆弧）。由于概念不清，作图中又不求一般位置点，则很容易把椭圆弧画成直线。2.3.2 平面截切圆锥体表面交线的分析与作图实例【例2-9】 补全圆锥被正平面截切后的主视图［图2-17（a）］。

试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]

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